Diplomado en Métodos Estadı́sticos
Modelos de Series de Tiempo
Time Series Analysis - Wilfredo Palma
Chapter 1: Introduction
Wiley Series in Probability and Statistics 2016
Prof. Ricardo Olea Ortega
Facultad de Matemáticas - Departamento de Estadı́stica
Pontificia Universidad Católica de Chile
2024
Contenidos I
Series Temporales
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Modelos a Tiempo Discreto
Dependencia Serial
No Estacionaridad
Test de Blancura
Predicción
Series Temporales
5
3
4
Log index
6
7
Datos Financieros
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 1: S&P500 daily stock log index, January 1950 to January 2014.
Series Temporales
-0.05
-0.20
-0.15
-0.10
Log returns
0.00
0.05
0.10
Datos Financieros
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 2: S&P500 daily log returns, January 1950 to January 2014.
Series Temporales
0.03
0.02
0.00
0.01
Squared log returns
0.04
0.05
Datos Financieros
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 3: S&P500 daily square log returns, January 1950 to January
2014.
Series Temporales
6e+09
0e+00
2e+09
4e+09
Volume
8e+09
1e+10
Datos Financieros
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 4: S&P500 daily volume of transactions, January 1950 to January
2014.
Series Temporales
18
14
16
Log volume
20
22
Datos Financieros
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 5: S&P500 daily log volume of transactions, January 1950 to
January 2014.
Series Temporales
Economı́a
2200
1800
1400
1000
Thousands of persons
(a)
1990
1995
2000
2005
2010
2005
2010
Time
7.6
7.4
7.2
7.0
Log thousands of persons
(b)
1990
1995
2000
Time
Figura 6: US employment arts, entertainment, and recreation, January
1990 to December 2012.
Series Temporales
12
9
10
11
Nile river level
13
14
15
Hidrologı́a
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Year
Figura 7: Nile river yearly minimum level at the Roda gauge, from 622
A.D. to 1921 A.D.
Series Temporales
200
0
100
PM2.5 daily level
300
400
Contaminación
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Time
Figura 8: Air pollution data: daily PM2.5 measurements at Santiago,
Chile, 1989 - 1999.
Series Temporales
4
2
3
Log PM2.5 daily level
5
6
Contaminación
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Time
Figura 9: Air pollution data: log daily PM2.5 measurements at Santiago,
Chile, 1989 - 1999.
Series Temporales
65000
60000
50000
55000
Passenger enplanements
70000
Transporte
2004
2006
2008
2010
2012
Time
Figura 10: Passenger enplanements from January 2004 to January 2013.
Series Temporales
6e+05
4e+05
0e+00
2e+05
Number of cases
8e+05
1e+06
Salud Publica
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Time
Figura 11: Annual global number of dengue cases during the period 1955
- 2008.
Series Temporales
40
30
Voting intentions
50
60
Sociologı́a
1985
1990
1995
2000
2005
2010
Time
Figura 12: Monthly United Kingdom voting intentions, June 1984 to
March 2012. Heavy line, Labor Party; dotted line: Conservative Party.
Series Temporales
400
300
0
100
200
Heating degree days
500
600
700
Energı́a
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
Time
Figura 13: Monthly heating degree days (HDDs) measurements for 27
countries of the European Union, for the the period January 1980 to May
2010.
Series Temporales
0.0
-1.0
-0.5
Temperature index
0.5
1.0
Climatologı́a
1500
1600
1700
1800
1900
2000
Year A.D.
Figura 14: North-Central China temperature, 1470 A.D. to 2002 A.D.
Series Temporales
0.0
-1.0
-0.5
Precipitation index
0.5
1.0
Climatologı́a
1500
1600
1700
1800
1900
2000
Year A.D.
Figura 15: North-Central China precipitation, 1470 A.D. to 2002 A.D.
Series Temporales
100
50
0
Mineral deposits
150
200
Climatologı́a
-500
0
500
1000
1500
Time
Figura 16: Speleothem cave deposit data.
2000
Series Temporales
3
2
Log mineral deposits
4
5
Climatologı́a
-500
0
500
1000
1500
Time
Figura 17: Log speleothem cave deposit data.
