Eksamens spørgsmål
Opgave 1 :-)
restart
with Gym :
a)
Erstat det viste kraftsystem (to kræfter og et kraftpar) med en ækvivalent
resulterende kraft R placeret i punktet A og et kraftpar M.
Vi starter med at tegne et "Frit Legeme diagram" FBD, for bjælken:
2 kN
1.5m
0.5m
2 kN$sin 70
+
70
2 kN$cos 70
Rx
y
1.2 kN $ sin 53.13
MA
500 N$m
1.2 kN $cos 53.13
+
x
Fy
L1
q=tan
Vi starter med, at bestemme summen af kræfterne i y-aksen, for at bestemme Fy:
>F = 2 kN$sin 70 L 1.2 kN$cos 53.13 = 1.159 kN
y
+
+
Vi bestemmer nu Fx, ved at tage summen af kræfterne hen af x-aksen
>F = 2 kN$cos 70 C 1.2 kN$sin 53.13 = 1.644 kN
x
Dvs:
+
+
4
3
1.2 kN
= 53.13+
+
+
+
R = 1.644 i C 1.159 j kN
Vi anvender nu Pythagoras læresætning til at bestemme resultanten R i punktet A:
R=
1.159 kN 2 C 1.644 kN 2 = 2.0115 kN
Desuden vil hvilken være lig med:
1.159 kN
v = arcTan
= 35.18 +
1.644 kN
Dermed er resultanten R i punktet A lig med 2.0115 kN.
Vi kan nu betsemme kraftparret MA, ved hjælp af følgende formel:
M = F$d ⇒ kraft$arm
Så får vi, at:
MA =L0.5 kN$m L 2 kN$Cos 70 + $0.15 m C 2 kN$Sin 70 + $2 m C 1.2 kN $Sin 53.13+ $0.15 m L 1.2 kN $Cos 53.13+ $1.5 m = 2.22 kN$m
Dermed er kraftparret MA, lig med 2.22 kN$m.
R = 2.0 kN
MA = 2.2 kN$m
+n
placereringen af den resulterende kraft R på den specifikke afstand x 1.1m fra punkt A, vil denne placering af kraften gøre det unødvendigt at tilføje et
kraftpar. Dette skyldes, at den resulterende kraft R på denne placering vil skabe samme moment som de to oprindelige kræfter og det oprindelige kraftpar
tilsammen.
b)
Placér den resulterende kraft R et andet sted, så den alene er ækvivalent
med det viste kraftsystem. (Dvs. så vi ikke også skal tilføje et kraftpar.)
Hvad er den vandrette afstand fra punkt A til virkningslinjen for denne
enkeltstående resulterende kraft R?
Her vil vi anvende moment balance, således at:
R$x = MA
Vi løser ligningen, og for, at:
2.0115 kN $Sin 35.18+ $ x = 2.2 kN$m
x=
2.2 kN$m
2.0115 kN $ Sin 35.18+
= 1.90m
Dermed vil den vandrette afstand fra punkt A til virkningslinjen, være lig med 1.1 m.
R = 2.0 kN
1.9m
Opgave 2 :-)
restart
with Gym :
a) Bestem kraften i stangen BE i det belastede gitter.
I denne opgave anvender vi "snitmetoden". Vi starter dermed med at lave et snit:
Vi udregner nu de geometriske forhold der er nødvendige for at løse opgaven:
3 m-2 m = 1 m
1
$6 m = 2 m
3
Vi bestemmer nu vinklerne q og 4:
2m
4 = arcTan
= 63.43494883
1m
afrund
63.43 +
q = 90 + L 63.43+ = 26.57 +
Vi laver nu et FLD "frit legeme diagram" for øverste del af snittet:
2m
1m
Vi kan hermed bestemme BE, ved hjælp af momentsummen rundt om punktet D:
y
x
+
MDz = 0 ⇒ 5 kN$2 m L BE$Cos 26.57 $1 m L BE$Sin 26.57+ $2 m = 0
>
Vi reducere udtrykket, og får at:
5 kN$2 m
BE =
1 m $Cos 26.57+ C 2 m$ Sin 26.57+
= 5.589807858
afrund
5.59kN (TRÆK)
Vi kan dermed konkludere, at kraften i BE, er lig med 5.59 kN (T, TRÆK)#.
b) Bestem reaktionerne i punkt A og G.
Vi starter med, at lave et "FLD" for gitterkonstruktionen
6 kN
2m
5 kN
2m
4 kN
2m
HA
A
G
3m
VA
VG
Vi starter med, at bestemme HA, ved hjælp af følgende ligevægtsligning:
>F = 0 ⇒ 6 kN C 5 kN C 4 kNLH = 0
x
A
Vi isolere HA :
HA = 6 kN C 5 kN C 4 kN = 15 kN
Vi bestemmer nu VG, ved at opstille følgende ligevægtsligning for punktet A:
>M = 0 ⇒ V $3 m L6 kN$ 2 m C 2 m C 2 m L 5 kN$ 2 m C 2 m L 4 kN$2 m = 0 ⇒ V $3 m L 6 kN$6 m L 5 kN$4 mL4 kN$2 m = 0
Az
G
G
Bemærkning kræfterne skubber gitterkonstruktionen med uret dermed skal de regnes med minus fortegn!
