Modelagem de Sistemas de
Controle
Eng. Me. Rafael Alex Vieira do Vale
Definições dos Sistemas de Controle
• Para Nise (2013), sistema de controle consiste em subsistemas
(plantas) construídos com objetivo de obter uma saída desejada com
o desempenho desejado por uma entrada especificada;
• A entrada representa a resposta desejada e a saída a resposta real;
• Mas, a saída não varia instantaneamente como a saída, a saída tem
uma resposta gradual;
• As entidade físicas do sistema armazenam ou dissipam energia o que
explica o atraso da resposta da saída com relação a entrada;
• A mudança gradual na saída é a Resposta Transitória;
Definições dos Sistemas de Controle
• Após a resposta transitória o sistema físico tende à estabilidade ou
Regime Estacionário;
• A resposta em regime estacionário é uma aproximação do estímulo
de entrada;
• A diferença entre o sinal de entrada e saída é o erro de sinal
estacionário;
Nise (2013)
Configurações de Sistemas
• As principais configurações aplicados em sistemas de controle são:
• Sistemas de Controle em Malha Aberta;
• Sistemas de Controle em Malha Fechada;
Sistema em Malha Aberta
• Considerando o esquema:
Nise (2013)
• Em um sistema em malha aberta o estímulo de entrada pode ser
captado por um transdutor de entrada enviando um sinal adequado
para o controlador;
• O controlador aciona o processo (planta) a ser controlada;
• O estímulo ou sinal de entrada é o sinal de referência;
• A saída do sistema é a Variável Controlada;
Sistema em Malha Aberta
• Durante o processo de execução do controle do processo pode
ocorrer perturbações são adicionados às saídas do controlador e da
planta controlada;
• Essas perturbações se somam, algebricamente, aos sinais que saem
do controlador e da planta modificando a resposta desejada;
• É desvantagem para este tipo de sistema a impossibilidade de
correção ou compensações relativo as perturbações;
• Esses sistemas são comandados simplesmente pelo sinal de entrada;
Sistema em Malha Fechada
• Considerando o seguinte sistema em malha fechada:
Nise (2013)
• Os sistema de malha fechada diferem dos de malha aberta pela
inclusão de uma realimentação do sinal de saída subtraído do sinal de
entrada do controlador;
Sistema em Malha Fechada
• A sensibilidade dos sistemas de malha aberta às perturbações é
compensada pela realimentação do sistema de malha fechada;
• Um transdutor de saída adequa o sinal da variável controlada para o
primeira junção de soma da malha;
• Quando existe diferença entre a entrada e o sinal de realimentação o
controlador envia um sinal para que a planta faça a correção do sinal
desejado;
• A resposta transitória e os erros em regime permanente podem ser
controlado de forma mais conveniente e com maior flexibilidade para
sistema em malha fechada;
Estabilidade
• Em um sistema controlado a resposta total do sistema é:
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 + 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑑𝑎
• A resposta natural é referente ao modo como o sistema armazena ou
dissipa energia;
• A natureza da resposta natural depende, exclusivamente, dos
componentes do sistema e não da entrada;
• A resposta forçada dependerá do sinal de referência na entrada;
Estabilidade
• Para um sistema de controle ser utilizado a resposta natural pode ter
duas características:
• Tender a zero, com a resposta final igual o sinal de entrada;
• Oscilar (Caso de sistema Não-Amortecidos);
• Em alguns casos, porém, a resposta natural cresce, indefinidamente,
que supera a resposta forçada;
• Quando ocorre esta crescente da resposta natural o sistema deixa de
ser controlado em condição de Instabilidade;
Procedimentos de Projeto
• Segundo Nise (2013), o projetista de sistema de controle deve seguir
alguns passo para a concepção do seu projeto:
• Transformar Requisitos em um Sistema Físico;
• Desenha Diagrama de Blocos Funcional;
• Criar um Esquema;
• Desenvolver um Modelo Matemático (Transformada de Laplace ou Espaço de
Estados);
• Reduzir o Diagrama de Blocos;
• Fazer a análise e conceber o projeto;
Modelagem do Sistema de Controle
