Algèbre linéaire pour
ingénieurs
MTH1007
H. Dagdougui, N. Lahrichi,
Automne 2017
Introduction
2
L’algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques appliquées,
elle permet de modéliser puis résoudre numériquement des problèmes issus de divers domaines:
Sciences physiques
Sciences mécaniques
Réseaux électriques (logiciels de simulation pour conception des circuits électriques)
L’économie
Développement d’algorithmes
Exploration et visualisation des données graphiques
Simulation et prototypage
Et encore d’autres sciences de l’ingénieur
Contenu du cours
3
Notions de base
Vecteurs et combinaisons
linéaires. Longueurs et
produits scalaires. Matrices
Résolution des équations linéaires
Espaces de vecteurs
Noyau A: résoudre Ax=0
Rang et forme réduite en lignes
Solution complète de Ax=0
Concept d’élimination
Élimination à l’aide des matrices
Règles des opérations matricielles
Matrices inverses
Élimination-factorisation
Transposée et permutations
Espaces et sous-espaces vectoriels
Contrôle périodique
Indépendance, base et dimension
Dimension des quatre sous-espaces
Espaces et sous-espaces vectoriels
Applications (Graphes et réseaux)
Orthogonalité
Applications (Matrices de
l’ingénierie)
Introduction aux valeurs propres
Diagonalisation d’une matrice
Matrices symétriques
Matrices définies positives
Décomposition en valeurs singulières
Valeurs et vecteurs propres
Examen final
Orthogonalité des quatre cous espaces
Projections
Approximations au sens des moindres carrés
Bases orthogonales et procédé de GramSchmidth
4
Indication pédagogiques:
Cours et Travaux dirigés
Cours
Le cours traitera 5 chapitres et deux applications
Ressources didactique: le manuel de référence obligatoire pour le cours est Introduction à
l’algèbre linéaire de Gilbert Strang du MIT
Le manuel est basé sur la quatrième édition du document original de Gilbert Strang
Toutes les sous-sections du manuel font partie intégrale du cours
TD
Les exercices sont disponible dans le manuel de référence obligatoire
On va essayer de couvrir la liste
Premier TD: jeudi 7 septembre.
Travaux à domicile
2-2-2: Ce cours exige un minimum de 2 heures d’étude et/ou travaux à domicile par semaine
Evaluation
5
1. Contrôle périodique
Le contrôle périodique est le samedi 21 octobre après-midi (à 14h00).
Le contrôle périodique différé est un dimanche en fin de session (3 décembre)
Il comptera 30% de votre note finale
2. Quiz
Les quiz seront prévu à chaque séance de TD (à la fin de la première heure de TD)
Les quiz différés sont un dimanche en fin de session 3 décembre
Les questions du quiz sont déjà disponible dans le plan du cours
L’ensemble des quiz (9 au total) comptera pour 30% de votre note finale
Premier quiz: Jeudi 14 septembre
2. Examen final
Il comptera 40% de la note finale
La plupart des questions proviendront du manuel (au moins une question par section)
La totalité du cours
Rédaction de solution: Assurez-vous donc de bien montrer toutes les étapes de votre raisonnement
6
BON SEMESTRE!
7
Chapitre 1. Révision des notions de base
Vecteurs et combinaisons linéaires
Longueurs et produits scalaires
Matrices
Vecteurs et équations linéaires
I. Révision des notions de base
8
Vecteurs et combinaisons linéaires
C’est quoi un vecteur: c’est un élément d’un espace vectoriel, il est
caractérisé par: une direction, et une norme
est un vecteur tridimensionnel de composantes x, y et z
Un vecteur de dimension Rn contient un ensemble de n nombres réels
ex v = (1,6,3,4) est de dimension R4
 x
r  
v =  y
 z 
 x1 
x 
 2
 x3 
→
w= 
 
 
 xn−1 
 
 xn 
I. Révision des notions de base
9
Vecteurs et combinaisons linéaires
Exemple: Force, accélération, vitesse
Notation:
Dans les diapositives et dans le livre:
Au tableau :
Pour gagner de l’espace, on peut aussi écrire v = (v1, v2).
