Chuyên đề 13. BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ

Một biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân
thức gọi là biểu thức hữu tỉ.

Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ
thành một phân thức.

Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được
xác định.
B. Một số ví dụ
ж 6- xц
1 x 3+ x
ч
зз1.
ч
ч2
зи
3 ш
4
- 2
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = x - 3 +
2
2
Giải
Tìm cách giải. Đối với những biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, chúng ta nên biến đổi dần dần ở
tử thức của từng phân thức trước. Sau đó được biểu thức đơn giản hơn, rồi rút gọn tiếp.
Trình bày lời giải
ж 6- xц
1 x 3+ x
ч
зз1.
ч
ч
зи
3 ш2 2
4
Ta có: A = x - 3 +
2
2
3- 6 + x
2 x - 3- x
3
= x - 3+
4
8
= x - 3+
ж 1 1ц
x- 3 x- 3
23x - 69
= (x - 3)зз1+
- ч
=
ч
ч
з
и 12 8ш
12
8
24
Ví dụ 2. Cho biểu thức
й3 ж 4 x 4 + 1ц x 3 - x (4x - 1)- 4 щ x 2 + 29x + 78
ч
ъ:
ч
A = к - зз x - 2
. 7
6
2
ч
к2 зи
ъ
ч
x
+
1
x
+
6
x
x
6
ш
л
ы 3x + 12x - 36
a) Rútt gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
Giải
Tìm cách giải. Những biểu thức có nhiều ngoặc, chúng ta thực hiện trong ngoặc tròn trước, sau đó thực hiện
đến ngoặc vuông. Khi thực hiện chúng ta nên rút gọn biểu thức nếu có thể nhằm đưa về những phân thức
đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có
й
щ
3 x6 + x 4 - x 4 - 1 x3 - 4 x 2 + x - 4 ъ (x + 3)(x + 26)
A = кк .
ъ:
x2 + 1
(x + 6)(x6 - 1) ъы 3(x + 6)(x - 2)
кл2
2
й
щ
3 x6 - 1 (x - 4)(x + 1)ъ 3(x + 6)(x - 2)
= кк - 2
ъ.
6
(x + 3)(x + 26)
кл2 x + 1 (x + 6)(x - 1)ъ
ы
й3 x - 4 щ3(x + 6)(x - 2)
ъ.
= к кл2 x + 6 ы
ъ (x + 3)(x + 26)
=
3x + 18 - 2 x + 8 3(x + 6)(x - 2)
.
2(x + 6)
(x + 3)(x + 26)
=
x + 26 3(x + 6)(x - 2) 3x - 6
=
2(x + 6) (x + 3)(x + 26) 2 x + 6
b) Tập xác định x П {1;2;- 3;- 6;- 26}
A О Z Ю 2A =
6x - 12 3x - 6
15
=
= 3ОZ
2x + 6
x+ 3
x+ 3
Suy ra các trường hợp sau:
x+ 3
1
-1
3
-3
5
-5
15
-15
x
-2
-4
0
-6
2
-8
12
-18
So sánh với tập xác định và thử lại thì x О {- 2;- 4;0;- 8;12;- 18} thì A О Z
й(a + 2)2 - a2
щ
жa2 + a - 2 ц
3 ъ
*
к
ч
з
ч
Ví dụ 3. Cho biểu thức M = зз n+ 1
ъ(n О N )
n чк
2
a2 - a ъ
иa - 3a ч
шк 4a - 4
л
ы
a) Rút gọn M.
b) Với a > 2 . Chứng minh rằng: 0 < M < 1
Giải
a) Ta có: M =
щ
(a - 1)(a + 2) йк 4a + 4
3 ъ
.
ъ
an (a - 3) кл
к4(a + 1)(a - 1) a(a - 1)ъ
ы
=
(a - 1)(a + 2) йк 4a
12 щ
ъ
n
ъ
a (a - 3) кл
4
a
a
1
4
a
a
1
(
)
(
)
к
ъ
ы
=
(a - 1)(a + 2) йк a - 3 ъщ a + 2
.