• Os sistemas de controle podem ser modelados em dois domínios:
• Modelagem no Domínio da Frequência;
• Modelagem no Domínio do Tempo;
Modelagem no Domínio da Frequência
• A princípio, a modelagem no domínio da frequência e realizada
utilizando a transformada de Laplace;
• A transformada permite representar a equação diferencial do sistema
por equações algébricas;
• Além de representar a entrada e a saída como entidades separadas;
• Por definição:
Em que s = σ + jω
ℒ𝑓 𝑡
∞
= 𝐹 𝑠 = න 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0−
Modelagem no Domínio da Frequência
• Assim, conhecendo a função f(t) é possível determinar F(s) caso a
integral convirja dentro do intervalo de integração;
• Determinada a resposta no domínio da frequência de deseja retornar
ao domínio do tempo é necessário aplicar a Transformada Inversa de
Laplace;
• Por definição:
ℒ −1 𝐹 𝑠
1 𝜎+𝑗∞
න
𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠 = 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡
=
2𝜋𝑗 𝜎−𝑗∞
Função de Transferência
• Após o fim da modelagem analisando o sistema no domínio da
frequência, o projetista irá obter uma equação geral que define o
sistema de controle de forma matemática;
• Ou equações que determinarão algebricamente os subsistemas desse
sistema de controle
• Essa equação relaciona a saída do sistema com a entrada do sistema
ou dos subsistemas avaliados;
Função de Transferência
• Considerando uma equação diferencial genérica de ordem n e linear:
𝑑𝑛 𝑐 𝑡
𝑑 𝑛−1 𝑐 𝑡
𝑑𝑚 𝑟 𝑡
𝑑 𝑚−1 𝑟 𝑡
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0 𝑐 𝑡 = 𝑏𝑚
+ 𝑏𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏0 𝑟 𝑡
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛−1
𝑑𝑡 𝑚
𝑑𝑡 𝑚−1
• Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:
𝑎𝑛 𝑠 𝑛 𝐶 𝑠 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 𝐶 𝑠 + … + 𝑎0 𝐶 𝑠 = 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 𝑅 𝑠 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 𝑅 𝑠 + ⋯ + 𝑏0 𝑅 𝑠
Função de Transferência
• Colocando os termos C(s) e R(s) em evidência:
𝐶 𝑠 𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 = 𝑅 𝑠 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
• Dividindo a saída C(s) pela entrada R(s):
𝐶 𝑠
𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
=
𝑅 𝑠
𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
Função de Transferência
• A razão entre a saída e a entrada do sistema ou subsistema é
denominada Função de Transferência para condições inicias nulas;
• Matematicamente, a função separa a entrada, a saída do próprio
sistema;
• A equação da função de transferência G(s) pode ser representada por
um diagrama de bloco:
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 .𝑅 𝑠
Nise (2013)
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Os circuitos elétricos muitas vezes são constituídos de elementos
passivos (Resistores, Indutores e Capacitores) e Ativos
(Amplificadores Operacionais) bem como a combinação deles;
• Os princípios básicos para a resolução de problemas elétricos são as
Leis de Kirchoff e a Lei de Ohm;
• Usando estas leis é possível determinar a equação diferencial que
rege a dinâmica do circuito;
• Feito isso é aplicada a transformada de Laplace para determinar a
função de transferência relativo a entrada aplicada e a saída
desejada;
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• A partir das equações diferenciais dos elementos passivos
armazenadores e dissipadores de energia são determinadas as
seguintes relações:
Nise (2013)
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Durante a análise cada elemento passivo apresenta a sua impedância
no domínio da frequência:
1
𝑉𝐶 𝑠
=
(𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟)
𝐶𝑠
𝐼 𝑠
𝑉𝐿 𝑠
(𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟)
𝐿𝑠 =
𝐼 𝑠
𝑉𝑅 𝑠
𝑅=
(𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟)
𝐼 𝑠
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Em circuito elétricos ativos como os Amplificadores Operacionais;
• Algumas características são inerentes aos Amplificadores
Operacionais:
• Entrada Diferencial: V2(t) – V1(t) ;
• Alta Impedância de Entrada: Ze = ∞ (Ideal);
