TEOREMA DE BERNOULLI
por: Andrés L. Granados M., Junio/96
Lı́nea de Corriente
El teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), tal como es conocido en la actualidad, se basa en
la integración de las ecuaciones del movimiento de un fluido no viscoso a lo largo de una lı́nea de corriente.
Sin embargo, en esta oportunidad se hará la deducción del mismo teorema sin despreciar, en principio, los
efectos viscosos y considerando el recorrido por otros caminos.
Las ecuaciones del movimiento de un fluido viscoso (no necesariamente newtoniano) se expresa a través
de la ecuación de Cauchy como sigue
ρa = ρg + ∇.T
T = −P I + T
a=
∂v
+ v.∇v
∂t
(1)
considerando que los esfuerzos tienen un componente debido a la presión y otro debido a la viscosidad.
Uniendo todas las expresiones de (1) en una sola expresión queda que
∂v
∇P
∇. T
+ v.∇v = g −
+
∂t
ρ
ρ
(2)
El teorema de Bernoulli también se basa en el hecho de que todas las fuerzas de cuerpo o a distancia
g son del tipo conservativo, dependiendo de una función potencial ϕ. Se emplea también una identidad para
el campo de velocidades que involucra los conceptos de energı́a cinética especı́fica v2 /2 y de la vorticidad w.
Estas consideraciones se resumen en las siguientes expresiones
g = −∇ϕ
v.∇v = ∇
v2
2
+w×v
w =∇×v
(3)
Al substituir todas estas expresiones en (2) y, luego de reorganizar los términos, se obtiene que
2
v
∇. T
∇P
∂v
+∇
=
−w×v
+ ∇ϕ +
∂t
2
ρ
ρ
(4)
Multiplicando ahora toda la ecuación (4) por el diferencial dr de un recorrido cualquiera del dominio
de flujo para un instante t dado, resulta
2
∂v
v
1
1
· dr + ∇
· dr + ∇ϕ. dr + ∇P. dr = (∇. T ) . dr − (w × v) . dr
∂t
2
ρ
ρ
(5)
donde, al considerar que los términos con gradientes se convierten en diferenciales exactos, resulta
2
v
dP
1
∂v
· dr + d
+ dϕ +
= (∇. T ) . dr − (w × v) . dr
∂t
2
ρ
ρ
(6)
Nótese que hemos aplicado que para un campo escalar φ se satisface que ∇φ.dr = dφ. Luego, al integrar
entre el punto o que es origen del recorrido y un punto genérico x, queda que
x 2 x
x
x
x
x
v
∂v
dP
1
· dr +
=
(∇. T ) . dr − (w × v) . dr
d
dϕ + +
2
ρ
o ∂t
o
o
o
o ρ
o
1
(7)
Las integrales definidas de diferenciales exactas depende sólamente de los valores del integrando en los
puntos extremos. El resto de las integrales se convierten en integrales de lı́nea, es decir, dependen del camino
recorrido. De acuerdo a esto, la ecuación (7) se puede expresar convenientemente como
B(t, x) − Bo (t) = R(t, x) − W (t, x)
x
x
v2
∂v
dP
B(t, x) = · dr +
+ϕ+
2
ρ
o ∂t
o
Bo (t) =
vo2
+ ϕo (8)
2
donde B(t, x) se denomina el bernoulliano y Bo (t) = B(t, o) es el valor del bernoulliano en el punto o.
Los términos con los esfuerzos viscosos y con la vorticidad se han substituido con la siguiente definición de
variables
x
x
1
(∇. T ) . dr
W (t, x) = w × v. dr
R(t, x) = (9)
o ρ
o
donde R(t, x) se denomina el término de pérdidas viscosas y W (t, x) se denomina el término de vorticidad.
El término de pérdidas viscosas se anula cuando se satisfacen algunos de los siguientes casos
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
R(t, x) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
v=0
Hidrostática
∇v = 0
Flujo Uniforme ó Simetrı́a
μ=λ=0
Fluido Perfecto
(10)
El término de vorticidad se anula cuando se satisfacen algunos de los siguientes casos
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
W (t, x) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
v=0
Hidrostática
w = 0 Flujo Irrotacional
⎧
⎨ vw lı́neas de corriente y torbellino coinciden
w, v, dr Coplanares
vdr dr forma parte de una lı́nea de corriente
⎩
wdr dr forma parte de una lı́nea de torbellino
(11)
Ahora estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema
Teorema 1. Teorema de Bernoulli.
