‫טורים‬
‫∞∑ מתכנס אם הגבול של סדרת הסכומים‬
‫עבור סדרה 𝑛𝑎 נאמר שהטור 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫∞∑‬
‫החלקיים 𝑛𝑎 ‪ 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 … +‬קיים‪ ,‬ונסמן 𝑛𝑆 ‪𝑛=1 𝑎𝑛 = lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫‪ ‬תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור –‬
‫∞∑ מתכנס‪ ,‬אז מתקיים ‪lim 𝑎𝑛 = 0‬‬
‫אם הטור 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫∞→מ‬
‫כלומר‪ ,‬אם האיבר הכללי של הסדרה אינו שואף ל‪ ,0-‬הטור בהכרח‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫טורים נפוצים‬
‫‪ ‬טור הנדסי –‬
‫כאשר יש טור המתקדם בכפולה קבועה‪ ,‬נשתמש בנוסחאת סכום טור‬
‫הנדסי‬
‫‪𝑎1‬‬
‫𝑞‪1−‬‬
‫=𝑆‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪𝑆𝑛 = ∑ 2𝑛 = + … = 9‬‬
‫‪1 12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9 27‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬טור טלסקופי –‬
‫כאשר כל איברי הסדרה‪ ,‬למעט האיבר הראשון והאחרון‪ ,‬הם איברים‬
‫זהים עם חילופי סימן‪ ,‬ניתן לצמצמם את כל הסדרה לשתי איברים‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= + … = (1 − ) + ( − ) … + ( +‬‬
‫)‬
‫‪𝑛(𝑛 + 1) 2 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪𝑛 𝑛−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪→ 1−0= 1‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪ ‬טור טיילור –‬
‫כאשר מתקבל טור טיילור מוכר‪ ,‬נשתמש בו לפתרון הטור‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪=1+ + + …=𝑒−1‬‬
‫!𝑛‬
‫!‪1! 2! 3‬‬
‫∞‬
‫∑ = 𝑛‪S‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫∑ = 𝑛𝑆‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫טורים‬
‫התכנסות או התבדרות‬
‫מלבד מבחני ההשוואה המופיעים בדף הנוסחאות‪ ,‬ניתן להיעזר גם בטענות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪ ‬תהי 𝑛𝑎 סדרה חיובית‪ ,‬כך שקיים ‪0 < 𝑞 < 1‬‬
‫‪𝑎𝑛+1‬‬
‫∞∑ מתכנס‬
‫אם מתקיים 𝑞 ≤‬
‫‪ lim‬אז הטור 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛𝑎 ∞→𝑛‬
‫‪𝑎𝑛+1‬‬
‫∞∑‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫אם מתקיים 𝑞 =‬
‫‪ lim‬אז הטור‬
‫אם מתקיים 𝑞 ≥‬
‫∞∑ מתבדר‬
‫‪ 𝑞 > 1 , lim‬אז הטור 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛𝑎 ∞→𝑛‬
‫‪𝑎𝑛+1‬‬
‫מתכנס‬
‫𝑛𝑎 ∞→𝑛‬
‫‪ 𝑝 > 1‬מתכנס‬
‫{=‬
‫‪ ‬עבור טור מהצורה‬
‫‪ 𝑝 ≤ 1‬מתבדר‬
‫‪1‬‬
‫𝑝𝑛‬
‫∞∑‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫זהויות לזכור‪:‬‬
‫‪cos 𝑥 − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪sin‬‬
‫‪𝑒𝑥 − 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪→ − , lim‬‬
‫‪→ 1 , lim‬‬
‫‪→1‬‬
‫‪𝑥→0‬‬
‫‪𝑥→0‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫𝑥 ‪2 𝑥→0‬‬
‫𝑥‬
‫הטור ההרמוני‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫∞∑ מתבדר‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫טורים‬
‫טורים כללים‬
‫התכנסות בהחלט –‬
‫∞∑ מתכנס‪.‬‬
‫טור נקרא מתכנס בהחלט אם | 𝑛𝑎| ‪𝑛=1‬‬
‫‪ ‬אם טור מתכנס בהחלט‪ ,‬אז הוא גם מתכנס‪.‬‬
‫מבחני מנה וקושי לטורים כלליים –‬
‫אם הסדרה 𝑛𝑎 מקיימת 𝑞 = |‬
‫‪𝑎𝑛+1‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫𝑛‬
‫| ‪ lim‬או 𝑞 = | 𝑛𝑎|√ ‪ , lim‬אז‪:‬‬
‫∞→𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫‪ ‬אם ‪ q<1‬הטור מתכנס בהחלט ולכן מתכנס‬
‫‪ ‬אם ‪ q>1‬הטור מתבדר‬
‫מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים –‬
‫𝑛‬
‫∞∑‪.‬‬
‫תהי 𝑛𝑎 סדרה חיובית‪ ,‬נתבונן בטור 𝑛𝑎 )‪𝑛=1(−1‬‬
‫אם מתקיים ‪ lim 𝑎𝑛 = 0‬והסדרה היא סדרה יורדת‪ ,‬אז הטור הנ"ל מתכנס‪.‬‬
‫∞→𝑛‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫= 𝑛𝑎‪ ,‬זוהי סדרה יורדת ושואפת ל‪ ,0-‬לכן הטור‬
‫𝑛)‪(−1‬‬
‫𝑛‬
‫∞∑ מתכנס‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫התכנסות בתנאי –‬
‫∞∑ מתכנס‪ ,‬אך לא מתכנס בהחלט‪ ,‬אז הוא נקרא מתכנס‬
‫אם הטור 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫בתנאי‪.‬‬
‫משפט רימן –‬
‫אם טור הוא טור מתכנס בתנאי‪ ,‬אז ניתן לסדר את איברי הסדרה בצורה שונה‬
‫כך שהטור יתכנס לערך אחר‪.‬‬
‫לכל מספר ממשי קיים סידור ייחודי של איברי הסדרה כך שהטור ייתכנס אליו‪.‬‬
‫טורים‬
‫סדרות וטורים של פונקציות‬
‫דוגמאות לטורים של סדרות פונקציות‪:‬‬
‫∞‬
‫𝑛 𝑥‬
‫)אוילר( 𝑥 𝑒 = )𝑥( 𝑛𝑓 ‪∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = (1 + ) → lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫‪0 0≤𝑥<1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‪1−‬‬
‫{ = )𝑥( 𝑛𝑓 ‪∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 → lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫= )𝑥( 𝑛𝑓 ‪∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 … + 𝑥 𝑛 , 0 ≤ 𝑥 < 1 → lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫התכנסות נקודתית –‬
‫∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ סדרה של פונקציות‪.‬‬
‫תהי ‪𝑛=1‬‬
‫נאמר שהסדרה )𝑥( 𝑛𝑓 מתכנסת נקודתית ל‪ ,𝑓(𝑥) -‬אם לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‬
‫מתקיים‪lim 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥) :‬‬
‫∞→𝑛‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪00≤𝑥 <1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫{ = 𝑛 𝑥 ‪𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנסת נקודתית ל‪-‬‬
‫הסדרה ‪𝑛=1‬‬
‫‪00≤𝑥 <1‬‬
‫{ = )𝑥(𝑓 = )𝑥( 𝑛𝑓 ‪lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫התכנסות במידה שווה –‬
‫∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנסת במידה שווה ל‪𝑓(𝑥) -‬על הקטע [‪]a,b‬‬
‫נאמר שהסדרה ‪𝑛=1‬‬
‫אם לכל ‪ 𝜀 > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n>N‬ולכל ]‪ 𝑥 ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬
‫𝜀 < |)𝑥(𝑓 ‪|𝑓𝑛 (𝑥) −‬‬
‫טורים‬
‫טורי חזקות‬
‫𝑛‬
‫∞∑‬