= n+ 1
an (a - 3) кклa(a - 1)ъ
ъ
ы a
b) Ta có: M =
a+ 2 a+ a
2a
2
2
< n+ 1 (vì a < 2 ) Ю M < n+ 1 = n < n < 1
n+ 1
a
a
a
a
2
mặt khác: a + 2 > 0; an+ 1 > 0 Ю M > 0
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
2
жx y
цж1 1 ц
зз + + 1ч
чзз - ч
ч
чзиx y ш
ч
зи y x
ш
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức P =
x 2 y2 ж
x yц
+ 2 - зз + ч
ч
2
ч
з y xш
y
x и
Giải
2
ц
x2 + y2 + xy ж
зз x - y ч
ч
ч
зи xy ш
xy
Ta có: P =
2
2
x
y
x2 + y2
+
y2 x2
xy
2
4
4
2
2
x2 + xy + y2 (x - y) x + y - (x + y ) xy
=
. 2 2 :
xy
x y
x 2 y2
2
x 2 + xy + y2 (x - y) x 4 + y4 - x 3 y - y3 x
=
. 2 2 :
xy
x y
x 2 y2
2
x2 + xy + y2 (x - y)
x2 y2
=
. 2 2 .
xy
x y
(x - y)(x3 - y3 )
2
x2 + xy + y2 (x - y)
x2 y2
1
=
. 2 2 .
=
2
xy
x y
(x - y) (x2 + xy + y2 ) xy
Ví dụ 5. Giả sử x, y, z là các số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức:
м ж1 1ц ж1 1 ц ж1 1 ц
п
ч+ yз + ч
п
з
+ zзз + ч
ч
ч
п
зз
ч
ч= - 2
п x ззиy + zч
ч
з x yш
ч
ч
ш иz x ш и
н
п
п
3
3
3
п
п
оx + y + z = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức: P =
1 1 1
+ +
x y z
(Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
năm học 2001 – 2002)
Giải
Tìm cách giải. Bài toán này thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện của biến số. Quan sát, nhận thấy bài toán
có hai điều kiện nhưng có ba biến số (số biến nhiều hơn số điều kiện). Do điều kiện hai đơn giản, không
phân tích tiếp được. Với điều kiện thứ nhất, chúng ta biến đổi và nhận thấy phân tích thành nhân tử được,
tìm được mối quan hệ giữa hai trong ba biến. Từ đó tìm được cách giải sau.
Trình bày lời giải.
ж1 1ц ж1 1 ц ж1 1 ц
Từ đẳng thức: x зз + ччч+ yзз + ччч+ zзз + ччч= - 2
зиy zш
з x yш
ч зиz x ш и
ч
Ta có: 2xyz + x2z + x2 y + y2z + z2 y + z2 x = 0
Ы (xyz + x2z)+ (xyz + y2z)+ (x2 y + y2 x)+ (z2 x + z2 y) = 0
мx + y = 0
п
п
п
Ы (x + y)(y + z)(z + x) = 0 Ы п
нy + z = 0
п
п
п
п
оz + x = 0
Không mất tổng quát, giả sử x + y = 0 Ю x3 + y3 = 0
Từ x3 + y3 + z3 = 1 thì z3 = 1 Ю z = 1
Vậy P =
1 1 1 x+ y 1
+ + =
+ = 0+ 1= 1
x y z
xy
1
C. Bài tập vận dụng
13.1. Rút gọn
ж
ц a3 - 8
2 ч
2
A = ззa +
:
+
ч
ч
зи
0,5a + 1ш a + 2 2a - a2
13.2. Rút gọn biểu thức:
a
2
ж b2 + c2 - a2 ч
ц 1+ b + c b2 + c2 - (b - c)
з
ч
.
.
a) A = зз1+
ч
ч
2bc
a+ b+ c
и
ш1- a
b+ c
ж
ц
2 2
ч
зз 2
+
ч
2
2
ч
зз y - yz + z
x
3 ч
2
y z
ч
+
.
