אינפי 1תש“פ 2020־2019
מבוא
לקורס ''חשבון אינפיניטסמלי'' יש שתי מטרות עיקריות .האחת היא היכרות עם המספרים הממשיים .השנייה היא היכרות עם השפה
המתמטית.
העיסוק במתמטיקה דומה קצת למשחק גילוי עולמות .במסגרת המשחק הזה אנחנו מוצאים את עצמנו בעולמות שונים ובכל עולם יש
אוסף של חוקים בסיסיים שעל פיו העולם מתנהל .התפקיד שלנו )המתמטיקאים( הוא לנסות להבין מה אפשרי בעולם הזה ומה בלתי
אפשרי .כל מה שמותר לנו להשתמש בו זה החוקים הבסיסיים בעולם הזה וכללי ההיסק של הלוגיקה.
העולם שתפגשו בקורס הזה הוא עולם המספרים הממשיים ובמהלך השבועות הקרובים נעסוק בניסוח והבנת החוקים הבסיסיים שעל
פיהם העולם הזה מתנהל .בהמשך הקורס נעסוק בחקר העולם הזה .פגשתם כבר את המספרים הממשיים בתיכון כאמצעי לאיתור
נקודה על קו ישר בעזרת מרחקה מנקודה קבועה )ציור!( או כ“פיתוחים עשרוניים אינסופיים“ )כגון .( 1.24999...התיאורים הללו לא
מדויקים ונשענים על אינטואיציה )גיאומטרית או אחרת( .כאן אנו רוצים לתאר את העולם הזה באופן מדויק.
רעיון בסיסי שילווה אותנו בקורס הוא הרעיון של הפשטה .הפשטה היא כלי שעוזר לנו לזהות מתי שני אנשים שונים מדברים על
אותו עצם )למשל ,על אותו עולם( בשפות שונות .זה כלי חזק מאד ,אבל גם לא תמיד פשוט להבנה .ישנם מושגים מופשטים שאתם
מכירים מילדות ומרגישים איתם בנוח )מיד נראה דוגמה( ,אבל ישנם מושגים מופשטים שתכירו בקורס הזה לראשונה .יתרה מזאת,
אחד האתגרים בלימוד מתמטיקה באוניברסיטה הוא ההתמודדות עם רמת ההפשטה הנדרשת .אנחנו ננסה לעזור בעזרת דוגמאות
והסברים ,אבל בסופו של דבר חייבים להבין שלימוד מתמטיקה הוא לימוד של שפה ושל צורת חשיבה והוא דורש זמן ואימון.
המסקנה העיקרית עבורכם כסטודנטים בקורס היא שאתם צריכים לתת לעצמכם את הזמן הזה :הקדישו זמן אחרי כל שיעור לעבור
על המושגים שנלמדו ,המשפטים שהוכחו והדוגמאות שראיתם .שאלו את עצמכם שאלות ואפשרו לעצמכם להתמודד עם התרגילים
לבד לפני שתיעזרו בחברים\מתרגלים\מרצים .התרגול הוא חלק אינטגרלי מהקורס ,כפי שהוא בלימוד של כל שפה .לא ניתן להצליח
בבחינה בלי לתרגל באופן שוטף לאורך הסמסטר .גם לא ניתן להשלים את החומר של הקורס בשבועיים האחרונים לפני הבחינה
באופן שיאפשר לכם לעבור אותה.
לוגיקה ותורת הקבוצות
הקורס שלנו הוא לא קורס בלוגיקה .אנחנו מסתמכים על כך שאת כללי ההיסק הבסיסיים אתם מכירים באופן אינטואיטיבי
ושתלמדו להשתמש בהם דרך הדוגמאות שתראו בקורס הזה .הנושא יטופל בצורה קצת יותר מפורטת בקורס מתמטיקה דיסקרטית.
הסטודנטים יקראו את חומר העזר בנושא לוגיקה שהועלה לאתר.
חלק מאוצר המילים הבסיסי של השפה המתמטית הוא תורת הקבוצות .השפה של תורת הקבוצות מספקת למתמטיקאים אוצר מילים
אוניברסלי ,מדויק ,גמיש ויעיל .גם בקורס הזה אנו ניעזר בשפה זו ובסימוניה.
הסימונים של תורת הקבוצות יוצגו בחומר עזר שהועלה לאתר ובקורס מתמטיקה דיסקרטית .לתרגיל בית 1נספחת גם מטלה
ממוחשבת באתר הקורס המתרגלת את הסימונים.
במידה ואינכם מבינים סימון במהלך ההרצאה ־ אנא פנו אלי.
המספרים הטבעיים
מערכת מספרים שאתם מכירים עוד מילדות היא מערכת המספרים הטבעיים ,אותה אנו מסמנים ב־
}N = {1, 2, 3, . . .
∈ .( 0במובן מסוים ,זו קבוצת המספרים הפשוטה ביותר .עם המספרים
)שימו לב שלפי המוסכמה שלנו 0 ,איננו מספר טבעי / N :
הללו מונים .שימו לב שכבר המושג ''מספר'' הוא רעיון מופשט .בעבר הרחוק ,לפני שהומצאו המספרים ,רועה צאן שרצה לוודא שכל
העדר שלו חזר מהמרעה נעזר בסימונים על מקלות )פס לכל כבשה שיצאה מהדיר ,שעליו ניתן היה לעבור עם היד עם כל כבשה
שחזרה( או באבנים )שהועברו מצד אחד של הגדר לשני עם הכבשים שיצאו ,וחזרה עם הכבשים שחזרו( ,או בקשרים על חבל .בשלב
כלשהו נעשה ברור שיש רעיון מאחד שעומד מאחורי כל השיטות הללו .הרעיון הוא רעיון של התאמה )בין קבוצת כבשים לקבוצת
פסים על מקלות ,או לקבוצת אבנים ,או לקבוצת קשרים( ושניתן לתת שם לכל העצמים שמתאימים זה לזה תחת ההתאמה הזו .זה
מקור המושג ''מספר'' .למשל :כבשה אחת מתאימה לפס אחד שמתאים לאבן אחת שמתאימה לקשר אחד שמתאים לאצבע אחת .מה
שמשותף לכל הקבוצות הללו הוא הגודל שלהן :אחד .וכן הלאה עם 4 ,3 ,2וכו' .יתרה מזאת ,גם הסימונים והמילים שאנו משתמשים
בהם כדי לתאר את המספרים הם לא חלק מהמהות שלהם )אפשר למנות גם בסינית ובערבית (.
אתם יודעים שעל קבוצת המספרים הטבעיים מוגדרת פעולה שאנו קוראים לה ''חיבור'' )אבל אולי קוראים לה בשם אחר בסין(
ומסמנים אותה ב־ ) +אבל אולי מסמנים אותה אחרת בערב הסעודית( .זו פעולה שמתאימה לכל שני איברים x, y ∈ Nמספר טבעי
חדש . x + yהמשמעות הקונקרטית של הפעולה היא שאם יש לנו שקית עם xתפוחים ושקית עם yתפוחים ואנו מאחדים את שתי
השקיות לשקית גדולה אחת ,אז בשקית הגדולה יהיו x + yתפוחים.
1
להלן הפשטה של התהליך הזה:
הגדרה
תהי Sקבוצה נתונה .פעולה )בינרית( ב־ Sהיא `מכונה` )למעשה פונקציה( שמתאימה לכל זוג
סדור ) (x, yשל איברים מ־ Sאיבר ב־ Sהנקבע לחלוטין על ידי הזוג הסדור ). (x, y
סימון
אחרי שקובעים שם לפעולה ,למשל ? ,מסמנים את האיבר הספציפי של Sשמותאם
לזוג הסדור ) (x, yעל ידי הפעולה ? ב־ . x ? y
הערה :דרך שקולה להגיד ש־ x ? yנקבע לחלוטין על ידי ) (x, yהיא :אם x = x0ו־ y = y 0אזי . x ? y = x0 ? y 0
מה התכונות של פעולת החיבור ב־ ? N
• פעולת החיבור היא חילופית ) בלע“ז קומוטטיבית( ,שזה אומר שלכל x, y ∈ Nמתקיים . x + y = y + x
. ∀x, y ∈ S
באופן כללי ,פעולה ? ב־ Sתיקרא חילופית אם“ם מתקיים x ? y = y ? x
• פעולת החיבור מקיימת את חוק הקיבוץ )בלע“ז אסוציאטיבית( ,כלומר לכל x, y, z ∈ Nמתקיים
)(x + y) + z = x + (y + z
האסוציאטיביות מאפשרת לנו לכתוב ביטויים כמו 2 + 3 + 4בלי להסביר למה אנחנו מתכוונים.
באופן כללי ,פעולה ? ב־ Sתיקרא אסוציאטיבית אם“ם מתקיים )(x ? y) ? z = x ? (y ? z
. ∀x, y, z ∈ S
שוב ,את שני החוקים האלה אתם מכירים מאז שאתם ילדים ואתם מבינים ''למה'' הם נכונים באופן אינטואיטיבי.
כלומר ,אתם מבינים למה הם נכונים כשחושבים על המשמעות של פעולת החיבור ”כאיחוד של שקיות“.
בעזרת פעולת החיבור אנו יכולים לחקור את מבנה הטבעיים.
דוגמה :תהי } S = {a, bעם . a 6= bנגדיר פעולה ? על Sבאופן הבא:
b?b=b
,
b?a=b
,
a?b=a
b
a
b
אפשר לכתוב זאת בצורה קומפקטית באמצעות טבלה :
במקרה הספציפי הזה יש דרך נוספת להגדיר את ? x ? y = x :
a
a
b
,
a?a=a
?
) . aשימו לב למוסכמה בכיוון הקריאה(
b
. ∀x, y ∈ S
בדקו ש־ ? הינה פעולה אסוציאטיבית אך לא קומוטטיבית .
עוד פעולה שאתם מכירים על הטבעיים היא כפל ,אותה נסמן ב־ · .
במקרה של הטבעיים אפשר להגדיר את הכפל באמצעות החיבור אבל לא נטרח לעשות זאת כאן כי זה לא מענייננו.
הכפל גם הוא קומוטטיבי )זה קצת פחות קל לנמק דרך הפרשנות הקונקרטית של הטבעיים ,אבל עדיין אפשרי דרך התבוננות בטורים
ושורות של עצמים המסודרים במלבן( ואסוציאטיבי ,כלומר:
• לכל x, y ∈ Nמתקיים
• לכל x, y, z ∈ N
. x·y =y·x
). (x · y) · z = x · (y · z
האסוציאטיביות והקומוטטיביות הן תכונות משותפות לחיבור ולכפל .אבל יש גם הבדלים בין שתי הפעולות הללו .
• פעולת הכפל ”לא מרגישה“ את המספר הטבעי : 1לכל x ∈ Nמתקיים
. x·1=1·x=x
אומרים ש־ 1אדיש לכפל.
באופן כללי ,בהינתן פעולה ? על קבוצה , Sאומרים שאיבר eב־ Sהוא אדיש לפעולה ? אם“ם מתקיים
x?e=e?x=x
שימו לב שאין מספר טבעי אדיש לפעולת החיבור על . N
2
. ∀x ∈ S
• יש חוק שקושר בצורה לא סימטרית בין כפל לחיבור בטבעיים .זהו חוק הפילוג )דיסטריבוטיביות( ,האומר
שלכל x, y, z ∈ Nמתקיים ). x · (y + z) = (x · y) + (x · z
הגירסה הסימטרית בה החיבור והכפל מחליפים תפקידים לא נכונה x + (y · z) :בד“כ לא שווה ל־ ). (x + y) · (x + z
יש עוד מבנה שאתם מכירים על הטבעיים .מוגדר עליהם יחס של סדר < .כלומר ,ניתן להשוות כל שני טבעיים ולבדוק אם אחד
גדול מהשני.
הגדרה :בהינתן , m, n ∈ Nנאמר ש־ m < nאם“ם יש j ∈ Nכך ש־ . m + j = n
מהן התכונות של היחס הזה?
• ראשית ,לכל n, m ∈ Nאו שמתקיים n < mאו שמתקיים m < nאו שמתקיים , n = mורק אחת מהאפשרויות האלה
מתקיימת .לעובדה הפשוטה הזו אנו קוראים טריכוטומיה )= חלוקה ל־.( 3
• אם k < mוגם m < nאז ) k < nטרנזיטיביות(.
יחס הסדר הזה ”חי בהרמוניה“ עם פעולות החיבור והכפל :הוא נשמר תחת חיבור וגם תחת כפל.
• אם m < nו־ j ∈ Nאז ) . j + m < j + nתאימות עם החיבור(
• אם m < nו־ j ∈ Nאז ) . jm < jnתאימות עם הכפל(
סימון :נסמן m 6 nכדי לציין ש־ m < nאו ש־ n) . m = nקטן או שווה ל־ (m
מושג חשוב במיוחד בעולם הטבעיים הוא המושג של מספר עוקב.
הגדרה :יהיו . n, m ∈ Nנאמר ש־ nעוקב של mאם ורק אם . n = m + 1
מהגדרת החיבור נקבל שלכל מספר טבעי יש עוקב .שימו לב שמהגדרת יחס הסדר נובע מיד שלכל . m < m + 1 , m ∈ N
בנוסף ידוע לכם שכל מספר טבעי שונה מ־ 1הוא עוקב של מספר טבעי אחר .בהינתן , 1 6= n ∈ Nנסמן ב־ n − 1את המספר
הטבעי ש־ nהוא העוקב שלו.
מכל העובדות האלה )לגבי הפעולות ויחס הסדר( אפשר להסיק הרבה דברים שאתם יודעים על הטבעיים .אבל יש עוד עובדה אחת,
קטנה ותמימה למראה ,שמאפשרת באמת לקבל את כל העושר של העובדות על הטבעיים שאתם מכירים )ועוד הרבה יותר( :בכל
קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים יש איבר מינימלי .ננסח זאת באופן מדויק :
עקרון הסדר הטוב :אם A ⊆ Nלא ריקה ,אז קיים x ∈ Aכך שלכל y ∈ Aמתקיים . x 6 y
דוגמה :נסתכל על סכומם של nהמספרים הטבעיים האי זוגיים הראשונים:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
האם אתם מזהים כאן חוקיות? נשים לב ש־
1 = 12
4 = 22
9 = 32
16 = 42
25 = 52
3
השערה :
, 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2כאשר nמסמן את מספר המחוברים באגף שמאל.
ואכן
טענה :לכל n ∈ Nמתקיים
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
)∗( .
הוכחה :
נוכיח את המשפט בשלילה .כלומר ,נניח שהמשפט לא נכון ונראה שנקבל מסקנה בלתי אפשרית .מכאן נובע שהמשפט חייב להיות
נכון.
אם כך ,נניח שהמשפט לא נכון .כלומר קיים n ∈ Nכך ש־ . 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) 6= n2
דרך אחרת לומר זאת היא שהקבוצה A = n ∈ N | 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) 6= n2לא ריקה.
מכאן שיש ל־ Aאיבר מינימלי .נקרא לו . n0נשים לב ש־ n0 6= 1כי הנוסחה )∗( נכונה עבור . n = 1לכן n0הוא עוקב של מספר
טבעי כלשהו .נקרא לו ) mכלומר .(m + 1 = n0
∈ . mכלומר
היות ש־ n0הוא האיבר המינימלי של Aומכך ש־ , m < m + 1 = n0נקבל ש־ / A
1 + 3 + 5 + . . . + (2m − 1) = m2
נוסיף לכל אגף 2m + 1ונקבל :
1 + 3 + 5 + . . . + (2m − 1) + (2m + 1) = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2 = n20
)∗∗(
אבל כעת נשים לב ש־ , 2m + 1 = (2m − 1) + 2כלומר אין מספר אי־זוגי נוסף בין 2m − 1ל־ . 2m + 1
בנוסף מתקיים , 2m + 1 = 2(m + 1) − 1 = 2n0 − 1ולכן
)1 + 3 + 5 + . . . + (2m − 1) + (2m + 1) = 1 + 3 + . . . + (2n0 − 1
מכאן נובע ש־ )∗∗( שקול ל־
n20
= )1 + 3 + . . . + (2n0 − 1
זאת אומרת ש־ )∗( נכונה עבור , n = n0בסתירה למה שהנחנו .לכן ההנחה שלנו לא נכונה והמשפט נכון .מש“ל.
הנה העקרון המתמטי העומד מאחורי שיטת ההוכחה הזו:
משפט )עקרון האינדוקציה( :תהי B ⊆ Nקבוצה המקיימת את שני התנאים הבאים:
). 1 ∈ B (1
) (2לכל , n ∈ Nאם n ∈ Bאז . (n + 1) ∈ B
אזי . B = N
הוכחה :
תהי B ⊆ Nשמקיימת את שני התנאים ) (1ו־ ) . (2נניח בדרך השלילה ש־. B 6= N
נסמן ב־ A = N r Bאת הקבוצה של כל הטבעיים שאינם ב־ . B
להגיד ש־ B 6= Nשקול לכך ש־ , ∅ 6= A = N r Bולכן נובע מעקרון הסדר הטוב שיש איבר מינימלי ב־ . A
∈ , 1ולכן . n0 6= 1מכאן נובע שיש m ∈ Nכך ש־ . m + 1 = n0
נקרא לו . n0תכונה ) ( 1של Bשקולה ל־ / A
∈ , mולכן . m ∈ B
מהמינימליות של n0ומכך ש־ m < m + 1 = n0נקבל ש־ / A
אבל אז נובע מתכונה ) (2של Bש־ , m + 1 = n0 ∈ Bבסתירה לכך ש־ . n0 ∈ A = N r B
ההנחה B 6= Nהובילה לסתירה ,ולכן , B = Nכנדרש.
הרחבת המספרים
כאשר אנו משתמשים ביום יום במספרים הטבעיים ,אנחנו מגלים בשלב מוקדם שהם לא מספיקים לכל צרכינו .למשל ,אחרי שקבענו
יחידות מדידה ,אנחנו מגלים שלרוב לא ניתן להביע בעזרת מספרים טבעיים את התוצאה של שקילה או של מדידת אורך )כי היא
”לא יוצאת עגולה“( .לכן ,אם אנחנו רוצים להביע בעזרת סמלים גם את התוצאה של מדידות כאלה ,אנו זקוקים לסמלים חדשים
המתווספים ל־ 1, 2, 3, . . .ושונים מהם .במילים אחרות אנחנו צריכים להרחיב את מערכת המספרים שלנו.
4
המספרים השלמים
היסטורית ,הצורך לחלק את השלם ליחידות קטנות יותר גרם לכך שהשברים החיוביים הוספו למערכת המספרים לפני שהוסף אפס
וודאי שלפני שהומצאו המספרים השליליים .אבל מטעמי פשטות ויעילות ,אנחנו נסטה כעת מההתפתחות הכרונולוגית.
ההמצאה של המושג ”אפס“ הייתה תוצאת לוואי של המעבר לשיטות סימון יותר יעילות של המספרים הטבעיים ,המכונות ”סימון
מיקומי“ ) .( positional notationבהתחלה אפס רק סימן את היעדרותה של סיפרה במיקום מסוים ,אך מאוחר יותר )בהודו במאה
החמישית לספירה( ,אפס הפך למספר ככל המספרים שאפשר לעשות אתו גם חישובים.
המשמעות הקונקרטית של אפס כ־“היעדר“” ,אין“ או ”כלום“ מתורגמת לתכונה הבאה שלו ביחס לפעולות החיבור :
לכל x ∈ Nמתקיים
. x+0=0+x=x
כלומר 0הינו אדיש לחיבור .בכך תפקידו עבור החיבור סימטרי לתפקידו של 1עבור הכפל.
איך 0מתנהג ביחס לפעולת הכפל? אנו יודעים מהיסודי ש־“אפס כפול משהו שווה אפס“ ,אבל מדוע זה ככה? התשובה לכך היא
שאם אנחנו רוצים שתכונת הדיסטריבוטיביות )דהיינו פתיחת סוגריים( של פעולות החיבור והכפל ב־ Nתתקיים גם ב־ } , N ∪ {0אז
אין לנו שום ברירה.
כי לכל x ∈ Nמתקיים :
. x = 1 · x = (1 + 0) · x = 1 · x + 0 · x = x + 0 · xלכן 0 · xאיבר אדיש לחיבור ,כלומר . 0 · x = 0
כל מסחר בסיסי דורש רישום של חובות ,וניהול הרישומים הללו .התרגום המופשט של המצב הקונקרטי הזה הוא מספרים שליליים.
לכל , n ∈ Nאנו מוסיפים ל־ Nאת הסמל )) (−nהמייצג חוב של nיחידות( .המשמעות הקונקרטית של סילוק חוב על ידי תשלום
מתורגמת לתכונה הבאה של הסמל ) (−nביחס לפעולת החיבור :
לכל n ∈ Nמתקיים
(−n) . n + (−n) = 0נקרא הנגדי של . n
אחרי שהוספנו ל־ Nאת אפס ואת המספרים השליליים ,קיבלנו את קבוצת המספרים השלמים שמסומנת =Zahlen ) Zמספרים
בגרמנית(:
}Z = N ∪ {0} ∪ {−n | n ∈ N
כבר מביה“ס היסודי אתם יודעים גם איך לחבר ולכפול מספרים שלמים .בעזרת נימוק דומה לזה שנתנו לעיל עבור , 0 · x = 0אפשר
להראות שכלל כגון (−m) · (−n) = m · nאיננו החלטה שרירותית ,אלא תוצאה הכרחית של הרצון שלנו לשמר את הקומוטטיביות,
האסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות גם ב־ . Z
גם ניתן להגדיר יחס סדר על Zבדיוק באותו אופן שהוא הוגדר על : N
הגדרה :יהיו . m, n ∈ Zנאמר ש־ m < nאם קיים j ∈ Nכך ש־ . m + j = n
נקבל מכך ,ש־
· · · < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < . . .
ב־ Zיחס הסדר אמנם נשמר תחת חיבור בשלם שרירותי ,אבל הוא לא נשמר תחת כפל בשלם שרירותי ,אלא רק תחת כפל באיבר
מ־ . N
שימו לב שכמו ב־ Nלכל איבר ב־ Zיש עוקב ,אבל כעת כל איבר ב־ Zהוא גם העוקב של איבר אחר ב־ ) Zשלא כמו ב־ .(N
אבחנה חשובה מאד היא שעקרון הסדר הטוב איננו נכון עבור . Zישנן קבוצות לא ריקות ב־ Zללא איבר מינימלי )למשל .(Z
הגדרה :קבוצה A ⊆ Zתקרא חסומה מלרע\מלמטה אם יש m ∈ Zכך שלכל x ∈ Aמתקיים . m 6 x
mכזה ייקרא חסם מלרע\מלמטה .באופן דומה נגדיר קבוצה חסומה מלעיל\מלמעלה וחסם מלעיל\מלמעלה.
משפט :תהי A ⊆ Zקבוצה לא ריקה וחסומה מלרע .אזי ל־ Aיש איבר מינימלי.
ההוכחה תינתן בתרגול.
המספרים הרציונליים
בעזרת המספרים השלמים אפשר כאמור לנהל מסחר בסיסי ,אבל הוא חייב להתבצע ביחידות שלמות .אבל בפועל יש צורך לחלק
את השלם ליחידות קטנות יותר.
זאת אומרת שבהינתן מספר שלם mומספר טבעי , nאנו מחלקים את mל־ nחלקים שווים על ידי הוספת סמל
m
m
m
+ ... +
·=n
= m
}n
n
|n
{z
nמחוברים
שימו לב שאם n = 1אז = m
m
1
.
5
m
n
המקיים :
בנוסף ,נשים לב שאם , a = bאז לכל k ∈ Nמתקיים
. ka = a + . . . + a = b + . . . + b = kb
} | {z } | {z
kמחוברים
kמחוברים
)אפשר להבין את זה מכך שאם המאזניים מאוזנים עם aמטבעות בצד אחד ו־ bעגבניות בצד השני ,אז הם יישארו מאוזנים גם אם
ניקח את כל אחד מהצדדים kפעמים(.
km
m
m
km
m
m
ו־
,כי
=
· , knומכאן
· nנובע = km
בפרט זה אומר שמ־ = m
kn
n
n
kn
n
n
שניהם פתרון של . kn · x = km
)זה מתבסס על כך שלמשוואה a · x = bעם a ∈ Nו־ b ∈ Zיש פתרון יחיד .נדרשת הוכחה ,אבל לא נפרט כאן(
מסקנה :אין לאף איבר במערכת המספרים המורחבת שלנו כתיבה יחידה.
mנקרא שבר עם מונה mומכנה . nהשברים החיוביים הופיעו תחילה בבבל ובמצריים העתיקה ,ומשם הם התפתחו בצורה איטית
n
והדרגתית עד שהם קיבלו מקום מרכזי במתמטיקה של יוון העתיקה.
Q= m
נסמן :
n | m∈Z, n∈N
Qנקראת קבוצת המספרים הרציונליים) .
m2
m1
שווים אם ורק אם . m2 n1 = n2 m1
ו־
הערה :שני מספרים רציונליים
n2
n1
mנובע ש־ , Z ⊆ Qכלומר שוב הרחבנו את מערכת המספרים שלנו.
מ־ 1 = m
ratio
= מנה =
quotient
(
האם ניתן להרחיב את פעולות החיבור והכפל מ־ Zל־ ? Q
m1 m2
m2
m1
· n1 n2ולכן
·
· n2איבר איבר נקבל = m1 m2
· n1ו־ = m2
אם נכפול את שתי המשוואוח = m1
n1 n2
n2
n1
m1 m2
m1 m2
·
=
n1 n2
n1 n2
m2
m1
· n2ב־ n1ונחבר איבר איבר ,נקבל
· n1ב־ n2ואת המשוואה = m2
מצד שני ,אם נכפול את המשוואה = m1
n2
n1
m1
m2
m1 n2 + m2 n1
m1
m2
.
+
=
· n1 n2ולכן
+
= m1 n2 + m2 n1
n1
n2
n1 n2
n1
n2
⇒⇐
בנוסף ,ניתן להגדיר יחס סדר < על Qעל ידי m1 n2 < m2 n1 :
m2
m1
<
n1
n2
) ( m1 , m2 ∈ Z , n1 , n2 ∈ N
הגדרה :נאמר ש־ x ∈ Qחיובי אם 0 < xושלילי אם . x < 0נסמן } Q− = { x ∈ Q | x < 0
תרגיל :
m
n
= ∃ m, n ∈ N | x
⇒⇐
. Q+ = { x ∈ Q | 0 < x } ,
. x ∈ Q+
מתקיימות התכונות הבאות :
O1־ טריכוטומיה :לכל x, y ∈ Qמתקיימת בדיוק אחת האפשרויות
O2־ טרנזיטיביות :לכל x, y, z ∈ Qמתקיים x < z
x<y
). (x < y) ∧ (y < z
⇒=
O3־ תאימות עם החיבור :לכל x, y, z ∈ Qמתקיים x + z < y + z
⇒=
O4־ תאימות עם כפל בחיובי :לכל x, y, z ∈ Qמתקיים x · z < y · z
O5־ כפל בשלילי :לכל x, y, z ∈ Qמתקיים y · z < x · z
O6־ נגדי והפכי :לכל x, y ∈ Qמתקיים
−y < −x
1
<0
x
1
<0
x
או
x=y
או
.y<x
⇒=
⇒=
). (x < y) ∧ (0 < z
). (x < y) ∧ (z < 0
⇒=
x<y
⇒=
0<x
⇒=
x<0
O7־ העלאה בריבוע :לכל x ∈ Qמסמנים , x2 = x · xואז מתקיים
.x<y
0 < x2
⇒⇐
. x 6= 0
O8־ חיבור אי־שוויונים אגף אגף :אם x, y, z, w ∈ Qואם x < yו־ z < wאז . x + z < y + w
O9־ מכפלה אגף אגף של אי־שוויונים עם איברים חיוביים :אם x, y, z, w ∈ Qואם 0 < x < yו־ 0 < z < wאז . xz < yw
6
סימונים והגדרות נוספים
• נרשום a < b < cכדי לציין ) . (a < b) ∧ (b < cמטרנזיטיביותa < c ,
⇒=
.a<b<c
• נרשום b > aבמקום ) a < bכך הגדרנו יחס חדש > בעזרת היחס הנתון <(.
• עבור x, y ∈ Qנסמן x 6 yאם x < yאו . x = y
• בהינתן ∅ 6= A ⊆ Qנאמר ש־ a0 ∈ Aהוא מינימום של Aאם a0 6 aעבור כל . a ∈ A
המערכות Nו־ Zהן מערכות שיש בהן רווחים גדולים בין האיברים :לכל שני מספרים שלמים mו־ nכך ש־ m < nמתקיים
, n > m + 1כלומר בין mל־ nיש `רווח` של לפחות . 1
לעומת זאת ב־ Qהמצב מאוד שונה:
משפט
לכל שני מספרים רציונליים xו־ yכך ש־ , x < yיש מספר רציונלי qביניהם ,כלומר קיים q ∈ Qכך ש־ . x < q < y
הוכחה
נחבר את xלשני האגפים של אי־השוויון x < yונקבל , x + x < y + x :כלומר 2x < x + y
)∗( .
נחבר את yלשני האגפים של אי־השוויון x < yונקבל , x + y < y + y :כלומר . (∗∗) x + y < 2y
מ־ )∗( (∗∗) ,וטרנזיטיביות נובע כעת ש־ 2x < x + y < 2y
כפל של כל אגפי ) ∗ ∗ ∗ ( במספר החיובי = 2−1
1
2
)∗ ∗ ∗( .
נותן < 12 (x + y) < 12 (2y) :
1
)2 (2x
,ז`א
. x < 21 (x + y) < y
לכן ) q = 21 (x + yמקיים את הדרוש ,כי . q ∈ Q
כלומר אין `רווחים ארוכים` ב־ : Qבין כל שני איברים ב־ Qיש איברים נוספים.
לאור התכונה הזו של , Qהמתמטיקאים היוונים גרסו שהמספרים הרציונליים ”ממלאים“ את כל הישר :ניתן להביע כל מדידה
באמצעות מספר רציונלי .לא יהיה צורך בהרחבה נוספת של מערכת המספרים הזו.
למה :יהי . n ∈ Zאם nמתחלק ב־ 2אז n2מתחלק ב־ , 4ואם nלא מתחלק ב־ 2אז גם n2לא מתחלק ב־ . 2
הוכחת הלמה :תרגיל
7
משפט :למשוואה x2 − 2 = 0אין פתרון ב־ . Q
הוכחה :
נניח בשלילה שיש מספר רציונלי xכך ש־ . x = 2
2
m
היות ש־ xרציונלי ,הרי שיש מספר שלם mומספר טבעי nכך ש־
n
=.x
נשים לב שעל ידי צמצום גורמים משותפים ,ניתן להניח ש־ mו־ nזרים )כלומר שהמספר היחיד שמחלק את שניהם הוא .(1בפרט
לכל היותר אחד מהם זוגי .כעת נרשום
m2
n2
= 2 = x2
כלומר . 2n2 = m2
מכאן נובע ש־ m2מתחלק ב־ . 2לפי הלמה mגם הוא מתחלק ב־ 2ולכן m2למעשה מתחלק ב־ . 4אבל אז מיד נקבל שגם n2
מתחלק ב־ 2ולכן ,שוב מהלמה n ,גם הוא מתחלק ב־ . 2זו סתירה לכך ש־ mו־ nזרים .לכן אין מספר רציונלי שריבועו הוא . 2
ממשפט פיתגורס נובע שאורכו xשל האלכסון של ריבוע עם צלע 1מקיים . x2 = 12 + 12 = 2לכן נובע מהמשפט האחרון שלא
ניתן למדוד גם את הצלע וגם את האלכסון של אותו ריבוע באמצעות המספרים הרציונליים!
כאשר נתקלנו ב־“חוסר“ במספרים כשהתבוננו במערכת המספרים הטבעיים ,פשוט הוספנו מספרים .הוספנו את 0ואת הנגדיים
וקיבלנו√את המספרים השלמים .לאחר מכן הוספנו את השברים כדי לקבל את הרציונליים .כעת חסר לנו במספרים הרציונליים סמל
כגון , 2המסמל פתרון של המשוואה , x2 = 2ויש שוב צורך להרחיב את מערכת המספרים הקיימת ־ במקרה דנן . Qניתן היה
”השורש הריבועי של “2ולקוות שבזאת הסתיימו צרותינו .הבעיה היא
להחליט במקרה הזה להוסיף באופן מלאכותי איבר שנקרא לו √
√
ש־ 2איננו הסמל היחיד שחסר .ואחרי שמוסיפים ל־ Qאת , 2אפשר להראות שעדיין חסר למשל פתרון למשוואה , x2 = 3
כלומר לא ניתן למדוד את האלכסון הראשי של קוביה שצלעה . 1
אז אלו מספרים יש להוסיף? זו שאלה חשובה ,ולא כל כך קל לענות עליה .שימו לב שבשתי ההרחבות הקודמות )מ־ Nל־ Zומ־ Z
ל־ ( Qהיה לנו כל פעם רעיון מנחה .מ־ Nל־ Zהיה זה רעיון של חוב וקיזוזו ,כלומר הוספת פתרון למשוואה x + n = 0כש־ n
טבעי .מ־ Zל־ Qהיה זה רעיון של עידון המדידה על ידי חלוקת השלם לתת יחידות שוות ,כלומר הוספת פתרון למשוואה nx = m
כש־ nטבעי ו־ mשלם.
מהו הרעיון המנחה בהרחבה של ? Qכדי להבין זאת בצורה ציורית ולא מדויקת ,נסביר איך אפשר להסתכל על אי־הקיום של פתרון
רציונלי למשוואה x2 = 2כעל `חור` ב־ . Q
14
10
נבחין כי ישנם מספרים רציונליים חיוביים רבים שריבועם קטן מ־ . 2למשל
ומאידך יש מספרים רציונליים רבים שריבועם גדול מ־ , 2למשל
3
2
)כי > 2
9
4
=
)כי = 1.96 < 2
32
2
14 2
10
(.
(.
לכן ,שתי הקבוצות המוגדרות להלן הן קבוצות לא ריקות של מספרים רציונליים חיוביים:
} L = { ` ∈ Q+ | `2 < 2
} U = { u ∈ Q+ | 2 < u2
טענה :לכל u ∈ Uולכל ` ∈ Lמתקיים . ` < u
הוכחה
יהיו ` ∈ Lו־ . u ∈ Uאזי בפרט ` < 0ו־ . 0 < uאילו היה מתקיים ` > uאז היה מתקיים
2 > `2 > ` · u > u2 > 2
וזו כמובן סתירה )האי שוויונים הקיצוניים נובעים מכם ש־ u ∈ Uו־ ` ∈ Lומההגדרה של קבוצות אלה(.
לכן אם נצייר את הקבוצות L, Uבציר מספרים אופקי מכוון ימינה ,הקבוצה Lתהיה `כולה משמאל` ל־ . U
מ־“תחושת הרצף“ שיש לנו לגבי הנקודות על הישר היה אפשר לצפות שקיימת לפחות נקודה אחת בה מתבצע ה־“מעבר“ ביניהן,
כלומר שקיים מספר cכך ש־ ` 6 cלכל , ` ∈ Lוגם c 6 uלכל ) u ∈ Uהקבוצה Lתהיה `כולה משמאל` ל־ cוהקבוצה Uתהיה
`כולה מימין` ל־ .( c
טענה :לא קיים c ∈ Qכך ש־ ` 6 cלכל , ` ∈ Lוגם c 6 uלכל . u ∈ U
הוכחה :
נניח בשלילה שקיים c ∈ Qכזה .בפרט < 2
3
2
6c6
14
10
< , 1כי ∈ L
c ∈ Qולכן . c2 6= 2לכן נובע מטריכוטומיה ש־ c2 < 2או . 2 < c2
8
14
10
ו־ ∈ U
3
2
.
• אם
c2 < 2
אז נסמן ∈ Q
2−c2
2c+1
= . εמתקיים
)כי 0 < 2 − c2 < 1ו־ .( 1 < 2c + 1
0<ε<1
בנוסף מתקיים :
2 − c2
=2
2c + 1
)c2 + 2c · ε + ε = c2 + (2c + 1) ε = c2 + (2c + 1
(c + ε)2 = c2 + 2c · ε + ε2
<
0<ε<1 ⇒ ε2 <ε
היות ו־ , c + ε ∈ Q+זה מראה ש־ , c + ε ∈ Lוזו סתירה ,כי ) c < c + εמצאנו איבר של Lמימין ל־ . ( c
• אם 2 < c2
∈Q
אז נסמן
c2 −2
2c
0<ε<1
= . 0 < εמתקיים
)כי 0 < c2 − 2 < 2ו־ .( 2 < 2c
בנוסף מתקיים :
c2 − 2
=2
2c
· (c − ε)2 = c2 − 2c · ε + ε2 > c2 − 2c · ε = c2 − 2c
היות ו־ , c − ε ∈ Q+זה מראה ש־ , c − ε ∈ Uוזו סתירה ,כי ) c − ε < cמצאנו איבר של Uמשמאל ל־ . ( c
ההנחות c2 < 2 , c2 = 2ו־ c2 > 2הובילו כל אחת לסתירה ,ולכן לא קיים c ∈ Qכזה.
הבעיה עם המספרים הרציונליים היא שיש בהם `חורים` או `חללים` רבים .ניתן אמנם ”להשלים“ את ) Qכלומר ”לסגור את החורים
ב־ (“Qבאופן מפורש ולבנות ממנו את מערכת המספרים הממשיים ,אבל זה תהליך מורכב .אנו נבחר בדרך אחרת.
כפי שאמרנו בהרצאה הראשונה ,במתמטיקה אנחנו חוקרים עולמות שעבורם נתונים לנו חוקים בסיסיים )“אקסיומות“( ומנסים להבין
מה ניתן לומר על העולמות הללו בהסתמך אך ורק על האקסיומות ועל לוגיקה.כעת ,כדי לקבל מערכת ללא ”חורים“ ,נגדיר באופן
אקסיומטי מערכת מספרים חדשה -המספרים הממשיים .ניתן אמנם לקבל ייצוגים קונקרטיים עבור המספרים הממשיים )כנקודות
על ישר או כפיתוחים עשרוניים( מתוך מערכת האקסיומות הזו ,אבל אפריורי כל שיהיה נתון לנו בעולם זה אוסף החוקים שמיד נכתוב.
אנו מבקשים מכם כעת לעשות צעד נוסף בתהליך ההפשטה עליו דיברנו ,ולוותר על הייצוג הקונקרטי )לפחות לעת עתה( .זאת כדי
שנוכל להיפטר מאינטואיציות שגויות ומקונצפציות קדומות ולהתחיל להכיר באופן מסודר את עולם המספרים הממשיים.
הגדרה
שדה הוא קבוצה לא ריקה Fהמצוידת בשתי פעולות | ו־ ? )לכל (x, y) ∈ Fמתאים מספר יחיד x | y ∈ Fומספר יחיד
( x ? y ∈ Fכך שהפעולות מקיימות את עשר האקסיומות A1 , A2 , A3 , A4 , M1 , M2 , M3 , M4 , D, N Tהבאות :
2
)(x ? y) ? z = x ? (y ? z
x?f =f ?x=x
x ? x̂ = x̂ ? x = f
x?y =y?x
∀x, y, z ∈ F
M1 :
)(x | y) | z = x | (y | z
∃ f ∈ F ∀x ∈ F
M2 :
x|e=e|x=x
∀x ∈ F , x 6= e , ∃ x̂ ∈ F
M3 :
x | x0 = x0 | x = e
∀x, y ∈ F
x|y =y|x
M4 :
)(x | y) ? z = (x ? z) | (y ? z
f 6= e
A1
A2
A3
A4
D
NT
∀x, y, z ∈ F
∀x, y, z ∈ F
A1 :
∃ e ∈ F ∀x ∈ F
A2 :
∀x ∈ F ∃ x0 ∈ F
A3 :
∀x, y ∈ F
A4 :
D:
NT :
נקרא חוק הקיבוץ ) אסוציאטיביות ( לפעולה | ו־ M1נקרא חוק הקיבוץ ) אסוציאטיביות ( לפעולה ? .
נקרא קיום איבר אדיש ) נייטרלי ( לפעולה | ו־ M2נקרא קיום איבר אדיש ) נייטרלי ( לפעולה ? .
נקרא קיום איבר נגדי ו־ M3נקרא קיום איבר הופכי.
נקרא חוק החילוף ) קומוטטיביות ( לפעולה | ו־ M4נקרא חוק החילוף ) קומוטטיביות ( לפעולה ? .
נקרא חוק הפילוג ) דיסטריבוטיביות ( של הפעולה ? על הפעולה | .
נקרא אי־טריוויאליות השדה.
הגדרה
לפעולה | נקרא חיבור ו־ x | yנקרא הסכום של xו־ . yלפעולה ? נקרא כפל ו־ x ? yנקרא המכפלה של xו־ . y
טענה : 1בשדה Fיש רק איבר אחד האדיש לחיבור .הוא מסומן . 0F
טענה : 2בשדה Fיש רק איבר אחד האדיש לכפל .הוא מסומן . 1F
9
טענה . ∀x ∈ F x ? 0F = 0F : 3
טענה : 4לכל איבר בשדה קיים נגדי יחיד .הנגדי של xמסומן ב־ . −x
טענה : 5לכל איבר בשדה השונה מ־ 0Fקיים הופכי יחיד .ההופכי של 0F 6= xמסומן ב־ . x−1
דוגמאות של שדות
Q .1המצויד בפעולות הרגילות של חיבור וכפל שברים הינו שדה.
.2נתבונן בקבוצה } , F2 = {a, bכאשר . a 6= bנגדיר שתי פעולות על F2ע`י הטבלאות הבאות :
b
a
b
a
a
a
b
b
a
?
a
b
a
a
b
|
a
b
ע`י בדיקת כל ההצבות האפשריות ,מתברר כי כל האקסיומות מתקיימות ולכן )? (F2 , |,הוא שדה ) . ( a = 0F2 , b = 1F2
סימון :מכאן ואילך פעולת החיבור תמסומן ) +במקום | ( ,ופעולת הכפל תמסומן · )במקום ? ( .
