CONCEITOS BÁSICOS E REGRAS DE DERIVAÇÃO UFMG Departamento de Engenharia Mecânica CEMETRO Prof. Meinhard Sesselmann Daniel Ferreira Teixeira 1 Introdução 2 Teoria Saber derivar é fundamental na maioria das áreas de engenharia. Em metrologia não é diferente. Uma das principais tarefas do engenheiro envolvido com metrologia é calcular as incertezas de medições. Para tanto, é constante o uso de fórmulas como: No cálculo, a derivada em um ponto de uma função π¦ = π(π₯) representa a taxa de variação instantânea de π¦ em relação a π₯ neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função posição. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto π₯ = π de π¦ = π(π₯) representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto (π, ~π(π)). A função que a cada ponto π₯ associa a derivada neste ponto de π(π₯) é chamada de função derivada de π(π₯). ππ ππ π’(πΊ) = | | π’(π₯1 ) + | | π’(π₯2 ) ππ₯1 ππ₯2 ππ +| | π’(π₯3 ) + β― ππ₯3 Sendo πΊ = π(π₯1 + π₯2 + π₯3 + β― ) Percebe-se que, para o cálculo de π’(πΊ), são usadas derivadas parciais. π’(πΊ) é chamada de incerteza padrão de uma grandeza a ser avaliada G que é função de diversos parâmetros π₯1 , π₯2 , π₯3 etc. Tendo em vista a importância da diferenciação e a dificuldade que os alunos de metrologia geralmente apresentam nesse fundamento, este texto traz uma revisão sucinta da teoria básica de derivadas e propõe exercícios que ajudarão os alunos na disciplina. 2.1 Notação ο§ Notação de Leibniz: ππ¦ π 2 π¦ , ππ₯ ππ₯ 2 ο§ Notação de Lagrange: π ´ (π₯), π ´´ (π₯) 2.2 Definição A derivada de uma função f em um ponto π, denotada por f ′ (a), é 1 π(π + β) − π(π) π ′ (π) = πππ β→0 β se o limite existe. β é um número real. Regra da constante Se π(π₯) é constante: 2.3 Derivadas notáveis A derivada de uma função pode, a princípio, ser calculada a partir da definição. Na prática, as derivadas de funções mais complexas são calculadas usando regras de derivação associadas à diversas derivadas notáveis que devem ser memorizadas. A seguir, é apresentada uma lista de derivadas mais frequentemente utilizadas. ο§ π ππ₯ π₯ π = (π − 1)π₯ π−1 ππ₯ = ππ₯ ππ₯ ο§ π ο§ ο§ π ππ₯ π ππ₯ (πΌπ + π½π)′ = πΌπ ′ + π½π′ Regra do produto π ′ π ′ π − ππ′ ( ) = π π2 1 ππ(π₯) = π₯ ππ₯ π Regra da soma Regra do quociente π ππ₯ π′ = 0 (ππ)′ = π ′ π + ππ′ ο§ ο§ A seguir, é apresentada uma lista com as principais regras de derivação. Em todos os casos π e π são funções e πΌ e π½ são constantes. para π₯ > 0 Regra da cadeia Se π(π₯) = β(π(π₯)), π ′ (π₯) = β′ (π(π₯)) ⋅ π′ (π₯) sin(π₯) = cos(π₯) 2.5 Derivadas parciais cos(π₯) = − sin(π₯) 1 π‘π(π₯) = sec 2(π₯) = cos2(π₯) = 1 + π‘π2 (π₯) 2.4 Regras de derivação O uso da definição para derivar algumas funções pode ser extremamente trabalhoso. Por isso, algumas regras de derivação devem ser entendidas e memorizadas para calcular com maior facilidade as derivadas de polinômios, funções racionais, funções algébricas, funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. 