La solution basique réalisable SBR est la solution augmentée d’un PEF.
Notons A = [aij] ; la matrice m × n des coefficients des premiers membres des contraintes explicites.
b le vecteur colonne m×1des seconds membres de ces contraintes.
c, le vecteur ligne 1 × n des coefficients de la fonction économique.
x, le vecteur colonne n × 1 des variables du PL.
la forme standars s’écrit alors :
{A.x = b ou (b ≥ 0) ; x ≥ 0 ; max z=c.x}
Le produit c.x est une matrice e de dimension 1x1 égal à z.
En désignant par Aj la jème colonne de la matrice A(j=1,2,…,n) le système des contraintes peut
s’écrire : x1A1+x2A2+….+xnAn=b.
Hypothèse : on peut extraire de A, m colonnes différentes qui forment une matrice carrée B.
Base
Par définition, une « base » d’un PL est un ensemble de m vecteurs colonne indépendants, extraits de
A. Ainsi si l’on découpe A en colonne :
et que l’on ait extrait de A les m colonnes d’indices j1, j2, c, …,jm, à la base B est associée une matrice
carrée m x m, de déterminant non nul :
Les variables de bases sont les variables xj1, xj2,….,xjm associés aux colonnes constituant la base, on
note xB, le vecteur colonne des m variables de base. Les n-m autres variables sont des variables hors
base.
Par permutation des colonnes de A, on place en tête (calées à gauche) les colonnes de base qui
forment la sous­matrice B, puis on place, immédiatement à droite de celles­ci, les colonnes hors base
(qui forment la sous­matrice N ). On permute dans le même ordre les variables ; ainsi A= (B, N) et
x 
x  B .
 xN 
 xB 
 =b
 xN 
Alors le système des contraintes A.x=b calculé par blocs, devient : (B,N). 
Soit B.xB+N.xN=b.
Théorème. À toute solution de base admissible correspond un sommet du polyèdre des solutions
admissibles et un seul.
Fonction économique
Matriciellement z peut s’écrire z = c.x
On peut aussi séparer, dans le vecteur c, les coefficients associés aux variables de base qui forment le
sous vecteur ligne 1 x m noté cB des autres coefficients qui, eux, sont associés aux variables hors base
et forment le sous vecteur colonne 1 x (n-m) noté cN.
 xB 
  cB . x B  c N . x N
 xN 
Ainsi z  c. x  (cB , cN ). 