2000
Series Temporales
0
50
Varves series
100
150
Climatologı́a
-11800
-11700
-11600
-11500
-11400
-11300
Year
Figura 18: Glacial varves time series data.
-11200
Series Temporales
1.5
0.0
0.5
1.0
Tree ring series
2.0
2.5
Climatologı́a
0
500
1000
1500
2000
Year
Figura 19: Tree ring data. Mammoth Creek, Utah, from 0 A.D. to 1989
A.D.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Las series temporales son procesos estocásticos que, a su vez, corresponden a una secuencia de variables aleatorias. En términos generales, una variable aleatoria es una función entre un espacio de Ω
que contiene todos los resultados posibles y el conjunto de números
reales denotado R.
En algunos casos, las variables aleatorias toman valores en un conjunto discreto como {0, 1}, y en otros casos, la variable aleatoria
es continua, tomando valores en R o R+ , el conjunto de números
reales positivos.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Por ejemplo, considere los retornos de un instrumento financiero.
Una pregunta básica que uno puede estar interesado es:
¿Cuál es la probabilidad de que mi inversión retorne al menos un
8.5% anual?
En esta situación, si la variable aleatoria X representa el rendimiento
porcentual anual, el evento de interés es {X ≥ 8.5}.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
La probabilidad de este evento se puede expresar como
P(X ≥ 8.5) = 1 − P(X < 8.5) = 1 − F (8.5),
donde F se llama la función de distribución acumulada de X .
Z x
F (x) =
f (u)du,
−∞
donde, f es la densidad de la función de distribución F .
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Por ejemplo, si asumimos que los retornos distribuyen normalmente,
entonces la densidad está dada por
1
1
2
2
e − 2 (x−µ) /σ ,
f (x) = √
2πσ
con µ = E (X ) y σ 2 = Var(X ).
Dado que los rendimientos financieros comúnmente no siguen una
distribución gaussiana, por ejemplo, Figuras 20 y 21, se han considerado algunas extensiones de las variables aleatorias normales en la
literatura.
0.2
0.0
0.1
Density
0.3
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
-20
-10
0
10
Log Returns
Figura 20: Distribution of S&P500 daily log returns, January 1950 to
January 2014. Dotted line, data distribution; heavy line, normal
distribution.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
(b)
0
-2
Sample quantiles
0
-3
-6
-2
-4
-1
Sample quantiles
1
2
2
4
3
(a)
-3
-2
-1
0
Theoretical quantiles
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Theoretical quantiles
Figura 21: Quantiles of S&P500 daily log returns, January 1950 to
January 2014. (a) Normal sample quantile-quantile plot. (b) Data
quantile-quantile plot.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Una de estas generalizaciones es la llamada familia de variables
aleatorias exponential power, que tiene densidad
f (x) =
1
β
β
β
e − 2 |x−µ| /σ ,
2αΓ(1/β)
donde la media de X es µ y la variación es ahora
Var(X ) = α2
Γ(3/β)
,
Γ(1/β)
donde Γ representa a la función gamma.
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
En la Figura 20, se observa que los retornos del ı́ndice S&P500 están
más concentrados alrededor de cero y más dispersos hacia las colas
que una variable aleatoria gaussiana.
Este comportamiento se evidencia aún más en la Figura 21, que
muestra que el cuantil de los rendimientos está lejos de los que
corresponden a una distribución normal, cf. 21(a).
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Una distribución importante en el análisis de series temporales es la
distribución normal multivariada.
Dada la serie {y1 , y2 , . . . , yn } , podemos escribir el vector aleatorio
X = (y1 , y2 , . . . , yn ). Se dice que X es una variable aleatoria gaussiana multivariada, con la media µ y la matriz de varianza-covarianza
Σ, denotada como N(µ, Σ), si la función de densidad es
f (X ) = (2π)−n/2 |Σ|−n/2 e − 2 (X −µ) Σ
1
0
X −µ) .
−1 (
Variables Aleatorias y Modelamiento Estadı́stico
Observe que los elementos de Σ corresponden a las covarianzas entre
los componentes del vector aleatorio X , es decir, Σt,s = Cov(yt , ys ).
