LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
CHỦ ĐỀ 1. ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
DẠNG 1. ĐƠN ĐIỆU BẢNG BIẾN THIÊN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K (K là một khoảng, một nửa khoảng hay một
đoạn)
a. Hàm số y = f ( x ) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu
x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
b. Hàm số y = f ( x ) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu
x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
2. Điều kiện cần và đủ hàm số đơn điệu:
Định lý: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên I thì:
+ Nếu f ' ( x )  0, x  I thì hàm số tăng trên I.
+ Nếu f ' ( x )  0, x  I thì hàm số giảm trên I.
+ Nếu f ' ( x ) = 0, x  I thì hàm số không đổi trên I, tức là f ( x ) = C , x  I
Ta có mở rộng của định lí như sau: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I
+ Nếu f ' ( x )  0, x  I và f ' ( x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f ( x )
đồng biến trên khoảng I.
+ Nếu f ' ( x )  0, x  I và f ' ( x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f ( x )
-
nghịch biến trên khoảng I.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
A. Bài toán đơn điệu không chứa tham số
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a. Phương pháp:
Tìm tập xác định
Tính đạo hàm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi ( i = 1, 2,..., n ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
-
không xác định
Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
-
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào bảng biến
thiên
Một số chú ý khi giải toán:
Chú ý 1: Về tính đơn điệu của một số hàm
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
1
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
ax + b
 Đối với hàm dạng: y =
thì hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
cx + d
từng khoảng xác định, nghĩa là luôn tìm được y '  0 (hoặc y '  0 ) trên trên từng
khoảng xác định.
 Đối với hàm dạng: y =
ax 2 + bx + c
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
a'x + b'
 Đối với hàm dạng: y = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nhất một khoảng đồng biến
và một khoảng nghịch biến.
 Cả ba hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên .
Chú ý 2: Bảng xét dấu một số hàm thường gặp
 Nhị thức bậc nhất: y = f ( x ) = ax + b, ( a  0 )

x
−
−
b
a
+
ax + b
Trái dấu với a
dấu với a
0
Cùng
 Tam thức bậc hai: y = f ( x ) = ax 2 + bx + c, ( a  0 )
• Nếu   0 thì tam thức vô nghiệm, ta có bảng xét dấu:
x
f ( x)
−
+
Cùng dấu với a
b
, ta có bảng xét dấu:
2a
b
−
2a
• Nếu  = 0 thì tam thức có nghiệm kép x1 = x2 = −
x
f ( x)
−
+
Cùng dấu với a
dấu với a
0
Cùng
• Nếu   0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , ta có bảng xét dấu:
x
f ( x)
−
x1
x2
+
Cùng dấu với a
dấu với a
0
Trái dấu với a
0
Cùng
 Đối với tam thức từ bậc 3 trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc:
• Thay 1 điểm xo  gần xn bên ô phải của bảng xét dấu vào f ( x ) và xét theo
nguyên tắc: Dấu của f ( x ) đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn, bội lẻ và không đổi dấu
khi qua nghiệm bội chẵn..
• Nghiệm bội chẵn là có dạng ( x − a ) = 0 (với n = 2, 4,6,... ). Nghiệm đơn x − b = 0 , bội
n
lẻ có dạng ( x − b ) = 0 (với n = 1,3,5,... ).
n
2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Bài 1.
[EMPIRE TEAM]
1
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x − 2
3
Lời giải
- Tập xác định D =
x = 1
- Đạo hàm y ' = x 2 − 4 x + 3; y ' = 0  x 2 − 4 x + 3 = 0  
x = 3
- Bảng biến thiên
−
1
3
+
x
y'
+
−
0
0
+
y
Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) . Chọn đáp án B
Nhận xét: Cách giải trên là giải theo tự luận, còn giải theo trắc nghiệm ta làm như
sau:
Mod 5+ 3 x = 1