Si para un instante determinado t se satisface que R(t, x) = W (t, x) = 0 en un subdominio cualquiera
del flujo, entonces el Bernoulliano B(t, x) es uniforme, e igual a Bo (t), para dicho subdominio.
Demostración. La demostración de este teorema está conformada por la deducción hecha en las expresiones (1)-(11). El recı́proco de este teorema no es válido. Como puede observarse, el caso planteado al
principio, con un fluido perfecto y haciendo un recorrido sobre la lı́nea de corriente, es un caso particular del
teorema de Bernoulli tal como está expuesto aquı́ [Serrin,1959].
El caso hidrostático (v = 0) también es un caso particular del teorema de Bernoulli donde
x
dP
= ϕo
ϕ+
ρ
o
(12)
Esto es equivalente a la ecuación general de la hidrostática
∇P = −ρ ∇ϕ
obtenida de eliminar de la ecuación (4) los términos no válidos para este caso.
2
(13)
El caso de un fluido viscoso y haciendo el recorrido sobre una lı́nea de corriente es factible sólo cuando
existe la condición de perpendicularidad entre la divergencia del tensor de esfuerzo viscoso y el recorrido.
Esta situación, por ejemplo, se presenta en los flujos de Couette y de Poiseuille.
La ecuación de Bernoulli (4) para el flujo potencial transitorio se utiliza en la teorı́a de las ondas de
la superficie del océano y la acústica. Para un flujo irrotacional (w = 0), la velocidad del flujo se puede
describir como el gradiente v = ∇φ de un potencial de velocidad φ. En ese caso, y para una densidad
constante ρ, las ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler (no viscosas, T = 0) se pueden integrar
a [Batchelor,2000;§3.5]
P
∂φ v2
+
+ + ϕ = f (t)
(4 )
∂t
2
ρ
que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos no estacionarios o dependientes del tiempo.
Aquı́ ∂φ/∂t denota la derivada parcial del potencial de velocidad φ con respecto al tiempo t, y v = ∇φ es
la rapidez del flujo. La función f (t) depende sólo del tiempo y no de la posición en el fluido. Como resultado,
la ecuación de Bernoulli en algún momento t se aplica en todo el dominio del fluido. Esto también es cierto
para el caso especial de un flujo irrotacional estacionario, en cuyo caso f y ∂φ/∂t son constantes, por lo que
la ecuación (4 ) se puede aplicar en cada punto del dominio del fluido. Además, f (t) se puede hacer igual a
cero incorporándolo al potencial de velocidad usando la transformación
Φ = φ−
resultando en
t
to
f (τ ) dτ
P
∂Φ v2
+
+ +ϕ=0
∂t
2
ρ
(4 .a)
(4 .b)
Tenga en cuenta que la relación del potencial con la velocidad del flujo no se ve afectada por esta
transformación v = ∇Φ = ∇φ. La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece
desempear un papel central en el principio variacional de Luke, una descripción variacional de los flujos en
superficie libre que utiliza la mecánica lagrangiana.
Tubo de Corriente
Se denomina tubo de corriente a la superficie que recubre a un manojo de lı́neas de corriente. Llamemos
a la superficie A que es siempre perpendicular a las lı́neas de corriente superficie normal. El vector normal
unitario a dicha superficie en la dirección del campo de velocidades se denotará n. En un tubo de corriente
se puede definir entonces una superficie normal de entrada Ae y una superficie normal de salida As . La
superficie normal posee una frontera perimetral que denotaremos S = ∂A, cuya normal exterior, la cual es
tangente a A, se denotará η.
Para obtener la expresión de la ecuación de Bernoulli válida para un tubo de corriente es necesario
establecer las siguientes hipótesis:
• El fluido es incompresible.
• El tubo de corriente es rı́gido.
• Los cambios sobre la superficie normal son puramente hidrostáticos.
La primera hipótesis se establece para poder considerar que los resultados incluyen el esfuerzo cortante
(viscoso) en la pared del tubo de corriente. De otra forma tendrı́an que aparecer las potencias de estos
mismos esfuerzos como en la primera ley de la termodinámica para sistemas abiertos (Cap.VI). Por otro
lado, esta hipótesis facilita la manipulación de las ecuaciones de forma conveniente, puesto que el flujo
volumétrico a través de las superficies normales es siempre constante. Adicionalmente, esta hipótesis ofrece
una manipulación más sencilla para el término de presión sin tener que considerar las variaciones de la
densidad sobre las superficies normales. Finalmente, esta hipótesis permite eliminar la forma bilinear n.T .n
por ser T un tensor puramente desviatorio.
