CONCEITOS BÁSICOS E REGRAS DE
DERIVAÇÃO
UFMG
Departamento de Engenharia Mecânica
CEMETRO
Prof. Meinhard Sesselmann
Daniel Ferreira Teixeira
1 Introdução
2 Teoria
Saber derivar é fundamental na maioria
das áreas de engenharia. Em metrologia não é
diferente.
Uma das principais tarefas do engenheiro
envolvido com metrologia é calcular as
incertezas de medições. Para tanto, é
constante o uso de fórmulas como:
No cálculo, a derivada em um ponto de
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa a taxa de
variação instantânea de 𝑦 em relação a 𝑥 neste
ponto. Um exemplo típico é a função
velocidade que representa a taxa de variação
(derivada) da função posição. Do mesmo
modo a função aceleração é a derivada da
função velocidade. Geometricamente, a
derivada no ponto 𝑥 = 𝑎 de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
representa a inclinação da reta tangente ao
gráfico desta função no ponto (𝑎, ~𝑓(𝑎)). A
função que a cada ponto 𝑥 associa a derivada
neste ponto de 𝑓(𝑥) é chamada de função
derivada de 𝑓(𝑥).
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑢(𝐺) = |
| 𝑢(𝑥1 ) + |
| 𝑢(𝑥2 )
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓
+|
| 𝑢(𝑥3 ) + ⋯
𝜕𝑥3
Sendo
𝐺 = 𝑓(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ )
Percebe-se que, para o cálculo de 𝑢(𝐺),
são usadas derivadas parciais. 𝑢(𝐺) é
chamada de incerteza padrão de uma
grandeza a ser avaliada G que é função de
diversos parâmetros 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 etc.
Tendo em vista a importância da
diferenciação e a dificuldade que os alunos de
metrologia geralmente apresentam nesse
fundamento, este texto traz uma revisão
sucinta da teoria básica de derivadas e propõe
exercícios que ajudarão os alunos na
disciplina.
2.1 Notação

Notação de Leibniz:
𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦
,
𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

Notação de Lagrange:
𝑓 ´ (𝑥), 𝑓 ´´ (𝑥)
2.2 Definição
A derivada de uma função f em um ponto
𝑎, denotada por f ′ (a), é
1
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
ℎ
se o limite existe. ℎ é um número real.
Regra da constante
Se 𝑓(𝑥) é constante:
2.3 Derivadas notáveis
A derivada de uma função pode, a
princípio, ser calculada a partir da definição.
Na prática, as derivadas de funções mais
complexas são calculadas usando regras de
derivação associadas à diversas derivadas
notáveis que devem ser memorizadas.
A seguir, é apresentada uma lista de
derivadas mais frequentemente utilizadas.

𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛 = (𝑛 − 1)𝑥 𝑛−1
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥

𝑑


𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)′ = 𝛼𝑓 ′ + 𝛽𝑔′
Regra do produto
𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑓𝑔′
( ) =
𝑔
𝑔2
1
𝑙𝑛(𝑥) = 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
Regra da soma
Regra do quociente
𝑑
𝑑𝑥
𝑓′ = 0
(𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′