Si la serie temporal es estacionaria, existe una función γ(·) tal que
γ(|t − s|) = Cov(yt , ys ).
En este caso, la matriz de varianza-covarianza se puede escribir como



Σ=

γ(0)
γ(1)
..
.
γ(1)
γ(0)
..
.
γ(2)
γ(1)
..
.
···
···
γ(n − 1) γ(n − 2) γ(n − 3) · · ·

γ(n − 1)
γ(n − 2) 

.
..

.
γ(0)
Tenga en cuenta que si y = AX , donde A es una matriz m × n
y X es una variable aleatoria normal multivariante con la media µ
y la matriz de covarianza de varianza Σ, entonces y corresponde a
una variable aleatoria normal multivariada con media Aµ y matriz
de varianza-covarianza AΣA0 .
Modelos a Tiempo Discreto
Esta clase se centra principalmente en los procesos estocásticos
que se observan en tiempos discretos . . . , t0 , t1 , t2 , . . . , en lugar de
tiempo continuo, lo que significa que el proceso se ha observado
todas las veces en un intervalo dado, por ejemplo t ∈ (0, T ).
Tenga en cuenta que la mayorı́a de los modelos desarrollados en
la literatura de series temporales se refieren a tiempos igualmente
espaciados. En este caso, las observaciones se pueden escribir como
{yt : t ∈ Z} para t ∈ {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }.
Hay modelos para tratar tiempos espaciados irregularmente, pero
suelen ser más complejos de especificar y estudiar.
Dependencia Serial
Considere el proceso estocástico {yt } y suponga que su media es
µt = E (yt ). Si este proceso es gaussiano, entonces podemos descomponerlo aditivo como yt = µt + ηt , donde ηt es un proceso
estocástico de media cero.
Para especificar el proceso {yt }, se puede dar a µt alguna estructura
en particular. Por ejemplo, para un proceso estacionario, la media
se asume constante a lo largo del tiempo de modo que µt = µ, para
todo t.
De manera más general, la media se puede especificar mediante un
modelo lineal que depende del tiempo µt = β0 + β1 t + · · · + βp t p
o depende de otras covariables µt = β0 + β1 x1t + · · · + βp xpt .
Dependencia Serial
La estacionaria significa que las caracterı́sticas estadı́sticas de la serie
de tiempo se conservan a lo largo del tiempo.
En particular, la media y la varianza de la serie son constantes y que
la dependencia relativa de una observación con respecto a los valores
pasados sigue siendo la misma, independientemente del momento en
que se evalúe.
Es decir, existe una función γ tal que
γ(h) = Cov(yt , yt+h ).
Dependencia Serial
La existencia de esta función, denotada como la función de autocovarianza, significa que la covarianza entre las observaciones yt y
yt+h no depende de t.
La estacionaridad es una suposición clave en el análisis de series temporales para hacer inferencias estadı́sticas y predicción. La función
de autocorrelación, ACF, se define entonces como
ρ(h) =
γ(h)
.
γ(0)
Dependencia Serial
Las estimaciones empı́ricas del ACF son dadas por los llamados estimadores de momento
γ
b(k)
,
(1)
ρbk =
γ
b(0)
con
n−k
1X
(yt − ȳ )(yt+k − ȳ ).
γ
b(k) =
n
t=1
Dependencia Serial
ACF
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
ACF
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
(b)
1.0
(a)
0
10
20
Lag
30
40
0
10
20
30
40
Lag
Figura 22: S&P500 data. (a) Sample ACF of log returns. (b) Sample
ACF of squared log returns.
0.0
-1.0
-0.5
ACF
0.5
1.0
Dependencia Serial
0
5
10
15
20
25
30
35
Lag
Figura 23: Sample ACF of passenger enplanements from January 2004 to
January 2013.
0.0
-1.0
-0.5
ACF
0.5
1.0
Dependencia Serial
0
5
10
15
20
25
30
35
Lag
Figura 24: Heating degree days, European Union, January 1980 to May
2010.
