Zu allen Lösungen der Aufgaben müssen Sie auch die Rechnungen
aufschreiben.
Aufgabe 1 (14 Punkte)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 4 von
f (x) = x sin(x2 ) −
1
1−x
bei x0 = 0.
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung (1, 1)
und Richtung (0, −1)
f (x, y) = ye−(x+y) + x2
Aufgabe 3 (16 Punkte))
Berechnen Sie lokale Extremwerte von
f (x, y) = 4 + 2(x − 1)2 + 2(x − 1)y + 2y 2
und geben Sie die Art des Extremwerts (Maximum, Minimum, Sattelpunkt)
an.
Aufgabe 4 (14 Punkte)
Berechnen Sie die Integrale:
a)
Z1
0
2
2xex + 1
dx
ex2 + x
b)
Z3
2
1
dx
(x − 1)(x + 2)
Aufgabe 5 (15 Punkte)
Berechnen Sie das Integral der Funktion f (x, y) über dem Bereich (der Fläche) B.(Hinweis: Machen Sie eine Skizze von B)
f (x, y) = x − y + 1; B = {(x, y)|0 ≤ x; y ≤ 0; x2 + y 2 ≤ 4}
Aufgabe 6 (14 Punkte)
Berechnen Sie die Fourierreihe zu
f (x) = (2π + 3x) für x ∈ [−π, π)
wobei f periodisch fortgesetzt ist: f (x + 2π) = f (x)
1
Aufgabe 7 (15 Punkte)
Lösen Sie die Differentialgleichung allgemein und das angegebene Anfangswertproblem.
y 00 − 4y 0 + 5y = x mit y(0) = 0; y 0 (0) = 1;
Zusatzaufgabe (8 Punkte)
Lösen Sie die Differentialgleichung (mittels Trennung der Variablen)
y 0 = y 2 (x2 + 1)
für das Anfangswertproblem y(0) = 1.
Note/notwendige Punktzahl:
Note: 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0
ab Punkte: 98 93 87 82 77 70 65
Weniger als 50 Punkte ergibt eine 5,0 als Note.
3,3
58
3,7
53
Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 7 Zusatzaufg.
Punktzahl:
2
4,0
50