A seguir, é apresentada uma lista com as
principais regras de derivação. Em todos os
casos 𝑓 e 𝑔 são funções e 𝛼 e 𝛽 são
constantes.
para 𝑥 > 0
Regra da cadeia
Se 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)),
𝑓 ′ (𝑥) = ℎ′ (𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′ (𝑥)
sin(𝑥) = cos(𝑥)
2.5 Derivadas parciais
cos(𝑥) = − sin(𝑥)
1
𝑡𝑔(𝑥) = sec 2(𝑥) = cos2(𝑥) = 1 + 𝑡𝑔2 (𝑥)
2.4 Regras de derivação
O uso da definição para derivar algumas
funções pode ser extremamente trabalhoso.
Por isso, algumas regras de derivação devem
ser entendidas e memorizadas para calcular
com maior facilidade as derivadas de
polinômios, funções racionais, funções
algébricas,
funções
exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2
Quando uma função depende de mais de
uma variável, podemos usar o conceito de
derivada parcial. Pode-se entender as
derivadas parciais como a derivada de uma
função para uma determinada variável,
enquanto as outras se mantêm fixas. No
gráfico, ela é usada para determinar a
variação da função em um determinado eixo.
Derivadas
parciais
são
geralmente
𝜕𝑓
representadas como 𝜕𝑥.
Por exemplo, se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝜕𝑓
= 2𝑥 + 𝑦
𝜕𝑥
3 Exercícios
Determine as derivadas das funções abaixo:
5
1. 𝑦 = −7 + 5𝑥 − 2 𝑥 2 − 3𝑥 4
7
2. 𝑦 = (𝑥 2 − 5)2
3. 𝑦 = √1 − 𝑥 3
6
7
1
4. 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 3 − 2𝑥 5
𝑥+2
5. 𝑦 = 𝑥−2
6. 𝑦 =
√𝑥 2 +2
1
𝑥2
7. 𝑦 = cos(3𝑥 + 1)
1
8. 𝑦 = sin(𝑥)
𝑥−2
9. 𝑦 = sin (2𝑥+3) ⋅ cos(2𝑥 3 )
5
sin(𝑥 2 )
10. 𝑦 = √−3𝑥+𝑒 5
Determine a solução das derivadas parciais abaixo:
𝜕
11. 𝜕𝑥 [sin(𝑥𝑦) + cos(𝑥)] =
𝜕
12. 𝜕𝑦 [sin(𝑥𝑦) + cos(𝑥)] =
𝜕
13. 𝜕𝑥 (𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) =
𝜕
14. 𝜕𝑦 (𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) =
3
15. Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑘) =
𝑧
2
2⋅𝑥⋅𝑦⋅sin( )
(𝑤+𝑘)2
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
, determine: 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 + 𝜕𝑘 =
4 Respostas
Soluções podem ser encontradas nas referências bibliográficas 3 e 4.
1. y′ = 5 + 5𝑥 + 12𝑥 3
5
2. y′ = 7𝑥(𝑥 2 − 5)2
3. y′ =
−3𝑥 2
2√1−𝑥 3
6
21
5
4. y′ = − 𝑥 2 − 𝑥 4 + 2𝑥 6
4
5. y′ = − (𝑥−2)2
√𝑥 2 +2
√𝑥
− 2𝑥 𝑥
+2
√
6. y′ = √𝑥 2
7. y′ = −3 sin(3𝑥 + 1)
cos(𝑥)
8. y′ = − sin2(𝑥)
𝑥−2
7
𝑥−2
9. y ′ = cos (2𝑥+3) ⋅ (2𝑥+3)2 ⋅ cos(2𝑥 3 ) − sin (2𝑥+3) ⋅ sin(2𝑥 3 ) ⋅ 6𝑥 2
1
sin(𝑥 2 )
10. 𝑦 ′ = 5 (−3𝑥+𝑒 5 ) ⋅
2𝑥⋅cos(𝑥 2 )⋅(−3𝑥+𝑒 5 )+3 sin(𝑥 2 )
(−3𝑥+𝑒 5 )2
𝜕
11. 𝜕𝑥 [sin(𝑥𝑦) + cos(𝑥)] = 𝑦 cos(𝑥𝑦) − sin(𝑥)
𝜕
12. 𝜕𝑦 [sin(𝑥𝑦) + cos(𝑥)] = 𝑥 cos(𝑥𝑦)
𝜕
13. 𝜕𝑥 (𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) = (𝑥𝑦 + 1)𝑒 𝑥𝑦
𝜕
14. 𝜕𝑦 (𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) = 𝑥 2 𝑒 𝑥𝑦
4
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑧
2⋅𝑦⋅sin( )
𝑧
2⋅𝑥⋅sin( )
𝑧
𝑥⋅𝑦⋅cos( )
15. 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 + 𝜕𝑘 = (𝑤+𝑘)22 + (𝑤+𝑘)22 + (𝑤+𝑘)22 −
𝑧
2
4⋅𝑥⋅𝑦⋅sin( )
(𝑤+𝑘)3
−
𝑧
2
4⋅𝑥⋅𝑦⋅sin( )
(𝑤+𝑘)3
Referências bibliográficas
1
2
3
4
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada ACESSO EM 03/08/2016 22:37
STEWART, JAMES. CÁLCULO VOL. I. 4A EDIÇÃO
http://derivative-functions.cours-de-math.eu/exercises-derivative-basic.php ACESSO EM
03/08/2016 22:37
http://www.analyzemath.com/calculus/multivariable/partial_derivatives.html ACESSO EM
03/08/2016 22:37
5