РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО
РАЗВИТИЯ
ИССЛЕЛОВАТЕЛЬСКИХ
СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ
О.И. Терещенко. Н.С. Искрицкая, Н.В. Пикуза
Очень важно приучить учащихся решать задачи
по математике разными способами и выработать у них
умения выбирать наиболее рациональные из них. Как
показал опыт работы с учащимися лицейских классов.
это способствует развитию такой черты характера, как
самокритичность, которая необходима любому
человеку в его Практической деятельности.
Развитие
творческих
способностей
и
самокритичности у подрастающего поколения - две
неразрывные стороны одного явления.
Известный математик и педагог Д. Пойа
считает, что для того, чтобы решать математические
задачи, недостаточно овладеть методом, а необходимо
догадаться, какой метод использовать, что является
важной чертой исследования и характеризуется не
скоростью нахождения ответа, а множеством путей его
получения.
Очевидным является то, что решать одну и ту
же задачу разными способами учащиеся сами не
научатся. Их следует этому учить. Сначала мы
подбираем задачи по изучаемой теме и решаем их в
классе всеми доступными для учащихся способами.
Позже такие задачи одним из способов решаются в
классе, а другими способами учащиеся решают их
дома. Приведем примеры.
Пример. На уроке учитель предложил решить
следующую задачу: «Полукруг радиуса r разделен на
три равные части и точки деления соединены с
концом диаметра. Определить площадь средней части
полукруга».
Учащиеся, анализируя условия, пришли к
выводу, что решать данную задачу можно так:
Рис. 1
1. определить площадь сегмента СhД, сектора
АОВ и треугольника ВОД;
2. от числа, выражающего площадь полукруга,
вычесть
число,
которое
равно
плошадей названных трех фигур, т.е.
сумме
𝑠=
𝑟 2 √3
4
𝜋𝑟 2
2
)=
− ((
𝜋𝑟 2
6
𝜋𝑟 2
6
−
𝑟 2 √3
𝜋𝑟 2
4
6
(кв.ед.)
)+
+
Решение. 1-ый способ:
Учитель не запрещал учащимся решать таким способом данную задачу, но предлагал им
дома решить эту же задачу проще, обратив внимание на то, что фигура, площадь которой мы
ищем, и сектор ОВmС - равновелики. Большинство учащихся справились с домашним заданием
причем доказали равновеликость фигур разными способами. Приведем их рассуждения.
1- ый способ. ВС II АД, т.е. ∠СВД = ∠ВДА как вписанные углы, опирающиеся на равные
между собой дуги. Треугольники ВОС и ВДС равновелики, так как они имеют общую сторону
ВС и равные между собой высоты. Это и доказывает равновеликость фигуры ДВтС и сектора
ОВтС
2- ой способ. ∆АВОМ=∆СМД, т.к. ∠ВМО = ∠СМД как вертикальные.
∠ОСД = 60°,
/вое = 60°, ДВДС = 30°, ДСМД = ^ВМО = 90°,
т.е.
1
3
5
7
9
2
4
6
8
100
А= ∗ ∗ ∗ ∗ … ∗
1
А < 101А ; 𝐴2
<
1
1
<
101
100
2
4
8
100
3
5
9
101
< ∗ ∗ ∗ …∗
;𝐴 <
1
= 3∗5∗7∗9∗…∗101
⁄2∗4∗6∗8∗…∗100
=
1
101А
;
1
10.
Решение. 2-ой способ:
треугольники ВМО и МСД прямоугольные. Кроме того, ОМ=МС=r/2.
∆ВМО=∆МСД. что и доказывает равновеликость фигуры ДВmC и сектора ОВтС.
Итак,
1
3
5
7
99
2
4
6
8
100
А= ∗ ∗ ∗ ∗ … ∗
А раз это так, то площадь искомой фигуры легко найти как шестую часть площади круга:
𝑆=
𝜋𝑟 2
6
.
Возьмём обе части данного равенства в квадрат:
Позже такие задачи мы решаем одним способом в классе и указываем на то, что данную
задачу можно решить и другими способами. Предлагаем учащимся отыскать эти способы дома.
Те, кот нашел другие пути решения задачи, мы поощряем. Опыт работы с учащимися убеждает
1
нас в целесообразности такой работы.
101
Приведем еще несколько примеров.
Пример №1. Доказать неравенство:
1
32
2
4
А2= 2 ∗
<
1
101;
∗
52
6
А<
∗
1
72
82
∗ …∗
92
1002
<
1
22 −1
∗
32
42 −1
∗
52
62 −1
∗ …∗
99
1002 −1
=
1
1∗3
∗
32
3∗5
∗
52
5∗7
∗
72
7∗9
∗ …∗
10
Пример №1. Доказать неравенство:
10
1
1
1
а
в
с
(а + в + с)( + + ) ≥ 9.если а> 0, в> 0, с > 0.
1 3 5 7
99
1
∗ ∗ ∗ ∗…∗
< .
2 4 6 8
100 10
1-ый способ. Докажем данное неравенство методом от противного.
992
99∗101
=
1
101
; А2 <
1
1
1
вс+ас+ва
а
в
с
авс
Предложение: пусть (а + в + с) ( + + ) < 9, тогда (а + в + с) (
) − 9 < 0;
авс + а2 с + а2 в + в2 с + авс + ав2 + вс2 + ас2 + авс − 9авс
< 0;
авс
Или
с(а−в)2 +в(а−с)2 +а(в−с)2
авс
< 0, что невозможно.
2-ой способ: Доказательство проведём из истинных неравенств:
а+в+с
3
≥ 3√авс;
1 1 1
а +в + с
3
3
1
1
1
≥√ ∗ ∗
а в с
Перемножим почленно эти неравенства:
1+1+1
а+в+с √
≥ авс; а в с
3
3
3
3
1 1 1
1 1 1
≥ √а ∗ в ∗ с ∗ а + в + с или(а + в + с) (а + в + с ) ≥ 9.
Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля, можно решать
различными спосабами, используя или определения модуля на языке
алгебры, или геометрическую интерперенцию модуля, или графически, или
используя свойства модуля, в частности, |а + в| 10≤ |а| + |в|, |а + в| =
|а − в|, если ав ≥ 0.
Пример №3.Решите уравнение
Решение. 1-ый способ
|а − в| + |х − 2| = 1
Используя геометрическую интерпретацию модуля, мы можем
данное уравнение переформулировать так: но координатной
прямой
(191стр)