D’accord ■ on refait la démonstration en utilisant des variables “primées” comme on le fait souvent en maths.
On considère :
E = {(x,y,z) ∈ R^3 | 2x + y - 6z = 0}
--# Étape 1 : Vecteur nul
On vérifie que (0,0,0) ∈ E
2·0 + 0 - 6·0 = 0
✔ donc 0 ∈ E
--# Étape 2 : Stabilité par addition (avec primes)
Soient deux vecteurs de E :
u = (x,y,z), v = (x',y',z')
avec :
2x + y - 6z = 0
2x' + y' - 6z' = 0
On calcule :
u+v = (x+x', y+y', z+z')
On teste dans l’équation :
2(x+x') + (y+y') - 6(z+z')
On développe :
(2x + y - 6z) + (2x' + y' - 6z')
Or chaque expression vaut 0 :
0+0=0
✔ donc u+v ∈ E
--# Étape 3 : Stabilité par scalaire
Soit k ∈ R et u = (x,y,z) ∈ E
2x + y - 6z = 0
On calcule :
ku = (kx, ky, kz)
On teste :
2(kx) + ky - 6(kz)
On factorise :
k(2x + y - 6z)
Comme 2x + y - 6z = 0, alors :
k·0=0
✔ donc ku ∈ E
--# Conclusion
Les trois propriétés sont vérifiées :
- vecteur nul ✔
- addition ✔
- multiplication scalaire ✔
■ Donc E est un sous-espace vectoriel de R^3.