הערות והרחבות
ננהג לפי המוסכמות הרגילות לקיצור הכתיבה .למשל:
• לסמן xyבמקום . x · y
• אם לא מצויין אחרת ,אז כפל קודם לחיבור .למשל כשרושמים x + yzהכוונה ) x + (yzולעולם לא . (x + y) z
• הסכום של שלושה איברים )או יותר( איננו מוגדר -הוגדרו רק פעולות בין זוגות .יש יותר מדרך אחת לפרש סכום כזה :למשל
(x + y) + zאו ) . x + (y + zלאור חוק הקיבוץ ,כל הביטויים האלה שווים ,לכן מאוחר יותר נרשום פשוט x + y + zונפרש
לפי הצורך .אותה מוסכמה נכונה למכפלות.
• מסמנים ) . x − y = x + (−yשימו לב שחיסור איננה פעולה נפרדת אלא מוגדרת בעזרת חיבור ונגדי .התכונות שלה נגזרות
מהתכונות למעלה למשל,
x(y − z) = x(y + (−z)) = xy + x(−z) = xy + (−(xz)) = xy − xz
השתמשנו בהגדרה של חיסור )פעמיים ־ בשלב ראשון ואחרון( ,בפילוג ,ובכללי סימן.
• אם b 6= 0Fמסמנים ) a/b = ab−1זה קונסיסטנטי עם הסימון 1F /b = b−1כי .(1F · b−1 = b−1שוב ,חילוק איננו פעולה
נפרדת אלא מוגדרת בעזרת כפל והופכי .אפשר להשתמש בתכונות כדי להוכיח את הזהויות המוכרות לטיפול בשברים ,למשל
x w
xw
= · = (xy −1 · wz −1 = (xw) · (y −1 z −1 ) = (xw)(yz)−1
y z
yz
x w
xz + yw
= +
)ממה נובע כל שוויון?( .כך לגבי הנוסחה
y
z
yz
.
• מעצם ההגדרה של המושג ”פעולה“ נובע שאם מבצעים את אותה פעולה על איברים שווים ,מקבלים תוצאות שוות .נובע ,שאם
x, y, z ∈ Fאז
x+z = y+z
x·z = y·z
x=y
⇒=
0F 6= x = y
⇒=
x−1 = y −1
−x = −y
משמעות הדבר :אפשר לחבר איברים לשוויונות .העובדה שאפשר גם לצמצם איברים משוויונות ,נובע מתכונות הנגדי וההפכי:
)(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z
⇒=
))x + (z + (−z)) = y + (z + (−z
⇒=
x + 0F = y + 0F
⇒=
x=y
⇒=
x+z =y+z
השתמשנו בתכונת הקיבוץ ,הנגדי הנייטרליות ה־ . 0Fבאופן דומה ע`י כפל שני האגפים ב־ z −1מקבלים
x=y
⇒=
x·z =y·z
10
∧
z 6= 0F
• כללי סימן :לכל x, y ∈ Fמתקיים
−0F = 0F
−(−x) = x
)−(x + y) = (−x) + (−y
−x = (−1F ) · x
)−(x · y) = (−x) · y = x · (−y
)בפרט x = 0Fאם ורק אם .(−x = 0F
• כללי הפכי :לכל x, y ∈ Fהמקיימים x 6= 0Fו־ y 6= 0Fמתקיים
=
x
=
) −(x−1
) = (x−1 ) · (y −1
(x−1 )−1
(−x)−1
(x · y)−1
• קיום ויחידות פתרון משוואות לינאריות :בהינתן a, b, c, ∈ Fכך ש־ , a 6= 0Fקיים x ∈ Fיחיד כך ש־ ax + b = c
.
חזקות עם מעריך טבעי ) החומר הזה מועבר בתרגול (
יהי Fשדה .פעולת החזקה ב־ Fמוגדרת ככפל חוזר של מספר עם עצמו .באופן פורמלי,
הגדרה
(
a1
=
a
לכל a ∈ Fולכל n ∈ Nנגדיר ברקורסיה מספר anבאופן הבא:
an+1 = an · a
anנקרא aבחזקת nאו לפעמים החזקה ה־n־ית של . a
המספר nנקרא המעריך ,והמספר aנקרא הבסיס.
תכונות החזקה הטבעית
.1לכל a ∈ Fולכל m, n ∈ Nמתקיים . am+n = am · an
.2לכל a ∈ Fולכל m, n ∈ Nמתקיים . (am )n = amn
.3לכל a,b ∈ Fולכל n ∈ Nמתקיים . (ab)n = an · bn
.4לכל , a ∈ Fלכל , 0 6= b ∈ Fולכל n ∈ Nמתקיים
an
bn
=
a n
b
.
הוכחה
נוכיח כאן את קיום תכונה . 1את קיום שאר התכונות תוכיחו בתרגיל.
m+n
m
n
. Am = { n ∈ N | a
יהי mטבעי כלשהו .נוכיח את הטענה באינדוקציה על , nכלומר נגדיר = a · a } :
1 ∈ Amמעצם הגדרת החזקה . am+1 = am · a = am · a1 :נניח ש־ , n ∈ Amכלומר ש־ . am+n = am · an
Def.
Def.
{|}z
{|}z
am+(n+1) = a(m+n)+1 = am+n · a = (am · an ) · a = am · (an · a) = am · an+1
אזי מתקיים :
ולכן . n + 1 ∈ Amמסקנה Am :אינדוקטיבית ולכן . Am = Nז`א שלכל nטבעי מתקיים
היות ו־ mהיה שרירותי ,סיימנו .
מגדירים
)
n
n
3
n
. am = a(mשימו לב שלא מתקיים . am = amnלדוגמא . 33 = 327 6= 39
חזקה עם מעריך שלם ) החומר הזה מועבר בתרגול (
כעת נרצה להגדיר את החזקה anכאשר המעריך nשלם אך לאו דווקא חיובי.
הגדרה :יהי 0 6= a ∈ F
ו־ . n ∈ Zנגדיר
0<n
n=0
n<0
n
a
. an := 1
1
a−n
11
. am+n = am · an
שימו לב :
)א( ההגדרה מתיישבת עם ההגדרה שהיתה לנו כבר לחזקה עם מעריך טבעי )המקרה .(0 < n
)ב( במקרה a 6= 0ו־ , n < 0מתקיים . 0 < −nולכן . a−n 6= 0מכך נסיק ש־
1
a−n
מוגדר היטב ,המכנה לא מתאפס.
)ג( נשים לב שהסימן , a−1שציין עד כה את האיבר ההפכי של , aקיבל גם הוא משמעות נוספת a :בחזקת . −1
1
) , a−1 = a−(−1ולכן ההגדרות מתלכדות ואין צורך להבחין בין השניים.
ואולם בפירוש החדש מתקיים = a1
משפט :לכל 0 6= a, b ∈ Fולכל m, n ∈ Zמתקיימות התכונות 1 − 4שצוינו עבור מעריך טבעי.
הוכחה
נוכיח כאן את קיום תכונה .2את קיום שאר התכונות תוכיחו בתרגיל.
שימו לב שלא ניתן להשתמש כאן באינדוקציה )לפחות לא ישירות( כי הטענה מתייחסת למספרים שלמים ולא טבעיים.
כעת נחלק למקרים:
• אם m > 0ו־ n > 0אז
m n
mn
(a ) = aישירות מתכונות החזקה הטבעית.
m n
mn
(a ) = aשווה ל־ : 1
• אם m = 0או n = 0אז mn = 0וכל אחד מאגפי השוויון
0
0 n
n
0
. a
= 1 = 1 = a = amn
(am ) = 1 = a0 = amn
• אם m < 0ו־ n < 0אז מתקבל
)♠(
= a(−m)(−n) = amn
1
1
)♥(
=
)a(−m)(−n
)♦(
)♣(
)♥(
)♠(
:
:
:
:
1
1−n
(a−m )−n
)♣(
=
)♦(
1
−n
=
1
a−m
n
)♦(
1
n
) (am
=
a−m
הגדרת החזקה השלמה.
תכונה 4של חזקה טבעית.
תכונה 2של חזקה טבעית.
ההפכי של ההפכי של מספר הוא המספר עצמו.
1
a−mn
• נותר לטפל במקרה שאחד מ־ m, nהם חיובי והשני הוא שלילי .במקרה זה mn < 0ולכן
◦ אם nהוא החיובי מבניהם ,אז
)♣( n
)♦(
)♦(
)♥(
1n
1
1
=
= a−(−m)n = amn
=
=
n
a−m
) (a−m
a(−m)n
)♦( :הגדרת החזקה השלמה.
)♣( :תכונה 4של חזקה טבעית.
◦ באופן דומה ,אם mהוא החיובי מבניהם ,אז
) (am
)♥( :תכונה 2של חזקה טבעית.
)♦(
= a−m(−n) = amn
n
= . amn
)♥(
1
)am(−n
=
)♦(
1
(am )−n
=
n
) (am
הגדרה ) שדה סדור (
יהי Fשדה F .נקרא שדה סדור אם קיים עליו יחס ,שיקרא סדר ויסומן < ,המקיים את ארבע האקסיומות הבאות:
• ) O1טריכוטומיה( :לכל xו־ yב־ Fמתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות :
• ) O2טרנזיטיביות( :
(x < y ∧ y < z) ⇒ x < z
• ) O3תאימות עם החיבור( :
• ) O4תאימות עם הכפל בחיובי( :
)x < y ⇒ (x + z < y + z
∀x, y, z ∈ F
∀x, y, z ∈ F
( x < y ∧ 0F < z ) ⇒ xz < yz
)במקום תאימות מקובל גם לומר קונסיסטנטיות או אינווריאנטיות(
הגדרה :יהי Fשדה סדור .נאמר ש־ x ∈ Fחיובי אם 0F < xושלילי אם . x < 0F
נסמן } F+ = { x ∈ F | 0F < xו־ } . F− = { x ∈ F | x < 0F
דוגמה Q :המצויד בחיבור ,בכפל וביחס הסדר הרגיל הינו שדה סדור.
משפט )מסקנות מהאקסיומות(
יהי Fשדה סדור.
12
x<y
∀x, y, z ∈ F
או
y<x
או
.x=y
.1לכל a, b, c ∈ Fמתקיים . a + c < b + c ⇔ a < b
.2לכל x ∈ Fמתקיים :
. x < 0F ⇔ 0F < −x
. 0F < 1F .3
.4לכל x ∈ Fמתקיים :
. 0F < x2 ⇔ x 6= 0F
.5לכל x ∈ Fמתקיים :
. 0F < x−1 ⇔ 0F < x
.6לכל a, b, c ∈ Fעם a < bו ־ c < 0Fמתקיים . a · c > b · c
.7לכל a, b, c, d ∈ Fעם a < bו ־ c < dמתקיים ) . a + c < b + dחיבור אי־שוויונים (
הוכחה :בתרגול ובתרגיל.
הגדרה :יהי Fשדה סדור .נגדיר יחס חדש ב־ , Fשיסומן , 6על ידי )x 6 y ⇔ (x < y ∨ x = y
. ∀x, y ∈ F
הטבעיים ,השלמים והרציונליים
כיון שהגדרנו את המושג ”שדה סדור“ באופן אקסיומטי ,לא ברור אם יש קשר כלשהו בינו לבין המספרים הטבעיים ,השלמים
והרציונליים .היות והמטרה המוצהרת שלנו היא שהממשיים יהיו הרחבה של הרציונליים ,נרצה לזהות את המערכות השונות בתוכם
באיזשהו אופן.
המספרים הטבעיים
0F < 1Fומכאן שגם
יהי Fשדה סדור .ראינו לעיל ש־
0F < 1F < 1F + 1F < 1F + 1F + 1F
וכן הלאה .נגדיר :
}NF = { 1F , 1F + 1F , 1F + 1F + 1F , . . .
ונסמן , 3F = 1F + 1F + 1F , 2F = 1F + 1Fוכן הלאה.
NFנקראת קבוצת הטבעיים של . F
NFהוא ”עותק“ של הטבעיים בתוך . Fהעותק הזה מגיע עם כל התכונות שהכרנו של הטבעיים ,כולל עם עקרון הסדר הטוב ,קיום
העוקב והאינדוקציה.
אפשר לבנות את הטבעיים בתוך Fבצורה פורמלית מדויקת ,אך לא נעשה זאת כאן מטעמי חיסכון בזמן .הבנייה הפורמלית תועלה
לאתר הקורס כחומר העשרה.
המספרים השלמים
נגדיר :
} . ZF = NF ∪ {0F } ∪ {−nF | nF ∈ NF
) היות ו־ Fשדה ,יש לכל איבר ב־ Fנגדי ,ובפרט הנגדי −nFשל nFמוגדר עבור כל nFב־ ( NF
ZFנקראת קבוצת השלמים של . F
לא קשה להראות שמתקיים } ZF = { nF − mF | mF , nF ∈ NFושלכל x, y ∈ ZFמתקיים:
x + y ∈ ZF
x − y ∈ ZF
x · y ∈ ZF
סגירות לחיבור
סגירות לחיסור
סגירות לכפל
דיסקרטיות
y − x > 1F
⇒=
x<y
לכן בין xל־ x + 1Fאין מספרים שלמים נוספים.
13
המספרים הרציונליים
| m ∈ ZF , n ∈ NF
נגדיר :
m
n
= QF QFנקראת קבוצת הרציונליים של . F
טענה QF :הוא תת שדה סדור של . Fכלומר QFהמצויד בפעולות החיבור והכפל של Fוביחס הסדר של Fהוא בעצמו שדה סדור
ש־“חי בתוך .” Fאפשר לחשוב על QFכ־”עותק“ של הרציונליים בתוך . Fבמובן זה כל שדה סדור הוא הרחבה של הרציונליים.
כדאי להצביע על הבדל בין הסדר במספרים השלמים לעומת הרציונלים .בשלמים ,בין מספר n ∈ Zוהעוקב שלו n + 1אי מספרים
שלמים נוספים .לעומת זאת ,לכל שני מספרים רציונליים , x < yיש מספר רציונלי qביניהם .הוכחנו את זה מוקדם יותר ,ואותה
הוכחה תקפה עכשיו כי כל התכונות של Qשהסתמכנו עליהן חלות גם בהגדרה החדשה .הגדרה
יהי Fשדה סדור .עבור קבוצות L, U ⊆ Fנסמן L ≤ Uאם“ם מתקיים ` 6 u :
בנוסף ,בהינתן , c ∈ Fנסמן L ≤ cאם“ם מתקיים ` 6 c
. ∀` ∈ L ∀u ∈ U
. ∀u ∈ U
, ∀ ` ∈ Lונסמן c ≤ Uאם“ם מתקיים c 6 u
הערה :היחס L ≤ Uאומר שכשמציירים את Lו־ Uב־`ציר מספרים אופקי מכוון ימינה` ,כל הנקודות ב־ Lנמצאות משמאל
לכל הנקודות ב־ . Uהגדרנו בכך מושג חדש של סדר בין קבוצות ,ובין קבוצה למספר ,ויש להיזהר מלהשליך תכונות של הסדר בין
מספרים על המושג החדש הזה .למשל כפי שנראה בדוגמה 3למטה לא נכון שלכל שתי קבוצות L, Uמתקיים L ≤ Uאו . U ≤ L
דוגמאות ב־ : Q
. {1, 2, 3} ≤ {4, 5} .1
, Q− ≤ Q+ .2כי לכל a ∈ Q−ולכל b ∈ Q+מתקיים )לפי הגדרה( , a < 0 < bולכן מטרנזיטיביות. a < b ,
.3אם } A = {1, 3ו־ } B = {2, 4אז לא מתקיים A ≤ Bוגם לא מתקיים . B ≤ A
≤ N .4
2
3
הגדרה )!(
שדה סדור Fייקרא שלם אם לכל שתי קבוצות לא ריקות L, U ⊆ Fכך ש־ , L ≤ Uיש c ∈ Fכך ש־ L ≤ cוגם . c ≤ U
דוגמה Q :לא שלם ,כי } L = { ` ∈ Q+ | `2 < 2ו־ } U = { u ∈ Q+ | 2 < u2אינן ריקות ומקיימות , L ≤ Uאך הוכחנו לא
קיים c ∈ Qכך ש־ . L ≤ c ≤ U
בשלב זה ראוי לשאול שתי שאלות :האם קיים בכלל שדה סדור שלם? ואם כן ,האם יש יותר מאחד?
השאלה הראשונה שקולה לשאלה ,האם בתוך התכונות הרבות שהצבנו )אקסיומות השדה ,הסדר והשלמות( מסתתרת סתירה כלשהי.
כפוף להנחות העבודה הסטנדרטיות של המתמטיקאים בימינו ,ניתן להוכיח את המשפט הבא:
משפט )לא נוכיח בקורס זה( :קיים שדה סדור שלם.
לגבי השאלה השנייה ,מסתבר שבאופן מהותי אין יתר ממערכת אחת כזו .אנו אומרים באופן `מהותי` כי ניתן באופן מלאכותי לייצר
מערכות שונות :מתחילים מאחת ,משכפלים אותה ,נותנים לאיברי המשוכפלת שמות חדשים ,וכך מקבלים שני עותקים שונים.
דוגמה
כבר פגשנו את השדה )· (F2 , +,שהוגדר כ־ } ( a 6= b ) F2 = {a, bעם הפעולות :
נניח שאתם פוגשים מתמטיקאי שמראה לכם קבוצה }א,ב{ = Ψעם הפעולות :
b
b
a
ב
ב
א
a
a
b
+
a
b
b
a
b
a
a
a
·
a
b
א
א
ב
4
א
ב
ב
א
ב
א
א
א
∇
א
ב
לכל פסוק מתמטי על F2יהיה אח תאום על Ψולהיפך .אומרים ש־ )· (F2 , +,ו־ )∇ (Ψ, ∆,איזומורפיים )= שווי צורה( .כלומר,
אחד מתקבל מהשני על ידי שינוי סמלים בלבד .אנחנו לא חושבים על F2ו־ Ψכשדות שונים .
משפט )לא נוכיח בקורס זה( :קיים שדה סדור שלם יחיד ,עד כדי איזומורפיזם.
14
כלומר :אם Fו־ F0שניהם שדות סדורים ושלמים ,אז ניתן למצוא התאמה חד־חד ערכית ו־“על“ בין האיברים של Fלאלו של , F0
כך שההתאמה מעבירה את לוחות הכפל והחיבור של Fלאלו של , F0וגם שומרת על יחס הסדר.
הגדרה :שדה סדור שלם יסומן Rוייקרא שדה המספרים הממשיים.
כל מה שנוכיח מעתה בקורס הזה יסתמך אך ורק על 15האקסיומות שמגדירות את מערכת המספרים הממשיים.
מעתה נסמן 0R = 0
לא צפוי בלבול(.
1R = 1 ,
NR = N ,
ZR = Z ,
,ו־ ) QR = Qהיות ו־ Rהוא ”היקום“ שלנו בקורס הזה,
, R 6= Qכי Rשלם ו־ Qלא שלם.
קבוצות חסומות ולא חסומות ,חסם עליון ותחתון
הגדרה
יהי Fשדה סדור ותהי . ∅ 6= A ⊆ F
.1מספר M ∈ Fנקרא חסם מלעיל של Aאם הוא גדול או שווה מכל איבר של , Aכלומר
a6M
. ∀a ∈ A
אם קיים מספר M ∈ Fשהוא חסם מלעיל של , Aאז אומרים ש־ Aחסומה מלעיל.
.2מספר m ∈ Fנקרא חסם מלרע של Aאם הוא קטן או שווה לכל איבר של , Aכלומר
m6a
. ∀a ∈ A
אם קיים מספר m ∈ Fשהוא חסם מלרע של ,Aאז אומרים ש־ Aחסומה מלרע.
.3קבוצה Aנקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע.
.4תהי A ⊆ Fלא ריקה וחסומה מלעיל .אם M ∈ Fחסם מלעיל של Aוגם , M ∈ Aנאמר כי Mהוא מקסימום של . A
.5תהי A ⊆ Fלא ריקה וחסומה מלרע .אם m ∈ Fחסם מלרע של Aנאמר כי mהוא מינימום של . A
הערות
.1לא לכל קבוצה חסומה מלעיל )מלרע( יש מקסימום )מינימום( .למשל ,הקבוצה } B = {x ∈ Q | x < 5חסומה מלעיל אך אין
לה מקסימום) .הוכיחו זאת!(
.2בתרגיל הבית תוכיחו שאם לתת־קבוצה Aשל Fקיים מקסימום )מינימום( ,אז הוא יחיד ,ומסומן ).( min(A) ) max(A
תרגיל :הוכיחו באינדוקציה כי לכל תת־קבוצה סופית של Fיש מקסימום ומינימום .בפרט ,כל קבוצה סופית היא חסומה.
דוגמאות
N .1חסומה מלרע ע`י 1כי 1 6 nלכל . n ∈ Nגם
2
3
חסם מלרע של 1 . Nהוא המינימום של . N
F .2איננה חסומה מלעיל ,וגם לא חסומה מלרע.
למשל אין לה חסם מלעיל :לכל M ∈ Fמתקיים M + 1 ∈ Fוגם , M < M + 1ולכן Mאיננו חסם מלעיל של . F
הערה
חסם מלעיל ומלרע ,אם הם קיימים ,לעולם אינם יחידים :כל מספר גדול מחסם מלעיל נתון גם הוא חסם מלעיל וכל מספר קטן
מחסם מלרע נתון גם הוא חסם מלרע.
הגדרה
תהי ∅ 6= A ⊆ Fוחסומה מלעיל .נאמר כי β ∈ Fהוא חסם עליון )סופרמום( של Aאם מתקיימים שני התנאים הבאים:
β .1חסם מלעיל של . A
.2אם M ∈ Fחסם מלעיל של Aאז . β 6 M
15
טענה :תהי . ∅ 6= A ⊆ Fאם יש ל־ Aחסם עליון ,אז הוא יחיד.
הוכחה :
יהיו βו־ βשני חסמים עליונים של . A
0
אזי היות ש־ βחסם מלעיל ו־ β 0חסם עליון ,נקבל
באופן דומה ,נקבל
. β0 6 β
. β 6 β 0לכן ,מטריכוטומיה ,נקבל ש־ . β = β 0מש“ל.
סימון :אם הוא קיים ,נסמן את החסם העליון של Aב־ Fעל ידי ) . supF (Aאם , F = Rנסמן ) sup(Aבמקום ). supR (A
הגדרה
תהי ∅ 6= A ⊆ Fוחסומה מלרע .נאמר כי α ∈ Fהוא חסם תחתון )אינפימום( של Aאם מתקיימים שני התנאים הבאים:
α .1חסם מלרע של . A
.2אם m ∈ Fחסם מלרע של Aאז . m 6 α
טענה :תהי . ∅ 6= A ⊆ Fאם יש ל־ Aחסם תחתון ,אז הוא יחיד .הוכחת הטענה הזו מושארת כתרגיל.
סימון :אם הוא קיים ,נסמן את החסם התחתון של Aב־ Fעל ידי ) . inf F (Aאם , F = Rנסמן ) inf(Aבמקום ). inf R (A
משפט )משפט החסם העליון(
תהי A ⊆ Rלא ריקה וחסומה מלעיל .אז יש ל־ Aחסם עליון ב־ . R
הוכחה :
תהי Uקבוצת החסמים מלעיל של . Aאזי Uאינה ריקה כי Aחסומה מלעיל.
מתקיים ש־ A ≤ Uולכן נובע מתכונת השלמות שיש c ∈ Rכך שמתקיים . A ≤ c ≤ U
מ־ A ≤ cנובע ש־ cחסם מלעיל של Aומ־ c ≤ Uנובע ש־ cקטן או שווה מכל חסם מלעיל אחר של . A
מעצם ההגדרה c ,כזה הוא חסם עליון של . A
הערה
משפט החסם העליון איננו נכון בשדה סדור לא שלם .בתרגיל הבית תוכיחו שמשפט החסם העליון שקול לשלמות ותראו דוגמה של
תת־קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל A ⊆ Qשאין לה חסם עליון ב־ . Q
משפט )משפט החסם התחתון(
תהי A ⊆ Rלא ריקה וחסומה מלרע .אז יש ל־ Aחסם תחתון ב־ . R
הוכחת המשפט הזה מושארת כתרגיל.
משפט
תהי A ⊆ Rקבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל ויהי . β ∈ Rאזי הטענות הבאות שקולות:
. β = sup(A) .1
β .2חסם מלעיל של Aומתקיים שלכל x ∈ Rעם x < βיש a ∈ Aכך ש־ . x < a 6 β
β .3חסם מלעיל של Aומתקיים שלכל ε > 0יש a ∈ Aכך ש־. β − ε < a 6 β
הוכחה :
נוכיח
. 1 =⇒ 2 =⇒ 3 =⇒ 1
: 1 =⇒ 2אם ) β = sup(Aאז βכמובן חסם מלעיל של . Aכעת יהי . x < βמכך ש־ βהוא המינימלי בין החסמים מלעיל של
Aנקבל ש־ xלא חסם מלעיל של . Aלכן יש a ∈ Aהמקיים . x < a
: 2 =⇒ 3נניח ש־ βמקיים את התנאים ב־ 2ויהי . ε > 0נסמן x = β − εונקבל את המסקנה מיד.
16
: 3 =⇒ 1נניח ש־ βמקיים את התנאים ב־ . 3אזי βחסם מלעיל .יהי Mחסם מלעיל אחר של Aונניח בשלילה ש־ . M < β
אזי ε = β − M > 0ולכן נובע מ־ 3שיש a ∈ Aהמקיים M = β − ε < aבסתירה לכך ש־ Mחסם מלעיל.
לכן כל חסם מלעיל Mשל Aמקיים . β 6 Mכלומר ) . β = sup(Aמש“ל.
משפט
תהי A ⊆ Rקבוצה לא ריקה וחסומה מלרע ויהי .α ∈ Rאזי הטענות הבאות שקולות:
. α = inf(A) .1
α .2חסם מלרע של Aומתקיים שלכל x ∈ Rעם α < xיש a ∈ Aכך ש־ . α 6 a < x
α .3חסם מלרע של Aומתקיים שלכל ε > 0יש a ∈ Aכך ש־ . α 6 a < α + ε
ההוכחה מושארת כתרגיל.
למה
יהיו L, U ⊆ Rלא ריקות כך שמתקיים . L ≤ Uאזי קיימים ) sup(Lו־ ) inf(Uומתקיים ) . sup(L) 6 inf(U
הוכחה :
יהי ) u ∈ Uיש כזה כי .( ∅ 6= Uאזי נובע מ־ L ≤ Uש־ uחסם מלעיל של . Lבאותו אופן כל ` ∈ Lהוא חסם מלרע של . U
לכן נובע ממשפט החסם התחתון וממשפט החסם העליון ש־ ) sup(Lו־ ) inf(Uקיימים.
יתרה מזאת ,נקבל מכאן שלכל ` ∈ Lמתקיים ) ) ` 6 inf(Uכי ` חסם מלרע של Uו־ ) inf(Uחסם מלרע מקסימלי של .( U
אבל זה אומר ש־ ) inf(Uחסם מלעיל של Lולכן ) ) sup(L) 6 inf(Uכי ) sup(Lחסם מלעיל מינימלי של .( L
משפט )למת החתכים(
יהיו L, U ⊆ Rלא ריקות כך ש־ . L ≤ Uאזי הטענות הבאות שקולות:
.1קיים cיחיד כך ש־ . L ≤ c ≤ U
. sup(L) = inf(U ) .2
.3לכל ε > 0יש ` ∈ Lו־ u ∈ Uכך ש־ . 0 6 u − ` < ε
הוכחה :
מהלמה הקודמת נובע ש־ ) inf(Uו־ ) sup(Lקיימים ומתקיים ) . sup(L) 6 inf(Uנראה . 1 =⇒ 2 =⇒ 3 =⇒ 1
: 1 =⇒ 2נניח בשלילה ש־ ) . sup(L) < inf(Uאבל אז נשים לב ש־
L ≤ sup(L) < inf(U ) ≤ U
כלומר L ≤ sup(L) ≤ Uוגם , L ≤ inf(U ) ≤ Uבסתירה לכך שקיים רק מספר אחד שמקיים את התנאי הזה.
לכן ) . sup(L) = inf(U
: 2 =⇒ 3יהי . ε > 0מתכונות החסם העליון והחסם התחתון ,יש ` ∈ Lכך ש־ ` <
אבל מכאן נובע ש־ − (sup(L) − 2ε ) = ε
ε
2
ε
2
sup(L) −ויש u ∈ U
ε
2
. u < inf(U ) +
. u − ` < inf(U ) +
: 3 =⇒ 1נניח בשלילה שיש c1 , c2 ∈ Rעם c1 < c2כך ש־ . L ≤ c1 < c2 ≤ U
כלומר ,לכל ` ∈ Lמתקיים ` 6 c1ולכל u ∈ Uמתקיים . c2 6 u
מכאן נובע שלכל u ∈ U , ` ∈ Lמתקיים ` . c2 − c1 6 u −
נסמן > 0
c2 −c1
2
= . εמ־ 3נובע שקיימים `0 ∈ Lו־ u0 ∈ Uכך ש־ . 0 6 u0 − `0 < ε
קיבלנו ש־ , 2ε = c2 − c1 6 u0 − `0 < εכלומר ש־ , 2ε < εומכאן ש־ . ε < 0זו סתירה לטריכוטומיה .מש“ל.
17
ערך מוחלט
∀a ∈ F
a
|a| =
0F
−a
0F < a
0F = a
a < 0F
( הגדרה ) ערך מוחלט וסימן
. שדה סדורF יהי
0F < a
0F = a
a < 0F
1F
sgn(a) =
0F
−1F
,
. a נקרא הסימן של
sgn
(a)
. a | נקרא הערך המוחלט שלa|
: מתקייםa, b ∈ F לכל: טענה
|a| = max {a, −a} .1
|a| = a · sgn(a) ,
a = |a| sgn(a) .2
0F 6 |a| .3
0F = |a| ⇔ a = 0F .4
|a| = | − a| .5
sgn
(ab) = sgn(a) sgn(b) .6
|ab| = |a||b| .7
−|a| 6 a 6 |a| .8
|a| < b ⇔ −b < a < b
אז
0F < b אם.9
|a| 6 b ⇔ −b 6 a 6 b
אז
0F 6 b אם.10
( ) אי־שוויון המשולש
|a + b| 6 |a| + |b| .11
( `|| ) אי־שוויון המשולש `ההפוךa| − |b|| 6 |a − b| .12
: הוכחה
. a < 0F , a = 0F , 0F < a : ניתן להוכיח ע`י בדיקת שלושת המקרים הממצים8 ו־, 5 , 3 , 2 , 1 את הסעיפים
: 4 הוכחה ל־
. הטענה נובעת מההגדרה: `⇐` •
(2)
|a| = 0F ⇒ a = |a| sgn(a) = 0F · sgn(a) = 0F : `⇒` •
(2)
(6)
(2)
|ab| = (ab) · sgn(ab) = ab · (sgn(a) · sgn(b)) = a · sgn(a) · b · sgn(b) = |a||b| : 7 הוכחה ל־
: 10 הוכחה ל־
. |a| 6 b ⇒
(8)
a 6 |a| 6 b
−a 6 | − a| = |a| 6 b
(
−b 6 a 6 b ⇒
(
(8) ⇒
−|a| 6 a 6 |a|
−|b| 6 b 6 |b|
a6b
−a 6 b
: `⇒` •
⇒ −b 6 a
⇒ |a| 6 b
: `⇐` •
(10)
⇒ −(|a| + |b|) 6 a + b 6 |a| + |b|
(11)
a=a−b+b
a6b
(5)
(8)
⇒
⇔
|a + b| 6 |a| + |b| : 11הוכחה ל־
O3
⇒ |a| = |(a − b) + b| 6 |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| 6 |a − b| (∗)
18
: 12הוכחה ל־
נחליף ב־ )∗( את התפקידים של aו־ bונקבל :
)∗∗( |. |b| − |a| 6 |b − a
)(5
וש־ |. −(|a| − |b|) = |b| − |a
נשים לב ש־ ||b − a| = | − (a − b)| = |a − b
(
)∗( ||a| − |b| 6 |a − b
לסיכום קיבלנו:
,ולכן נובע מ־ ) (10ש־ | , ||a| − |b|| 6 |a − bכנדרש.
)∗∗( |−(|a| − |b|) 6 |a − b
טענה
תהי A ⊆ Fלא ריקה .אזי Aחסומה אם“ם יש 0 < Cכך שלכל a ∈ Aמתקיים . |a| 6 C
הוכחה :
” ⇐ ” :נניח כי Aחסומה ויהיו Mו־ mחסם מלעיל וחסם מלרע בהתאמה .נסמן . C = max(|m|, |M |) :
אזי לכל a ∈ Aמתקיים −C 6 −|m| 6 m 6 a 6 M 6 |M | 6 C :
קיבלנו שלכל a ∈ Aמתקיים , −C 6 a 6 Cאו במלים אחרות . |a| 6 C
” ⇒ ” :אם יש C > 0כך שלכל a ∈ Aמתקיים , |a| 6 Cאזי . −C 6 a 6 C
כלומר Cהוא חסם מלעיל ו־ −Cהוא חסם מלרע של . A
ארכימדיות
משפט )תכונת ארכימדס( N :איננה חסומה מלעיל ב־ . R
הוכחה :
נניח בשלילה ש־ Nחסומה מלעיל ב־ . Rכלומר ,יש x ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . n 6 x
ממשפט החסם העליון נובע כעת שיש ל־ Nחסם עליון ב־ . R
ממינימליות ) sup(Nנובע ש־ sup(N) − 1איננו חסם מלעיל של . Nכלומר ,יש n0 ∈ Nכך ש־ . sup(N) − 1 < n0
אבל אז נקבל ש־ , sup(N) < n0 + 1 ∈ Nבסתירה לכך ש־ ) sup(Nחסם מלעיל של הטבעיים.
1
n
מסקנה ראשונה :לכל 0 < ε ∈ Rיש n ∈ Nכך ש־ < ε
הוכחה :
−1
יהי . 0 < ε ∈ Rלפי המשפט הקודם ε ,איננו חסם מלעיל של . N
לכן קיים n ∈ Nכך ש־ . ε−1 < nאבל זה אומר ש־ < ε
1
n
<.0
,כנדרש.
מסקנה שנייה :יהיו 0 < a ∈ Rו־ . b ∈ Rאזי קיים m ∈ Nכך ש־ . b < ma
הוכחה :
נניח בשלילה שלכל m ∈ Nמתקיים . ma 6 b
b
m6
אבל היות ש־ 0 < aנובע מכאן שלכל m ∈ Nמתקיים
a
בסתירה לכך ש־ Nאיננה חסומה מלעיל .מש“ל.
הערה :שימו לב שהשתמשנו בשלמות של הממשיים כדי להוכיח את הארכימדיות .אכן ,יש שדות סדורים )לא שלמים( שבהם תכונת
הארכימדיות לא מתקיימת!
צפיפות הרציונליים בממשיים
הגדרה
נאמר שהקבוצה A ⊆ Rהיא צפופה ב־ Rאם בין כל שני ממשיים שונים קיים איבר של , Aכלומר :
)(∃a ∈ A | x < a < y
⇒
x<y
∀x, y ∈ R
משפט Q :צפופה ב־ . R
הוכחה :
יהיו x, y ∈ Rכך ש־ . x < yצריך להוכיח כי קיים q ∈ Qכך ש־ . x < q < yנפריד בין מקרים :
19
• אם x < 0 < yאזי נוכל לבחור . q = 0 ∈ Q
• אם 0 6 x < yאזי . 0 < y − xבעזרת המסקנה הראשונה של תכונת ארכימדס נקבע n ∈ Nכך ש־ < y − x
1
n
.
נתבונן בקבוצה . A = { m ∈ N | x < m n1 } :
מהמסקנה השנייה של תכונת ארכימדס )עם
1
n
= aו־ ( b = xנובע ש־ ∅ =. A 6
Aקבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים ולכן נובע מעיקרון הסדר הטוב שקיים ). m0 = min(A
)באופן אינטואיטיבי m0הוא מספר הצעדים בגודל
נסמן ∈ Q :
m0
n
1
n
= . qמהגדרת Aו־ m0נובע כי
אילו היה מתקיים y 6 q
אז
הקטן ביותר שדרוש כדי להימצא מימין ל־ . ( x
m0
n
= x < qוש־ 6 x
1
m0 − 1
=
6x<y6q
n
n
q−
m0 −1
n
1
1
=)
ואז
n
n
∈ m0 − 1או . ( m0 − 1 = 0
) כי / A
, y − x 6 q − (q −
וזה סותר את הבחירה של . nלכן , x < q < yכנדרש .
• אם x < y 6 0אז . 0 6 −y < −xלכן נובע מהמקרה הקודם שקיים q ∈ Qכך ש־ . −y < q < −x
מכאן נובע ש־ x < −q < yולכן −qמקיים את הנדרש ,כי . −q ∈ Q
הערך השלם של מספר ממשי
בתת־הפרק הזה נרצה להראות שבהינתן מספר ממשי , bקיים מספר שלם ש־`הכי קרוב` ל־ bמשמאלו ,כלומר נרצה להוכיח את
המשפט הבא :
יהי . b ∈ Rאזי קיים n ∈ Zיחיד המקיים . n 6 b < n + 1 :המספר השלם nנקרא הערך השלם של bומסומן bbcאו ]. [b
משפט :תהי A ⊆ Zקבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של מספרים שלמים .אזי ל־ Aיש איבר מקסימלי.
הוכחה :
יהי Mחסם מלעיל של , Aכלומר x 6 Mעבור כל . x ∈ Aמתכונת ארכימדס נובע שקיים n ∈ Nכך ש־ . M < n
מ־ x 6 M < nנובע ש־
לכן הקבוצה
0<n−x
עבור כל . x ∈ A
Aמקיימת e ⊆ N
}e = {n − x | x ∈ A
. ∅ 6= A
מעקרון הסדר הטוב נקבל שיש ל־ e
.x
Aאיבר מינימלי ,נסמנו f0
מהגדרת e
.x
Aנובע שיש x0 ∈ Aכך ש־ f0 = n − x0
כעת ,יהי x ∈ Aאיבר כלשהו .אזי e
xנקבל ש־
n − x ∈ Aוממינימליות f0
. n − x0 = x
f0 6 n − x
מכך שיחס הסדר נשמר תחת חיבור מיד נובע מכאן ש־ . x 6 x0
אבל x ∈ Aהיה שרירותי ולכן קיבלנו ש־ x0 ∈ Aהוא איבר מקסימלי ב־ . A
טענה :יהי b ∈ Rנתון .אזי הקבוצה Ab = { n ∈ Z | n 6 b } :איננה ריקה והיא חסומה מלעיל .
הוכחה :
Abלבטח חסומה מלעיל ע`י . bנראה ש־ Abאיננה ריקה −b .איננו חסם מלעיל של , Nולכן קיים n ∈ Nכך ש־ . −b 6 n
נכפול ב־ ) (−1ונקבל , −n 6 bכלומר ) −n ∈ Abכי . ( −n ∈ Z
הגדרה :יהי . b ∈ Rהמספר ) max(Abנקרא הערך השלם של bומסומן bbcאו ]. [b
משפט :יהי . b ∈ Rאזי bbc ∈ Zומתקיים . bbc 6 b < bbc + 1 :
20
הוכחה :
ראשית . bbc = max(Ab ) ∈ Ab ⊆ Z
בנוסף מתקיים לבטח , bbc 6 bכי . bbc ∈ Ab
∈ ) bbc + 1כי ,( bbc < bbc + 1 ∈ Zכלומר . b < bbc + 1
מהמקסימליות של bbcנובע ש־ / Ab
נותר להוכיח כי m = bbcהינו המספר השלם היחיד המקיים . m 6 b < m + 1
יהי n ∈ Zהמקיים . n 6 b < n + 1 :אזי . b − 1 < n 6 b
באותו אופן . b − 1 < m 6 bנכפיל את אי־השוויון b − 1 < m 6 bב־ ) (−1ונקבל . −b 6 −m < 1 − b :
חיבור אגף אגף עם אי־השוויון b − 1 < n 6 bנותן , b − 1 + (−b) < n − m < b + (1 − b) :כלומר . −1 < n − m < 1
אבל n − m ∈ Zולכן , n − m = 0כנדרש.
משפט
יהי . 0 6 a ∈ Rאז קיים 0 6 x ∈ Rיחיד המקיים . x = a
הוכחה :
א .יחידות :
נניח שקיימים 0 6 x1 , x2 ∈ Rכך ש־ x21 = aו־ . x22 = a
אם 0 6 x1 < x2אז , a = x21 < x22 = aוזו סתירה ! אם 0 6 x2 < x1אז , a = x22 < x21 = aשוב סתירה .
מטריכוטומיה נובע ש־ . x1 = x2
2
ב .קיום :נפריד בין מקרים :
• אם a = 0אז x = 0מתאים .
• אם a = 1אז x = 1מתאים .
} U = { u ∈ R+ | a < u2
• אם 1 < aנגדיר :
∅ = ) L 6כי ( 1 ∈ Lו־ ∅ = ) U 6כי a ∈ U
} L = { ` ∈ R+ | `2 < a
היות ו־ .( a < a2 ⇐ 1 < a
יהיו ` ∈ Lו־ . u ∈ Uאזי בפרט ` < 0ו־ . 0 < u
2
אילו היה מתקיים ` > uאז היה מתקיים a > ` > ` · u > u2 > aוזו כמובן סתירה .