Tính nhanh y ' = x 2 − 4 x + 3 = 0  
. Sau đó lập trục xét dấu nhanh để suy ra
x = 3
tính đơn điệu
-∞
Bài 2.
+
1
-
3
+
+∞
[EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 .
Lời giải
Tập xác định: D =
.
x = 0
Ta có: y = 3x 2 − 6 x ; y = 0  3x 2 − 6 x = 0  
.
x = 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;0 ) và ( 2; + ) , nghịch biến trên khoảng
( 0; 2 ) .
Bài 3.
[EMPIRE TEAM]
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
3
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
1
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 4 x + 1 .
3
Lời giải
Tập xác định: D = .
Ta có: y = x 2 + 4  0, x  .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + ) .
Bài 4.
[EMPIRE TEAM]
1
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = − x3 + 5 x 2 − 26 x − 1 .
3
Lời giải
Tập xác định: D = .
Ta có: y = − x 2 + 10 x − 26 = − ( x − 5) − 1  0, x 
2
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + ) .
Bài 5.
[EMPIRE TEAM]
1
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3x 2 + 9 x − 1 .
3
Lời giải
Tập xác định D = .
Ta có: y = x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3)  0, x 
2
; y = 0  x = −3 .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + ) .
Bài 6.
[EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x 4 − 2 x 2 .
Lời giải
Tập xác định: D =
.
x = 0
3
2
Ta có y = 4 x − 4 x = 4 x x − 1 ; y = 0  
.
 x = 1
Bảng biến thiên:
(
)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1; 0 ) và (1; +  ) , nghịch biến trên các
khoảng ( −; − 1) và ( 0; 1) .
Bài 7.
[EMPIRE TEAM]
1
Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
4
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + )
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −2 ) và ( 0; 2 )
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −2 ) và ( 2; + )
4
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + )
Lời giải
- Tập xác định D =
x = 0
- Đạo hàm y ' = − x3 + 4 x = − x ( x 2 − 4 ) ; y ' = 0  − x ( x 2 − 4 ) = 0  
 x = 2
- Bảng biến thiên
−
−2
2
0
+
x
y'
+
−
0
0
+
0
−
y
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + ) , đồng biến trên các
khoảng ( 0; 2 ) và ( −; −2 ) . Chọn đáp án A
Nhận xét: Cách giải trên là giải theo tự luận, còn giải theo trắc nghiệm ta làm như
sau:
Mod 5+ 4 x = 0

Tính nhanh y ' = − x3 + 4 x = 0  
. Sau đó lập trục xét dấu nhanh để suy ra
 x = 2
tính đơn điệu
-∞
Bài 8.
+
-2
0
-
+
2
-
+∞
[EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x 4 + 4 x 2 .
Lời giải
Tập xác định: D =
.
(
)
Ta có y = 4 x + 8 x = 4 x x + 2 ; y = 0  x = 0 .
3
2
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +  ) , nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) .
Bài 9.
[HỆ THỐNG GIÁO DỤC EMPIRE TEAM ]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −2 x 4 + 4 x 2 − 7 .
Lời giải
Tập xác định: D =
.
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
5
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
x = 0
3
2
Ta có y = −8 x + 8 x = −8 x x − 1 ; y = 0  
.
 x = 1
(
)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; − 1) và ( 0;1) , nghịch biến trên các
khoảng ( −1; 0 ) và (1; +  ) .
Bài 10. [EMPIRE TEAM]
2x +1
Cho hàm số y =
. Mệnh đề đúng là:
x +1
A. Hàm số đồng biến trên ( −; −1) và ( −1; + ) .
B. Hàm số nghịch biến trên ( −; −1) và ( −1; + )
C. Hàm số đồng biến trên ( −; −1) và (1; + ) ; nghịch biến trên ( −1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên
.
Lời giải
- Tập xác định D =
- Đạo hàm y ' =
\ −1 .
1
( x + 1)
2
 0, x  D
- Bảng biến thiên
x
−
−1
+
y'
+
+
y
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên ( −; −1) và ( −1; + ) . Chọn đáp án
A
Nhận xét 1: Hàm số y =
ax + b
luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng
cx + d


xác định, từng khoảng xác định ở đây là  −; −
-
nhanh theo kiểu loại trừ như sau:
Đáp án D sai vì hàm số không thể đồng biến trên .
Đáp án C sai vì hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến chứ không có vừa đồng biến
và nghịch biến
1
Đáp án B sai vì y ' =
 0, x  D suy ra hàm số đồng biến trên ( −; −1) và
2
( x + 1)
( −1; + )
6
d
 d

 và  − ; +  . Do đó để giải
c
 c

CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Nhận xét 2: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta chỉ cần nhớ như sau: Với hàm
ax + b
thì dấu của y ' phụ thuộc vào ad − bc và hàm số chỉ đơn điệu trên
y=
cx + d
d
 d


