Matematik F forelæsning 2, uge 8 den 24.marts 2021
Page
1 of 5
Kære studerende,
Her kommer så mine sidste udgydelser før jeres eksamen. Denne forelæsning var planlagt til at
være en repetition af hele kurset hvor jeg ville fremhæve hovedemner og hovedbegreber som er
behandlet i kurset.
Nu får I mit overblik i stikordsform nedenfor, og jeg er kommet til at skrive meget mere udførligt
end jeg havde planlagt, så derfor er der ingen kommentarer som lydfil til disse noter (det ville bare
være højtlæsning).
Kurset er jo matematik for fysikere, så derfor har jeg skåret ned for den matematiske stringens for
at kunne nå at komme igennem så mange enmer som muligt i matematisk analyse for fysikere.
Emnerne er valgt for at give jer en matematisk baggrund i centrale ligninger og begreber i
fysikken.
Emnerne i ”Feltteori og vektoranalyse (FV)” lægger direkte op til kurserne i Elektromagnetisme og
Kontinuumsmekanik. Emnerne i ”Essential Mathematical Methods (EMM)” lægger op til
behandling af partielle differentialligninger i fysikken, samt Fourierrækker og
Fouriertransformationer. Dette har relevans for kvantemekanik, analytisk mekanik.
Foldningssætningen for Fouriertransformerede har relevans for signalanalyse overalt.
BEMÆRK: EMM kapitel 1 udgør store dele af kurset Lineær algebra i kondensat. EMM kapitel 2
dækker stort set hele FV bogen, bortset fra at linje-, flade- og volumenintegraler i FV kapitel 6 og
Green-, Stokes- og Gauss sætninger i kapitel 7 fylder hele EMM kapitel 3. Der er derfor meget godt
at hente ved at kombinere jeres noter fra Lineær algebra, FV og EMM kapitel 1,2 og 3.
Mat F i stikordsform.
Vi begyndte med at diskutere fysiske størrelser som enten er skalarer (temperatur,tryk,
tyngdepotentialer, elektrisk spænding, ladning) eller er vektorielle størrelser (hastighed,
acceleration, tyngdeacceleration, kraft, E-felt, B-felt, impuls, impulsmoment).
Et skalarfelt er et fysisk rum hvor f.eks. skalaren β er kendt i alle punkter, hvilket vil sige at i hvert
punkt (x,y,z) til tiden t kender vi β (et tal) og dermed kan β skrives som en funktion: β(x,y,z,t). Hvis
feltet ikke afhænger af tiden,t, er feltet stationært: β(x,y,z).
Et vektorfelt er et fysisk rum hvor f.eks. vektoren v er kendt i alle punkter, hvilket vil sige at i hvert
punkt (x,y,z) til tiden,t, kender vi v (vektorpil med retning og længde) og dermed kan v skrives som
en funktion: v(x,y,z,t). Hvis feltet ikke afhænger af tiden, t, er feltet stationært: v(x,y,z)
Ud fra fysiske størrelser som cirkulation(FV 62), vektorflux(FV62), strømlinjer (FV36-37)og
potentialer, gennemgik jeg de vigtigste differentialoperatorer for felter:
∇β, d. v. s. gradienten af en skalar i et skalarfelt (FV 30, EMM 97)
∇ ∙ 𝐯 = div(𝐯), d. v. s. divergensen af vektorfeltet 𝐯 (FV 66, EMM 100)
Matematik F forelæsning 2, uge 8 den 24.marts 2021
Page
2 of 5
∇ × 𝐯 = rot(𝐯) = curl(𝐯), d. v. s. rotationen af vektorfeltet 𝐯 (FV 68 − 69, EMM 102)
∇2 φ = ∇ ∙ ∇φ, d. v. s. Laplaceoperatoren på skalaren φ (FV 125, EMM 102)
D∎
∂∎
=
+ 𝐯 ∙ ∇∎, d. v. s. den partikelafledte af enten en skalar eller vektor (FV 142)
dt
∂t
Bemærk: For partikelafledte af en vektor, u, er der regler for beregning af 𝐯 ∙ ∇𝐮 . (FV 144- 145)
Der er så særlige regler for divergens- og rotationsfrie felter (FV 70):
Hvis ∇ ∙ 𝐯 = 0 så findes et vektorpotentialfelt A, hvor ∇ × 𝐀 = 𝐯 og en strømfunktion, ψ, hvor
kurver med konstant ψ er strømlinjer for v.
