Au tableau
Cinématique du point matériel
trajectoire
z
O
x
r = r(t+t) r(t)
r
r (t) = vecteur-position par rapport à O
r
r
r(t)
r
r
r
(t+t)
r
(t)
dr
v(t) = lim
=
t0
t
dt
r(t+t)
= vitesse vectorielle instantanée
(tangente à la trajectoire)
y
s(t)
v(t)
r(t)
z
O
x
OS, 21 novembre 2006
s
y
s(t) = abscisse curviligne
= longueur parcourue
le long de la trajectoire
r
v(t) = ds
=
vitesse
scalaire
=
v
(t)
dt
r r
r
Avecrr = rr(s) = r(s(t)r):
r
v = ddtr = d r ds = v d r = v ˆ
ds
r ds dt
ˆ = d r = vecteur unitaire
ds tangent à la trajectoire
68
Au tableau
Cinématique du point matériel (suite)
v(t)
r(t)
z
r(t+t) v(t+t)
y
v = v(t+t) v(t)
at(t)
O
x
a(t)
r
r
r
r
v(t + t) v(t) dv ˙r˙
an(t)
=
= r (t)
a (t) = lim
z
t 0
dt
t
r(t)
= accélération vectorielle instantanée
= d (v ˆ ) = dv ˆ + v dˆ
y
dt { {
dt
dt
O
{
r
r
r
v(t) a t (t) a n (t)
x
r
r
a t (t) = accélération tangentielle (collinéaire à v)
r
r
a n (t) = accélération normale (perpendiculaire à v(t), car ˆ dˆ = 0)
dt
OS, 21 novembre 2006
v(t)
69
Au tableau
Accélération normale
Approximation de la trajectoire entre les instants t et t+dt
par un arc de cercle de rayon R(t) et de longueur ds = R(t) d
^
(t)
r(t)
z
ds
d
R
r(t+dt)
^
(t+dt)
^
(t)
d
d^ = ^(t+dt) ^(t)
^
(t+dt)
|d^ | = d
O
y
x
r
an(t) = v(t) dˆ = v(t) dˆ ds = v(t)2 dˆ
dt
ds dt
ds
= accélération normale dirigée vers le centre de courbure
v(t)2
r
ˆ
2
d
2
d
an(t) = an(t) = v (t)
= v(t)
=
ds
R(t) d R(t)
= norme de l'accélération normale
OS, 21 novembre 2006
70
Mouvement avec vitesse scalaire constante
• Considérons un point matériel avec:
– une vitesse scalaire v = ds/dt constante non nulle
– un vecteur vitesse qui change de direction au cours du temps
r r dvr r 1 d r2
• Accélération: a v = dt v = 2 dt(v ) = 0
– pas de composante tangentielle: at = dv/dt = 0
– seule une composante normale a = an = v2/R 0
dirigée vers le centre de courbure
r
• Force: F = m ra
– F = ma= mv2/R
force centripète
OS, 21 novembre 2006
démo: mouvement circulaire uniforme
une force doit être exercée
(et donc une accélération existe)
71
Repère
démo repère orthonormé
• Repère = origine O et trois axes orthogonaux définis par des
vecteurs de longueur unité (vecteurs unitaires)
xˆ 1
O
xˆ 2
ˆj
yˆ
xˆ
Vecteurs unitaires:
xˆ 1 = xˆ 2 = xˆ 3 = 1
Vecteurs orthogonaux:
xˆ 1 xˆ 2 = xˆ 2 xˆ 3 = xˆ 3 xˆ1 = 0
OS, 21 novembre 2006
r
e3
kˆ
zˆ
xˆ 3
r
e2
r
e1
ˆi
Base orthonormée:
{
i=j
xˆ i xˆ j = ij = 10 si
si ij
produit
scalaire
symbole de
Kronecker
72
Repère direct (ou repère droit)
• Par convention, on n’utilise que des repères dont la chiralité
est définie (arbitrairement) par la «règle du tire-bouchon» ou
la «règle de la main droite»
Repère direct ou «droit»
avance du
tire-bouchon
pouce de la
main droite
xˆ 3
xˆ 3
poignet de la
main droite
xˆ 1
O
xˆ 2
rotation du
tire-bouchon
xˆ 1
O
doigts de la
main droite
démo tire-bouchon
OS, 21 novembre 2006
xˆ 2
Un mouvement de rotation qui
amène l’axe 1 sur l’axe 2 ferait
avancer un tire-bouchon dans la
direction de l’axe 3
Il faut évidemment utiliser un tirebouchon normal, c’est-à-dire un tirebouchon «droit».
