UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9 - LẦN 2
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi : TOÁN
ĐỀ ĐỀ XUẤT 2
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 3.x = 0
b)
3x  y  6
 x  2y  2
x 2  2x  1  5
c) 
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho đường thẳng (d1): y = (m - 1).x + 2m - 1 và (d2): 2x – y = - 4.
Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 3 .
1
1 
x 1

:

x4 x2 x
x2 x
b) Rút gọn biểu thức: P  
với x> 0; x  1và x  4 .
Câu 3(2,0 điểm)
a)Một xe máy xuất phát từ A đến B , nửa giờ sau một ô tô cũng xuất phát từ A
đi đến B với vận tốc nhanh hơn vận tốc xe máy là 10 km/ h. biết quãng đường AB dài
80 km và ô tô đến B sau xe máy là 6 phút. Tính vận tốc của mỗi xe?
3x - y = 2m - 1
có nghiệm
 x + 2y = 3m + 2
b)Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình 
 x, y  thỏa mãn: x 2  2y2  9
Câu 4: (3,0 điểm)
1) Trong một buổi luyện tập, một tàu
ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống
và di chuyển theo một đường thẳng tạo
với mặt nước biển một góc 210 ( như
hình vẽ bên) Giả sử tốc độ trung bình
của tàu là 9km/h thì sau bao lâu (tính từ
lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 mét
(cách mặt nước biển 200m) (làm tròn
đến phút).
2) Cho tam giác ABC nhọn (AB <AC), nội tiếp đường tròn  O, R  . Ba đường cao
AD, BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Gọi giao điểm của các đường thẳng FE và BC là I. Đường thẳng AI cắt (O) tại
điểm thứ hai là K. Chứng minh Tứ giác BFEC nội tiếp và IK .IA = IF .IE.
b) Chứng minh đường thẳng KH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu 5 ( 1,0 điểm ):
Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng
1 1 1
1
1 
 1
   3



a b c
 a  2b b  2c c  2a 
.....................Hết..................
UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH LỚP 9 - LẦN 2
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 120 phút
(Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang )
ĐỀ ĐỀ XUẤT 2
Câu
1
ý
A
0,5
Nội dung
x – 3.x = 0
x 2  3x  0  x.( x  3)  0
b)
0,75
0,25
x  0
x  0


x  3  0
x  3
Két luận tập nghiệm của pt
Giải phương trình
a)
0,75
Điểm
2
0,25
x2  2 x  1  5
x2  2 x  1  5  ( x  1)2  5  x  1  5
Giải ra được x  6, x  4
Kết luận nghiệm
0,25
0,25
0,25
3 x  y  6
6 x  2 y  12
5 x  10



x  2 y  2
x  2 y  2
x  2 y  2
x  2
x  2
.


2  2 y  2
y  0
0,25
0,25
Kết luận nghiệm
0,25
Ta có: 2 x  y  4  y  2 x  4 (d2)
Đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) cắt nhau
0,25
 m 1  2  m  3
a)
1,0
2
Thay x = -3 vào phương trình đường thẳng (d2) ta có:
y = 2.(-3) + 4 = -2
Thay x = -3; y = -2 vào phương trình đường thẳng (d1)
được: (m - 1).(-3) + 2m – 1 = -2
 -3m + 3 + 2m - 1 = -2
 m = 4 (thỏa mãn)
Vậy m = 4.
0,25
0,25
0,25
1,0 điểm

1
 x2 x
Rút gọn biểu thức P  
b)
1,0

1 
x 1
:

x4 x - 2 x
với x > 0; x  1và x  4

1
 x2 x
Ta có: P  

1 
x 1
:

x4 x - 2 x
0,25

 


1


:
x 2 

x 1
 x  2
  x - 2 x
 x - 2 x
x 2 x

.
x 1
x  x  2  x  2 
2  x  1
 x  2 x

.
x 1
x  x  2  x  2 
=
 x  2 x
1
2
x 2
0,25
0,25
0,25
1) 1,0 điểm
Đổi : 6( phút) =
1
(h)
10
Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) đk: x > 0
Vận tốc của ô tô là: x +10 ( km/h)
80
(h)
x
80
(h)
Thời gian ô tô đi từ A đến B là:
x  10
0,25
Thời gian xe máy đi từ A đến B là :
a)
1,0
0,25
Vì ô tô xuất phát sau xe máy nửa giờ và đến B sau
1
( h ) nên thời gian xe máy đi từ A đến B nhiều
10
1 1 2
hơn thời gian ô tô đi từ A đến B là :   (h). Ta có
2 10 5
xe máy
0,25
phương trình:
80
80
2