• Baixa Impedância de Saída: Zs = 0 (ideal);
• Alto ganho de Amplificação: A = ∞ (Ideal);
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Considerando a tensão de saída de um amplificador operacional:
𝑉 𝑡 = 𝐴 𝑉2 𝑡 − 𝑉1 𝑡
• Os amplificadores operacionais podem ser classificados de acordo
com o sinal de saída:
• Amplificador Operacional Inversor;
• Amplificador Operacional Não-Inversor;
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• O circuito com amplificador operacional inversor básico o sinal de
entrada a ser amplificada é conectada ao terminal negativo com
terminal positivo aterrado;
• Considerando, agora o circuito amplificador:
𝑉𝑠 𝑡 = −𝐴𝑉1 (𝑡)
Nise (2013)
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Aplicando impedâncias ao amplificador operacional aplicando a
transformada de Laplace aos componentes, entrada e saída:
𝐼1 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑉𝑒 𝑠 −0
0−𝑉𝑠 𝑠
=
𝑍1 𝑠
𝑍2 𝑠
Nise (2013)
𝑉𝑒 𝑠
𝑉𝑠 𝑠
−𝑍1 𝑠
=
𝑍2 𝑠
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Em um circuito não-inversor a entrada está conectada ao polo
positivo do amplificador operacional, mantendo o sinal de entrada e
saída em fase:
• Considerando o circuito e analisando no domínio da frequência:
𝑉𝑠 𝑠 = 𝐴 𝑉𝑒 𝑠 − 𝑉1 (𝑠)
𝑉1 𝑠
Nise (2013)
𝑍1
𝑉𝑠 (𝑠)
=
𝑍1 +𝑍2
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Aplicando o resultado em na equação de saída do amplificador:
𝑉𝑠 𝑠 = 𝐴 𝑉𝑒 𝑠 − 𝑉1 (𝑠) =
𝑉𝑠 𝑠 = 𝐴
Nise (2013)
𝑍1
𝑉 (𝑠)
𝑉𝑒 −
𝑍1 +𝑍2 𝑠
𝑉𝑠 (𝑠)
𝐴
=
𝑍
𝑉𝑒 (𝑠)
1+𝐴 1
𝑍1 +𝑍2
=
Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Por fim, considerando que o ganho A muito grande a função de
transferência pode ser escrita como:
𝑉𝑠 (𝑠)
𝑍1 +𝑍2
=
𝑉𝑒 (𝑠)
𝑍1
Nise (2013)
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• A modelagem de sistemas mecânicos é realizada aplicando ao sistema
estudado as Leis de Newton;
• Os sistemas mecânicos podem ser representados por elementos
armazenadores e dissipadores de energia:
• Massa;
• Mola;
• Amortecedor;
• O processo é determinar a equação do movimento utilizando o
somatório das forças do diagrama de corpo livre igualando a zero;
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Encontrando a equação diferencial que determina a equação do
movimento é possível aplicar a transformada de Laplace para
determinar a função de transferência;
• A modelagem dos sistemas mecânicos pode ser utilizada para:
• Sistemas Mecânicos de Translação;
• Sistemas Mecânicos de Rotação;
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Considerando o movimento de translação e a partir das equações
diferenciais dos elementos armazenadores e dissipadores de energia
são determinadas as seguintes relações:
Nise (2013)
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Assim, como o dispositivos elétricos os modelos de massa, mola e
amortecedor tem a sua impedância mecânica associada de acordo com
a equação diferencial que descreve o seu comportamento:
𝐹𝑀𝑜𝑙𝑎 𝑠
(𝑀𝑜𝑙𝑎)
𝐾=
𝑋 𝑠
𝐹𝐴𝑚𝑜𝑟 𝑠
𝑠𝑓𝑣 =
(𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟)
𝑋 𝑠
𝐹𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑠
𝑀𝑠 =
(𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎)
𝑋 𝑠
2
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Como os sistemas elétricos, em alguns casos, mais de uma equação do
movimento pode ser necessária para descrever o sistema;
• O número de equações de movimento importantes para o sistema é
igual ao número de movimentos Linearmente independentes;
• Segundo Nise (2013), a independência linear significa que um ponto
no sistema pode manter-se em movimento mesmo que os demais
pontos estejam em repouso;
• Outra denominação para o número de movimentos linearmente
independentes é o número de Graus de Liberdade;
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Os sistema mecânicos de rotação tem análise muito similar aos
sistemas mecânicos de translação;
• Deve-se determinar os graus de liberdade aplicando o somatório dos
torque igual a zero;
• Mas, agora o movimento é a rotação sobre o eixo de rotação dos
modelos de momento de inércia, mola e amortecedor;
