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Biegespannung berechnen

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Biegung berechnen, Biegespannung berechnen
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In diesem Mechanik-Skript wird gezeigt, wie man die Belastung auf Biegung berechnen kann. Genauer gesagt geht es
hier um die Berechnung der Biegespannung eines Balkens, der mit einer Querkraft belastet wird (unterscheiden Sie
hierzu die reine bzw. querkraftfreie Biegung). Zum Verständnis der Biegebelastung eines Balkens folgen hier einige
wichtige Grundlagen:
Grundlagen der Biegebelastung
Sofern lange, dünne Bauteile wie etwa Wellen, Stäbe oder Balken quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment
belastet werden, entstehen sowohl Zug- als auch Druckspannungen, aus denen letztendlich eine Durchbiegung
resultiert. Wenn man diese Biegung berechnen möchte, ist folgendes Verständnis wichtig:
Im Bereich der Zugkräfte wird das betroffene Bauteil gedehnt, wogegen es in dem Bereich, in dem die Druckkräfte
wirken, gestaucht wird. Die mittig zwischen diesen beiden Bereichen liegende Schicht ist die sogenannte neutrale Faser.
Entlang dieser Linie findet weder eine Dehnung noch eine Stauchung statt. Laut Definition nimmt die von der neutralen
Faser ausgehende Spannung in Richtung der äußeren Bauteilkante stetig immer weiter zu. Daraus resultiert, dass am
äußeren Bauteilrand die stärksten Spannungen auftreten.
Abbildung: Biegebelastung eines Balkens mit Zug- und Druckspannungen
Mehr zum Thema Balkenbiegung finden Sie in der Hauptrubrik:
Balkenbiegung Skript
Beispiel 1 - Beanspruchung eines Bauteils auf Biegung
Der Stab, die Welle oder der Balken wird infolge der Kraft F auf Biegung beansprucht, wobei sich die ursprünglich gerade
Stabachse durchbiegt. Wie ersichtlich, entstehen innerhalb des Querschnitts sowohl Zug- als auch Druckspannungen.
Um diesen Sachverhalt anschaulich zu verdeutlichen, wurde der Umfang der Durchbiegung in der Skizze stark
übertrieben dargestellt.
Hier noch der Hinweis, dass es sich in diesem Beispiel um eine sogenannte gerade Biegung und eine Querkraftbiegung
handelt. Mehr über die unterschiedlichen Arten der Biegung lesen Sie in diesem Skript:
Arten der Biegung
Abbildung: Biegebelastung eines Balkens mit Zug- und Druckspannungen
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Die neutrale Faser (Strich-Punkt-Darstellung) ist vollkommen spannungslos, während an den Rändern des Stabes die
stärksten Spannungen erkennbar sind. Für symmetrische Querschnitte gilt: Die Zug- und Druckspannungen verteilen
sich stets linear, d. h. gleichmäßig über den gesamten Bauteilquerschnitt.
Biegespannung berechnen - Formel
Zur Berechnung der Biegespannung wird folgende Formel verwendet:
σb – Biegespannung
Mb – Biegemoment
W – Widerstandsmoment
Aus dieser Formel wird ersichtlich, dass die Biegespannung σb abhängig ist
vom Biegemoment Mb und
vom Widerstandsmoment W.
Wie man diese beiden Größen berechnen kann, lesen Sie im Folgenden.
Das Biegemoment Mb berechnen
Nachfolgend wurden ausschließlich Formeln für einfache Belastungsfälle angeführt. Um unübersichtliche und
komplizierte Berechnungen zu vermeiden, erfolgt die Ermittlung des Biegemoments für alle anderen Fälle mittels
Formeln und Tabellen, die in Tabellenbüchern zu finden sind.
In der Praxis finden sich folgende Belastungsfälle für Biegemomente Mb bei einwirkender Einzelkraft besonders häufig:
einseitig eingespannter Träger
Träger, der auf zwei Stützen ruht
Zwei typische Belastungsfälle für Balkenbiegung mittels Querkraft
Für den einseitig eingespannten Träger, wie er im Beispiel 1 vorliegt, gilt:
Mb – Biegemoment
F – Kraft (Querkraft)
x – Abstand (der Kraft F vom Festlager des Balkens)
Biegemoment an einem einseitig eingespannten Balken
Hier sind einige Links, in denen Sie mehr über die Grundlagen der Berechnung des Biegemoments lesen können:
Moment, Drehmoment, Biegemoment - Grundlagen
Moment - Beispiele
Momentengleichgewicht – Beispiel
Schnittreaktionen, Kräfte- & Momentengleichgewicht
Schnittreaktionen, Kräfte- & Momentengleichgewicht - Aufgabe
Das axiale Widerstandsmoment W
Das axiale Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Durchbiegung. Deshalb wird es oft auch als
Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Für die Größe des Widerstandsmomentes ist allein die Geometrie der jeweils
betrachteten Bauteil-Querschnittsfläche ausschlaggebend.