0.0
0.2
0.4
ACF
0.6
0.8
1.0
Dependencia Serial
0
5
10
15
20
25
30
Lag
Figura 25: Sample ACF of the Nile river yearly minimum level at the
Roda gauge, from 622 A.D.
No Estacionaridad
Como se ve en los ejemplos discutidos, muchas series temporales de
la vida real muestran caracterı́sticas no estacionarias, como tendencias o estacionalidades.
Dado que la mayorı́a de las metodologı́as para analizar series temporales se basan en el supuesto de estacionaridad, hay una serie de
técnicas para transformar datos no estacionarios en estacionarios.
Entre estos enfoques, a menudo se utiliza la estabilización de la
varianza, la estimación de tendencias a través de la regresión lineal
y la diferenciación de la serie.
No Estacionaridad
La estabilización de la varianza generalmente se logra mediante una
transformación Box-Cox de los datos.
Si los datos originales se denotan como xt , la serie transformada yt
está dada por
−1 α
α (xt − 1) if α 6= 0,
yt =
log xt
if α = 0.
No Estacionaridad
Los modelos lineales son herramientas para eliminar una tendencia
determinista de los datos. Este modelo de regresión normalmente
incluye un polinomio en t, un componente armónico o puede contener otras covariables. Por lo tanto, el modelo puede escribirse
como
yt
= β0 + β1 x1t + · · · + βp xpt + ηt ,
= X β + η,
donde la matriz X = (1, x1t , . . . , xpt ) son las covariables y el vector
η = (η1 , η2 , . . . , ηn ) representa errores no sistemáticos. Los coeficientes (β0 , β1 , . . . , βp ) se puede obtener, por ejemplo, mediante
estimaciones de mı́nimos cuadrados (LSE):
b = (X 0 X )−1 X 0 y .
β
No Estacionaridad
Después de estimar los parámetros de regresión, la no tendencia
se obtiene eliminando la parte de regresión de la serie {yt }, et =
yt − βb0 − βb1 x1t − · · · − βbp xpt .
En muchas aplicaciones, los regressores son polinomios o función
armónica, como en el caso del comportamiento estacional,
yt
=
m
X
[αj sin(ωj t) + βj cos(ωj t)] + ηt ,
j=1
donde los coeficientes αj y βj son desconocidos, pero las frecuencias
ωj generalmente se consideran conocidas u obtenidas del análisis
espectral.
No Estacionaridad
-2
-1
0
1
Series
2
3
4
Regresión Lineal
0
50
100
150
200
250
Time
Figura 26: Simulated linear regression time series.
300
No Estacionaridad
-2
-1
0
1
Series
2
3
4
Quiebres estructurales
0
50
100
150
200
250
300
Time
Figura 27: Structural break regression model with change in the slope of
the trend at time T = 150.
No Estacionaridad
-4
-2
Series
0
2
Quiebres estructurales
0
50
100
150
200
250
300
Time
Figura 28: Structural break regression model with change in the slope
and the level of the trend at the point T = 150.
No Estacionaridad
0
5
Series
10
Quiebres estructurales
0
50
100
150
200
250
300
Time
Figura 29: Structural break regression model with instrumental variable
for period T1 = 150 to T2 = 160.
No Estacionaridad
Regresión armonica
0
-10
-5
Series
5
10
(a)
0
100
200
300
400
300
400
Time
5
0
-5
-10
Harmonic component
10
(b)
0
100
200
Time
Figura 30: Harmonic regression time series with one frequency. (a)
Simulated data. (b) Underlying harmonic trend.
No Estacionaridad
Regresión armonica
5
0
-10
-5
Series
10
15
(a)
0
100
200
300
400
300
400
Time
10
5
0
-5
-10
Harmonic component
15
(b)
0
100
200
Time
Figura 31: Harmonic regression time series with two frequencies. (a)
Simulated data. (b) Underlying harmonic trend.
No Estacionaridad
Regresión armonica
10
0
-30
-10
Series
20
30
(a)
0
100
200
300
400
300
400
Time
20
10
0
-10
-20
Harmonic component
30
(b)
0
100
200
Time
Figura 32: Harmonic regression time series with three frequencies. (a)
Simulated data. (b) Underlying harmonic trend.