לכן , ` < uכלומר . L ≤ Uכעת נובע מהשלמות של Rשקיים c ∈ Rכך ש־ . L ≤ c ≤ U
בפרט , 1 6 c 6 aכי 1 ∈ Lו־ . a ∈ U
– אם
c2 < a
אז נסמן
a − c2
= a
2c + 1
a−c2 1
2c+1 , 2
. ε = minשימו לב ש־ < 1
1
2
. 0 < ε 6בנוסף מתקיים :
)c2 + 2c · ε + ε = c2 + (2c + 1) ε 6 c2 + (2c + 1
<
(c + ε)2 = c2 + 2c · ε + ε2
0<ε<1 ⇒ ε2 <ε
היות ו־ , c + ε ∈ R+זה מראה ש־ , c + ε ∈ Lוזו סתירה כי ) c < c + εמצאנו איבר של Lמימין ל־ . ( c
– אם a < c2
אז נסמן
c2 −a c
2c , 2
c2 − a
= a
2c
. ε = minשימו לב ש־ < c
c
2
. 0 < ε 6בנוסף מתקיים :
· (c − ε)2 = c2 − 2c · ε + ε2 > c2 − 2c · ε > c2 − 2c
היות ו־ , c − ε ∈ R+זה מראה ש־ , c − ε ∈ Uוזו סתירה כי ) c − ε < cמצאנו איבר של Uמשמאל ל־ . ( c
ההנחות c2 < aו־ c2 > aהובילו כל אחת לסתירה ,ולכן נובע מטריכוטומיה ש־ . c2 = a
כלומר cהוא פתרון אי־שלילי של המשוואה , x2 = aכנדרש . .
21
1
a
= . 1 < a0מהסעיף הקודם נובע שקיים 1 6 c ∈ Rכך ש־ , c2 = a0
• אם 0 < a < 1נסמן :
2
ולכן . 1c = c12 = a10 = aכלומר
1
c
= xמקיים את הנדרש .
הגדרה
יהי . 0 6 a ∈ Rלמספר היחיד 0 6 x ∈ Rהמקיים x2 = aנקרא השורש הריבועי של aונסמנו a
√
=.x
הערה
√
√
יהי . 0 < a ∈ Rלמשוואה x2 = aיש בדיוק שני פתרונות ב־ x = a : Rו־ . x = − a
√ 2
√ 2
√
√
) כי ( x2 = a ⇔ x2 = ( a) ⇔ x2 − ( a) = 0 ⇔ (x − a) (x + a) = 0
קיים 0 6 x ∈ Rהמקיים ) x2 = 2והוא 2
בפרט √
כלומר 2הוא אי־רציונלי .
√
( .היות וראינו כי לכל q ∈ Qמתקיים , q 2 6= 2נוכל להסיק ש־ 2 ∈ R\Q
√
,
באותו אופן בו הוכחנו את המשפט על קיום שורשים ריבועיים ב־ , Rמוכיחים את המשפט היותר כללי הבא :
משפט ) קיום שורשים מסדר כלשהו ב־ ( R
יהי 0 6 a ∈ Rו־ . n ∈ Nאז קיים 0 6 x ∈ Rיחיד המקיים . x = a
n
הגדרה :יהי . 0 6 a ∈ Rלמספר היחיד 0 6 x ∈ Rהמקיים xn = aנקרא השורש מסדר nשל aונסמנו a
√
n
=.x
אחד הכלים שמשתשים בו כדי להוכיח את המשפט אודות קיום שורשים מסדר כלשהו ב־ Rהוא אי־השוויון השימושי הבא:
טענה )אי־שוויון ברנולי( − 1 < x ⇒ (1 + x)n > 1 + n x :
הוכחה :
ההוכחה תהיה באינדוקציה על . nיהי . −1 < x ∈ R
בסיס האינדוקציה :עבור n = 1
∀n ∈ N ∀x ∈ R
. (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1 · x
אי־השוויון נכון כי
הנחת האינדוקציה :נניח שאי־השוויון נכון עבור המספר הטבעי , 1 6 kכלומר ש־ :
k
. (1 + x) > 1 + k x
נשים לב ש־ 1 + x > 0ולכן נובע מהאקסיומה O4שמותר לכפול כל אגף של הנחת האינדוקציה ב־ 1 + xולקבל :
>0
{|}z
= (1 + x)k (1 + x) > (1 + k x)(1 + x) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + (k + 1)x
(1 + x)k+1
כלומר אי־השוויון נכון עבור . k + 1מעקרון האינדקציה נובע שאי־השוויון נכון עבור כל nטבעי.
חזקה עם מעריך רציונלי ) החומר הזה מועבר בתרגול (
כעת נעבוד ב־ Rבלבד!
תזכורת ־ בהינתן 0 < a ∈ Rו־ , n ∈ Nקיים 0 < x ∈ Rאחד ויחיד שפותר את המשוואה . xn = a
√
1
xנקרא השורש מסדר nשל aוהוא מסומן x = n aאו . x = a n
1 m1
1 n1
1
. a nm = a n
= am
טענה ־ יהיו n, m ∈ Nו־ . 0 < a ∈ Rאז מתקיים
הוכחה
נסמן a :
p
√
n m
=
n1
1
x3 = a m
,
a
√p
m
n
=
m1
1
x2 = a n
נשים לב ש־ x2 , x1ו־ x3חיוביים.
.
מעצם ההגדרה של x1מתקיים = a
1 m n
n
m
1
1
m n
= ) ) = ((x2
an
= an
כמו כן = a :
,
a
√
nm
1
= . x1 = a nm
xnm
1
. (x2 )nm = (x2 )mn
באותו אופן מוכיחים ש־ . (x3 )nm = a
22
לכן x2 , x1ו־ x3פתרונות של המשוואה . xnm = aהיות ולמשוואה פתרון חיובי יחיד x2 , x1 ,ו־ x3מתלכדים.
הגדרה
יהי 0 < a ∈ Rו־ . r ∈ Qנרשום , r = p/qכאשר p ∈ Zו־ ) q ∈ Nלמה יש כאלה?( .
p
√ p
המספר ap/qמוגדר על ידי
). ap/q = a1/q = ( q a
הערות
א( שימו לב שבשלב זה מדובר בהגדרה בלבד ואי אפשר לעשות איתה חישובים כלשהם מחוקי חזקות.
p
ב( a1/qמוגדר כי ) 0 6= a1/qלמעשה 0 < a1/qבגלל ש־ .( 0 < a
טענה
יהי p ∈ Z , 0 < a ∈ Rו־ . q ∈ Nאזי מתקיים ap
הוכחה
מעצם ההגדרה,
ap
√
q
מצד שני מתקיים :
√
q
1
q
= ) ) ap/q = (apכלומר שורש וחזקה מתחלפים(.
p 1/q
p
q
) x1 = (aפותר את המשוואה . x = a
=
q
p
q
p
pq
qp
q
, ap/q = a1/q
= a1/q
= a1/q
= a1/q
= ap
כאשר השיוויון השני והרביעי מסתמכים על טענה שהוכחנו כבר לחזקות שלמות.
הראינו ש־ x2 = ap/qגם הוא פתרון של המשוואה . xq = apמיחידות הפתרון נובע ש־ , x1 = x2כנדרש.
טענה )מוגדרות היטב של החזקה הרציונלית(
p
q
pk
qk
יהי p ∈ Z , 0 < a ∈ Rו־ . q ∈ Nלכל k ∈ Nמתקיים
הוכחה
q
p
p/q
aפתרון של המשוואה . x = a
הראינו במהלך ההוכחה הקודמת ש־
יהי . k ∈ Nאזי מתקיים :
pk q 1 pk q 1 pkq 1 qkp 1 qk p
a qk
=
a qk
= a qk
= a qk
=
a qk
= ap
=a
.a
כאשר השוויון הראשון מסתמך על הטענה הקודמת והשני והרביעי על טענה שהוכחנו כבר לחזקות שלמות.
p
pk
pk
לבן a qkגם הוא פתרון של המשוואה , xq = apועל כן נובע מיחידות הפתרון ש־ , a qk = a qכנדרש.
משפט
לכל , 0 < a, b ∈ Rהתכונות 1 − 4שצוינו עבור מעריך טבעי נכונות עבור מעריך רציונלי ,כלומר :
.1לכל 0 < a ∈ Rולכל r1 , r2 ∈ Qמתקיים . ar1 +r2 = ar1 · ar2
.2לכל 0 < a ∈ Rולכל r1 , r2 ∈ Qמתקיים . (ar1 )r2 = ar1 r2
.3לכל 0 < a, b ∈ Rולכל r ∈ Qמתקיים . (ab)r = ar · br
r
r
.4לכל 0 < a, b ∈ Rולכל r ∈ Qמתקיים . ab = abr
הוכחה
.1נסמן r1 = m/nו־ , r2 = p/qעם m, p ∈ Zו־ . n, q ∈ N
p
m
שלב א ־ נראה ש־ ar1 · ar2 = a n · a qפותר את המשוואה . xnq = amq+np
pnq
a1/q
mnq
amq+np
a1/n
=
=
m nq 1/q p nq
· a
a1/n
amq · anp
=
=
nq
· ap/q
nq
am/n
n mq 1/q q np
· a
a1/n
כאשר השוויונים מבוססים על זהויות של חזקות שלמות שראינו ועל ההגדרה של חזקה רציונלית.
23
=
=
nq
p
m
a n · aq
שלב ב ־ כעת נראה ש־ ar1 +r2 = am/n+p/qגם פותר את המשוואה . xnq = amq+np
nq
nq
nq
1
am/n+p/q
= a(mq+np)/nq
= (amq+np ) nq
= amq+np
המעבר הראשון מבוסס על כך שהחזקה הרציונלית מוגדרות היטב והשני על הטענה ששורש וחזקה מתחלפים.
מיחידות הפתרון של המשוואה xnq = amq+npנובע ש־ , ar1 +r2 = ar1 · ar2כנדרש.
. 2נסמן r1 = m/nו־ , r2 = p/qעם m, p ∈ Zו־ . n, q ∈ Nאזי . r1 r2 = mp/nq
נראה ש־ ar1 r2 = amp/nqפותר את המשוואה . xnq = amp
nq
nq
1/nq
= amp/nq
) = (amp
= amp
nq
) (ar1 r2
כעת נראה ש־ (ar1 )r2גם פותר את המשוואה . xnq = amp
nq
nq
n p
p/q
p 1/q
p n
p
n p
1/n
) = (ar1
) ) = ((ar1
) = ((ar1 ) ) = ((ar1 ) ) = (am
= (am ) = amp
מיחידות הפתרון של המשוואה xnq = ampנובע ש־ , (ar1 )r2 = ar1 r2כנדרש.
nq
) ((ar1 )r2
שאר ההוכחות מושארות כתרגיל.
הערה ־ על נחיצותן של הוכחות
במדעים מדוייקים כגון פיזיקה או ביולוגיה ,טענה נחשבת לנכונה כל עוד לא נצפתה תופעה שסותרת אותה .
√
∈ 1 + 991 n2
נתבונן בטענה הבאה / N :
∀n ∈ N
באמצעות מחשב בעל זמן חישוב ממוצע של מספר טבעי לשנייה .בתנאים אלו לעולם לא תתקבל תוצאה טבעית ,
נבדוק את הטענה
√
לא בגלל ש־ 1 + 991 n2הוא אף פעם לא טבעי ,אלא בגלל שהמספר הטבעי הקטן ביותר שעבורו התוצאה כן יוצאת טבעית הוא
12, 055, 735, 790, 331, 359, 447, 442, 538, 767 ' 1.2 · 1028
הזמן שיקח להגיע לתוצאה זו הוא בערך 4 · 1020שנה ,כשגיל היקום הוא בערך 1.5 · 1010שנה .
סימון :קטעים וקרניים
הגדרה
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < b
[a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} .1
נקרא קטע סגור.
[a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b} .2
נקרא קטע חצי סגור חצי פתוח.
(a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b} .3
נקרא קטע חצי פתוח חצי סגור.
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} .4
נקרא קטע פתוח.
כל הקטעים מהסוג 4־ 1הם תת־קבוצות חסומות של Rונקראים קטעים חסומים .
עבור כל סוגי הקטעים החסומים שהגדרנו לעיל ,המספר
a+b
2
נקרא `מרכז הקטע`.
לפעמים מסמנים גם }. [a, a] = {a
נגדיר גם קטעים לא חסומים :
[a, ∞) = {x ∈ R | a 6 x} .5
נקרא קרן ימנית סגורה.
(a, ∞) = {x ∈ R | a < x} .6
נקרא קרן ימנית פתוחה.
24
(−∞, a] = {x ∈ R | x 6 a} .7
נקרא קרן שמאלית סגורה.
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a} .8
נקרא קרן שמאלית פתוחה.
.9לפעמים מסמנים גם )∞ (−∞,במקום . R
הערה סופר חשובה :
∈ ∞−
/R
∈∞
/R ,
!!!
נדגיש שהמילה `קטע` כוללת את שני סוגי הקטעים למעלה ,בעוד `קרן` מתייחס רק לסוג השני.
25
סדרות ב־ R
הגדרה
יהיו Aו־ Bקבוצות .בשם `פונקציה מ־ Aל־ `Bנקרא לחוק המתאים לכל a ∈ Aאיבר יחיד . b ∈ Bנסמן חוק זה ב־
, f : A → Bכאשר fהיא שם הפונקציה )או החוק( .ל־ Aנקרא התחום של הפונקציה , fול־ Bנקרא הטווח של . f
הערות
• שתי פונקציות הן שוות אם`ם יש לשתיהן אותו תחום ,אותו טווח ואותו כלל התאמה .למשל :
=6
)∞ g : R → [0,
x 7→ x2
f :R→R
x 7→ x2
• יהי . a ∈ Aנסמן ב־ ) f (aאת האיבר b ∈ Bהמתאים ל־ aע`י f (a) . fנקרא התמונה של . a
• לא כל איבר b ∈ Bחייב להתקבל כאיבר המותאם ע`י fלאיבר כלשהו . a ∈ Aתת־הקבוצה של הטווח Bהמכילה
את כל האיברים b ∈ Bהמתאימים לאיבר כלשהו a ∈ Aע`י fנקראת התמונה של fומסומנת ) Im(fאו ): f (A
}. Im(f ) = f (A) = {f (a) | a ∈ A
• בקורס שלנו A ⊆ R :וגם ) B ⊆ Rפונקציה ממשית במשתנה ממשי ( .
• תיאור גרפי של פונקציות ממשית במשתנה ממשי ניתן לבצע ע`י ציור מישור בעל שני צירים אנכיים זה לזה ,כאשר ציר אחד
מייצג את הערכים , a ∈ A ⊆ Rוהשני את הערכים . b ∈ B ⊆ R
דוגמה :אם f : R → Rנתונה ע`י ] , f (x) = [xאזי (f ) = Z
.
Im
הגדרה :סדרה ב־ Rהיא פונקציה . f : N → R
סימון :תהי fסדרה ב־ . Rעבור , n ∈ Nנהוג לסמן fnבמקום ) ) f (nכדי לחסוך בסוגריים.(...
∞
הסדרה fכולה מסמונת (fn )n=1 :או ) . ( f1 , f2 , f3 , ... , fn , ...
דוגמאות
∞) ) (fnהמוגדרת ע`י fn = λלכל (n ∈ Nנקראת סדרה קבועה.
.1יהי λ ∈ Rנתון .הסדרה ) n=1 = ( λ , λ , λ , ..., λ , ...
, ... ) .2
1
n
, ... ,
1
3
,
1
2
∞) . (hnכאן
n=1 = ( 1 ,
1
n
= hnלכל nטבעי hn .נקראת הסדרה ההרמונית.
∞) . (qnכאן qn = (−1)n−1לכל nטבעי.
n=1 = ( 1 , −1 , 1 , −1 , ... , 1 , −1 , ... ) .3
.4לא תמיד אפשר לתת נוסחה מפורשת לסדרה.
לדוגמה= ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , ... ) :
∞) (pn
n=1
,כאשר pnהוא המספר הראשוני ה־n־י.
שימו לב שעצם הכתיבה של סדרה זו מתבססת על הטענה שיש אינסוף מספרים ראשוניים.
הערה
∞) (fnלבין
צריך להבדיל בין סדרה n=1
∞
למשל ,הסדרות (an )n=1 = (−1)n−1
∞) (an
אך a1 6= b1ולכן הפונקציות n=1
תמונתה ,שהיא קבוצת איברי הסדרה } . { fn | n ∈ N
n
∞) (bnבעלות שתיהן את אותה קבוצת איברים }, {−1, 1
ו־ )n=1 = (−1
∞
ו־ (bn )n=1שונות ) .כאן למעשה ( . ∀n ∈ N an 6= bn
גבול
הגדרה
תהי
∞) (an
n=1
סדרה ב־ . Rמספר ממשי L ∈ Rיקרא גבול של הסדרה
|an − L| < ε
במקרה זה נסמן
⇒
n>N
∞) (an
n=1
אם`ם :
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
. an −→ L
∞→ n
פירוש גיאומטרי :
26
). |an − L| < ε ⇔ −ε < an − L < ε ⇔ L − ε < an < L + ε ⇔ an ∈ (L − ε, L + ε
נשים לב ש־
כלומר ,אם נשרטט את הגרף של הפונקציה a : N → Rבמערכת קרטזית רגילה אז קיים מקום Nעל ציר ה־ xשהחל ממנו והלאה
כל איברי הסדרה מוכלים בקטע ) (L − ε, L + εעל ציר ה־ . y
משפט
תהי
∞) (an
n=1
סדרה ב־ , Rויהיו L1ו־ L2ב־ . Rאם an −→ L1וגם , an −→ L2אזי . L1 = L2
∞→ n
∞→ n
כלומר :אם לסדרה יש גבול אז הוא יחיד.
הוכחה :
נניח בשלילה ש־ . L1 6= L2נסמן
| |L1 −L2
2
=.0<ε
מ־ an −→ L1נובע שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים . |an − L1 | < ε :
∞→ n
מ־ an −→ L2נובע שקיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים . |an − L2 | < ε :
∞→ n
נסמן ) N = max(N1 , N2ונבחר ) N < n0 ∈ Nלמשל n0 = N1 + N2מתאים(.
אזי N1 < n0ו־ , N2 < n0ולכן |an0 − L1 | < εוגם . |an0 − L2 | < ε
אי־שוויון
| |L1 − an0 | + |an0 − L2 | < 2ε = |L1 − L2
כעת :
6
|) . |L1 − L2 | = | (L1 − an0 ) + (an0 − L2
המשולש
כלומר קיבלנו | . |L1 − L2 | < |L1 − L2סתירה זו מראה ש־ , L1 = L2כנדרש.
סימון :
אם לסדרה
∞) (an
n=1
(−1)n
n
דוגמה :
יש גבול אזי נסמן את הגבול ב־ . lim an
∞→n
= . an
נוכיח ש־ . lim an = 0
∞→n
יהי ε > 0נתון .הואיל ו־ Nאיננה חסומה מלעיל 1ε ,איננו חסם מלעיל של , Nולכן קיים n0 ∈ Nכך ש־ < n0
1
1
1
=
נבחר , N = n0ואז לכל N < nמתקיים < ε :
< .
n
N
n0
(−1)n
1
כלומר לכל N < nמתקיים= < ε :
n
n
) למעשה היינו יכולים לבחור ( . N = 1ε + 1
1
ε
.
= | , |an − 0| = |anכנדרש.
הגדרה
סדרה שיש לה גבול תקרא סדרה מתכנסת .סדרה שאין לה גבול תקרא סדרה מתבדרת.
דוגמה
)= (1, 0, 1, 0, 1, 0....
הסדרה
∞
n=1
1+(−1)n+1
2
=
∞) (an
n=1
מתבדרת.
הוכחה :
נניח בשלילה כי קיים גבול לסדרה . L = lim an
∞→n
נבחר
1
4
= , εואז קיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים :
1
4
< |. |an − L
יהי ) N < n0 ∈ Nלמשל .(n0 = N + 17
1 1
1
< |. |an0 +1 − an0 | = |an0 +1 − L + L − an0 | 6 |an0 +1 − L| + |an0 − L
+
=
מתקיים :
4 4
2
אבל {an0 , an0 +1 } = {0, 1} :ולכן . |an0 +1 − an0 | = |1 − 0| = 1
קיבלנו כי
1
2
∞) (anאיננה סדרה מתכנסת ,אלא מתבדרת.
< . 1זו סתירה ,ולכן n=1
27
הגדרה
סדרה תקרא חסומה )מלעיל ,מלרע( אם“ם קבוצת איברי הסדרה שלה חסומה )מלעיל ,מלרע( .
∞) (anחסומה מלעיל אם`ם קיים M ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . an 6 M
כלומר n=1 :
∞) (anחסומה מלרע אם`ם קיים m ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . m 6 an
n=1
∞) (anחסומה אם`ם קיימים m, M ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . m 6 an 6 M
n=1
∞) (anחסומה אם`ם קיים 0 < C ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . |an | 6 C
n=1
משפט
כל סדרה מתכנסת היא סדרה חסומה.
הוכחה :
תהי
∞) (an
n=1
סדרה מתכנסת .נסמן. L = lim an :
∞→n
נבחר ε = 1בהגדרת הגבול ,ואז קיים מספר טבעי Nכך שלכל N < nמתקיים . |an − L| < 1
מכאן נובע שלכל N < nמתקיים , ||an | − |L|| 6 |an − L| < 1 :ובפרט |an | < |L| + 1 :
. ∀n > N
נסמן , C = max(|a1 |, |a2 |, ..., |aN |, |L| + 1) :ואז מתקיים , ∀n ∈ N |an | 6 Cכנדרש.
הערות
• לא כל סדרה חסומה היא מתכנסת .למשל= ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , .... ) :
∞) (an
n=1
היא סדרה חסומה ,אך היא מתבדרת.
• המשפט הנ`ל יכול לשמש כקריטריון להתבדרות ,ז`א שלעיתים הוא מאפשר להכריע בקלות יחסית שסדרה נתונה מתבדרת.
∞
∞) (anאיננה חסומה מלעיל ולכן נובע מהמשפט הזה שהיא איננה מתכנסת.
למשל הסדרה ) n=1 = (n)n=1 = ( 1 , 2 , ... , n , ...
הגדרה
תהיה ) P (nטענה לגבי המספר הטבעי ) nלמשל ” nמתחלק ב־ .(”3נאמר ש־
• ”) P (nמתקיימת תמיד” אם
” )” ∀n ∈ N P (n
הוא פסוק אמת.
• ”) P (nמתקיימת החל ממקום מסויים” או ”) P (nמתקיימת לכל nגדול מספיק” או ”) P (nמתקיימת כמעט תמיד”,
אם קיים N ∈ Nכך ש־ ” )P (n
” ∀n > N
הוא פסוק אמת.
דהיינו P (n) ,מתקיימת פרט למספר סופי של ערכי ) nקבוצת ה־ n־ים עבורם ) P (nאיננה מתקיימת היא סופית(.
• ”) P (nמתקיימת אינסוף פעמים” או
”) P (nהיא תכונה שכיחה” ,אם ”)P (n
”∀N ∈ N ∃n > Nהוא פסוק אמת.
דהיינו ,אם יש אינסוף n־ים כך ש־ ) P (nמתקיימת.
דוגמאות
•
” . P (n) = ”∃k ∈ N n = k 2
זו תכונה שכיחה ,אך היא איננה מתקיימת תמיד ,וגם לא החל ממקום מסויים ) כלומר גם לא כמעט תמיד (.
•
יהי ε > 0קבוע .נגדיר ”. P (n) = ” n1 < ε
מארכימדיות נובע ש־ ) P (nמתקיימת לפחות עבור מספר טבעי אחד ,נגיד . n0
היות ולכל n ∈ Nמתקיימת הגרירה
1
1
6
<ε
n
n0
⇒
1 6 n0 6 n
ולכן נובע ש־ ) P (nמתקיימת החל ממקום מסויים ) למעשה החל מ־ .( n0
•
” nראשוני” = ). P (n
אפשר להוכיח ש־ ) P (nשכיחה ,כלומר שיש אינסוף מספרים ראשוניים.
אבל ) P (nאיננה מתקיימת כמעט תמיד )כי ) P (nאיננה מתקיימת עבור אף איבר של הקבוצה
שהיא קבוצה אינסופית(.
28
2k | 1 < k ∈ N
,
הערות
.1תכונה המתקיימת החל ממקום מסויים בוודאי מתקיימת אינסוף פעמים`) .כמעט תמיד` גורר `שכיח`(
.2יהיו ) P1 (nו־ ) P2 (nשתי טענות לגבי המספר הטבעי . nנסמן Q(n) = ”P1 (n) ∧ P2 (n)” :
)כלומר ) Q(nהיא הטענה ש־ ) P1 (nו־ ) P2 (nמתקיימות בו־זמנית עבור (n
אם ) P1 (nו־ ) P2 (nמתקיימות כל אחת החל ממקום מסויים אז גם ) Q(nנכונה החל ממקום מסויים.
למעשה אם עבור Pi (n) , i = 1, 2מתקיימת לכל , n > Ni ∈ Nאז ) Q(nמתקיימת לכל } . n > N = max{N1 , N2
נחקור כעת את הקשרים בין מושג הגבול לבין יחס הסדר ב־ . R
משפט )אי־שוויון חריף בין גבולות של שתי סדרות מתכנסות(
∞
∞) (bnשתי סדרות מתכנסות ,כך ש־ lim an = Aו־ . lim bn = B
יהיו (an )n=1ו־ n=1
∞→n
∞→n
אם , A < Bאזי קיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים . an < bn
הוכחה :
נסמן
B−A
2
=.0<ε
מ־ lim an = Aנובע שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים . |an − A| < ε
∞→n
באותו אופן קיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים . |bn − B| < ε
נסמן ) , N = max(N1 , N2ואז לכל N < nמתקיים |an − A| < εוגם . |bn − B| < ε
ז`א שלכל N < nמתקיים :
A+B
= B − ε < bn
2
כלומר < bn
A+B
2
< an
= an < A + ε
, ∀n > Nכנדרש.
הערה )!( :אם ידוע רק כי , A 6 Bלא ניתן להסיק ש־ an 6 bnהחל ממקום מסוים.
דוגמה :
1
n
, bn = 1 −
1
n
, an = 1 +ואז
lim an = 1 = Aו־ . lim bn = 1 = B
∞→n
∞→n
כלומר , A 6 Bאבל bn < anלכל nטבעי .
משפט )אי־שוויון שכיח בין האיברים של שתי סדרות מתכנסות(
∞
∞) (bnשתי סדרות מתכנסות ,כך ש־ lim an = Aו־ . lim bn = B
יהיו (an )n=1ו־ n=1
∞→n
אם עבור אינסוף אינדקסים nמתקיים , an 6 bnאזי בהכרח
∞→n
.A6B
הוכחה :
נניח בשלילה ש־ . B < Aאזי נובע מהמשפט הקודם שקיים N ∈ Nכך ש־ bn < an
. ∀n > N
אבל מהנתון נובע שקיים N < n0שעבורו , an0 6 bn0ולכן מתקיים , bn0 < an0 6 bn0בסתירה לטריכוטומיה.
הערה )!( :אם במשפט הקודם מחזקים את ההנחה ל־ an < bn
דוגמה :
1
n
, bn = 1 +
1
n
עבור כל nטבעי ,עדיין לא ניתן להסיק ש־ . A < B
. an = 1 −אז an < bnעבור כל nטבעי ,אבל . A = 1 = B
טענה
∞) (anסדרה כמעט קבועה ,ז`א קיימים N0 ∈ Nו־ λ ∈ Rכך שלכל N0 < nמתקיים . an = λאזי . lim an = λ
תהי n=1
∞→n
הוכחה :
לכל ε > 0נבחר , N = N0ואז לכל N < nמתקיים . |an − λ| = |λ − λ| = 0 < ε
29
מסקנות משני המשפטים האחרונים :
∞) (bnסדרה מתכנסת כך ש־ , lim bn = Bונניח ש־ . ( B < 0 ) 0 < B
• תהי n=1
∞→n
∀n > N
אזי קיים N ∈ Nכך ש־ 0 < bn
) bn < 0
.( ∀n > N
הוכחה :
נסמן an = 0 :לכל ) nכלומר ) = ( 0 , 0 , 0 , ... , 0 , ...
∞) (an
n=1
( .אזי , lim an = A = 0ועל כן
∞→n
.0=A<B
מהמשפט על אי־שוויון חריף בין גבולות נובע שקיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים , an < bnכנדרש.
∞) (bnסדרה מתכנסת ונניח שקיים מספר ממשי λכך שעבור אינסוף אינדקסים nמתקיים .( bn 6 λ ) λ 6 bn
• תהי n=1
) .( lim bn 6 λ
אזי λ 6 lim bn
∞→n
∞→n
הוכחה :מגדירים an = λ :לכל nומפעילים את המשפט השני בתזכורת .
הערה )!( :אפילו אם ידוע כי λ < bn
, ∀n > N0לא ניתן להסיק ש־ . λ < lim bn
∞→n
משפט )משפט הכריך(
∞
∞
∞) (cnשלוש סדרות המקיימות את התנאים הבאים:
יהיו (bn )n=1 , (an )n=1ו־ n=1
an 6 bn 6 cn .1
∃N0 ∈ N ∀n > N0
∞
∞) (cnמתכנסות.
(an )n=1 .2ו־ n=1
. lim an = lim cn .3
∞→n
∞→n
∞) (bnמתכנסת ומתקיים :
אזי הסדרה n=1
. lim an = lim bn = lim cn
∞→n
∞→n
∞→n
הוכחה :
נסמן . lim an = L = lim cn :יהי ε > 0נתון.
∞→n
∞→n
מ־ lim an = Lנובע שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים . |an − L| < ε :
∞→n
מ־ lim cn = Lנובע שקיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים . |cn − L| < ε :
∞→n
נגדיר ) , N = max(N0 , N1 , N2ואז לכל N < nמתקיים . L − ε < an 6 bn 6 cn < L + ε
∞) (bnומתכנסת ל־ , Lכנדרש.
כלומר ,לכל N < nמתקיים , |bn − L| < εוע`כ n=1
דוגמה )!(
∞) . (q n
יהי q ∈ Rנתון כך ש־ , 0 6 q < 1ונתבונן בסדרה n=1
·
·
∞) , (q nולכן היא מתכנסת ל־ . 0
אם q = 0נקבל סדרה קבועה ) n=1 = ( 0 , 0 , 0 , ... , 0 , ...
1
1
אחרת מתקיים , 0 < q < 1ואז . > 1נסמן − 1 > 0 :
q
q
1
מכאן :
(1 + h)n
נסמן :
מתקיים
=h
1
ואז
1+h
=.q
= . q nמאי־שוויון ברנולי נובע כי , (1 + h)n >1 + n h > n hולכן
1
bn = q n , an = 0ו־
nh
1
=0
n→∞ nh
1
nh
< . 0 < qn
= . cn
∞
∞
∞) (cnמקיימות את תנאי משפט הכריך.
, lim cn = limולכן הסדרות (bn )n=1 , (an )n=1ו־ n=1
∞→n
∞) (q nמתכנסת ומתקיים . lim q n = 0 :
מסקנה :עבור 0 6 q < 1הסדרה n=1
∞→n
30
אלגברה )אריתמטיקה( של סדרות מתכנסות
נדון בקשרים בין מושג ההתכנסות לפעולות ב־ . R
משפט
שתי סדרות מתכנסות.
ו־
יהיו
אזי הסדרה ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ... , an + bn , ...
∞) (bn
n=1
∞) (an
n=1
∞) (an + bnמתכנסת אף היא ומתקיים :
n=1
lim (an + bn ) = lim an + lim bn
∞→n
∞→n
∞→n
הוכחה :
נסמן lim an = Aו־ . lim bn = Bיהי ε > 0נתון.
∞→n
∞→n
ε
מ־ lim an = Aנובע שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים . |an − A| < :
∞→n
2
ε
מ־ lim bn = Bנובע שקיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים . |bn − B| < :
∞→n
2
נגדיר ) , N = max(N1 , N2ואז לכל N < nמתקיים :
ε ε
+
= ε
2 2
< ||(an + bn ) − (A + B)| = |(an − A) + (bn − B)| 6 |an − A| + |bn − B
∞) (an + bnמתכנסת ל־ , A + Bכנדרש.
לכן n=1
דוגמה :
הערה
אם
= lim (2 + n1 ) = lim 2 + lim
1
n→∞ n
=2+0=2
∞) (an
n=1
ו־
∞) (bn
n=1
∞→n
שתי סדרות כך
∞→n
∞) (an + bn
ש־ n=1
2n+1
n
. lim
∞→n
מתכנסת ,לאו דווקא מתקיים . lim (an + bn ) = lim an + lim bn :
∞→n
∞→n
∞→n
n−1
∞) (an + bnולכן . lim (an + bn ) = 0
דוגמה , bn = (−1)n :
) . an = (−1אזי ) n=1 = (0 , 0 , 0 , ... , 0 , ...
∞→n
∞
∞) (bnאיננה מתכנסת.
אך אף אחת משתי הסדרות (an )n=1ו־ n=1
משפט
∞
∞) (bnשתי סדרות מתכנסות.
ו־
(a
)
יהיו n n=1
n=1
∞) (an · bnמתכנסת ומתקיים ) . lim (an bn ) = ( lim an )( lim bn
אזי הסדרה )n=1 = ( a1 b1 , a2 b2 , ... , an bn , ...
∞→n
∞→n
∞→n
הוכחה :
מתכנסת היא חסומה ,ז`א קיים 0 6 M ∈ Rכך שלכל nטבעי . |an | 6 M
הואיל
נסמן lim an = Aו־ , lim bn = Bואז מתקיים:
∞) (an
ו־ n=1
∞→n
∞→n
|)|an bn − AB| = |an bn − an B + an B − AB| = |an (bn − B) + B(an − A
|6 |an (bn − B)| + |B(an − A)| = |an ||bn − B| + |B||an − A
|6 M |bn − B| + |B| |an − A
כעת יהי ε > 0נתון.
ε
מ־ lim an = Aנובע שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים :
< |. |an − A
∞→n
)2 (|B| + 1
ε
< |. |bn − B
מ־ lim bn = Bנובע שקיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים :
∞→n
)2 (M + 1
נסמן ) , N = max(N1 , N2ואז לכל N < nמתקיים:
ε ε
+
= ε
2 2
<
ε
ε
|+ |B
)2 (M + 1
)2 (|B| + 1
< ||an bn − AB| 6 M |bn − B| + |B| |an − A
M
∞) (an bnמתכנסת ל־ , ABכנדרש.
לכן n=1
31
מסקנות
∞
∞) (λbnמתכנסת ומתקיים. lim (λbn ) = λ lim bn :
• תהי (bn )n=1סדרה מתכנסת ו־ . λ ∈ Rאזי הסדרה n=1
∞→n
∞→n
) נגדיר .( ∀n ∈ N an = λלכן קבוצת כל הסדרות המתכנסות היא תת־מרחב וקטורי של מרחב כל הסדרות הממשיות.
∞) (−bnמתכנסת ו־ . lim (−bn ) = − lim bn
בפרט עבור , λ = −1הסדרה n=1
∞→n
∞→n
∞
∞) (bnסדרות מתכנסות ,אזי ) . lim (an − bn ) = lim an − lim bnכי ) ( an − bn = an + (−bn
• אם (an )n=1ו־ n=1
∞→n
∞→n
∞→n
משפט
∞) (bnסדרה כך ש־ . ∀n ∈ N bn 6= 0
תהי n=1
∞) (bnמתכנסת ל־ , B 6= 0אזי הסדרה
אם n=1
1 1
1
,
, ... ,
, ...
b1 b2
bn
∞
=
n=1
1
bn
1
=
מתכנסת ו־
B
1
bn
. lim
∞→n
הוכחה :
⇒
הגדרת הגבול lim bn = Bאומרת |bn − B| < ε1 :
∞→n
. ∀ε1 > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
n>N
||B
< |. |bn − B
| ε1 = |Bונקבל שקיים N1 ∈ Nכך שלכל N1 < nמתקיים :
ראשית נציב בה 2 > 0
2
מאי־שוויון המשולש ההפוך נובע ש־ | ||bn | − |B|| 6 |bn − Bולכן מתקיים עבור כל : N1 < n
||B
| < |bn
2
⇒
||B
2
< ||||bn | − |B
⇒
||B
2
< ||bn − B
1
B − bn
| |B − bn
||bn − B
||bn − B
2
1
=
=
=
|< |B
מכאן נובע שלכל N1 < nמתקיים = 2 |bn − B| :
−
bn
B
bn B
||bn B
||bn ||B
B
||B
.
2
B2ε
כעת ,בהינתן , ε > 0נציב > 0
2
B2ε
< |. |bn − B
2
= ε1בהגדרת הגבול lim bn = Bונקבל שקיים N2 ∈ Nכך שלכל N2 < nמתקיים :
∞→n
1
2
2 B2ε
1
< 2 |bn − B| < 2
=ε
−
bn
B
B
B 2
נגדיר ) N = max(N1 , N2ואז לכל N < nמתקיים :
ז`א
1
1
=
bn
B
,
, limכנדרש.
∞→n
הערה
||B
עבור כל . N1 < n
במהלך ההוכחה הראינו שאם , lim bn = B 6= 0אז מתקיים | < |bn
∞→n
2
B
B
,וכאשר B < 0מתקיים כמעט תמיד
ביתר פירוט :כאשר B > 0מתקיים כמעט תמיד < bn
< . bn
2
2
זהו חיזוק למשפט האומר שאם , lim bn = B 6= 0אזי bnו־ Bכמעט תמיד בעלי אותו סימן.
∞→n
מסקנה
∞) (bn
ו־ n=1
∞
an
∞) (an
n=1
מתכנסת ל־ A
אם
a1 a2
an
=
,
, ...,
, ...
b1 b2
bn
n=1
דוגמה
1+5·0
=
=1
1+2·0
+ 5 n1 n1 n1
1 + 2 n1
1
bn
= lim
∞→n
מתכנסת ל־ , B 6= 0ו־ , ∀n ∈ N bn 6= 0אזי הסדרה
lim an
1
∞→an A n
· = an
) . limכי
=
=
מתכנסת ומתקיים
n→∞ bn
bn
B
lim bn
∞→n
1 + n53
lim
n→∞ 1 + 2
n
3
n +5
=
n3 + 2n2
lim
∞→n
משפט ) חסומה כפול אפסה (
∞) (anסדרה מתכנסת כך ש־ , lim an = 0ותהי
תהי n=1
∞→n
∞) (bn
n=1
סדרה חסומה.
∞) (cnמתכנסת ,ו־ . lim cn = 0
אזי הסדרה ) n=1 = ( a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ..., an bn , . . .
∞→n
32
an
bn
(
הוכחה :
∞) (bn
n=1
פירושה שקיים , 0 < M ∈ Rכך ש־ . ∀n ∈ N |bn | 6 M
חסימות הסדרה
יהי ε > 0נתון .מ־ lim an = 0נובע שקיים , N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים :
ε
M +1
∞→n
< |. |an − 0
מכאן נובע שלכל N < nמתקיים :
ε
M <ε
M +1
< | |cn − 0| = |cn | = |an bn | = |an ||bn
,ולכן . lim cn = 0
∞→n
דוגמה
∞) (cnהמוגדרת ע`י
הסדרה n=1
נימוק :נסמן
(−1)n−1
n
)(−1)n−1 cos(n
n
= cnמתככנסת ו־ . lim cn = 0
∞→n
= anו־ ) . bn = cos(nראינו לעיל ש־ lim an = 0ולכל nמתקיים . |bn | 6 1
∞→n
היות ו־ , cn = an bnהתוצאה נובעת מהמשפט הנ`ל.
משפט
תהי
∞) (an
n=1
סדרה המתכנסת ל־ . Aאזי ) = ( |a1 | , |a2 | , ... , |an | , ...
∞)| (|an
n=1
מתכנסת ו־ |. lim |an | = |A
∞→n
הוכחה :
⇒
הגדרת הגבול lim an = Aאומרת |an − A| < ε :
∞→n
. ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
n>N
מאי־שוויון המשולש ההפוך נובע ש־ | ||an | − |A|| 6 |an − Aעבור כל nטבעי.
לכן ,בהינתן , ε > 0נקבל שעבור כל nהגול מ־ Nמתקיים . ||an | − |A|| 6 |an − A| < ε :
כלומר הראינו ש־ ||an | − |A|| < ε
⇒
וזאת בדיוק הגדרת ההתכנסות של
∞)| (|an
n=1
, ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
n>N
ל־ |. |A
משפט
lim an = 0
∞→n
⇔
| 0 = lim |an
∞→n
)הוכחה בתרגיל(
מסקנה
n
n
n
יהי q ∈ Rכך ש־ .−1 < q < 1אזי מתקיים ) lim q = 0כי |.(|q | = |q
∞→n
טענה )`כלל השורש` באריתמטיקה של גבולות(
∞) (anסדרת מספרים אי שליליים המתכנסת לגבול . Lאז L
תהי n=1
√
= an
√
. lim
∞→n
הוכחה
. (∗) ∀ε1 > 0 ∃N1 ∈ N ∀n ∈ N
נתון n > N1 ⇒ |an − L| < ε1
√
√
צריך להוכיח n > N ⇒ | an − L| < ε :
(∗∗) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
06an
√
↓
√
√
√
= |. | an − L| = | an − 0
• אם L = 0אז an
√
√
√
2
לכן ,בהינתן , ε > 0אי־השוויון | an − L| < εשקול ל־ , an < εששקול ל־ . an < ε
נציב ε1 = ε2ב־ )∗( ונקבל N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים . an = |an − 0| < ε2
√
√
לכן an < εעבור כל , n > N1כלומר N = N1ממש את הגרירה ב־ )∗∗( .מכאן נובע ש־ . lim an = 0
∞→n
• נניח כעת ש־ . L > 0לכל nטבעי נוכל לרשום במקרה זה :
an − L
||a − L
1
|√ = √ n √ 6 √ |an − L
an + L
an + L
L
33
√
√ = L
an −
√
)∗ ∗ ∗(
√
√
לכן ,בהינתן , ε > 0נציב ε1 = ε Lב־ )∗( ונקבל N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים . |an − L| < ε L
√
√
√
,
כעת נובע מ־ )∗ ∗ ∗( שעבור כל n > N1מתקיים an − L 6 √1L |an − L| < √1L ε L = ε
√
√
כלומר N = N1ממש את הגרירה ב־ )∗∗( .מכאן נובע ש־ . lim an = L
∞→n
הערה ־ התוצאה הזו מוכללת לכל שורש k־י בעזרת שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר שראינו בעבר.
טענה
יהי . a > 0אזי הסדרה ) a , ...