Hvis ∇ × 𝐯 = 𝟎 så findes et skalarpotential, 𝜑, hvor ∇𝜑 = 𝐯, 𝜑 kaldes også potentialfunktionen
For vektorfelter, v, som både er divergens-og rotationsfri gælder, at skalarpotentialet for v
opfylder Laplaces ligning: ∇𝜑 = 𝐯, ∇2 𝜑 = 0 (FV kap 9).
I FV kapitel 6 udregnede vi simple linje-, kurve- og fladeintegraler (EMM kapitel 3).
Linjeintegraler: ∫λ βd𝐫 og ∫λ 𝐀 ∙ d𝐫 af henholdsvis en skalar og en vektor. ∮λ 𝐀 ∙ d𝐫 betyder at
kurven λ er lukket.
Fladeintegraler over en lukket flade, σ, med volumenet, τ. Der er tre:
∫ β𝐧dσ og ∫ A ∙ 𝐧dσ og ∫ A × 𝐧dσ
σ
σ
σ
Volumenintegraler over volumen, τ:
∫τ βdτ, f.eks. vis β er massefylden, så er inegralet den samlede masse af volumenet, τ.
(∫τ 𝐀dτ af en vektor findes også, f.eks til beregning af impulsomentet af et roterende objekt; men
dette gennemgås ikke i Mat F).
Greens, Stokes og Gauss sætninger (FV kap 7) er vigtige sætninger som knytter linjeintegraler
sammen med fladeintegraler og fladeintegraler med volumenintegraler ved brug af
differentialoperatorerne: Gradient, divergens og rotation. Husk Gauss sætning for gradient og
rotation (FV 108).
FV kapitel 8 handler om planpolære koordinatsystemer og sfæriskpolære koordinatsystemer og
omregningen fra/til kartesiske koordinater. Husk, at udtrykkene for gradient, divergens, rotation
og Laplaceoperatoren får deres egne udtryk i plan polære og sfærisk polære koordinater (FV 118 +
119) samt (EMM 113, hvor Laplaceoperatoren er medtaget).
FV kapitel 9 handler om divergens- og rotationsfrie felter, og bemærk at skalarpotentialet, 𝜑, og
strømfunktionen, ψ, opfylder Cauchy-Riemann relationerne (Alle beregningerne plane vektorfelter
bliver relevante i Mat F2, idet et vektorfelt, 𝐯(x, y) = vx (x, y)𝐢 + vy (x, y)𝐣 helt svarer til en
kompleks funktion f(c) = f(cr + ici ) = u(cr , 𝑐𝑖 ) + iv(𝑐𝑟 , ci )).
Matematik F forelæsning 2, uge 8 den 24.marts 2021
Page
3 of 5
FV kapitel 10 handler mest om kontinuumsmekaniske anvendelser. Her kommer den
partikelafledte ind i billedet og Kontinuitetsligningen, Bernoulliligningen og
varmeledningsligningen bliver diskuteret.
I FV side 161 – 163 nævnes Navier-Stokes ligning som er Newtons 2.lov for kontinuerte medier og
Maxwells ligninger. Desuden er der Schrödinger ligningen (EMM side 391 (10.7)). Sammen med
Laplaceligningen, diffussionsligningen (varmeledning) og bølgeligningen er disse blandt de
vigtigste i fysik.
De er alle partielle differentialligninger for fysiske størrelser som i de fleste tilfælde kobler tid og
sted.
EMM bogen:
Nogle egenskaber af funktioner og særlige ordinære differentialligninger.
