Problème no. 1 (25 points)
Dans une usine de décontamination, nous avons le système de réservoir suivants :
a) Écrire l’équation di érentielle permettant de modéliser la quantité de polluant dans
le réservoir A (3 points) et résolvez cette équation di érentielle (3 points)
b) Écrire l’équation di érentielle permettant de modéliser la variation de volume dans
le réservoir B (2 points)
c) Écrire l’équation di érentielle permettant de modéliser la quantité de polluant dans
le réservoir B (4 points) et résolvez cette équation di érentielle (4 points)
d) À quelle instant le volume du réservoir B atteint 200 litres ? (3points) Calculer la
quantité de polluant dans le réservoir A (3 points) et B (3 points) au moment où le
réservoir B atteint 200 litres.
Problème no.2 (20 points)
Une masse m = 1kg attachée a un ressort de rigidité k = 16 est mise en mouvement à l’aide
d’une force F(t) = 3sin(4t). En supposant qu’il n’y a pas d’amortissement et des conditions
initiales nulles :
a) Trouver la solution complémentaire yc(t) correspondant (5 points)
b) Trouver la solution complémentaire yp(t) correspondant (5 points)
c) Trouver la solution générale y(t) correspondant en tenant compte des conditions
initiales (5 points)
d) Dans ce problème, est-ce que le mouvement de la masse est stable ou instable ?
Justifier votre réponse (5 points)
Problème no.3 (15 points)
Soit l’équation di érentielle suivante :
4𝑦
+ 𝑦 − 18𝑦 + 13𝑦 = 𝑒
a) Sachant que r1 = 1 est une racine double, trouver les deux autres racines (5 points)
b) Trouver la solution complémentaire yc(t) correspondante (5 points)
c) Trouver la solution particulière yp(t) correspondante (5 points)
Problème no.4 (10 points)
Trouver les transformées inverses de Laplace des fonctions suivantes :
a)
𝐹 (𝑠) =
b)
𝐹 (𝑠) =
(
)(
)
(
(
)
)
(6points)
(4 points)
Problème no.5 (20 points)
Un bâtiment à deux étages est modélisé comme indiqué sur la Figure ci-dessous. Les
colonnes ont une rigidité identique k1 = k2 = 3 et les masses des deux étages sont aussi
identiques, m1 = m2 = 1
Supposons une charge de vent F(t) = sin(t) est appliquée à chaque étage. (Ne pas tenir
compte de l’e et des poids des masses à l’état statique)
a) Écrire les deux équations di érentielles de chacune des masses m1 et m2 (8 points)
b) En supposant des conditions initiales nulles pour les deux masses, et en utilisant
la méthode des transformées de Laplace, trouver les solutions U1(t) et U2(t) en
fonction des constantes des fractions partielles, c’est-à-dire ne calculez pas les
valeurs des constantes des fractions partielles (12 points)
Problème no. 6 (10 points)
Les extrémités d’une tige métallique de longueur L = 100 cm et de di usivité thermique α =
1 sont soumises à des températures de 0͘°c, c’est-à-dire T(0,t) = T(L,t) = 0͘°c. Sachant que
la distribution de la température t = 0, est T(x,0) = 100sin( 𝑥) − 50sin (3 𝑥). Notez que la
température maximale de la tige est au centre de la tige et elle égale à 150°c. Trouver, à
l’aide des séries de Fourier, l’équaiton de la température dans la tige pour 𝑡 > 0 (7 points).
Calculer la température de la tige à 𝑥 = après 100 secondes (3 points)
Problème bonus (10 points)
Trouver les transformées de Laplace des fonctions suivantes :
a) 𝑓(𝑡) = sin (𝑎𝑡 + 𝑏) Utiliser l’intégrale de la transformée de Laplace (5 points)
b) 𝑓(𝑡) = cos(𝑡) + sin
des notes (5 points)
Vous pouvez directement utiliser le tableau 5.1 page 186