√
n
a , ... ,
√
4
a,
√
3
a,
√
∞)a
n=1 = ( a ,
√
n
( מתכנסת ומתקיים a = 1
√
n
. lim
∞→n
הוכחה :
נפריד למקרים:
.1אם , a = 1אזי הסדרה היא קבועה ) , ( 1 , 1 , 1 , ... , 1 , ...ולכן היא מתכנסת ל־. 1
√
√
√
.2אם , a > 1אזי ) n a > 1אחרת n a 6 1ואז .( a = ( n a)n 6 1
√
∞
כלומר הסדרה (hn )n=1המוגדרת על ידי hn = n a − 1 :מקיימת . 0 < hnמכאן:
a−1
n
ז`א :
a−1
n
Bernoulli
↓
hn 6
. 0 < hn 6לכל n
אזי , 0 = lim an = lim cn
∞→n
∞→n
⇒
1 + nhn
a = (1 + hn )n
>
a−1
טבעי נסמן an = 0 :ו־
n
∞
ולכן נובע ממשפט הכריך ש־ (hn )n=1
⇒
a = 1 + hn
√
n
= . cn
מתכנסת ו־ . lim hn = 0
∞→n
מכאן:
a = lim (1 + hn ) = 1 + 0 = 1
∞→n
.3אם , 0 < a < 1אזי
1
a
< , 1ולכן נובע ממה שכרגע הוכחנו ש־ = 1
1
=1
1
1
=
1
a
q
n
=
1
a
lim
∞→n
1
a
q
n
√
n
lim
∞→n
, limומכאן
∞→n
1
a = lim q
n
√
n
∞→n
lim
∞→n
טענה
הסדרה ) n , ...
√
n
4 , ... ,
√
4
3,
√
3
2,
√
∞)n
n=1 = ( 1 ,
√
n
( מתכנסת ומתקיים n = 1
√
n
. lim
∞→n
הוכחה :
)n(n−1
2
2
n
> ). (1 + x
א( נוכיח ראשית שלכל 0 6 x ∈ Rולכל nטבעי מתקיים x :
עבור , n = 1אי־השוויון הנתון הוא , 1 + x > 0וזה בוודאי מתקיים.
עבור n > 2נשתמש בנוסחת הבינום של ניוטון :
n
X
n
לכל a, b ∈ Rולכל nטבעי מתקיים an−k bk :
= . (a + b)n
k
k=0
נציב a = 1ו־ b = xונקבל :
n
X
n
xk
k
= 1n−k xk
n
k
k=0
היות ו־ 2 6 nוכל המחברים אי־שליליים ,נובע ש־ :
n
)xk = 1 + nx + n(n−1
)x2 > n(n−1
x2
2
2
k
ב( לכל 2 6 n ∈ Nמתקיים n > 1
√
n
) אחרת n 6 1
√
n
2
X
n
X
k=0
> xk
k=0
n
= . (1 + x)n
√
n
n
k
n
X
ואז .( n = ( n) 6 1
34
k=0
= , (1 + x)n
כנדרש.
∞
כלומר הסדרה (hn )n=2המוגדרת על ידי n − 1 :
2
n−1
r
< hn
⇒
2
n−1
ג( לכל 2 6 n ∈ Nנסמן :
2
n−1
q
< h2n
√
n
= hnמקיימת . 0 < hnמכאן:
n(n − 1) 2
hn
2
⇒
ℵ
↑
> n = (1 + hn )n
⇒
n = 1 + hn
√
n
= . cnנוכיח לפי ההגדרה ש־ . 0 = lim cn
∞→n
יהי . 0 < εאזי 0 < cnולכן
2
+1<n
ε2
2
< ε2
n−1
⇔
2
<ε
n−1
⇔
r
⇔
cn < ε
⇔
|cn − 0| < ε
לכן N = ε22 + 1מתאים בהגדרת הגבול . 0 = lim cn
∞→n
q
2
ד( הוכחנו בסעיף ב' ש־ = cn
. an = 0 < hn < n−1
∞) (hnמתכנסת ו־ . lim hn = 0
היות ו־ , 0 = lim an = lim cnנובע ממשפט הכריך ש־ n=1
∞→n
∞→n
∞→n
√
n
מכאן n = lim (1 + hn ) = 1 + 0 = 1 :
, limכנדרש.
∞→n
משפט צ'סארו
∞→n
)(Cesaro
∞) (xnסדרה נתונה .נגדיר סדרה חדשה
תהי n=1
∞) (an
n=1
ע`י:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
כלומר , ...
x1 +x2 +x3
3
= , a3
x1 +x2
2
= ∀n ∈ N an
= . a1 = x1 , a2
∞
∞) . (xn
(an )n=1נקראת סדרת הממוצעים החשבוניים של n=1
∞
∞) (xnע`י:
אם בנוסף ,לכל nמתקיים , 0 6 xnאזי נגדיר את הסדרה (gn )n=1שהיא סדרת הממוצעים ההנדסיים של n=1
√
∀n ∈ N gn = n x1 · x2 · x3 · ... · xn
x1 · x2 · x3 , ...
כלומר
√
3
= x1 · x2 , g3
√
= . g1 = x1 , g2
∞
∞) , (xnע`י
אם xn > 0לכל nטבעי ,נגדיר את הסדרה ,(hn )n=1הנקראת סדרת הממוצעים ההרמוניים של n=1
1
xn
, ...
כלומר
3
+ x1 + x1
3
2
1
x1
= , h3
2
+ x1
2
1
x1
n
+ x13 ... +
1
x2
+
1
x1
= ∀n ∈ N hn
= . h1 = x1 , h2
הערה
מאי־שוויון הממוצעים נובע שאם 0 6 xnלכל , nאזי gn 6 anלכל , nואם 0 < xnלכל nאזי . ∀n ∈ N hn 6 gn 6 an
∞) (xnסדרה המתכנסת ל־ , Lאזי:
משפט צ'סארו :תהי n=1
x1 + x2 + x3 + ... + xn
=L
n
lim an = lim
∞→n
∞→n
הוכחה:
.1נטפל ראשית במקרה . L = 0
∞) (xnמתכנסת היא בפרט חסומה .זאת ,אומרת ,קיים , M ∈ Rכך שלכל n ∈ Nמתקיים . |xn | 6 M
היות והסדרה n=1
יהי ε > 0נתון .בגלל ש־ , lim xn = 0קיים N1 ∈ Nכך ש־
∞→n
נסמן , N = max(N1 , 2Nε1 M ) :ואז מתקיים לכל N < n
35
ε
2
< | |xn
.∀n > N1
| |x1 + x2 + ... + xn
| |x1 + x2 + ... + xN1 + xN1 +1 ... + xn
=
n
n
= | |an − 0| = |an
| |x1 | + |x2 | + ... + |xN1 | + |xN1 +1 | + ... + |xn
| |x1 | + ... + |xN1 | |xN1 +1 | + ... + |xn
=
+
n
n
n
ε
= ε
2
+
N1 M
2N1 M
ε
(n − N1 ) 2ε
N1 M
+
n
n
<
↑
2N1 M
ε
6
<
> n>N
∞) (x0nעל ידי ,∀n ∈ N x0n = xn − L :
.2אם lim xn = Lאזי נגדיר סדרה חדשה n=1
∞→n
∞) (x0n
ש־ n=1
ואז נובע מאריתמטיקה של גבולות
0 0
x1 +x2 +...+x0n
+
L
=L
. limאבל
n
מתכנסת ל־ . 0לכן נובע מחלק 1ש־ = 0
x0 +x0 +...+x0n
lim 1 2 n
∞→n
,ועל כן
∞→n
x1 + x2 + ... + xn
n
ולכן = L
x1 +x2 +...+xn
n
=
+ nL
x0n
+ ... +
n
x02
+
x01
=+L
x0n
+ ... +
n
x02
+
x01
. lim
∞→n
הערה :משפט צ'סארו אומר שאם סדרה מתכנסת ,אזי סדרת הממוצעים החשבוניים שלה מתכנסת אף היא )ולאותו הגבול(.
הטענה ההפוכה איננה נכונה ,כלומר סדרת הממוצעים החשבוניים של סדרה יכולה להתכנס מבלי שהסדרה עצמה מתכנסת.
n−1
∞) (xnמתבדרת.
דוגמה :אם
) xn = (−1אזי ) n=1 = ( 1 , −1 , 1 , −1 , ... , 1 , −1 , ...
n
P
,06
מתקיים , x1 = 1 , x1 + x2 = 0 , x1 + x2 + x3 = 1 , x1 + x2 + x3 + x4 = 0 , ... :כלומר xj 6 1
i=1
ולכן
1
n
xj
6
n
P
i=1
n
= . 0 6 anלפי משפט הכריך . lim an = 0
∞→n
∞) (xnסדרה כך ש־ 0 < xnלכל . nנניח ש־ , lim xn = Lאזי x1 x2 x3 ....xn = L
טענה :תהי n=1
√
n
∞→n
. lim gn = lim
∞→n
∞→n
הוכחה :
אם L = 0אזי הטענה נובעת ממשפט הכריך והעובדה ש־ . ∀n ∈ N 0 6 gn 6 an
∞
+ x1 +...+ x1n
2
n
∞) ( x1nמתכנסת ל־ , L1ולכן נובע ממשפט
אם , L > 0אז הסדרה n=1
n=1
∞
n
1
∞
(hn )n=1 = 1 + 1 +...+ 1מתכנסת ל־ . L = 1
ועל כן )מאריתמטיקה של גבולות( הסדרה
Cesaro
n=1
xn
x2
שהסדרה
x1
1
x1
מתכנסת ל־
1
L
,
L
כעת הטענה נובעת ממשפט הכריך ואי־שוויון הממוצעים .∀n ∈ N hn 6 gn 6 an :
∞) (xnסדרה של מספרים חיוביים המתכנסת ל־ , 0 < Lאזי סדרת הממוצעים ההרמוניים
הערה :במהלך ההוכחה הראינו שאם n=1
∞) (xnמתכנסת אף היא ל־ . L
של n=1
הגדרה
הסדרה
∞) (an
n=1
נקראת מונוטונית עולה ) מונוטונית יורדת ( אם`ם לכל nטבעי מתקיים .( an > an+1 ) an 6 an+1 :
∞) (anנקראת מונוטונית עולה ממש ) יורדת ממש ( אם`ם לכל nטבעי מתקיים .( an > an+1 ) an < an+1 :
הסדרה n=1
∞) (anנקראת מונוטונית )ממש( אם`ם היא מונוטונית עולה )ממש( או מונוטונית יורדת )ממש(.
הסדרה n=1
הערה
קל להוכיח ש־
∞) (an
n=1
מונוטונית עולה ) יורדת ( אם`ם לכל n, m ∈ Nמתקיים :
an 6 am
⇒
) an > am
n<m
דוגמאות :
36
⇒
(n<m
• ) ( 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , ... , b(n + 1)/2c , bn/2c , ...היא סדרה מונטונית עולה )לא ממש(.
• ) , ...
1
n
, ... ,
1
3
,
1
2
( 1 ,היא סדרה מונוטונית יורדת ממש.
• ) ( 1 , 2 , 1 , 2 , ... , 1 , 2 , ...איננה מונוטונית.
∞
∞) (anמתכנסת.
משפט :אם (an )n=1סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל אז n=1
} . lim an = sup { an | n ∈ N
בנוסף מתקיים במקרה הזה :
∞→n
∞) (anמונוטונית יורדת וחסומה מלרע אז היא מתכנסת לאינפימום של קבוצת איבריה.
באופן דומה ,אם n=1
הוכחה :
א( תהי
∞) (an
n=1
סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.
כלומר הקבוצה } { an | n ∈ Nחסומה מלעיל ולא ריקה ,ולכן נובע מתכונת החסם העליון שקיים } . L = sup { an | n ∈ N
יהי ε > 0נתון .אזי L − εאיננו חסם מלעיל של } ,{ an | n ∈ Nולכן קיים N ∈ Nכך ש־ . L − ε < aN
כעת לכל N < n ∈ Nמתקיים :
L<L+ε
כלומר הוכחנו שלכל N < nמתקיים
an
6
L − ε < aN
6
↓
↓
Supremum
Monotone
, |an − L| < εמשמע . lim an = L
∞→n
∞
∞) (−anהיא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל )למה?(.
ב( אם הסדרה (an )n=1היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע אזי הסדרה n=1
לכן נובע מחלק א' שקיים L ∈ Rכך ש־ , lim (−an ) = Lו־ } . L = sup { −an | n ∈ N
∞→n
מאריתמטיקה של גבולות נקבל −L = − lim (−an ) = lim (−(−an )) = lim an :
∞→n
∞→n
∞→n
∞) (anמתכנסת ל־ } . −L = − sup { −an | n ∈ N
ועל כן n=1
בשאלה 4של תרגיל בית 4הוכחתם ש־ } . − sup { −an | n ∈ N } = inf { an | n ∈ N
שימו לב :
(1המשפט הנ`ל מאפשר לנו להוכיח את קיום הגבול של סדרות מונוטוניות גם אם אנחנו לא יודעים לנחש את ערכו.
(2בסדרה מתכנסת שאיננה מונוטונית אין בד`כ קשר בין ערך הגבול לבין הסופרמום או האינפימום של קבוצת איברי הסדרה.
נראה כעת שתי דוגמאות חשובות לשימוש במשפט האחרון.
א( סדרה רקורסיבית
סדרה רקורסיבית היא סדרה בה כלל התאמה של nאיננו נתון ע`י נוסחה מפורשת ,אלא כל איבר מוגדר באמצעות איברים שקדמו
לו )מכאו השם `רקורסיבי` ,או `כלל נסיגה`( ,ונתון מספר סופי של איברים ראשונים כדי `להזניק` את הסדרה.
√
. a1 = 0 , ∀n ∈ N an+1 = 2 + an
נביט לדוגמא בסדרה המוגדרת באופן הבא :
q
p
p
√
√
√
כלומר ,אברי הסדרה הם 0 , 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , . . .
האם הסדרה הזו מתכנסת? אם כן ,כיצד נוכיח זאת? והאם ניתן לחשב את ערכו של הגבול?
√
√
נשים לב ש־ . a1 = 0 < 2 = a2הוספת 2לשני האגפים נותן , 2 < 2 + 2ומכאן נובע ש־ . a2 = 2 < 2 + 2 = a3
q
p
p
p
√
√
√
√
נוסיף 2לשני האגפים של a2 < a3ונקבל . 2 + 2 < 2 + 2 + 2מכאן נובע ש־ . a3 = 2 + 2 < 2 + 2 + 2 = a4
√
p
√
∞) (anמונוטונית עולה.
לכן סביר לשער שהסדרה n=1
∞) (anהינה סדרה מונוטונית עולה .
טענה n=1 :
הוכחה :
באינדוקציה :עבור n = 1מתקיים 2 = a2 :
√
. a1 = 0 6
יהי n ∈ Nונניח כי . an 6 an+1אז , 2 + an 6 2 + an+1ולכן
2 + an+1 = an+2
√
2 + an 6
∞
∞) (anמתכנסת.
אילו היינו יודעים ש־ (an )n=1חסומה מלעיל ,היינו מסיקים מהמשפט הנ`ל ש־ n=1
37
√
= , an+1כנדרש.
אבל לא ברור איך להצביע על מועמד לחסם מלעיל של } ) { an | n ∈ Nאם בכלל יש כזה(.
∞) . (an
נראה כעת שהאריתמטיקה של גבולות מאפשרת לנו להצביע על מועמד לגבול של n=1
∞) (anמתכנסת ל־ . L
נניח לרגע שסדרה n=1
איברי הסדרה מקיימים את השיוויון הבא :
)∗( ∀n ∈ N , (an+1 )2 = 2 + an
זהו בעצם שיוויון בין שתי סדרות .כלומר אם נגדיר :
2
) ∀n ∈ N , bn = (an+1
אזי מתקיים :
b1 = (a2 )2 = 2 + a1 , b2 = (a3 )2 = 2 + a2 , b3 = (a4 )2 = 2 + a3 , . . .
∞
∞) (an+1שואפת גם היא ל־ ) Lמזיזים ב־ 1את
תחת ההנחה ש־ (an )n=1מתכנסת ל־ , Lנקבל שהסדרה )n=1 = (a2 , a3 , a4 , ....
∞
∞ 2
∞
ה N −המתאים בהגדרת הגבול עבור הסדרה ,((an )n=1ולכן נובע מאריתמטיקה של גבולות שהסדרה (bn )n=1 = (an+1 ) n=1
∞
שואפת ל־ . L2כמו כן הסדרה (2 + an )n=1שואפת ל־ . L + 2היות ו־ , ∀n ∈ N , bn = 2 + anהגבולות שווים :
L2 = lim bn = lim (2 + an ) = L + 2
∞→n
∞→n
ומכאן נקבל ש־ , (L + 1)(L − 2) = L2 − L − 2 = 0ולכן L = 2או . L = −1האפשרות L = −1נפסלת מפני שהסדרה
∞
∞) (anמתכנסת ל־ Lאזי . L = 2
(an )n=1אי שלילית ולכן נסיק שאם n=1
המשפט הנ`ל אומר ש־ } , L = sup{ an | n ∈ Nכלומר המועמד הטבעי שלנו לחסם מלעיל הוא ! 2
שימו לב ,שכרגע 2הוא רק ניחוש ,אבל הוא משמש אותנו כקו מנחה.
∞) (anהינה סדרה חסומה .
טענה :הסדרה n=1
הוכחה :
נראה באינדוקציה שלכל . 0 6 an 6 2 , nעבור n = 1זה ברור .נניח ל־ n > 1ונוכיח ל־ . n + 1
ראשית an+1מוגדר היטב כי anאי שלילי ,ולכן . 0 6 2 6 2 + anבנוסף an+1הוא אי שלילי בתור שורש של מספר אי שלילי.
√
√
0 6 an+1 = 2 + an 6 2 + 2 = 2
∞) (anמונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת ,ז`א lim anקיים .כעת נובע מהשיקולים הקודמים ש־ . lim an = 2
סיכום n=1 :
∞→n
ב( הסדרה
∞ 1 n
n
n=1
1+
∞→n
.
n
1
, en = 1 +כלומר :
לכל n ∈ Nנסמן :
n
3
3
64
= 2.25 , e3 = 1 + 13 = 43 = 27
= 2.370 , ...
9
4
3 2
2
=
=
1 2
2
e2 = 1 +
= 21 = 2 ,
1 1
1
e1 = 1 +
∞) (enמונוטונית עולה.
טענה :הסדרה n=1
הוכחה :
יהיו . 0 < x1 , x2 , ..., xn ∈ Rאי־שוויון הממוצעים אומר שהממוצע ההנדסי Gnקטן או שווה מהממוצע חשבוני : An
x1 + x2 + ... + xn
= An
n
באי־השוויון Gn+1 6 An+1נציב
1
n
x1 · x2 · ... · xn 6
√
n
= Gn
x1 = x2 = ... = xn = 1 +ו־ . xn+1 = 1
n 1 + n1 + 1
n+1
n+1+1
1
=1+
n+1
n+1
n+1
1
1+
n+1
38
n
·1 6
n
6
6
1
n
s
1
1+
n
s
1+
n
1
1+
n
n+1
n+1
כלומר , ∀n ∈ N en 6 en+1כנדרש..
∞) (enחסומה מלעיל.
טענה :הסדרה n=1
הוכחה :
באי־שוויון הממוצעים Gn+2 6 An+2נציב
1
2
+
1
2
1
n
x1 = x2 = ... = xn = 1 +ו־
1
n
+
n+2
n 1+
(n + 1) + 1
=1
n+2
6
6
6 1n+2 = 1
6 4
1 1
· ·
2 2
1
4
n
n
1
n
·
1
n
= . xn+1 = xn+2
s
1
1+
n
s
1
1+
n
·
1
4
n
n
1
2
n+2
n+2
1+
1+
כלומר , ∀n ∈ N en 6 4כנדרש..
n
en = 1 + n1מונוטונית עולה וחסומה ) ,(2 = e1 6 en 6 4ולכן היא מתכנסת .נסמן
הסדרה
n
1
1+
∞→n
n
e = lim
מתקיים . 2 6 e 6 4 :למעשה:
e = 2.718281828459045235360...
∞
∞) . (en
באתר הקורס תמצאו שלוש הוכחות חלופיות למונוטוניות של (en )n=1ווגם הוכחה חלופית לחסימות של n=1
הלמה של קנטור על סדרת קטעים מקוננים
)(Cantor's Nested Intervals Lemma
∞
∞) (bnסדרות המקיימות . ∀n ∈ N an 6 an+1 6 bn+1 6 bn
יהיו (an )n=1ו־ n=1
∞
אזי קיימים c, d ∈ Rכך ש־ c 6 dו־ ]. E = ∩ [an , bn ] = { x ∈ R | ∀n ∈ N an 6 x 6 bn } = [c, d
n=1
אם בנוסף מתקיים , lim (bn − an ) = 0 :אזי } , E = [c, c] = {cכלומר קיים מספר ממשי cאחד ויחיד המקיים:
∞→n
∀n ∈ N an 6 c 6 bn
הוכחה :
∞
∞) (anמתכנסת.
הסדרה (an )n=1היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ע`י ) b1כי ,( an 6 an+1 6 bn+1 6 b1ולכן n=1
נסמן. c = lim an :
∞→n
∞
∞) (bnמתכנסת.
הסדרה (bn )n=1היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ע`י ) a1כי ,( a1 6 an+1 6 bn+1 6 bnולכן n=1
נסמן. d = lim bn :
∞→n
בנוסף ידוע ש־ } c = sup{ an | n ∈ Nו־ } ) d = inf{ bn | n ∈ Nראו את ההוכחה של סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת(.
מתקיים , ∀n ∈ N an 6 bn :ולכן נובע ממשפט על גבולות וסדר . c = lim an 6 lim bn = d
∞→n
∞→n
מכאן נובע , ∀n ∈ N an 6 c 6 d 6 bn :ז`א ש־ . [c, d] ⊆ E
∈.x
אם x < cאזי xאיננו חסם מלעיל של } , { an | n ∈ Nולכן קיים N ∈ Nכך ש־ , x < aNועל כן / E
∈.x
אם d < xאזי xאיננו חסם מלרע של } , { bn | n ∈ Nולכן קיים N 0ב־ Nכך ש־ , bN 0 < xועל כן / E
39
מסקנה. E = [c, d] :
אם נתון גם ש־ , lim (bn − an ) = 0אז , d − c = lim bn − lim an = lim (bn − an ) = 0ולכן , c = dועל כן } . E = {c
∞→n
∞→n
∞→n
∞→n
תת־סדרות
הגדרה
∞) (anסדרה נתונה.
תהי n=1
∞) (bkתיקרא תת־סדרה
סדרה k=1
∞
∞) (nk
של הסדרה (an )n=1אם`ם קיימת סדרה מונוטונית עולה ממש של מספרים טבעיים k=1
∞
∞) . (bk
כך ש־ bk = ankעבור כל . k ∈ Nזאת אומרת ש־ )k=1 = (ank )k=1 = (an1 , an2 , an3 , ..., ank , ...
דוגמאות :
•
•
•
1
12 , 14 , ..., 2kהיא תת־סדרה של הסדרה ) , (1, 21 , 13 , 14 , ..., n1 , ...כאשר . ∀n ∈ N nk = 2k
, ...
1 1 1
1
1 1 1
1
2
) (1, 4 , 9 , 16 , ..., k2 , ...היא תת־סדרה של הסדרה ) , (1, 2 , 3 , 4 , ..., n , ...כאשר . ∀n ∈ N nk = k
1 1
), 9 , ...
( 13 , 1, 17 , 15 , 11איננה תת־סדרה של הסדרה ) ,(1, 12 , 13 , 14 , ..., n1 , ...משום שלא נשמר הסדר המקורי של
1
1
1 1 1 1
,
)...
הסדרה
איברי
קבוצת
של
תת־קבוצה
היא
(
,
1,
,
,
,
,
)...
הסדרה
של
האיברים
קבוצת
כי
לב
)שימו
n
3
7 5 11 9
∞) (anסדרה נתונה ויהי mמספר טבעי נתון.
• תהי n=1
∞
הסדרה ) (am+k )k=1 = (am+1 , am+2 , ..., am+k , ...היא תת־סדרה של
∞) ,`(anאו ליתר דיוק `m־זנב של
סדרה זו נקראת `הזנב של הסדרה n=1
∞) , (anכאשר . nk = m + k
n=1
∞) .`(anמשתמשים גם בסימון:
n=1
האיברים.
.((1, 21 , 13 , 41 , ...,
∞) (an
n=m+1
.
הערה על הסימון:
בהינתן שתי פונקציות f : A → Bו־ , g : C → Dעם , B ⊆ Cנוכל להגדיר את הפונקציה h : A → Dהמוגדרת ע`י
)) h . ∀a ∈ A h(a) = g(f (aנקראת ההרכבה של fעם , gומסומנת .(g ◦ f )(a) = g(f (a)) . h = g ◦ f
a
כעת נתבונן בשרשרת הבאה :
{|}z
→
R
7→ a(n(k)) = ank
n
N
n(k) = nk
{|}z
→
→7
N
k
{|}z
→
→7
N
n(kl ) = nkl
a
אפשר גם לנתבונן בתת־סדרה של תת־הסדרה :
R
a(n(k(l))) = ankl
k
n
{|}z
→
→7
N
k(l) = kl
{|}z
→
→7
N
l
∞
∞) . (an
וזה מראה שתת־סדרה של תת־סדרה של (an )n=1היא תת־סדרה של n=1
טענה
סדרה מונוטונית עולה ממש של מספרים טבעיים .אז מתקיים .∀k ∈ N nk > k :
תהי
הוכחה :
באינדוקציה על . kעבור k = 1מתקיים , n1 ∈ Nולכן . n1 > 1
יהי kמספר טבעי כלשהו ונניח ש־ . nk > kאזי מתקיים . nk+1 > nk > k
לכן ) nk+1 > k + 1הוכחנו שלא קיים מספר טבעי mהמקיים , (k < m < k + 1
וזה מוכיח את שלב האינדוקציה ,וע`כ הטענה נכונה לכל kטבעי.
∞) (nk
k=1
משפט הירושה
א( כל תת־סדרה של סדרה חסומה היא חסומה.
ב( כל תת־סדרה של סדרה מונוטונית היא מונוטונית.
ג( כל תת־סדרה של סדרה מתכנסת היא מתכנסת .יתר על כן ,הגבול של תת־סדרה שווה לגבול של הסדרה המקורית.
הוכחה :
א(
∞) (anסדרה חסומה ויהי , 0 6 M ∈ Rכך ש־ |an | 6 M
תהי n=1
∞
∞) (ankתת־סדרה של . (an )n=1אזי מתקיים |ank | 6 M
תהי k=1
ב( תרגיל.
40
. ∀n ∈ N
, ∀k ∈ Nכלומר גם
∞) (ank
k=1
חסומה.
∞
∞
∞) . (an
ג( תהי (an )n=1סדרה מתכנסת .נסמן . L = lim an :תהי (ank )k=1תת־סדרה של n=1
∞→n
יהי . ε > 0קיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים . |an − L| < ε
כעת לכל N < k ∈ Nמתקיים , N < k 6 nk :ולכן , |ank − L| < εולכן = L
. lim ank
∞→k
הגדרה
∞
∞
∞) (anשמתכנסת ל־ . λ
של
תת־סדרה
קיימת
אם`ם
(a
)
של
חלקי
גבול
יקרא
λ
ממשי
מספר
.
(a
)
סדרה
נתונה
n n=1
n n=1
n=1
דוגמאות
∞
∞) . (an
של
החלקי
היחיד
הגבול
הוא
L
ש־
הירושה
ממשפט
נובע
אזי
,
L
ל־
מתכנסת
(a
)
• אם n n=1
n=1
• לסדרה ) (1, 2, 3, ..., n, ...אין אף גבול חלקי.
הגדרה
∞) (an
n=1
∞) (an
n=1
אם`ם am > anעבור כל nטבעי המקיים . m 6 n
יקרא איבר פסגה של
איבר amשל הסדרה
∞
במילים אחרות am ,הינו איבר פסגה של (an )n=1אם“ם } . am = max { an | m 6 n
משפט :לכל סדרה יש תת־סדרה מונוטונית.
הוכחה :
תהי
∞) (an
n=1
סדרה .קיימות בדיוק שתי אפשרויות :
∞) (anיש אינסוף איברי פסגה ,כלומר } amאיבר פסגה | A1 = { m ∈ Nמכילה אינסוף מספרים טבעיים.
אפשרות א' :ל־ n=1
בפרט A1איננה ריקה ולכן נובע מעקרון הסדר הטוב שקיים ) . m1 = min(A1
גם הקבוצה } amאיבר פסגה וגם A2 = { m ∈ N | m > m1איננה ריקה ,ולכן קיים ) . m2 = min(A2
m2 ∈ A2ולכן . m2 > m1בנוסף , am1 > am2כי am1איבר פסגה.
יהי , 2 6 k ∈ Nונניח שהגדרנו מספרים טבעיים m1 < m2 < ... < mkכך ש־ ) , mk = min(Ak
כאשר } amאיבר פסגה וגם . Ak = { m ∈ N | m > mk−1
נגדיר am } :איבר פסגה וגם . Ak+1 = { m ∈ N | m > mk
Ak+1איננה ריקה ,ולכן נובע מעיקרון הסדר הטוב שקיים ) . mk+1 = min(Ak+1
mk+1 ∈ Ak+1ולכן . mk+1 > mkבנוסף , amk > amk+1כי amkאיבר פסגה.
קבלנו תת־סדרה ) (am1 , am2 , ... , amk , ...שהיא מונוטונית יורדת.
∞) (anיש מספר סופי של איברי פסגה ,כלומר } amאיבר פסגה | A1 = { m ∈ Nהיא קבוצה סופית.
אפשרות ב' :ל־ n=1
אם ∅ = A1אז נסמן . N = 0אם ∅ = A1 6אז נסמן ) . N = max(A1
∞) . (an
בכל מקרה / A1
∈ n1 = N + 1ולכן an1איננו איבר פסגה של n=1
מעצם ההגדרה של איבר פסגה נובע שקיים n1 < n2 ∈ Nכך ש־ . an1 < an2
יהי , 2 6 k ∈ Nונניח שהגדרנו מספרים טבעיים n1 < n2 < ... < nkכך ש־ . a1 < an2 < ... < ank
∞) . (an
max(A1 ) = N < n1 < nk ∈ Nולכן ankאיננו איבר פסגה של n=1
מעצם ההגדרה של איבר פסגה נובע שקיים nk < nk+1 ∈ Nכך ש־ . ank < ank+1
קבלנו תת־סדרה ) (an1 , an2 , ... , ank , ...שהיא מונוטונית עולה.
∞) .(an
בכל אחת מהאפשרויות מצאנו תת־סדרה מונוטונית של n=1
משפט )בולצנו־ויירשטראס( :לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת.
הוכחה :
∞
∞
∞
תהי (an )n=1סדרה חסומה ,ותהי (ank )k=1תת־סדרה מונוטונית של . (an )n=1
∞
∞) (ankמתכנסת )כי סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת(.
אזי גם (ank )k=1חסומה ,ולכן k=1
∞) (anאם`ם לכל ε > 0הקבוצה } { n ∈ N | |an − λ| < εאינסופית .
משפט λ ∈ R :הוא גבול חלקי של סדרה נתונה n=1
) כלומר |an − λ| < εהיא תכונה שכיחה של .( n
הוכחה :
∞
∞) (ankכך ש־ . lim ank = λ
⇐ :אם λהוא גבול חלקי של (an )n=1אזי קיימת תת־סדרה n=1
∞→k
41
כלומר :
k > K ⇒ |ank − λ| < ε
, ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∀k ∈ N
זאת אומרת } . {nK+1 , nK+2 , ...} ⊆ { n ∈ N | |an − λ| < ε
∞) (nkמונוטונית עולה ממש ,כל איברי הקבוצה } {nK+1 , nK+2 , ...שונים זה מזה.
היות ו־ k=1
לכן } { n ∈ N | |an − λ| < εהיא קבוצה אינסופית .
⇒ :נתון שלכל ε > 0הקבוצה } Aε = { n ∈ N | |an − λ| < εהיא אינסופית.
בפרט עבור ε = 1הקבוצה } A1 = { n ∈ N | |an − λ| < 1אינסופית .מעקרון הסדר הטוב נובע שקיים ) . n1 = min(A1
הקבוצה } B 12 = A 12 ∩ {n1 + 1, n1 + 2, n1 + 3, ...איננה ריקה ,ולכן נגדיר. n2 = min(B 21 ) :
אזי ) n2 > n1כי } ( n2 ∈ {n1 + 1, n1 + 2, n1 + 3, ...ו־
1
2
< | ) |an2 − λכי .( n2 ∈ A 21
יהי k > 2מספר טבעי ,ונניח שהגדרנו מספרים טבעיים , n1 < n2 < ... < nkכך ש־ .(j = 1, ..., k) nj ∈ A 1j
B 1איננה ריקה ,ולכן נגדיר ) 1
1
. nk+1 = min(B k+1
= A k+1
הקבוצה }∩ {nk + 1, nk + 2, nk + 3, ...
k+1
1
מהגדרת nk+1נובע מיד ש־ nk < nk+1וש־
. nk+1 ∈ A k+1
∞) (ankהמקיימת
בצורה זו בנינו סדרה k=1
1
k
< | , ∀k ∈ N |ank − λכלומר
1
k
ank < λ +
∞) (ankמתכנסת וש־ , lim ank = λכלומר λהוא גבול חלקי של
ממשפט הכריך נובע ש־ k=1
∞→k
1
< k
∞) (an
n=1
.∀k ∈ N λ −
,כנדרש.
∞
∞) . (an
סימון :תהי (an )n=1סדרה .נסמן ב־ Saאת קבוצת כל הגבולות החלקיים של n=1
∞) (anחסומה.
הערה :משפט בולצנו־ויירשטרס אומר שלכל סדרה חסומה יש לפחות גבול חלקי אחד .לכן ∅ = Sa 6כש־ n=1
דוגמה . an = (−1)n−1 :נוכיח כי }. Sa = {−1, 1
) lim a2k = −1כי a2k = −1לכל ( kו־ ) lim a2k−1 = 1כי = 1
∞→k
∞→k
a2k−1לכל .( kלכן . {−1, 1} ⊆ Sa
כעת נראה כי } . Sa ⊆ {−1, 1יהי }/ {−1, 1
∈ . Lנסמן . 0 < ε = 21 min(|L − 1|, |L + 1|) :
לכל nטבעי מתקיים } | |an − L| ∈ { |L − 1| , |L + 1ולכן . |an − L| > min(|L − 1|, |L + 1|) = 2ε
מכאן נובע שהקבוצה } Aε = { n ∈ N | |an − L| < εריקה ,כי אחרת . 2ε < ε
∞
∈.L
בפרט Aεלא אינסופית ,ולכן נובע מהמשפט הקודם ש־ Lאיננו גבול חלקי של , (an )n=1משמע / Sa
כלומר } . Sa ⊆ {−1, 1שתי ההכלות מוכיחות ש־ } , Sa = {−1, 1כנדרש.
∞) (rnשל מספרים רציונליים המתכנסת ל־ . L
משפט :לכל מספר ממשי Lקיימת סדרה )n=1 = (r1 , r2 , ..., rn , ...
הוכחה :
מהצפיפות של המספרים הרציונליים ב־ Rנובע שלכל n ∈ Nקיים מספר רציונלי rnכך ש־ . L − n1 < rn < L
∞) (rnמתכנסת ל־ , Lכנדרש.
ממשפט הכריך נובע שהסדרה n=1
דוגמה
כזכור| p ∈ Z , q ∈ N } ,
p
q
...
{ = . Qנרשום את כל איברי Qבטבלה:
.
.
.
←
נרשום סדרה לפי מסלול הטיול בטבלה.( 01 , − 11 , − 12 , 02 , 12 , 11 ...) :
...
...
...
...
2
4
2
3
↑
↓
1
4
1
3
1
2
↑
↓
↑
0
4
0
3
0
2
0
1
↑
↓
↑
↓
− 14
− 13
− 21
→
− 11
↑
↓
− 24
− 23
− 22
←
→
2
2
→
...
.
.
.
2
1
↑
←
←
↑
42
.
.
.
↑
...
בסדרה זו ,כל מספר רציונלי מופיע אינסוף פעמים )יש צורות לא מצומצמות(.
לכן ,כל סדרה של רציונליים היא תת־סדרה של הסדרה שבנינו.
כעת נובע מהמשפט הקודם שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הזאת.
.
.
.
←
.
.
.
←
1
1
− 21
↓
→
.
.
.
→
.
.
.
→
.
.
.
משפט
∞
∞) (anמתכנסת אם`ם יש לה גבול חלקי יחיד.
תהי (an )n=1סדרה חסומה .אזי n=1
הוכחה :
ראשית נשים לב שמשפט בולצנו־ויירשטרס אומר שלכל סדרה חסומה יש לפחות גבול חלקי אחד.
∞
∞) .(an
⇐ :נתון ש־ (an )n=1מתכנסת .נסמן . lim an = L :יהיו λ1ו־ λ2שני גבולות חלקיים של n=1
∞→n
∞
∞
∞) (anכך ש־ lim ank = λ1ו־ . lim amk = λ2
אזי קיימות שתי תת־סדרות (ank )k=1ו־ (amk )k=1של n=1
∞→k
∞→k
∞) (anמתכנסת ל־ , Lולכן . λ1 = L = λ2
לפי משפט הירושה ,כל תת־סדרה של n=1
∞) (anיש גבול חלקי יחיד ,שנסמנו . L
⇒ :נתון של־ n=1
∞) : (an
יהיו m ∈ Rו־ M ∈ Rחסם מלרע וחסם מחעיל של n=1
. ∀n ∈ N m 6 an 6 Mאזי . m 6 L 6 M
∞) (anאיננה מתכנסת ל־ , Lכלומר :
נניח בשלילה ש־ n=1
|an − L| > ε0
∧
∃ ε0 > 0 ∀N ∈ N ∃n ∈ N
n>N
ז`א ש־ |an − L| > ε0היא תכונה שכיחה של , nמשמע לפחות אחד הקטעים ] [m, L − ε0ו־ ] [L + ε0 , Mמכיל אינסוף
∞
∞) (ank
איברי הסדרה . (an )n=1נסדר את אינסוף האיברים הללו לפי סדר עולה של האינדקס שלהם ונקבל תת־סדרה k=1
כך ש־ m 6 ank 6 L − ε0או
L + ε0 6 ank 6 Mעבור כל kטבעי.
∞) (ankגם היא חסומה ולכן נובע ממשפט בולצנו־ויירשאטרס שיש לה תת־סדרה
k=1
∞) (ankl
l=1
מתכנסת.
∞) . (an
נסמן λ . lim ankl = λ :הוא גבול חלקי של n=1
∞→l
מ־ m 6 ankl 6 L − ε0או L + ε0 6 ankl 6 Mנובע m 6 λ 6 L − ε0או , L + ε0 6 λ 6 M
∞) (anיש גבול חלקי יחיד.
ז`א . |λ − L| > ε0לכן , λ 6= Lוזה סותר את הנתון של־ n=1
סדרות קושי
∞
∞
∞) (an
מוטיבציה :תהי (an )n=1סדרה נתונה .השאלה` :האם (an )n=1מתכנסת?` היא בדרך כלל יותר קשה מהשאלה `האם n=1
מתכנסת ל־ , `?Lכאשר Lממשי נתון .השאלה הראשונה לא מותירה לרשותינו אפילו את ההגדרה כדי לענות עליה.
∞) (anמונוטונית ,שאלת ההתכנסות שקולה לשאלת החסימות ,שהיא יותר קלה ,אבל `רוב` הסדרות אינן מונוטוניות.
אם הסדרה n=1
האם ניתן לאפיין סדרות מתכנסות גם בלי לדעת את גבולן?
הגדרה
סדרה
∞) (an
n=1
תקרא סדרת קושי אם היא מקיימת את התנאי הבא )הנקרא תנאי קושי( :
N < n, m ⇒ |an − am | < ε
∀n, m ∈ N
∃N ∈ N
∀ε > 0
הערה
∀p ∈ N
ניתן לרשום את תנאי קושי גם באופן הבא|an+p − an | < ε :
∀n > N
.∀ε > 0 ∃N ∈ N
זאת משום ש־ | |an − am | = |am − anולכן נוכל לומר בלי הגבלת הכלליות ש־ , m > nולהגדיר . m = n + p
משפט )קריטריון קושי(
∞) (anמתכנסת אם`ם
הסדרה n=1
∞) (an
n=1
היא סדרת קושי.
הוכחה :
∞) (anסדרה מתכנסת .נסמן . lim an = A :
⇐ :תהי n=1
∞→n
יהי . ε > 0אזי קיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים
=ε
ε
2
+
ε
2
ε
2
< |. |an − A
< ||an − am | = |an − A + A − am | 6 |an − A| + |A − am | = |an − A| + |am − A
∞) (anהמקיימת את תנאי קושי .נוכיח שהיא מתכנסת.
⇒ :תהי סדרה n=1
שלב : Iנוכיח שכל סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה חסומה.
נציב ε = 1בתנאי קושי ונקבל שקיים N0 ∈ Nכך ש־ |an − am | < 1
43
. ∀n, m > N0
. ∀n, m > N
נסמן , m0 = N0 + 1ואז |an − am0 | < 1
. ∀n > N0
מאי־שוויון המשולש נובע שכל nטבעי מתקיים | . |an | = |(an − am0 ) + am0 | 6 |an − am0 | + |am0
מכאן נקבל ש־ | |an | < 1 + |am0
. ∀n > N0
∞) (anחסומה .