• Uma peculiaridade dos sistemas mecânicos de rotação é a substituição
da grandeza da massa pelo seu equivalente em rotação, o Momento de
Inércia;
• A força será substituído pelo Torque e o deslocamento linear será
substituído pelo Deslocamento Angular;
Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
• Considerando o movimento de rotação e a partir das equações
diferenciais dos elementos armazenadores e dissipadores de energia
são determinadas as seguintes relações:
Nise (2013)
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• As impedância mecânicas para o movimento de rotação são:
𝑇𝑀𝑜𝑙𝑎 𝑠
𝐾=
(𝑀𝑜𝑙𝑎)
𝜃 𝑠
𝑇𝐴𝑚𝑜𝑟 𝑠
𝐷𝑠 =
(𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟)
𝜃 𝑠
𝐽𝑠 2 =
𝑇𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑠
(𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑐𝑖𝑎)
𝜃 𝑠
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• Nos sistemas mecânicos de rotação a transferência de energia
mecânica pode ser realizada com engrenagens;
• Essas engrenagens são dispositivos mecânicos de acoplamento
utilizados para compatibilizar o torque e a velocidade de sistema
rotativos:
• As relações entre torque e velocidade dependem diretamente do
raios e do número de dentes presentes em cada engrenagem
acoplada;
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• Considerando um conjunto com duas engrenagens:
Nise (2013)
• Para a simplificação do modelo mecânico é conveniente que o
acoplamento é perfeito sem perdas durante a rotação
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• Durante o movimento o deslocamento linear em cada uma das
engrenagens é a mesma:
𝑙1 = 𝑙2
𝑟1 𝜃1 𝑡 = 𝑟2 𝜃2 𝑡
𝑁1 𝑟1 𝜃2 𝑡
= =
𝑁2 𝑟2 𝜃1 𝑡
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• Em um modelo sem perdas entre as engrenagens a potência
mecânica é constante para as duas engrenagens:
𝑃1 = 𝑃2
𝑑𝜃1 𝑡
𝑑𝜃2 𝑡
= 𝑇2 (𝑡)
= 𝑇1 𝑑𝜃1 = 𝑇2 𝑑𝜃2
𝑇1 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑇1
𝜃2
𝑁1
𝑇1 𝜃1 = 𝑇2 𝜃2 = = =
𝑇2
𝜃1
𝑁2
Funções de Transferência de Sistemas
Mecânicos
• Diante dos resultados é possível observar que existe relação linear
entre os torques em cada engrenagem, os raios e o número de dentes
e relação inversa com o deslocamento angular:
• Em termos de diagramas de blocos os resultados obtidos podem ser
descritos como:
Nise (2013)
Modelagem no Domínio do Tempo
• De acordo com Nise (2013), a modelagem no domínio do tempo pode
ser realizada pela abordagem em Espaço de Estados;
• Essa abordagem é capaz de permitir a modelagem de uma variedade
de sistemas lineares ou não-lineares com condições iniciais nulas ou
não nulas;
• Muitos sistemas denotam múltiplas entradas e múltiplas saídas e a
modelagem em espaço de estados permite um modelo compacto e
mais preciso similar a um modelo de uma entrada e uma saída;
Modelagem no Domínio do Tempo
• A representação em Espaço de Estados tem como princípio básico a
combinação linear de n variáveis e que todas sejam Linearmente
Independentes;
• Segundo Ogata (2010), Estado de um sistema dinâmico é o menor
conjunto Variáveis de Estado, tais que o conhecimento das variáveis
em condições iniciais em conjunto com o conhecimento da entrada
determina completamente do comportamento do sistema;
• O Vetor de Estado é um vetor em que seus elementos são variáveis
de estado;
Modelagem no Domínio do Tempo
• Então, Espaço de Estados é um conjunto n – dimensional cujos eixos
coordenados são todas as variáveis de estado;
• O espaço de estados é descrito n equações conhecidas como
Equações de Estado com n variáveis de estado;
• É peculiar da análise em espaço de estado que todas as equações
diferenciais das equações de estado sejam de primeira ordem;
• Assim, uma equação diferencial de n-ésima ordem podem ser
representado por n equações de estado;
• A Equação de Saída é uma equação algébrica que expressa as
variáveis de saída como combinações lineares das variáveis de estado
e da entrada;
Modelagem no Domínio do Tempo
• A modelagem no domínio do tempo pode ser expresso pelas
equações matriciais:
Em que:
𝑥ሶ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥1
𝑢1
𝑥ሶ 1
𝑥2
𝑢2
𝑥ሶ 2
𝑎11
.