L’avance d’un tire-bouchon droit est
donné par la direction du pouce de la
main droite quand la rotation est
donnée par les doigts qui se
referment.
73
Droit ou gauche ?
Coquillage
Escargot
Noyaux de cobalt radioactifs
ayant un «spin» (rotation
intrinsèque) et émettant des
électrons préférentiellement
dans une certaine direction
Liseron (droit)
Chèvre-feuille (gauche)
ADN
Remarque:
un miroir échange «gauche» et «droit»
xˆ 3
xˆ 3
gauche
xˆ 1
xˆ 2
xˆ 1 droit xˆ 2
OS, 21 novembre 2006
74
Projections et composantes d’un vecteur
P'
O
uˆ
axe u
Projection du vecteur OP sur l’axe u:
vˆ
P
OP uˆ = OP uˆ cos = OP cos = OP'
produit scalaire
P''
OP = OP' + OP'' = OP' uˆ + OP'' vˆ = (OP uˆ )uˆ + (OP vˆ )vˆ
axe v
P
zˆ
xˆ
O
OS, 21 novembre 2006
yˆ
x = OP xˆ
y = OP yˆ
z = OP zˆ
x
OP = x xˆ + y yˆ + z zˆ = y
z
Coordonnées cartésiennes
du point P ou composantes
du vecteur OP:
75
Produit scalaire
a
• Définition
scalaire (nombre):
r
r r r d’un
b
a b = a b cos r
r
r
= (norme de ar ) (norme de la projection de b sur ar )
r
= (norme de b) (norme de la projection de a sur b)
• En composantes (dans un repère orthonormé):
r r
a b = (a1 xˆ 1 + a 2 xˆ 2 + a 3 xˆ 3 ) (b1 xˆ 1 + b 2 xˆ 2 + b 3 xˆ 3 ) = a1 b1 + a 2b 2 + a 3b 3
xˆ 3
• Propriétés:
–
–
–
–
–
r r r r
ab = ba
Commutativité:
r r r r r r r
a (b + c) = a b + a c
Distributivité:
r
r
r r
Linéarité:
a (b) = (a b)
r r
Vecteurs orthogonaux:
ab =0
r r r2
Norme2 d’un vecteur:
aa= a 0
OS, 21 novembre 2006
xˆ 1
O
xˆ 2
76
Produit vectoriel
ab
• Définition d’un «vecteur»:
r r
r r
direction de ar br = normale au plan défini par a et b
sens de a br = conventionnel
(règle de la main droite)
r
r
r
norme de a b = a b sin a
• En composantes:
b
xˆ 3
r r xˆ1 a1 b1 a2b3a3b2
a b = xˆ 2 a2 b2 = a3b1a1b3
xˆ 3 a3 b3 a1b2a2b1 O xˆ 2
xˆ 1
déterminant
composantes
• Propriétés:
–
–
–
OS, 21 novembre 2006
Questions:
que vaut xˆ 1 xˆ 2 ?
que vaut xˆ 1 xˆ 3 ?