נסמן , M = max(|a1 |, |a2 |, ..., |aN0 |, 1 + |am0 |) :ואז מתקיים , ∀n ∈ N |an | 6 Mכלומר n=1
∞) . (an
שלב : IIנאתר מועמד לגבול עבור n=1
∞
∞) (ankמתכנסת .נסמן . lim ank = λ :
(an )n=1חסומה ,ולכן נובע ממשפט בולצנו־ויירשטרס שיש לה תת־סדרה k=1
∞→k
∞) (anמתכנסת ל־ . λ
שלב : IIIנראה ש־ n=1
יהי . ε > 0מתנאי קושי נקבל שקיים N1 ∈ Nכך ש־
מ־ lim ank = λנובע שקיים K ∈ Nכך ש־
∞→k
ε
2
ε
2
< | |an − am
< ||ank − λ
. ∀n, m > N1
. ∀k > K
נגדיר ) . N = max(N1 , Kלכל N < kמתקיים K < kוגם N1 < k 6 nkולכן
=ε
ε
2
+
ε
2
< | , |ak − λ| = |ak − ank + ank − λ| 6 |ak − ank | + |ank − λכלומר , lim ak = λכנדרש.
∞→k
הרחבה של מושג הגבול
הגדרה
תהי
∞) (an
n=1
סדרה ב־ . Rנאמר שהסדרה
במקרה זה נסמן
∞) (an
n=1
שואפת )או מתבדרת( לאינסוף )למינוס אינסוף( אם`ם :
an > M
⇒
n>N
∀M ∈ R ∃N ∈ N ∀n ∈ N
) an < M
⇒
n>N
(∀M ∈ R ∃N ∈ N ∀n ∈ N
∞ → an −או ∞ = . lim an
∞→ n
∞→n
) ∞ an −→ −או ∞.( lim an = −
∞→ n
∞→n
הערות
∞) (anמתכנסת לאינסוף )או למינוס אינסוף(` .המונח `מתכנס` שמור לסדרות עם גבול ממשי.
.1לא נאמר `הסדרה n=1
.2כשמוכיחים שאיפה לאינסוף )או למינוס אינסוף( בעזרת ההגדרה ,לפעמים יותר נוח בפרקטיקה להוכיח ש־
an > M
) an < −M
⇒
n>N
⇒
n>N
∀ M > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
.(∀ M > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
דוגמאות
√
.1יהי . 0 < K ∈ Rתהי . an = K n − nנוכיח בעזרת ההגדרה ש־ ∞. lim an = −
∞→n
הוכחה :
בהינתן , 0 < M ∈ Rצריך למצוא N ∈ Nכך שלכל n > Nיתקיים . an < −M
√
קטן בהרבה מ־ .” nדרך אחת )מני רבות (...לתרגם את האמירה האינטואיטיבית הזו היא שכמעט
”לערכי nגדולים√ n 1,
תמיד מתקיים . (∗) K n < 2 n
√
ואכן )∗( שקול ל־ 2K < √nn = nהשקול ל־ . 4K 2 = (2K) 2 < n
√
לפי כך ,עבור , 4K 2 < nנקבל ש־ . an = K n − n < 12 n − n = − 21 n
נבחר N = max 2 bM c + 1 , 4K 2 + 1ונקבל שלכל n > Nמתקיים , an < − 12 n < − 12 N 6 −M :כנדרש.
n+1
∞) (anלא שואפת לאינסוף ולא שואפת למינוס אינסוף.
.2אם n
) , an = (−1אז הסדרה n=1
אם סדרה שואפת לאינסוף אז כמעט כל איברי הסדרה חיוביים ,ואם סדרה שואפת למינוס אינסוף אז כמעט כל איברי הסדרה
שליליים )בדיקה ע`י .(M = 0
אך לכל n ∈ Nאיברי הסדרה הזו מקיימים , an · an+1 = −n (n + 1) < 0 :כלומר הסימן לא מפסיק להתחלף.
44
הערה חשובה על טרמינולוגיה
הפסוקים lim an = L ∈ Rו־ ∞ = lim anלא יכולים להיות תקפים בו־זמנית.
∞→n
∞→n
לכן נשאלת השאלה ,מה הכוונה כשאומרים ` לסדרה
∞) (an
n=1
יש גבול ` .הרי עד עכשיו המקרה בו ∞ = lim anקוטלג כמקרה
∞) (anגבול .לא נרצה לשנות את המצב הזה.
בו אין ל־ n=1
∞
לכן נאמר מכאן ואילך ש־ (an )n=1בעלת גבול במובן הרחב אם מתקיים אחד משלושת המקרים הבאים :
∞→n
lim an = L ∈ Rאו ∞ = lim anאו ∞. lim an = −
∞→n
∞→n
∞→n
∞) (anיש גבול ` נשארת עם המשמעות הקודמת שלה ,דהיינו . lim an = L ∈ R
האמירה `ל־ n=1
∞→n
∞) (anבעלת גבול במובן הצר .
לעיתים רחוקות ,כשחשוב לנו להדגיש ש־ , lim an = L ∈ Rנאמר ש־ n=1
∞→n
משפט
תהי
∞
(an )n=1
סדרה כך ש־ ∞ = . lim anאזי כל תת־סדרה של
∞→n
∞
(an )n=1
מתבדרת גם היא לאינסוף.
הוכחה :
תהי
∞) (ank
k=1
∞) .(an
n=1
תת־סדרה של
נראה ש־
∞) (ank
k=1
שואפת לאינסוף.
יהי . M ∈ Rעלינו להראות שקיים K ∈ Nכך שלכל k > Kמתקיים . ank > M
∞) (anשואפת לאינסוף קיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים . an > M
משום שהסדרה n=1
∞) (nkמונוטונית עולה ממש נובע באינדוקציה ש־ nk > kלכל . k
משום שהסדרה k=1
בפרט ,אם נבחר K = Nאז לכל k > Kמתקיים nk > k > K = Nולכן
. ank > M
משפט
∞) (an
n=1
מונוטונית עולה ולא חסומה מלעיל ,אזי ∞ = . lim an
א(
אם
ב(
∞) (anמונוטונית יורדת ולא חסומה מלרע ,אזי ∞. lim an = −
אם n=1
∞→n
∞→n
הוכחה :
א(
יהי M . M ∈ Rאיננו חסם מלעיל של } { an | n ∈ Nולכן קיים N ∈ Nכך ש־ . aN > M
מהמונוטוניות נובע שלכל N < n ∈ Nמתקיים , an > aN > M :ולכן ∞ = , lim anכנדרש.
∞→n
ב(
תרגיל.
מסקנה :לכל סדרה מונוטונית יש גבול במובן הרחב.
דוגמה
הסדרה )= (2, 1, 4, 3, 6, 5, ...
∞
(−1)n−1 n=1
= n+
∞) (an
n=1
שואפת לאינסוף ,אבל אין לה אף זנב מונוטוני עולה.
אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב
כשדיברנו על סדרות מתכנסות )בעלות גבול במובן הצר( ,ראינו שחישוב גבולות ישירות מההגדרה דורש את הניחוש מראש של ערך
הגבול ועשוי להיות איטי .זה היה תמריץ עבורנו לפתח כלים יותר מתוחכמים כמו אריתמטיקה של גבולות ומשפט הסנדוויץ'.
כשבאים לחשב מההגדרה גבולות במובן הרחב ,המצב קצת יותר קל אבל לא מאוד שונה .לכן רצוי לפתח כלים אנלוגיים לאריתמטיקה
ולסנדוויץ' גם עבור גבולות במובן הרחב .חלק מהווריאציות וההכללות נעשה בתרגול וחלק יעשו בתרגיל.
טענה )`כלל הסכום`(
אם ∞ = lim anו־
∞→n
∞
(bn )n=1
חסומה מלרע אז ∞ = ) . lim (an + bn
∞→n
הוכחה :
יהי . M ∈ Rעלינו להראות שקיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים . an + bn > M
∞
יהי B ∈ Rחסם מלרע של , (bn )n=1כלומר B 6 bnעבור כל . n ∈ N
מהנתון ∞ = lim anנובע שלכל M1 ∈ Rקיים N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים . an > M1
∞→n
בפרט עבור M1 = M − Bקיים N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים . an > M − B
נבחר N = N1ואז לכל n > Nמתקיים
, an + bn > (M − B) + B = Mכנדרש .
∞
מסקנה :אם ∞ = lim anו־ (bn )n=1מתכנסת אז ∞ = ) . lim (an + bn
∞→n
∞→n
45
∈ ∞ ,ולכן ”∞ = ”∞ + Lאיננו כלל
בדרך כלל זוכרים את המסקנה הזו באמצעות הסיסמה ”∞ = . ”∞ + Lאנא זיכרו ש־ / R
חשבון שנובע מהאקסיומות של .R
טענה )`כלל המכפלה`(
אם ∞ = lim anו־
∞→n
.
∞
(bn )n=1
סדרה של ממשיים שהחל ממקום מסויים חסומה מלרע באמצעות חסם חיובי ,אז ∞ = ) lim (an · bn
∞→n
הוכחה :
יהי . 0 < M ∈ Rעלינו להראות שקיים N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים . an bn > M
לפי הנתון קיימים N0 ∈ Nו־ 0 < B ∈ Rכך ש־ B 6 bnעבור כל . N0 6 n
מהנתון ∞ = lim anנובע שלכל M1 ∈ Rקיים N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים . an > M1
∞→n
בפרט עבור
M
B
= M1קיים N1 ∈ Nכך שלכל n > N1מתקיים
·B =M
נבחר ) N = max (N0 , N1ואז לכל n > Nמתקיים
M
B
M
B
> . an
> , an bnכנדרש .
∞
מסקנה :אם ∞ = lim anו־ (bn )n=1מתכנסת ל־ 0 < L ∈ Rאז ∞ = ) . lim (an bn
∞→n
∞→n
במקרה זה קצת מסוכן לזכור את המסקנה הזו באמצעות הסיסמה ”∞ = , ”∞ · Lכי התנאי 0 < Lחיוני ,אך לא מופיע במפורש.
∞lim bn = −
∞→n
∞ = lim bn
∞→n
lim bn = L2 ∈ R
∞→n
∞) ( an + bn
חיבור n=1 :
∞−
∞
L1 + L2
lim an = L1 ∈ R
?!
∞
∞
∞ = lim an
∞−
?!
∞−
∞lim an = −
∞→n
∞→n
∞→n
אי־ודאות `∞ !? = `∞ −
∞) ( an · bn
כפל n=1 :
= lim bn
∞→n
∞−
∞−
∞
?!
∞−
∞
∞
∞
∞−
?!
∞
∞−
0 > L2 ∈ R
L1 · L2
L1 · L2
0
∞−
∞
0
0
0
0
?!
?!
0 < L2 ∈ R
L1 · L2
L1 · L2
0
∞
∞−
0 < L1 ∈ R
0 > L1 ∈ R
0
∞
∞−
= lim an
∞→n
אי־ודאות `∞ · !? = `0
= lim bn
חילוק :
∞→n
∞−
∞
0
0 > L2 ∈ R
0 < L2 ∈ R
0
0
0
?!
?!
0
0
0
?!
?!
)*(
)*(
?!
)*(
)*(
L1
L2
L1
L2
L1
L2
L1
L2
0
∞−
∞
0
∞
∞−
אי־ודאות ` !? = ` 00
,
∞
n=1
0 < L1 ∈ R
0 > L1 ∈ R
0
∞
∞−
an
bn
= lim an
∞→n
∞!? = ` ±
אי־ודאות ` ∞±
)*( קיום או אי־קיום הגבול במובן הרחב תלוי בקיום או אי־הקיום של N ∈ Nכך ש־ bnשומרת על סימן קבוע לכל N < n
מקרים של אי־ודאות :
במקרים הבאים לא ניתן לדעת על בסיס הגבולות של המחוברים או הכופלים בלבד אם יש גבול לסכום ,למכפלה או למנה :
) בשאלה 6של תרגיל בית , 8אתם מתבקשים להמציא דוגמאות לכל המקרים האפשריים(
: ”∞ + (−∞)” .1כלומר ) , lim (an + bnכאשר ∞ = lim anו־ ∞. lim bn = −
∞→n
∞→n
∞
ב־`כלל הסכום` הדרישה ש־ (bn )n=1תהיה חסומה מלרע היא מהותית.
46
∞→n
: ”∞ · 0” .2כלומר ) , lim (an · bnכאשר ∞ = lim anו־ . lim bn = 0
∞→n
∞
∞→n
∞→n
ב־`כלל המכפלה` הדרישה ש־ (bn )n=1תהיה חסומה מלרע באמצעות חסם חיובי ממש היא מהותית .
∞±
∞ : ” ±כלומר , lim abnnכאשר ∞ lim an = ±ו־ ∞. lim bn = ±
” .3
∞→n
” 00 ” .4כלומר
an
bn
∞→n
∞→n
, limכאשר lim an = 0ו־ . lim bn = 0
∞→n
∞→n
∞→n
∞) (anסדרה של ממשיים השונים מאפס.
טענה :תהי n=1
)א(
אם ∞ = lim anאזי = 0
)ב(
אם an > 0לכל n ∈ Nוגם
∞→n
1
n→∞ an
lim 1 = 0
n→∞ an
. lim
,אזי ∞ = . lim an
∞→n
הוכחה :תרגיל
1
∞` .
אפשר לראות בטענה זו ווריאציה על כלל המנה של אריתמטיקה של גבולות ,שאומר באופן לא פורמאלי ` = 0
∞) (anיהיו חיוביים.
בתרגיל תראו שהטענה הנ`ל איננה נכונה כמו שהיא מנוסחת כאשר לא דורשים שאברי n=1
משפט הפרוסה
∞
∞) (bnסדרות של ממשיים כך ש־ an 6 bnעבור כל . N0 < n
יהיו (an )n=1ו־ n=1
)א(
אם ∞ = , lim anאזי ∞ = . lim bn
)ב(
אם ∞ , lim bn = −אזי ∞. lim an = −
∞→n
∞→n
∞→n
∞→n
הוכחה :תרגיל
√
דוגמה :תהי . bn = b ncאזי ∞ = . lim bn
∞→n
הוכחה :
נשים לב שלכל ממשי חיובי x > 0מתקיים , x − 1 < bxc 6 xולכן לכל nטבעי מתקיים n − 1 = an
√
> . bn
∞) (anשואפת לאינסוף :יהי . 0 < M ∈ R
נוכיח ישירות מהגדרת הגבול כי n=1
√
⇔ , an > Mולכן N = (M + 1)2מתאים.
אזי n − 1 > M ⇔ n > (M + 1)2
כעת נובע ממשפט הפרוסה ש־ ∞ = . lim bn
∞→n
גבולות של פונקציות
מכאן ואילך הקורס יתמקד בעיקר בפונקציות ממשיות במשתנה ממשי ,כלומר f : D → Rכאשר . D ⊆ R
יש דרך סטנדרטית להציג פונקציות כאלו :התחום מיוצג ע`י תת־קבוצה של הציר ממשי אופקי )ציר ,(Xהטווח ע`י ציר אנכי )ציר
,(Yוההתאמה ע`י נקודה במקום המתאים )אם , f (a) = bנצייר נקודה בגובה bמעל aאם 0 6 bומתחת ל־ aאם .( b 6 0
מה שמתקבל נקרא גרף הפונקציה . f
תזכורת:
(1סביבה של נקודה x0 ∈ Rהיא קטע פתוח מהצורה , (x0 − h, x0 + h) ⊂ Rעם . h > 0נשים לב ש־
} (x0 − h, x0 + h) = { x ∈ R | x0 − h < x < x0 + h } = { x ∈ R | |x − x0 | < h
נדגיש כי אין סביבה יחידה לנקודה : x0כל קטע פתוח שמרכזו x0מקיים את התנאים הללו והוא סביבה של . x0
(2סביבה מנוקבת של נקודה x0 ∈ Rהיא תת־קבוצה של Rמהצורה } , (x0 − h, x0 + h)\{x0עם . h > 0כלומר ,סביבה מנוקבת
של נקודה היא סביבה של הנקודה שהסירו ממנה את הנקודה עצמה.
נשים לב ש־} .(x0 − h, x0 + h)\{x0 } = { x ∈ R | 0 < |x − x0 | < hנדגיש כי אין סביבה מנוקבת יחידה לנקודה.
47
הגדרת הגבול
תהי fפונקציה ממשית המוגדרת בסביבה מנוקבת של . x0נאמר שהמספר הממשי Lהוא גבול של הפונקציה fבנקודה x0אם`ם
)(0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Dom(f
)שימו לב ־ אנו מסתכלים רק על ערכים בסביבה של x0השונים מ־ .(x0במקרה כזה מסמנים. f (x) −−−−→ L :
x→x0
כלומר L ∈ R ,הוא גבול של הפונקציה בנקודה x0אם לכל `מידת קירבה` )המיוצגת על־ידי (εקיים איזור ,אולי קטן )כל המספרים
הממשיים שמרחקם מ־ x0קטן מ־ (δשבו ערך הפונקציה קרוב ל־ Lעד כדי . ε
משפט
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , x0 ∈ Rויהיו . L1 , L2 ∈ R
אם L1ו־ L2הם גבולות של fבנקודה ,x0אזי . L1 = L2
כלומר אם יש ל־ fגבול בנקודה , x0אזי הוא יחיד .במקרה זה נסמן את הגבולlim f (x) :
x→x0
הוכחה :
ראשית ,קיים δ0 > 0כך ש־ . ((x0 − δ0 , x0 + δ0 )\{x0 }) ⊆ Dנניח בשלילה ש־ . L1 6= L2נסמן
| |L1 −L2
2
L1הוא גבול של fבנק' x0ולכן קיים 0 < δ1כך ש־ 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − L1 | < ε
.∀x ∈ D
L2הוא גבול של fבנק' x0ולכן קיים 0 < δ2כך ש־0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |f (x) − L2 | < ε
נגדיר , 0 < δ = min(δ0 , δ1 , δ2 ) :ויהי } ) x̃ ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0למשל :
δ
2
=.0<ε
.∀x ∈ D
. (x̃ = x0 +
| . |L1 − L2 | = |L1 − f (x̃) + f (x̃) − L2 | 6 |L1 − f (x̃)| + |f (x̃) − L2 | < ε + ε = 2ε = |L1 − L2
אזי נקבל :
הגענו לסתירה! לכן . L1 = L2
דוגמאות
א(
x0 = 2 , D = Rו־ . f (x) = 3x − 1
כפי שעשינו בגבולות של סדרות ,ראשית יש לנחש מהו הגבול.
נשים לב שעבור xקרוב ל־ , 2
3x − 1יהיה קרוב ל־ 3 · 2 − 1 = 5ולכן סביר לנחש שהגבול של fב־ x0 = 2הוא . 5
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − 2| < δ ⇒ |(3x − 1) − 5| < ε
מתקיים :
נסמן
ב(
ε
3
ε
3
lim (3x − 1) = 5
⇔
x→2
< ||(3x − 1) − 5| < ε ⇔ |3x − 6| < ε ⇔ 3|x − 2| < ε ⇔ |x − 2
= δואז:
⇒ |(3x − 1) − 5| < ε
ε
3
< | , ∀x ∈ R 0 < |x − 2כנדרש.
x0 = 2 , D = Rו־ . f (x) = x2ננחש שהגבול של fב־ x0 = 2הוא : 4
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − 2| < δ ⇒ |x2 − 4| < ε
⇔
lim x2 = 4
x→2
מתקיים . |x2 − 4| < ε ⇔ |(x − 2)(x + 2)| < ε ⇔ |x − 2||x + 2| < ε :
כעת אנו עלולים להתפתות ולכתוב שאי־השוויון הימני שקול ל־
מסקנה זו שגויה לחלוטין כי
ε
||x+2
ε
||x+2
< | |x − 2וש־
ε
||x+2
= δמקיים את הדרוש.
איננו מספר ,אלא פונקציה של . xאשר על כן דרושה גישה אחרת.
בדומה להגדרת הגבול של סדרות ,שימו לב לשתי נקודות חשובות :
(1בהגדרת הגבול יש גרירה ולא שקילות ,כלומר אנו לא מחפשים את כל ה־ x־ים הפותרים את אי־השוויון .|f (x) − L| < ε
(2המספר החיובי δשאותו אנחנו צריכים להציג בהינתן ε > 0איננו יחיד.
למעשה ,אם δ1מסויים מתאים ,אז כל δקטנה מ־ δ1עובדת גם כן .אין שום הכרח לבחור ` δאופטימלית`.
לכן ,במקום להסתכל על כל ה־ x־ים הממשיים ,נגביל את עצמינו לסביבה מנוקבת ספציפית של x0 = 2וננסה להראות
שבתוכה קיימת סביבה מנוקבת Uשל ) x0 = 2התלויה ב־ ( εכך שכל xב־ Uמקיים . |x − 2||x + 2| < ε
נתבונן למשל בסביבה המנוקבת הספציפית } (2 − 1, 2 + 1)\{2של . x0 = 2עבור כל xבסביבה זו מתקיים :
1 < x < 3 ⇒ 3 < x + 2 < 5 ⇒ 3 < |x + 2| < 5
48
ולכן כל xהמקיים 0 < |x − 2| < 1יקיים :
|. 3 · |x − 2| < |x − 2||x + 2| < 5 · |x − 2
מכאן שכדי שיתקיים | f (x) − 4 | < εעבור אותם ה־ x־ים ,מספיק שיתקיים , 5 · |x − 2| < εוזה שקול ל־
קיבלנו שני אילוצים על 0 < |x − 2| < 1 : xו־
ε
5
ε
5
< |. |x − 2
< |. |x − 2
על מנת ששני האילוצים יתקיימו בו־זמנית ,ניתן לבחור }) δ = min{ 5ε , 1או כל ערך הקטן מזה(.
ואכן :
=ε
ε
5
ε
5
· | f (x) − 4 | = |x − 2||x + 2| < 5 · |x − 2| < 5
< |0 < |x − 2
∧
0 < |x − 2| < 1
0 < |x − 2| < δ
⇒
⇒
משפט
∞) (xnכך ש־ ]. { xn | n ∈ N } = [a, b
יהיו a, b ∈ Rעם . a < bאזי לא קיימת אף סדרה n=1
) כלומר לא ניתן למנות את כל הנקודות של הקטע ] [a, bבאמצעות המספרים הטבעיים(.
הוכחה :
∞) (xn
n=1
סדרה כלשהי כך ש־ ].{ xn | n ∈ N } ⊆ [a, b
תהי
a+b
a + x1
= a1ו־ . b1 = bאם x1 > aאז נסמן a1 = aו־
אם , x1 = aאזי נסמן
= . b1
2
2
∈ . x1
בכל מקרה מתקיים [a1 , b1 ] ⊆ [a, b] , a1 < b1ו־ ] / [a1 , b1
∈ , x2אזי נסמן a2 = a1ו־ . b2 = b1אם ] , x2 ∈ [a1 , b1אזי נבחין בין שני מקרים :
אם ] / [a1 , b1
a1 + x2
a1 + b1
= . b2
= a2ו־ , b2 = b1ואם x2 > a1אז נסמן a2 = a1ו־
אם x2 = a1נסמן
2
2
∈ . x2
בכל מקרה מתקיים [a2 , b2 ] ⊆ [a1 , b1 ] , a2 < b2ו־ ] / [a2 , b2
∈ . xn
יהי 2 6 n ∈ Nונניח שהגדרנו bn−1 , an , an−1ו־ bnכך ש־ [an , bn ] ⊆ [an−1 , bn−1 ] , an < bnו־ ] / [an , bn
∈ , xn+1אזי נסמן an+1 = anו־ . bn+1 = bnאם ] , xn+1 ∈ [an , bnאזי נבחין בין שני מקרים :
אם ] / [an , bn
an + bn
an + xn+1
= an+1ו־ , bn+1 = bnואם xn+1 > anאז נסמן an+1 = anו־
אם xn+1 = anנסמן
=
2
2
∈ . xn+1
בכל מקרה מתקיים [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ] , an+1 < bn+1ו־ ] / [an+1 , bn+1
. bn+1
∞
בצורה זו קיבלנו סדרה ([an , bn ])n=1של קטעים סגורים מקוננים.
לפי הלמה של קנטור קיימת לפחות נקודה cאחת השייכת לכל הקטעים הללו [an , bn ] :
∞
\
∈.c
n=1
∈ , xnולכן . c 6= xn
לכל n ∈ Nמתקיים ] c ∈ [an , bnו־ ] / [an , bn
= } ) { xn | n ∈ Nכי ]. (c ∈ [a, b
∈ cועל כן ]6 [a, b
מכאן נובע ש־ } / { xn | n ∈ N
איפיון גבול של פונקציה בעזרת סדרות ע`י
Heine
כמו בהרבה מקרים במתמטיקה ,נח שיש למושג מספר איפיונים שונים אך שקולים.
משפט
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , x0 ∈ Rויהי . L ∈ R
∞) (xnהמקיימת את שלושת התנאים הבאים:
אזי lim f (x) = Lאם`ם לכל סדרה n=1
x→x0
)(i
∀n ∈ N xn ∈ D
יתקיים lim f (xn ) = L
∞→n
)(ii
∀n ∈ N xn 6= x0
)(iii
lim xn = x0
∞→n
)כלומר הסדרה ) (f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), ..., f (xn ), ...מתכנסת ל־ .(L
הוכחה :
⇐ :נתון ש־ , lim f (x) = Lכלומר הגדרת ε_δשל קושי מתקיימת :
x→x0
)∗(
)(0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
49
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
∞) (xnסדרה המקיימת את שלושת התנאים ) . (i) , (ii) , (iiiנראה ש־ . lim f (xn ) = L
תהי n=1
∞→n
יהי . ε > 0מ־ )∗( נובע שקיים δ > 0כך ש־ |f (x) − L| < εעבור כל xהמקיים . 0 < |x − x0 | < δ
מתנאי ) (iiiוהגדרת הגבול נובע שקיים מספר טבעי N ∈ Nכך שלכל n > Nמתקיים . |xn − x0 | < δ
מתנאי ) (iiנובע ש־ | 0 < |xn − x0לכל , nולכן לכל n > Nמתקיים . 0 < |xn − x0 | < δ
∞
ולכן עבור כל n > Nמתקיים , |f (xn ) − L| < εוזו בדיוק ההגדרה לכך ש־ (f (xn ))n=1מתכנסת ל־ , Lכנדרש.
∞) (xnהמקיימת את ) (i) , (ii) , (iiiמתקיים . lim f (xn ) = L
⇒ :נתון שלכל סדרה n=1
∞→n
נניח בשלילה שלא מתקיים . lim f (x) = Lכלומר :
x→x0
0 < |x − x0 | < δ ∧ |f (x) − L| > ε0
= δקיים xn ∈ Dכך ש־
1
n
< | 0 < |xn − x0נובע ש־ xn 6= x0וש־
1
n
יהי . n ∈ Nעבור
מ־
1
n
1
n
∃ ε0 > 0 ∀δ > 0 ∃ x ∈ D
< | 0 < |xn − x0וגם . |f (xn ) − L| > ε0
< xn < x0 +
1
n
. x0 −לכן נקבל ממשפט הכריך ש־ . lim xn = x0
∞→n
∞) (xnמקיימת את שלושת התנאים ) , (i) , (ii) , (iiiובנוסף |f (xn ) − L| > ε0עבור כל nטבעי.
ז`א שהסדרה n=1
∞
ע`כ (f (xn ))n=1לבטח לא מתכנסת ל־ , Lבניגוד לנתון .סתירה זו מראה ש־ . lim f (x) = L
x→x0
דוגמאות
(1
תהי f : R → Rהמוגדרת על ידי , f (x) = x2ותהי . x0 = 2נוכיח. lim f (x) = lim x2 = 4 :
x→2
x→2
∞) (xn
n=1
סדרה המקיימת את ). (i) , (ii) , (iii
תהי
מ־ lim xn = 2ומאריתמטיקה של סדרות מתכנסות נובע ש־ = 4
∞→n
x2n
, lim f (xn ) = lim
∞→n
∞→n
ולכן נובע מאפיון היינה ש־ . lim f (x) = lim x2 = 4
x→2
(2
x→2
תהי f : R → Rהמוגדרת על ידי | , f (x) = |xותהי . x0 ∈ Rנוכיח. lim f (x) = lim |x| = |x0 | :
x→x0
x→x0
∞) (xnסדרה המקיימת את ). (i) , (ii) , (iii
תהי n=1
הוכחנו בסדרות שמ־ lim xn = x0נובע ש־ | , lim f (xn ) = lim |xn | = |x0ולכן | . lim |x| = |x0
∞→n
∞→n
x→x0
∞→n
תרגיל :הוכיחו זאת ישירות מהגדרת קושי של הגבול.
(3
1 x∈Q
תהי D : R → Rהמוגדרת על ידי
∈0 x
/Q
(
= ) D . D(xנקראת פונקצית דיריכלה.
)אינסוף נקודות צפופות על הקו y = 0ואינסוף נקודות צפופות על הקו . y = 1הגרף נראה כשני קווים רציפים מקבילים(.
תהי . x0 ∈ Rנוכיח ש־ ) lim D(xלא קיים.
x→x0
∞) (xnסדרה של מספרים רציונליים המקיימת את ) (ii) ,(iו־)) (iiiלכל nבוחרים
תהי n=1
1
)n
xn ∈ (x0 , x0 +רציונלי(.
∞) (x̂nסדרה של אי־רציונליים המקיימת את ) (ii) ,(iו־)) (iiiלכל nבוחרים ) x̂n ∈ (x0 , x0 + n1אי־רציונלי(.
תהי n=1
מתקיים :
∞)) (D(xn
)n=1 = (1, 1, 1, ..., 1, . . .
∞)) (D(x̂n
)n=1 = (0, 0, 0, 0, ..., 0, . . .
לכן ) , lim D(xn ) = 1 6= 0 = lim D(x̂nולכן ) lim D(xלא קיים.
∞→n
(4
∞→n
תהי f : R → Rהמוגדרת על ידי
x 6= 0
x=0
x→x0
1
x
sin
0
= ) , f (xותהי . x0 = 0
נוכיח ש־ ) lim f (xלא קיים .
x→0
∞) (xn
n=1
1
nπ
∞) (x̂n
n=1
1
= . ∀n ∈ N xnשתי הסדרות
, x̂n = π +2nπ
נגדיר :
2
לכל n ∈ Nמתקיים f (xn ) = sin x1n = sin(πn) = 0 :ו־ + 2nπ = 1
50
ו־
π
2
מקיימות את ) (ii) ,(iו־ ). (iii
. f (x̂n ) = sin
לכן ) , lim f (xn ) = 0 6= 1 = lim f (x̂nועל כן ) lim f (xלא קיים.
∞→n
∞→n
1
π
2 +nπ
לחילופין היינו יכולים להגדיר
x→0
= . ∀n ∈ N x̃nהסדרה
לכל n ∈ Nמתקיים + nπ = (−1)n :
π
2
∞) (x̃n
n=1
מקיימות את ) (ii) ,(iו־ ). (iii
. f (x̃n ) = sin
∞
לכן הסדרה (f (x̃n ))n=1מתבדרת ,ועל כן ) lim f (xלא קיים.
x→0
טענה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , x0ונניח ש־ . lim f (x) = L ∈ R
x→x0
אזי קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0בה fחסומה ) כלומר } f (U ) = { f (x) | x ∈ Uהיא תת־קבוצה חסומה של .( R
הוכחה :
. ∀ε > 0 ∃δ > 0
נתון כי 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
נבחר ε = 1ואז נקבל 0 < δכך ש־ , 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < 1
זאת אומרת שכל xב־ } (x0 − δ, x0 + δ) r {x0מקיים , −1 < f (x) − L < 1כלומר . L − 1 < f (x) < L + 1
) במילים אחרות גרף הפונקציה fנמצא בתוך מלבן עם צלעות מקבילות לצירים שקודקודיו הם הנקודות
)(. (x0 − δ, L − 1), (x0 + δ, L − 1), (x0 + δ, L + 1), (x0 − δ, L + 1
לכן } U = (x0 − δ, x0 + δ) r {x0מקיימת את הדרוש.
הערה
ניתן לנסח זאת גם באופן הבא :
אם לפונקציה fיש גבול ב־ , x0אזי קיים 0 < δוקיים 0 < M ∈ Rכך שכל xב־ } (x0 − δ, x0 + δ) r {x0מקיים
. |f (x)| < M
כי כל xבסביבה המנוקבת Uשל ההוכחה הקודמת מקיים , L − 1 < f (x) < L + 1ולכן
− (|L| + 1) = − |L| − 1 6 L − 1 < f (x) < L + 1 6 |L| + 1
וזה שקול ל־ , |f (x)| < |L| + 1כלומר M = |L| + 1מקיים את הדרוש .
טענה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , x0ונניח ש־ . lim f (x) = L
x→x0
אם , 0 < Lאזי קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים :
3L
2
אם , L < 0אזי קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים :
L
2
הוכחה :
• אם , 0 < Lאזי נבחר > 0
L
2
= εבהגדרת הגבול ונקבל 0 < δכך ש־
זאת אומרת שכל xב־ } (x0 − δ, x0 + δ) r {x0מקיים
• אם , L < 0אזי נבחר > 0
−L
2
L
2
L
2
L
2
.
3L
2
.
< )< f (x
< )< f (x
< |, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L
< , − L2 < f (x) − Lכלומר
3L
2
< )< f (x
= εבהגדרת הגבול ) .השלימו את הפרטים (
מסקנה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , x0ונניח ש־ . lim f (x) = L
x→x0
אם , 0 6= Lאזי קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך ש־ ) f (xו־ Lבעלי אותו סימן עבור כל xב־ . U
בפרט ) 0 6= f (xעבור כל xבסביבה המנוקבת . U
גבול חד־צדדי ) ימני ושמאלי (
51
L
2
,כנדרש.
הגדרה
יהי . x0 ∈ R
סביבה ימנית )שמאלית( של x0היא קטע מהצורה ) , ( (x0 − h, x0 ] ) [x0 , x0 + hכאשר . 0 < h ∈ R
סביבה ימנית )שמאלית( מנוקבת של x0היא קטע מהצורה ) , ( (x0 − h, x0 ) ) (x0 , x0 + hכאשר . 0 < h ∈ R
הגדרה
תהי f : D → Rפונקציה מוגדרת בסביבה ימנית )שמאלית( מנוקבת של . x0נאמר ש־ L ∈ Rהוא גבול מימין )משמאל( של fב־
x0אם מתקיים :
0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D
( ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D
) − δ < x − x0 < 0 ⇒ |f (x) − L| < ε
טענה
אם קיים ל־ fגבול מימין )משמאל( בנק' x0אזי גבול זה יחיד ומסומן ).( lim− f (x) ) lim+ f (x
x→x0
x→x0
דוגמה
x>0
1
. f (x) = sgn(x) = 0
תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת ע`י x = 0
−1 x < 0
בנקודח x0 = 0מתקיים . lim− f (x) = −1 , lim+ f (x) = 1 :
x→0
x→0
משפט
תהי f : D → Rפונק' המוגדרת בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
אזי fבעלת גבול ב־ x0אם`ם מתקיימים בו־זמנית שלושת התנאים הבאים:
.1
) lim− f (xקיים
.2
x→x0
) lim+ f (xקיים
.3
x→x0
)lim f (x) = lim+ f (x
x→x0
x→x−
0
במקרה זה מתקיים . lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) :
x→x0
x→x−
0
x→x+
0
הוכחה :
” ⇐ ” :נניח שקיים L ∈ Rכך ש־ , lim f (x) = Lז`א :
x→x0
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
מכאן נובע שמתקיימות ההגרירות הבאות :
0 < x − x0 < δ ⇒ 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
− δ < x − x0 < 0 ⇒ 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
כלומרlim f (x) = L :
x→x−
0
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
ו־ , lim+ f (x) = Lולכן שלושת התנאים ) (2) , (1ו־ ) (3מתקיימים.
x→x0
” ⇒ ” :נניח ששלושת התנאים ) (2) , (1ו־ ) (3מתקיימים .נסמן. lim− f (x) = lim+ f (x) = L :
x→x0
x→x0
מתנאי ) (1נובע שקיים δ1 > 0כך שלכל x ∈ Dהמקיים −δ1 < x − x0 < 0יתקיים . |f (x) − L| < ε
מתנאי ) (2נובע שקיים δ2 > 0כך שלכל x ∈ Dהמקיים 0 < x − x0 < δ2יתקיים . |f (x) − L| < ε
נגדיר ) , δ = min(δ1 , δ2ואז :
0 < x − x0 < δ
⇓
0 < x − x0 < δ2
⇓
|f (x) − L| < ε
∨
−δ < x − x0 < 0
⇓
−δ1 < x − x0 < 0
⇓
|f (x) − L| < ε
52
⇒
0 < |x − x0 | < δ
לכן 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε :
lim f (x) = L
כלומר
x→x0
,
כנדרש.
דוגמה
) lim sgn(xלא קיים כי. lim sgn(x) = 1 6= −1 = lim sgn(x) :
x→x−
0
x→0
x→0+
הערה :לכל , x0 6= 0הגבול ) lim sgn(xקיים ושווה ל־ ) . sgn(x0
x→x0
משפט ) אפיון היינה לגבול חד־צדדי (
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה ימנית )שמאלית( מנוקבת של , x0 ∈ Rויהי . L ∈ R
∞) (xnהמקיימת את שלושת התנאים הבאים:
אזי ) ( lim− f (x) ) lim+ f (xאם`ם לכל סדרה n=1
x→x0
)(i
x→x0
∀n ∈ N xn ∈ D
)(ii
) ( ∀n ∈ N xn < x0
∀n ∈ N xn > x0
)(iii
lim xn = x0
∞→n
יתקיים . lim f (xn ) = L
∞→n
הוכחה :תרגיל.
אריתמטיקה של גבולות של פונקציות
משפט
יהיו fו־ gשתי פונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת Vשל . x0 ∈ Rנניח ש־ lim f (x) = L1ו־ (L1 , L2 ∈ R) lim g(x) = L2
x→x0
x→x0
.אזי מתקיים :
.1ל־ f + gיש גבול בנקודה x0ומתקיים . lim (f + g)(x) = L1 + L2 :
x→x0
.2ל־ f · gיש גבול בנקודה x0ומתקיים . lim (f · g)(x) = L1 L2 :
x→x0
= , L2אזי קיימת סביבה מנוקבת של x0שבה gאיננה מתאפסת .בנוסף ל־
.3אם בנוסף 6 0
. lim g1 (x) = L12
1
g
יש גבול בנקודה x0ומתקיים :
x→x0
.4אם בנוסף , L2 6= 0אזי ל־
f
g
יש גבול בנקודה x0ומתקיים :
L1
L2
= )(x
f
g
. lim
x→x0
הוכחה :
.1דרך א' )בעזרת אפיון היינה ( :
∞) (xnהמקיימת את שלושת התנאים ) (ii) ,(iו־ ). (iii
תהי n=1
∞
∞)) (g(xnמתכנסת
מ־ lim f (x) = L1נובע שהסדרה (f (xn ))n=1מתכנסת ל־ , L1ומ־ lim g(x) = L2נובע שהסדרה n=1
x→x0
x→x0
ל־ . L2
מאריתמטיקה של סדרות נובע שהסדרה
∞)) (f (xn ) + g(xn
n=1
מתכנסת ל־ , L1 + L2ולכן נובע מאפיון
Heine
. g)(x) = L1 + L2
דרך ב' )ישירות מהגדרת קושי של הגבול( :
נתון 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − L1 | < ε1 :
וגם 0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |g(x) − L2 | < ε2 :
∀ε1 > 0 ∃ δ1 > 0 ∀x ∈ V
∀ε2 > 0 ∃ δ2 > 0 ∀x ∈ V
צריך להוכיח ש־ 0 < |x − x0 | < δ ⇒ | (f + g) (x) − (L1 + L2 ) | < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ V
וזה שקול ל־ 0 < |x − x0 | < δ ⇒ | (f (x) − L1 ) + (g(x) − L2 ) | < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ V
על מנת להוכיח את את הפסוק האחרון ,מספיק ) שימו לב ! זאת לא שקילות ! ( להראות ש־
0 < |x − x0 | < δ ⇒ | f (x) − L1 | + | g(x) − L2 | < ε
(∗) ∀ε > 0 ∃ δ > 0
)כי לפי אי־שוויון המשולש מתקיים . (|(f (x) − L1 ) + (g(x) − L2 )| 6 | f (x) − L1 | + | g(x) − L2 | :
53
ש־ lim (f +
x→x0
יהי 0 < εנתון.
נבחר > 0
ε
2
= ε1ונקבל 0 < δ1כך ש־
ε
2
< | . 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − L1
נבחר > 0
ε
2
= ε2ונקבל 0 < δ2כך ש־
ε
2
< | . 0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |g(x) − L2
נגדיר . δ = min (δ1 , δ2 ) :מתקיים :
0 < |x − x0 | < δ2
∧
< | | g(x) − L2
∧
ε
2
ε
2
= ε
+
ε
2
0 < |x − x0 | < δ1
⇒
< | | f (x) − L1
⇒
ε
2
< | | f (x) − L1 | + | g(x) − L2
0 < |x − x0 | < δ
⇒
לכן הוכחנו את נכונות הפסוק )∗( ,הגורר את הנדרש.
.2דרך א' )בעזרת אפיון היינה ( :
∞) (xnהמקיימת את שלושת התנאים ) (ii) ,(iו־ ). (iii
תהי n=1
∞
∞)) (g(xnמתכנסת
מ־ lim f (x) = L1נובע שהסדרה (f (xn ))n=1מתכנסת ל־ , L1ומ־ lim g(x) = L2נובע שהסדרה n=1
x→x0
x→x0
ל־ . L2
מאריתמטיקה של סדרות נובע שהסדרה
∞)) (f (xn )·g(xn
n=1
מתכנסת ל־ , L1 L2ולכן נובע מאפיון Heineש־ = )lim (f g)(x
x→x0
. L1 L2
דרך ב' )ישירות מהגדרת קושי של הגבול( :תרגיל.
.3דרך א' )בעזרת אפיון היינה ( :תרגיל.
דרך ב' )ישירות מהגדרת קושי של הגבול( :
• נוכיח ראשית קיימת סביבה מנוקבת של x0שבה gאיננה מתאפסת.