Vi rykker 6 kN$6 m C 5 kN$4 m C 4 kN$2 m , over på højre side af lighedstegnet, samt ændrer fortegn:
VG$3 m = 6 kN$6 m C 5 kN$4 m C 4 kN$2 m
Vi dividere med 3m på begge sider af lighedstegnet:
6 kN$6 m C 5 kN$4 m C 4 kN$2 m
VG =
= 21.33 kN
3m
Vi kan hermed bestemme VA , ved at opstille følgende ligevægtsligning hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒ 21.33 kN L V = 0 ⇒ V = 21.33 kN
y
Opgave 3 :-)
restart
with Gym :
A
A
Vi ønsker, at beregne kræfterne i stængerne AB, BG, og GF.
Vi starter med at lave et snit:
Vi tegner nu et frit legeme diagram for højre side af snittet:
6 kN
AB
B
2.4m
C
D
2.4m
I
x
q
2m
BG
3m
E
GF
F
For at bestemme x, anvender vi følgende udtryk, til at opstille følgende udtryk:
modstående katete
tan v =
hosliggende katete
x
2.4 m C 2.4 m C 2.4 m C x
=
2m
5m
Vi reducere udtrykket:
x
7.2 m C x
=
2m
5m
x
x
= 1.44 m C
2m
5m
x
x
L
= 1.44 m
2m
5m
3x
= 1.44 m
10 m
x=
7.2 m$10 m
= 4.8 m
3 m$5 m
Vi kan dermed bestemme vinklen q, ved hjælp af invers tangens:
2m
q = arcTan
= 22.62 +
4.8 m
Vi ønsker desuden også at bestemme afstanden CF :
CF = Tan 22.62+ $ 4.80 m C 2.4 m = 3 m
Vi starter med, at tage ligevægt omkring momentet i punktet I:
>M = 0 ⇒L6 kN$4.8 m C BG$ 2.4 m C 2.4 m C 4.8 m = 0
Iz
Vi reducere udtrykket:
L6 kN $ 4.8 m C BG $ 9.6 m = 0
Vi rykker L6 kN $ 4.8 m , over på højre side af lighedstegnet:
BG$9.6 m = 6 kN $ 4.8 m
Vi isolere BG:
6 kN $ 4.8 m
BG =
= 3 kN (TRÆK)
9.6 m
Vi kan nu bestemme AB, ved at opstille følgende ligevægtsligning ved punktet F:
>M = 0 ⇒L6 kN$2.4 mL3 kN$2.4 m C AB$3 m = 0
Fz
Vi rykker L6 kN$2.4 m L 3 kN$2.4 m , over på højre side af lighedstegnet:
AB$3 m = 6 kN$2.4 m C 3 kN$2.4 m
Vi isolere AB:
6 kN $ 2.4 m C 3 kN $ 2.4 m
AB =
= 7.2 kN (TRÆK)
3m
Vi kan nu bestemme GF, ved at opstille følgende ligevægtsligning ved punktet B:
>M = 0 ⇒L6 kN$ 2.4 m C 2.4 m C FG$Sin 22.62 $2.4 m C FG$Cos 22.62 $3 m = 0
Bz
+
+
Vi løser ligningen, og får at:
GF = solve L6 kN $ 2.4 m C 2.4 m C FG $ Sin 22.62+ $ 2.4 m C FG$Cos 22.62+ $3 m = 0
= 7.8kN (TRYK)
Dermed kan vi konkludere at opgaven er løst.
Opgave 4 :-)
restart
with Gym :
Toppladen af det sammenklappelige arbejdsbord har en masse på 50 kg med massemidtpunkt ved punkt G.
De to punkter F og H er forbundet med en wire.
Bemærkning denne sakselift er geometrisk symmetrisk!
Beregn x og y komposanterne af kraften i bolten i punkt E.
