מבט גיאומטרי על משוואות מסדר ראשון 1 שדות שיפועים נכיר עכשיו דרך הסתכלות גרפית על משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון שנקראת שדה שיפועים .נקודת מבט זו היא חשובה הן משום שהיא נותנת לנו תמונה חזותית של משוואה דיפרנציאלית ,והן משום שהיא מאפשרת לחקור בקלות את התכונות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות ,גם כאלו שקשה או בלתי־אפשרי לפתור בעזרת שיטות אנליטיות ,כלומר בעזרת נוסחאות מפורשות. נניח שנתונה משוואה דיפרנציאלית y ′ = f (t, y). )(1.1 נבנה את שדה השיפועים המתאים למשוואה הדיפרנציאלית בדרך הבאה :נצייר מישור שציריו הם tו־ .yבכל נקודה ) (t, yבמישור זה נסרטט קטע קצר שהשיפוע שלו שווה לערך ) .f (t, yכמובן שלמעשה לא נצייר קטע כזה בכל נקודה במישור ,אלא נבחר מספר סופי של נקודות ,אבל מבחינה מושגית שדה השיפועים נמצא בכל נקודה במישור .באיור 1עשינו זו לגבי המשוואה הדיפרנציאלית y′ = 2 − y נוכל גם לצייר שדה שיפועים "צפוף" יותר כמו בציור השני. מה הקשר בין שדה השיפועים לפתרונות המשוואה הדיפרנציאלית? המשוואה )(1.1 אומרת לנו שאם ) y(tהוא פתרון של המשוואה שהגרף שלו עובר בנקודה ) (t1 , y1כלומר אם ,y(t1 ) = y1אז הנגזרת של ) y(tבנקודה t1שווה ל־ ) f (t1 , y1במילים אחרות, השיפוע של גרף הפתרון בנקודה ) (t1 , y1שווה לשיפוע של שדה השיפועים באותה נקודה. אפשר לנסח זאת גם בצורה הבאה :הגרף של פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית משיק בכל נקודה עליו לקטע של שדה השיפועים שנמצא באותה נקודה .לכן נוכל "לפתור" 1 1 שדות שיפועים איור :1שדה שיפועים עבור המשוואה הדיפרנציאלית .y ′ = 2 − y c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 2 1 שדות שיפועים איור :2שדה שיפועים עבור המשוואה הדיפרנציאלית ,y ′ = 2 − yעם גרפים של כמה מפתרונות המשוואה. משוואה דיפרנציאלית באופן גרפי על־ידי סרטוט של עקומות שמשיקות לשדה השיפועים בכל נקודה בה הן עוברות .כמו כן ,רק מהסתכלות על שדה השיפועים נוכל להבין הרבה על צורת הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית המתאימה .גישה זו לחקירת משוואות דיפרנציאליות נקראת "חקירה איכותית" ,בניגוד ל"חקירה אנליטית" שפירושה מציאת ביטוי מפורש לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית .חקירה איכותית מאפשרת לנו להבין את התנהגות הפתרונות של משוואה אפילו אם איננו יודעים למצוא אותם במפורש. באיור 2סרטטנו כמה מפתרונות המשוואה הדיפרנציאלית על גבי שדה השיפועים. כאשר המשוואה היא אוטונומית ,כלומר כאשר הפונקציה ) f (t, yלמעשה אינה תלויה ב־ ,tכל השיפועים בנקודות בעלות אותו ערך yהם זהים .כאשר המשוואה אינה אוטונומית ,שדות השיפועים יכולים להיראות מסובכים יותר .באיור 3הבאנו כמה דוגמאות. בעזרת כלים הזמינים באינטרנט נוכל לסרטט שדה שיפועים של כל משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון ,וגם לקבל את הגרפים של פתרונות שלהן .למשל http://www.math.rutgers.edu/ sontag/JODE/JOdeApplet.html http://math.rice.edu/ dfield/dfpp.html c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 3 1 שדות שיפועים איור :3כמה דוגמאות לשדות שפועים של משוואות דיפרנציאליות c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 4 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל בסעיף זה נעשה שימוש בחקירה איכותית וגם בחקירה אנליטית ,ונכיר תוך כדי כך את אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הידועות והחשובות בתחום המחקר האקולוגי ־ חקירת אוכלוסיות של בעלי חיים ־ ובני אדם בתוכם ־ המשוואה הלוגיסטית .