Se på definitionen af vektorrum, punkt for punkt, som i EMM afsnit 1.1, så kan man stort set
udskifte vektorerne a og b med funktionerne f(x) og g(x). Vi mangler bare at definere et indre
produkt: ⟨𝑓|𝑔⟩ . Dette er så gjort i EMM kap 8 side 300.
Et uendelig dimensionalt vektorrum af funktioner hvor der er defineret et indre produkt kaldes et
Hilbertrum.
Hvis I husker jeres lineære algebra, er lineære vektorfunktioner udtrykt ved matricer. Disse
matricer kan have særlige egenskaber, f.eks. kan de være Hermitiske. For Hermitiske matricer
gælder at de har ortogonale egenvektorer og at alle egenværdier er reelle.
I Hilbertrum kan det være lineære differentialoperatorer. Disse kan også have egenskaben at være
Hermitiske (med et bestemt valg af randbetingelser). Det viser sig, at egenfunktionerne til
Hermitiske operatorer er ortogonale og udspænder Hilbertrummet. Alle egenværdier er reelle.
D.v.s. at en vilkårlig funktion (som opfylder randbetingelserne) kan fremstilles af netop én uendelig
linearkombination af egenfunktionerne.
Sturm-Liouville ligninger (EMM side 308), repræsenterer Hermitiske differentialoperatorer, og en
𝑑𝑝(𝑥)
af de enkleste fås ved at sætte p(x) =1 ⇒ 𝑟(𝑥 ) = 𝑑𝑥 = 0 og q(x) = 0 i formel 8.33 EMM 308.
𝑑2
𝑑2 𝑦
Det giver nemlig operatoren: − 𝑑𝑥2 og egenværdiligningen bliver: 𝑑𝑥2 = −𝜆2 𝑦; 𝜆2 er
egenværdierne. Egenfunktionerne kender vi: cosλx og sinλx. Altså kan en vilkårlig funktion som
opfylder nogle randbetingelser opskrives som en uendelig linearkombination af cos og sin.
Dette udnyttes i EMM kapitel 4 til diskussion af Fourierrækker. Her kommer opskriften på
koefficienterne i linearkombinationen, d.v.s. funktionen, f’s, koordinater i Hilbertrummet
udspændt af cos og sin. Koeffecienterne hedder ar og br i EMM 173.
For at randbetingelsen f(x) kan tilpasses med Fourierrækker skal f opfylde Diricletbetingelserne
EMM 170.
Mange funktioner i fysikken opfylder ikke kravet om periodicitet; men så kan man ofte gøre dem
periodiske. En anden udvej er at lade perioden for en ”periodisk” funktion gå mod uendelig. Dette
Matematik F forelæsning 2, uge 8 den 24.marts 2021
Page
4 of 5
gøres i EMM kap 5. Fourierrækken konvergerer mod et integral: Fourierintegralet. De harmoniske
egenfunktioner udgør nu et kontinuum af ortogonale basisfunktioner og koefficienterne bliver til
̃ af funktionen f(t).
en kontinuert funktion: Den Fouriertransformerede 𝑓(𝜔)
∞
Nu er kravet bare, at ∫−∞|𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 skal være endeligt.
I forbindelse med Fouriertransformationer kommer Dirac´s deltafunktion og Heavysidefunktionen
ind i billedet.
I projektugen har I arbejdet med Fast Fourier Transforms (FFTer) i Python kode, og der har vi
anvendt foldesætningen (5.38) EMM 206, og især anvendelsen af denne: Eksemplet nederst på
side 207.
Fouriertransformationen er blot en blandt flere integraltransformationer EMM 217 afsnit 5.5.
Der er også Laplacetransformationer og Hankel- og Mellintransformationerne.
Vi vender nu tilbage til løsningsmetoder af partielle differentialligninger (PDE).
I EMM kap.10 nævnes fire væsentlige 2.ordens diff. Ligninger: Diffussions-, Bølge-, Laplace- og
Schrödingerligningen og anviser en løsningsmetode: Parameteriseringsmetoden.