Vi laver nu et frit legeme diagram for bjælken:
1200 mm L 750 mm = 450 mm
D
V
750 mm
G
B
2
V
50 kg$9.81 m / s
D
Vi opstiller nu følgende ligevægtsligning ved moment omkring D:
>M = V $1200 mm L 50 kg$9.81 m/ s $450 mm = 0
Dz
2
B
Vi siolere VB , og får, at:
50 kg $ 9.81 m/ s2 $ 450 mm
VB =
= 183.94N
1200 mm
Vi bestemmer nu VD eftersom VD = VA, grundet symmetri:
>M = 0 ⇒ V $1200 mm L 50 kg$9.81 m/ s $750 mm = 0
Bz
2
D
Vi isolere VA :
50 kg $ 9.81 m/ s2 $750
VD =
= 306.56N
1200 m
Vi tegner nu et frit legeme diagram for en af stængerne:
1200mm
VB = 183.94 N
B
225mm
FH
HE
E
VE
A
VA = 306.56 N
Vi starter med, at bestemme FH, ved at opstille følgende ligevægtsligning således:
225mm
B
Vi starter med, at bestemme FH, ved at opstille følgende ligevægtsligning således:
>M = 0 ⇒ FH$225 mm L 183.94 N$ 12002 mm L 306.56$ 12002 mm = 0
Ez
Vi isolere FH, og får, at:
183.94 N $ 600 mm C 306.56 N $ 600 mm
FH =
= 1308.00N
225 mm
Vi bestemmer nu HE, ved hjælp af følgende ligevægtsligning:
>F = 0 ⇒ H L 1308 N = 0 ⇒ H = 1308 N
x
E
E
Og nu for y-komponenterne:
>F = 0 ⇒ 306.56 N L 183.94 N L V = 0 ⇒ V = 306.56 N L 183.94 N = 122.62 N
y
E
E
Vi kan dermed konkludere, at x og y komposanterne af kraften i bolten i punkt E, er lig med HE = 1308 N og VE = 122.62 N
Opgave 5 :-)
restart
with Gym :
Kranen løfter en motor på 125 kg.
Beregn kræfterne i stangen DB og i den hydrauliske cylinder FB.
De geometriske forhold der skal beregnes:
q
4
2m-1m=1m
Så får vi, at:
3m
1m
1m
4 = arcTan
1m
q = arcTan
= 71.56505115
afrund
71.57 +
= 45. +
Vi tegner et frit legeme diagram for den øvereste del af kranen:
1m
2m
V
F
G
71.57
+
E
FB
125 kg $9.81 m/ s2
Vi bestemmer nu FB, ved at opstille følgende ligevægtsligning for momentet ved punktet E:
>M = 0 ⇒ 125 kg $ 9.81 m/ s $3 m L FB$sin 71.57 $2 m = 0
Ez
2
Vi isolere FB:
125 kg$9.81 m/ s2 $3 m
2m
FB =
Sin 71.57+
+
= 1939 N
Vi bestemmer nu HE :
>F = 0 ⇒L1939 N$cos 71.57 C H = 0 ⇒ H = 613 N
x
+
E
E
Vi bestemmer nu VE :
>F = 0 ⇒L 125 kg$9.81 m/ s C 1939 N $ sin 71.57 C V = 0
y
Vi isolere V :
2
+
E
E
H
E
Vi isolere VE :
VE = 125 kg $ 9.81 m/ s2 L 1939 N$Sin 71.57+ =L613 N dette indikere VE , skal vende den anden vej.
Vi laver nu et FLD for højre stang
VE = 613 N
HE = 613 N
E
2m
D
DB
45 +
1m
C
HC
VC
Vi kan hermed bestemme DB, ved hjælp af følgende ligevægtsligning for momentet rundt om C:
>M = 0 ⇒ 613 N$ 2 m C 1 m L DB$Cos 45 $1 m = 0
Cz
+
Vi isolere BD:
613 N $ 3 m
DB =
= 2601N
Cos 45 +
Vi kan dermed konkludere, at kræfterne i stangen DB og i den hydrauliske cylinder FB, er lig med DB=2601N og FB=1939N.
Opgave 6 :-)
restart
with Gym :
Elementerne af et baghjulophæng for en forhjulstrukket bil er vist i figuren til venstre. Kraften F fra underlaget på dækkethar en størrelse på 3600 N.
a)
Adskil elementerne i punkt B og C og skitser et frit-legeme-diagram (FLD) af hjulakslen inklusiv punkterne B, C og hjuldækket.
Vi tegner et FLD:
(260mm+90mm)-(220mm+60mm)=70mm
60 mm
220 mm C 60 mm
TanL1
= 12.09+
C
CD
130mm+60mm=305mm
HB
B
VB
165mm
F = 3600 N
b)
Beregn kraften fra stangen CD virkende på hjulakslen i C, samt den vandrette og lodrette kraft virkende på hjulakslen i punkt B.
Vi bestemmer nu B ved, at hjælp af følgende ligevægtsligning for momentet omkring B:
>M = 0 ⇒LCD$Cos 12.09 $ 305 mm L CD$Sin 12.09 $ 70 mm C 3600 N $165 mm = 0
Bz
Vi isolere CD:
+
+
Vi isolere CD:
CD =
3600$165
= 1898.4 N
Sin 12.09 $70 C Cos 12.09 $305
Vi beregner bu HB, ved hjælp af ligevægts hen af x-aksen:
>F = 0 ⇒ H C CD$Cos 12.09 = 0
x
+
B
HB =L1898.4$Cos 12.09+ = L1856.29N
Dette indikere HB, skal pege den anden vej!