מהטענה בתזכורת נובע שקיים 0 < δ0כך ש־
| 3|L2
2
< |)< |g(x
| |L2
2
עבור כל xב־} .U = (x0 − δ0 , x0 + δ0 ) r {x0
בפרט g(x) 6= 0עבור כל xב־ . U
מכאן נובע שהפונקציה
1
g
מוגדרת ב־ . U
2
| |L2
בנוסף הפונקציה g1חסומה ב־ , Uכי עבור כל xב־ Uמתקיים :
1
1
• כעת נראה ש־ lim g1 (x) = L12
,כלומר ש־ g(x) − L2 < ε
x→x0
<
1
)g(x
<
2
| 3|L2
.
⇒ 0 < |x − x0 | < δ
. ∀ε > 0 ∃δ > 0
יהי 0 < εנתון.
נבחר > 0
ε|L2 |2
2
= ε2ונקבל 0 < δ2כך ש־
ε|L2 |2
2
< | . 0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |g(x) − L2
נגדיר . δ = min (δ0 , δ2 ) :לכל xהמקיים 0 < |x − x0 | < δמתקיים :
2
1
1
)L2 − g(x
|)|L2 − g(x
| |g(x) − L2
ε |L2 | 2
1
−
=
=
=
<
=ε
g(x) L2
g(x)L2
| |g(x)L2
| |g(x)| |L2
2
| |L2 | |L2
.4נובע מהסעיפים 2ו־ , 3כי
1
g
=f
f
g
.
טענה
יהי λ ∈ Rמספר נתון ותהי g : R → Rהפונקציה הקבועה המוגדרת עבור כל xממשי על ידי
. g(x) = λ
אזי לכל x0 ∈ Rיש ל־ gגבול בנקודה x0ומתקיים . lim g(x) = λ
x→x0
הוכחה :
צריך להוכיח 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − λ| < ε :
וזה שקול ל־
כלומר :
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |λ − λ| < ε
0 < |x − x0 | < δ ⇒ 0 < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R
הפסוק האחרון הוא אמיתי עבור כל . 0 < δ
54
הערה
ציור של גרף הפונקציה gימחיש מדוע במקרה הספציפי הזה δאיננו תלוי ב־ εוגם לא ב־ . x0
משפט
יהיו fו־ gשתי פונקציות בעלות כל אחת גבול בנקודה . x0 ∈ R
.1יהי λ ∈ Rמספר נתון .אזי מתקיים . lim (λf (x)) = λ lim f (x) :
x→x0
x→x0
) בוחרים את הפונקציה הקבועה g(x) = λבסעיף 2של המשפט הקודם (.
.2
). lim (f − g)(x) = lim f (x) − lim g(x
x→x0
x→x0
x→x0
) כותבים , f − g = f + (−1)g :ומשתמשים בסעיף הקודם עם λ = −1ובחיבור ( .
הערה
המשפט על אריתמטיקה של גבולות נכון גם עבור גבולות חד־צדדיים ) בתנאי כמובן שכל בגבולות מאותו צד של .( x0 ∈ R
גבול של מכפלת פונקציה חסומה בפונקציה אפסה
משפט
יהיו fו־ gפונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת Uשל . x0נניח ש־ lim f (x) = 0וש־ gחסומה ב־ . U
x→x0
אזי פונקצית המכפלה f · gבעלת גבול בנק' x0ומתקיים . lim (f · g)(x) = 0
x→x0
הוכחה :בתרגול.
הערות
(1שימו לב שלא ניתן ליישם כאן את המשפט מאריתמטיקה של גבולות על גבול של מכפלה.
(2גם המשפט הזה נכון עבור גבולות חד־צדדיים ) בתנאי כמובן שכל בגבולות מאותו צד של .( x0 ∈ R
גבול ויחס סדר
טענה
יהיו fו־ gשתי פונקציות המוגדרות כל אחת בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
נניח ש־ lim f (x) = L1ו־ . (L1 , L2 ∈ R) lim g(x) = L2
x→x0
x→x0
אם קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים ) , f (x) 6 g(xאזי ). lim f (x) = L1 6 L2 = lim g(x
x→x0
x→x0
הוכחה :
דרך א' )בעזרת אפיון היינה ( :תרגיל.
דרך ב' )ישירות מהגדרת קושי של הגבול( :
נגדיר . h = g − f :אזי נובע מהנתון שלכל xב־ Uמתקיים . h(x) = g(x) − f (x) > 0 :
בנוסף נקבל מאריתמטיקה של גבולות ש־ hבעלת גבול ב־ x0וש־ . lim h(x) = L2 − L1
x→x0
נניח בשלילה ש־ . L2 − L1 < 0אזי קיימת סביבה מנוקבת Vשל x0כך שלכל xב־ Vמתקיים . h(x) < 0
יהי ) x̂ ∈ U ∩ Vמדוע .( ? ∅ 6= U ∩ Vאזי . 0 6 h(x̂) < 0סתירה זו מראה ש־ , L2 − L1 > 0ז`א , L2 > L1כנדרש .
x̂∈V
x̂∈U
הערה
יהיו fו־ gשתי פונקציות המוגדרות כל אחת בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
נניח ש־ lim f (x) = L1ו־ . (L1 , L2 ∈ R) lim g(x) = L2
x→x0
x→x0
אם קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך ש־ ) f (x) < g(xעבור כל xב־ , Uאזי לא ניתן להסיק ש־ ), lim f (x) < lim g(x
x→x0
אלא רק ). lim f (x) 6 lim g(x
x→x0
x→x0
כלומר :אי־שוויון חריף בין פונקציות גורר רק אי־שוויון חלש בין הגבולות שלהן ) במידה והגבולות קיימים (.
דוגמה נגדית :נגדיר f : R → Rו־ g : R → Rע`י f (x) = 0ו־ g(x) = x2לכל xממשי .תהי Uסביבה מנוקבת של . 0
לכל xב־ Uמתקיים ) ) f (x) < g(xציירו ! ( ,אך ). lim f (x) = 0 = lim g(x
x→0
55
x→0
x→x0
טענה
יהיו fו־ gשתי פונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
נניח ש־ lim f (x) = L1ו־ . (L1 , L2 ∈ R) lim g(x) = L2
x→x0
x→x0
אם ) , lim f (x) = L1 < L2 = lim g(xאזי קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים ). f (x) < g(x
x→x0
x→x0
הוכחה :
נגדיר . h = g − f :אזי hמוגדרת בסביבה מנוקבת של x0ומאריתמטיקה של גבולות נובע ש־ . lim h(x) = L2 − L1 > 0
x→x0
לכן קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים , h(x) > 0ז`א g(x) − f (x) > 0עבור כל xב־ . U
משפט ) משפט הכריך (
יהיו f, g, hשלוש פונקציות המוגדרות בסביבה המנוקבת של , x0 ∈ Rונניח שמתקיימים שלושת התנאים הבאים :
.1קיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך שלכל xב־ Uמתקיים . f (x) 6 g(x) 6 h(x) :
.2ל־ fול־ hיש גבול בנקודה . x0
. lim f (x) = lim h(x) .3
x→x0
x→x0
אזי גם ל־ gיש גבול בנקודה x0ומתקיים . lim f (x) = lim g(x) = lim h(x) :
x→x0
x→x0
x→x0
הוכחה :
דרך א' )בעזרת אפיון היינה ( :תרגיל.
דרך ב' )ישירות מהגדרת קושי של הגבול( :
יהי 0 < δ0כך ש־ } . U = (x0 − δ0 , x0 + δ0 ) r {x0נסמן . lim f (x) = lim h(x) = L :
x→x0
x→x0
נתון 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε1 :
) ∀ε1 > 0 ∃ δ1 > 0 ∀x ∈ Dom(f
וגם 0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε2 :
)∀ε2 > 0 ∃ δ2 > 0 ∀x ∈ Dom(h
צריך להוכיח ש־ 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − L| < ε
). ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Dom(g
יהי 0 < εנתון .נבחר ε1 = ε > 0ונקבל 0 < δ1כך ש־ . 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε
נבחר ε2 = ε > 0ונקבל 0 < δ2כך ש־ . 0 < |x − x0 | < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε
נגדיר . δ = min (δ0 , δ1 , δ2 ) :מתקיים :
0 < |x − x0 | < δ2
∧
0 < |x − x0 | < δ1
∧
0 < |x − x0 | < δ0
⇒
| h(x) − L| < ε
∧
| f (x) − L| < ε
∧
x∈U
⇒
∧
)f (x) 6 g(x) 6 h(x
⇒
−ε < h(x) − L < ε
h(x) − L < ε
|g(x) − L| < ε
כנדרש.
∧ −ε < f (x) − L < ε
∧
−ε < f (x) − L
0 < |x − x0 | < δ
∧ ⇒ f (x) − L 6 g(x) − L 6 h(x) − L
⇒
−ε < g(x) − L < ε
⇒
כלל ההצבה בגבולות ) גבול של הרכבת פונקציות (
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של x0ומקיימת . lim f (x) = y0 ∈ R
x→x0
תהי gפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של y0ומקיימת . lim g(y) = L ∈ R
y→y0
באופן אינטואיטיבי f (x) ' y0 :עבור ` xקרוב` ל־ x0ו־ g(y) ' Lעבור ` yקרוב` ל־ . y0
סביר לנחש שבתנאים הללו מתקיים g(f (x)) ' L :עבור ` xקרוב` ל־ , x0כלומר . lim g(f (x)) = L
x→x0
הדוגמה הבאה מראה שנדרשת קצת זהירות :
56
דוגמה
f : R → Rהיא הפונקציה הקבועה המוגדרת ע`י . f (x) = 0 :
g: R → Rהיא הפונקציה המוגדרת ע`י :
(
1 y 6= 0
= ))g(y) = (sgn(y
0 y=0
2
תהי x0 ∈ Rנתונה .מתקיים lim f (x) = 0 = y0 :
x→x0
2
מכאן נובע ש־ g(f (x)) = (sgn(0)) = 0
y>0
) כי y = 0
y<0
1
= ). ( sgn(y
0
−1
2
ו־ . lim g(y) = lim (sgn(y)) = 1 = L
y→y0
y→0
, ∀x ∈ Rולכן . lim (g ◦ f )(x) = 0 6= 1 = L
x→x0
נשים לב ש־ fמתאפסת בכל סביבה מנוקבת של , x0ז`א שבכל סביבה מנוקבת Uשל x0קיים x0 6= x ∈ Uכך ש־ f (x) = 0 = y0
.
משפט )כלל ההצבה בגבולות(
תהי fפונקציה שתחום הגדרתה Dfמכיל סביבה מנוקבת של x0ומקיימת . lim f (x) = y0 ∈ R
x→x0
תהי gפונקציה שתחום הגדרתה Dgמכיל סביבה מנוקבת של y0ומקיימת . lim g(y) = L ∈ R
y→y0
נניח בנוסף שקיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך ש־ f (x) 6= y0עבור כל . x ∈ U
אזי מתקיים . lim (g ◦ f )(x) = L :
x→x0
הוכחה :
נסמן ) U = (x0 − δ0 , x0 + δ0 ) r {x0 } :עם ( 0 < δ0ואז
⇔
0 < |x − x0 | < δ0
.x∈U
נתון :
lim g(y) = L
y→y0
lim f (x) = y0
x→x0
∀ε2 > 0 ∃ δ2 > 0 ∀y ∈ Dg
⇔
0 < |y − y0 | < δ2 ⇒ |g(y) − L| < ε2
⇔
0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − y0 | < ε1
∀ε1 > 0 ∃ δ1 > 0 ∀x ∈ Df
| 0 < |x − x0 | < δ0 ⇒ f (x) 6= y0 ⇒ 0 < |f (x) − y0
צריך להוכיח :
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε
)∗(
. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Df
יהי ε > 0נתון.
נציב ε2 = εונקבל 0 < δ2כך שמתקיים:
0 < |y − y0 | < δ2 ⇒ |g(y) − L| < ε
נציב ε1 = δ2ונקבל 0 < δ1כך שמתקיים:
0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − y0 | < δ2
)∗∗( .
)∗ ∗ ∗( .
נגדיר ) δ = min(δ0 , δ1ואז :
| g(f (x)) − L | < ε
⇒
)∗∗(
)y = f (x
0 < |f (x) − y0 | < δ2
)∗(
⇒
0 < |x − x0 | < δ
)∗∗∗(
כנדרש.
דוגמה ) דוגמה נוספת המראה את נחיצות התנאי הנוסף במשפט הקודם (
(
1 x∈Q
= ). D(x
, f (x) = x · D(x) , x0 = 0כאשר D: R → Rהיא פונקצית דיריכלה המוגדרת ע`י :
0 x∈RrQ
lim f (x) = lim x · D(x) = 0 = y0
x→0
x→0
2
g: R → Rהיא פונקצית דיריכלה המוגדרת ע`י )). g(y) = (sgn(y
2
. lim g(y) = lim (sgn(y)) = 1 = L
y→0
y→y0
57
}1 x ∈ Q r {0
}0 x ∈ (R r Q) ∪ {0
(
x∈Q
=
x∈RrQ
(
2
))(sgn(x
= )))∀x ∈ R g(f (x)) = (sgn(x · D(x
2
))(sgn(0
2
} , ∀x ∈ R r {0ולכן ) lim (g ◦ f )(xלא קיים.
כלומר )g(f (x)) = D(x
x→0
נשים לב ש־ fמתאפסת בכל סביבה מנוקבת של , x0 = 0ז`א שבכל סביבה מנוקבת Uשל 0קיים 0 6= x ∈ Uכך ש־
. f (x) = 0 = y0
משפט )חיזוק למשפט
(Heine
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
∞) (xnהמקיימת את התנאים
אזי יש ל־ fגבול ב־ x0אם`ם לכל סדרה n=1
)∀n ∈ N xn ∈ D (i
,
)∀n ∈ N xn 6= x0 (ii
lim xn = x0
ו־ )(iii
∞→n
∞
יתקיים שהסדרה (f (xn ))n=1מתכנסת.
הוכחה :
נוכיח שהתנאי במשפט זה שקול ל־: Heine
⇐ :נתון ש־ . lim f (x) = Lאז ההוכחה של אפיון
x→x0
יתקיים , lim f (xn ) = Lובפרט הסדרה
∞→n
Heine
∞
(f (xn ))n=1
∞) (xnהמקיימת את )(i) , (ii) , (iii
מראה שעבור כל סדרה n=1
מתכנסת.
∞
∞) (x̃nשתי סדרות המקיימות כל אחת את התנאים ). (i) , (ii) , (iii
⇒ :יהיו (xn )n=1ו־ n=1
לפי הנתון קיימים L1 , L2 ∈ Rכך ש־ lim f (xn ) = L1
∞→n
ו־ . lim f (x̃n ) = L2
∞→n
נתבונן בסדרה . (x1 , x̃2 , x3 , x̃4 , ..., x2n−1 , x̃2n , ...) :גם הסדרה הזו מקיימת את שלושת התנאים ). (i) , (ii) , (iii
) זה ברור עבור התנאים ) , (i) , (iiועבור תנאי ) (iiiזה הוכח בשאלה 4של תרגיל בית .( 7
מהנחת המשפט נובע שהסדרה המתאימה של ערכי הפונק' ) (f (x1 ), f (x̃2 ), ..., f (x2n−1 ), f (x̃2n ), ...מתכנסת.
לכן כל הגבולות החלקיים שלה שווים ,ומכאן . L1 = lim f (x2n−1 ) = lim f (x̃2n ) = L2
∞→n
∞→n
מסקנה :כל סדרות ערכי הפונקציה הרלוונטיות מתכנסות לאותו גבול ,ולכן נובע מאפיון היינה ש־ ) lim f (xקיים .
x→x0
משפט )קריטריון קושי לקיום גבול של פונקציה(
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של . x0 ∈ R
אזי יש ל־ fגבול בנקודה x0אם`ם מתקיים התנאי הבא )הנקרא תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה(:
x̂, x̃ ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0 } ⇒ | f (x̂) − f (x̃) | < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x̂, x̃ ∈ D
הוכחה :
⇐ :נניח שקיים L ∈ Rכך ש־ , lim f (x) = Lונראה שתנאי קושי מתקיים .יהי ε > 0נתון.
x→x0
מ־ lim f (x) = Lנובע שקיים , δ > 0כך שלכל xב־ Dהמקיים 0 < |x − x0 | < δיתקיים
x→x0
מכאן ,אם 0 < |x̂ − x0 | < δאז
ε
2
< | , |f (x̂) − Lואם 0 < |x̃ − x0 | < δאזי
|)̃|f (x̂) − L + L − f (x
=ε
ε
2
+
ε
2
= |)̃|f (x̂) − f (x
⇒
ε
2
ε
2
< |. |f (x) − L
< | , |f (x̃) − Lוע`כ :
0 < |x̂ − x0 | < δ ∧ 0 < |x̃ − x0 | < δ
< |6 |f (x̂) − L| + |f (x̃) − L
לכן תנאי קושי מתקיים.
⇒ :נניח שתנאי קושי מתקיים ,ונוכיח של־ fיש גבול בנק' . x0יהי ε > 0ותהי δ > 0המתאימה ל־ εבקריטריון קושי.
∞) (xnסדרה המקיימת את התנאים ). (i) , (ii) , (iii
תהי n=1
מהתנאים ) (iiו־ ) (iiiנובע שקיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים .0 < |xn − x0 | < δ :
)(iii
)(ii
לכל N < m, nיתקיים , 0 < |xm − x0 | < δ ∧ 0 < |xn − x0 | < δולכן נובע מתנאי קושי ש־ .|f (xm ) − f (xn )| < ε
∞)) (f (xnהיא סדרת קושי ,ולכן היא מתכנסת .לפי החיזוק להיינה ,הגבול ) lim f (xקיים ,כנדרש.
כלומר הסדרה n=1
x→x0
תרגיל :נסחו והוכיחו את קריטריון קושי לגבול חד־צדדי.
58
רציפות
דוגמאות :לפניכם 5פונקציות המוגדרות כולן בסביבה מנוקבת של . x0 = 0
2
2
x
|f2 (x) = sgn(x) , f3 (x) = |x
)), f4 (x) = (sgn(x
, f5 (x) = x + 1
,
x
||x
= )f1 (x
f1לא מוגדרת בנקודה 0ול־ f1אין גבול בנקודה . 0
f2מוגדרת בנקודה 0אך ל־ f2אין גבול בנקודה . 0
f3לא מוגדרת בנקודה 0אך ל־ f3יש גבול בנקודה .( lim f3 (x) = 1 ) 0
x→0
f4מוגדרת בנקודה 0ול־ f4יש גבול בנקודה , 0אך ). lim f4 (x) = 1 6= f4 (0
x→0
f5מוגדרת בנקודה 0ול־ f5יש גבול בנקודה , 0ומתקיים ). lim f5 (x) = 1 = f5 (0
x→0
הגדרה
תהי f : D → Rפונ' נתונה ) ( D ⊆ Rויהי . x0 ∈ Rנאמר ש־ fרציפה ב־ , x0אם`ם מתקיימים שלושת התנאים הבאים :
(1הפונקציה fמוגדרת בסביבה מלאה של . x0 ∈ R
f (2בעלת גבול בנקודה . x0
(3מתקיים השוויון . lim f (x) = f (x0 ) :
x→x0
הערה
נהוג לסכם את הרציפות של fבנקודה x0ע`י ציטוט תנאי (3בלבד ,כאשר המוסכמה היא שהשוויון ) lim f (x) = f (x0כולל בתוכו
x→x0
את הקיום של שני אגפיו.
דוגמה
יהי λמספר ממשי נתון ותהי f : R → Rהפונקציה הקבועה המוגדרת על ידי . ∀x ∈ R f (x) = λ
אזי fרציפה בכל , x0 ∈ Rכי ראינו לעיל שיש ל־ fגבול בכל נקודה x0ומתקיים ) . lim f (x) = λ = f (x0
x→x0
טענה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה של . x0 ∈ Rאזי fרציפה ב־ x0אם`ם מתקיים :
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
(∗) ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
הוכחה :
`⇐` :נתון ש־ fרציפה ב־ , x0כלומר . lim f (x) = f (x0 ) :לפי הגדרת הגבול ,זה שקול לפסוק :
x→x0
0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε1
∀ε1 > 0 ∃ δ1 > 0 ∀x ∈ D
יהי . 0 < εנציב ε1 = εונקבל 0 < δ1כך ש־ |f (x) − f (x0 )| < εעבור כל xהמקיים . 0 < |x − x0 | < δ1
היות ו־ , 0 < εאי־השוויון |f (x) − f (x0 )| < εמתקיים בבירור גם עבור x = x0ולכן |f (x) − f (x0 )| < εעבור כל x
המקיים , |x − x0 | < δ1כלומר )∗( מתקיימת עם . δ = δ1
`⇒` :נתון ש־ )∗( מתקיים .אבל אז מתקיים על אחת כמה וכמה :
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
, ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
כלומר ) . lim f (x) = f (x0לכן fרציפה ב־ . x0
x→x0
אריתמטיקה של פונקציות רציפות
משפט
יהיו fו־ gשתי פונקציות רציפות ב־ . x0 ∈ Rאזי מתקיים:
(1
f + gרציפה ב־ . x0
(2
f · gרציפה ב־ . x0
(3
אם בנוסף gלא מתאפסת ב־ , x0אזי
1
g
מוגדרת בסביבה מלאה של x0ורציפה ב־ . x0
59
(4
אם בנוסף gלא מתאפסת ב־ , x0אזי
f
g
מוגדרת בסביבה מלאה של x0ורציפה ב־ . x0
הוכחה :
כל הסעיפים נובעים ישירות מהמשפט המקביל על אריתמטיקה של גבולות ומהגדרת הרציפות של פונקציה ב־ . x0
מסקנה
א .כפל בסקלר של פונקציה רציפה ב־ x0היא פונקציה רציפה ב־ . x0
) לוקחים עבור gאת הפונקציה הקבועה , g(x) ≡ λשהיא רציפה ב־ , x0ומפעילים את הסעיף על המכפלה( .
ב .הפרש של פונקציות רציפות ב־ x0הוא פונקציה רציפה ב־ ) . x0כי ( f − g = f + (−1) g
רציפות חד צדדית
הגדרה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה ימנית ) שמאלית ( מלאה של . x0 ∈ R
נאמר ש־ fרציפה מימין )משמאל( בנק' x0אם`ם מתקיים. ( lim− f (x) = f (x0 )) lim+ f (x) = f (x0 ) :
x→x0
x→x0
משפט
fרציפה ב־ x0אם`ם היא רציפה מימין ומשמאל ב־ . x0
הוכחה :
זה נובע ישירות מהמשפט האומר של־ fיש גבול ב־ x0אם`ם יש לה גבול מימין ומשמאל ב־ x0והגבולות החד־צדדיים שווים.
הרכבה של פונקציות רציפות
משפט
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של x0 ∈ Rומקיימת . lim f (x) = y0 ∈ R
x→x0
תהי gפונקציה רציפה בנקודה . y0
אזי הפונקציה המורכבת g ◦ fבעלת גבול בנקודה x0ומתקיים ) . lim g(f (x)) = g(y0
x→x0
אם בנוסף ) , y0 = f (x0כלומר אם fרציפה בנקודה , x0אזי g ◦ fרציפה ב־ . x0
) בקיצור :ההרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה(.
הוכחה :
נתון :
) lim g(y) = g(y0
y→y0
lim f (x) = y0
x→x0
צריך להוכיח :
⇔
|y − y0 | < δ2 ⇒ |g(y) − g(y0 )| < ε2
∀ε2 > 0 ∃ δ2 > 0
⇔
0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − y0 | < ε1
∀ε1 > 0 ∃ δ1 > 0
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(f (x)) − g(y0 )| < ε
. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Df
יהי ε > 0נתון.
נציב ε2 = εונקבל 0 < δ2כך ש־ . (∗) |y − y0 | < δ2 ⇒ |g(y) − g(y0 )| < ε
נציב ε1 = δ2ונקבל 0 < δ1כך ש־ 0 < |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x) − y0 | < δ2
נגדיר δ = δ1ואז :
| g(f (x)) − g(y0 ) | < ε
⇒
)∗(
)y = f (x
)∗∗( .
|f (x) − y0 | < δ2
⇒
0 < |x − x0 | < δ
)∗∗(
כנדרש.
אם בנוסף ) y0 = f (x0אזי נובע מהקודם ש־ )) , lim g(f (x)) = g(y0 ) = g (f (x0כלומר g ◦ fרציפה ב־ . x0
x→x0
הערה ואזהרה
בתרגיל תתבקשו להראות שאם fרציפה מימין ב־ x0ו־ gרציפה מימין ב־ ) , y0 = f (x0אזי הפונקציה המורכבת g ◦ fלאו דוקא
רציפה מימין ב־ . x0
אבל התאמה קלה של ההוכחה הנ`ל מוכיחה את המשפט הבא :
משפט
60
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה ימנית ) שמאלית ( מנוקבת של x0 ∈ Rומקיימת .( lim− f (x) = y0 ∈ R ) lim+ f (x) = y0 ∈ R
x→x0
x→x0
תהי gפונקציה רציפה )!( בנקודה . y0
אזי g ◦ fבעלת גבול מימין ) משמאל ( בנקודה x0ומתקיים ) lim g(f (x)) = g(y0
x→x+
0
) .( lim− g (f (x)) = g(y0 ) ∈ R
x→x0
אם בנוסף ) , y0 = f (x0אזי g ◦ fרציפה מימין ב־ ) x0רציפה משמאל ב־ .( x0
מיון נקודות אי רציפות
הגדרה
תהי fפונקציה מוגדרת בסביבה מלאה של . x0 ∈ R
א .אם לפחות אחד הגבולות החד־צדדיים של fב־ x0לא קיים במובן הצר ,נאמר ש־ fבעלת אי רציפות מסוג שני ב־ . x0
ב .אם ) lim+ f (xו־ ) lim− f (xקיימים במובן הצר ,אך שונים זה מזה ,נאמר ש־ fבעלת אי רציפות מסוג ראשון ב־ . x0
x→x0
x→x0
ג .אם ) lim f (xקיים במובן הצר ,אך ) , lim f (x) 6= f (x0נאמר ש־ fבעלת אי רציפות סליקה ב־ . x0
x→x0
x→x0
דוגמאות
(
0
x60
א( תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת ע`י
0<x
1
x
= ). f (x
sin
ל־ fיש נקודת אי רציפות מסוג שני ב־ , x0 = 0כי ) lim+ f (x) = lim+ sin( x1לא קיים .
x→0
x→0
ב( תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת ע`י ). f (x) = sgn(x
ל־ fיש נקודת אי רציפות מסוג ראשון ב־ , x0 = 0כי ). lim+ f (x) = 1 6= −1 = lim− f (x
x→0
x→0
ג( תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת ע`י ). f (x) = sgn2 (x
ל־ fיש נקודת אי רציפות סליקה ב־ , x0 = 0כי ). lim f (x) = lim f (x) = 1 6= 0 = f (0
x→0−
x→0+
הגדרה
∈ . x0
תהי f : D → Rפונקציה כך ש־ Dמכילה סביבה מנוקבת של x0אך / D
פונקציה g : D ∪ {x0 } → Rתיקרא המשכה רציפה או הרחבה רציפה של fבנקודה x0אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
א g (x) = f (x) .לכל . x ∈ D
ב g .רציפה בנקודה . x0
טענה
∈ . x0
תהי f : D → Rפונקציה כך ש־ Dמכילה סביבה מנוקבת של x0אך / D
ל־ fקיימת המשכה רציפה ב־ x0אם ורק אם יש ל־ fגבול )במובן הצר( ב־ . x0
במקרה זה יש ל־ fהמשכה רציפה יחידה ב־ x0והיא נתונה ע''י
) f (x
x∈D
x = x0
) lim f (x
= ). g (x
x→x0
הוכחה :
” ⇐ ” :תהי gהמשכה רציפה של fב־ . x0אזי ) , lim g(x) = g(x0כלומר
x→x0
|x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − g(x0 )| < ε
} ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D ∪ {x0
ולכן בפרט 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − g(x0 )| < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
מעצם ההגדרה של gנובע ש־ ) f (x) = g(xעבור כל xב־ , Dולכן הפסוק האחרון שקול ל־ :
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g(x0 )| < ε
. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
) , lim f (x) = g(x0משמע ל־ fיש גבול במובן הצר ב־ . x0
x→x0
61
” ⇒ ” :נתון שקיים L ∈ Rכך ש־ . lim f (x) = L
x→x0
. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ U
כלומר 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ε :
מעצם ההגדרה של gנובע ש־ ) f (x) = g(xעבור כל xב־ , Dולכן הפסוק האחרון שקול ל־ :
0 < |x − x0 | < δ ⇒ |g(x) − L| < ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ U
כלומר . lim g(x) = Lאבל ) L = g(x0ולכן ) . lim g(x) = g(x0משמע gרציפה ב־ , x0כנדרש.
x→x0
x→x0
אם hפונקציה כלשהי המוגדרת ב־ ) (x0 − δ0 , x0 + δ0ומתלכדת עם fב־ ,Uאזי הנימוק הנ`ל מראה ש־ . lim h(x) = L
x→x0
אם בנוסף hרציפה ב־ , x0אזי ) , L = h(x0ולכן . h = gזה מוכיח את היחידות של . g
דוגמה
תהי f : R r {3} → Rהמוגדרת על ידי
x2 −9
x−3
= ) . f (xהאם יש ל־ fהמשכה רציפה בנקודה ? x0 = 3
פתרון
תחום ההגדרה } Df = R r {3מכיל סביבה מנוקבת של , 3ו־ fלא מוגדרת בנקודה . x0 = 3
לכל x 6= 3מתקיים = x + 3 :
)(x−3)(x+3
x−3
=
x2 −9
x−3
= ). f (x
פירוש הדבר שהפונקציה g : R → Rהמוגדרת על ידי g(x) = x + 3מתלכדת עם fב־ }. R r {3
בנוסף gרציפה ב־ x0 = 3כסכום של פונקציות רציפות בנקודה . x0 = 3
לכן g(x) = x + 3היא ההמשכה הרציפה של fבנקודה . x0 = 3
x2 −9
x−3
x 6= 3
) בפרט מתקיים , lim f (x) = lim (x + 3) = 6ז`א ש־
x→3
x→3
x=3
(
6
= )( g(x
הערה
באותו האופן ,עבור פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת חד־צדדית ) )(x0 , x0 + δאו ) ( (x0 − δ, x0אפשר לדבר על הרחבה רציפה
ל־ ) ) [x0 , x0 + δאו ל־ ] .( (x0 − δ, x0
טענה |sin(x)| 6 |x| :
∀x ∈ R
) xברדיאנים ! (.
`הוכחה`
) היות ולא הגדרנו את ) , sin(xה־`הוכחה` הזו איננה מושתתת על האקסיומות של Rבלבד (.
} . ∀x ∈ R r {0היות ו־ , sin(0) = 0זה יגרור את הטענה.
`נוכיח` טענה יותר חזקה |sin(x)| < |x| :
נבדיל בין מקרים :
א(
π
2
<0<x
שטח המשולש 4ABCהוא sin x :
1
2
= · 1 · sin x
1
2
= . S4ABC
62
שטח הגזרה ^ABCהוא · x :
1
2
=·x
π·12
2π
= . S^ABC
המשולש 4ABCמוכל בגזרה , ^ABCולכן שטח המשולש 4ABCקטן משטח הגזרה : ^ABC
1
2x
< sin x
1
2
מכאן . sin x < x :היות ושני האגפים אי־שליליים ,קבלנו | , |sin(x)| < |xכנדרש.
ב( 6 x
π
2
π
2
במקרה זה מתקיים 6 x = |x| :
< , |sin(x)| 6 1כנדרש.
ג( x < 0
אזי 0 < −xולכן נובע משני המקרים הקודמים ש־ |. |sin(−x)| < |−x
כעת מתקיים , |sin(x)| = |− sin(x)| = |sin(−x)| < |−x| = |x| :ולכן אי־השוויון הדרוש נכון גם במקרה הזה.
מסקנה :
) lim sin(x) = sin(x0
x→x0
. ∀x0 ∈ R
הוכחה
בהינתן 0 < εנבחר δ = εואז מתקיים :
0
0
= 2 sin x−x
cos x+x
2
2
= |x − x0 | < δ = ε
x−x0
2
x+x0
2
·162
cos
x−x0
2
x−x0
2
2 sin
2 sin
= |) |sin(x) − sin(x0
⇒
|x − x0 | < δ
6
כנדרש.
מסקנה :
. ∀x0 ∈ R
) lim cos(x) = cos(x0
x→x0
הוכחה
דרך א' :משתמשים בזהות :
π
2
cos x = sin x +ובמשפט על הרכבה של פונקציות רציפות.
דרך ב' :בהינתן 0 < εנבחר δ = εואז מתקיים :
0
0
0
sin x+x
= 2 sin x−x
sin x+x
2
2
2
= |x − x0 | < δ = ε
x−x0
2
·162
x−x0
2
x−x0
2
2 sin
2 sin
6
כנדרש.
טענה :
= |) |cos(x) − cos(x0
⇒
|x − x0 | < δ
=1
). lim sin(x
x
x→0
`הוכחה`
): lim+ sin(x
א( `נוכיח` ראשית ש־ = 1
x
π
2
יהי
x→0
שטח המשולש 4ABCהוא sin x :
שטח הגזרה ^ABCהוא · x :
1
2
1
2
= · 1 · sin x
=·x
שטח המשולש 4ABDהוא tan x :
1
2
<0<x
2
π·1
2π
1
2
= . S4ABC
= . S^ABC
= · 1 · tan x
1
2
= . S4ABD
63
המשולש 4ABCמוכל בגזרה , ^ABCשמוכלת במשולש , 4ABDולכן שטח המשולש 4ABCקטן משטח הגזרה ^ABC
. 12 sin x < 12 x < 21 tan x
קטן משטח המשולש : 4ABD
מכאן :
sin x
cos x
= . 0 < sin x < x < tan x
נחלק את כל האגפים ב־ sin xונקבל :
1
)cos(x
<
x
)sin(x
< , 1כלומר < 1
sin x
x
< . cos x
). lim sin(x
x
x→0+
היות ו־ , lim cos(x) = lim cos(x) = cos(0) = 1נובע ממשפט הכריך ש־ = 1
x→0
x→0+
ב( נראה כעת ש־ = 1
): lim− sin(x
x
x→0
)∗(
לכל x < 0מתקיים :
)sin(−x
−x
=
)− sin(x
−x
=
)= lim− sin(−x
ולכן = 1
)= lim+ sin(y
−x
y
)sin(x
x
x→0
y→0
) השוויון )∗( נובע מהמשפט על גבול של פונקציה מורכבת עם y = f (x) = −xו־
)sin(y
y
)sin(x
x
lim
x→0−
= ).( g(y
הטענה נובעת מהמשפט על גבולות חד־צדדיים קיימים ושווים.
הרחבות של המושג `גבול` :שאיפה לאינסוף וגבול באינסוף
הגדרה
תהי f : D → Rפונקציה המוגדרת בסביבה המנוקבת של . x0 ∈ Rנאמר ש־ ` fשואפת לאינסוף` )למינוס אינסוף( בנקודה x0
אם`ם מתקיים:
∀ M ∈ R ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M
) 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < M
במקרה זה מסמנים lim f (x) = ∞ :
( ∀ M ∈ R ∃ δ > 0 ∀x ∈ D
) ∞. ( lim f (x) = −
x→x0
x→x0
הערה :שימו לב להקבלה בין ההגדרה הזו להגדרה הבאה מההרצאה : 9
∞
∞) (anאם`ם :
תהי (an )n=1סדרה ב־ . Rמספר ממשי L ∈ Rיקרא גבול של הסדרה n=1
|an − L| < ε
דוגמה = ∞ :
נסמן :
1
(x−4)2
⇒
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N
n>N
1
2
)x→4 (x−4
. lim
= )(f ) = R r {4} . f (x
צריך להראות ש־
Dom
>M
1
(x−4)2
.בפרט fמוגדרת בסביבה מנוקבת של . x0 = 4
⇒ 0 < |x − 4| < δ
∀M ∈ R ∃ δ > 0
יהי . M ∈ R
אם M 6 0אזי מתקיים > 0 > M :
1
(x−4)2
} , ∀x ∈ R r {4ולכן כל 0 < δמתאימה .בפרט נוכל לבחור . δ = 1
אם M > 0אזי מתקיים עבור כל : x 6= 4
r
r
p
1
1
2
⇔
< )(x − 4
< |⇔ |x − 4
M
M
q
1
δ = Mמתאימה במקרה . M > 0
לכן > 0
לכל M ∈ Rמצאנו δ > 0כך ש־ > M
1
(x−4)2
1
1
< > M ⇔ (x − 4)2
(x − 4)2
M
⇒ , 0 < |x − 4| < δולכן הוכחנו ש־ ∞ =
1
2
)x→4 (x−4
. lim
הגדרה
תהי f : D → Rכך שתחום הגדרתה Dכולל קרן )∞ .( (−∞, a) ) (a,כלומר f ,מוגדרת עבור כל ) x > aכל (x < a
נאמר ש־ L ∈ Rהוא גבול של fכש־ xשואף לאינסוף )למינוס אינסוף( אם`ם מתקיים:
x > N ⇒ |f (x) − L| < ε
∀ε > 0 ∃N ∈ R ∀x ∈ D
64
) x < N ⇒ |f (x) − L| < ε
( ∀ε > 0 ∃N ∈ R ∀x ∈ D
טענה
אם יש ל־ fגבול כאשר xשואף לאינסוף )למינוס אינסוף( ,אזי גבול זה הוא יחיד ויסומן . ( lim f (x) ) lim f (x) :
∞→x
∞x→−
הוכחה :תרגיל
דוגמה = 1 :
x
x+3
נסמן :
lim x
x→∞ x+3
= )(f ) = R r {−3} . f (x
Dom
צריך להראות ש־
−1 <ε
x
x+3
.בפרט ) (f
Dom
⇒ x>N
מכיל קרן ימנית ) למשל את )∞ .( (0,
. ∀ε > 0 ∃N ∈ R ∀x 6= −3
לכל x 6= −3מתקיים :
)x − (x + 3
⇔ <ε
x+3
−3
3
3
⇔ <ε
⇔ <ε
|< |x + 3
x+3
||x + 3
ε
x
⇔ −1 <ε
x+3
יהי . N > −3אזי כל x > Nמקיים x + 3 > N + 3 > 0ולכן כל x > Nמקיים . |x + 3| = x + 3
ז`א שעבור כל , x > N > −3הדרישה |< |x + 3
לכן נבחר
3
ε
3
ε
שקולה ל־ < x + 3
N = max(−3, −3 + 3ε ) = −3 +ואז − 1 < ε
x
x+3
3
ε
⇒
,כלומר ל־ < x
3
ε
. −3 +
, x > Nכנדרש .
הגדרה
תהי f : D → Rכך שתחום הגדרתה Dכולל קרן )∞ .( (−∞, a) ) (a,כלומר f ,מוגדרת עבור כל ) x > aכל ( x < a
נאמר ש־ ` fשואפת לאינסוף` )למינוס אינסוף( כש־ xשואף לאינסוף ) למינוס אינסוף ( אם`ם מתקיים:
x > N ⇒ f (x) > M
∀M ∈ R ∃N ∈ R ∀x ∈ D
מסמנים . lim f (x) = ∞ :
) x > N ⇒ f (x) < M
∀M ∈ R ∃N ∈ R ∀x ∈ D
מסמנים (. lim f (x) = −∞ :
) x < N ⇒ f (x) > M
∀M ∈ R ∃N ∈ R ∀x ∈ D
מסמנים (. lim f (x) = ∞ :
) x < N ⇒ f (x) < M
∀M ∈ R ∃N ∈ R ∀x ∈ D
מסמנים (. lim f (x) = −∞ :
דוגמה :
∞→x
∞→x
∞x→−
∞x→−
∞ = . lim x2
∞x→−
נסמן (f ) = R . f (x) = x2 :
Dom
.בפרט fמוגדרת בקרן שמאלית ) ) , (−∞, 7למשל ( .
צריך להראות ש־ x < N ⇒ x2 > M
. ∀M ∈ R ∃N ∈ R ∀x ∈ R
יהי . M ∈ Rאם M < 0אזי מתקיים , ∀x ∈ R x2 > 0 > M :ולכן כל N ∈ Rמתאים .
אם M > 0אזי מתקיים עבור כל : x ∈ R
√
√
x<− M ∨ x> M
⇔ M
√
> |M ⇔ |x
√
> x2
√
⇔ x2 > M
√
√
√
√
⇒ x < − M ⇒ |x| > M
x2 > M ⇒ x2 > M
לכן מתקיים :
√
כלומר N = − Mמתאים במקרה . M > 0
לכל M ∈ Rמצאנו N ∈ Rכך ש־
, x < N ⇒ x2 > Mולכן הוכחנו ש־ ∞ = . lim x2
∞x→−
הערה חשובה על טרמינולוגיה
הפסוקים lim f (x) = L ∈ Rו־ ∞ = ) lim f (xלא יכולים להיות תקפים בו־זמנית.
x→x0
x→x0
לכן נשאלת השאלה ,מה הכוונה כשאומרים ` לפונקציה fיש גבול ב־ . ` x0הרי עד עכשיו המקרה בו ∞ = ) lim f (xקוטלג
x→x0
כמקרה בו אין ל־ fגבול ב־ . x0לא נרצה לשנות את המצב הזה.
65
לכן נאמר מכאן ואילך ש־ fבעלת גבול במובן הרחב ב־ x0אם מתקיים אחד משלושת המקרים הבאים :
lim f (x) = L ∈ Rאו ∞ = ) lim f (xאו ∞. lim f (x) = −
x→x0
x→x0
x→x0
האמירה `ל־ fיש גבול ב־ ` x0נשארת עם המשמעות הקודמת שלה ,דהיינו . lim f (x) = L ∈ R
x→x0
לעיתים רחוקות ,כשחשוב לנו להדגיש ש־ , lim f (x) = L ∈ Rנאמר ש־ fבעלת גבול במובן הצר ב־ . x0
x→x0
∞x → ±
x → x0
ε, N
ε, δ
f (x) → L
M, N
M, δ
∞ f (x) → ±
טבלה שקצת עוזרת לזכור את הגדרות הגבול במובן הרחב :
אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב
טענה )`כלל הסכום`(
אם ∞ = ) lim f (xו־ gחסומה מלרע בסביבה המנוקבת של , x0 ∈ Rאז ∞ = )). lim (f (x) + g(x
x→x0
x→x0
טענה )`כלל המכפלה`(
אם ∞ = ) lim f (xו־ gחסומה מלרע על ידי חסם חיובי בסביבה המנוקבת של , x0 ∈ Rאז ∞ = )). lim (f (x) · g(x
x→x0
∞lim g(x) = −
x→x0
x→x0
∞ = )lim g(x
x→x0
lim g(x) = L2 ∈ R
חיבור f + g :
x→x0
∞−
∞
L1 + L2
lim f (x) = L1 ∈ R
?!