–
r
r r
r
Anti-commutativité:
ab = b
a
r
r
r
r r
r r
Distributivité:
a (b + c) = a b + a c
r
r
r r
Linéarité:
a ( br) = a b)
(
r
r
ab =0
Vecteurs parallèles:
77
Produit mixte et double produit vectoriel
• Produit mixte (= un «nombre»):
r r r c1 a1 b1
(a b) c = c2 a2 b2
c3 a3 b3
N.B: le signe du produit
mixte est conventionnel
déterminant
r r r r r r
(ar br) cr = (c a) rbr r
(a b) c = 0 a, b et c coplanaires (dans le même plan)
• Double produit vectoriel (= un vecteur):
r r r
r r r r r r
a (b rc) = (a c) b (a b) cr r
r
r
r
r r r r
a (b c) + b (c a) + c (a b) = 0
OS, 21 novembre 2006
perpendiculaire à a et
dans le plan de b et c
78
Description des rotations spatiales
• Une rotation spatiale est caractérisée par un axe de rotation
(dans l’espace) et un angle de rotation autour de cet axe
• Deux points de vue:
–Rotation d’un système physique dans un repère fixe:
–Système physique fixe décrit dans un repère en rotation
• Mouvement circulaire d’un point matériel
• Mouvement de rotation d’un solide sur lui-même (toupie, Terre, …)
• La description du mouvement d’un point matériel dans un référentiel donné
peut parfois être simplifiée si on choisit in repère en mouvement par
= rapport au référentiel
Théorème d’Euler:
Soit deux repères orthonormés droits
de même origine:
il existe toujours une rotation qui
amène le premier sur le deuxième
OS, 21 novembre 2006
yˆ 3
xˆ 1
xˆ 3
yˆ 2
O
yˆ 1
xˆ 2
démo repères
orthonormés
79
Rotation passive
r
r
yˆ 3
xˆ 3
Oˆx1 xˆ 2xˆ 3 Oˆy1 yˆ 2yˆ 3
Changement de repère
O
r
xˆ 1
par une rotation passive R: r fixe
yˆ 1
r
Coordonnées x1, x2, x3 d'un vecteur:
rr = x1 xˆ1 + x2xˆ 2 + x3xˆ 3
Coordonnées y1, y2, y3 du même vecteur: r = y1 yˆ 1 + y2yˆ 2 + y3yˆ 3
yˆ 2
xˆ 2
r
y1 = yˆ 1 r = yˆ 1(x1 xˆ1 + x2xˆ 2 + x3xˆ 3) = (yˆ 1xˆ 1 )x1 + (yˆ1 xˆ 2)x2 + (yˆ 1xˆ 3)x3 , etc ...
y1
y2 =
y 3
yˆ1 ˆx1 yˆ1 ˆx2 yˆ 1ˆx3 yˆ 2xˆ 1 yˆ 2xˆ 2 yˆ 2xˆ 3 yˆ ˆx yˆ ˆx yˆ ˆx 14
3 1
3 2
3 3
442
44
4
3
matrice de rotation Rp
x1
x =
x2
3
xˆ1ˆy1 xˆ1ˆy2 xˆ 1ˆy3 y1
xˆ 2yˆ 1 xˆ 2yˆ 2 xˆ 2yˆ 3 y2
xˆ ˆy xˆ ˆy xˆ ˆy y 14
3 1
3 2
3 3 3
4
42
44
4
3
matrice de rotation R1
p
OS, 21 novembre 2006
x1
x x2
3
(R p)ij = yˆ i xˆ j
(R1p )ij = xˆ i yˆ j = (R p) ji = (R Tp )ij
R1 = RT
Matrice orthogonale (|R| =+1)
80
Rotation active
r
r
r
r'
yˆ 3
xˆ 3
Rotation active des vecteurs:
O
Oˆx1 xˆ 2xˆ 3 Oˆy1 yˆ 2yˆ 3
xˆ 1
r
r
yˆ 1
r'
r
r
Avant rotation: r = x1 xˆ 1 + x2xˆ 2 + x3xˆ 3
r
Après rotation: r ' = x'1 xˆ 1 + x'2 xˆ 2 + x'3 xˆ 3 = x1 yˆ1 + x2yˆ 2 + x3yˆ 3
yˆ 2
xˆ 2
yˆ i = (xˆ 1yˆ i )xˆ1 + (xˆ 2yˆ i )xˆ 2 + (xˆ 3yˆ i )xˆ 3
composante de yˆ i sur xˆ 3
x'1
x'2 =
x' 3
xˆ1 ˆy1 xˆ1 ˆy2 xˆ 1ˆy3 x1
xˆ 2yˆ 1 xˆ 2yˆ 2 xˆ 2yˆ 3 x2
xˆ ˆy xˆ ˆy xˆ ˆy x 14
3 1
3 2
3 3 3
442
44
4
3
matrice de rotation Ra
r
r
amenant Oˆx1 xˆ 2xˆ 3 sur Oˆy1 yˆ 2yˆ 3 (et r sur r ')
= inverse de la matrice Rp permettant de passer
des coordonnées dans Oˆx1 xˆ 2xˆ 3 aux coordonées dans Oˆy1 yˆ 2yˆ 3
OS, 21 novembre 2006
81