Vi bestemmer nu VB, ved at tage ligevægt hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒ 1898.4$Sin 12.09 C 3600 N C V = 0
+
y
B
VB =L1898.4 N $ Sin 12.09+ L 3600 N = L3997.62N
Dette indikere VB, skal pege den anden vej!
c)
Beregn kraften i fjederelementet FE. Din beregning skal dokumenteres med relevante FLD’er.
Vi tegner nu et FLD, for hele akslen:
70mm
CD
12.09+
C
EF
305mm
TanL1
245 C 60 C 130
260 L 60
= 65.31+
A
HA
E
HB = 1856 N
B
VB = 3997.62 N
VA
260mm
90mm
165mm
Vi bestemmer nu EF, ved at opstille følgende ligevægtsligning for momentet omkirng A:
>M = 0 ⇒ EF$Sin 65.31 $260 mm L 3997.62 N$ 260 mm C 90 mm = 0
Az
+
Vi isolere EF:
3997.62 N $ 350 mm
EF =
= 5922.87N
Sin 65.31+ $ 260 mm
Opgave 7 :-)
restart
with Gym :
F = 3600 N
Traktorskovlen bærer 500 kg jord. Lasten har et massecenter ved G. Vægten af komponenterne i konstruktionen kan ignoreres. For den viste position:
a)
Beregn kraften i cylinderen BC og angiv om den trykker eller trækker.
For, at bestemme BC, opstiller vi følgende ligevægtsligning for momentsummen rundt om A:
HA
VA
BC
500 kg$9.81 m / s
2
>M = 0 ⇒ BC$350 mmL 500 kg$9.81 m/ s $ 200 mm C 400 mm C 50 mm C 50 mm C 200 mm C 200 mm = 0
2
Az
Vi reducere udtrykket:
BC$350 mmL 500 kg$9.81 m/ s2 $ 1100 mm = 0
Vi isolere BC:
500 kg $ 9.81 m/ s2 $1100 mm
BC =
= 15415.71N (TRÆK)
350 mm
b)
Beregn kraften i punkt F fra komponenten FH virkende på skovlen og angiv tydeligt retningen. Dit svar skal indeholde frit-legeme-diagrammer over alle
komponenter, der er inkluderet i løsningen.
Vi laver et FLD for Skovlen:
TanL1
300 mm
200 mm
= 56.31+
FH
300mm
F
200mm
300mm
G
100mm
D
HD
VD
200mm
200mm
500 kg$9.81 m / s
2
Vi bestemmer nu FH, ved at opstille følgende ligevægtsligning for moment, omkring D:
>M = 0 ⇒ FH$Cos 56.31 $ 300 mm C 100 mm C FH$Sin 56.31 $200 mm L 500 kg$9.81 m/ s $ 200 mm C 200 mm = 0
Dz
+
+
2
Vi reducere udtrykket:
FH$Cos 56.31+ $ 400 mm C FH$Sin 56.31+ $200 mm L 500 kg$9.81 m/ s2 $ 400 mm = 0
Vi isolere FH:
FH =
500 kg $ 9.81 m/ s2 $ 400 mm
= 5053N RETNING VIST I FLD.
Sin 56.31+ $ 200 mm C Cos 56.31+ $400 mm
c)
Beregn kraften i cylinderen IJ og angiv om den trykker eller trækker. Dit svar skal indeholde frit-legeme-diagrammer over alle komponenter, der er
inkluderet i løsningen.
Vi laver nu et FLD for EJH:
60 +
H
100mm
FH = 5053 N
IJ
30
56.31+
+
J
Tan 60 + $100 mm
E
HE
VE
50mm
100mm
Vi bestemmer nu IJ, ved at opstille følgende ligevægts omkring momentet ved E:
>
MEz = 0 ⇒L5053 N$Cos 56.31+ $ Tan 60 + $100 mm L 5053 N $ Sin 56.31+ $100 mm C IJ$Cos 30 + $
$50 mm = 0
Vi isolere IJ:
5053 N $Cos 56.31+ $ Tan 60 + $100 mm C 5053 N $ Sin 56.31+ $100 mm
IJ =
= 9059.11N (TRYK)
Tan 60 + $100 mm
+
+
Cos 30 $
C Sin 30 $50 mm
2
Opgave 8 :-)
restart
with Gym :
Tan 60 + $100 mm
2
C IJ$Sin 30 +
En simpel understøttet bjælke med en samlet længde på 4,5 meter med de viste belastninger. Vægten af bjælken er ubetydelig.
a)
Beregn reaktionerne ved A og B.
Vi laver nu et FLD for bjælken:
30 kN/m
45 kN$m
B
A
1.5m
Hvor,
VA
HB
1.5m
1.5m
VB
>F = 0 ⇒ H = 0
x
B
Vi bestemmer nu VA, ved at opstille følgende ligevægtsligning for momentet omkring B:
>M = 0 ⇒ 30 kN/ m$1.5 m $ 1.52 m C 1.5 m C 1.5 m L 45 kN$m L V $3 m = 0
Bz
A
Vi isolere VA :
45 kN $ 3.75 m L 45 kN$m
VA =
= 41.25kN
3m
Vi bestemmer nu VB, ved at tage ligevægt hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒L 30 kN/ m$1.5 m C 41.25 kN C V = 0 ⇒ 3.75 kN = V
y
B
B
b)
Beregn bøjningsmomentet M x og forskydningskraften V x . Tegn diagrammerne for forskydningskraft og bøjningsmoment for bjælken med angivelse
af alle nøgleværdier.