+ (x + y + z)
b) B = з
ч
зз
ч
1
1
1
1
1
x
y+ z
+ ч
+
+
ч
зз
y zч
и
ш xy yz xz
ж1
цж
3 ч
x2
1 ц
ч
з
ч
:
+
13.3. Cho A = зз + 2
ч
з
2
ч
зи3 x - 3x ч
ч
з
ш и27 - 3x
x + 3ш
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A < - 1
2
2
й
щ
x3 + 2 x 2 - x - 2 к(x + 2) - x
3 ъ
- 2
13.4. Cho biểu thức M =
к
ъ
x3 - 2 x 2 - 3x к 4 x 2 - 4
x - xъ
л
ы
Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi M = 3
2ц
ж x
цж
2
1 ч
зз x - 2 + 10 - x ч
ч
+
+
:
13.5. Cho biểu thức: A = зз 2
ч
ч
зиx - 4 2 - x x + 2 ч
ч
ш зи
x+ 2 ш
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A. Biết x =
1
2
c) Tìm giá trị của x để A < 0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
13.6. Cho Q =
12 x - 45
x + 5 2x + 3
+
x - 7x + 12 x - 4 3- x
2
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị Q tại x = 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
13.7. Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điêu kiện: x > 0, y < 0 và x + y = 1 .
й
щ
y - x к y2
2 x2 y
x2 ъ
a) Rút gọn biểu thức: A =
:к
+
ъ
xy к(x - y)2 (x2 - y2 )2 y2 - x2 ъ
кл
ъ
ы
b) Chứng minh rằng: A = - 4
13.8. Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z =
Tính giá trị M =
1 1 1
+ + = 0 và xyz = 1
x y z
x6 + y6 + z6
x3 + y3 + z3
13.9. Cho a П {0;1;- 1} và x1 =
a- 1
x- 1
x - 1
; x2 = 1
; x3 = 2
;...
a+ 2
x1 + 1
x2 + 1
Tìm a nếu x2020 = 3
6
13.10. Cho M =
ж 1ч
ц ж
ц
зз x + ч - зз x6 + 1 ч
ч
6
ч- 2
з
з
и
ш и
xч
x ш
3
ж 1ч
ц
зз x + ч + x3 + 1
ч
зи
xш
x3
a) Rút gọn M.
b) Cho x > 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của M.
2
йж1- x3
щ (1- x 2 )
ц ж1+ x3
ц
ч
зз
ъ:
ч
ч
+ xч
.
x
13.11. Cho biểu thức A = ккзз
ч
ч
ч з 1+ x
чъ 1+ x 2
зи 1- x
ши
ш
л
ы
Chứng tỏ rằng biểu thức A dương với mọi x №± 1
2
й x 2 - y2
цщ
2 ж
1 1ч
к
ъ. 1
з
+
:з + ч
13.12. Cho P = к 2
2
ч
з
ч
xy иx y шъ
x- y
клx + 2 xy + y
ъ
ы
Và Q =
1
2 xy
3
+ 2
+ 2
2
x + y (x - y )(x + y) x - 2 x + 2
Với giá trị nào của x; y thì P – Q đạt giá trị nhỏ nhất.
13.13. Rút gọn A = 2
y=
y- x
y+ x 2 y+ x 2
trong đó x > 5 và
+
+
+
xy
xy
z
xy
z
x 2 - 25
x 2 - 25
;z=
10x + 25
15x + 25
x+
x+
x
x- 5
Hướng dẫn giải – đáp số
ж
2 ц
a3 - 8
2
ч
:
+
13.1. Ta có: A = ззa +
(a №± 2;0)
ч
ч
зи
0,5a + 1ш a + 2 2a - a2
жa2 + 2a
ц (a - 2)(a2 + 2a + 4)
4 ч
2
з
ч
A= з
+
:
ч
зи a + 2
a + 2ч
a+ 2
a(a - 2)
ш
2
a2 + 2a + 4 (a - 2)(a + 2a + 4)
2
=
:
a+ 2
a+ 2
a(a - 2)
=
1
2
a- 2
1
=
=
a - 2 a(a - 2) a(a - 2) a
13.2.