 −; −  và  − ; +  nên ta chỉ cần tính ad − bc và kết luận ngay được tính đơn
c
 c


điệu.
Nhận xét 3: Với hàm số này người ta có thể bẫy ở các đáp án sau
Hàm số đơn điệu trên tập xác định; hàm số đơn điệu trên


d  d
c  c
 d
\ −  ; hàm số đơn
 c


điệu trên  −; −   − ; +  . Các đáp án này đều sai
Bài 11. [EMPIRE TEAM]
3x + 1
.
1− x
Lời giải
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
Tập xác định: D =
Ta có y =
\ 1 .
3.1 − ( −1) .1
4
=
 0, x  D .
2
(1 − x)
(1 − x) 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) và (1;+ ) .
Bài 12. [EMPIRE TEAM]
3 − 2x
.
x+7
Lời giải
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y =
Tập xác định: D =
Ta có y =
\ −7 .
( −2 ) .7 − 1.3 = −17  0, x  D
.
2
2
( x + 7)
( x + 7)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −7 ) và ( −7; + ) .
Bài 13. [EMPIRE TEAM]
4
Hàm số y = x + đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
x
A. ( 0; + ) .
B. ( −2; 2 ) .
C. ( −2;0 ) .
Giải.
- Tập xác định D =
D. ( 2; + ) .
\ 0
4 x2 − 4
. Cho y ' = 0  x 2 − 4 = 0  x = 2.
- Đạo hàm y ' = 1 − 2 =
x
x2
- Bảng biến thiên
x
−
−2
0
2
+
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
7
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
+
y'
−
0
−
0
+
y
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên ( −; −2 ) và ( 2; + ) . Chọn đáp
án D
Nhận xét:
- Cách giải trên là giải theo tự luận, còn giải theo trắc nghiệm ta làm như sau
Mod 5+ 3 x = −2

4 x2 − 4
2
Tính nhanh y ' = 1 − =
. Sau đó lập trục xét dấu
=
0

x
−
4
=
0
 
2
x
x
x = 2
nhanh để suy ra tính đơn điệu “Dấu song song thể hiện hàm số không xác định tại
0”
-∞
-2
+
0
-
2
-
+
+∞
- Khi sử dụng trục cần chú ý, hàm số không xác định tại x = 0 , do đó hàm số sẽ
nghịch biến trên khoảng ( −2; 0 ) và ( 0; 2 ) chứ không phải là nghịch biến trên
khoảng ( −2; 2 )
Bài 14. [EMPIRE TEAM] Cho hàm số y =
− x2 + 2 x − 1
. Mệnh đề đúng là:
x+2
A. Hàm số đồng biến trên ( −;5 ) và (1; + ) .
B. Hàm số nghịch biến trên ( −;5 ) và (1; + ) .
C. Hàm số đồng biến trên ( −; −2 ) và ( −2; + )
D. Hàm số đồng biến trên
.
Lời giải
- Tập xác định D =
\ −2 .
- Đạo hàm y ' = − x − 4 x 2+ 5 , x  D .
2
( x + 2)
x = −5
.
x
=
1

Cho y ' = 0  − x − 4 x 2+ 5 = 0  − x 2 − 4 x + 5 = 0  
2
( x + 2)
- Bảng biến thiên:
x
−
−5
−2
1
+
y'
−
+
0
+
0
−
y
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ( −; −5 ) và (1; + ) . Hàm số
đồng biến trên ( −5; −2 ) và ( −2;1) . Chọn đáp án B
8
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Nhận xét: Với hàm y =
2
ax 2 + bx + c
. Khi tính đạo hàm có dạng y ' = Ax + Bx +2 C .
mx + n
( mx + n )
Dấu y ' phụ thuộc vào Ax + Bx + C = 0 , và thường xảy ra hai trường hợp hoặc vô
2
nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt, do đó khi làm trắc nghiệm ta chỉ cần tính nhanh
ra Ax + Bx + C = 0 theo công thức tính nhanh và lập trục xét dấu
2
TH1. Ax + Bx + C = 0 vô nghiệm
2
A0
A0
n
n
-∞
+
-
m
+


