‫‪1‬‬
‫דף נוסחאות לבוחן‪ ,‬חדו"א ‪ – 2‬תשפ"ד‬
‫משוואות קנוניות של עקומים במישור ומשטחים ממעלה שנייה במרחב‬
‫היפרבולה‬
‫אליפסה‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪𝑧2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫𝑏‬
‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑏‬
‫𝑎‬
‫‪+ 2=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ 2+ 2=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫פרבלואיד היפרבולי‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫אליפסואיד‬
‫פרבלואיד אליפטי‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫=𝑧‬
‫חרוט אליפטי‬
‫‪𝑥2 𝑦2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝑎2 𝑏 2‬‬
‫=𝑧‬
‫= ‪𝑧2‬‬
‫‪𝑧=−‬‬
‫‪ .1‬מבחן ההשוואה הראשון (להתכנסות אינטגרל מוכלל של פונק' אי‪-‬שלילית )‪ :‬יהיו 𝑔 ‪ 𝑓,‬פונקציות אינטגרביליות בכל‬
‫‪ , k > 𝑎,‬כך שעבור 𝑥 מספיק גדול )𝑥(𝑔 ≤ )𝑥(𝑓 ≤ ‪.0‬‬
‫קטע ]‪[𝑎, k‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫אם 𝑥‪ ∫𝑎 𝑔(𝑥)d‬מתכנס אז גם 𝑥‪ ∫𝑎 𝑓(𝑥)d‬מתכנס‪.‬‬
‫‪ .2‬מבחן ההשוואה השני (הגבולי)‪ :‬יהיו )𝑥(𝑓 ≤ ‪0 < 𝑔(𝑥) , 0‬‬
‫פונקציות אינטגרביליות בכל קטע מהצורה‬
‫∞‬
‫)𝑥(𝑓‬
‫אם ‪ L ≠ 0 , lim 𝑔(𝑥) = L‬אז‪ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 :‬מתכנס‬
‫∞‬
‫‪‬‬
‫𝑥‪ ∫𝑎 𝑔(𝑥)d‬מתכנס ‪.‬‬
‫]‪[𝑎, k‬‬
‫‪. k > 𝑎,‬‬
‫‪.3‬‬
‫𝑥‪ ∫1 𝑥 𝑝 d‬מתכנס‬
‫‪∞ 1‬‬
‫‪.4‬‬
‫פולינום טיילור מסדר ‪ n‬סביב הנקודה ‪ ( 𝑥0‬אם ‪ 𝑥0 = 0‬הוא נקרא פולינום מקלורן) ‪:‬‬
‫∞→𝑥‬
‫𝑛) ‪(𝑥 − 𝑥0‬‬
‫‪. p>1‬‬
‫⇔‬
‫) ‪𝑓 (𝑛) (𝑥0‬‬
‫!𝑛‬
‫‪(𝑥 − 𝑥0 )2 +. . . +‬‬
‫) ‪𝑓′′(𝑥0‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪𝑇𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) +‬‬
‫‪ .5‬נוסחת טיילור עם שארית‪ :‬תהי )𝑥(𝑓 גזירה )‪ (n+1‬פעמים בסביבה של ‪ .𝑥0‬אזי לכל ‪x‬‬
‫בסביבה זו קיימת נקודה ‪c‬‬
‫)𝑐( )‪𝑓 (𝑛+1‬‬
‫בין ‪ 𝑥0‬ל‪ , 𝑥 -‬כך שמתקיים ‪.𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 (𝑥) + (𝑛+1)! (𝑥 − 𝑥0 )𝑛+1‬‬
‫‪ .6‬פולינום מקלורן של פונקציות אלמנטריות בסיסיות ‪:‬‬
‫𝑘𝑥‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫(ג)‬
‫‪𝑥2‬‬
‫𝑛𝑥‬
‫)𝑥( 𝑛𝑅 ‪𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2! +. . . + 𝑛! + 𝑅𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=0 𝑘! +‬‬
‫‪𝑥 2𝑛+1‬‬
‫‪𝑥 2𝑘+1‬‬
‫‪𝑥5‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫)𝑥( ‪𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑥 − 3! + 5! −. . . +(−1)𝑛 (2𝑛+1)! + 𝑅2𝑛+1 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=0(−1)𝑘 (2𝑘+1)! + 𝑅2𝑛+1‬‬