Vi starter med at opdele bjælken i tre intervaller:
0 ! x ! 1.5 m
Vi laver nu følgende snit i første interval:
1.5 ! x ! 3 m
3 m ! x ! 4.5 m
R=w0$x
30 kN/m
V1 x
M1 x
x
Vi beregner først V1 x :
>F = 0 ⇒ L30 kN/ m$x L V x = 0 ⇒ V x =L30 kN/ m$x
y
1
1
Vi beregner nu M1 x :
>M x = 0 ⇒ x2 $ x $30 kN/ m C M x = 0 ⇒ M x =L x2 $ x$30 kN/ m ⇒L15 x
1
1
2
1
Vi laver nu snit to i intervallet 2:
V2 x
45 kN$m
M2 x
3m-x
Vi bestemmer nu V2 x :
>F = 0 ⇒ V C V x = 0 ⇒ 3.75 kN C V x = 0 ⇒ V x =L3.75 kN
y
B
2
2
2
Vi skal tage alle kræfterne med på den høje side af bjælken også selvom de ikke er med i snittet!
>M
snit, z = 0 ⇒LM2 x
C 3.75 kN$ 4.5 L x L 45 kN$m = 0
M2 x = 3.75 kN $ 4.5 m L x L 45 kN$m
Hvor 4.5 m L x , er afstanden fra VB til M2 :
Vi laver nu snit nummer tre i det sidste interval:
V3 x
M3 x
VB = 3.75 kN
4.5m-x
Vi beregner nu V3 x :
>F = 0 ⇒ 3.75 kN C V x = 0 ⇒ V x =L3.75 kN
y
3
3
Vi bestemmer nu M3 x = 0 :
>M
snit, z = 0 ⇒ 3.75 kN$ 4.5 m L x
L M3 x = 0 ⇒ M3 x = 3.75 kN$ 4.5 m L x
Vi opstiller nu funktionen for Bøjningsmomentet:
L
M x d
x
$ x$30 kN/ m
2
0 ! x ! 1.5 m
3.75 kN $ 4.5 m Lx L 45 1.5 m ! x ! 3 m
3.75 kN $ 4.5 m Lx
:
3 m ! x ! 4.5 m
Vi plotter funktionen:
plot M x , x = 0 .. 4.5, y =L40 ..10
10
M 3 m = 5.625 kN$m
0
+
1
2
3
x
L10
-
y L20
L30
M 1.5 m =L33.75 kN$m
L40
Vi opstiller nu funktionen for forskydningen:
L30 kN$x
V x d L3.75 kN
L3.75 kN
0 ! x ! 1.5 m
1.5 m ! x ! 3 m :
3 m ! x ! 4.5 m
plot V x , x = 0 .. 5, y = 0 ..L45
M 3 m =L39.375 kN$m
4
plot V x , x = 0 .. 5, y = 0 .. 45
0
1
2
3
4
5
x
L3.75 kN
L10
L20
y
L30
L40
V 1.5 m =L45 kN
Dermed er forskydning og bøjnings diagrammer opsat ovenstående.
c)
Vælg en passende IPE-profil (IPE Beam, se bilag 1), der kan klare belastningerne. Den maksimalt tilladte spænding for materialet er 201 MPa.
Forskydningsspænding i bjælken kan antages at være relativt lille og ubetydelig.
Til denne opgave anvender vi følgende formel, for bøjespændningen:
M$y
s=
I
• s er bøjespændning
• M er det bøjningsmoment, der virker på bjælken.
• y er afstanden fra neutralaksen til det punkt, hvor spændningen beregnes.
• I er bjælkens tværsnits ineretimoment.
Vi isolere I:
M$y
I=
s
Vi antager at I, at y er 10 cm. Så får vi, at:
39375 N $ 10 cm
I=
= 1.96 # 103 cm4
201 MPa
Dermed ser vi på tabellen hvor den ligger, og tager dermed næste bjælke:
Vi bekræftiger:
39375 N $ 10 cm
s=
= 142.15 MPa
2770 cm4
Her kan vi se den ligger lidt over IPE 200, derfor går vi med IPE 220 for at sikre os vores bjælke kan holde belastningen, hvilket også bliver bekræftet da
IPE 220 kan holde til 142.15 MPa ud fra ovenstående beregning.
Opgave 9 :-)
restart
with Gym :
Vinkelstykket er svejset på I-bjælken AC ved punkt C og understøtter den lodrette kraft på 1,6 kN.
a)
Bestem bøjningsmomentet ved B.