No Estacionaridad
Diferenciación
Otro enfoque para eliminar una tendencia en los datos es la diferenciación.
En este caso, sin embargo, se supone que la tendencia subyacente
es no deterministica o estocastica.
Bajo este marco, se supone que los datos se generan mediante algún
proceso de agregación de tiempo, por ejemplo,
yt
=
t
X
ηk ,
(2)
k=1
donde ηt es un proceso estacionario de varianza constante y media
cero, que puede estar correlacionado secuencialmente.
No Estacionaridad
Diferenciación
Por lo tanto, al diferenciar {yt }, obtenemos la serie {zt }
zt = yt − yt−1 = ηt ,
que comparte las mismas propiedades estacionarias de {ηt }.
No Estacionaridad
Diferenciación
Un problema común con esta técnica es decidir cuándo dejar de
diferenciar.
Se deben tener en cuenta dos aspectos básicos. En primer lugar, la
serie diferenciada debe parecer estacionaria y, en segundo lugar, su
varianza no debe ser mayor que la serie original.
Un aumento desproporcionado de la varianza en la serie resultante
podrı́a indicar una sobrediferenciación.
No Estacionaridad
Diferenciación
Otro dilema habitual es elegir entre regresión o diferenciación.
A pesar de que no hay directrices generales sobre esto, se puede
aplicar cualquiera de estas técnicas y ver si producen resultados adecuados o no.
Se puede demostrar que la aplicación de un método de regresión a
un modelo integrado producirá errores heterocedásticos.
Por otro lado, diferenciar una tendencia determinista generará errores correlacionados artificialmente.
No Estacionaridad
Diferenciación
Estos dos aspectos se pueden explicar de la siguiente manera.
Supongamos que la serie corresponde a un modelo integrado, como
en (2) con la secuencia de ruido blanco ηt , y que se ajusta un modelo
lineal yt = β0 + β1 t + εt .
P
Por lo tanto, yt = yt−1 + β1 + εt − εt−1 y εt = tk=1 ηk − β1 t.
Claramente, esta variable de error tiene una media dependiente del
tiempo E (εt ) = −β1 t y heterocedasticidad Var(εt ) = tση2 .
Por lo tanto, el modelo de regresión no satisface las suposiciones
básicas sobre un error no sistemático.
No Estacionaridad
Diferenciación
Por el contrario, si el proceso yt satisface el modelo de regresión
yt = β0 + β1 t + εt con ruido blanco εt y es diferenciado, obtenemos
zt = yt − yt−1 = β1 + εt − εt−1
La varianza de la serie resultante zt es el doble de la varianza de
los datos originales, Var(zt ) = 2σε2 , que es una indicación de un
procedimiento de diferenciación incorrecto.
No Estacionaridad
Diferenciación
Además de las dos técnicas discutidas anteriormente, hay muchos
otros métodos de transformación para lograr la estacionaria.
Por otro lado, hay metodologı́as que permiten el tratamiento directo
de datos no estacionarias, sin transformación.
Un ejemplo de estos métodos son los llamados modelos localmente
estacionarios.
Test de Blancura
Un proceso de ruido blanco es una secuencia de variables aleatorias
no correlacionadas con media cero. Si esta secuencia es gaussiana,
entonces el proceso también es independiente.
Un procedimiento fundamental en el análisis de series temporales es
la prueba de blancura. Es decir, probar si la serie es ruido blanco o
si procesa una media o estructura de dependencia más compleja.
Dada la secuencia y1 , . . . , yn , la hipótesis nula es H0 : {yt } es ruido
blanco frente a H1 : {yt } no es ruido blanco. Observe que H0 puede
fallar debido a muchas causas.
Por ejemplo, la media del proceso no es constante, su varianza no es
constante, sus observaciones están correlacionadas o combinaciones
de estos aspectos.
Test de Blancura
Los procedimientos de prueba de blancura generalmente no implican
comprobar la independencia, a menos que se asuma que la serie es
gaussiana.
Es importante enfatizar en este punto que la definición de ruido
blanco se refiere solo a una secuencia no correlacionada.
En particular, esto significa que una secuencia con cuadrados correlacionados sigue siendo ruido blanco, de acuerdo con esta definición.