3
La segunda hipótesis se establece para no tener que considerar los cambios que pueden haber en las
superficies normales dentro del término transitorio. Esto cambios harı́an las expresiones resultantes difı́ciles
de calcular, puesto que se tendrı́an que calcular las velocidades relativas del flujo a través de las paredes del
tubo de corriente, el flujo neto a través de las superficies normales de entrada y de salida, y la acumulación
del fluido dentro del tubo. Adicionalmente, esta hipótesis hace más factible la tercera hipótesis, la cual serı́a
prácticamente imposible de cumplir sin satisfacer la segunda. En los casos no establecidos por estas hipótesis,
es preferible emplear el principio de conservación de la energı́a total o, equivalentemente, la primera ley de
la termodinámica para sistemas abiertos [Granados,2022].
La tercera hipótesis se establece para poder extraer de la integral sobre la superficie normal los términos
hidrostáticos dϕ + dP/ρ. Esto es posible si se considera que la variación de los términos hidrostáticos a lo
largo de las lı́neas de corriente es independiente de la posición de estas a través de la superficie normal. Esto
último se demuestra considerando que no existe aceleración ni efectos viscosos sobre las superficies normales
y se aplica la ecuación de Euler sobre las mismas.
Multiplı́quese ahora la expresión (4) por el vector normal n
∂ v2
1
∂v
∂ϕ 1 ∂P
.n +
+
= (∇. T ). n − w × v. n
(14)
+
∂t
∂r 2
∂r
ρ ∂r
ρ
Nótese que se ha aplicado la regla ∇ϕ.n = ∂ϕ/∂r, donde r es la coordenada longitudinal sobre una lı́nea de
corriente. El término con la vorticidad w se elimina por ser n paralelo a v. Vamos a integrar a lo ancho de
la superficie normal A y a lo largo de la lı́nea de corriente que pasa por los centroides c de área de todas las
superficies normales. Ası́ se obtienen para los diferentes términos de (14) los siguientes resultados. El primer
término de (14) da
s
s
s
1
∂v
∂
∂U
· n dA dl = dl
U=
v.n dA dl =
A
v.n dA
(15)
∂t
A A
e
e ∂t A
e
A ∂t
donde U es la velocidad de flujo promedio en la superficie normal. El segundo término de (14) da
s
s
s 2
s v
αv U 2 A
∂ v2
d
d αv U 2 A
dA dl = αl dA dl = αl dl = αl
2
2
2
2
e
e dl A
e dl
A ∂r
e
(16)
donde αl es un coeficiente de correción para poder intercambiar el orden de integración entre las superficies
normales y las lı́neas de corriente, siendo un valor medio para todo el recorrido. El coeficiente αv , definido
como
1
v2 dA
(17)
αv = 2
U A A
corrige el efecto del perfil de velocidades en la sección del tubo de corriente, puesto que al final aparece el
cuadrado de la velocidad promedio U y no el promedio de la velocidad al cuadrado. El tercer término de
(14) da
s s s
∂ϕ 1 ∂P
dϕ 1 dP
dPc
+
+
A dl = A dϕc +
(18)
dA dl = ρ ∂r
dl
ρ dl c
ρc e
e
e
A ∂r
donde los valores de los términos hidrostáticos se han evaluado en c , punto cercano a los centroides c de las
superficies normales en la medida que el comportamiento del integrando sea más lineal en la sección A. El
penúltimo término, que está en el miembro de la derecha de (14), da
s
s
s
1
1
1
(∇. T ) . n dA dl = ∇ . (T . n) dA dl − T : ∇n dA dl
ρ
ρ
ρ
e
e
e
A
A
A
s
s
s
1
1
1
=
η. T .n dS dl + (∇.n) n . T . n dA dl − T : ∇n dA dl
ρ
ρ
ρ
e
e
e
S
A
A
s
s
τw S
1
= −
T : [ nn (∇.n) − ∇n ] dA dl
(19)
dl + ρc e
e
A ρ
4
donde a la primera integral se le ha aplicado el teorema de la divergencia, siendo τw el módulo del esfuerzo
cortante promedio en la pared del tubo de corriente, y el cual se opone perimetralmente al movimiento.
En el caso de flujo incompresible, el producto T : nn se anula debido a que el tensor de esfuerzo posee
sólamente parte desviatoria. En el caso de que A sea plana, toda la segunda integral de la derecha se anula.