Vi starter at bestemme den ydre ligevægt. Vi tegner dermed et FLD "frit legeme diagram" for bjælken. Desuden Konverter vi kræften, der virker på
stiveren, til en punktbelastning, der virker ved punkt C, og et moment, der virker på bjælken:
1.6 kN
H
A
V
MC = 1.6 kN$0.2 m
V
A
= 0.32 kN$m
B
0.4 m
0.45 m
Hvor:
>F = 0 ⇒ H = 0
x
A
Vi bestemmer nu VB, ved at opstille følgende ligevægts ligning rundt om punktet A:
>M = 0 ⇒ 0.32 kN$m L 1.6 kN$ 0.45 m C 0.4 m C V $0.4 m = 0
Az
B
Vi reducere udtrykket:
0.32 kN$m L 1.36 kN$m C VB$0.4 m = 0
Vi rykker 0.32 kN$m L 1.360 kN$m , over på højre side af lighedstegnet, samt ændrer fortegn:
VB$0.4 m =L0.32 kN$m C 1.36 kN$m
Vi dividere med 0.4 m på begge sider af lighedstgenet:
L0.32 kN$m C 1.36 kN$m
VB =
= 2.6kN
0.4 m
Vi bestemmer nu VA, således:
>F = 0 ⇒ 2.6 kN L 1.6 kN L V = 0 ⇒ V = 1 kN
y
A
A
Vi opdeler nu bjælken i to sektioner, med følgende snit:
1
2
1.6 kN
H =0
A
V = 1 kN
MC = 0.32 kN$m
V = 2.6 kN
A
B
0<x<0.4
0<x<0.85
Vi laver nu et FLD "frit legeme diagram," for første snit i sektion 1:
M x
1
V = 1 kN
A
Vi starter med, at bestemme V1 x , som følgende:
>F = 0 ⇒L1 kN L V x = 0 ⇒ V x =L1 kN
y
1
1
Vi bestemmer nu M1 x , således:
>M
snit, z = 0 ⇒ 1 kN$x C M1 x
=0
Vi isolere M1 x :
LM1 x = 1 kN$x
Vi skifter fortegn:
M1 x =L1 kN$x
For at bestemme bøjningsmomentet i B skal vi sætte x til 0.4m i ligningen for M1 x .
M1 0.4 m =L1 kN$0.4 m = L0.4 kN
Vi kan dermed konkludere, at bøjningsmomentet ved B er lig med -0.4kN.
b)
Hvor på bjælken AC er bøjningsmomentet nul?
For at bestemme hvor bøjningsmomentet er nul, laver vi nu følgende snit nummer 2:
V x
1
1.6 kN
V x
2
M x
2
0.85m-x
M = 0.32 kN$m
C
Vi bestemmer nu V2 x , således:
>F = 0 ⇒ V x L 1.6 kN = 0 ⇒ V x = 1.6 kN
y
2
2
Vi bestemmer nu M2 x = 0, således:
>M
snit, z = 0 ⇒L1.6 kN$ 0.85 m L x
C 0.32 kN$m L M2 x = 0
Vi reducere udtrykket:
L1.04 kN$m C 1.6 x kN L M2 x = 0
Vi isolere M2 x :
M2 x =L 1.04 kN$m C 1.6 kN$ x
Vi opstiller følgende ligning:
0 =L1.04 kN$m C 1.6 kN$ x
Vi rykker 1.6 kN$x, over på venstre side af lighedstegnet, samt ændrer fortegn:
L1.6 kN$x =L1.04 kN$m
Vi dividere med L1.6 kN, samt ændrer fortegn på begge sider af lighedstegnet:
1.04 kN$m
x=
= 0.65m
1.6 kN
Og dermed er bøjningensmomenten lig med 0 ved 0.65 m
c)
Optegn for bjælken AC diagrammerne for forskydningskraft og bøjningsmoment.
Vi opstiller nu funktionen for bøjningsmomenten:
M x d
L1 kN$x
0 % x % 0.4 m
L1.04 kN$m C 1.6 kN$m$ x 0.4 m % x % 0.85 m
Vi plotter funktionen:
plot M x , x = 0 .. 0.85
:
plot M x , x = 0 .. 0.85
Bøjnings-kurve
0.3
0.2
0.1
M 0.2 m C 0.45 m = 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x
L0.1
L0.2
L0.3
M 0.4 m =L0.4 kN$m
L0.4
Vi opstiller nu funktionen for forskydningens kræften:
V x d
L1 kN
0 ! x ! 0.4 m
1.6 kN
0.4 m ! x ! 0.85 m
:
Vi plotter funktionen:
plot V x , x = 0 .. 0.85
1.6 kN
1.5
1
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
L0.5
L1
-1 kN
Dermed kan vi konkludere at begge diagrammer er sat op.
