‫דף נוסחאות‬
‫מד"ר לינארית‬
‫)‪y ' a( x)  y  b( x‬‬
‫הפתרון נתון ע"י‬
‫‪ b( x)dx‬‬
‫‪a ( x ) dx‬‬
‫‪ c   e‬‬
‫‪a ( x ) dx‬‬
‫‪ye ‬‬
‫משוואת ברנולי (למד"ר מסדר ראשון)‬
‫‪y ' a( x)  y  b( x)  y n ; n  0,1‬‬
‫‪N ( y )  dy  M ( x)  dx‬‬
‫וריאצית הפרמטרים‬
‫עבור המשוואה )‪y   by   cy  q( x‬‬
‫‪ y1 , y2‬פתרונות פרטיים של המשוואה ההומוגנית ‪.‬כותבים‬
‫את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית‬
‫‪ yh  c1 y1  c2 y2‬נותנים ל ‪ c1 , c2‬להשתנות ומקבלים את‬
‫משוואה הנתנת להפרדה‬
‫)‪dy M ( x‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪dx N ( y‬‬
‫משפט הקיום והיחידות לבעיית התחלה מסדר שני‬
‫‪‬‬
‫) ‪y  p(t ) y   q(t ) y  g (t‬‬
‫אם‬
‫נתונה בעיית ההתחלה‬
‫‪y (t0 )  y0 , y (t0 )  y0‬‬
‫) ‪ p(t ), q(t ), g (t‬רציפות בקטע )‪ (a, b‬המכיל את הנקודה‬
‫‪ t0‬אז בקטע )‪ (a, b‬יש פתרון יחיד לבעיית ההתחלה‬
‫‪y' ‬‬
‫‪c1 y1  c2 y2  0‬‬
‫נבצע אינטגרל‪:‬‬
‫‪ M ( x)  dx   N ( y)  dy  c‬‬
‫הערה‪ :‬הפתרון יכול להיות פונקציה סתומה‪.‬‬
‫משוואות מסדר ראשון בעלות מקדמים הומוגניים‬
‫המשוואות‬
‫)‪c1 y1  c2 y2  q ( x‬‬
‫ואז כותבים את הפתרון הכללי‬
‫ומוצאים את המקדמים‬
‫משפט אבל‬
‫עבור המשוואה‬
‫)‪y '' p( x)  y ' q( x)  y  f ( x‬‬
‫אם ‪ y1 , y2‬פתרונות של המשוואה אז‬
‫‪:‬‬
‫‪M ( x, y) dx  N ( x, y) dy  0‬‬
‫בדיקת הומוגניות‪ :‬אם )‪ M (tx, ty)  t M ( x, y‬וכנ"ל‬
‫עבור )‪ N ( x, y‬הרי שהמשוואה הומוגנית מסדר ‪n‬‬
‫‪y‬‬
‫ואז ‪,‬החלפת משתנים‪v  :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ p ( x ) dx‬‬
‫מתקיים‬
‫הוורונסקיאן‬
‫משוואות מדוייקות‬
‫‪x0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ W ( y1 , y2 )  ce‬כאשר ‪ W‬הוא‬
‫‪M ( x, y)  dx  N ( x, y)  dy  0‬‬
‫אינטגרלים מיידים‬
‫בדיקה האם המשוואה מדוייקת‪:‬‬
‫'‪M y'  N x‬‬
‫‪‬‬
‫גורם אנטגרציה ‪:‬‬
‫‪M ( x, y)  dx  N ( x, y)  dy  0‬‬
‫‪M y  N x‬‬
‫‪f ( x ) dx‬‬
‫‪ e ‬הוא ג"א‬
‫אז‬
‫אם )‪ f ( x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M y  N x‬‬
‫‪g ( y ) dy‬‬
‫‪ e ‬הוא ג"א‬
‫אז‬
‫אם ) ‪  g ( y‬‬
‫‪M‬‬
‫משפט הקיום והיחידות למשוואה מסדר ראשון‬
‫) ‪ y   f ( x, y‬‬
‫‪ ‬ונתון המלבן‬
‫נתונה בעיית ההתחלה‬
‫‪ y ( x0 )  y0‬‬
‫‪ . D  ( x, y) a  x  b, c  y  d ‬כך ש‬
‫‪‬‬
‫‪dx  1 arctan  x   c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ln  a  x   c‬‬
‫‪2a  a  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx  arcsin  x   c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a2  x2 dx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2  x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx  ln  x  x2  a 2   c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx  ln   cos x   c‬‬
‫‪ cos x  sin x 1‬‬
‫‪dx  ln  tan( x / 2)   c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ sin x ‬‬
‫‪dx  tan x  c‬‬
‫‪ cos2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪A dx  A ln( x  a)  C‬‬
‫‪ xa‬‬
‫‪dx   cot x  c‬‬
‫‪ sin 2 x‬‬
‫‪tan xdx   ln(cos x)  c‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1n‬‬
‫‪ ( x  a)n dx  A 1 n ( x  a)  C‬‬
‫)‪u '( x‬‬
‫‪ u( x) dx  ln u( x)  C‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪u ( x) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪u '( x)dx  ‬‬
‫)‪ C , (n  1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪u ( x) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a 2  b2‬‬
‫)‪ax (b sin bx  a cos bx‬‬
‫אז קיים קטע ‪  ,  ‬כך ש )‪, x0  ( ,  )  (a, b‬כך‬
‫‪a 2  b2‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪ln a‬‬
‫‪a x dx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ x2 1  arctan x  c‬‬
‫)‪ax (a sin bx  b cos bx‬‬
‫‪ .  x0 , y0   D‬אם )‪ f ( x, y‬ו ‪ f y -‬פונקציות רציפות ב ‪D‬‬
‫שבקטע ‪  ,  ‬יש פתרון יחיד לבעיית ההתחלה‬
‫‪ a2  x2‬‬
‫‪ln xdx  x ln x  x  c‬‬
‫‪‬‬
‫‪ax sin bxdx  e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪eax cos bxdx  e‬‬
‫‪‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫‪ f ( x) g ( x) dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g ( x) dx‬‬
‫נוסחאות טריגונומטריות‬
‫ זהויות בסיסיות‬.1
sin( )   sin( )
1
1  cot 2  
sin 2 
cos( )  cos( )
sin 2   cos2   1
1
1  tg 2 
cos 2 
‫ פונקציות טריגונומטריות של זוויות מיוחדות‬.2
3
 