I. Révision des notions de base
10
Operations sur les vecteurs
Soient
et
=
et
E
=
C
sont les composantes ou coordonnées du vecteur
Addition de deux vecteurs
Soustraction de deux vecteurs=
+
=
−
−
+
+
+
=
+
+
B
A
On choisit des représentants (A, B) de V et (A ,
C) de W de même origine. La somme V+W est le
vecteur A+E tel que ABEC soit un
parallélogramme.
B
A
+
On dispose « bout à bout » le représentant (A ,
B) de v et le représentant ( B ,C ) de W
C
I. Révision des notions de base
11
Operations sur les vecteurs
Multiplication par un scalaire
c =
c est un nombre réel
La somme de c et d
est une combinaison linéaire de
Composante et scalaire
et
I. Révision des notions de base
Operations sur les vecteurs
12
Soient u, v et w des vecteurs dans un espace tridimensionnel:
combinaisons
; (une droite, sauf si u=0)
+
combinaisons
+
combinaisons
; (un plan mais pas toujours)
+
. (un espace tridimensionnel, mais pas toujours)
Une combinaison linéaire de p vecteurs est une somme de la forme:
Avec
,
, …,
∈ ℝ et
,
, …,
∈ℝ
+
+ ⋯+
Combinaisons particulières:
1v + 1w (addition)
1v − 1w (soustraction)
0v + 0w = 0 (vecteur nul)
cv + 0w = cv (multiplication par un scalaire)
∈ℝ
I. Révision des notions de base
13
Operations sur les vecteurs: produit scalaire
Soient deux vecteurs
Le produit scalaire de
×
×
=
=
×
+
= (
(scalaire)
,
) et
= (
Généralisations dans Rn (espace à n dimensions)
×
=
Cas particuliers
× =
,
) est le nombre
×
:
I. Révision des notions de base
14
Longueurs et produits scalaires
Le produit scalaire de deux vecteurs v et w en n dimensions est
.
=∑"
La norme d’un vecteur v est
Ex: =(1, -2, 1)
Un vecteur unitaire
=
=
.
=
/
+
=
+…+
+
+ ⋯+
∈ ℝ
est un vecteur dont la longueur est égale à un
|| || = 1
·
= 1
/|| || est dans la même direction que :
Tout vecteur non nul divisé sur sa longueur donne un vecteur unitaire dans la
même direction que
I. Révision des notions de base
Angle
15
Soient v et w deux vecteurs:
Le produit scalaire est
chasles)
Démonstration:
Ex:
=
−1
et
2
=
4
2
·
= 0 lorsque
est perpendiculaire à
(relation de
Le signe de · indique si l’angle est plus grand ou plus petit qu’un angle droit
(fonction cosinus)
16
Angles (suite)
Les vecteurs unitaires u et U qui sont à angle θ sont tels que:
· * = cos .
| · *| ≤
Soient v et w deux vecteurs non nuls:
·
= cos .
|| || || ||
|
Inégalité de Schwarz:
Inégalité du triangle:
||
+
·
| ≤ || || || ||
|| ≤ || || + || ||
.
I. Révision des notions de base
Matrices
17
Matrice est un ensemble d’éléments organisée sous forme de ligne et de colonnes
1
1
0= ⋮
14
1
1
⋮
14
⋯ 1
⋯ 1
⋱
⋯ 14
∈ ℝ 4×
On appelle 1 5 , pour 6 ∈ {1, 2, . . . , 8} et : ∈ {1, 2, . . . , ;}, le coefficient (ou élément) de A situé sur
la i-ième ligne et la j-ième colonne. Il est aussi noté A(i, j).