∞
∞
∞ = )lim f (x
∞−
?!
∞−
∞lim f (x) = −
x→x0
x→x0
x→x0
אי־ודאות `∞ !? = `∞ −
כפל f · g :
= )lim g(x
x→x0
∞−
∞−
∞
?!
∞−
∞
∞
∞
∞−
?!
∞
∞−
0 > L2 ∈ R
L1 · L2
L1 · L2
0
∞−
∞
0
0
0
0
?!
?!
0 < L2 ∈ R
L1 · L2
L1 · L2
0
∞
∞−
0 < L1 ∈ R
0 > L1 ∈ R
0
∞
∞−
= )lim f (x
x→x0
אי־ודאות `∞ · !? = `0
= )lim g(x
חילוק :
x→x0
∞−
∞
0
0 > L2 ∈ R
0 < L2 ∈ R
0
0
0
?!
?!
0
0
0
?!
?!
)*(
)*(
?!
)*(
)*(
L1
L2
L1
L2
L1
L2
L1
L2
0
∞−
∞
0
∞
∞−
אי־ודאות ` !? = ` 00
,
0 < L1 ∈ R
0 > L1 ∈ R
0
∞
∞−
f
g
= )lim f (x
x→x0
∞
∞ ` = ?!
אי־ודאות `
)*( קיום או אי־קיום הגבול במובן הרחב תלוי בקיום או אי־הקיום של סביבה מנוקבת של x0בה gשומרת על סימן קבוע
הערה
בכל הטבלאות של אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב אפשר להחליף את ` `x → x0בכל מקום ב־ `∞ → `xאו ב־ `∞`x → −
+
. ( x0 ∈ R ) `x → x−
או ב־ ` `x → x0או ב־ ` 0
66
בטבלאות האריתמטיקה של גבולות במובן הרחב מופיעים בחלק מהמקומות סימני `?!` .סימנים אלו מסמלים מקרי אי־ודאות ,כלומר
מקרים בהם לא ניתן לדעת על בסיס הגבולות של המחוברים או הכופלים בלבד אם יש גבול לסכום ,למכפלה או למנה .יש ארבעה
∞
סוגים בסיסיים של מקרי אי ודאות ` 00 ` ,`0 · ∞` ,`∞ − ∞` :ו־ `
∞ ` ,ובכל מקרה שכזה כל התרחישים אפשריים ־ יתכן שקיים
גבול במובן הצר ,יתכן שקיים גבול במובן הרחב ,ויתכן שלא קיים גבול במובן הרחב.
נביא כאן שלוש דוגמאות למקרה אי ודאות מהסוג `∞ .`∞ −
דוגמה א':
נתון , L ∈ Rויהיו f, g : R → Rהמוגדרות על ידי . f (x) = x + L , g(x) = −x
קל להראות ש־ fשואפת לאינסוף כש־ xשואף לאינסוף ו־ gשואפת למינוס אינסוף כש־ xשואף לאינסוף.
שימו לב שהגבול של fושל gכש־ xשואף לאינסוף בכלל לא תלוי בערך של . L
ואילו הסכום של שתי הפונקציות שואף באינסוף לגבול הסופי ) Lלמעשה ,במקרה זה הסכום אפילו קבוע ושווה ל־ .(L
לכן הדוגמא הזו מהווה בעצם אינסוף דוגמאות :בכולן הגבול של fושל gזהה ,אך הגבול של הסכום משתנה.
דוגמה ב':
יהיו f, g : R → Rהמוגדרות על ידי . f (x) = x + sin(x) , g(x) = −x
לכל x ∈ Rמתקיים f (x) > x − 1ולכן נובע ממשפט הפרוסה שלהלן ש־ fשואפת לאינסוף כש־ xשואף לאינסוף .הפונקציה , g
כמו בדוגמא א' ,שואפת למינוס אינסוף כש־ xשואף לאינסוף.
כאן ) , f (x) + g(x) = sin(xולפונקציה sinאין גבול במובן הרחב כש־ xשואף לאינסוף )הוכיחו זאת!(.
דוגמה ג':
√
יהיו f, g : R → Rהמוגדרות על ידי . f (x) = x + 1 , g(x) = − x
שוב קל להראות ש־ fשואפת לאינסוף כש־ xשואף לאינסוף ו־ gשואפת למינוס אינסוף כש־ xשואף לאינסוף.
√
√
הסכום של שתי הפונקציות הוא . f (x) + g(x) = x + 1 − xבכתיב הזה ,לא ברור אם יש ל־ f + gגבול כש־ xשואף לאינסוף
,ואם כן ,מהו ערכו.
אבל ניתן לכתוב את f + gבצורה שונה על ידי `כפל בצמוד` ) שימו לב :הכתיב שונה אבל הערך זהה!(:
√
√ √
√
√
√
x+1− x
x+1+ x
1
√
= f (x) + g(x) = x + 1 − x
√=
√
√
x+1+ x
x+1+ x
√
הכתיב החדש מאפשר כעת להפעיל אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב :
לבסוף נקבל מהפעלה נוספת של אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב :
√
∞=∞x =∞+
=0
1
∞
=
√ 1
x+1+ x
√
x+1+
√
. lim
∞→x
. lim
∞→x
אם כן ,כפי שהדוגמאות שלמעלה ממחישות ,במקרה אי הודאות `∞ `∞ −אין לדעת מראש מה יהיה גורל הגבול )לכן השם `מקרה
אי ודאות`(.
הערה חשובה
חשוב להבין שאם גבול מסויים נופל לתוך הקטגוריה של מקרה אי־ודאות ,זה לא אומר שלא ניתן להתמודד אתו או שמדובר בהכרח
במקרה שבו הגבול איננו קיים .התיוג `מקרה אי־ודאות` אומר רק שאנו לא יכולים להפעיל ישירות את האריתמטיקה של גבולות.
יתכן למשל שנצטרך קודם לשכתב את הבטוי של הפונקציה שאת גבולה אנו בוחנים ,ורק אז להשתמש באריתמטיקה של גבולות )כמו
בדוגמא ג' לעיל( .לסיכום :במקרה אי ודאות ,צריך לבדוק את קיום הגבול בדרכים נוספות ,כל מקרה לגופו.
משפט הפרוסה
יהיו f, g : D → Rשתי פונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת Uשל . x0 ∈ Rנניח שמתקיים )∀x ∈ U f (x) 6 g(x
∞ = )lim f (x) = ∞ ⇒ lim g(x
אזי:
x→x0
x→x0
∞lim g(x) = −∞ ⇒ lim f (x) = −
x→x0
x→x0
הוכחה :תרגיל
רציפות בקטע
תנאי מוקדם לכך שפונקציה fתהיה רציפה בנקודה x0הוא ש־ fתהיה מוגדרת בסביבה מלאה של ) x0כלומר שתחום ההגדרה
של fיכיל סביבה מלאה של .( x0
67
הגדרה
תהי D ⊆ Rקבוצה נתונה .נאמר ש־ x0 ∈ Rהיא נקודה פנימית של Dאם קיים δ > 0כך ש־ ,(x0 − δ, x0 + δ) ⊆ Dכלומר יש
סביבה מלאה של x0המוכלת כולה ב־ . D
טענה
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bכל נקודה x0השייכת לקטע הפתוח ) D = (a, bהיא נקודה פנימית של ). (a, b
הוכחה
תהי ) . x0 ∈ (a, bנגדיר } r > 0 . r = min { x0 − a , b − x0מאחר ש־ ) a < x0 < bולכן 0 < x0 − aוגם .( 0 < b − x0
נטען כי ) . (x0 − r, x0 + r) ⊆ (a, bיהי ) . x ∈ (x0 − r, x0 + rצריך להראות כי . a < x < b
מתקיים . x > x0 − r > x0 − (x0 − a) = a :ומהצד השני , x < x0 + r 6 x0 + (b − x0 ) = b :כנדרש .
הערה
שימו לב שלכל נקודה x0יש rמשלה ,והגודל של rמשתנה ביחס למרחק מהקצוות.
הגדרה
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bיהי Iקטע פתוח ) ) (a, bאו קרן פתוחה ) , (a, ∞), (−∞, bאו כל .(R
תהי f : D → Rפונקציה שתחום הגדרתה Dכולל את . I
נאמר ש־ fרציפה ב־ Iאם`ם fרציפה בכל נקודה . x0 ∈ I
אם Dהוא איחוד של קטעים פתוחים ,נאמר ש־ f : D → Rהיא רציפה ) ב־ ( Dאם`ם fרציפה בכל נקודה . x0 ∈ D
דוגמאות
א .תהי f : R r {0} → Rהפונקציה המוגדרת על ידי
1
x
x 6= 0
ב .תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת על ידי
x=0
= ) . f (xאזי fרציפה.
(
1
x
17
= ) . f (xאזי fלא רציפה ) כי fלא רציפה ב־ .(0
טענה
לא כל נקודות הקטע הסגור ] [a, bהן פנימיות של ]. [a, b
הוכחה
נראה ש־ aאיננה נקודה פנימית של ]. [a, b
)באותו אופן מראים ש־ bאיננה נקודה פנימית של ] . [a, bכל נקודה אחרת היא כן פנימית(.
נניח בשלילה ש־ aפנימית כלומר קיים δ > 0כך ש־ ] . (a − δ, a + δ) ⊆ [a, bנבחר . x = a − 2δאזי ) x ∈ (a − δ, a + δולכן x
אמור להיות שייך לקטע ] . [a, bאבל , x < aבסתירה.
הגדרה
תהי f : D → Rפונקציה שתחום הגדרתה Dכולל את הקטע סגור ] . [a, bנאמר ש־ fרציפה ב־ ] [a, bאם`ם fרציפה בכל נקודה
x0ב־ ) , (a, bורציפה מימין ב־ aורציפה משמאל ב־ . b
תהי f : D → Rפונקציה שתחום הגדרתה Dכולל את הקרן הסגורה ] .( [a, ∞) ) (−∞, bנאמר ש־ fרציפה ב־ ] ) (−∞, bב־
)∞ ( [a,אם`ם fרציפה ב־ ) ) (−∞, bב־ )∞ ,( (a,ורציפה משמאל ב־ ) bורציפה מימין ב־ .( a
תחום הרציפות של כמה פונקציות אלמנטאריות
(1פונקציה קבועה רציפה בכל נקודה ) . x0 ∈ Rבהינתן 0 < εאפשר לבחור 0 < δשרירותי (
(2הפונקציה f (x) = xרציפה בכל נקודה ) . x0 ∈ Rבהינתן 0 < εאפשר לבחור ( 0 < δ = ε
(3יהי . n ∈ Nהפונקציה f (x) = xnרציפה בכל נקודה . x0 ∈ R
) באינדוקציה על , nבעזרת רציפות של מכפלה (
(4יהי } n ∈ N ∪ {0ויהיו . a0 , a1 , . . . , an ∈ Rהפונקציה P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0נקראת פולינום
) ב־ ( xוהיא רציפה בכל נקודה ) . x0 ∈ Rכסכום של מכפלות של פונקציות מסוג 1ו־ (3
(5יהיו ) P (xו־ ) Q(xשני פולינומים ) כאשר Qאיננו פולינום האפס ( .הפונקציה
)P (x
)Q(x
= ) f (xנקראת פונקציה רציונלית
) ב־ ( xוהיא רציפה בכל נקודה x0 ∈ Rכך ש־ ) . Q(x0 ) 6= 0כמנה של פונ' רציפות ב־ x0עם מכנה לא מתאפס (
(6הפונקציה f (x) = sin xרציפה בכל נקודה ) x0 ∈ Rכי `הוכחנו` ש־ ) lim sin(x) = sin(x0
x→x0
68
.( ∀x0 ∈ R
(7הפונקציה f (x) = cos xרציפה בכל נקודה ) x0 ∈ Rכי `הוכחנו` ש־ ) lim cos(x) = cos(x0
x→x0
(8הפונקציה f (x) = tan xרציפה בכל נקודה + kπ k ∈ Z
)
sin x
cos x
π
2
.( ∀x0 ∈ R
. x0 ∈ R r
= tan xהיא מנה של שתי פונקציות רציפות ב־ x0עם מכנה לא מתאפס (.
(9הפונקציה | f (x) = |xרציפה בכל נקודה ) . x0 ∈ Rכי בהינתן 0 < εנבחר δ = εונקבל מאי־שוויון המשולש ההפוך
.( ∀x0 ∈ R
ש־ , |x − x0 | < δ ⇒ ||x| − |x0 || 6 |x − x0 | < δ = εכלומר lim |x| = |x0 | :
x→x0
משפטים מרכזיים על פונקציות רציפות
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : D → Rפונקציה רציפה בקטע . [a, b] ⊆ Dנניח שמתקיים. f (a) · f (b) < 0 :
אזי קיים ) , c ∈ (a, bאחד לפחות ,כך ש־ . f (c) = 0
הוכחה
מ־ f (a) · f (b) < 0נובע שמתקיים אחד משני המקרים הבאים f (a) < 0 :ו־ f (b) > 0או f (a) > 0ו־ . f (b) < 0
א( נניח ראשית ש־ f (a) < 0ו־ . f (b) > 0נסמן . a1 = a , b1 = b :
1
= f ( a+b
. f a1 +bקיימות שלוש אפשרויות:
2
נסתכל ב־ ) 2
.1
. f ( a+b
2 )=0
.2
. f ( a+b
2 )>0
אזי נסמן :
.3
. f ( a+b
2 )<0
אזי נסמן , b2 = b1 :
אזי מצאנו נקודת ההתאפסות של fכי
a+b
2
a1 +b1
2
=
a+b
2
= cמתאימה.
= . a2 = a1 , b2מתקיים a1 = a2 < b2 < b1ו־
a+b
2
= . a2מתקיים a1 < a2 < b2 = b1ו־
b1 −a1
2
b1 −a1
2
= . b2 − a2
= . b2 − a2
אם לא מצאנו נקודת ההתאפסות ,קיבלנו קטע ] [a2 , b2כך ש־ , a1 6 a2 < b2 6 b1עם f (a2 ) < 0ו־ . f (b2 ) > 0
fמקיימת על הקטע ] [a2 , b2את אותם התנאים שהיא מקיימת על הקטע ] . [a1 , b1נחזור על אותו הטיפול בקטע ] : [a2 , b2
או התהליך ייעצר כי מצאנו נקודת ההתאפסות של , fאו נקבל קטע ] [a3 , b3כך ש־ , a2 6 a3 < b3 6 b2עם f (a3 ) < 0
2
. b3 − a3 = b2 −a
ו־ f (b3 ) > 0ו־
2
נעבוד בצורה אינדוקטיבית .יהי . 2 6 n ∈ N
bn−1 −an−1
2
= . bn − an
נניח שמצאנו , an−1 6 an < bn 6 bn−1עם f (an ) < 0ו־ f (bn ) > 0
n
n
. f an +bקיימות שלוש אפשרויות:
an +bונחשב את
נסתכל ב־
2
2
n
n
f an +bאז
אם = 0
. c = an +bהתהליך נעצר כי מצאנו נקודת ההתאפסות של . f
2
2
n
n
. an+1 = an +bמתקיים an < an+1 < bn+1 = bnו־
f an +bנגדיר , bn+1 = bn
אם < 0
2
2
an +bn
an +bn
fנגדיר . an+1 = an , bn+1 = 2מתקיים an = an+1 < bn+1 < bnו־
אם > 0
2
ו־
bn −an
2
= .bn+1 − an+1
bn −an
2
= .bn+1 − an+1
כעת קיימות שתי אפשרויות :או שהתהליך נעצר כי מצאנו נקודת ההתאפסות של , fאו שהתהליך לא נעצר בשום שלב.
∞
∞) (bnהמקיימות :
במקרה השני קיבלנו שתי סדרות (an )n=1ו־ n=1
, ∀n ∈ N an 6 an+1 < bn+1 6 bnובנוסף
מכאן נובע מאינדוקציה פשוטה ש־
b−a
2n−1
=
b1 −a1
2n−1
bn −an
2
= . ∀n ∈ N bn+1 − an+1
= , ∀n ∈ N bn − anולכן
. lim (bn − an ) = 0
∞→n
∞
לפי הלמה של קנטור קיימת ] c ∈ [a, bכך ש־ ] . {c} = ∩ [an , bn
n=1
בנוסף מתקיים , lim an = c = lim bn :ו־ f (an ) < 0 , f (bn ) > 0
∞→n
∞→n
. ∀n ∈ N
fרציפה ב־ ) cכי ] ( c ∈ [a, bולכן נובע מאפיון היינה ש־ . f (c) = lim f (bn ) > 0 , f (c) = lim f (an ) 6 0
∞→n
∞→n
∈ ) cמכיוון ש־ f (b) > 0 , f (a) < 0ו־ ,( f (c) = 0ועל כן ). c ∈ (a, b
לכן . f (c) = 0נשים לב ש־ }/ {a, b
גם כשהתהליך לא נעצר בשום שלב מצאנו נקודת ההתאפסות של . f
ב( אם f (a) > 0ו־ f (b) < 0אזי נתבונן בפונקציה , −fהמקיימת (−f ) (a) < 0ו־ . (−f ) (b) > 0
69
מאריתמטקה של פונקציות רציפות נובע ש־ −fרציפה בקטע הסגור ].[a, b
לכן מה שהוכחנו בחלק א' תקף לגבי , −fוקיים ) c ∈ (a, bכך ש־ .(−f ) (c) = 0
ז`א , −f (c) = 0משמע . f (c) = 0לכן הטענה מתקיימת גם במקרה הזה.
משפט ) משפט ערך הביניים לפונקציות רציפות (
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : D → Rפונקציה כך ש־ . [a, b] ⊆ Dנניח ש־ fרציפה בקטע ] [a, bוש־ ). f (a) 6= f (b
אם המספר הממשי λמקיים ) f (a) < λ < f (b) :או ) ( f (b) < λ < f (aאזי קיים ) c ∈ (a, bאחד לפחות כך ש־ . f (c) = λ
הוכחה :
נגדיר את הפונקציה g : [a, b] → Rע`י . g(x) = f (x) − λ
gרציפה ב־ ] [a, bכהפרש של שתי פונקציות רציפות בקטע ] h(x) = λ ) ,[a, bהיא פונקציה קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי (.
אם ) , f (a) < λ < f (bאזי מתקיים ) , g(a) < 0 < g(bואם ) , f (b) < λ < f (aאזי ). g(b) < 0 < g(a
בכל מקרה מתקיים , g(a) · g(b) < 0ולכן נובע מהמשפט הקודם שקיים ) , c ∈ (a, bאחד לפחות ,כך ש־ . g(c) = 0
ז`א , f (c) − λ = g(c) = 0משמע , f (c) = λכנדרש.
הערה
אפשר לנסח את משפט ערך הביניים לפונקציות רציפות גם כך :
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : D → Rפונקציה כך ש־ . [a, b] ⊆ Dנניח ש־ fרציפה בקטע ]. [a, b
אם המספר הממשי λמקיים ) f (a) 6 λ 6 f (b) :או ) ( f (b) 6 λ 6 f (aאזי קיים ] c ∈ [a, bאחד לפחות כך ש־ . f (c) = λ
דוגמה
3
הוכיחו שקיים x ∈ Rהמקיים . x + 64x = 1
פתרון
3
תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת ע`י . f (x) = x + 64x − 1
fרציפה ב־ ) Rכי fפולינום ( ומקיימת f (0) = −1 < 0ו־ . f (1) = 64 > 0לכן נובע ממשפט ערך הביניים לפונקציות רציפות
שקיים ) c ∈ (0, 1כך ש־ , f (c) = c3 + 64c − 1 = 0כלומר , c3 + 64c = 1כנדרש.
נשים לב שניתן בקלות לשפר את ההערכה . 0 < c < 1
מתקיים 7 > 0 , f ( 14 ) > 15 > 0, f ( 21 ) > 31 > 0 :
1
. f ( 128לכן
אך ) < 0
מסקנה = 0.004 :
1
64
<<c
<
1
256
1
250
<
1
128
3
256
.אמצע הקטע
, c −ז`א
1
1
f ( 32
) > 1 > 0 , f ( 16
> ) ) > 3 > 0 , f ( 81
1
3
1
3
1
1
− 256
, 256
+ 256
256ולכן
128הוא
, 64
3
256
1
)>0,
, f ( 64
1
1
3
128 , 64 = 256
.
הינו קירוב של cעד כדי ארבע אלפיות.
טענה
יהי n ∈ Nאי־זוגי ) כלומר קיים k ∈ Nכך ש־ . ( n = 2k − 1
יהי P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0פולינום ממעלה , nכאשר a0 , a1 , . . . , an ∈ Rו־ . an 6= 0
אזי קיים , c ∈ Rאחד לפחות ,כך ש־ ) . P (c) = 0בקיצור :לכל פולינום ממשי ממעלה אי־זוגית יש שורש ממשי( .
הוכחה :
א( נניח ש־ . an > 0לכל 0 6= x ∈ Rמתקיים :
1
+ . . . + aan1 xn−1
)+ aan0 x1n = an xn g(x
מ־ = 0
1
x→−∞ x
= lim
an−1 1
an x
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = an xn 1 +
1
x→∞ x
limומאריתמטיקה של גבולות נובע ש־ lim g(x) = 1ו־ . lim g(x) = 1
∞→x
∞x→−
היות ו־ nאי־זוגי ו־ an > 0מתקיים lim an xn = ∞ :ו־ ∞. lim an xn = −
∞x→−
∞→x
נפעיל שוב אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב ונקבל lim P (x) = ∞ :ו־ ∞. lim P (x) = −
∞x→−
∞→x
לפי הגדרת הגבול זה אומר :
∀M1 ∈ R ∃N1 ∈ R x < N1 ⇒ P (x) < M1
⇔
∞lim P (x) = −
∀M2 ∈ R ∃N2 ∈ R x > N2 ⇒ P (x) > M2
⇔
∞ = )lim P (x
∞x→−
∞→x
נציב M1 = −1ונקבל N1 ∈ Rכך שעבור כל x < N1מתקיים . P (x) < −1בפרט . P (N1 − 1) < −1
נציב M2 = 1ונקבל N2 ∈ Rכך שעבור כל x > N2מתקיים . P (x) > 1בפרט . P (N2 + 1) > 1
70
מתקיים ) N1 − 1 < N2 + 1אחרת N2 < N2 + 1 6 N1 − 1ואז ) 1 < P (N1 − 1בסתירה ל־ .( P (N1 − 1) < −1
כעת הפונקציה Pרציפה בקטע ] [N1 − 1, N2 + 1ומקיימת P (N1 − 1) < −1 < 0ו־ .P (N2 + 1) > 1 > 0
לכן נובע ממשפט ערך הביניים לפונקציות רציפות שקיים ) c ∈ (N1 − 1, N2 + 1כך ש־ , P (c) = 0כנדרש.
ב( אם , an < 0נתבונן ב־ . (−P ) (x) = −P (x) = (−an ) xn − an−1 xn−1 − . . . − a1 x − a0 : −P
−Pהינו פולינום המקיים את ההנחות של חלק א' של ההוכחה ולכן קיים c ∈ Rכך ש־ . (−P ) (c) = 0ז`א
, −P (c) = 0כלומר . P (c) = 0
המשפט הראשון של ויירשטראס
תהי f : [a, b] → Rפונקציה רציפה .אזי fחסומה בקטע הסגור ]. [a, b
כלומר ,קיים M ∈ Rכך ש־ . ∀x ∈ [a, b] : |f (x)| 6 M
הוכחה :
א .נוכיח ש־ fחסומה מלעיל ,כלומר קיים M ∈ Rכך שלכל ] x ∈ [a, bמתקיים . f (x) 6 M
נניח שלא ,ז`א . ∀n ∈ N ∃ xn ∈ [a, b] f (xn ) > nבפרט ,נובע ממשפט הפרוסה ש־ ∞ = ) . lim f (xn
∞→n
∞) (xnחסומה ) כי a 6 xn 6 bעבור כל nטבעי (.
הסדרה n=1
∞) (xnתת־סדרה
לסדרה
שיש
נובע
ויירשטרס
בולצנו
ממשפט
n=1
מ־ a 6 xnk 6 bעבור כל kטבעי נובע ש־ . a 6 lim xnk = x0 6 b
∞) (xnk
k=1
המתכנסת ל־ . x0
∞→k
בגלל הרציפות של fבנקודה x0מתקיים . lim f (xnk ) = f (x0 ) :
∞→k
אבל משפט הירושה לבולות במובן הרחב קובע ש־∞ = ) . lim f (xnk
∞→k
סתירה זו מראה ש־ fחסומה מלעיל.
ב .כדי להראות ש־ fחסומה מלרע נתבונן ב־ ) ) . (−fהשלימו את הפרטים(
הערות
א( המשפט הראשון של ויירשטראס לאו דוקא נכון עבור פונקציה רציפה בקטע פתוח.
לדוגמא ,הפונקציה f : (0, 1) → Rהמוגדרת ע`י f (x) = x1רציפה ב־ ) (0, 1אך איננה חסומה ב־ ). (0, 1
ב( המשפט הראשון של ויירשטראס לאו דוקא נכון עבור פונקציה המוגדרת בקטע סגור שאיננה רציפה בקטע .
(
1
}x ∈ [−1, 1] r {0
x
לדוגמא ,הפונקציה f : [−1, 1] → Rהנתונה ע`י
= ) f (xאיננה חסומה ב־ ]. [−1, 1
17
x=0
) fאיננה רציפה ב־ ]( [−1, 1
המשפט השני של ויירשטראס
תהי fפונקציה רציפה על הקטע הסגור ] . [a, bאזי fמשיגה ערך מקסימלי ומינימלי ב־ ]. [a, b
כלומר ,קיימות נקודות ] c, d ∈ [a, bכך שלכל ] x ∈ [a, bמתקיים ). f (c) 6 f (x) 6 f (d
הוכחה :
א .נראה ש־ fמשיגה ערך מקסימלי בקטע ]. [a, b
מהמשפט הראשון של ויירשטראס נובע ש־ fחסומה בקטע ] ) [a, bז`א הקבוצה } ] Imf = { f (x) | x ∈ [a, bחסומה (.
היות ו־ Imfלא ריקה ) כי ,( f (a) ∈ Imfנובע ממשפט החסם העליון שקיים ) . M = sup(Imf
∈ . Mאזי לכל ] x ∈ [a, bמתקיים . f (x) < M
נניח בשלילה ש־ / Imf
1
נגדיר פוקנציה חדשה g : [a, b] → Rע`י ). g(x) = M −f (x
כיון ש־ f (x) < Mלכל נקודה קטע ,הפונקציה gמוגדרת היטב וחיובית בקטע ]. [a, b
מאריתמטיקה של פונקציות רציפות נובע ש־ gרציפה בקטע ] ) [a, bכמנה של פונקציות רציפות עם מכנה לא מתאפס ( .
שוב נובע מהמשפט הראשון של ויירשטראס ש־ gחסומה ב־ ]. [a, b
Mכך ש־ f
לכן קיים f ∈ R
∀x ∈ [a, b] : 0 < g(x) 6 M
כלומר :
קבלנו ש־
<M
1
f
M
1
f
M
f (x) 6 M −
)6 M − f (x
⇒
M −הינו חסם מלעיל של f
Im
1
f
M
⇒
f
6M
1
)M −f (x
<0
∀x ∈ [a, b] :
הקטן מ־ , Mבסתירה לכך ש־ Mהחסם מלעיל ההדוק ביותר של f
Im
71
.
לכן , M ∈ Imfכלומר Mהוא מקסימום.
ז`א קיים ] d ∈ [a, bכך ש־ f (d) = Mולכן מתקיים
)f (x) 6 f (d
, ∀x ∈ [a, b] :כנדרש.
ב .נראה ש־ fמשיגה ערך מינימלי בקטע ]. [a, b
מאריתמטיקה של פונקציות רציפות נובע ש־ −fגם היא רציפה ב־ ]. [a, b
לכן מה שהוכחנו בחלק א' תקף לגבי , −fכלומר −fמקבלת ערך מקסימלי בקטע.
ז`א קיים ] c ∈ [a, bכך ש־ ) , ∀x ∈ [a, b] : (−f ) (x) 6 (−f ) (cמשמע ). ∀x ∈ [a, b] : −f (x) 6 −f (c
ע`י כפל ב־ ) (−1נקבל , ∀x ∈ [a, b] : f (c) 6 f (x) :ולכן fמשיגה ערך מינימלי ב־ ] , [a, bכנדרש.
הערות
א( המשפט השני של ויירשטראס לאו דוקא נכון עבור פונקציה רציפה בקטע פתוח ,אפילו אם היא חסומה בקטע פתוח.
לדוגמא ,הפונקציה f : (0, 1) → Rהמוגדרת ע`י f (x) = xרציפה וחסומה ב־ ) (0, 1אך איננה משיגה ערך מקסימלי
וערך מינימאלי ב־ ). (0, 1
ב( המשפט השני של ויירשטראס לאו דוקא נכון עבור פונקציה המוגדרת בקטע סגור שאיננה רציפה בקטע ,אפילו אם
הפונקציה חסומה בקטע הסגור .לדוגמא ,הפונקציה f : [−1, 1] → Rהמוגדרת ע`י
0<x
x−1
= )f (x) = x − sgn(x
0
0=x
x+1
x<0
חסומה ב־ ] [−1, 1אך איננה משיגה ערך מקסימלי וערך מינימאלי ב־ ]. [−1, 1
תמונה של קטע על ידי פונקציה רציפה
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ , a < bותהי f : [a, b] → Rרציפה ב־ ]. [a, b
אזי התמונה של ) fדהיינו } ](f ) = { f (x) | x ∈ [a, b
Im
( גם היא קטע סגור.
הוכחה
• מהשפט השני של ויירשטרס נובע שקיימות נקודות ] c, d ∈ [a, bכך שלכל ] x ∈ [a, bמתקיים ). f (c) 6 f (x) 6 f (d
לכן ])(f ) = { f (x) | x ∈ [a, b] } ⊆ [f (c), f (d
Im
.
• נוכיח כעת את ההכלה ההפוכה . [f (c), f (d)] ⊆ Im (f ) = { f (x) | x ∈ [a, b] } :יהי ]). λ ∈ [f (c), f (d
אם ) λ = f (cאו ) , λ = f (dאזי בברור ) , λ ∈ Im (fכי ]. c, d ∈ [a, b
אם ) , f (c) < λ < f (dאזי נפעיל את משפט ערך הביניים לפונקציות רציפות על fבקטע ] ) [c, dאו בקטע ].( [d, c
זה מותר כי ] [c, d] ⊆ [a, bולכן fרציפה ב־ ] .( [c, dנקבל שקיימת נקודה ) x0 ∈ (c, dכך ש־ , f (x0 ) = λ
ולכן ) ) λ ∈ Im (fכי ].( x0 ∈ (c, d) ⊆ [a, b
משתי ההכלות נובע ש־ ])(f ) = [f (c), f (d
Im
,כנדרש.
הערה
אם fקבועה ב־ ] , [a, bאזי ])(f ) = {f (a)} = [f (a), f (a
Im
.
) אם לא רוצים קטע סגור מנוון כזה ,צריך לאסור fקבועה במשפט .אבל אנו נאמץ את המוסכמה }( [u, u] = {u
תזכורת :
הגדרה :יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < b
[a, b] = { x ∈ R | a 6 x 6 b } .1
נקרא קטע סגור .
[a, b) = { x ∈ R | a 6 x < b } .2
נקרא קטע חצי סגור חצי פתוח .
72
(a, b] = { x ∈ R | a < x 6 b } .3
נקרא קטע חצי פתוח חצי סגור .
(a, b) = { x ∈ R | a < x < b } .4
נקרא קטע פתוח.
כל הקטעים מהסוג 4־ 1הם תת־קבוצות חסומות של Rונקראים קטעים חסומים .
נגדיר גם קטעים לא חסומים :
[a, ∞) = { x ∈ R | a 6 x } .5
(a, ∞) = { x ∈ R | a < x } .6
נקרא קרן ימנית סגורה .
נקרא קרן ימנית פתוחה .
(−∞, a] = { x ∈ R | x 6 a } .7
נקרא קרן שמאלית סגורה .
(−∞, a) = { x ∈ R | x < a } .8
נקרא קרן שמאלית פתוחה .
.9מסמנים גם )∞ (−∞,במקום . R
) סוף התזכורת (
הגדרה
תת־קבוצה לא ריקה Aשל Rתקרא מרווח אם`ם מתקיים ⇒ x ∈ A :
. ∀a1 , a2 ∈ A ∀x ∈ R a1 6 x 6 a2
טענה
כל קטע הוא מרווח וכל מרווח הוא קטע .
הוכחה )סקיצה תינתן בתרגול(
טענה
יהי I ⊆ Rקטע ) לאו דוקא חסום ולאו דוקא סגור ( ותהי f : I → Rפונקציה רציפה ב־ . I
אזי התמונה של ) fדהיינו } (f ) = { f (x) | x ∈ I
Im
( גם היא קטע .
הוכחה
נסמן . J = Im (f ) = { f (x) | x ∈ I } :יהיו y1 , y2 ∈ Jכך ש־ y1 6 y2ויהי λ ∈ Rכך ש־ . y1 6 λ 6 y2
אזי קיימים x1, x2 ∈ Iכך ש־ ) y1 = f (x1ו־ ) . y2 = f (x2
הקטע Iהוא מרווח ,ולכן ) [x1 , x2 ] ⊆ Iאו .( [x2 , x1 ] ⊆ I
בפרט fרציפה ב־ ] ) [x1 , x2או ] ( [x2 , x1ועל כן נובע ממשפט ערך הביניים שקיימת cבין x1ל־ x2כך ש־ ). λ = f (c
השוויון הזה מראה ש־ λשייך לתמונה של fולכן ) J = Im (fהוא מרווח .מכאן נובע ש־ Jהוא קטע ,כנדרש.
מונוטוניות
הגדרה
תהי D ⊆ Rותהי f : D → Rפונקציה .
א .נאמר ש־ fמונוטונית עולה )ממש( ב־ Dאם ורק אם מתקיים ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) 6 f (x2 ) :
<
ב .נאמר ש־ fמונוטונית יורדת )ממש( ב־ Dאם ורק אם מתקיים ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) :
>
טענה
תהי D ⊆ Rותהי f : D → Rפונקציה .
) f (x2 )−f (x1
x2 −x1
⇒ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 6= x2
א f .מונוטונית עולה )ממש( ב־ Dאם`ם מתקיים> 0 :
>
) כלומר אם`ם השיפוע של מיתר המחבר שתי נקודות שרירותיות על הגרף של fאי־שלילי )חיובי((
) f (x2 )−f (x1
x2 −x1
⇒ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 6= x2
ב f .מונוטונית יורדת )ממש( ב־ Dאם`ם מתקיים6 0 :
<
) כלומר אם`ם השיפוע של מיתר המחבר שתי נקודות שרירותיות על הגרף של fאי־חיובי )שלילי((
73
גבולות של פונקציות מונוטוניות
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי fפונקציה מונוטונית עולה )יורדת( בקטע ) . (a, bיהי ). x0 ∈ (a, b
אזי שני הגבולות החד־צדדיים של fב־ x0קיימים )במובן הצר !( ומתקיים . lim− f (x) 6 f (x0 ) 6 lim+ f (x) :
x→x0
>
> x→x0
הוכחה
א .נניח ש־ fמונוטונית עולה ב־ ) . (a, bנגדיר . A = { f (x) | x ∈ (a, x0 ) } :
0
. f a+x
Aאיננה ריקה ,כיון ש־ ∈ A
2
היות ו־ fמונוטונית עולה ב־ ) , (a, bהיא בפרט מונוטונית עולה ב־ ] (a, x0ולכן מתקיים:
) ∀x ∈ (a, x0 ) f (x) 6 f (x0
לכן Aחסומה מלעיל ע`י ) . f (x0ממשפט החסם העליון ,קיים ל־ Aסופרמום שנסמנו. K = sup A :
Kקטן או שווה מכל חסם מלעיל של Aולכן מתקיים ) . K 6 f (x0
יהי ε > 0נתון K − ε .איננו חסם מלעיל של . Aעל כן קיים ) x1 ∈ (a, x0כך ש־ ) . K − ε < f (x1
מהמונוטוניות של fנובע שכל xכך ש־ x1 < x < x0מקיים :
K − ε < f (x1 ) 6 f (x) 6 K < K + ε
נסמן 0 < δ = x0 − x1 :ואז , x0 − δ < x < x0 ⇔ x1 < x < x0כלומר הוכחנו שבהינתן ε > 0
קיים 0 < δכך ש־
|f (x) − K| < ε
⇒
. x0 − δ < x < x0
משמע . lim− f (x) = K 6 f (x0 ) :
x→x0
ההוכחה לגבי הגבול משמאל בנקודה x0מאוד דומה .נגדיר . B = { f (x) | x ∈ (x0 , b) } :
Bלא ריקה וחסומה מלרע ע`י ) . f (x0לכן קיים ל־ Bאינפימום .נסמן . L = inf B :מתקיים . f (x0 ) 6 L
בצורה מקבילה למה שעשינו עבור Kמראים ש־ . lim+ f (x) = L > f (x0 ) :
x→x0
לכן הוכחנו את המשפט עבור פונקציה מונוטונית עולה.
ב .אם fמונוטונית יורדת נביט ב־ ) , (−fשהיא מונוטונית עולה .לכן סעיף א' תקף לגבי ) (−fונקבל:
) , lim− (−f ) (x) 6 (−f ) (x0 ) 6 lim+ (−f ) (xז`א ))lim (−f (x)) 6 −f (x0 ) 6 lim+ (−f (x
x→x0
x→x0
x→x−
0
x→x0
אבל מאריתמטיקה של גבולות נובע lim (−f (x)) = − lim f (x) :
x→x−
0
x→x−
0
). (,
ו־ ). lim (−f (x)) = − lim f (x
x→x+
0
x→x+
0
נציב את שני השוויונים האחרונים ב־ ,ונקבל . − lim− f (x) 6 −f (x0 ) 6 − lim+ f (x) :
x→x0
x→x0
נכפול את כל האגפים ב־ )(−1ונקבל את הטענה כאשר fמונוטונית יורדת ,כנדרש.
טענה
תהי fפונקציה מונוטונית עולה )יורדת( בקטע ) . (a, bעבור כל ) x1 , x2 ∈ (a, bכך ש־ x1 < x2מתקיים :
)lim f (x
x→x+
2
)∗(
)∗(
lim− f (x) 6 f (x2 ) 6
x→x2
>
>
)∗∗(
lim+ f (x) 6
x→x1
>
)∗(
)∗(
lim− f (x) 6 f (x1 ) 6
x→x1
>
>
הוכחה
)∗( :מהמשפט הקודם
2
)∗∗( 6 sup { f (x) | x ∈ (a, x2 ) } = lim f (x) :
. lim f (x) = inf { f (x) | x ∈ (x1 , b) } 6 f x1 +x
2
x→x−
2
x→x+
1
טענה
74
תהי fפונקציה מונוטונית בקטע ) .(a, bאזי יש ל־ , fאם בכלל ,רק נקודות אי־רציפות מסוג ראשון ב־ ). (a, b
) ולא נקודות אי־רציפות סליקות ולא מסוג שני (
הוכחה
תהי ) . x0 ∈ (a, bמהמשפט הקודם נובע ששני הגבולות החד־צדדיים של fב־ x0קיימים במובן הצר ולכן x0איננה נקודת
אי־רציפות מסוג שני.
אם
)lim f (x) = lim+ f (x
x→x0
x→x−
0
אזי נובע מ־
)lim f (x) 6 f (x0 ) 6 lim+ f (x
>
> x→x0
x→x−
0
ש־ ) , lim f (x) = f (x0 ) = lim f (xז`א fרציפה ב־ . x0לכן אין ל־ fנקודות אי־רציפות סליקות.
x→x+
0
x→x−
0
טענה
תהי fפונקציה מונוטונית עולה ב־ ). (a, b
א .אם fחסומה מלרע )מלעיל( ב־ ) , (a, bאזי קיים הגבול במובן הצרlim f (x) :
x→a+
ב .אם fאיננה חסומה מלרע )מלעיל( ב־ ) (a, bאזי ∞lim f (x) = −
x→a+
) )( lim f (x
x→b−
) ∞ = )( lim− f (x
x→b
ניתן להוכיח טענה דומה עבור פונקציות מונוטוניות יורדות.
הוכחה :
נגדיר A = { f (x) | x ∈ (a, b) } :
א .נתון ש־ fחסומה מלרע ,כלומר קיים m ∈ Rכך שלכל ) x ∈ (a, bמתקיים ). m 6 f (x
. f ( a+bממשפט החסם התחתון נובע שקיים ל־ Aאינפימום,
ז`א שהקבוצה Aחסומה מלרע ,והיא איננה ריקה כי 2 ) ∈ A
שנסמנו . L = inf A
יהי L + ε . ε > 0איננו חסם מלרע של Aולכן קיים איבר ב־ Aשקטן מ־ . L + ε
כלומר ,קיים ) x1 ∈ (a, bכך שמתקיים. L − ε < L 6 f (x1 ) < L + ε :
נסמן . 0 < δ = x1 − a :נשים לב כי . a < x < a + δ ⇔ a < x < x1
מכך שהפונקציה fמונוטונית עולה נובע כי לכל a < x < a + δמתקיים:
L − ε < L 6 f (x) 6 f (x1 ) < L + ε
הראינו |f (x) − L| < ε :
⇒
, a<x<a+δ
ז`א
, lim+ f (x) = Lכנדרש.
x→a
ההוכחה לגבי הגבול משמאל בנק' bמאוד דומה.