‫טור פונקציות נקרא טור חזקות סביב ‪ 𝑥0‬אם הוא מהצורה ) ‪𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0‬‬
‫אם הטור מתכנס ל‪ 𝑓(𝑥) -‬אז הוא נקרא טור חזקות‪/‬טיילור של )𝑥(𝑓‬
‫‪ ‬הטור של הנגזרות של הפונקציות מתכנס לנגזרת של הטור‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫)𝑥(𝑆 ∫ = )𝑥(𝑆 ∫ ‪lim 𝑆 ′ (𝑥) = 𝑆′(𝑥) ↔ lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫לכל טור חזקות קיים רדיוס התכנסות ‪ R‬שעבורו הטור מתכנס לכל ‪ x‬שמקיים‬
‫𝑅 < | ‪ ,|𝑥 − 𝑥0‬כלומר שהמרחק בין ‪ x‬לבין ‪ 𝑥0‬קטן מ‪.R-‬‬
‫כאשר המרחק שווה ל‪ ,R-‬יש לבדוק את ההתכנסות באמצעות מבחני‬
‫ההתכנסות‪.‬‬
‫כאשר המרחק גדול מ‪ R-‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫מציאת רדיוס התכנסות –‬
‫‪ .1‬אם הגבול |‬
‫𝑛𝑎‬
‫| ‪ lim‬קיים‪ ,‬אז רדיוס ההתכנסות של הטור הוא ערך‬
‫‪𝑛→∞ 𝑎𝑛+1‬‬
‫הגבול‪.‬‬
‫‪ .2‬אם הגבול | 𝑛𝑎|√ ‪ lim‬קיים‪ ,‬אז רדיוס ההתכנסות של הטור הוא‬
‫𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫| 𝑛𝑎|√ ‪lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪𝑅=1‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫‪𝑛2‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫| ‪lim‬‬
‫=‬
‫‪→1‬‬
‫=|‬
‫‪𝑛→∞ 𝑎𝑛+1‬‬
‫‪(𝑛 + 1)2 𝑛2 + 2𝑛 + 1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪2‬‬
‫𝑥 𝑛∑‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫𝑛 ‪2‬‬
‫∞∑ ‪lim‬‬
‫עבור ‪𝑛=1 𝑛 1 = ∞ :𝑥 = 1‬‬
‫∞→𝑛‬
‫‪2‬‬
‫𝑛‬
‫∞∑ ‪ lim‬לא מתקיים תנאי הכרחי‪ ,‬לכן לא מתכנס‪.‬‬
‫עבור ‪𝑛=1 𝑛 (−1) :𝑥 = −1‬‬
‫∞→𝑛‬
‫𝑛‪𝑥 2‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫∞∑‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫‪ X -‬לא בחזקת ‪ ,n‬לכן לא נוכל להשתמש מיידית בטענה‪ .‬נסמן ‪𝑡 = 𝑥 2‬‬
‫‪(𝑛 + 1)2‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫| ‪lim‬‬
‫‪=1‬‬
‫=|‬
‫‪𝑛→∞ 𝑎𝑛+1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑡‬
‫‪∑ 2‬‬
‫𝑛‬
‫עבור ‪ t‬רדיוס ההתכנסות הוא ‪ ,R=1‬לכן עבור ‪ |𝑥 2 | < 1‬הטור מתכנס עבור‬
‫‪|𝑥| < 1‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫טורים‬
‫התכנסות במידה שווה (מבחן ‪ M‬של ויינשטראס) –‬
‫∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ סדרה של פונקציות שמוגדרות על תחום ‪.D‬‬
‫תהי ‪𝑛=1‬‬
‫נניח שלכל 𝑁𝜖𝑛 קיים טור מתכנס ‪ 𝑀𝑛 > 0‬כך ש‪ |𝑓𝑛 (𝑥)| ≤ 𝑀𝑛 -‬לכל 𝐷𝜖𝑥‪ ,‬אז‬
‫∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנס במידה שווה‪.‬‬
‫הטור ‪𝑛=1‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫)𝑥(‪sin‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫מכיוון ש‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫≤ |)𝑥( 𝑛𝑓| והטור‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫= )𝑥( 𝑛𝑓‬
‫∞∑ מתכנס‪ ,‬אז הטור‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫במידה שווה לפונקציה רציפה כלשהי‪.‬‬
‫)𝑥(‪sin‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫∞∑ מתכנס‬
‫‪𝑛=1‬‬