Résumé du cours : Vecteurs dans un repère (APC Togo - Troisième)
1. Définition d'un vecteur
Un vecteur est un objet mathématique défini par trois caractéristiques :
- Direction : droite ou ligne parallèle où se situe le vecteur.
- Sens : orientation de la flèche (exemple : de A vers B).
- Norme : longueur du segment qui représente le vecteur.
Un vecteur est représenté par une flèche allant d'un point A (origine) à un point B (extrémité). On note ce v
2. Propriétés des vecteurs
- Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs ->AB et ->CD sont égaux si :
- Ils ont la même direction.
- Ils ont le même sens.
- Ils ont la même norme.
- Vecteur nul : Le vecteur ->AA est nul (->0), car sa norme est zéro.
3. Coordonnées d'un vecteur dans un repère
Dans un repère (O, I, J), un vecteur ->AB est déterminé par ses coordonnées :
->AB = (xB - xA ; yB - yA)
où :
- xA, yA sont les coordonnées de A.
- xB, yB sont les coordonnées de B.
4. Opérations sur les vecteurs
1. Addition de vecteurs : Si ->u = (x1 ; y1) et ->v = (x2 ; y2), alors :
->u + ->v = (x1 + x2 ; y1 + y2)
2. Multiplication par un scalaire : Si ->u = (x ; y) et k est un nombre réel, alors :
k * ->u = (k * x ; k * y)
3. Norme d'un vecteur : La norme de ->u = (x ; y) est donnee par :
||->u|| = sqrt(x^2 + y^2)
5. Applications
- Colinearite : Deux vecteurs ->u et ->v sont colineaires si leurs coordonnees sont proportionnelles :
x1/x2 = y1/y2
- Milieu d'un segment : Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnees :
M((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2)
Ce cours introduit des notions de base pour travailler avec les vecteurs, essentielles en geometrie et en ph