המודל הזה נוסח לראשונה על־ידי מתמטיקאי ורופא בשם Pierre Verhulstבשנת .1845 הכרנו כבר את המודל הבסיסי ביותר לגידול ־ או דעיכת ־ אוכלוסיה ,המודל שבו מניחים שיעור גידול קבוע ,r ′ )(2.1 P = rP המוביל לגידול אקספוננציאלי ,אם rחיובי, P (t) = P0 ert . הבעייתיות במודל זה היא שגידול אקספוננציאלי מוביל לאחר זמן לגודל אוכלוסיה בלתי מתקבל על הדעת .הביולוג צ'רלס דרווין ,שגילה את תורת האבולוציה ,ערך חישוב שבו הניח שפילה יולדת 6צאצאים במשך 60שנה בהן היא פורייה ,והגיע למסקנה שזמן )r = ln(2 ההכפלה של אוכלוסיית פילים הוא כ־ 20שנה ,כלומר שיעור הריבוי = 0.034 20 לשנה .מכאן שאם נתחיל מזוג פילים ־ זכר ונקבה ־ כעבור 200שנים יהיו לנו 6.7מליון פילים ,ואחרי 1000שנים יהיו לנו 2.25 · 1015פילים ,ופירוש הדבר שכדור הארץ יכוסה בפילים בצפיפות של יותר מ־ 4פילים למטר מרובע .כמובן שהרבה לפני שזה יקרה, יתערבו גורמים נוספים ויקטינו את שיעור הריבוי של הפילים ,למשל העובדה שלא יהיה להם מספיק אוכל כדי לשרוד עד לבגרות ולהוליד צאצאים. לכן המודל האקספוננציאלי ,למרות שהוא חוזה היטב גידול של אוכלוסיות כאשר הן עדיין קטנות והמשאבים הדרושים להשרדות ורבייה נמצאים בשפע ,זקוק לעדכון כאשר האוכלוסיות מגיעות לרמה שבה הפרטים בהן מתחרים על משאבים מוגבלים. ככל שאוכלוסיה תהיה גדולה יותר ,אנחנו מצפים ששיעור התמותה שלה dיגדל ושיעור הילודה שלה bיקטן ,כתוצאה מתחרות על משאבים מוגבלים .לכן שיעור הגידול של האוכלוסיה r = b − dיקטן ככל שתגדל האוכלוסיה .כדי לקחת זאת בחשבון במודל מתימטי ,נניח עכשיו ששיעור הגידול rשל האוכלוסיה אינו קבוע אלא תלוי בגודלה הנוכחי של האוכלוסיה ) r = r(P אנו מצפים שהפונקציה ) r(Pתהיה פונקציה יורדת ־ שיעור הגידול קטן ככל ש־ Pגדל, אבל מלבד זאת איננו יודעים מהי צורת הפונקציה :חוקרים בתחום האקולוגיה ערכו ועורכים מחקרים רבים כדי לקבוע את צורת הפונקציה המתאימה למינים שונים של בעלי חיים או צמחים .אנחנו ניקח את הפונקציה הפשוטה ביותר האפשרית ־ פונקציה לינארית r(P ) = aP + b c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 5 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל איור :4שיעור הגידול של האוכלוסיה כפונקציה של גודלה ,במודל הלוגיסטי מאחר והפונקציה יורדת הקבוע aצריך להיות שלילי .מאחר וכאשר האוכלוסיה קטנה מאד והתחרות על משאבים זניחה אנו מצפים לשיעור גידול חיובי b ,צריך להיות חיובי. כלומר גרף הפונקציה יראה כמו באיור .4 נהוג לכתוב את הפונקציה הלינארית הזאת בצורה שונה אך שקולה .נסמן את ערך P שבו הישר חותך את ציר Pב־ ,Kכלומר K = − abונסמן גם ,r0 = −bונוכל נכתוב את משוואת הישר בצורה P )(2.2 r(P ) = r0 1 − K הסיבה לכתיבה זו היא שלשני המספרים r0ו־ Kיש משמעויות ביולוגיות חשובותr0 . זה שיעור הגידול האוכלוסיה כאשר Pקרוב מאד ל־ ,0כלומר כאשר האוכלוסיה קטנה מאד ,ואילו Kהוא גודל האוכלוסיה שבו שיעור הגידול הוא בדיוק .0כאשר גודל האוכלוסיה Pקטן מהערך Kשיעור הגידול יהיה חיובי .כאשר Pגדול מ־ Kשיעור הגידול שלילי ,כלומר שיעור התמותה יהיה גדול משיעור הילודה .