Kombi nation
E=dd
von
Stabverloingerung
bei
=
XTDT
+
stabenden
:
¥-=,N +✗tDT
☐
Dehnsteifigkeit
e
=L
✗
¥
E-
,
und
✗
0
=
Al
:
uce)
=
u(0)=fedx
-
NCH
Problem en ist
bestimmbar
immer
→
EA
:
§(¥-A+✗tAT)d✗
=
Einzelkraft
bei
auch
ECH.ua/7,eSTATlSCHUNBESTiMMTEPR0BLEME
Elastizitiitsgesetzes :( ¥=,=
'
(F- Aul
=
-
n
( F- Axtbt)
+
Verschiebungsplan
(falls
'
→
Freiheitsgradf
3h -12k
>>
Fachwerken
Kapital
2
r
2K=r+s
:
Betrachtung
:
S ystem
Ott
=
A
o
DA
!
5¥
%
,
_
.
.
.
,
.
,
Oy
•
☒
µ
c-
yz
tzy
"
"
Spannungszustand
:O
y
,dz=
"
dy
↓ ¥
;
OE
=
0×+04
extremal
Hauptspannungen
d%
↳ Extremal Stetten
☒
-
-
det 0=0×0,
Invariant
fiir
dog
tanzy
→
d4=° d4=°On
→
Spannungskreis
)2+t2=r2
-
-
-
=
-
spannungskreis
diinnwandiger
a
lnnendruckp
>>
-
Kessel
Calle
if
""
Kapital 3
-
Verzerrungen
.
.
.
%
a.
-2
of
=
Kinematic)
✓
-1s
!"
,
2-" ◦
Winkel
in
Tyx
Oy
tax
tzy
OF
Zug
#
#
und
y
¥
+
☒
↑
◦
°
gy
t×Y
OY
txz
tyz
•
or
a
8
0m
-
Oy=To
-
¥
+
DO
"=
-
24
Imax
__
'
±
-
{ ( on
+
-
Ii
)
dann
24
om Druid
-
=z( * g)
+
=z( a.
Oz
+
°o°
Ist
→
%
sin
spannungszustand
p
Ynpo
,
Txy
txycos 24
+
)
9)
tma×=±
hydrostat ischer
"= "
)
or
sin
ruhendenfliissiokeit
gleich ist
Haieptspannungen
zu
ÉCQ
.
☐
•
To
einer
-
Richtungen
←
""×
0z=
745°
T3n=
#*
is
•
☒
eines
+
-
↳ 45° Verhciltnis
%
6
.in#.a=opy
.
↑;!
=
-0×-07
Ztxy
Schiro
z
gpannwngszustand
1-(0×+9) { (0×-9)%24
:
☐ ruck
4
und
P
'
←
P
tanzy
*
4
"
◦
DO
=p
Spannuncfstenscr
symmetrisch
=
Matrix
Punkteseindeutigfestgelegt
OF
__
alien
in
#*
☐
→
der
da
reiner
→
TYZ
On
☒
↳ t a, , Diane
☒
#
•
←
-
SP "ⁿᵈ^&^
=
dnt
,
dy
""=
Schab
Zugeordnete
einander
t×z
y
:
dA=
an
?
c- ✗
diransfornationsgieichungen
c- §n=O (
oq=og=o×=oy
dtEin=O
,
om=
☐
aufeinanderstenenden
2 senkrecht
-
bestimmt
Richtungen
)
koordinaten-kriiftegleichgewichtinE.undnrichtungk.si
transformation
9. { (0×+9) -1^2-(0×-07) COSZY
Txysin 24
schnittflciche
,
,
=
TYZ
%
,
ox
Hauptschubspannungen
rdnendurcheinsetten
:p
:
Punktp
in
ausreichend
%
•
og
745°
ice
•
KGGW
spannungen
vernachliissigen
☐ radiate
-
punktp DP
0×2 'Tr t
:
-
ptr2=0
Zoytbe p2rbe=°
geiaupendruckvorzeicnenaindern
-
't
pi
P
×
→
meine
:
=
Mit
Ex
Exy
Eyx
Ey
_
-
schub
""
,
<
>
<
>
?
✓
0
+8;dy^
Kligelformiger
Kessel formers
07=12 PI
E×=I
g- ¥-8m
T I
•
'
Q
E×=É(ox
-
Ey=É(Oy
>
e.