Hàm số đồng biến trên  −; −
-∞
-∞
n

m
-
m
-


n
 và
m
Hàm số đồng biến trên  −; −
-∞
 n

 − ; + 
 m

 n

; + 
 m

và  −
TH2: Ax + Bx + C = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
2
A0
A0
n
n
-∞
+
x1
-
m
x2
-
+
-∞
-∞
Hàm số đồng biến trên ( −; x1 ) và


x1
+
m
+


Hàm số đồng biến trên  x1 ; −
( x2 ; + )
Hàm số nghịch biến  x1 ; −
-
x2
-
n
 và
m
 n 
 − ; x2 
 m 
n
 và
m
Hàm số nghịch biến ( −; x1 ) và
 n 
 − ; x2 
 m 
( x2 ; + )
Bài 15. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y = − x + 2 x − 1 .
2
x+2
Lời giải
Tập xác định: D =
y' = 0 
− x2 − 4 x + 5
( x + 2)
2
\ −2 . Ta có: y = − x − 4 x 2+ 5 .
( x + 2)
2
 x = −5
.
x = 1
= 0  −x − 4x + 5 = 0  
2
Bảng biến thiên
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
9
-∞
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −5) và (1;+ ) .
Bài 16. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x + 4 x + 4 .
2
x +1
Lời giải
Tập xác định: D =
\ −1 . Ta có: y = x + 2 x2  y ' = 0   x = −2 .
( x + 1)
x = 0
2
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −2 ) và ( 0; + ) , nghịch biến trên các
khoảng ( −2 ; −1) và ( −1; 0 ) .
Bài 17. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: y = − x − x + 5 .
2
x+2
Lời giải
\ −2 . Ta có: y = − x − 4 x 2− 7  0, x  D .
( x + 2)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −2 ) và ( −2; + ) .
Tập xác định: D =
2
Bài 18. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y =
Tập xác định: D =
\ 1;2 .
−2 x + 1
x − 3x + 2
2
Lời giải
 1+ 3
x =
2 x2 − 2 x −1
2
2
Ta có y =
; y = 0  2 x − 2 x − 1 = 0  
.
2
 1− 3
( x 2 − 3x + 2 )
x =

2
Bảng xét dấu:
10
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
.
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE

Suy ra, hàm số đồng biến trên các khoảng  −;

1− 3   1+ 3 
; 2  và ( 2; +  ) ,
 ,
2   2

 1− 3 
 1+ 3 
;1 và 1;
 .
2
2




nghịch biến trên các khoảng 
Chú ý: Các công thức tính nhanh.
1. Hàm số y =
ax 2 + bx + c
với a, b, c, m, n, p 
mx 2 + nx + p
2. Hàm số phân thức y =
có y =
a b 2
a c
b c
x +2
x+
mn
m p
n p
( mx2 + nx + p )
2
.
u ( x)
u ( x0 )
có y ( x0 ) =
với x0 là nghiệm của phương trình
v ( x)
v ( x0 )
y = 0 .
Bài 19. [EMPIRE TEAM]
x +1
.
x − 4x + 4
Lời giải
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
Tập xác định: D =
Ta có y =
−x − 4
( x − 2)
3
\ 2 .
2
; y = 0  − x − 4 = 0  x = −4 .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −4; 2 ) , nghịch biến trên các khoảng ( −; −4 ) và
( 2; + ) .
Bài 20. [EMPIRE TEAM]
x −1
.
x +x+2
Lời giải
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
Tập xác định: D =
Ta có y =
2
.
 x = −1
; y = 0  − x 2 + 2 x + 3 = 0  
.
2
x
=
3

x
+
x
+
2
(
)
−x + 2x + 3
2
2
Bảng biến thiên:
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
11
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) , nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) và
( 3; + ) .
Bài 21. [EMPIRE TEAM]
 x −1 
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 
 .
 x +1
Lời giải
2
Tập xác định: D =
\ −1 . Ta có y =
4 ( x − 1)
( x + 1)
3
; y = 0  x = 1 .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −1) và (1; + ) , nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Bài 22. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
 
tan x − 2
trên  0;  .
tan x − 1
 4
Lời giải
 
 thì tan x  (0;1); cos x  0 .
 4
Trên khoảng  0;
1
2

Ta có: y ' = cos x 2  0, x   0;  .
 4
( tan x − 1)
 
