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Cálculo: Conceitos Básicos e Regras de Derivação

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CONCEITOS BÁSICOS E REGRAS DE
DERIVAÇÃO
UFMG
Departamento de Engenharia Mecânica
CEMETRO
Prof. Meinhard Sesselmann
Daniel Ferreira Teixeira
1 Introdução
2 Teoria
Saber derivar é fundamental na maioria
das áreas de engenharia. Em metrologia não é
diferente.
Uma das principais tarefas do engenheiro
envolvido com metrologia é calcular as
incertezas de medições. Para tanto, é
constante o uso de fórmulas como:
No cálculo, a derivada em um ponto de
uma função 𝑦 = 𝑓(π‘₯) representa a taxa de
variação instantânea de 𝑦 em relação a π‘₯ neste
ponto. Um exemplo típico é a função
velocidade que representa a taxa de variação
(derivada) da função posição. Do mesmo
modo a função aceleração é a derivada da
função velocidade. Geometricamente, a
derivada no ponto π‘₯ = π‘Ž de 𝑦 = 𝑓(π‘₯)
representa a inclinação da reta tangente ao
gráfico desta função no ponto (π‘Ž, ~𝑓(π‘Ž)). A
função que a cada ponto π‘₯ associa a derivada
neste ponto de 𝑓(π‘₯) é chamada de função
derivada de 𝑓(π‘₯).
πœ•π‘“
πœ•π‘“
𝑒(𝐺) = |
| 𝑒(π‘₯1 ) + |
| 𝑒(π‘₯2 )
πœ•π‘₯1
πœ•π‘₯2
πœ•π‘“
+|
| 𝑒(π‘₯3 ) + β‹―
πœ•π‘₯3
Sendo
𝐺 = 𝑓(π‘₯1 + π‘₯2 + π‘₯3 + β‹― )
Percebe-se que, para o cálculo de 𝑒(𝐺),
são usadas derivadas parciais. 𝑒(𝐺) é
chamada de incerteza padrão de uma
grandeza a ser avaliada G que é função de
diversos parâmetros π‘₯1 , π‘₯2 , π‘₯3 etc.
Tendo em vista a importância da
diferenciação e a dificuldade que os alunos de
metrologia geralmente apresentam nesse
fundamento, este texto traz uma revisão
sucinta da teoria básica de derivadas e propõe
exercícios que ajudarão os alunos na
disciplina.
2.1 Notação

Notação de Leibniz:
𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦
,
𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 2

Notação de Lagrange:
𝑓 ´ (π‘₯), 𝑓 ´´ (π‘₯)
2.2 Definição
A derivada de uma função f em um ponto
π‘Ž, denotada por f ′ (a), é
1
𝑓(π‘Ž + β„Ž) − 𝑓(π‘Ž)
𝑓 ′ (π‘Ž) = π‘™π‘–π‘š
β„Ž→0
β„Ž
se o limite existe. β„Ž é um número real.
Regra da constante
Se 𝑓(π‘₯) é constante:
2.3 Derivadas notáveis
A derivada de uma função pode, a
princípio, ser calculada a partir da definição.
Na prática, as derivadas de funções mais
complexas são calculadas usando regras de
derivação associadas à diversas derivadas
notáveis que devem ser memorizadas.
A seguir, é apresentada uma lista de
derivadas mais frequentemente utilizadas.

𝑑
𝑑π‘₯
π‘₯ 𝑛 = (𝑛 − 1)π‘₯ 𝑛−1
𝑒π‘₯ = 𝑒π‘₯
𝑑π‘₯

𝑑


𝑑
𝑑π‘₯
𝑑
𝑑π‘₯
(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)′ = 𝛼𝑓 ′ + 𝛽𝑔′
Regra do produto
𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑓𝑔′
( ) =
𝑔
𝑔2
1
𝑙𝑛(π‘₯) = π‘₯
𝑑π‘₯
𝑑
Regra da soma
Regra do quociente
𝑑
𝑑π‘₯
𝑓′ = 0
(𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′