Application:
Le pixel est l'unité de base permettant de mesurer la définition d'une image numérique
matricielle: un moniteur d’ordinateur avec 800 pixels horizontaux et 600 pixels verticaux peut
être considéré comme une matrice de 600 lignes et 800 colonnes
I. Révision des notions de base
18
Matrices
Si u, v, w sont trois vecteurs avec n = 3, alors la matrice ayant pour colonnes ces
vecteurs est
0=
=
<
<
<
Matrices
19
Produit d’une matrice et d’un vecteur
Soient u, v et w trois vecteurs dans l’espace tridimensionnel, x1, x2 et x3 sont les composantes
d’un vecteur x:
>
0= = >
>?
?
?
@
@ =
@?
> ,
> ,
>? ,
,
,
?,
. @ , @ , @?
. @ , @ , @?
? . @ , @ , @?
> @ +
= > @ +
>? @ +
La matrice A agit sur le vecteur x pour donner le vecteur b
@ +
@ +
?@ +
@?
@? = A
? @?
Matrices
20
Produit d’une matrice et d’un vecteur
Portrait colonnes
0=
0= = @ + @
>
0= = @ > + @
>?
?
+ @?
+ @?
?
=A
chaque composante de Ax est le produit scalaire d’une ligne de A avec x.
Portrait des lignes:
>
0= = >
>?
?
?
@
@ =
@?
> ,
> ,
>? ,
,
,
?,
. @ , @ , @?
. @ , @ , @?
? . @ , @ , @?
le produit Ax est une combinaison linéaire des colonnes de A
> @ +
= > @ +
>? @ +
@ +
@ +
?@ +
@?
@? = A
? @?
Matrices
21
Produit d’une matrice et d’un vecteur
Un système Ax = b possède soit:
Une solution unique
Une infinité de solutions
Aucune solution (système incompatible)
Considérons le système
1 @ +1 @ = C
B
1 @ +1 @ =C
Ces deux équations représentent deux droites d1 et d2 dans le plan @ @ .
Trois cas se présentent alors:
Les droites d1 et d2 se coupent en un seul point (une seule solution)
Les droites d1 et d2 sont parallèles (pas de solution)
Les droites d1 et d2 sont confondues (infinités de solutions)
22
Matrices
Indépendance et dépendance
Questions: Donnés u, v et w ∈ ℝ3, existe-il une combinaison linéaire telle que:
Réponse : Oui, on choisit @
=@
@ D + @ E + @ ? F = G?
=@ ? = 0.
Question : Y a-t-il d’autres combinaisons linéaires ?
Réponse : Cela dépendra des vecteurs D, E et F.
u, v, w sont linéairement indépendants. Aucune combinaison excepté 0u + 0v + 0w = 0 ne donne
b=0
u, v, w sont linéairement dépendants. D’autres combinaisons donnent b = 0
Notes:
Colonnes indépendantes: Ax = 0 a une solution. A est une matrice inversible.
Colonnes dépendantes: Ax = 0 a plusieurs solutions. A est une matrice singulière.
Vecteurs et équations linéaires
23
Ax = b: Équation linéaire
Portrait des lignes:
Deux équations deux inconnues
Trois équations trois inconnues
Quatre équations quatre inconnues
Portrait des colonnes: commence avec la forme vectorielle des équations
A est une combinaison linéaire des colonnes
Ex:
x+2y+3z=6
I2x+5y+2z=4
6x−3y+z=2
Représentation matricielle
Résolution (portrait ligne et colonnes)
24
Vecteurs et équations linéaires
A est la matrice des coefficients du membre de gauche des équations.
aij: le premier indice i donne le numéro de la ligne et le second indice j donne le
numéro de la colonne 16: = 0(6, :)
Ax = b est aussi appelée l’équation matricielle où Ax:
Portrait lignes: est une combinaison des vecteurs lignes de A
0@ =
J6K; 1 . =
J6K; 2 . =
J6K; 3 . =
Portrait colonne: est une combinaison de vecteurs colonnes de A
0= = ( MJM;; 1)@ + ( MJM;; 2)N + ( MJM;; 3) O
0@
=
5"
1 5 @5
25
Références
G. Strang et S. Dufour. MTH1007 Algèbre linéaire pour ingénieurs, édition révisée.
Chapitres 1-2-3.
Presses internationales Polytechnique, 2015.