.
 4
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  0;
Bài 23. [EMPIRE TEAM]
  
; .
 2 2
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = sin 2 x − 2cos x − 2 x với x   −
Lời giải
  
; .
 2 2
Hàm số đã cho xác định trên khoảng  −
(
)
Ta có: y ' = 2cos 2 x + 2sin x − 2 = 2 1 − 2sin x + 2sin x − 2 = −2sin x ( 2sin x − 1) .
12
2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
sin x = 0
.
y' = 0  
sin x = 1
2

x = 0
  
;  , ta có: y ' = 0    .
x =
 2 2
Trên khoảng  −

6
Bảng biến thiên:
  
  
;0  và  ;  , đồng biến trên
6 2
 2 
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  −
 
.
 6
khoảng  0;
Bài 24. (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG )
Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + x 2 + 8 x + cosx , với hai số thực a, b sao cho a  b . Hãy so
sánh f ( a ) với f ( b ) ?
Lời giải
Xét hàm số: y = x + x + 8 x + cos x . Tập xác định: D =
3
2
.
2
1
20

y = 3x 2 + 2 x + 8 − s inx = 3  x +  + (1 − sin x ) +
 0, x 
3
3

biến trên
. Suy ra hàm số đồng
Vậy với hai số thực a, b sao cho a  b thì f ( a )  f ( b ) .
Bài 25. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
−x + 2
nÕu x  −1


y = −2 x2 + 2 x + 7 nÕu − 1  x  2 .

3x − 3
nÕu x  2

Lời giải
Tập xác định: D = .
−1
nÕu x  −1


1
y = −4 x + 2 nÕu − 1  x  2 ; y = 0  x = .
2

3
nÕu x  2

Bảng xét dấu của y :
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
13
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE


1
2
Từ bảng xét dấu của y ta có hàm số đồng biến trên các khoảng  −1;  và ( 2; + ) , nghịch biến
1
2


trên các khoảng ( −; −1) và  ; 2  .
Bài 26. [EMPIRE TEAM]
2
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = x − 2 x − 3
Lời giải
Tập xác định: D =
.
Cách 1:
2

 x − 2 x − 3 nÕu x  −1 hoÆc x  3 .
y = x − 2x − 3 = 
2
nÕu − 1  x  3

 − x − 2x − 3
2 x − 2 nÕu x  −1 hoÆc x  3
y = 0  x = 1 .
;
y = 
−
2
x
−
2
nÕu
−
1

x

3
(
)

2
(
)
Bảng xét dấu y :
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;1) và ( 3; + ) , nghịch biến trên các khoảng
( −; −1) và (1;3) .
Cách 2: Ta có y =
2 ( x 2 − 2 x − 3) ( x − 1)
( x − 2 x − 3)
2
2
; y = 0  x = 1 .
Bảng xét dấu của y :
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;1) và ( 3; + ) , nghịch biến trên các khoảng
( −; −1) và (1;3) .
Bài 27. [EMPIRE TEAM]
2
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = x − 4 x + 3 + 4 x + 3
Lời giải
14
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Tập xác định D =
.
 x2 + 6
nÕu x  1 hoÆc x  3
Ta có y = x − 4 x + 3 + 4 x + 3 =  2
.
− x + 8 x nÕu 1  x  3
2
 2 x nÕu x  1 hoÆc x  3
.
nÕu 1  x  3
−2 x + 8
y = 
y = 0  x = 0 .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + ) và nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) .
Bài 28. [HỆ THỐNG GIÁO DỤC EMPIRE TEAM ]
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
y=
x + 1 + 8 − x + (1 + x)(8 − x)

Lời giải

Tập xác định: D= −1;8 .
y =
1
1
−
+
2 x +1 2 8 − x
7 − 2x
( x + 1) . (8 − x )


1
1

 .
= (7 − 2x)
+
 2 x + 1. 8 − x . x + 1 + 8 − x 2 ( x + 1)( 8 − x ) 


7
y' = 0  x = .
2
Bảng xét dấu y ' :
(
)


