1. Площадь параллелограмма, ромба
1. В треугольник АВС вписан ромб DECF так, что вершина Е лежит на
отрезке ВС, вершина F лежит на отрезке АС и вершина лежит на
отрезке АВ. Найдите сторону ромба, если BC=12, AC=6.
2. На сторонах АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD взяты точки
соответственно М, N, К и L, причем АМ: MB=CK:KD=1:2, a BN: NC =
DL: LA = 1: 3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого
лежат в пересечении отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь
параллелограмма ABCD равна 1.
3.В параллелограмме острый угол 60°, периметр 24 см и большая
диагональ 4√7 см. Найдите площадь параллелограмма.
4. Высота параллелограмма делит одну из сторон на отрезки 4 см и 6
см. Угол между двумя высотами, проведенными из одной вершины
тупого угла равен 600 . Вычислите площадь параллелограмма
5.Высота ромба 12 см,а одна из его диагоналей равна 15 см. Найти
площадь ромба.
6. Большая сторона параллелограмма равна 8 см и одна из диагоналей
равна одной из сторон; один из углов параллелограмма равен 45°.
Найдите площадь параллелограмма.
7. Периметр параллелограмма равен 2 дм 8 см; высоты, проведенные из
одной вершины, равны 2 см и 5 см. Найдите площадь
параллелограмма.
8. Периметр ромба равен 6 дм и одна из диагоналей на 6 см длиннее
другой. Найдите площадь ромба.
9. Одна из диагоналей ромба на 6 мм меньше другой диагонали.
Найдите длины этих диагоналей, если площадь ромба равна 0,2 см².
2. Площадь треугольника
1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,
равна 12 и делит прямой угол в отношении 1: 2. Найдите площадь
треугольника.
2. Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Найдите высоту,
проведенную к большей стороне.
3. Стороны треугольника площади 1 разделены в отношении 3: 1 по
часовой стрелке. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках
деления.
4. Точка М лежит на боковой стороне АС равнобедренного треугольника
АВС с основанием ВС, причем BM=BC Найдите МС, если BC=1 и AB=2.
5. В треугольнике АВС проведены высоты B𝐵1 и C𝐶1 . Найдите В1 𝐶1 ,
если угол ∠A=60° и BC=6.
6. Медиана AD остроугольного треугольника АВС равна 5. Проекции
этой медианы на стороны АВ и АС равны 4 и 2√5 соответственно.
Найдите сторону ВС.
7. Две стороны треугольника равны 2√2 и 3, площадь треугольника
равна 3. Найдите третью сторону.
8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14,
а биссектриса угла между ними равна 12.
9. Дан треугольник АВС. Из вершины проведены медианы АМ и ВР.
Известно, что ∠APB = ∠BMA,cos ∠ACB = 0,8 и BP = 1. Найдите площадь
треугольника АВС.
10. Внутри правильного треугольника имеется точка, удаленная от его
вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь треугольника.
3. Площадь трапеций
1. Найдите площадь трапеции со сторонами, равными 10, 10, 10 и 26.
2. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12,
если известно, что центр ее описанной окружности лежит на большем
основании.
3. Основания трапеции равны 3 и 5, одна из диагоналей
перпендикулярна боковой стороне, а другая делит пополам угол при
большем основании. Найдите площадь трапеции.
4. Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Найдите площади
треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.
5. В трапеции ABCD даны основания AD=12 и BC=8. На продолжении
стороны ВС выбрана такая точка М, что CM=2,4. В каком отношении
прямая АМ делит площадь трапеции ABCD?
6. В трапеции ABCD угол ADB в два раза меньше угла АСВ, BC=AC=5,
AD=6. Найдите площадь трапеции.
7. В равнобокой трапеции основания равны 40 и 24, а ее диагонали
взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
8. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
9. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6.
Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите
площадь трапеции.
10. Найдите площадь трапеции:
а) с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12;
б) с основаниями 6 и 3 и диагоналями 7 и 8.