Zur Berechnung des Widerstandsmomentes ist die Definition der exakten Lage der neutralen Faser innerhalb des
Querschnittes Grundvoraussetzung. Die neutrale Faser verläuft exakt durch den Schwerpunkt des Querschnitts.
Ausgehend von dieser Linie lässt sich dann der größtmöglichen Abstand zur Außenkante (Randfaser) ermitteln, Dort sind
die höchsten Bauteilbelastungen bzw. die größten Spannungen zu erwarten.
Das Widerstandsmoment errechnet sich als Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand (amax), der
das Maß von der spannungsfreien neutralen Faser bis zur Außenkante (Randfaser) darstellt.
W – axiales Widerstandsmoment
I – axiales Flächenmoment 2. Grades (auch Flächenträgheitsmoment)
amax: größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser
Weiterführende Informationen über das Widerstandsmoment finden Sie in folgenden Beiträgen:
Grundlagen Widerstandsmoment
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment einfacher Querschnitte berechnen
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment eines Kreisquerschnitts berechnen
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment beliebiger Querschnitte berechnen
Das Flächenträgheitsmoment
Das Flächenträgheitsmoment (auch Flächenmoment 2. Grades) – genauer gesagt das axiale Flächenträgheitsmoment definiert den Widerstand eines Bauteiles gegenüber Biegung. Die Berechnung erfolgt als Ableitung aus der
Querschnittgeometrie des Stabes, Balkens, der Welle o. ä. Die Angabe des Flächenträgheitsmomentes erfolgt
üblicherweise in der SI-Einheit m4.
Zur Berechnung des Flächenträgheitsmomentes nutzt man am besten passende Tabellen, da die eigenständige
Herleitung relativ aufwändig ist.
Im Bild unten sehen Sie zwei Beispiele für die Berechnung des Flächenträgheitsmoments und des
Biegewiderstandsmoments.
Mit den berechneten Größen – Biegemoment, Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment – kann man nun zur zu
Beginn dargestellten Formel gehen und die Biegespannung berechnen.
Weitere Skripte mit den Grundlagen des Flächenträgheitsmoments finden Sie hier:
Grundlagen - Flächenträgheitsmoment
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment einfacher Querschnitte berechnen
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment eines Kreisquerschnitts berechnen
Widerstandsmoment & Flächenträgheitsmoment beliebiger Querschnitte berechnen
Beispiel 2 - Träger ruht auf zwei Stützen
Das zweite Beispiel zeigt den zweiten typischen Fall für eine Biegebelastung. Hier kann man die Biegung relativ ähnlich
berechnen.
Balken mit mittiger Querkraft belastet
Auf den auf zwei Stützen ruhenden Träger wirkt mittig die Kraft F. Das Biegemoment ergibt sich, indem der
Biegequerschnitt, wie im Bild dargestellt, von der Seite betrachtet wird. Es lassen sich sowohl die Kraft F/2 als auch der
Abstand x/2 erkennen. Das Biegemoment berechnet sich nun wie folgt:
Mb – Biegemoment
F – Kraft (Querkraft)
x – Abstand (der Kraft F vom Festlager des Balkens)
Das Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind vom Biegemoment unabhängig und lassen sich genauso
berechnen wie im vorhergehenden Beispiel. Mit dem Biegemoment kann dann auch die Biegespannung ermittelt
werden.
Anmerkung:
Bei den hier berechneten Biegespannungen und Biegemomenten handelt es sich um die jeweils auftretenden MaximalWerte.
Unterschiedliche Werte für Biegemoment und Biegespannung
Die Höhe des Biegemoments ist allgemein betrachtet abhängig vom Messpunkt am Balken (i.d.R. als x-Koordinate
deklariert).
Die Höhe der Biegespannung ist abhängig von der Höhe des Biegemoments und somit wiederum abhängig vom
Messpunkt am Balken. Betrachtet man das Innere des Balkens, ist die Biegespannung in der Randfaser mit dem größten
Abstand zur neutralen Faser am höchsten. Die Biegespannung ist also auch abhängig von der Stelle innerhalb des
Balkenquerschnitts, an der gemessen wird (i.d.R. die z-Koordinate).
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