A seguir, é apresentada uma lista com as
principais regras de derivação. Em todos os
casos 𝑓 e 𝑔 são funções e 𝛼 e 𝛽 são
constantes.
para π‘₯ > 0
Regra da cadeia
Se 𝑓(π‘₯) = β„Ž(𝑔(π‘₯)),
𝑓 ′ (π‘₯) = β„Ž′ (𝑔(π‘₯)) ⋅ 𝑔′ (π‘₯)
sin(π‘₯) = cos(π‘₯)
2.5 Derivadas parciais
cos(π‘₯) = − sin(π‘₯)
1
𝑑𝑔(π‘₯) = sec 2(π‘₯) = cos2(π‘₯) = 1 + 𝑑𝑔2 (π‘₯)
2.4 Regras de derivação
O uso da definição para derivar algumas
funções pode ser extremamente trabalhoso.
Por isso, algumas regras de derivação devem
ser entendidas e memorizadas para calcular
com maior facilidade as derivadas de
polinômios, funções racionais, funções
algébricas,
funções
exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2
Quando uma função depende de mais de
uma variável, podemos usar o conceito de
derivada parcial. Pode-se entender as
derivadas parciais como a derivada de uma
função para uma determinada variável,
enquanto as outras se mantêm fixas. No
gráfico, ela é usada para determinar a
variação da função em um determinado eixo.
Derivadas
parciais
são
geralmente
πœ•π‘“
representadas como πœ•π‘₯.
Por exemplo, se 𝑓(π‘₯, 𝑦) = π‘₯ 2 + π‘₯𝑦 + 𝑦 2
πœ•π‘“
= 2π‘₯ + 𝑦
πœ•π‘₯
3 Exercícios
Determine as derivadas das funções abaixo:
5
1. 𝑦 = −7 + 5π‘₯ − 2 π‘₯ 2 − 3π‘₯ 4
7
2. 𝑦 = (π‘₯ 2 − 5)2
3. 𝑦 = √1 − π‘₯ 3
6
7
1
4. 𝑦 = π‘₯ + π‘₯ 3 − 2π‘₯ 5
π‘₯+2
5. 𝑦 = π‘₯−2
6. 𝑦 =
√π‘₯ 2 +2
1
π‘₯2
7. 𝑦 = cos(3π‘₯ + 1)
1
8. 𝑦 = sin(π‘₯)
π‘₯−2
9. 𝑦 = sin (2π‘₯+3) ⋅ cos(2π‘₯ 3 )
5
sin(π‘₯ 2 )
10. 𝑦 = √−3π‘₯+𝑒 5
Determine a solução das derivadas parciais abaixo:
πœ•
11. πœ•π‘₯ [sin(π‘₯𝑦) + cos(π‘₯)] =
πœ•
12. πœ•π‘¦ [sin(π‘₯𝑦) + cos(π‘₯)] =
πœ•
13. πœ•π‘₯ (π‘₯𝑒 π‘₯𝑦 ) =
πœ•
14. πœ•π‘¦ (π‘₯𝑒 π‘₯𝑦 ) =
3
15. Se 𝑓(π‘₯, 𝑦, 𝑧, 𝑀, π‘˜) =
𝑧
2
2⋅π‘₯⋅𝑦⋅sin( )
(𝑀+π‘˜)2
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
, determine: πœ•π‘₯ + πœ•π‘¦ + πœ•π‘§ + πœ•π‘€ + πœ•π‘˜ =
4 Respostas
Soluções podem ser encontradas nas referências bibliográficas 3 e 4.
1. y′ = 5 + 5π‘₯ + 12π‘₯ 3
5
2. y′ = 7π‘₯(π‘₯ 2 − 5)2
3. y′ =
−3π‘₯ 2
2√1−π‘₯ 3
6
21
5
4. y′ = − π‘₯ 2 − π‘₯ 4 + 2π‘₯ 6
4
5. y′ = − (π‘₯−2)2
√π‘₯ 2 +2
√π‘₯
− 2π‘₯ π‘₯
+2
√
6. y′ = √π‘₯ 2
7. y′ = −3 sin(3π‘₯ + 1)
cos(π‘₯)
8. y′ = − sin2(π‘₯)
π‘₯−2
7
π‘₯−2
9. y ′ = cos (2π‘₯+3) ⋅ (2π‘₯+3)2 ⋅ cos(2π‘₯ 3 ) − sin (2π‘₯+3) ⋅ sin(2π‘₯ 3 ) ⋅ 6π‘₯ 2
1
sin(π‘₯ 2 )
10. 𝑦 ′ = 5 (−3π‘₯+𝑒 5 ) ⋅
2π‘₯⋅cos(π‘₯ 2 )⋅(−3π‘₯+𝑒 5 )+3 sin(π‘₯ 2 )
(−3π‘₯+𝑒 5 )2
πœ•
11. πœ•π‘₯ [sin(π‘₯𝑦) + cos(π‘₯)] = 𝑦 cos(π‘₯𝑦) − sin(π‘₯)
πœ•
12. πœ•π‘¦ [sin(π‘₯𝑦) + cos(π‘₯)] = π‘₯ cos(π‘₯𝑦)
πœ•
13. πœ•π‘₯ (π‘₯𝑒 π‘₯𝑦 ) = (π‘₯𝑦 + 1)𝑒 π‘₯𝑦
πœ•
14. πœ•π‘¦ (π‘₯𝑒 π‘₯𝑦 ) = π‘₯ 2 𝑒 π‘₯𝑦
4
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
πœ•π‘“
𝑧
2⋅𝑦⋅sin( )
𝑧
2⋅π‘₯⋅sin( )
𝑧
π‘₯⋅𝑦⋅cos( )
15. πœ•π‘₯ + πœ•π‘¦ + πœ•π‘§ + πœ•π‘€ + πœ•π‘˜ = (𝑀+π‘˜)22 + (𝑀+π‘˜)22 + (𝑀+π‘˜)22 −
𝑧
2
4⋅π‘₯⋅𝑦⋅sin( )
(𝑀+π‘˜)3
−
𝑧
2
4⋅π‘₯⋅𝑦⋅sin( )
(𝑀+π‘˜)3
Referências bibliográficas
1
2
3
4
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada ACESSO EM 03/08/2016 22:37
STEWART, JAMES. CÁLCULO VOL. I. 4A EDIÇÃO
http://derivative-functions.cours-de-math.eu/exercises-derivative-basic.php ACESSO EM
03/08/2016 22:37
http://www.analyzemath.com/calculus/multivariable/partial_derivatives.html ACESSO EM
03/08/2016 22:37
5
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