11. Найдите площадь трапеции:
а) с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4;
б) с основаниями 16 и 44 и боковыми сторонами 17 и
4. Треугольник и окружность
1. Периметр треугольника АВС равен 8. В треугольник вписана
окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне АВ.
Отрезок этой касательной, заключенный между сторонами АС и СВ,
равен 1. Найдите сторону АВ.
2. Из точки А, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности
радиуса 3, проведены две секущие АКС и ALB, угол между которыми
равен 30°. Найдите площадь треугольника AKL, если площадь
треугольника АВС равна 10.
3. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит
на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD=2, BD=1,
DC=√2. Найдите площадь треугольника АВС.
4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со
сторонами 13, 14, 15.
5. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены
высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь
треугольника АВС равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а
PQ=2√2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
АВС.
6. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон
треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите
две другие стороны треугольника.
7. Вершины треугольника соединены с центром вписанной
окружности. Проведенными отрезками треугольник разделился на три
части, площади которых: 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.
8. В треугольнике АВС известно, что AB=6, BC=4, AC=8. Биссектриса
угла С пересекает сторону АВ в точке D. Через точки А, D и С
проведена окружность, пересекающая сторону ВС в точке Е. Найдите
площадь треугольника ADE.
9. В остроугольном треугольнике АВС с углом С, равным 30°, высоты
пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АМВ, если
расстояния от центра окружности, описанной около треугольника АВС,
до сторон ВС И АС соответственно равны √2и √3
10. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Окружности,
вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются стороны АС в точках
М и N соответственно. Известно, что AM=3, MD=2, DN=2, NC=4
Найдите стороны треугольника ABC.
5. Четырехугольник и окружность
1. Окружность касается сторон АВ и AD прямоугольника ABCD и
проходит через вершину С. Сторону DC он пересекает в точке N.
Найдите площадь трапеции ABND, если AB=9 и AD=8.
2. Основания равнобокой трапеции равны 9 и 21, высота равна 8.
Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
3. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD. Известно,
что AB=BC, площадь треугольника BCD в два раза меньше площади
треугольника ABD, ∠ADC =120°, Найдите все стороны
четырехугольника ABCD.
4. В окружность диаметра 1 вписан четырехугольник АВСD, у которого
угол D прямой, АВ = ВС. Найти площадь четырехугольника АВСD,
если его периметр равен 9√2 5 . Ответ. 𝟖 𝟐𝟓
5. В окружность диаметра 10 вписан четырехугольник АВСD, у
которого угол D прямой, АВ : ВС = 3:4. Найти периметр
четырехугольника АВСD, если его площадь равна 44. (ответ 14+6√5)
6. Около четырехугольника ABCD описана окружность. AB=3, ВC=4,
СD=5 и AD=2. Найдите AC. (√299/11) 4. (МГУ, психфак)
Четырехугольник АВСD вписан в окружность. AB=9, CD=4, AC=7,
BD=8. Найдите площадь четырехугольника АВСD. (ответ 1820√21 341 )
7. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Диагонали АС и BD
перпендикулярны и пересекаются в точке К. Известно, что AD=5,
ВС=10, ВК=6. Найдите площадь четырехугольника АВСD. (ответ 55)
6. Метод площадей
1. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого
четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите
площадь четырехугольника.
2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
выпуклого четырехугольника, равны между собой. Найдите площадь
четырехугольника, если его диагонали 8 и 12.
3. Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD, площадь
которого равна 28, пересекаются в точке О. Через середины отрезков
ВО и DO проведены прямые, параллельные диагонали АС. Найдите
площадь части четырехугольника, заключенной между этими прямыми.
4. В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ
перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь
треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника АВС.
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и ДСЕ
равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD=3
Найдите сторону ВС.
7. В трапеции АВСD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны,
∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон АВ и DC пересекаются в
точке К, образуя угол AKD, равный 30°. Найдите площадь треугольника
AKD, если площадь трапеции равна Р.
10. Медианы АN и ВМ треугольника АВС равны 6 и 9 соответственно и
пересекаются в точке К, причем угол АКВ равен 30°. Найдите площадь
треугольника АВС.