2 Quando uma função depende de mais de uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Pode-se entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixas. No gráfico, ela é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são geralmente ππ representadas como ππ₯. Por exemplo, se π(π₯, π¦) = π₯ 2 + π₯π¦ + π¦ 2 ππ = 2π₯ + π¦ ππ₯ 3 Exercícios Determine as derivadas das funções abaixo: 5 1. π¦ = −7 + 5π₯ − 2 π₯ 2 − 3π₯ 4 7 2. π¦ = (π₯ 2 − 5)2 3. π¦ = √1 − π₯ 3 6 7 1 4. π¦ = π₯ + π₯ 3 − 2π₯ 5 π₯+2 5. π¦ = π₯−2 6. π¦ = √π₯ 2 +2 1 π₯2 7. π¦ = cos(3π₯ + 1) 1 8. π¦ = sin(π₯) π₯−2 9. π¦ = sin (2π₯+3) ⋅ cos(2π₯ 3 ) 5 sin(π₯ 2 ) 10. π¦ = √−3π₯+π 5 Determine a solução das derivadas parciais abaixo: π 11. ππ₯ [sin(π₯π¦) + cos(π₯)] = π 12. ππ¦ [sin(π₯π¦) + cos(π₯)] = π 13. ππ₯ (π₯π π₯π¦ ) = π 14. ππ¦ (π₯π π₯π¦ ) = 3 15. Se π(π₯, π¦, π§, π€, π) = π§ 2 2⋅π₯⋅π¦⋅sin( ) (π€+π)2 ππ ππ ππ ππ ππ , determine: ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + ππ€ + ππ = 4 Respostas Soluções podem ser encontradas nas referências bibliográficas 3 e 4. 1. y′ = 5 + 5π₯ + 12π₯ 3 5 2. y′ = 7π₯(π₯ 2 − 5)2 3. y′ = −3π₯ 2 2√1−π₯ 3 6 21 5 4. y′ = − π₯ 2 − π₯ 4 + 2π₯ 6 4 5. y′ = − (π₯−2)2 √π₯ 2 +2 √π₯ − 2π₯ π₯ +2 √ 6. y′ = √π₯ 2 7. y′ = −3 sin(3π₯ + 1) cos(π₯) 8. y′ = − sin2(π₯) π₯−2 7 π₯−2 9. y ′ = cos (2π₯+3) ⋅ (2π₯+3)2 ⋅ cos(2π₯ 3 ) − sin (2π₯+3) ⋅ sin(2π₯ 3 ) ⋅ 6π₯ 2 1 sin(π₯ 2 ) 10. π¦ ′ = 5 (−3π₯+π 5 ) ⋅ 2π₯⋅cos(π₯ 2 )⋅(−3π₯+π 5 )+3 sin(π₯ 2 ) (−3π₯+π 5 )2 π 11. ππ₯ [sin(π₯π¦) + cos(π₯)] = π¦ cos(π₯π¦) − sin(π₯) π 12. ππ¦ [sin(π₯π¦) + cos(π₯)] = π₯ cos(π₯π¦) π 13. ππ₯ (π₯π π₯π¦ ) = (π₯π¦ + 1)π π₯π¦ π 14. ππ¦ (π₯π π₯π¦ ) = π₯ 2 π π₯π¦ 4 ππ ππ ππ ππ ππ π§ 2⋅π¦⋅sin( ) π§ 2⋅π₯⋅sin( ) π§ π₯⋅π¦⋅cos( ) 15. ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + ππ€ + ππ = (π€+π)22 + (π€+π)22 + (π€+π)22 − π§ 2 4⋅π₯⋅π¦⋅sin( ) (π€+π)3 − π§ 2 4⋅π₯⋅π¦⋅sin( ) (π€+π)3 Referências bibliográficas 1 2 3 4 https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada ACESSO EM 03/08/2016 22:37 STEWART, JAMES. CÁLCULO VOL. I. 4A EDIÇÃO http://derivative-functions.cours-de-math.eu/exercises-derivative-basic.php ACESSO EM 03/08/2016 22:37 http://www.analyzemath.com/calculus/multivariable/partial_derivatives.html ACESSO EM 03/08/2016 22:37 5