Opgave 10 :-)
restart
with Gym :
0.6
0.7
0.8
En udkraget bjælke er fast indspændt i A og belastet som vist i figur 1. Vægten af bjælken er inkluderet i den fordelte last.
a)
Bestem reaktionerne i punkt A.
Vi starter med, at lave et FLD for den fast indspændte bjælke:
x=
2m
2
x = 1.5 m$
R1
R2
MA
A
HA
VA
2m
Hvor,
>F x = 0 ⇒ H = 0
A
Vi bestemmer resultaterne således:
R1 = w0$l ⇒ 20 kN/ m $ 2 m = 40 kN
1
1
$w $l ⇒ $20 kN/ m$1.5 m = 15.0 kN
2 0
2
R2 =
Vi bestemmer nu VA , ved hjælp af følgende ligevægtsligning hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒L15 kN L 40 kN C V = 0 ⇒ V = 55 kN
y
A
A
Vi bestemmer nu MA, ved at opstille følgende ligevægtsligningen for momentet i A:
>M = 0 ⇒ M L 40 kN$ 22m L 15 kN$ 3.5 m L 1.5 m$ 23 = 0
Az
A
Vi isolere MA :
MA = 40 kN $ 1 m C 15 kN $ 2.5 m = 77.5 kN$m
1.5m
2
3
b)
Optegn forskydningskraft- og bøjningsmomentdiagrammer med angivelse af hovedværdier.
Vi starter med. at opdele figuren i intervaller:
2
1
2m<x<3.5m
0<x<2m
Vi laver nu et FLD af det første snit:
x
2
R1 = 20 kN / m$x
V1 x
MA = 77.5 kN$m
M1 x
x
VA = 55 kN
Vi bestemmer først V1 x :
>F = 55 kN L 20 kN/ m$x L V x = 0 ⇒ V x = 55 kN L 20 kN/ m$x
y
1
1
Vi bestemmer nu M1 x , ved hjælp af følgende ligevægtsligning:
>M
snit, z = 0 ⇒ 77.5 kN$m L55 kN$x C 20 kN/ m$
Vi isolere M1 x :
M1 x =L77.5 kN$m C 55 kN$x L 20 kN/ m$x$
x
2
Vi reducere udtrykket:
M1 x =L77.5 kN$m C 55 kN$x L 10 kN/ m $x2
Vi foretager os nu snit nummer 2:
x
C M1 x = 0
2
Vi foretager os nu snit nummer 2:
R2 =
1
3. 5 m L x
$20 kN / m$
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
1
$ 3.5 m L x
3
3.5 m L x = w
0
1.5 m
M2 x
3.5m-x
V2 x
Vi bestemmer nu M2 x , ved at opstille følgende ligevægtsligning om momentet i snittet:
>M
snit, z = 0 ⇒LM2 x
L
1
3.5 m L x
1
$20 kN/ m$
$ 3.5 m L x $
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
3
=0
Vi isolere M2 x :
1
3.5 m L x
1
M2 x = L $20 kN/ m$
$ 3.5 m L x $
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
3
Vi bestemmer nu V2 x , ved hjælp af ligevægt hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒L 12 $20 kN/ m$ 3. 51.5m mL x $ 3.5 m L x C V x = 0
y
2
Vi isolere V2 x :
1
3. 5 m L x
V2 x = $20 kN/ m$
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
Vi opstiller nu funktionen for bøjningsmomenten:
L77.5 kN$m C 55 kN$ x L 10 kN/ m$ x2
M x d
L
1
3.5 m L x
$20 kN/ m$
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
Vi plotter bøjningsdiagrammet:
plot M x , x = 0 .. 3.5
$
1
$ 3.5 m L x
3
0! x! 2m
2 m ! x ! 3.5 m
:
0
1
2
x
L10
3
M 3.5 m = 0
M 2 m =L7.5 kN$m
L20
L30
L40
L50
L60
L70
M 0 =L77.5 kN$m
Vi opstiller nu funktionen for forskydningenskræften:
V x d
55 kN L 20 kN/ m$ x
0!x!2m
1
3.5 m Lx
$20 kN/ m$
$ 3.5 m L x
2
1.5 m
2 m ! x ! 3.5 m
:
Vi plotter forskydningsdiagrammet:
plot V x , x = 0 .. 3.5
V 0 = 55 kN
50
40
30
20
V 2 m = 15 kN
10
V 3.5 m = 0
0
0
1
2
x
Dermed kan vi konkludere at begge diagrammer er sat op.
Opgave 11 :-)
restart
with Gym :
3
a)
Tegn forskydningskraft- og bøjningsmomentdiagram for bjælken. Antag at punkt C er på den neutrale akse.