7
2
7
2


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  −1;  và nghịch biến trên khoảng  ; 8  .
Bài 29.
[EMPIRE TEAM]
Hàm số y =
2x − 3
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
x2 −1
 3
A. ( −; −1) và 1;  .
 2
 3
C. 1;  .
 2
3
2


B.  ; +  .
D. ( −; −1) .
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
15
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Lời giải
- Tập xác định D = ( −; −1)  (1; + )
2 x2 −1 −
- Đạo hàm y ' =
( 2 x − 3) x
x −1
2
x2 −1 =
3x − 2
( x − 1)
2
3
. Hàm số không có đạo hàm tại
x = 1
Cho y ' = 0  3x − 2 = 0  x =
2
3
- Bảng biến thiên
−
x
2
3
−1
1
+
y'
−
−
+
0
+
y
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên ( −; −1) . Chọn đáp án D
Bài 30. [EMPIRE TEAM]
Hàm số y = x − 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
2
A. (1; + ) .
B. ( 2; + ) .
D. ( −;0 ) .
C. (1; 2 ) .
Lời giải
- Tập xác định D = ( −; 0   2; + ) .
- Đạo hàm y ' =
x −1
x2 − 2x
, x  ( −;0 )  ( 2; + ) . Hàm số không có đạo hàm tại
x = 0; x = 2 .
Cho y ' = 0 
x −1
x2 − 2 x
- Bảng biến thiên:
x
= 0  x − 1 = 0  x = 1.
−
1
0
2
+
y'
−
−
0
+
+
y
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ( −;0 ) và đồng biến trên ( 2; + )
Bài 31. [HỆ THỐNG GIÁO DỤC EMPIRE TEAM ]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x 4 − x .
2
16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Lời giải
Tập xác định D =  −2; 2 .
y = 4 − x 2 −
x2
=
4 − x2
Bảng xét dấu của y :
x = − 2
; y = 0  
.
4 − x2
 x = 2
4 − 2 x2
(
)
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng − 2; 2 , nghịch biến trên các khoảng
( −2; − 2 ) và ( 2; 2) .
Bài 32. [EMPIRE TEAM]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
x −1
x2 + 1
.
Lời giải
Tập xác định: D =
x2 + 1 −
Ta có y =
.
x ( x − 1)
x +1
2
x2 + 1 =
x +1
( x + 1) x + 1
2
2
;
y = 0  x + 1 = 0  x = −1 .
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ) và nghịch biến trên khoảng ( −; −1) .
Bài 33. [EMPIRE TEAM]
(
)
2
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x + 1 x − x − 20 .
Lời giải
Tập xác định: D =  −1; + ) .
1
5 x 2 + x − 22
2
x
−
x
−
20
+
x
+
1
2
x
−
1
(
)=
.
(
)
2 x +1
2 x +1
11

x=−
2

y = 0  5 x + x − 22 = 0 
5 .

x = 2
Bảng xét dấu y :
y =
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
17
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + ) và nghịch biến trên khoảng ( −1; 2 ) .
Bài 34. [EMPIRE TEAM]
(
)
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x + 2 x 2 + 2 x + 3 .
Lời giải
Tập xác định: D =  −2; +  ) .
Ta có: y =
(
)
1
x2 + 2 x + 3 + ( 2 x + 2) . x + 2
2 x+2
=
x 2 + 2 x + 3 + 2 ( 2 x + 2 )( x + 2 )
2 x+2
(
=
)
5 x 2 + 14 x + 11
 0, x  −2 .
2 x+2
2
Vậy hàm số y = x + 2 x + 2 x + 3 đồng biến trên khoảng ( −2; +  ) .
Bài 35. [EMPIRE TEAM]
x2 + 4
.
x+2
Lời giải
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
Tập xác định: D =
x ( x + 2)
y =
\ −2 .
− x2 + 4
x +4
2
( x + 2)
2
=
2x − 4
( x + 2)
2
x2 + 4
; y = 0  2 x − 4 = 0  x = 2 .
Bảng xét dấu của y :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + ) , nghịch biến trên các khoảng
( −; −2 ) và ( −2; 2 ) .
Bài 36. [EMPIRE TEAM]
x
+ sin 2 x trên khoảng ( 0;  ) .
2
Lời giải
Hàm xác định trên khoảng ( 0;  ) .
Xét sự biến thiên của hàm số y =
Ta có y ' =
1
+ sin 2 x .
2