Ez=
"
"
Y
=
E- ✗
<
-
-
=
¥8}n=
-
-
Voy)
)
Vox
Querkontraktioninz :
^
+
Ey)
✗+
g)
Eq=I(Ex
Ex Esty
ZAY Ey
ÉQ Éoy
-
¥(a. g)
+
#
d×^
^
ey=;
%u+%d×"¥d×
'
.
s.ua
spannungen
Ox
{
/÷
Scheibe
deformierte
Deformation en
"
Scheibe
formierte
←
'
-
h◦m°9en&
isotrop
Ox
uncle
istortsabhcingig
Verterrlrngstensor
E
Mit
EY= #
i
Querkontraktionzahl /Poisson
€
%
Verschiebungsvektoru
<
E
cost
+
sitcom
Oy =p
¥
OE
•
Kessel
04=12 PIT
=
a-
%
☐
⇐
Elastizitatsgesetz
{✗
×,
t☐o
falls oz=og
:
z
zy**
DehnungenRGleitungenp-Dehnungenverkniip.tt
OF
1
I
=
tscnnitteinverschiedenen
gleich
Sind
e-
c-
so
:*
a
2
2
→%
oigteichformiosvertei
,
Schmitter
a
Ort
@×-0y)2+t×y#
OY ±
=
yn
.
tar
be
+
on > Oz
⇐
4¥ ;%
•
hydrostatisch
einachsiger
""
,
.
Verformungflcichenfoirmiger /
raiumlichausgedehnterkorper
↳
.
.
°M•••
:p !
ninja
↓p
Richtungen)¥
Verzerrungszustand
-
:& ↑•
;
;
q•
?
=
spanning
vom
spannungszustand
Schubspannungen
_
homogeny
→
Winkel
Mit
P
É,;•Q
r
,
→
•
:
t×y
-
01,2
0×-0
•
om
④ +0×7-410×9 txy)]
≥
=
als Extremwerte
,z
°
↳ r
Ztxy
#
,
Mohrscher
(o
U
tan
Sisi"
E durch t nicht
,
'
.
der Norma/ spannungen
+
sins
iiberlagern
dann
und
oz
abhcingt
t×Y OY
%
"
1
•
wenn
nicht
TXY
OF
•
It
☒
On __
-1
2
✓
.
:
Koordinatenrichtung
Spannungstustand
•
"
±
-
ebener
%
%
:
.
Bezeichnung Vertikalverschiebung
t×Y=t > ×
'
KT)
)
Integrations Konstantin
Verbindungsreaktionen
( Tangential Komponente)
F" " ≥
± Schnitt Ufer
"
ay
Fall
Spannungen
+
°
°
Fz
☐
F-bene belastet
Cweiterfiihrung
☐
-
DT
Lagerreaktionen
r
Lagerreaktionen
Normale in
vorzeichenkonvention
±
Boy
☒
¥
,
↳ Dicke te
nur in
☐
☐
☐
◦
2
SI # Stcibe
tyxextoyeyttyzez
=
Eschnittfloiche :
%
0×x=0I
Scheibe
→
t
of
'
Richtungder
2.
dy
Ebener
a-
Sz
[ Normal Komponente)
Schubspannung
→
try
ax
•
,
.
☐
.
%
Randbedingungen
±
Systemic zerlegen
spanning
Normal
☐
-
t
2-
.EE?.*yspannungsKomponente-
?
n
Gleichungen gieichzeitigcoleichgewicht.F-lastizit-a.to
o
Flcichennormale
•
,
-
ii.r.ca#.e%eE..se.u=lAet--F--Ti+anI
=D @
T
Wcirmespannungen
→
'
:
!
ᵈᵗ
Stcibe
alter
" F
"
IF
BF
Doppelindizes
a.
Richtung der
¥
=
≤
:
+
,
"
aufstellen
KI # Knoten
→
2- bestimmte
in
*
"
des
EAU
÷
⇐
-
-70
•
System
Knoten
Temperaturcinderungen
spannungsvektort-l.im
DA
2- *
unverformten
am
Teilkorper
✓
-
unbestimmtes
ein
:
s
-
-
System
→ nicht nacheinander !
-
and DT=c0nst
:
,
statischunbestimmte
Superposition
F- A- const
also
→ umstellen
System) Nciherung stattkreisbogen-DTangentecfiirknote.nl
Bestimmtheit bei
:
6GB bestimmbar
aus
fiir
✗
Gleichgewichtsbedingungen
→
bestimmtes
statistic
nach
Abteilung
heist
'
allein
nicht
→ N
-_É¥+✗t☐Te
be
:
constant at
+
O
O
bestimmten
statisch
@
,
I
-
24
{ jixysin 24
(Ex Ey)
(ex g) coszy.za.ys.az,
I(E× G) sin 24+2-2*0524
-
cos
G=
=
tan
24*1=2%4
0×-0,
E
2.
nach
spanning
D
-
o×=,(e×+vey)
oy=,(ey+ve×)
( Winkelverzerrung)
Hauptdehnuncsen
Ay
zy*= Ex
-
Ey
Verallgemeinerung
E×=
Ox
n
(ntv)
aufiosen
tan
-
Gjixy
P→Ge1tung / Schering
.