 
sin   
 cos  
3 2
6
  1
 
sin     cos  
6 2
3
 
 
tg    3  ctg  
3
6
  1
 
ctg   
 tg  
3
3
6
 
sin    1  cos 0
2
 
tg    1
4
 
sin 0  0  cos  
2
2
 
 
sin   
 cos  
4 2
4
‫ פונקציות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות‬.3
cos(   )  cos  cos  sin  sin 
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
tg   tg 
tg (   ) 
1 tg  tg 
‫ פונקציות טריגונומטריות של זווית כפולה‬.4
sin(2 )  2sin  cos 
1  tg 2
cos(2 ) 
1  tg 2
cos(2 )  cos2   sin 2   2cos2  1  1  2sin 2 
2tg
sin(2 ) 
1  tg 2
‫ נוסחאות המרה מכפל לסכום‬.5
1
sin  sin   [cos(   )  cos(   )]
2
1
cos  cos   [cos(   )  cos(   )]
2
1
sin  cos   [sin(   )  sin(   )]
2
‫ נוסחאות המרה מסכום לכפל‬.6
   
   
cos   cos   2cos 
 cos 

 2 
 2 
       
cos   cos   2sin 
 sin 

 2   2 
   
   
sin   sin   2sin 
 cos 

 2 
 2 
       
sin   sin   2cos 
 sin 

 2   2 
‫פונקציות היפרבוליות‬
cosh(2 x)  cosh 2 x  sinh 2 x
sinh(2 x)  2sinh( x) cosh( x)
cosh 2 x  sinh 2 x  1
e x  e x
sinh x 
2
e x  e x
cosh x 
2