2
a) A =
=
(b + c) - a2 b + c + a b2 + c2 - b2 + 2bc - c2
2bc
b + c- a
a+ b+ c
(b + c - a)(b + c + a) b + c + a
.
2bc
2bc
= a+ b+ c
b + c- a a + b + c
2(x + y)
жy - yz + z
x
3yz ц
2
yz
ч
ч
b) B = зз
+
.
+ (x + y + z)
ч
зи
x
y + z y + zч
ш x+ y+ z
xyz
2
2
2
(y + z)(y2 - yz + z2 )+ x3 - 3xy 2x(x + y)
2
=
+ (x + y + z)
x (y + z)
x + y+ z
=
y3 + z3 + x3 - 3xyz
2
2
+ (x + y + z)
1
x+ y+ z
=
(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz- zx).2
2
+ (x + y + z)
(x + y + z)
= 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz- 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= 3x2 + 3y2 + 3z2
13.3.
ц
ж1
цж
3 ч
x2
1 ч
з
ч
:
+
a) Ta có A = зз + 2
(x №0; ± 3)
ч
з
2
ч
з 3 x - 3x ч
и
ш зи27 - 3x
x + 3ч
ш
йx2 - 3x + 9 щй
щ
- x2
3x - 9
ъ: к
ъ
= кк
+
ъ к3(x - 3)(x + 3) 3(x - 3)(x + 3)ъ
3
x
x
3
(
)
к
ъ кл
ъ
л
ы
ы
йx2 - 3x + 9 щй - x2 + 3x - 9 щ - x - 3
ъ: к
ъ
= кк
ъ к3(x - 3)(x + 3)ъ=
3
x
x
3
x
(
)
к
ъл
к
ъ
л
ы
ы
b) A < - 1 Ы A + 1 < 0 Ы
- x- 3
- 3
+ 1< 0 Ы
< 0Ы x> 0
x
x
vậy x > 0; x №3 thì A < - 1
13.4.
Ta có: M =
щ
x2 (x + 2)- (x + 2) й
к x - 3 ъ. TXĐ x №{0;1;- 1}
.
ъ
x2 (x + 1)- 3x (x + 1) кл
кx (x - 1)ъ
ы
=
(x - 1)(x + 1)(x + 2) йк x - 3 щ
ъ= x + 2
к
ъ
x (x - 3)(x + 1) клx (x - 1)ы
x2
ъ
йx = 1(lo№
i)
к
x+ 2
2
M=
= 3 Ы 3x = x + 2 Ы (3x + 2)(x - 1) = 0 Ы к
- 2
кx =
x2
(thбa m· n)
кл
3
13.5.
ж x
цж
2
1 ч
10 - x2 ц
ч
з
ч
+
+
:
x
2
+
a) Ta có: A = зз 2
(x №± 2)
з
ч
ч
з x - 4 2 - x x + 2ч
ч
и
ш зи
x+ 2 ш
2ц
й
щж 2
2(x + 2)
x
x- 2
ъ: зз x - 4 + 10 - x ч
ч
A = кк
+
ч
ъ зи x + 2
ч
x+ 2 ш
к(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) (x + 2)(x - 2)ъ
л
ы
йx + x - 2 - 2x - 4 щжx2 - 4 + 10 - x2 ц
ч
ъ: зз
ч
A = кк
ч
ъ
ч
з
x
2
x
+
2
x
+
2
(
)(
)
и
ш
к
ъ
л
ы
A=
- 6
6
1
:
=
(x - 2)(x + 2) x + 2 2 - x
й
1
кx = (thбa m· n)
1
к
2
b) x = Ы к
2
1
к
кx = - (thбa m· n)
кл
2
với x =
1
1
2
thì A =
=
2
1,5 3
với x = -
1
1
2
thì A =
=
2
2,5 5
c) A < 0 Ы 2 - x < 0 Ы x > 2
Vậy với x > 2 thì A < 0
d) A О Z Ы 1M
(2 - x) О {± 1}Ы x О {3;1}
Vậy với x О {3;1} thì A О Z
13.6.