לגודל Kקוראים כושר הנשיאה של הסביבה ,מאחר וכאשר גודל האוכלוסיה גדול יותר מערך זה ,הסביבה אינה יכולה לספק משאבים מספיקים ,ולכן שיעור הגידול נעשה שלילי. כעת נוכל לנסח משוואה דיפרנציאלית מתאימה לתיאור גידול אוכלוסיה שבו שיעור הגידול יורד ככל שהאוכלוסיה גדולה יותר .במשוואה ) (2.1נחליף את הקבוע r בפונקציה ) r(Pהנתונה על־ידי ) ,(2.2ונקבל P ′ )(2.3 P = r0 · 1 − ·P K לאחר שכתבנו את המשוואה הדיפרנציאלית נרצה לחקור איך נראים הפתרונות שלה, כלומר איזו תחזית היא נותנת להתנהגות גודל האוכלוסיה. c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 6 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל איור :5שדה שיפועים עבור המשוואה הדיפרנציאלית של המודל הלוגיסטי ,כאשר .r = 0.3 ,K = 4 כדי לסרטט את שדה השיפועים של המשוואה בעזרת מחשב ,נבחר ערכים עבור הפרמטרים. דוגמה 2.1נתאר אוכלוסיית צבאים בשמורת טבע .נסמן ב־) P (tאת גודל האוכלוסיה במאות בזמן tבשנים .נניח שכושר הנשיאה של השמורה הוא 400צבאים ,כלומר .K = 4 נניח שכאשר מספר הצבאים קטן ולכן יש מספיק עשב לכולם ,שיעור הריבוי של הצבאים הוא %30לשנה ,כלומר .r0 = 0.3 המשוואה הדיפרנציאלית שלנו היא P ′ P = 0.3 · P 1 − . 4 )(2.4 נסרטט את שדה השיפועים שלה. בעזרת שדה השיפועים נוכל ללמוד לא מעט .כאשר גודל האוכלוסיה קטן מ־K = 4 השיפועים חיוביים ולכן הפתרון יגדל .כאשר גודל האוכלוסיה גדול מ־ ,K = 4השיפועים שליליים ולכן האוכלוסיה תקטן .בנקודות שעבורן P = 4ערכי השיפועים הם ,0 כלומר קצב השינוי של גודל האוכלוסיה יהיה .0זה רומז לנו שאם בזמן כלשהו מספר הצבאים הוא ,400מספר זה ישאר קבוע .ואכן נוכל לבדוק ישירות שהפונקציה הקבועה P (t) = 4היא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית ) .(2.4יתרה מזו ,צורת c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 7 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל שדה השיפועים רומזת לנו שכל פתרון של המשוואה שיתחיל בערך חיובי של Pילך ויתקרב לערך 4עם הזמן .פתרונות שעבורם תנאי ההתחלה הוא P (0) = P0 , כאשר ,0 < P0 < 4ילכו ויעלו ויתקרבו אסימפטוטית לערך .P = 4פתרונות שעבורם P0 > 4ילכו וירדו ,וגם הם יתקרבו אסימפטוטית לערך .P = 4 כדי לבדוק זאת נצייר בעזרת המחשב כמה פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית. שאלה 2.1א .איך תשתנה תמונת הפתרונות אם נגדיל או נקטין את ,r0אבל נשאיר את Kכפי שהוא? ב .איך תשנה תמונת הפתרונות אם נשאיר את r0קבוע ,אבל נגדיל או נקטין את ?K בדקו גם בעזרת מחשב. שאלה 2.2למשוואה הלוגיסטית יש פתרון קבוע נוסף מלבד הפתרון .P (t) = 4מהו הפתרון הזה ,ומה המשמעות הביולוגית שלו? שאלה 2.3תנאי התחלה P (0) = P0 < 0אינו מעניין מבחינה ביולוגית ,מאחר וגודל אוכלוסיה אינו יכול להיות שלילי ,אבל מהבחינה המתמטית עדיין מעניין לבחון פתרונות המקיימים תנאי התחלה כזה .מה ניתן ללמוד משדה השיפועים על פתרונות כאלה? התנהגות הפתרונות של המשוואה ניתנת אם כן להבנה באמצעות ציור שדה השיפועים, אבל אם רוצים לענות על שאלות כמותיות נוח מאד אם יש בידינו פתרון אנליטי. לדוגמה :נניח שבהתחלה יש רק 20צבאים בשמורה .