x x  10 5
Giải phương trình tìm được: x1 = 40 ( TM)
x2 = - 50 ( loại)
Vậy vận tốc xe máy là: 40 km/h
Vận tốc của ô tô là: 50 (km/h)
3
0,25
2) 1,0 điểm
Giải hệ đã cho theo m ta được:
3x - y = 2m - 1
6x  2y  4m  2 7x  7m



 x  2y  3m  2
x  2y  3m  2
 x + 2y = 3m + 2
b)
1,0
0,5
x  m
x  m


m  2y  3m  2  y  m  1
Nghiệm của hệ đã cho thỏa mãn x2 + 2y2 = 9
 m2 + 2(m + 1)2 = 9  3m2 + 4m – 7 = 0.
0,25
Giải ra được m = 1; m =
0,25
7
3
Vì m nguyên nên m = 1 thì hpt có nghiệm thỏa mãn x2 + 2y2
=9
A
21°
0,25
0,25
C
1
(1đ)
B
b) Khi tàu ở độ sâu 200 mét
Xét tam giác ABC vuông tại C có:
AB 
4
0,25
BC
200

 558, 09 (m)  0,55809 (km)
0
sin 21 sin 210
Thời gian tàu đạt độ sâu 200 mét là:
.
0,55809
 0, 062 (giờ)  4
9
0,25
(phút)
Vậy sau 4 phút thì tàu ở độ sâu 200 mét.
Cho tam giác ABC nhọn (AB <AC), nội tiếp đường
tròn  O, R  . Ba đường cao AD, BE , CF của tam giác ABC
cắt nhau tại H.
Gọi giao điểm của các đường thẳng FE và BC là I. Đường
thẳng AI cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh IK
.IA = IF .IE.
0,25
A
0,25
E
K
F
H
I
B
D
C
J
1) Xét tứ giác BFEC có: BFC  BEC  900
 B, E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới góc 900.
 B,F,E,C cùng thuộc đường tròn.
0,25
 Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.
Vì tứ giác BFEC nội tiếp (O) nên: ABC  CEF  1800
Nhưng: AEF  FEC  1800 ( hai góc kề bù).
 AEF  ABC.
Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên: BFE  ACB  1800
0,25
Lại có: BFE  I FB  180 ( hai góc kề bù)
0
 I FB  ACB
Xét IBF và IEC có: I FB  ACB; I chung
 IBF
IEC
IB I F

 IB.IC  I F .IE
g – g) 
IE
IC
(1)
Chứng minh tương tự ta được: IK.IA = IB. IC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IK .IA = IF. IE
0,25
0,25
2)Chứng minh đường thẳng KH đi qua trung điểm của
đoạn thẳng BC.
Kẻ đường kính AJ. Khi đó : AKJ  900 ( góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn) KJ  AI (1)
Vì IK .IA = IF. IE nên c/m được tứ giác AKFE nội tiếp (3)
Chứng minh được tứ giác AFHE nội tiếp (4)
Từ (3) và (4) suy ra: A,K,F,H,E cùng thuộc đường tròn
 Tứ giác AKFE nội tiếp
0,25
 AKH  AEH  1800  AKH  90  180
(5)
 AKH  900  HK  AI
0,25
0
0
Từ (1) và (5) suy ra: HK trùng với KJ.
Hay H, K, J thẳng hàng (6)
Vì HE  AC; JC  AC ( góc ẠC là góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
 HE // JC
Chứng minh tương tự ta được: CH // BJ
 Tứ giác BHCJ là hình bình hành.
 HJ đi qua trung điểm của BC (7)
Từ (6) và (7) suy ra: KH đi qua trung điểm của BC
0,25
0,25
Với x; y; z > 0, ta có:
x  y  z  3 3 xyz ; 1  1  1  3 1
x
y
z
3
xyz
1 1 1
1 1 1
9
 ( x  y  z)      9    
(*)
x y z x yz
x y z
0,25
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Áp dụng (*) ta có:
5
(1,0
đ)
1 1 1
9
  
a b b a  2b
1 1 1
9
  
b c c b  2c
1 1 1
9
  
c a a c  2a
0,25
Cộng từng vế 3 bđt trên
1
1 
1 1 1
 1
3     9 



a b c
 a  2b b  2c c  2a 
1 1 1
1
1 
 1
    3



a b c
 a  2b b  2c c  2a 
Vậy bđt được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b = c
0,25
0,25
* Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.