Matematik A
Opgave 1
(𝑥 + 2𝑦)2 − 2𝑦 ∗ (𝑦 + 2𝑥) =>
(𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦) − 2𝑦 ∗ (𝑦 + 2𝑥) =>
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 2𝑦 2 + 4𝑥𝑦 =>
𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 4𝑥𝑦 =>
𝑥 2 + 2𝑦 2
Opgave 2
Antallet af menuer med 2 retter er hovedret * dessert (4*5) = 20
Antallet af menuer med 3 retter er forret * hovedret * dessert (3*4*5) = 60
Dvs. at der er 80 forskellige menuer man kan vælge mellem.
60
3
Sandsynligheden for at klassen vælger en 3-retters menu er = . Så altså en 75% chance
80
4
for at trække en 3-retters menu i en tilfældig lodtrækning.
Opgave 3
a) Her bruger vi produktreglen:
Hvor 𝑓’(𝑥) = 2𝑥
Hvor 𝑔(𝑥 ) = 𝑒 𝑥
Hvor 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2
Hvor 𝑔’(𝑥) = 𝑒 𝑥
Dvs. at 𝑓’(𝑥 ) = 2𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 + 𝑥 2 ∗ 𝑒 𝑥
Derudover kan vi samle 𝑒 𝑥 , så vi får: 𝑓’(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∗ 2𝑥 + 𝑥 2
b) 𝑓’(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∗ (2𝑥 + 𝑥 2 ) = 0
Da 𝑒 𝑥 i 0 giver 1 fjerner vi den fra ligningen.
𝑓’(𝑥) = (2𝑥 + 𝑥 2 ) = 0
Herefter sætter vi den kvadratiske funktion ned foran parentesset og fjerner x.
𝑓’(𝑥) = 𝑥(2 + 𝑥) = 0
𝑓’(𝑥) = 0(2 + 0) = 0
𝑓’(𝑥) = −2(2 + (−2) = 0
Heraf kan vi se at vi har 2 løsninger x = 0 og x = -2
Opgave 4
2
Vi har integralet: ∫0 (3𝑥 2 + 4𝑥 + 3)𝑑𝑥
Her finder vi først stamfunktionen af integralet.
1 2+1
1 1+1
2
[3 ∗
+4∗
+ 3𝑥]
0
2+1
1+1
1
1
2
[3 ∗ 𝑥 3 + 4 ∗ 𝑥 2 + 3𝑥]
0
3
2
[𝑥 3 + 2𝑥 2 + 3𝑥]2
0
Herefter indsætter vi vores værdier 2 og 0
23 + 2 ∗ 22 + 3 ∗ 2 − 03 + 2 ∗ 02 + 3 ∗ 0
Værdierne med x = 0 giver bare 0
23 + 2 ∗ 22 + 3 ∗ 2
8 + 8 + 6 = 22
Dvs. at arealet er 22.
Opgave 6
Vi kan aflæse max = 4 og min = - 2
Dvs. at gennemsnittet c =
4+(−2)
2
=1
Derved kan vi også finde A, da A er fundet ved differencen på max og gennemsnittet.
Dvs. A = 4 – 1 = 3
2𝜋
Derudover ved vi at 𝑇 = 𝑏
T er afstanden mellem svingningerne altså svingningstiden.
𝜋
Vi ser at = 1.5 𝑓𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑛.
4
𝜋
Der må derfor være 4 ∗ 4 mellem svingningerne. 4 gange og 4 divider udligner hinanden,
så T = 𝜋.
2𝜋
2𝜋
Vi kan nu indsætte 𝜋 i stedet for T i formlen 𝜋 = 𝑏 = 𝜋 = 𝑏 = 2
Dvs. at A = 3, b = 2 og c = 1
Opgave 7
a) Linjeelementet i P er fundet ved (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦’0 )
Vi ved ud fra vores punkt at 𝑥0 = 0 og 𝑦0 = 6, derudover kan vi indsætte y i y’.
𝑦´ = 0.5 ∗ 6 = 3
Derfor må linjeelementerne være (0,6,3)
Dvs. At i punktet P er linjeelementets tangent hældning 3.
b) Når vi vil bestemme forskriften for f, bruger vi i dette tilfælde løsningen 𝑦 = 𝑐 ∗ 𝑒 𝑘𝑥
Vi ved at k = 0.5, så 𝑦 = 𝑐 ∗ 𝑒 0.5𝑥
Dvs. at den fuldstændige løsning er 𝑦 = 𝑐 ∗ 𝑒 0.5𝑥
Derudover kan vi også finde den partikulære løsning ved at finde c. Her indsætter vi x og y i
formlen.
𝑓(0) = 𝑐 ∗ 𝑒 0.5∗0 = 6
Da 𝑒 0.5∗0 bare er lig 1. Kan vi sætte 1 ind på dens plads eller fjerne den helt.
Derfor får vi c = 6
Så den partikulære løsning må være 𝑓(𝑥) = 6 ∗ 𝑒 0.5𝑥
Opgave 8
Vi bestemmer koordinatsættet, ved at løse ligningen, altså at sættet den = 0
2
(𝑡
𝑡
−4) = 0
−3
I den første ligning kan t være = ±2
I den anden ligning kan t være = 3
Vores skæringspunkter må så være:
−4) = ( 0 )
−1
−3
2
𝑡 = 2 = (2
2
2
−4) = ( 0 )
−5
−3
2
−4) = (5)
0
−3
𝑡 = −2 = (−2
−2
𝑡 = 3 = (3
3
Opgave 9
0,4
Sandsynlighedsparameteren p er fundet ved 4 = 𝑝, derfor på p = 0,1
𝑃(𝑋 = 2) = 𝐾(𝑛, 𝑟) ∗ 𝑝𝑟 ∗ (1 − 𝑝)𝑛−1
𝑛!