Cuando los desarrollos de todos los términos (15)-(19) se colocan juntos, entonces finalmente se obtiene
s s s
s
αv U 2 A
∂U
τw S
dPc
A dl + αl
+ A dϕc +
dl
(20)
= −
∂t
2
ρ
ρc c
e
e
e
e
Veremos ahora cual serı́a el resultado obtenido en el caso de haber multiplicado la expresión (4) por
el vector velocidad v = vn. Primeramente, la expresión (14) cambiarı́a a la forma
∂ v2
1 ∂P
1
∂v
∂ϕ
.v +
v+
v = (∇. T ). v
(21)
v+
∂t
∂r 2
∂r
ρ ∂r
ρ
Nótese que se ha aplicado la regla ∇ϕ.v = v ∂ϕ/∂r, donde r es de nuevo la coordenada longitudinal sobre
una lı́nea de corriente, siendo v el módulo del vector velocidad. El término con la vorticidad de nuevo se
eliminó por ser n paralelo a v. Vamos a integrar a lo ancho de la superficie normal A y a lo largo de la lı́nea
de corriente que pasa por los centroides c de área de todas las superficies normales. Ası́ se obtienen para los
diferentes términos de (21) los siguientes resultados. El primer término da
s
s
2
s
s
v
∂v
∂
∂ αv U 2
∂
· v dA dl = (22)
dA dl = A
dl = U A (αv U ) dl
∂t
∂t
2
∂t
2
∂t
e
e
e
e
A
A
donde U es de nuevo la velocidad de flujo promedio en la superficie normal y αv al igual que antes corrige el
efecto que produce tener el la velocidad promedio al cuadrado y no el promedio de la velocidad al cuadrado.
El segundo término da
s 3
s
s
v
∂ v2
∂ v3
d
v dA dl = dA dl = αl dA dl
∂r
2
∂r
3
dl
3
e
e
e
A
A
A
s
s αc U 3 A
d αc U 3 A
(23)
= αl dl = αl
3
3
e dl
e
donde αl es un coeficiente de correción para poder intercambiar el orden de integración. Este coeficiente es
en general diferente a αl en el desarrollo (16), pero cuando el tubo de corriente tiene área constante se tiene
que αl = αl = 1. El coeficiente αc , definido como
1
αc = 3
v2 v. n dA
(24)
U A A
corrige el efecto del perfil de velocidades en la sección del tubo de corriente, puesto que aparece el cubo de
la velocidad promedio y no el promedio de la velocidad al cubo. El tercer término da
s s
s
∂ϕ 1 ∂P
∂ϕ 1 ∂P
dPc
+
+
U A dl = U A dϕc +
(25)
v dA dl = ρ ∂r
∂r
ρ ∂r c
ρc e
e
e
A ∂r
donde los valores de los términos hidrostáticos se han evaluado en los centroides c de las superficies normales.
El último termino, que está en el miembro de la derecha da
s
s
s
1
1
1
(∇. T ) . v dA dl = ∇ . (T . v) dA dl − T : ∇v dA dl
ρ
ρ
ρ
e
e
e
A
A
A
s
s
s
1
1
1
η. T .v dS dl + (∇.n) n . T . v dA dl − T : ∇v dA dl
=
e
e
e
S ρ
A ρ
A ρ
s
s
τw vw S
1
T : [ vn (∇.n) − ∇v ] dA dl
(26)
dl + = −
ρc e
e
A ρ
5
donde a la primera integral se le ha aplicado de nuevo el teorema de la divergencia, siendo τw y vw los
módulos de los promedios del esfuerzo cortante y la velocidad tangencial en la pared del tubo de corriente,
respectivamente, estando ambas cantidades definidas en la dirección que se opone al movimiento.
En el caso incompresible, el producto de la segunda integral T : vn se anula debido a que el tensor de
esfuerzo posee sólamente parte desviatoria y además v posee la misma dirección que n. En el caso de que A
sea plana, dicho término también se anula. Cuando los desarrollos de todos los términos (22)-(26) se colocan
juntos, entonces finalmente se obtiene
s s s
s
αc U 2
vw
∂
1 τw S
dPc
(αv U ) dl + αl
+ Cµ dl
+ dϕc +
= −
3
ρc A
U
e ∂t
e
e ρc e
(27)
donde se ha eliminado el factor común U A por ser esta cantidad constante a lo largo del tubo de corriente a
causa de que el fluido es incompresible. La integración de la función de disipación viscosa Φµ se substituye
por la potencia del trabajo viscoso τw S U mediante el uso del coeficiente Cµ , definido como
Cµ =
1
τw S U
A
Φµ = T : ∇v = T : D ≥ 0
Φµ dA
(28)
El término con Cµ en (27) integrado dentro de todo el tubo de corriente entre la entrada e y la salida s
representa la potencia del trabajo Ẇµ− cedido por el sistema material en forma de calor Q̇µ , como lo indica
la siguiente expresión
Ẇµ− = −
Vm
T : ∇v dV = −
Vm
Φµ dV = −Q̇µ
(29)
La relación vw /U entre la velocidad en la pared y la velocidad promedio representa un factor del deslizamiento
ocurrido en la superficie lateral del tubo de corriente.
