GIẢI TÍCH 2 - VI PHÂN TOÀN PHẦN
Nguyễn Đắc Thu Anh
Ngày 22 tháng 3 năm 2022
Bài tập 1. Tìm đạo hàm của hàm f (x; y) = xyexy tại (−2; 0) theo hướng vecto u,
trong đó u tạo 1 góc π/4 với trục Ox?
Bài làm
Cách 1:
√
√
2
2
• Ta có: ~u =
î +
ĵ .
2
2
√
√
2
2
• Đạo hàm của hàm f (x; y) = xye tại (−2; 0) theo hướng vector ~u =
î +
ĵ
2
2
√
√ !
2
2
f −2 + s.
, 0 + s.
− f (−2, 0)
2
2
df
= lim
ds (−2;0) s→0
s

√
√ 
√
√
2
2
(−2+s.
)(s.
)
2
2

2
2 
)(s.
)·e
 − (−2) · 0 · e−2·0
(−2 + s.
2
2
df
= lim
ds (−2;0) s→0
s
√
√
1
2
(− 2s + 21 s2 ) · e− 2s+ 2 s
= lim
s→0
s
√
√
1
− 2s+ 12 s2
= lim (− 2 + s) · e
s→0
2
√
=− 2
xy
√
Vậy tốc độ biến đổi của hàm f (x; y) theo hướng ~u tại điểm (−2; 0) là − 2
Cách 2:
√
√
2
2
• Ta có: ~u =
î +
ĵ
2
2
!
!
√
√
∆x
∆y
2/2 2/2
⇒ ~eu = p
;p
=
;
.
1
1
∆x2 + ∆y 2
∆x2 + ∆y 2
1
Giải tích 2
• Ta có
fx0 = y · exy (1 + xy) ⇒ fx0 (−2; 0) = 0
fy0 = x · exy (1 + xy) ⇒ fy0 (−2; 0) = −2
⇒ ∇f (−2; 0) = (0; −2)
• Đạo hàm theo hướng ~u tại điểm (-2;0)
√ !
√
2 2
;
· (0; −2) = − 2
2 2
√
Du f (−2; 0) = ∇f (−2; 0) · ~eu =
Bài tập 2. Một hình trụ tròn có chiều cao 1 mét và bán kính đáy là 0.3 mét. Nếu
chiều cao tăng thêm 5 cm và bán kính đáy giảm 1 cm thì thể tích hình trụ thay đổi như
thế nào?
Bài làm
Ta có
V (r, h) = π · r2 · h
∆V(r0 ,h0 ) = V (r0 − ∆r, h0 + ∆h) − V (r0 , h0 )
Nếu ∆r = 0.01 và ∆h = 0.05, ta có
∆V (0.3, 1) = V (0.3 − 0, 01, 1 + 0.05) − V (0.3, 1)
= [π · (0.299)2 · 1.05] − π · (0.3)2 · 1
≈ 0.012 m3
Vậy thể tích hình trụ thay đổi một lượng là 0.012 m3 .
2