‫𝑘‪𝑥 2‬‬
‫𝑛‪𝑥 2‬‬
‫‪𝑥6‬‬
‫‪𝑥4‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫)𝑥( 𝑛‪𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 − 2! + 4! − 6! +. . . (−1)𝑛 (2𝑛)! + 𝑅2𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=0(−1)𝑘 (2𝑘)! + 𝑅2‬‬
‫‪ .7‬משיק לעקום ̂𝑘)𝑡(𝑧 ‪:𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ +‬‬
‫̂𝑘) ‪𝑟⃗′(𝑡0 ) = 𝑥 ′ (𝑡0 )𝑖̂ + 𝑦 ′ (𝑡0 )𝑗̂ + 𝑧 ′ (𝑡0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .8‬מושגים טופולוגים‪ :‬תהי 𝐷 קבוצת נקודות ב‪ 𝑝 ∈ 𝐷 .ℝ2 -‬נקראת נקודה פנימית אם קיימת סביבה של 𝑝 שכולה‬
‫מוכלת ב‪ 𝑝 ∈ ℝ2 .𝐷-‬נקראת נקודת שפה של 𝐷 אם בכל סביבה של 𝑝 יש נקודות השייכות ל‪ 𝐷 -‬ויש נקודות אשר לא‬
‫שייכות ל‪ 𝐷 .𝐷 -‬נקראת קבוצה פתוחה אם כל איבריה הם נקודות פנימיות‪ 𝐷 .‬נקראת קבוצה סגורה אם היא מכילה‬
‫את כל נק' השפה שלה‪ 𝐷 .‬נקראת קבוצה קשירה אם כל שתי נקודות ב‪ 𝐷 -‬ניתן לחבר ע"י עקום רציף המוכל ב‪𝐷 .𝐷 -‬‬
‫נקראת קבוצה חסומה אם קיים מספר ממשי ‪ 𝑀 > 0‬כך ש‪ 𝐷 -‬מוכלת בעיגול שרדיוסו 𝑀‪.‬‬
‫‪ .9‬א‪ .‬הגדרה‪ 𝑓(𝑥, 𝑦) :‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ ,(𝑥0 , 𝑦0‬אם קיימים ‪ 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ‬ופונקציה אפסה )𝑦𝛥 ‪ 𝜀(𝛥𝑥,‬כך‬
‫ש‪-‬‬
‫‪𝛥𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝐴 ⋅ 𝛥𝑥 + 𝐵 ⋅ 𝛥𝑦 + 𝜀(𝛥𝑥, 𝛥𝑦)√𝛥𝑥 2 + 𝛥𝑦 2‬‬
‫( ) ‪( 𝛥𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 + 𝛥𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫טענה‪ :‬אם )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬אז ) ‪𝐵 = 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫) ‪. 𝐴 = 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ 𝑓𝑦′ , 𝑓𝑥′‬קיימות בתחום ‪ D‬ורציפות בנקודה 𝐷 ∈ ) ‪ 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0‬אז )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה זו‪.‬‬
‫) ‪𝑓(𝑥0 +𝑛1 𝑡,𝑦0 +𝑛2 𝑡)−𝑓(𝑥0 ,𝑦0‬‬
‫‪ .10‬הגדרת הנגזרת המכוונת‬
‫𝑡‬
‫𝑚𝑖𝑙 = ) ‪(𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫‪𝑡→0‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫⃗⃗‬
‫𝑛𝜕‬
‫= ) ‪. 𝐷𝑛⃗⃗ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫‪𝑛1‬‬
‫‪1‬‬
‫(] 𝑛[ = ⃗⃗𝑛 ‖⃗⃗𝑛‖ = ̂𝑛 )‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑛1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .11‬משפט‪ :‬תהי ‪ f‬דיפרנציאבילית ב‪ (𝑥0 , 𝑦0 )-‬ו‪ 𝑛̂ = ‖𝑛⃗⃗‖ 𝑛⃗⃗ = [𝑛 ]-‬וקטור יחידה אז‬
‫‪2‬‬
‫̂𝑛 • ) ‪. 𝐷𝑛⃗⃗ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝛻⃗⃗ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0‬‬