+
-
schubmodul G
Txy
AY=✗+B=¥ -10¥
-
EY=E
Oy
Ez=^E
Oz
-
-
g,
,z=E×{ Ey
Hookesches
±
→ mohrscher
:
(
Gesetz
(Oy -1oz)
+
✗
✓
(02-+07)
+
✗TAT
✓
(0×+07)
+
✗ TDI
✓
Ex
-
2
Ey
'
-1122,2
Mit
AT
TDT
I
↳
Verzerrungs
Kreis
=
G- Txy
2×7=6^-177
Exy Ext
E=Ey× Ey Eyz
Ezx Ezy Ez
Ex,-=Eyt=Ezt=✗tDT
§✗yz=Étyz
oÉ
Ex
-
g)
Balkenbiegung-
-Kapitel4
egeeigroe
Belasting Langsrichting a Querschnitt
- Belastung senkrecht
Lange
Stab->
Balken
Flachenschwerpunkt:statische Momente
Ys =
SydA
zs
Sy fzdA S fydA
SzdA
=
I
=
Lange"
cm*Tragheitsradien
Dimension:
=
y y ys
+
=
verschwinden
in
⑧ =-sin
+z3
*
~
Dy, z Hauptachsen des
Querschnitts (Iyz 0)
Richtung
Lasten:Qinz
Mumy-Achse
fur schlanke Balken
-z
brgechend
->
o
2z
Achse:neutrale Faser
↳ schlanke Baken:annahernd
-
or
o
=
N
auerschnitte
bleiben
eben
W
=
-
=
x
Biegung
Dw"
-
=
-
statisch
a
x6A(w N)
=
+
jeweils
unbestimmt
EIw 9
-
=
z
We
z
↓
als
En
I i ch t
->
Werf=zul
Q
x
Mmax= W
Ozul
farconstgeometrische Randbeding
in
↳
positive
krummung
Krummung
durch
wo"
HB =
w
Rand
the
wi
und
Randbedingungen
↳Q und M
-
bedingungen
Summe der
↳m Q=
↳auflosen
mittere
I
=
-
y sows
dennstar:Deformationen
durch N viel kleiner als durch
o
wic igegen
Fachwerke:auslosen einer
~FC
F
Wc
inforge
Schub:
Ente
+
4
F.S,(v)
Schlankheitsgrad,
s
=
↳ je schlanker
kleiner der
+
desto
=?
1 5h
+
YY
-
Y[(MyIz MzIyz) z (M Iy MyIyz)Y
-
=
Querschnitts
-
vernachlssigt,
5 fache
Hohe des
Gleichung
Ev=4May
My
centragheit
Schubeinfluss
generell:Schubabsenkung
WB Ws
-
(Lagerkraft)
+
=
des
unbekannten
Essie
=
=
Kern
-
Si S,(0)
wz
+
wiB w's
=
W
bwi
=
=
Vertikalverschiebung
A
A
=
W
w
,
EI
Winkelnderung:v w'
Momente,gentei
Hauptachsen
-
X
Win
Durchbiegung
Schubmittelpunktymu
Druck
z
spannung
O
=
setzen
Nullinie
Nulllinie:
4
=
bestimmen
bette
wenn
Querschnitts
-
-
Drein:
Schubflache
Querschnitts
des
BEFw "se
Fz
The Es
-
N
-
Wi
=
+
=
Dimensionierung
=
einzelne Funktion
Winz, Viny
und
~,
①
=
As 4
↳
IM Ozul
Biegemomente-Verlangerung-zulssiger Bereich fur
0A
4Yz 4y0 k 2z des Balkens vernachlssigbar den KraftangriffSpunkt
+
MGA
krimmungus:eine Neigung (EIm"=ars-statische
-
(q,Q, M, w',woder
↓
+
=
=
=
Querkraft
die
X-Richtung:
Batter itmeneverever
beispibhei:
el [eye insea.
