PROBLÈME NO.1 (20 POINTS)
Trouver la solution des équations différentielles suivantes :
a)
?
+ 3𝑡𝑦 = 𝑡
y(0) = 1 (5 points)
b) 𝑡𝑑𝑡 − 𝑒 𝑑𝑦 = 0
y(0) = 1 (4 points)
c)
y(1) = 1 (4 points)
(
)
=
d) 𝑑𝑥 + (2𝑥 − 𝑦𝑒 )𝑑𝑦 = 0
y(1) = 0 (7 points)
PROBLÈME NO.2 (20 POINTS)
Un réservoir de capacité 1500 litres contient initialement 500 litres d’eau ayant une
concentration de 0,5 g/litre. De l’eau avec une concentration de sels égale à 2 g/litre se
déverse dans le réservoir à un débit de 4 litres/s. Ce réservoir laisse échapper de l’eau à un
taux de 3 litres/s. Une quantité de sels pur est ajoutée directement au réservoir à un taux
de 2 g/s.
a) Poser les équations différentielles permettant de trouver le volume V(t) (3 points)
et la quantité de sels q(t) (5 points)
b) Résoudre ces deux équations différentielles. Trouver V(t) (2 points) et q(t)
(5 points)
c) Trouver la quantité de sels au moment où le réservoir est rempli. (5 points)
PROBLÈME NO.3 (25 POINTS)
Soit un corps de masse m=1 kg, situé à une altitude h=0 m, tiré vers le haut avec une force
F=100 N pendant les 10 premières secondes. Ensuite cette force est retirée (F=0 pour t≥10)
et l’objet est laissé au libre mouvement dans l’atmosphère. Supposant que la résistance de
l’air est égale à R=kv, avec k=0,5 une constante, et v en (m/s) est la vitesse de l’objet au
temps t. On suppose que l’accélération de la pesanteur est g=10 m/s². L’objet était au repos
initialement.
a) Trouver les équations de la vitesse en fonction du temps dans le parcours ascendant. (5
points)
b) Trouver les équations de la distance parcourue en fonction du temps dans le parcours
ascendant. (5 points)
c) À quel instant et à quelle hauteur l’objet atteint une vitesse nulle. (8 points)
d) À quel instant et à quelle vitesse l’objet frappera le sol. (Sachant que ça prendra entre 80
et 90 secondes à partir du sommet pour que l’objet frappe le sol). Donner votre réponse
avec au moins 4 décimales exactes. (7 points)
PROBLÈME NO.4 (15 POINTS)
Une personne, à l’âge de 25 ans, investit un montant initial de 10 000 $ à un taux d’intérêt
annuel de 5 %. À l’âge de 30 ans, il décide d’ajouter des dépôts de 3 000 $ par année
pendant 5 ans.En supposant que les intérêts sont composés de façon continue, calculer :

Le solde accumulé à 30 ans (4 points)

Le solde accumulé à 35 ans (4 points)

Le solde accumulé à 65 ans (4 points)

Le gain en intérêts accumulé à l’âge de 65 ans (3 points)
PROBLÈME NO.5 (20 POINTS)
Soit l’équation différentielle d’ordre 2 :
𝑦 = 𝑘𝑦 = sin(𝑡)
𝑎𝑣𝑒𝑐
𝑦(0) = 1
𝑒𝑡 𝑦 (0) = 0
1. Pour quelles valeurs de k, l’équation homogène de l’équation différentielle admet :
a) deux racines réelles (2 points)
b) deux racines complexes (5 points)
2. Si k=1, trouver :
o
la solution complémentaire (3 points)
o
la solution particulière (6 points)
o
les constantes d’intégration (4 points)
PROBLÈME BONUS (10 POINTS)
Sachant que la population d’une espèce de poisson croît à un rythme proportionnel à sa
population au temps t en semaines, et qu’environ 10 % de sa population sont éliminés par
semaine.Sachant aussi qu’au bout de 10 semaines, la population a doublé, alors
qu’initialement, la population comptait 5 000 poissons :
a) Trouver l’expression de la population de poisson en fonction de t. (5 points)
b) Trouver le temps t où la population sera 10 fois sa population initiale. (5 points)