Vi starter med at bestemme den ydre ligevægt. Dermed laver vi et FLD for bjælken:
75 kN
MC = 100 kN$0.25 m
= 25 kN$m
C
A
VA
1m
1m
Hvor:
>F = 0 ⇒ H L 100 kN = 0 ⇒ H = 100 kN
x
B
B
Vi bestemmer VA, ved at opstille følgende ligevægts ligning for momentet i B:
>M = 0 ⇒LV $3 m C 75 kN$2 m C 25 kN$m = 0
Bz
A
Vi isolere VA :
75 kN$2 m C 25 kN$m
VA =
= 58.33kN
3m
Vi bestemmer nu VB, ved hjælp af ligevægt hen af x-aksen:
>F = 0 ⇒ V L 75 kN C 58.33 kN = 0 ⇒ V = 16.67 kN
x
B
Vi opdeler nu bjælken i 3 intervaller:
B
VB
100 kN
B
1m
HB
75 kN
MC = 25 kN$m
A
2
1
3
0!x!1m
1m
1m
1m! x!2m
2m! x! 3m
Vi tager udgangspunkt i snit nummer 1, og dermed laver et FLD for snittet:
V1 x
M1 x
x
VA = 58.33 kN
Vi bestemmer M1 x , ved at opstille følgende ligevægts ligning:
>M
snit, z = 0 ⇒L58.33 kN$x C M1 x
=0
Vi isolere M1 x :
M1 x = 58.33 kN$x
Vi bestemmer nu V1 x , ved hjælp af ligevægt hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒LV x C 58.33 kN = 0 ⇒ V x = 58.33 kN
y
1
1
Vi tager nu udgangspunkt i snit nummer 2:
V2 x
M2 x
MC = 25 kN$m
2mL x
Vi skal tage alle kræfterne med på den høje side af bjælken også selvom de ikke er med i snittet!
Vi bestemmer nu M2 x , ved at opstille følgende ligevægtsligning for momenten i snittet:
>M
snit, z = 0 LM2 x
C 25 kN$m C 16.67 kN$ 3 m L x = 0
Hvor,
16.67 kN$ 3 m L x dette er VB , samt afstanden fra snit nummer 2 til VA.
Vi isolere M x :
B
HB = 100 kN
1m
VA = 58.33 kN
100 kN
C
VB = 16.67 kN
Vi isolere M2 x :
M2 x = 25 kN$m C 16.67 kN $ 3 m L x
Vi bestemmer nu V2 x , ved hjælp af følgende ligevægtsligning hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒ V x C 16.67 kN = 0 ⇒ V x =L16.67 kN
y
2
2
Vi tager nu udgangspunkt i snit nummer 3:
VB = 16.67 kN
V3 x
M3 x
3mLx
Vi bestemmer nu M3 x , ved hjælp af følgende ligevægtsligning for momentet ved snittet:
>M
snit, z = 0 ⇒LM3 x
C 16.67 kN $ 3 m L x = 0
Vi isolere M3 x :
M3 x = 16.67 kN $ 3 m L x
Vi bestemmer nu V3 x , ved hjælp af følgende ligevægtsligning hen af y-aksen:
>F = 0 ⇒ V x C 16.67 kN = 0 ⇒ V x =L16.67 kN
y
3
3
Vi opstiller nu funktionen for bøjningsmomentet:
58.33 kN$x
0! x! 1m
M x d 25 kN$m C 16.67 kN $ 3 m Lx
1m! x! 2m :
16.67 kN $ 3 m Lx
2m! x! 3m
Vi plotter bøjningsdiagrammet:
plot M x , x = 0 .. 3
M 1 m = 58.33 kN$m
50
M 2 m = 41.67 kN$m
40
30
20
M 2 m = 16.67 kN$m
10
M 3m = 0
0
1
2
x
Vi opstiller nu funktionen for forskydningen:
3
58.33 kN
0! x! 1m
V x d L16.67 kN 1 m ! x ! 2 m :
L16.67 kN 2 m ! x ! 3 m
Vi plotter forskydningsdiagrammet:
plot V x , x = 0 .. 3
58.33 kN
50
40
30
20
10
0
1
2
x
L10
L16.67 kN
Dermed kan vi konkludere at begge diagrammer er sat op.
b)
Hvis den tilladte spænding i materialet er 96 MPa, beregn da den nødvendige størrelse af en IPE bjælke, se bilag 1.
Til denne opgave anvender vi følgende formel, for bøjespændningen:
M$y
s=
I
• s er bøjespændning
• M er det bøjningsmoment, der virker på bjælken.
• y er afstanden fra neutralaksen til det punkt, hvor spændningen beregnes.
• I er bjælkens tværsnits ineretimoment.
Vi isolere I:
M$y
I=
s
Hvor, at y er 25 cm. Så får vi, at:
58330 N $ 25 cm
I=
= 1.52 # 104 cm4
96 MPa
Dermed ser vi på tabellen hvor den ligger, og tager næste bjælke:
3
Her kan vi se den ligger over stål profilen IPE 330, og dermed tager vi IPE 360, for at sikre os bjælken kan holde til belastningen.
Vi bekræftiger:
58330 N$25 cm
s=
= 89.63 MPa
16270 cm4
Dermed kan vi konkludere, at bjælken med den nødvendige størrelse vil være en IPE 360.