‫אם ⃗‪ 𝛻⃗⃗𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ≠ ⃗0‬אז 𝜃𝑠𝑜𝑐‖) ‪ ,𝐷𝑛⃗⃗ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = ‖𝛻⃗⃗ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0‬כאשר 𝜃 היא הזוית בין הוקטורים‬
‫̂𝑛 ‪.𝛻⃗⃗𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ),‬‬
‫‪ .12‬כלל השרשרת‪ :‬יהיו ) 𝑘𝑡 ‪ 𝑥1 = 𝑥1 (𝑡1 , . . . , 𝑡𝑘 ), . . . , 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 (𝑡1 , . . . ,‬דיפרנציאביליות ב‪-‬‬
‫) *‪ t * = (t1* ,..., tk‬ותהי ) 𝑛𝑥 ‪ 𝑓(𝑥1 , . . .‬דיפרנציאבילית בנקודה )) ∗ 𝑡( 𝑛𝑥 ‪ ,𝑥 ∗ = (𝑥1 (𝑡 ∗ ), . . . ,‬אז‬
‫לפונקציה)) 𝑘𝑡 ‪ 𝑔(𝑡1 , . . . , 𝑡𝑘 ) = 𝑓(𝑥1 (𝑡1 , . . . , 𝑡𝑘 ), . . . , 𝑥𝑛 (𝑡1 , . . . ,‬קיימות נגזרות חלקיות בנקודה ∗ 𝑡‬
‫ו‪-‬‬
‫𝑘 ‪𝑖 = 1, . . . ,‬‬
‫𝑗𝑥𝜕‬
‫∗ |‬
‫) 𝑡( 𝑖𝑡𝜕‬
‫⋅ ) ∗ 𝑥(|‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑗𝑥𝜕‬
‫‪|(𝑡 ∗) = ∑𝑛𝑗=1‬‬
‫𝑔𝜕‬
‫‪.‬‬
‫𝑖𝑡𝜕‬
‫‪ .13‬הקירוב הליניארי‪ :‬אם )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬דיפרנציאבילית בנקודה ) ‪ , (𝑥0 , 𝑦0‬אז הקירוב הליניארי של )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬סביב‬
‫הנקודה ) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬הוא‬
‫) ‪. 𝐿(𝑥0,𝑦0) (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0‬‬
‫המישור המשיק‪. 𝑧 = 𝐿(𝑥0,𝑦0) (𝑥, 𝑦) :‬‬
‫‪ .14‬תהי ‪ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶 1‬בסביבת ) ‪ ,𝛻⃗⃗𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ≠ ⃗0⃗ ,(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬אז ) ‪ 𝛻⃗⃗𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬ניצב למשטח‬
‫) ‪ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬בנקודה ) ‪ .(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0‬נוסחת המישור המשיק‪:‬‬
‫‪.𝑔𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑔𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑔𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0‬‬
‫‪ .15‬טבלת נגזרות ואינטגרלים‬
‫אינטגרציה בחלקים‪∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1B.‬‬
‫‪(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1‬‬
‫‪𝑥 𝑛+1‬‬
‫𝑛( ‪+ 𝐶 ⬚ ,‬‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫⬚‬
‫)‪≠ −1‬‬
‫= 𝑥𝑑 𝑛 𝑥 ∫‬
‫= ‪(𝑙𝑛 | 𝑥|)′‬‬
‫‪2B.‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝐶 ‪= 𝑙𝑛|𝑥| +‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥 𝑛𝑖𝑠 ‪(𝑐𝑜𝑠 𝑥)′ = −‬‬
‫‪3B.‬‬
‫𝐶 ‪∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +‬‬