תוך כמה שנים צפויה אוכלוסיית הצבאים להגיע ל־?350 נמצא פתרונות אנליטיים למשוואה ) ,(2.3בעזרת שיטת הפרדת המשתנים. c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 8 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל נכתוב את המשוואה בצורה dP P = r0 · P 1 − dt K נפריד משתנים dP = r0 dt P P 1− K נבצע אינטגרציה r0 dt האינטגרל באגף ימין הוא Z Z dP = P P 1− K r0 dt = r0 t + C Z כדי לחשב את האינטגרל באגף שמאל נפרק את הפונקציה לשברים חלקיים: 1 1 K 1 = = + P ) P (K − P P K −P P 1− K לכן +C P K −P dP = ln(P ) − ln(K − P ) = ln K−P Z לכן קיבלנו = r0 t + C P K −P dP + P Z dP = P P 1− K Z ln נחלץ את P P ) = er0 t+C = Der0 t ⇒ P = Der0 t (K − P K−P KD KDer0 t = r t De 0 + 1 D + e−r0 t מצאנו משפחת פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית. = )⇒ P (Der0 t + 1) = KDer0 t ⇒ P (t למעשה יש גם פתרונות של המשוואה שאינם במשפחה :הפתרונות שהם פונקציות קבועות .הפתרונות הקבועים של המשוואה מתקבלים על ידי השוואת האגף הימני שלה לאפס ,והם )(2.5 P (t) = 0, P (t) = K. c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 9 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל P כאשר חילקנו את שני אגפי המשוואה בביטוי P 1 − Kהנחנו במובלע שביטוי זה אינו מתאפס ,ולכן "פיספסנו" את הפתרונות האלה. נניח עכשיו שנתון גודל אוכלוסיה התחלתי ,P0כלומר נתון תנאי התחלה P (0) = P0 )(2.6 ואנו רוצים למצוא את הערך של הפרמטר Dשעבורו הפתרון יקיים את תנאי ההתחלה. נציב t = 0בביטוי לפתרון ונקבל KD KD = −r ·0 0 D+e D+1 = )P0 = P (0 נחלץ את Dונקבל P0 =D K − P0 נציב חזרה בפתרון המשוואה הדיפרנציאלית ונקבל KP0 . −r ) P0 + e 0 t (K − P0 = P0 K K−P 0 P0 + e−r0 t K−P0 = )P (t )(2.7 זהו אם כן הפתרון של המשוואה ) (2.3המקיים את תנאי ההתחלה ) .(2.6למעשה ייצגנו את משפחת הפתרונות של המשוואה בצורה אחרת כאשר הפרמטר Dמוחלף בפרמטר ,P0אשר היתרון שלו הוא שיש לו משמעות מובנת ־ גודל האוכלוסיה ההתחלתי .יש עוד יתרון של הייצוג האחרון ־ עכשיו שני הפתרונות הקבועים ) (2.5מופיעים כחלק ממשפחת הפתרונות :בידקו מה קורה כאשר מציבים P0 = 0או P0 = Kב־ ).(2.7 שאלה 2.4השתמשו בביטוי ) (2.7כדי לחקור את צורת הפתרון .התייחסו לגבולות כאשר tשואף ל־∞ −ול־∞ ,ולעליה או ירידה של הפתרון .בידקו את מסקנותיכם ביחס למידע שהתקבל מהחקירה האיכותית של המשוואה בעזרת שדה השיפועים. שאלה 2.5בשמורת טבע יש כיום 200צבאים .אם שיעור הגידול השנתי כאשר האוכלוסיה קטנה מאד הוא %30לשנה ,וכושר הנשיאה של השמורה הוא 4000צבאים .השתמשו במודל הלוגיסטי כדי לענות על השאלות הבאות א .תוך כמה שנים צפויה אוכלוסיית הצבאים להגיע ל־?3500 ב .כעבור כמה שנים יהיה קצב הגידול של אוכלוסיית הצבאים מקסימלי? c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 10 2 המשוואה הלוגיסטית ־ גידול אוכלוסיה מוגבל שאלה 2.6בהמשך לשאלה :2.5 נניח שכאשר אוכלוסיית הצבאים בשמורה תגיע ל־ ,1000יתירו לצוד 100צבאים מדי שנה. א .איך תשתנה המשוואה הדיפרנציאלית? איך ישתנה שדה השיפועים? ב .מה צפויה להיות אוכלוסיית הצבאים בשמורה בטווח הארוך? ענו על השאלה בעזרת שדה־השיפועים ,בלי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית. ג .ענו על שאלות א,ב בהנחה שכאשר אוכלוסיית הצבאים תגיע ל־ ,1000יתירו לצוד 300 צבאים מדי שנה. ד .מה כמות הצבאים המקסימלית שאפשר לצוד מדי שנה מבלי לגרום להכחדת אוכלוסיית הצבאים בשמורה? c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 11
