Weekly
Nguyễn Ngọc Thái
December 2024
Bài 1 (4đ)
√
a) x2 = (2x − 9) x2 + 2x − 8 − 2x .
b) Chứng minh a, b ∈ N ∗ thỏa mãn:
√
( x − 1) x2 − 2x(a + b) + ab + 2 = 0
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
Bài 2 (6đ)
x−y
7
a) Tìm x, y nguyên để x2 +xy+y
2 = 13 .
2
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x − x + 1 y 2 + xy = 3x − 1 .
c)Tìm x, y là số tự nhiên và số nguyên tố p sao cho px = y 4 + 64.
Bài 3 (3đ)
15
a)Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. CMR: ab+bc+ca
+ abc ≥ 6
q
3
b)Cho a, b, c > 0; a2 + b2 + c2 = 3.CMR: Σ ab ≥ 3
Bài 4 (6đ)
b B,
b C
b < 90),đường cao AH. Gọi đường tròn
Cho tam giác ABC(AB < AC, A,
tâm (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tại D và E. DE cắt BC tại S .
a) Chứng minh BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh SB.SC = SH 2 .
c) SO cắt AB, AC tại M và N . DE cắt HM, HN tại P, Q. CMR BP, CQ, AH
đồng quy.
Bài 5 (1đ)
Số nguyên a được gọi là số"Ngọc Thái" nếu với mọi cách sắp xếp theo thư tự
tùy ý của 100 số 1, 2, . . . , 100 luôn tồn tại 10 số hạng liên tiếp có tổng lớn hơn
hoặc bằng a . Tìm số"Ngọc Thái" lớn nhất.
1