Este suele ser el caso de las series temporales financieras: los retornos a menudo no están correlacionados, pero las volatilidades o
los retornos al cuadrado a menudo están correlacionados.
Test de Blancura
Por lo general, una prueba de ruido blanco tiene en cuenta las autocorrelaciones estimadas r1 , . . . , rL con
rk = ρbk ,
donde ρbk es dado por (1).
La prueba de Box-Ljung, un procedimiento bien conocido para comprobar si una secuencia es de ruido blanco o no, se puede escribir
como
L
X
rh2
,
QL = n(n + 2)
n−h
h=1
Y se puede mostrar que la estadı́stica QL sigue, aproximadamente,
una distribución de χ2 con grados de libertad L.
-3
-2
-1
0
Series
1
2
3
Test de Blancura
0
100
200
300
400
500
Time
Figura 33: Simulated Gaussian white noise sequence with zero-mean, unit
variance, and 500 observations.
Test de Blancura
0.00
-0.10
-0.05
ACF
0.05
0.10
(a)
2
4
6
8
10
6
8
10
Lag
0.6
0.4
0.0
0.2
Test
0.8
1.0
(b)
2
4
Lag
Figura 34: Sample ACF (a) and Box-Ljung test (b) for the white noise
sequence.
Test de Blancura
0.00
-0.10
-0.05
ACF
0.05
0.10
(a)
2
4
6
8
10
6
8
10
Lag
0.6
0.4
0.0
0.2
Test
0.8
1.0
(b)
2
4
Lag
Figura 35: Sample ACF (a) and Box-Ljung test (b) for the S&P500 log
returns.
Predicción
Independientemente del enfoque de modelado que uno pueda considerar, paramétrico, semiparamétrico o no paramétrico, en el análisis
de series temporales, uno suele estar interesado en predecir los valores futuros del proceso.
Dadas las observaciones hasta el tiempo t, uno puede querer pronosticar h-pasos por delante,horizonte de predicción, ybt+h , siendo la esperanza condicional el mejor predictor.
ybt+h = E [yt+h |yt , yt−1 , yt−2 , . . . ].
Predicción
El mejor predictor puede no ser necesariamente lineal, por lo que el
pronóstico óptimo puede tener una expresión diferente que dependerá de la relación entre yt y su pasado.
Para un proceso gaussiano, el mejor predictor es precisamente el
mejor predictor lineal, independientemente del modelo que vincula
yt+h con yt , yt−1 , yt−2 , . . . .
Además, tenga en cuenta que en la práctica solo hay disponible un
tramo finito de datos, {y1 , y2 , . . . , yn }, por ejemplo.
En este caso, el predictor pasado finito está dado por,
ybn+h = E [yn+h |yn , yn−1 , yn−2 , . . . , y1 ].
Predicción
En algunas otras situaciones, el interés se centra en estimar los valores pasados del proceso, el llamado procedimiento backcasting.
En este caso, uno puede querer estimar, por ejemplo, y0 , dado
{y1 , y2 , . . . , yn },
yb0 = E [y0 |y1 , y2 , . . . , yn ].
Otro procedimiento, llamado smoothing se refiere a estimar el valor
del proceso en un momento determinado t ∈ {1, 2, . . . , n} dadas las
observaciones restantes,
ybt = E [yt |y1 , . . . , yt−1 , yt+1 , . . . , yn ].
Predicción
Establezcamos como {et } a la secuencia de error de predicción, es
decir, et = yt − ybt , para t = 1, 2, . . . , n.
Un criterio básico para la bondad del ajuste en el análisis de series
temporales es que e1 , e2 , . . . , en es una secuencia de ruido blanco.
Esta hipótesis puede ser probada formalmente mediante el procedimiento Box-Ljung u otra técnica.
Si la secuencia resultante de errores de predicción no es ruido blanco,
entonces el modelo puede no ser apropiado para los datos.
Al igual que en otras áreas de la estadı́stica, al ajustar un modelo
de serie temporal, se dejan de lado algunas observaciones, para que
podamos evaluar el rendimiento fuera de la muestra del modelo.