La tabla 1 presenta las expresiones válidas para una tuberı́a de sección circular constante, por lo que el
flujo está desarrollado, y donde se cumple la condición de no deslizamiento en la pared de la misma. El régimen
del flujo puede se laminar o turbulento. Para el régimen laminar se ha usado el perfil de velocidades parabólico
que se obtiene al integrar las ecuaciones de Navier-Stokes con las condiciones de borde correspondientes. Para
el régimen turbulento se ha empleado el perfil de velocidades que sigue una ley de potencia. La tabla 2 presenta
valores caracterı́sticos de las variables mostradas en la tabla 1.
En las tabla 1 y 2 se ha empleado para el esfuerzo cortante τ , en la tuberı́a con un flujo turbulento,
un valor ofrecido por el factor de fricción f a través del esfuerzo cortante en la pared τw . Esto se ha hecho
ası́ debido a que el perfil de velocidad que sigue la ley de potencia posee una derivada de la velocidad que es
infinita en la pared de la tuberı́a (r = R) y no posee una derivada nula en el eje de la tuberı́a (r = 0). El factor
de fricción en una tuberı́a con estos perfiles se puede correlacionar mediante la correlación de Colebrook para
tuberı́as lisas o mediante la fórmula simplificada f = 1/n2 cuyos resultados son estimativos de la primera
correlación, la cual se supone precisa. La correlación estimativa fue la que se empleó para obtener los valores
de Cµ en la tabla 2, sin incluir la influencia del factor con ro (τt ≈ τ para r < ro y τt ≈ 0 para r > ro ).
La tabla 2 no presenta los valores de IRe ni de Cµ para n = 5, puesto que este valor de n no existe
fı́sicamente en régimen turbulento para ningún valor del número de Reynolds. Obviamente, para este caso
tampoco se ha podido obtener el valor de Cµ , ya que este depende del número de Reynolds como se indica
al final de la tabla 1.
6
Tabla 1. Fórmulas para el flujo en un sección circular constante.
Variables
Perfil de
Velocidades
Laminar
Velocidad
Promedio
U=
Coeficiente
de Velocidad
1
αv = 2
U A
Coeficiente
de Energı́a
Cinética
Esfuerzo
Cortante
1
A
1
αc = 3
U A
Fricción
Función de
Disipación
Coeficiente
de Disipación
αv =
v2 v.n dA
αc = 2
A
αc =
U r
τt = 0
R R
dv
dr r=R
τw = 4 μ
4τw
f = 4 Cf = 1
2
2ρ U
64
f=
IRe
dv
dr
Φµ (r) = τ
Cµ =
1
τw U S
U2
Φµ = 16 μ 2
R
A
r
R
τt = ρ vr vz
τw =
f
ρ U2
8
√ 2 −2
1
IRe f
f = log
≈ 2
2.52
n
r
R
2
Φµ dA
(n + 1)3 (2n + 1)3
4 n4 (n + 3) (2n + 3)
τ = τw
U
R
1
r n
1−
R
(n + 1) (2n + 1)2
4 n2 (n + 2)
αv =
τw = μ
τ = 4μ
v
=
Uc
U
2n2
=
Uc
(n + 1) (2n + 1)
4
3
v2 dA
A
2
U
1
=
Uc
2
v.n dA
r
R
dv
+ τt
dr
en la Pared
Factor de
A
τ (r) = μ
Esfuerzo
Cortante
v
= 1−
Uc
v = v(r)
Turbulento
Cµ = 1
Φµ =
τ (τ − τt )
μ
f IRe
Cµ ≈
1−
64
ro
R
4
Para el cálculo de Φµ turbulento, una forma alternativa puede ser la original, donde
dv
Φµ = τ
dr
τ = τw
r
R
r
f
= ρ U2
8
R
r
dv
Uc
1−
=
dr
nR
R
1−n
n
Uc
=
nR
v
Uc
1−n
(28.b )
siendo el esfuerzo viscoso τ escalado linealmente a partir de la pared (equilibrio de fuerzas) y la derivada
|dv/dr| del perfil de velocidades obtenida a partil de la ley de potencia. Estas expresiones permiten también
obtener el esfuezo turbulento τt = τ − μ |dv/dr|.