a) TXĐ: x №3; x №4
Ta có: Q =
=
12 x - 45
x + 5 2x + 3
(x - 3)(x - 4) x - 4 x - 3
12 x - 45- (x + 5)(x - 3)- (2 x + 3)(x - 4)
(x - 3)(x - 4)
12 x - 45- x 2 + 3x - 5x + 15- 2 x 2 + 8x - 3x + 12
=
(x - 3)(x - 4)
- 3x2 + 15x - 18 - 3(x - 2)(x - 3) - 3(x - 2)
=
=
=
x- 4
(x - 3)(x - 4)
(x - 3)(x - 4)
йx = 3
b) x = 3 Ю к
кx = - 3
л
x = 3 (loại)
Với x = - 3 thì Q =
c) Q =
- 15
7
- 3x + 6
6
= - 3x- 4
(x - 4)
QОZ Ы
6
О Z Ю x - 4 О Ư(6)
x- 4
Mà Ư(6) = {1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6}
x- 4
1
2
3
6
-1
-2
-3
-6
x
5
6
7
10
3
2
1
-2
Kết hợp với tập xác định, ta có:
x О {- 2;1;2;5;6;7;10} thì Q nhận giá trị nguyên.
13.7.
2
2
a) Do x + y = 1 suy ra (x2 - y2 ) = (x - y) và y2 - x 2 = - (x - y)
й
щ
y - x к y2
2 x2 y
x2 ъ
suy ra: A =
:к
+
ъ
xy к(x - y)2 (x2 - y2 )2 y2 - x2 ъ
к
ъ
л
ы
2
2
й2
щ
y - x кy - 2 x y - x (x - y)ъ y - x y2 - 2 x 2 y - x3 + x 2 y
=
:к
:
ъ=
2
2
xy к
xy
x
y
(
)
(x - y)
ъ
л
ы
2
2
y - x y2 - x3 - x2 y y - x y - x (x + y)
=
:
=
:
2
2
xy
xy
(x - y)
(x - y)
2
2
(x - y)
y - x y2 - x2
y - x (x - y)
=
:
=
=
2
xy (x - y)
xy y - x
xy
2
b) Ta có: A =
(x + y) - 4xy
xy
2
=
(x + y)
xy
- 4=
1
- 4 < - 4 vì theo giả thiết x > 0, y < 0
xy
13.8. Ta có: x + y + z = 0 Ы x3 + y3 + z3 = 3xyz = 3
xy + yz + zx = 0 Ы x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3xy.yz.zx = 3
2
x6 + y6 + z6 = (x3 + y3 + z3 ) - 2x3 y3 - 2y3z3 - 2z3x3 = 0 - 2.3 = 3
Vậy M = 1
13.9. Ta có: x2 =
x4 =
x1 - 1
- 3
- 2a - 4 - a - 2
=
; x3 =
=
;
x1 + 1 2a + 1
2a - 2
a- 1
- a - 2 - a + 1 2a + 1
a- 1
=
; x5 =
- 3
3
a+ 2
Vậy xk = xk+ 4 = xk+ 8 = ...
2a + 1
= 3
3
x2020 = x4 = 3 Ы
Vậy a = 4
13.10.
a) Ta có:
3
йж 1 ц3 ж
щй
щ
ц
1ц
1ц
3
кз x + ч
ч - з x3 + 1 ч
чъкж
ч- ж
чъ
з
з
x
+
x
+
ч
ч
зз
зз
зз
кззи
ч и
чъки
ч и
чъ
xш
x3 ш
xш
x3 ш
кл
ък
ъ
ы
л
ы
M=
=
3
3
ж 1ц
ж
ц
ж
ц
ж
ц
1
1
зз x + ч
зз x + 1 ч
+ зз x3 + 3 ч
+ зз x3 + 3 ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
зи
з
з
з
и
xш и
x ш
xш и
x ш
6
2
ж 1ц
ж
1ц
зз x + ч
- зз x3 + 3 ч
ч
ч
ч
ч
з
з
и
xш и
x ш
3
ж 1ц ж 3 1 ч
ц
ц
1 ж
1 ц зж 1 ч
3
= зз x + ч
- зз x + 3 ч
= x3 + 3 - зз x3 + 3 ч
+ 3з x + ч
= 3x +
ч
ч
ч
ч
ч
ч
зи
з
з
з
xш и
x ш
x и
x ш и
xш
x
b) M = 3x +
3
3
і 2 3x. = 6
x
x
dấu bằng xảy ra Ы x = 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 khi x = 1.