I
Schubes
zug
fur
in
inemeninke we positiv
Schubverzerrungn w'+ 4
GAs-DSchubsteifigkeit
Elastizitatsgesetz
-
Unsymmetrische Quers.
und
=
OmaxE Ozue
WB) Wi!" 0
zweiachsige Biegung
Durchbiegung
i u zN
-
designgene
energic
=
Schubstar:
B
W
=
chubspannungen:
-
GE
Spannungsnachweis
M
,
·foreit
S
EI-Biegesteifigkeit
p=yaaa
*
z
Einfluss des
(2 3x,y fxz)
=
statisch estimmt
↓
=
Wis
. . .
=
Omax=
w
genau
Freies Ende
+
max
senkrechtebleibt
&etienges
to
two
M M +M2
Gauch:
Korrekturfaktor 2
iz
fir n07-w+
Q 01 Q2
Oy, 2 x Ox
y-Achse:Nulllinie
Bernoullische Annahmen:
↳
reine Biegung:exakt
=
=
Verschiebungu
·
G S T dA
=
verschiebungwunabnangg
Annahmen
EdX
n
+
IyIz (z) Iyz
=
"c"isat a - ...
"getthe
=
a
=
Widerstandsmoment W
W
-
~
9/
Biegemoment:
M EIN'mitr 4
=
Biegelinie
superposition,
-
das
Faser
Gmax
-
du
=
=
neutrale
-
-> I t
E
=
Normalspannungen
X
faersnaptachsensse
Haupttragheitsmomente
In,z
Elastizitatsgesetz fur
receuerschnitt
*
m+ ar
zentrifugalmoment
trgheitsmoment
e
=
n
Invariante
sing
+zcosy
y
wxatas
=
Dupere
-
2
Biegung,art
-
-
z
->
moment
bag). X/y-Achse
Deviationsmoment /
t= e
(baz)
+
Az
=
·
bag
D
x,z
+
An
=Z Ix:analog-Dz,
yz
Schwerachsen
n ycos4+
dt
=
A
SzdAund SydA
=
gerade/einachsige
=
=
Ip
BeispielentertasEt
Teilflchen:
aus
Iy fz2dA fz2dA fzdA+...
EizipE
ane
is
=
Flache
=
0(z) 2z
2:
Iyz -D
=+
=
=
*
faktor
zu
=
OAY
-
Ordnung
1.
A
ro
Z
·acnementeonFarias ane
O
·
z"
#achenmomente
Flachentragheitsmomente
Y
·
BiegemomentM
bei Rechteck
Ranite: 5,5
5
- Kapitel
TorsionVerdrehung
kreiszylindrische
Welle
Annahmen:
1. Querschnitte behalten
beiTorsion
ihre Gestalt
2.
ebene Quer Schnitte
dinnwandige
Bogenlange
bleiben eben
Verwendung
u
y
rd =dx
=
4E
=
Kapitel 6
1.
2.
3.
Elastizitatsgesetz
der
virtuellen
Krafte
krafte
Rechenzwecken
knicklast:Furit
Euler
Falle
H2E
=
in
W
F du
=
F
beliebiger
Wert zwischen
und F
=
Tfrds
2AmT
=
Elastostatik
der
ENCdxbeerichtete
Arbeiten werden
i
eigien
-
m+
=
in
f
als
perkonstante
I =(2Am)t
It 2πRmt
=
U
verweibung
u
verschiebungen
T/ jfr1ds
=
S
2Forsten
t
W
=
Absenkung
W EMoY
=
f einer Feder
?2πn
=
t=const:Kreisfrmig;Radius Re
T
MitW+= Amtmin
Verlngerung
-
2
+
der
Querschnitte
-
=
=
I
=
=
fur
2. Bredtsche
Formel
It
=
(OI+R')
R3
=
Bredtsche Formel
i
pro Langeneinheitangreift
=x
imgie
W
I
grotePannung
Tmax
Formanderungsenergie
d
1.
umschlossen wird
Mr GdM+=
↳ I= ost.
Arbeit
0
gedachte
↳z u
dAm
2
--
Arbeitsbegriff
der Elastostatik
Gleichgewicht
Kinematik/Kompatibilitat
Prinzip
-
inst
-
die von der
vertentes oronsmoment
=
Kreiswelle:Wi
Profilmittellinie
+(5)
1 5.t
Trax
T=frIdAGIT'=Mt
An Flache
r
=
torsnderstands
6Ir-Torsionssteifigkeit
=
Grd'
=
=
Grundgleichungen
I
kreiswite:It= Ip
geschlossene.Profilestax
s
Wandstarke t t(s)
Schubfluss
Torsionstragheitsmomentt
!
Fachwest