7
Tabla 2. Factores para el flujo promedio en una sección circular constante.
Laminar
IRe
Turbulento
< 2× 103
n
4.0× 103
1.1× 105
3.5× 105
106
3.2× 106
5
6
7
8
9
10
U/Uc
0.500
0.758
0.791
0.817
0.837
0.853
0.866
αv
1.333
1.037
1.027
1.020
1.016
1.013
1.011
αc
2.000
1.106
1.077
1.058
1.046
1.037
1.031
Cµ
1
1.736
35.076
85.449
192.901
500.0
Vamos a aplicar las expresiones (20) y (27) para el caso particular de sección circular constante, con
lo cual se obtiene
2 s s s
s
U
∂U
1 τw S
dPc
dl + αv
+ dϕc +
= −
dl
(30)
2 e
ρc A
e ∂t
e
e ρc 2 s s s
s
U
2
∂U
1 τw S
dPc
dl + αc
+ dϕc +
= −Cµ dl
(31)
αv 3
2 e
ρc A
e ∂t
e
e ρc donde, debido a que el flujo es incompresible (ρc = ρ = cte), los términos hidrostático y de pérdidas viscosas
son
s
s
s
1 τw S
dPc
Pc
τw S L
(32)
= ϕc +
dϕc +
dl =
ρ
ρ
ρ
A
ρA
c
c
c
e
e
e
respectivamente. Nótese que se ha supuesto que el esfuerzo cortante en la pared τw es constante a lo largo
de la tuberı́a de longitud L. Esto concuerda con el hecho de que, en una tuberı́a de sección constante con
flujo incompresible, el gradiente de presión en la dirección del eje de la tuberı́a es constante. Esta propiedad
también se considera igualmente válida para el perfil de velocidades.
Comparando las expresiones (30) y (31) se observa que los coeficientes que afectan a el término transitorios, el término de energı́a cinética y el término de pérdida viscosa no son iguales para una expresión y
para la otra, con la excepción del término de energı́a cinética para el régimen laminar, donde si se cumple
que αv = 2αc /3. Sin embargo, para régimen turbulento se tiene que αv ≈ αc ≈ 1. El valor del coeficiente Cµ
en la expresión (31) coincide con la expresión (30) en el régimen laminar. Sin embargo, difiere enormemente
de la unidad en la medida que el número de Reynolds aumenta.
Aunque las expresiones (30) o (31), cualquiera de las dos se considere válida, se desarrollaron para el
flujo incompresible, se han escrito en la forma expuesta para poderlas usar como un aproximación del flujo
compresible. Esto se justifica si consideramos que localmente el flujo es incompresible en una tuberı́a de
longitud dL y luego realizamos la integración a lo largo de la lı́nea de corriente que recorre los centroides de
las superficies normales.
Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia aplicado anteriormente se deriva bajo la condición de que las superficies
son curvadas y poseen una curvatura media κ (considerada positiva si n apunta hacia el centro medio de
curvatura y en caso contrario negativa). El teorema de la divergencia en este caso se expresa como
η.φ dL =
[ ∇. φ − (∇. n) n.φ ] dA
2κ = −(∇. n)
(33)
L
A
8
REFERENCIAS
[1] Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967. 19th
Printing, 2000.
[2] Bernoulli, D. “Theorema de Motu Curvilineo Corporum, Quæ Resitentiam Patiuntur Velocitatis sue
Quadrato Proportionalem”, Comm. Acad. Petrop., Vol.V, 1730/1731, (1738)
[3] Bernoulli, D. Hydrodynamics by Daniel Bernoulli & Hydraulics by Johann Bernoulli. Dover
Publications (New York), 1968.
[4] Granados M., A. L. Mecánica y Termodinámica de Sistemas Materiales Continuos, Fundamentos, Aplicaciones y Fenómenos. Universidad Simón Bolı́var (ISBN 980-07-2428-1), Departamento
de Mecánica, 1999. Corregido Agosto, 2022.
[5] Serrin, J. “Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics”. Encyclopedia of Physics. Ed.
S. Flügge. Vol.VIII/1, pp.125-263. Springer-Verlag, 1959.
9