‫𝑥 𝑠𝑜𝑐 = ‪(𝑠𝑖𝑛 𝑥)′‬‬
‫‪4B.‬‬
‫𝐶 ‪∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 +‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪𝑐𝑜𝑠 2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬
‫= ‪(𝑡𝑔𝑥)′‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝐶 ‪= 𝑡𝑔𝑥 +‬‬
‫𝑥 ‪𝑐𝑜𝑠 2‬‬
‫‪6B.‬‬
‫‪2A.‬‬
‫‪3A.‬‬
‫‪4A.‬‬
‫∫‬
‫‪5A.‬‬
‫∫‬
‫‪6A.‬‬
‫> 𝑎 𝐶 ‪∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑎 +‬‬
‫‪7A.‬‬
‫‪5B.‬‬
‫‪(𝑐𝑜𝑡 𝑥)′ = −‬‬
‫∫‬
‫‪1A.‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝐶 ‪= −𝑐𝑡𝑔𝑥 +‬‬
‫𝑥 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬
‫𝑥𝑎‬
‫)‪(𝑎 > 0‬‬
‫𝑎 𝑛𝑙 𝑥 𝑎 = ‪(𝑎 𝑥 )′‬‬
‫‪7B.‬‬
‫𝑥 𝑒 = ‪(𝑒 𝑥 )′‬‬
‫𝐶 ‪∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 +‬‬
‫‪8A.‬‬
‫‪9B.‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫‪∫ 2‬‬
‫=‬
‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬
‫𝐶‪+‬‬
‫𝑎 ‪𝑎 + 𝑥2‬‬
‫𝑎‬
‫‪9A.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪B.‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑥‬
‫𝐶 ‪= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 +‬‬
‫∫ ‪10‬‬
‫𝑎‬
‫‪√𝑎2 − 𝑥 2‬‬
‫‪A.‬‬
‫‪8B.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 + 𝑥2‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪(𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝑥)′‬‬
‫‪1 + 𝑥2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥)′‬‬
‫‪√1 − 𝑥 2‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥)′‬‬
‫‪√1 − 𝑥 2‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)′‬‬
‫‪ .16‬פונקציות טריגונומטריות של זוויות מיוחדות‬
‫𝜋‬
‫) ( 𝑠𝑜𝑐 = ‪𝑠𝑖𝑛 0 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫𝜋‬
‫‪𝑠𝑖𝑛 ( ) = 1 = 𝑐𝑜𝑠 0‬‬
‫‪2‬‬
‫𝜋‬
‫‪1‬‬
‫𝜋‬
‫) ( 𝑠𝑜𝑐 = = ) ( 𝑛𝑖𝑠‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫‪√2‬‬
‫= ) ( 𝑛𝑖𝑠‬
‫) ( 𝑠𝑜𝑐 =‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫𝜋‬
‫‪𝑡𝑔 ( ) = 1‬‬
‫‪4‬‬
‫𝜋‬
‫‪1‬‬
‫𝜋‬
‫= ) ( 𝑔𝑡𝑐‬
‫) ( 𝑔𝑡 =‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪√3‬‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫‪√3‬‬
‫= ) ( 𝑛𝑖𝑠‬
‫) ( 𝑠𝑜𝑐 =‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫) ( 𝑔𝑡𝑐 = ‪𝑡𝑔 ( ) = √3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .17‬פונקציות טריגונומטריות של זווית כפולה‬
‫= 𝛼 ‪𝑐𝑜𝑠( 2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2‬‬
‫𝛼 ‪= 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2‬‬
‫𝛼 𝑠𝑜𝑐 𝛼 𝑛𝑖𝑠 ‪𝑠𝑖𝑛( 2𝛼) = 2‬‬