SoSe 2023
Prof. Dr. J. Prestin
Dr. S. Ghanem, Dr. M. Hasannasab,
Dr. G. Pöplau, Dr. J. Schnieder, F. Schoppert
Analysis II, Übungsblatt 12
Abgabe
bis Montagabend, 10. Juli 2023, durch Hochladen im Moodle.
Aufgabe 1. (12 Punkte) Berechnen Sie für die folgenden, in x0 unendlich oft differenzierbaren Funktionen, alle Ableitungen f (k) (x0 ), n ∈ N0 . Geben Sie dann die jeweils
zugehörige Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt x0 an. Die Taylor-Reihe ist eine Potenzreihe. Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
a) f (x) =
1
, x0 = 0,
3 − 2x
b) f (x) =
1
, x0 = 4,
3 − 2x
c) f (x) =
x
, x0 = 0,
3 − 2x
d) f (x) =
1
, x0 = 4,
(3 − 2x)5
e) f (x) = e−2x , x0 = −3,
f) f (x) = sin x − cos x, x0 = −π.
Hinweis: Berechnen Sie die k-ten Ableitungen in x0 für k = 0, 1, 2, 3, . . . bis Sie eine
Vermutung für die Gestalt der allgemeinen k-ten Ableitung gefunden haben. Begründen
Sie dann diese Vermutung z. B. durch vollständige Induktion.
Aufgabe 2. (4 Punkte) Für Hörer der Ergänzungsvorlesung: Biophysik, MIW, MML
Betrachten Sie die Funktion f : (−1, 1) → R, f (x) = (1 − x5 )−2/5 . Diese besitzt eine
∞
X
Potenzreihenentwicklung
aj xj , x ∈ (−1, 1). Bestimmen Sie die Werte der aj für
j=0
j = 0, 1, . . . , 24.
Aufgabe 3. (8 Punkte) Für Hörer der Ergänzungsvorlesung: Biophysik, MIW, MML
Gegeben sei die Differentialgleichung
f 0 (x) = 3f (x) + 6
mit der Anfangsbedingung
f (0) = 2.
a) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung als Potenzreihe mittels eines
Potenzreihenansatzes.
b) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für diese Potenzreihe an.