Vigtig bemærkning: Når vi i det følgende arbejder med u(x,y,z,t) i ligningerne, så husk, at u
repræsenterer noget i fysik. F.eks kan u være en skalar, afvigelser af lufttrykket fra normalt tryk. I
bølgeligningen kommer u så til at beskrive f.eks. lyd og bølgeligningen giver opskriften på hvordan
lyden spreder sig.
En generel 2.ordens PDE kan altid beskrives som Hyperbolsk, elliptisk eller parabolsk. (EMM 399)
De parameteriserede løsninger bliver så opskrevet generelt, f.eks. vil alle ”pæne” funktioner f(p1)
og g(p2), hvor p1=x-ct og p2=x+ct løse bølgeligningen. Det er så randbetingelserne som skal låse
specifikke løsninger.
I EMM kapitel 11 benyttes en anden metode: Separation af de variable. Her søges der efter
løsninger på formen u(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t) of dette giver en helt anden gruppe løsninger.
Så spalter f.eks. bølgeligningen op i fire ODE som hver især har cos og sin løsninger. Hvad skete der
så lige med den oprindelige bølgeligning? Jo, nu er koblingen fra ligningen indeholdt i koblingen
mellem separationskonstanterne. I bølgeligninges tilfælde: (l2 + m2+ n2 )= μ2 . Alle andre
konstanter i den generelle løsning skal så findes gennem randbetingelser.
Prøv at læse og forstå vekselvirkningen mellem separation af de variable og randbetingelserne ved
f.eks. Joseph Fouriers forsøg med kobberstrimmelen som fører til: Fourierrækker.
Derefter arbejdes der med separation af de variable i plan-polære koordinater i forbindelse med
Laplaceligningen. Her kommer der som noget nyt, at der kommer bindinger på
separationskonstanten n2. n skal nemlig være et heltal for at sikre kontinuitet ved 2π. (Dette
kommer også senere til at gælde for komplekse funktioner)
Matematik F forelæsning 2, uge 8 den 24.marts 2021
Page
5 of 5
Vi har også gennemgået Separation af de variable for sfærisk-polære koordinater. Igen med
udgangspunkt i Laplace ligningen. Disse udregninger bliver virkeligt langhårede; men ”tag med
hjem” beskeden er, at det lykkes at finde en generel løsning som består af et led med potenser af
r, af et led med cos og sin i φ, og af et led med Associerede Legendre funktioner i cosθ.
Vi vælger at systematisere og kobler φ og cosθ leddet sammen og definerer Kuglefunktioner.
Disse kuglefunktioner udgør en ortonormal basis i et Hilbertrum, og derfor kan enhver funktion
f(θ,φ) skrives som en uendelig sum af kuglefunktioner.
Til sidst prøver vi at separere rumdelen og tidsdelen i bølge- og diffussionsligningen. Det fører til at
ODE for tidsdelen bliver ganske enkel; men rumdelen bliver til Helmholzligningen i begge tilfælde.
Helmholzligningen er heldigvis et Sturm-Liouville problem, så egenfunktionerne udspænder atter
et Hilbertrum hvor enhver funktionsrandbetingelse kan opfyldes af en uendelig sum af
egenfunktioner. Egenfunktionerne til Helmholz er Bessel funktioner. (for de nysgerrige så er
Besselfunktioner beskrevet indgående i EMM kap.9.
Slutkommentar:
Kurset et nu slut, og ikke på den måde jeg havde tænkt mig. Jeg er dog rigtig glad for at vi nåede
ret langt før det hele lukkede ned.
Husk at have FV, EMM og Shaums klar til eksamen. I må gerne bruge PC, f.eks. Maple, MATLAB
eller lignende. Prøv at øve lidt på regneregler for cos og sin, f.eks. sin a + sin b eller sin 2a. Øv også
på Eulers formler for cos og sin og endelig smag lidt på de hyperbolske funktioner sinh og cosh.
Held og lykke til eksamen,
Også så håber jeg, at jeg ikke kommer til at se jer igen til Mat F undervisningen,
Jørgen Peder