 x = − 12 + k
1
y ' = 0  sin 2 x = −  
, (k  ) .
2
 x = 7 + k

12
18
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Vì x  ( 0;  ) nên phương trình y = 0 có 2 nghiệm x =
11
7
và x =
.
12
12
Bảng biến thiên:
 11 
 7 
;   , nghịch biến
 và 
 12 
 12 
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  0;
 7 11 
;
.
 12 12 
trên khoảng 
Bài 37. [EMPIRE TEAM]
Hàm số y = 2sin x + cos 2 x, x  0;   đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng
dưới đây?
 
.
 6
A.  0;
  
; .
6 2
  5 
; .
6 6 
 5 
;  .
 6 
D. 
C. 
B. 
Lời giải
- Hàm số xác định trên  0;   .
- Đạo hàm y ' = 2 cos x − 2sin 2 x = 2 cos x − 4 cos x.sin x = 2 cos x (1 − 2sin x ) , x  0;   .


x = 2
 x   0;  



Trên đoạn  0;   : y ' = 0   cos x = 0   x =
.


6
1


sin x =

2

 x = 5

6
- Bảng biến thiên:
−
x

6
0
5
6

2

+
+
y'
0
0
−
+
0
−
y
  5 
 
 và  ;  . Chọn
2 6 
 6
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đã cho đồng biến trên  0;
đáp án A
Bài 38. [EMPIRE TEAM]
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
19
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y =
− x2 + 2 x + 3
.
x+2
Lời giải
TXĐ: D =  −1;3 .
(1 − x )( x + 2 ) − − x 2 + 2 x + 3
Ta có: y =
− x2 + 2 x + 3
( x + 2 )2
=−
3x + 1
( x + 2) . − x2 + 2 x + 3
2
.
1
y = 0  x = − .
3
Bảng xét dấu y :


 1 
 3 
1
3
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  −1; −  và nghịch biến trên khoảng  − ;3  .
Bài 39. [EMPIRE TEAM]
mx − 1 − m 2
Hàm số y =
, (m là tham số). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
x +1
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + )
C. Hàm số đồng biến trên
\ −1 .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
Lời giải
- Hàm số tập xác định D = \ −1
- Đạo hàm y ' = m + m +2 1  0, m 
2
( x + 1)
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Chọn đáp án A
Nhận xét: Với những bài toán chứa tham số thì ta cho m bằng một số bất kì và khảo
sát tính đơn điệu thì kết quả vẫn không thay đổi, giả sử cho
x−2
3
m =1 y =
 y' =
 0, x  D
2
x +1
( x + 1)
Bài 40. [EMPIRE TEAM]
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 + 1, x 
đúng ?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + ) .
20
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
. Mệnh đề nào dưới đây
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
Vì f  ( x ) = x + 1  0, x 
2
trên
Bài 41.
Lời giải
hay f  ( x ) không đổi dấu nên f ( x ) là hàm đồng biến
hay ( −; + ) . Chọn đáp án D
[EMPIRE TEAM]
(
)
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 1 ( x − 2 ) ( x − 3) . Mệnh đề nào dưới
2
đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;1) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) .
Lời giải
 x = 1
Vì f  ( x ) = 0   x = 2 . Lập trục xét dấu

 x = 3
-∞
-
-1
+
1
-
2
-
3
+
+∞
Chọn đáp án C
Bài 42. [EMPIRE TEAM]
Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2 )
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 )
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1)
Lời giải
x = 0
Ta có y ' = 4 x3 − 4 x = 0  
. Lập trục
 x = 1
-∞
-
-1
+
0
-
1
+ +∞
Dựa vào trục ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và ( 0;1)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; 0 ) và (1; + )
Nhận xét: Sau khi vẽ trục xong học sinh không biết chọn đáp án nào số −2 ở đâu,
làm gì phải là nghiệm của y ' mà xét đơn điệu, thực ra câu này là câu bẫy, vì hàm số
nghịch trên khoảng ( −; −1) mà ( −; −2 )  ( −; −1) . Do đó đáp án đúng là đáp án
B.
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
21
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC-TEAM EMPIRE
22
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC