Funktioner af flere variable, partielle afledte
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1
Efterår 2024
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Repetitorium
1
Differentiable funktioner af én variable
På det åbene interval (a, b) betragter vi en reelværdiet funktion
f : (a, b) −→ R
Differenskvotienten
f (x + h) − f (x)
angiver hældningen af den røde linje
h
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Repetitorium
2
Differentiable funktioner af én variable
I Hvis x ∈ (a, b) og grænsværdien
lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
existerer, så hedder f : (a, b) → R differentiabel i x. I så fald kaldes
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f 0 (x) := lim
for den afledte af f i punktet x.
I Findes grænsværdien for alle x ∈ (a, b), hedder f differentiabel. I så
fald får vi en ny funktion,
f 0 : (a, b) −→ R,
nemlig den afledte f 0 af f .
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Repetitorium
3
Vigtige eksempler på afledte funktioner
I f : (a, b) → R er konstant, hvis og kun hvis f 0 = 0
I For alle n ∈ {1, 2, 3, . . .} gælder
(xn )0 = nxn−1 ,
x∈R
Her er (a, b) = (−∞, ∞)
I For alle n ∈ {1, 2, 3, . . .} gælder
1
xn
0
n
= (x−n )0 = −nx−n−1 = − n+1 ,
x
Her er (a, b) = (0, ∞) eller (a, b) = (−∞, 0)
I Exponentialfunktion
(ex )0 = ex ,
x∈R
x 6= 0
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Repetitorium
4
Vigtige eksempler på afledte funktioner
I Den omvendte funktion til exponentialfunktionen er
logaritmusfunktionen ln : (0, ∞) → R. Den opfylder
ln0 (x) =
1
,
x
x>0
I Sinus- og Cosinusfunktioner
sin0 (x) = cos(x),
cos0 (x) = − sin(x),
x∈R
I Generelle potensfunktioner: for alle a ∈ R gælder
(xa )0 = axa−1 ,
x>0
Kvadratrodfunktionen er et specialtilfælde:
√ 0
1
1
x = (x1/2 )0 = x−1/2 = √ ,
2
2 x
x>0
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Egenskaber af differentiable funktioner
5
Linearitet
Hvis f, g : (a, b) → R er differentiable og λ, µ ∈ R, så
(λf + µg)0 (x) = λf 0 (x) + µg 0 (x),
x ∈ (a, b),
og analogt for summer af flere led.
I (5xn )0 = 5(xn )0 = 5nxn−1 ,
x∈R
I −4 kan læses som +(−4) i
(3x2 + x3 − 4 sin(x))0 = 3(x2 )0 + (x3 )0 − 4 sin0 (x)
= 6x + 3x2 − 4 cos(x),
x∈R
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Egenskaber af differentiable funktioner
6
Produktregel (= Leibniz-regel)
Hvis f, g : (a, b) → R er differentiable, så
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x),
x ∈ (a, b)
I Fx, hvis f (x) = x7 og g(x) = cos(x),
(x7 cos(x))0 = (x7 )0 cos(x) + x7 cos0 (x)
= 7x6 cos(x) − x7 sin(x),
x∈R
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Egenskaber af differentiable funktioner
Kvotientregel
Hvis f, g : (a, b) → R er differentiable og g aldrig er 0, så
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
(x) =
,
g
g(x)2
x ∈ (a, b),
I Fx, hvis f (x) = sin(x) og g(x) = cos(x) og (a, b) = (−π/2, π/2),
tan0 (x) =
sin
cos
0
sin0 (x) cos(x) − sin(x) cos0 (x)
cos(x)2
cos(x)2 + sin(x)2
=
cos(x)2
1
=
, x ∈ (−π/2, π/2),
cos(x)2
(x) =
fordi cos(t)2 + sin(t)2 = 1 for alle t ∈ R
7
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Egenskaber af differentiable funktioner
Kæderegel for sammensatte funktioner
Hvis f : (a, b) → R og g : (c, d) → R er differentiable og g(x) ∈ (a, b)
for alle x ∈ (c, d), så
0
(f ◦ g)0 (x) = f (g(x)) = f 0 (g(x))g 0 (x),
x ∈ (c, d)
I Fx, hvis f = sin og g(x) = 8x3 ,
(sin(8x3 ))0 = sin0 (8x3 )(8x3 )0
= cos(8x3 ) · 24x2 ,
x∈R
8
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Egenskaber af differentiable funktioner
9
Afledte af omvendte funktioner
Antag at f : (a, b) → R er differentiabel of f 0 aldrig er 0. Da har f en
omvendt funktion f −1 (d.v.s., f −1 (f (x)) = x og f (f −1 (y)) = y) og
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
I Fx opfylder tan antagelsen og
1
= cos(tan−1 (y))2
tan0 (tan−1 (y))
1
1
=
=
, y ∈ R,
−1
2
1 + y2
1 + tan(tan (y))
(tan−1 )0 (y) =
fordi
1
cos(x)2
=
= cos(x)2 ,
2
1 + tan(x)
cos(x)2 + sin(x)2
x∈R
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Funktioner
af flere variable
n
10
R
I Rn betegner mængden af alle vektorer med n reelle tal som
indgange, d.v.s.,


 
x1




 .. 
n
R = ~x =  .  x1 , . . . , xn ∈ R




xn
Punkter i Rn betegnes også ofte som ~x = (x1 , . . . , xn )
I Fx,
x
R2 =
x, y ∈ R ,
y
Også R2 3 (x, y) o.s.v.
 

 x

R3 = y  x, y, z ∈ R


z
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Funktioner af flere variable
11
Definition
I En reelværdiet funktion f af n variable er defineret på en
definitionsmængde D(f ) ⊂ Rn og afbilder hvert
~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D(f ) på et entydigt reelt tal
f (~x) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ R.
I Funktionens graf er
graf(f ) :=
~x
f (~x)
~x ∈ D(f ) ⊂ Rn+1
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Funktioner af flere variable
12
Eksempel med n = 2
På definitionsmængden
D(f ) := ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 x21 + x22 ⩽ 1 ,
sætter vi
f (~x) = f (x1 , x2 ) :=
q
1 − x21 − x22 ,
~x ∈ D(f ).
Da er D(f ) en lukket cirkelskive med radius 1 og centrum i origo,
fordi x21 + x22 er længden i anden af vektoren (x1 , x2 ).
Grafen af f er den nordlige hemisfære med radius 1 og centrum i origo
inklusive ækvator, fordi hvert punkt (x1 , x2 , x3 ) på graf(f ) opfylder
0 ⩽ x3 = f (x1 , x2 )
⇔
x23 = 1 − x21 − x22
⇔
x21 + x22 + x23 = 1,
hvor x21 + x22 + x23 er længden i anden af (x1 , x2 , x3 ).
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Funktioner af flere variable
Konvention for definitionsmængder
I Hvis D(f ) ikke er specificeret, så er D(f ) den største mængde i
Rn på hvilken udtrykket for funktionen f giver mening.
Eksempel
f (x1 , x2 ) :=
sin(x1 )x2
4 − x21 − x22
Man kan ikke dele med 0
x1
D(f ) =
∈ R2 x21 + x22 6= 4
x2
= R2 uden cirklen med radius 2 og centrum i origo
x21 + x22 = r2 er ligningen for cirklen med radius r ⩾ 0 og centrum i origo
13
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Funktioner af flere variable
Konvention for definitionsområder
I Hvis n = 2, skriver vi ofte (x, y) i stedet for (x1 , x2 )
I Hvis n = 3, skriver vi ofte (x, y, z) i stedet for (x1 , x2 , x3 )
Eksempel
f (x, y, z) := x ln(y − z)
ln kan kun anvendes på strikt positive tal
 


 x
D(f ) = y  ∈ R3 y > z


z
14
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Niveaumængder
af funktioner af flere variable
Definition
Niveaumængden af en funktion f af n variable svarende til niveauet
c ∈ R er delmængden af D(f ), hvorpå f antager værdien c, altså
Nc (f ) := ~x ∈ D(f ) f (~x) = c ,
I Det kan ske, at Nc (f ) er tom.
I Hvis n = 2, kaldes Nc (f ) også for en niveaukurve.
15
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Niveaumængder
16
af funktioner af flere variable
Eksempel
Vi betragter igen f (x1 , x2 ) =
p
1 − x21 − x22
I Hvis c < 0 eller c > 1, er Nc (f ) = ∅ den tomme mængde, fordi
0 ⩽ f (x1 , x2 ) ⩽ 1,
(x1 , x2 ) ∈ D(f )
I Hvis c = 1, består niveaumængden kun af origo, Nc (f ) = {(0, 0)}, da
q
1 − x21 − x22 = 1
⇔
1 − x21 − x22 = 1
I Hvis c ∈ [0, 1), er Nc (f ) en cirkel med radius
origo, fordi
q
1 − x21 − x22 = c ⇔ 1 − x21 − x22 = c2
⇔
(x1 , x2 ) = (0, 0)
√
1 − c2 og centrum i
⇔
1 − c2 = x21 + x22
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Eksempler
I f (x1 , x2 ) = x21 sin(x2 )
⇒
f1 (x1 , x2 ) = ∂1 f (x1 , x2 ) = 2x1 sin(x2 )
f2 (x1 , x2 ) = ∂2 f (x1 , x2 ) = x21 cos(x2 )
Alternativ notation
I f (x, y, z) = xy 2 z 3 ⇒
fx (x, y, z) = ∂x f (x, y, z) = y 2 z 3
fy (x, y, z) = ∂y f (x, y, z) = 2xyz 3
fz (x, y, z) = ∂z f (x, y, z) = 3xy 2 z 2
Alternativ notation
17
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Formal definition
Lad f : D(f ) → R være en funktion af n variable og j ∈ {1, . . . , n}.
I Lad ~x ∈ D(f ). Da er
∂j f (~x)
:= lim
h→0
f (x1 , ..., xj−1 , xj + h, xj+1 , ..., xn ) − f (x1 , ..., xj , ..., xn )
h
den partielle afledte af f i forhold til sin j-te variable i punktet ~x,
såfremt grænsværdien eksisterer.
I Findes grænsværdien for alle ~x ∈ D(f ), så får vi en ny funktion
∂j f : D(f ) −→ R,
der kaldes for den partielle afledte af f i forhold til sin j-te
variable.
∂f
∂
I Forskellige notationer: ∂j f = ∂xj f = ∂x
f = ∂x
= fxj = fj = . . .
j
j
18
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Formal definition
Alternativ formulering
Lad f : D(f ) → R være en funktion af n variable og j ∈ {1, . . . , n}.
Vi fastholder ~x ∈ D(f ) og definer en funktion g af en variable t ved
g(t) := f (x1 , . . . , xj−1 , t, xj+1 , . . . , xn )
for alle t i et lille interval omkring xj .
Da er den partielle afledte af f i forhold til sin j-te variable i punktet
~x givet ved
∂j f (~x) = g 0 (xj )
OBS: Funktionen g afhænger af den valgte indeks j og de fastholdte
parameter x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn .
19
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Egenskaber
Linearitet
Hvis λ, µ ∈ R og f, g er partielt differentiable funktioner af n variable
defineret på den samme definitionsmængde,
∂j (λf + µg)(~x) = λ∂j f (~x) + µ∂j g(~x)
Eksempler
∂2 (4ex1 x2 + 5ex2 ) = 4∂2 ex1 x2 + 5∂2 ex2
= 4ex1 + 5ex2 ,
∂z (3xy + 2y 2 z 4 + xz) = 3∂z xy + 2∂z y 2 z 4 + ∂z xz
= 0 + 8y 2 z 3 + x
20
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Egenskaber
21
Specialtilfælde af kædereglen
Antag at g : D(g) → R er en partielt differentiabel funktion af n
variable og f : I → R en differentiabel funktion på noget interval
I ⊂ R med g(~x) ∈ I for alle ~x ∈ D(g). Husk at
(f ◦ g)(~x) := f (g(~x))
definerer den sammensatte funktion f ◦ g : D(g) → R. Da gælder
∂j (f ◦ g)(~x) = ∂j f (g(~x)) = f 0 (g(~x))∂j g(~x)
Eksempel Vi vil udregne ∂1 ex1 x2 . Her er
f (t) = et ,
altså
g(x1 , x2 ) = x1 x2 ,
f 0 (t) = et ,
∂1 g(x1 , x2 ) = x2 ,
∂1 ex1 x2 = f 0 (g(x1 , x2 ))∂1 g(x1 , x2 ) = ex1 x2 x2
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Egenskaber
22
Produktregel (= Leibniz-regel)
Hvis f, g er partielt differentiable funktioner af n variable der har den
samme definitionsmængde,
∂j (f g)(~x) = (∂j f )(~x)g(~x) + f (~x)∂j g(~x)
Eksempel Udregn ∂1 f (0, π), hvor
f (x1 , x2 ) := ex1 x2 cos(x1 + x2 ).
Svar. Først udregner vi
∂1 f (x1 , x2 ) = (∂1 ex1 x2 ) cos(x1 + x2 ) + ex1 x2 ∂1 cos(x1 + x2 )
= ex1 x2 x2 cos(x1 + x2 ) + ex1 x2 cos0 (x1 + x2 )∂1 (x1 + x2 )
= x2 ex1 x2 cos(x1 + x2 ) − ex1 x2 sin(x1 + x2 )
⇒
∂1 f (0, π) = πe0 cos(0 + π) − e0 sin(0 + π) = π · 1 · (−1) − 1 · 0 = −π
Calculus, Blok 1, Kursusgang 1 | Funktioner af flere variable, partielle afledte
Partielle afledte – Egenskaber
Kvotientregel
Hvis f, g er partielt differentiable funktioner af n variable defineret på
den samme definitionsmængde så at g aldrig er lige 0,
∂j
(∂j f )(~x)g(~x) − f (~x)∂j g(~x)
f (~x)
=
g(~x)
g(~x)2
Eksempel
∂y
(∂y y)(x2 + y 2 ) − y ∂y (x2 + y 2 )
y
=
x2 + y 2
(x2 + y 2 )2
2
2
1 · (x + y ) − y · 2y
x2 − y 2
=
=
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
23