.
.
𝑥ሶ = . ; 𝑥 = . ; 𝑢 = . ; 𝐴 = ⋮
𝑎𝑛1
.
.
.
𝑥𝑛
𝑢𝑛
𝑥ሶ 𝑛
⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
Conversão de Função de Transferência para
Espaço de Estados
• Utilizando a equação diferencial genérica de ordem n;
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
+ 𝑎𝑛−1 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1
+ 𝑎0 𝑦 = 𝑏0 𝑢
𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
• Para Nise (2013), um modo conveniente as variáveis de estado é
escolher a saída y(t) e as suas (n-1) derivadas em termos de variáveis
de estado;
Conversão de Função de Transferência para
Espaço de Estados
• Então, escolhendo as í-esimas variáveis de estado para a equação:
𝑑𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
; 𝑥3 = 2 ; … ; 𝑥𝑛 = 𝑛−1
𝑥1 = 𝑦; 𝑥2 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
• Derivando ambos os lados das equações acima:
𝑑𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑3 𝑦
𝑑𝑛 𝑦
𝑥ሶ 1 =
; 𝑥ሶ 2 = 2 ; 𝑥ሶ 3 = 3 ; … ; 𝑥𝑛ሶ = 𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Conversão de Função de Transferência para
Espaço de Estados
• Substituindo os resultados:
𝑥ሶ 1 = 𝑥2 ; 𝑥ሶ 2 = 𝑥3 ; … ; 𝑥𝑛−1
ሶ = 𝑥𝑛
• A equação diferencial em termos de espaço de estados será:
𝑥ሶ 𝑛 = −𝑎𝑛 𝑥1 − 𝑎𝑛−1 𝑥1 − ⋯ − 𝑎1 𝑥𝑛 + 𝑏0 𝑢
Conversão de Função de Transferência para
Espaço de Estados
• Aplicando a forma matricial:
𝑥ሶ 1
0
𝑥ሶ 2
0.
.
. = .
.
.
−𝑎𝑛
𝑥ሶ 𝑛
1
0.
.
.
−𝑎𝑛−1
0
1.
.
..
.
..
.
..
0
0.
. . . .
.
. . . .
.
−𝑎𝑛−2 . . . −𝑎1
𝑥1
0
𝑥2
0.
.
. + . 𝑢
.
.
𝑥𝑛
𝑏0
Conversão de Função de Transferência para
Espaço de Estados
• E a equação de saída pode ser representada por:
𝑦= 1 0
. .
𝑥1
𝑥2
.
. 0 .
.
𝑥𝑛
• Para converter a função de transferência em espaço de estado é
necessário designar a resposta determinando a saída e aplicando a
transformada de Laplace inversa com condições iniciais nulas;
Conversão de Espaço de Estados Para Função
de Transferência
• Partindo da definição geral de Espaço de Estados:
𝑥ሶ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
• Admitindo condições iniciais nulas escrevendo as equações no
domínio da frequência:
𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)
𝑌 𝑠 = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)
Conversão de Espaço de Estados Para Função
de Transferência
• O próximo passo é isolar X(S), de modo que:
𝑋(𝑠)(𝑠𝐼 − 𝐴) = 𝐵𝑈(𝑠)
𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠)
• Em que I é a matriz identidade;
Conversão de Espaço de Estados Para Função
de Transferência
• Agora, substituindo X(S) na equação da saída no domínio da
frequência:
𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵𝑈 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠
𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷 𝑈(𝑠)
• A função de transferência para condições iniciais nulas é a razão
algébrica entre a resposta de saída e a entrada;
Conversão de Espaço de Estados Para Função
de Transferência
• Logo, a referida função de transferência será:
𝑌(𝑠)
𝐺 𝑠 =
= 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷
𝑈(𝑠)
• NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. Sexta Edição.
LTC, 2013.
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. Quinta Edição.
Pearson, 2010.