1∗2∗3∗4
24
Vi finder 𝐾(𝑛, 𝑟) ved at bruge formlen 𝑟!(𝑛−𝑟)! = 1∗2(4−1∗2) = 4 = 6
Hvis indsætter vores værdier får vi
𝑃(𝑋 = 2) = 6 ∗ 0,12 ∗ (1 − 0,1)4−2 => 𝑃(𝑋 = 2) = 6 ∗ 0,1 ∗ (0,9)2 =>
𝑃(𝑋 = 2) = 0,6 ∗ 0,81 = 0,486
Spredningen er fundet ved 𝜎 = √𝑛 ∗ 𝑝(1 − 𝑝)
𝜎 = √4 ∗ 0,1(1 − 0,1) => √0,4 ∗ (0,9) => √0,36 = 0,6
Opgave 10
Den afledet funktion af f(x) er fundet ved at benytte regnereglen
Her ser vi at vores indre funktion er ax+b, vores ydre er 𝑥 2
Dvs: 𝑓´(𝑥) = 𝑎 ∗ 2(𝑎𝑥 + 𝑏)
Herfra ganger vi ind i parentesen
Dvs: 𝑓´(𝑥) = 2𝑎2 𝑥 + 2𝑎𝑏
Vi får oplyst at f´(0)=2b, derfor indsætter vi 0 på x plads i den afledte funktion
𝑓´(0) = 2𝑎2 ∗ 0 + 2𝑎𝑏 => 𝑓´(0) = 2𝑎𝑏 => 𝑎 => 𝑓´(0) = 𝑎 =
2𝑏
2𝑏
2𝑏
Dvs. at efter vi har isoleret a må a altså være 2𝑏 = 1 (a=1).
Vi får også oplyst at f(1) = 4, derfor indsætter vi 1 i f(x)
𝑓(1) = (𝑎 ∗ 1 + 𝑏)2 => 𝑓(1) = (1 ∗ 1 + 𝑏)2 => 𝑓(1) = (1 + 𝑏)2 = 4
For at fjerne vores potens tager vi kvadratroden på hver side af lighedstegnet
𝑓(1) = 1 + 𝑏 = √4
𝑓(1) = 1 + 𝑏 = 2
𝑓(1) = 1 + 1 = 2
Derfor må b være 1.
Opgave 12
a) Da middelværdien er 5kg og spredningen er 0,11kg.
Dvs at hvis vi bruger et 95% konfidensinterval, skal vægten altså være indenfor
± 2 ∗ spredning for at være et normalt udfald.
0,11 * 2 = 0,22
5 – 0,22 = 4,78
5 + 0,22 = 5,22
Dvs. at posen der vejede 4,85kg, altså ligger indenfor vores konfidensinterval og altså er et
normalt udfald.
Opgave 13
a) Banekurverne ses i figuren nedenfor.
b) For at finde hastighedsvektoren differentiere vi OP´(t)
Den vandrette hastighed er 65 samt den lodrette hastighed 37.5-9.82 = 27.68.
For at finde den specifikke hastighed ved t = 1. Svarer det til at måle længden på en vektor.
Det gør vi ved formlen norm(r(1))
Dvs. at i tidspunktet t =1 er farten altså 73.5 meter i sekundet.
c) For at se om pilespidsen rammer gåsen, sætter vi først x værdierne sammen og løser
funktionen.
94𝑡
141
Dvs. 65𝑡 = 141 − 29𝑡 => 65𝑡 + 29𝑡 = 141 => 94𝑡 = 141 => 94 = 94 = 𝑡 = 1.5
Nu indsætter vi t=1.5 i vores y værdier
𝑦(1.5) = (−4.91 ∗ (1.52)) + (37.5 ∗ 1.5) + 1.8
𝑦(1.5) = −11 + 56.25 + 1.8 = 47
Da stedvektoren for gåsen fortæller os at den 1.5 sekunder efter skuddet flyver i 46 meters
højde, kan vi sige at pilespidsen ikke rammer gåsen, da den er i 47 meters højde.
Opgave 14
a)
b)
Her ser vi en løsning med startbetingelserne af 900.000 rensdyr.
C) Her indsætter vi 900 på y plads
Dvs. at andelen af rensdyr der skal skydes hvert år er 3.7%
Vi finder antallet af rensdyr der skal skydes ved at tage 3.7% af de 900.000 rensdyr
Dvs. at for at for at bestanden kan holdes konstant på 900.000, skal der altså skydes 33.374
rensdyr hvert år.
Opgave 15
a) Da vi har med en lineær funktion at gøre, vælger vi lineær reg, som så giver os både a
og b værdierne. A =m
1
1
1
1
Vi indsætter vores tal, derudover indsætter vi også vores tal for 𝑠 𝑜𝑔 𝑣 . (s1=𝑠 og v2 = 𝑣)
Da vi igen har med en lineær funktion at gøre, vælger vi statistiske beregninger og linear
1
1
funktion, her indsætter vi værdierne for henholdsvis 𝑠 𝑜𝑔 𝑣 .
Dvs. a = 32.1; b = 3.58
b) Nu kan vi indsætte a,b og s i formlen vi får givet.
Derfor må initialhastigheden være 0.122436 når substratkoncentrationen er 7.
Opgave 16
a) Da vi har med et andengradspolynomium at gøre er regneforskriften for funktionen er
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
b) Arealet af feltet M er bestemt ved: 𝐴 = ∫𝑏𝑎(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