13.11. Ta có
йж(1- x) 1+ x + x2
щ 1- x2 2
ц
1+ x)(1- x + x2 )
(
(
) цж
(
)
ч
ч
з
кзз
ъ
зз
A = кз
+ xч
- xч
:
ч
ч
ъ
2
ч
ч
зз
1- x
чи
1+ x
ч
кзи
ъ 1+ x
з
ш
шы
л
2
= (1+ x + x2 + x)(1- x + x2 - x) :
2
2
= (1+ x) (1- x)
1+ x 2
2
1+ x 2
2
= (1- x2 )
2
(1- x )
2
(1- x )
1+ x 2
2
2
(1- x )
= 1+ x 2
Vì x2 і 0 do đó A = 1+ x2 > 0 với mọi x №± 1
13.12.
2щ
й(x - y)(x + y)
2 (x + y) ъ 1
к
+
:
Ta có: P = к
ъ.
2
xy
x 2 y2 ъ x - y
кл (x + y)
ы
й
щ
й
щ
x- y 2
x 2 y2 ъ 1
кx - y + 2 xy ъ. 1
P = кк
+
.
=
к
ъ
2ъ
x - y кx + y (x + y)2 ъ x - y
клx + y xy (x + y) ъ
ы
л
ы
P=
x- y 1
2 xy
1
1
2 xy
.
+
.
=
+ 2
2
x + y x - y (x + y) x - y x + y (x - y2 )(x + y)
3
- 3
=
і - 3
x - 2 x + 2 (x - 1)2 + 1
Suy ra P - Q = -
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P - Q là -3 khi x = 1; y tùy ý khác {1;0;- 1}
13.13. Ta có y =
(x - 5)(x + 5)
x + 10x + 5
x
=
x (x - 5)(x + 5)
2
(x + 5)
2
(x - 5)(x + 5)
=
x (x - 5)
(x + 5)
2
(x - 5) (x + 5) (x - 5)
z= 2
=
=
2
x - 5x + 15x + 25
x+ 5
(x + 5)
x- 5
Từ đó suy ra: xy =
y- x =
x 2 (x - 5)
x+ 5
x 2 - 5x
x 2 - 5x - x 2 - 5x - 10x
- x=
=
x+ 5
x+ 5
x+ 5
2
y - x - 10x x (x - 5) - 10x x + 5
- 10
Ю
=
:
=
. 2
=
xy
x+ 5
x+ 5
x + 5 x (x - 5) x (x - 5)
x2 - 5x
x2 - 5x + x2 + 5x
2x2
y+ x =
+ x=
=
x+ 5
x+ 5
x+ 5
2
Ю
y+ x
2 x2 x (x - 5)
2x2
x+ 5
2
=
:
=
. 2
=
xy
x+ 5
x+ 5
x + 5 x (x - 5) x - 5
Do vậy A = 2
= 2
=
=
2(x + 5)
2(x + 5)
- 10
2
2
+
+
+
2
x (x - 5)
x - 5 (x - 5)
x - 5 (x - 5)2
2(x - 5)- 2(x + 5) 2(x - 5)+ 2(x + 5)
10
+
+
2
2
x (x - 5)
(x - 5)
(x - 5)
20
- 20
4x
20
20
4x
+
+
=
+
+
2
2
2
2
x (x - 5) (x - 5)
(x - 5) x (x - 5) (x - 5) (x - 5)
20(x - 5)+ 20x + 4x2
2
x (x - 5)
=
4x2 + 40x - 100
2
x (x - 5)