ב .נניח כי fאיננה חסומה מלעיל ,כלומר Aאיננה חסומה מלעיל .ז`א שבהינתן M ∈ Rקיים ) x1 ∈ (a, bעבורו מתקיים
. f (x1 ) > M
נסמן . 0 < δ = b − x1 :נשים לב כי מתקיים . x1 < x < b ⇔ b − δ < x < b :
מכך שהפונקציה fמונוטונית עולה נובע כי לכל x1 < x < bמתקיים
. f (x) > f (x1 ) > M
לכן הוכחנו ש־ , b − δ < x < b ⇒ f (x) > f (x1 ) > Mכלומר ∞ = ). lim f (x
x→b−
אם fאיננה חסומה מלרע ,אזי לכל m ∈ Rקיים ) x1 ∈ (a, bעבורו מתקיים . f (x) < m
נסמן , 0 < δ = x1 − a :ואז מתקיים . a < x < a + δ ⇔ a < x < x1
מכך ש־ fמונוטונית עולה נובע , a < x < x1 ⇒ f (x) 6 f (x1 ) < m :כלומר ∞. lim+ f (x) = −
x→a
מונוטוניות ממש ,חד־חד ערכיות ורציפות
טענה
תהי f : D → Rפונקציה מונוטונית ממש ב־ . Dאזי fחח`ע ) חד־חד ערכית ( ב־ . D
הוכחה
יהיו x1 , x2 ∈ Dכך ש־ . x1 6= x2אזי נובע מהמונוטוניות ממש של fש־ ) f (x1 ) < f (x2או ) . f (x1 ) > f (x2
בכל מקרה ) , f (x1 ) 6= f (x2ולכן fחח`ע ב־ . D
75
הערה
שימו לב שפונקציה יכולה להיות חד־חד ערכית בקטע מבלי להיות מונוטונית ממש באותו קטע.
(
x
06x<1
= ) f (xחד־חד ערכית ולא מונוטונית ממש ב־ ].[0, 2
לדוגמה f : [0, 2] → Rהמוגדרת על ידי
3−x
16x62
משפט עזר
תהי f : [a, b] → Rפונקציה רציפה וחח`ע בקטע ] [a, bכך ש־ ).( f (a) > f (b) ) f (a) < f (b
אזי מתקיים . a < x < b ⇒ f (a) < f (x) < f (b) :
>
>
הוכחה
נוכיח את הגירסה השחורה .הגירסה האדומה תנבע ממנה ע`י הסתכלות ב־ ) −fהשלימו את הפרטים. ( ...
נניח שהמסקנה לא נכונה ,ז`א קורה אחד משני המקרים הבאים :
א( קיים ) x0 ∈ (a, bכך ש־ ). f (x0 ) 6 f (a
אזי ) , f (x0 ) < f (aכי fחח`ע ו־ f . x0 6= aרציפה בקטע ] [x0 , bו־ ) . f (x0 ) < f (a) < f (bלכן נובע ממשפט ערך
הביניים שקיימת ) c1 ∈ (x0 , bכך ש־ ) . f (c1 ) = f (aכעת נובע מחד־חד־הערכיות של fש־ . c1 = a
אבל , a < x0 < c1 < bבסתירה לטריכוטומיה .לכן המקרה הזה לא יתכן.
ב( קיים ) x1 ∈ (a, bכך ש־ ). f (x1 ) > f (b
אזי ) , f (x1 ) > f (bכי fחח`ע ו־ f . x1 6= bרציפה בקטע ] [a, x1ו־ ) . f (a) < f (b) < f (x1לכן נובע ממשפט ערך
הביניים שקיימת ) c2 ∈ (a, x1כך ש־ ) . f (c2 ) = f (bכעת נובע מחד־חד־הערכיות של fש־ . c2 = b
אבל , a < c2 < x1 < bבסתירה לטריכוטומיה .לכן גם המקרה הזה לא יתכן.
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : [a, b] → Rפונקציה רציפה וחח`ע ב־ ] . [a, bאזי fמונוטונית ממש ב־ ]. [a, b
הוכחה
fחח`ע ב־ ] [a, bולכן ). f (a) 6= f (b
נניח ש־ ) ) f (a) < f (bאחרת נסתכל ב־ . ( −fנוכיח כי אז fמונוטונית עולה ממש ב־ ]. [a, b
יהיו ] x1 , x2 ∈ [a, bכך ש־ . a 6 x1 < x2 6 b
נפעיל את משפט העזר הקודם על הקטע ] ) [a, bעם x2בתפקיד של ( xונקבל ). f (a) < f (x2 ) 6 f (b
כעת נפעיל את משפט העזר על הקטע ] ) [a, x2עם x1בתפקיד של xו־ x2בתפקיד של ( bונקבל
) . f (a) 6 f (x1 ) < f (x2בפרט ) , f (x1 ) < f (x2כנדרש.
משפט
יהי Iקטע כלשהו )לאו דווקא סגור ולאו דווקא חסום( .אם fרציפה וחח`ע ב־ Iאזי fמונוטונית ממש ב־ . I
הוכחה
נניח שלא ,ז`א קיימים x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Iכך ש־ x1 < x2ו־ x3 < x4ו־ ) f (x1 ) < f (x2ו־ ) . f (x3 ) > f (x4
נסמן a = min(x1 , x3 ) :ו־ ) ) [a, b] ⊆ I . b = max(x2 , x4כי Iמרווח ( ,ולכן fרציפה וחח`ע ב־ ]. [a, b
אבל fלא מונוטונית ממש ב־ ] ) [a, bכי ] ,( x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [a, bבסתירה למשפט הקודם.
משפט
יהי I ⊆ Rקטע )לאו דווקא סגור או חסום( ותהי f : I → Rפונקציה מונוטונית .אם התמונה ) Im(fקטע אזי fרציפה.
סקיצה של ההוכחה
נניח ש־ fמונוטונית עולה ) אחרת נסתכל על .( −fאם fאיננה רציפה ,אז תהי x0נקודת אי־רציפות של . f
מתקיים , lim− f (x) 6 f (x0 ) 6 lim+ f (x) :כאשר לפחות אחד משני אי־השוויונים הוא חריף.
x→x0
x→x0
אם למשל ) lim− f (x) < f (x0אזי מראים בקלות ש־ )∞ , f (I) = Im(f ) ⊆ (−∞, lim− f (x)) ∪ [f (x0 ),כאשר
x→x0
x→x0
∅ = f (I) ∩ (−∞, lim f (x)) 6וגם ∅ =. f (I) ∩ [f (x0 ), ∞) 6
x→x−
0
בבפרט ) f (Iאיננו מרווח .אבל זה סותר את הנתון ש־ ) f (Iקטע .
76
מסקנה
יהי I ⊆ Rקטע )לאו דווקא סגור ולאו דווקא חסום( ותהי f : I → Rפונקציה מונוטונית .אזי fרציפה אם`ם ) f (Iקטע.
משפט
יהי Iקטע ותהי f : I → Rפונקציה רציפה ומונוטונית עולה ) יורדת ( ממש ב־ .Iיהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bאזי מתקיים:
) ])( J = f (I) = [f (b), f (a
.1אם
]I = [a, b
אזי
])J = f (I) = [f (a), f (b
.2אם
]I = (a, b
אזי
])J = f (I) = ( lim+ f (x), f (b
) ))( J = f (I) = [f (b), lim+ f (x
.3אם
)I = [a, b
אזי
))J = f (I) = [f (a), lim f (x
) ])( J = f (I) = ( lim f (x), f (a
.4אם
)I = (a, b
אזי
.5אם )∞ I = [a,
אזי
.6אם )∞ I = (a,
אזי
))J = f (I) = ( lim+ f (x), lim f (x
.7אם ]I = (−∞, b
אזי
])J = f (I) = ( lim f (x), f (b
x→a
.8אם ) I = (−∞, bאזי
.9אם
I=R
x→b−
x→b−
))J = f (I) = ( lim f (x), lim f (x
x→b−
x→a+
) ))( J = f (I) = ( lim f (x), lim f (x
) ])( J = f (I) = ( lim f (x), f (a
∞→x
∞→x
x→b−
x→a+
))J = f (I) = [f (a), lim f (x
∞→x
) ))( J = f (I) = ( lim f (x), lim+ f (x
x→a
x→a
∞→x
) ))( J = f (I) = [f (b), lim f (x
∞x→−
∞x→−
))J = f (I) = ( lim f (x), lim− f (x
) ))( J = f (I) = ( lim− f (x), lim f (x
))J = f (I) = ( lim f (x), lim f (x
) ))( J = f (I) = ( lim f (x), lim f (x
x→b
אזי
x→a
∞→x
∞x→−
∞x→−
∞x→−
∞x→−
x→b
∞→x
דוגמאות
א( , f : (0, 1] → R
− x1
= )f (x
,
ב( , f : [1, ∞) → R
− x1
= )f (x
פונקציות הפיכות
משפט והגדרה
יהיו D, E ⊆ Rותהי f : D Eפונקציה חח`ע ו־`על` ,כלומר לכל y ∈ Eקיים x ∈ Dיחיד כך שמתקיים . f (x) = y
כלל ההתאמה g : E → Dהמוגדר ע`ׁי g(y) = x ⇔ y = f (x) :
הוא פונקציה מ־ Eל־ Dהנקראית הפונקציה ההופכית של fומסומנת ב־
מתקיים f −1 ◦ f (x) = f −1 (f (x)) = x :
כמו כן f ◦ f −1 (y) = f f −1 (y) = y :
נהוג לסמן זאת f −1 ◦ f = idD :
) כאשר (x) = x
idD
ו־
עבור כל , x ∈ D
−1
.f
∀x ∈ D
∀y ∈ E
f ◦ f −1 = idE
id=identity
(.
משפט
תהי f : D Eפונקציה על ) Eכלומר .( f (D) = Im(f ) = E
אם fמונוטונית עולה )יורדת( ממש ב־ Dאזי fחח`ע והפונקציה f −1 : E → Dגם היא מונוטונית עולה )יורדת( ממש ב־ .E
הוכחה
ראינו כבר שפונקציה מונוטונית ממש ב־ Dהיא חח`ע ב־ . D
א( נניח ש־ fמונוטונית עולה ממש ב־ Dויהיו y1ו־ y2ב־ Eכך ש־ . y1 < y2
אזי קיימים x1ו־ x2יחידים ב־ Dכך ש־ ) y1 = f (x1ו־ ) . y2 = f (x2
אילו , x2 6 x1היה נובע ש־ ) y2 = f (x2 ) 6 f (x1 ) = y1כי fמונוטונית עולה ( ,בסתירה לעובדה ש־ . y1 < y2
לכן , x1 < x2ז`א ) . f −1 (y1 ) < f −1 (y2על כן f −1מונוטונית עולה ממש ב־ . E
77
ב( ההוכחה במקרה ש־ fמונוטונית יורדת ממש ב־ Dמאד דומה.
משפט
יהי I ⊆ Rקטע ותהי f : I Jפונקציה רציפה ,חח`ע ו־`על` .אזי f −1 : J Iגם היא רציפה ב־ . J
הוכחה :
Iקטע ו־ f : I Jפונקציה רציפה ו־`על` ,ולכן ) J = Im (fגם הוא קטע.
בנוסף fמונוטונית ממש ב־ Iכי fרציפה וחח`ע .לכן נובע מהמשפט הקודם שהפונקציה f : J Iמונוטונית ממש ב־ . J
היות ו־ Im f −1 = Iגם הוא קטע נובע מהמשפט הלפני אחרון בתזכורת לעיל ש־ f −1רציפה ב־ . J
−1
רציפות במידה שווה
כדי לקבל מוטיבציה למושג החדש שאנו עומדים להגדיר ,נחזור למושג `רציפות בקטע` בעזרת דוגמא :
דוגמה
x20
2
תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י . f (x) = xאזי fרציפה ב־ , Rכלומר לכל x0 ∈ Rמתקיים
נוכיח זאת בעזרת ההגדרה |x − x0 | < δ ⇒ |x2 − x20 | < ε :
2
= . lim x
x→x0
. ∀x0 ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R
לכל x, x0 ∈ Rמתקיים . |x2 − x20 | = |(x + x0 )(x − x0 )| = |x + x0 ||x − x0 | 6 (|x| + |x0 |) |x − x0 | :
כעת ,אם |x − x0 | < 1אזי נובע מאי־שוויון המשולש ההפוך ש־ , |x| − |x0 | 6 |x − x0 | < 1כלומר | . |x| < 1 + |x0
2
מכאן נובע שעבור כל xהמקיים , |x − x0 | < 1מתקיים . |x − x20 | 6 (|x| + |x0 |) |x − x0 | 6 (1 + 2 · |x0 |) |x − x0 | :
ε
בהינתן ε > 0נגדיר
δ = min 1, 1+2·|xונקבל :
|0
|x − x0 | < δ ⇒ |x − x0 | < 1 ⇒ |x2 − x20 | 6 (1 + 2 · |x0 |) |x − x0 | < (1 + 2 · |x0 |) δ < ε
∀x ∈ R
כנדרש.
נשים לב שככל ש־ x0רחוק יותר מהראשית ,ככל ש־
ε
| 1+2·|x0
δ = min 1,קטן יותר.
ε
δ = min 1, 11מתאימה עבור כל
אם נסתכל למשל על הפונקציה f (x) = x2בתחום ] , D = [1, 5אזי בהינתן ε > 0הבחירה
הנקודות של Dבבת אחת.
הגדרה
יהי D ⊆ Rותהי f : D → Rפונקציה נתונה .נאמר ש־ fרציפה במידה שווה ב־ Dאם`ם
|x2 − x1 | < δ ⇒ |f (x2 ) − f (x1 )| < ε
78
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x1 , x2 ∈ D
טענה
יהי I ⊆ Rקטע ותהי f : I → Rפונקציה רציפה במידה שווה ב־ . Iאז fרציפה ב־ . I
הוכחה
|x2 − x1 | < δ ⇒ |f (x2 ) − f (x1 )| < ε
נתון :
(∗) ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x1 , x2 ∈ I
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε1
fרציפה ב־ Iאם`ם
∀ε1 > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ I
(∗∗) ∀x0 ∈ I
בהינתן x0 ∈ Iו־ , ε1 > 0הנכונות של )∗∗( נובעת מ־ )∗( ע`י ההצבות x1 = x0 , ε = ε1ו־ . x2 = x
דוגמאות
)א( הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י f (x) = 2x + 1היא רציפה במידה שווה ב־ . R
בהינתן 0 < εנבחר
ε
2
ε
2
= δואז לכל x1 , x2 ∈ Rכך ש־
= |x2 − x1 | < δמתקיים :
|f (x2 ) − f (x1 )| = |(2x2 + 1) − (2x1 + 1)| = |2x2 − 2x1 | = 2|x2 − x1 | < 2δ = ε
)ב( הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י f (x) = sin xהיא רציפה במידה שווה ב־ . R
בהינתן 0 < εנבחר δ = εואז לכל x1 , x2 ∈ Rכך ש־ |x2 − x1 | < δ = εמתקיים :
1
1
1
1
|f (x2 ) − f (x1 )| = |sin(x2 ) − sin(x1 )| = 2 sin x2 −x
cos x2 +x
= 2 sin x2 −x
cos x2 +x
2
2
2
2
= |x2 − x1 | < δ = ε
x2 −x1
2
·162
x2 −x1
2
2 sin
6
)ג( הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י f (x) = x2רציפה במידה שווה ב־ ]. [1, 5
ε
δ = min 1, 11מתאימה ל־ εבהגדרת הרציפות במידה שווה של fב־ ]. [1, 5
בהינתן , ε > 0ראינו לעיל שהבחירה
)ד( הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י f (x) = x2איננה רציפה במידה שווה ב־ . R
נניח בשלילה ש־ fכן רציפה במידה שווה ב־ . Rתהי δ > 0המתאימה ל־ ε = 1בהגדרת הרציפות במידה שווה.
כלומר |x2 − x1 | < δ ⇒ |x22 − x21 | < 1 :
נבחר n ∈ Nכך ש־ < δ
מצד שני > 2 :
1
n2
1
n
=2+
. ∀x1 , x2 ∈ R
) ארכימדיות ( ונגדיר x1 = n :ו־
1
n2
− n2 = 2 +
1
) n2
+
1
n
1
n
. x2 = n +מתקיים < δ :
· − n2 = (n2 + 2 · n
1 2
)n
= (n +
1
1
n = n
| |x22 − x21
= | . |x2 − x1
>.1
סתירה זו מראה ש־ fאיננה רציפה במידה שווה ב־ . R
)ה( הפונקציה f : (0, 1) → Rהמוגדרת ע`י
1
x
= ) f (xאיננה רציפה במידה שווה ב־ ). (0, 1
הוכחה :תרגיל .
משפט
∞
∞
נתונה . D ⊆ Rאזי f : D → Rאיננה רציפה במ`ש ב־ Dאם ורק אם קיים ε0 > 0וקיימות שתי סדרות (xn )n=1 , (x̂n )n=1
המקיימות את שלושת התנאים הבאים:
א(
∀n ∈ N xn , x̂n ∈ D
ג( . ∀n ∈ N |f (xn ) − f (x̂n )| > ε0
ב( lim (xn − x̂n ) = 0
∞→n
הוכחה :
79
⇐ :נניח כי fאיננה רבמ`ש ב־ , Dונראה שקיימות הסדרות האמורות :
השלילה של תנאי הרציפות במ`ש היא |x − x̂| < δ ∧ |f (x) − f (x̂)| > ε0
. ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 ∃x, x̂ ∈ D
בפרט ,עבור δ = 1קיימים x1 , x̂1 ∈ Dכך ש־ |x1 − x̂1 | < 1ו־ . |f (x1 ) − f (x̂1 )| > ε0
עבור
1
2
= δקיימים x2 , x̂2 ∈ Dכך ש־
ובאופן כללי ,בהינתן , n ∈ Nעבור
מ־
1
n
1
n
1
2
< | |x2 − x̂2ו־ . |f (x2 ) − f (x̂2 )| > ε0
= δקיימים xn , x̂n ∈ Dכך ש־
1
n
< | |xn − x̂nו־ . |f (xn ) − f (x̂n )| > ε0
< − n1 < xn − x̂nנובע )משפט הכריך( ש־ , lim (xn − x̂n ) = 0ועם זאת |f (xn ) − f (x̂n )| > ε0לכל , nכנדרש.
∞→n
⇒ :נניח שקיימות שתי סדרות כאלו ,ונראה כי fאיננה רבמ`ש ב־ . D
אזי עבור ε = ε0 > 0אי אפשר למצוא אף δ > 0המתאימה להגדרה של הרציפות במ`ש.
כי מ־ lim (xn − x̂n ) = 0נובע שבהינתן δ > 0קיים N ∈ Nכך שלכל N < nמתקיים , |xn − x̂n | < δ
∞→n
ואז , |xN +1 − x̂N +1 | < δועם זאת . |f (xN +1 ) − f (x̂N +1 )| > ε0
ראינו שרציפות במידה שווה בקטע גוררת רציפות באותו קטע .הדוגמאות f (x) = x2ב־ Rו־ f (x) = x1ב־ ) (0, 1מוכיחות
שרציפות בקטע איננה גוררת רציפות במידה שווה באותו קטע ,אפילו אם הקטע חסום .לכן המשפט הבא מפתיע במידה מסויימת.
משפט קנטור
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ , a < bותהי f : [a, b] → Rפונקציה רציפה בקטע הסגור ]. [a, b
אזי fרציפה במידה שווה ב־ ]. [a, b
הוכחה :
נניח שלא ,ז`א fרציפה ב־ ] [a, bאך לא רציפה במידה שווה ב־ ]. [a, b
∞
∞) (xnשל איברי ] [a, bכך ש־ , lim (xn − x̂n ) = 0
אז נובע מהמשפט הקודם שקיים , ε0 > 0וקיימות שתי סדרות n=1 , (x̂n )n=1
∞→n
ועם זאת |f (xn ) − f (x̂n )| > ε0עבור כל nטבעי.
∞) (x̂nהיא סדרה חסומה )כי ,(∀n ∈ N a 6 x̂n 6 bולכן נובע ממשפט בולצנו־ויירשטרס שיש
הסדרה n=1
∞) (x̂n
ל־ n=1
תת־סדרה
∞) (x̂nkמתכנסת.
k=1
נסמן , lim x̂nk = x0 :ואז מתקיים. xnk = x̂nk + (xnk − x̂nk ) :
∞→k
אגף ימין הוא סכום של סדרות מתכנסות ,ולכן גם אגף שמאל מתכנס . lim xnk = x0 + 0 = x0 :
∞→k
נשים לב ש־ ]) x0 ∈ [a, bכי , (∀k ∈ N a 6 x̂nk 6 bולכן נובע מהרציפות של fב־ x0ש־ ) lim f (xnk ) = f (x0וגם
∞→k
) . lim f (x̂nk ) = f (x0
∞→k
אבל אז , lim (f (xnk ) − f (x̂nk )) = f (x0 ) − f (x0 ) = 0בסתירה לכך ש־ . ∀k ∈ N |f (xnk ) − f (x̂nk )| > ε0
∞→k
דוגמה
הפונקציה f : [0, 1] → Rהמוגדרת ע`י x
√
= ) f (xהיא רציפה במידה שווה ב־ ]. [0, 1
זה נובע ישירות ממשפט קנטור ,כי fרציפה ב־ ]. [0, 1
הדוגמא הזו מאלצת אותנו לחשוב מחדש על המשמעות הגאומטרית של רציפות במידה שווה .בדוגמאות )ד( ו־ )ה( לעיל יכולנו לחוש
שה־`סיבה` לאי־הרציפות במידה שווה היא שהשיפוע הולך וגדל בצורה בלתי מוגבלת ) בדוגמה )ד( כשמתרחקים מהראשית ובדוגמה
)ה( כשמתקרבים לראשית (.
√
אבל גם לפונקציה f (x) = xיש שיפוע שהולך וגדל בצורה בלתי מוגבלת כשמתקרבים לראשית :
80
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ , a < bותהי f : (a, b) → Rפונקציה רציפה בקטע הפתוח ). (a, b
אזי fרציפה במידה שווה ב־ ) (a, bאם`ם קיימים שני הגבולות החד־צדדיים במובן הצר lim f (x) :
x→a+
ו־ ). lim− f (x
x→b
הוכחה :
⇒ :נניח כי ל־ , fהרציפה ב־ ) , (a, bקיימים שני הגבולות
x=a
נגדיר כעת פונקציה fˆ : [a, b] → Rע`י :
a<x<b
x=b
החד־צדדיים lim+ f (x) = L1 ∈ R :ו־ . lim− f (x) = L2 ∈ R
x→b
x→a
L
1
). fˆ(x) = f (x
L
2
ˆ fרציפה בכל ) x0 ∈ (a, bכי ) . lim fˆ(x) = lim f (x) = f (x0 ) = fˆ(x0
x→x0
x→x0
ˆ fרציפה מימין ב־ x0 = aכי ). lim+ fˆ(x) = lim+ f (x) = L1 = fˆ(a
x→a
x→a
ˆ fרציפה משמאל ב־ x0 = bכי ). lim fˆ(x) = lim f (x) = L2 = fˆ(b
x→b−
x→b−
ז`א ˆ fפונקציה רציפה בקטע הסגור ] , [a, bולכן נובע ממשפט קנטור ש־ ˆ fרציפה במידה שווה ב־ ]. [a, b
על אחת כמה וכמה ˆ fרציפה במידה שווה ב־ ). (a, b
אבל לפי הגדרתה הפונקציה ˆ fמתלכדת על ) (a, bעם הפונקציה , fולכן fרציפה במידה שווה ב־ ) , (a, bכנדרש.
⇐ :נניח כי הפונקציה fרציפה במידה שווה בקטע הפתוח ) , (a, bונוכיח לדוגמה את קיום הגבול ). lim+ f (x
x→a
)קיום הגבול ) lim− f (xיעשה באותה צורה בשינויים המתאימים(.
x→b
קריטריון קושי אומר כי הגבול ) lim f (xקיים אם`ם
x→a+
x1 , x2 ∈ (a, a + δ) ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε
). ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x1 , x2 ∈ (a, b
בהינתן , ε > 0נקח את δ > 0המובטח לנו ע`י קיום הרציפות במ`ש.
עבור כל ) x1 , x2 ∈ (a, bהמקיימים ) x1 , x2 ∈ (a, a + δמתקיים לבטח , |x1 − x2 | < δואז |f (x1 ) − f (x2 )| < ε
בגלל הרציפות במ`ש .לכן תנאי קושי מתקיים ,ועל כן קיים הגבול ) , lim+ f (xכנדרש.
x→a
מסקנה
פונקציה רציפה f : (a, b) → Rהיא רציפה במידה שווה ב־ ) (a, bאם`ם יש ל־ fהרחבה רציפה לקטע הסגור ]. [a, b
81
הנגזרת
מוטיבציה
בכל זמן tנתון הכדור נמצא בגובה ). y(t
) y(t2 ) − y(t1
.
המהירות הממוצעת של הכדור בין הרגעים t1ו־ ) t2כלומר בקטע ] ( [t1 , t2היא :
t2 − t1
) y(t) − y(t0
. lim
המהירות הרגעית של הכדור ברגע t0היא :
t→t0
t − t0
82
הגדרת הנגזרת
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה של . x0 ∈ Rנאמר ש־ fגזירה ב־ x0אם קיים הגבול )במובן הצר !(:
) f (x) − f (x0
x − x0
lim
x→x0
במקרה זה נקרא לגבול הנ`ל הנגזרת של fבנקודה x0ונסמנו ) . f 0 (x0
דוגמאות
(1נתונים c, x0 ∈ Rותהי f : R → Rהפונקציה הקבועה המוגדרת ע`י .∀x ∈ R f (x) = c
אזי fגזירה בנקודה x0כי = 0
0
x→x0 x−x0
= lim
c−c
x→x0 x−x0
= lim
) f (x)−f (x0
x−x0
. f 0 (x0 ) = lim
x→x0
(2יהי x0 ∈ Rותהי f : R → Rהמוגדרת ע`י . ∀x ∈ R f (x) = x2
אזי fגזירה ב־ x0כי = lim (x + x0 ) = 2x0 :
x→x0
) (x−x0 )(x+x0
x−x0
= lim
x→x0
−x20
2
x
x→x0 x−x0
= lim
) f (x)−f (x0
x−x0
. f 0 (x0 ) = lim
x→x0
(3תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י |. ∀x ∈ R f (x) = |x
x<0
0<x
אזי fאיננה גזירה ב־ x0 = 0כי לכל 0 6= xמתקיים :
|= lim+ |x
x = lim+ 1 = 1
x→0
x→0
)f (x)−f (0
x−0
היות והגבולות החד־צדדיים שונים ,
lim
(
−1
=
1
||x
x
=
||x|−|0
x−0
=
)f (x)−f (0
x−0
,ולכן
)(0
. lim− f (x)−f
|= lim− |x
x−0
ו־ x = lim− (−1) = −1
x→0+
)f (x)−f (0
lim x−0
הגבול
x→0
x→0
x→0
x→0
איננו קיים .
שימו לב ש־ fרציפה ב־ . x0 = 0מסקנה :רציפות ב־ x0איננה גוררת גזירות ב־ . x0
טענה
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה של . x0 ∈ Rאזי fגזירה ב־ x0אם`ם קיים הגבול )במובן הצר !(:
) (x0
) (x0
. f 0 (x0 ) = lim f (x0 +h)−f
, lim f (x0 +h)−fואז מתקיים :
h
h
h→0
h→0
הוכחה
0
`⇐` :נתון שקיים הגבול = f (x0 ) ∈ R :
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x0
.נסמן :
) f (x)−f (x0
x−x0
= ) g(xו־ . ϕ(h) = h + x0
מתקיים lim ϕ(h) = x0 :ו־ ϕ(h) 6= x0בכל סביבה מנוקבת של ) 0כי ϕחד־חד ערכית ( .לכן מתקיימים כל התנאים
h→0
) 0 )−f (x0
, lim f (h+xמשמע
של המשפט על גבול של הרכבה ולכן ) , lim g (ϕ(h)) = lim g(x) = f 0 (x0ז`א ) = f 0 (x0
(h+x0 )−x0
x→x0
h→0
h→0
) (x0
, f 0 (x0 ) = lim f (x0 +h)−fכנדרש.
h
h→0
`⇒` :נתון שקיים הגבול = L ∈ R :
) (x0
lim f (x0 +h)−f
h
h→0
.נסמן :
) f (x0 +h)−f (x0
h
= ) g(hו־ . h(x) = x − x0
מתקיים lim h(x) = 0 :ו־ h(x) 6= 0בכל סביבה מנוקבת של ) x0כי hחד־חד ערכית ( .לכן מתקיימים כל התנאים של המשפט
x→x0
על גבול של הרכבה ולכן , lim g (h(x)) = lim g(h) = Lז`א = L
h→0
x→x0
מכאן נובע ש־ fגזירה ב־ x0וש־ , f 0 (x0 ) = Lכנדרש.
) 0 ))−f (x0
lim f (x0 +(x−x
x−x0
x→x0
,משמע = L
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x0
.
83
הגדרה
0
תהי fפונקציה גזירה בנקודה . x0 ∈ Rהישר שמשוואתו ) y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0
נקרא הישר המשיק לגרף של fבנקודה )) . (x0 , f (x0
משפט
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה Uשל . x0 ∈ Rאם fגזירה בנקודה x0אזי fרציפה ב־ . x0
הוכחה
לכל x0 6= x ∈ Uמתקיים − x0 ) + f (x0 ) :
מתקיים = f 0 (x0 ) :
) f (x)−f (x0
x−x0
lim
x→x0
) f (x)−f (x0
(x
x−x0
= ). f (x
ו־ lim (x − x0 ) = 0
x→x0
ו־ ) . lim f (x0 ) = f (x0
x→x0
לכן נובע מאריתמטיקה )מכפלה ,סכום( של גבולות:
) f (x) − f (x0
) · lim (x − x0 ) + lim f (x0 ) = f 0 (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0
x→x0
x→x0
x − x0
lim f (x) = lim
x→x0
x→x0
ז`א fרציפה ב־ , x0כנדרש.
מסקנה
אם פונקציה fגזירה בנקודה x0אזי הגבול
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x0
0
המגדיר את ) f (x0הוא בצורת אי־ודאות
” ” 00
.
הגדרה
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה ימנית )שמאלית( מלאה של . x0 ∈ R
נאמר ש־ fגזירה מימין )משמאל( ב־ x0אם קיים הגבול )במובן הצר!(:
) f (x) − f (x0
lim+
x − x0
x→x0
0
0
. (f−
(x0 ) ) f+
במקרה זה נקרא לגבול הנ`ל הנגזרת הימנית )השמאלית( של fב־ , x0ונסמנו ) (x0
דוגמאות
(1תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י |. ∀x ∈ R f (x) = |x
0
. f−
(0) = −1
0
f+ו־
מהחישובים של דוגמא 3בתזכורת לעיל נובע ש־ (0)=1
) x · sin( x1
=x
6 0
= ). ∀x ∈ R f (x
(2תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י .
0
x=0
84
) f (x) − f (x0
( lim−
)
x − x0
x→x0
fרציפה בנקודה , x0 = 0כי ) ) lim f (x) = lim x · sin( x1 ) = 0 = f (0חסומה כפול אפסה (.
x→0
x→0
נראה ש־ fלא גזירה מימין ולא גזירה משמאל בנקודה : x0 = 0
) x · sin( x1
)f (x
1
)f (x) − f (0
= lim+
= lim+
) (= lim+ sin
x−0
x
x
x
x→0
x→0
x→0
lim
x→0+
1
הוכחנו כבר שהגבול ) ( lim sinאיננו קיים .לכן fאיננה גזירה מימין בנקודה . x0 = 0
+
x
x→0
החישוב עבור הגזירות משמאל זהה.
משפט
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה של . x0אזי fגזירה בנקודה x0אם`ם fגזירה מימין ומשמאל ב־ x0ומתקיים:
) f (x) − f (x0
) f (x) − f (x0
= lim
−
x − x0
x − x0
x→x0
lim
x→x+
0
0
0
. f+
(x0 ) = f−
במקרה זה ,מתקיים (x0 ) = f 0 (x0 ) :
הוכחה :
מפעילים את המשפט המקשר בין קיום הגבול לבין קיום שני הגבולות החד־צדדיים על הפונקציה
) f (x)−f (x0
x−x0
= ). ϕ(x
משפט
תהי fפונקציה המוגדרת בסביבה מלאה ימנית )שמאלית( של . x0 ∈ R
אם fגזירה מימין )משמאל( בנקודה x0אזי fרציפה מימין )משמאל( ב־ . x0
הוכחה
לכל ( x < x0 ) x > x0מתקיים :
לכל מרכיב בצירוף של אגף ימין יש
) (x0
. f (x) = f (x)−f
) (x − x0 ) + f (x0
x−x0
+
.( x → x−לכן נובע
גבול כאשר 0 ) x → x0
מאריתמטיקה )מכפלה ,סכום( של גבולות:
) f (x) − f (x0
0
· lim+ (x − x0 ) + lim+ f (x0 ) = f+
) (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0
x − x0
x→x0
x→x0
כלומר fרציפה מימין )משמאל( ב־ , x0כנדרש.
lim+ f (x) = lim+
x→x0
x→x0
85
אריתמטיקה של נגזרות
משפט
יהיו fו־ gשתי פונקציות גזירות בנקודה ) x0 ∈ Rבפרט fו־ gמוגדרות בסביבה מלאה של .( x0אזי
א .הפונקציה f + gגזירה בנקודה x0ומתקיים . (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) :
ב .המכפלה f · gגזירה בנקודה x0ומתקיים . (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ) :
ג .אם λמספר ממשי נתון אזי הפונקציה λ · gגזירה בנקודה x0ומתקיים .(λg)0 (x0 ) = λ g 0 (x0 ) :
ד .פונקצית ההפרש f − gגזירה בנקודה x0ומתקיים . (f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) :
ה .אם g(x0 ) 6= 0אזי הפונקציה
1
g
ו .אם g(x0 ) 6= 0אזי הפונקציה
f
g
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x0
ו־
גזירה בנקודה x0ומתקיים:
גזירה ב־ x0ומתקיים :
) g 0 (x0
(g(x0 ))2
. ( g1 )0 (x0 ) = −
) f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0
(g(x0 ))2
= ) . ( fg )0 (x0
הוכחה
נתון שהגבולות
)0
lim g(x)−g(x
x−x0
x→x0
קיימים במובן הצר.
בפרט fו־ gרציפות ב־ , x0כלומר ) lim f (x) = f (x0ו־ ) . lim g(x) = g(x0
x→x0
א .נראה שקיים הגבול :
) (f +g)(x)−(f +g)(x0
x−x0
x→x0
. lim
x→x0
) (x0
) +g)(x0
)0
= f (x)−f
+ g(x)−g(x
לכל x 6= x0מתקיים :
. (f +g)(x)−(f
x−x0
x−x0
x−x0
לכל אחד משני המחוברים באגף ימין יש גבול כש־ xשואף ל־ x0ולכן נובע מארתימטירה של גבולות שלאגף ימין כולו יש גבול כש־
xשואף ל־ x0ומתקיים :
) (f + g)(x) − (f + g)(x0
) f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0
lim
=
( lim
+
)
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
x − x0
) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0
כנדרש .
ב .נראה שקיים הגבול :
) f (x) − f (x0
) g(x) − g(x0
+ lim
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
lim
) g)(x0
lim (f g)(x)−(f
x−x0
x→x0
=
.
לכל x 6= x0מתקיים :
) f (x)g(x) − f (x0 )g(x0
) f (x)g(x) − f (x0 )g(x) + f (x0 )g(x) − f (x0 )g(x0
=
x − x0
x − x0
) f (x) − f (x0
) g(x) − g(x0
) + f (x0
x − x0
x − x0
)g(x
) (f g)(x) − (f g)(x0
=
x − x0
=
gגזירה ב־ x0ולכן רציפה ב־ , x0כלומר ) . lim g(x) = g(x0מכאן נובע שלכל מחובר באגף ימין יש גבול כאשר xשואף ל־ . x0
x→x0
ולכן מתקיים מאריתמטיקה )מכפלה ,סכום( של גבולות:
) (f g)(x) − (f g)(x0
) = g(x0 )f 0 (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0
x − x0
lim
x→x0
כנדרש .
ג .נראה שמתקיים .(λg) (x0 ) = λ g (x0 ) :
דרך ראשונה :ישירות מההגדרה.
דרך שניה :תהי f : R → Rכך ש־ . f (x) = λראינו בהרצאה הקודמת ש־ fגזירה ב־ x0ומתקיים :
. ∀x0 ∈ R : f 0 (x0 ) = 0כמו כן . f · g = λg :נפעיל את הכלל שהוכחנו ב־ ב' :
) (λg)0 (x0 ) = (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ) = 0 + λg 0 (x0 ) = λg 0 (x0
כנדרש .
ד , f − g = f + (−1) · g .והטענה מתקבלת ישירות מטענות א' ו־ ג'.
ה .נתון ש־ g . g(x0 ) 6= 0גזירה ב־ x0ולכן בפרט רציפה שם . lim g(x) = g(x0 ) 6= 0 :
0
0
x→x0
לכן קיימת סביבה Uשל x0בה gאיננה מתאפסת.
86
)g(x0 )−g(x
) g(x)g(x0
1
) g(x0
−
1
)g(x
−1
) g(x) − g(x0
=
לכל x0 6= x ∈ Uמתקיים:
x − x0
x − x0
) g(x)g(x0
x − x0
לכל גורם במכפלה באגף ימין יש גבול בנקודה . x0נפעיל אריתמטיקה של גבולות )כפל( ונקבל :
=
−1
) g(x) − g(x0
1
) g 0 (x0
· lim
=−
· g 0 (x0 ) = −
2
g(x)g(x0 ) x→x0
x − x0
) g(x0 ) · g(x0
)) (g(x0
כנדרש .
ו .נפעיל את כלל המכפלה על הפונקציות
1
g
·=f
f
g
.
= lim
1
) g(x0
x→x0
−
1
)g(x
x − x0
lim
x→x0
ונקבל :
0
f
) f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0
1
1
) f 0 (x0 ) f (x0 )g 0 (x0
) (x0 ) = f 0 (x0
=
= ) + f (x0 )( )0 (x0
−
2
2
g
) g(x0
g
) g(x0
)) (g(x0
)) (g(x0
כנדרש .
הערה
המשפט נותר נכון גם במקרה בו כל הנגזרות הן חד־צדדיות מאותו צד של . x0
טענה
יהי n ∈ Nותהי fn : R → Rהפונקציה המוגדרת על ידי . fn (x) = xאזי fnגזירה בכל x0 ∈ Rו־
הוכחה :
נוכיח את הטענה באינדוקציה על . n
n
= 1 = (x0 )0 = 1 x1−1
עבור : n = 1
0
x−x0
x→x0 x−x0
= lim
) f1 (x)−f1 (x0
x−x0
0
n xn−1
0
0
= ) . fn (x0
) שימו לב למוסכמה ( 00 = 1
f1 (x0 ) = lim
x→x0
יהי n ∈ Nונניח שהטענה נכונה עבור . fnלכל x ∈ Rמתקיים . fn+1 (x) = xn+1 = xn · x = fn (x) · f1 (x) :
הנחת האינדוקציה והמקרה n = 1מבטיחים שההנחות של המשפט על גזירה של מכפלה מתקיימוות.
0
0
0
לכן fn+1גזירה ב־ x0 ∈ Rו־ · x0 + xn0 · 1 = (n + 1) xn0
. fn+1 (x0 ) = fn (x0 ) · f1 (x0 ) + fn (x0 ) · f1 (x0 ) = n xn−1
0
הטענה מתקיימת עבור n + 1ועל כן היא נכונה לכל nטבעי.
טענה
0
תהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת על ידי . f (x) = sin xאזי fגזירה בכל x0 ∈ Rו־ . f (x0 ) = cos x0
הוכחה :
x−x0
x+x0
x−x0
) 2 sin( 2 )·cos( 2
(sin
)
) (x0
)0
0
. f (x)−f
= sin(x)−sin(x
=
= x−x20 · cos x+x
לכל x 6= x0מתקיים :
x−x0
x−x0
x−x0
2
2
נסמן :
x−x0
2
= . yלכל x 6= x0מתקיים . y 6= 0בנוסף . lim y = 0
x→x0
x−x0
(sin
)
לכן נובע ממשפט ההצבה ש־ . lim x−x20 = lim siny y = 1
x→x0
y→0
2
x+x0
. lim cos
מצד שני נובע מהרציפות של הפונקציה קוסינוס ש־ = cos x0
2
x→x0
לבסוף נקבל מאריתמטיקה של גבולות ש־ = 1 · cos x0
x+x0
2
· cos
)
x−x0
2
x−x0
2
(sin
= lim
x→x0
) sin(x)−sin(x0
x−x0
x→x0
, limכנדרש.
תרגיל
הוכיחו באותו אופן שהפונקציה f (x) = cos xגזירה בכל x0 ∈ Rו־ . f (x0 ) = − sin x0
0
טענה
נסמן :
+ kπ | k ∈ Z
π
2
. D = R rתהי f : D → Rהפונקציה המוגדרת על ידי
אזי fגזירה בכל x0 ∈ Dו־
1
) = 1 + tan2 (x0
) cos2 (x0
0
sin x
= . f (x) = tan x
cos x
0
= ) . f (x0 ) = tan (x0
הוכחה :
נשים לב ש־ 2 + kπ | k ∈ Zהיא קבוצת כל הנקודות ב־ Rבהן הפונקציה קוסינוס מתאפסת.
לכן מתקיים . ∀x ∈ D cos x 6= 0 :
היות וגם המונה וגם המכנה של fגזירים בכל , Rנובע מאריתמטיקה של נגזרות ש־ fגזירה בכל x0 ∈ Dו־
π
87
)) cos(x0 ) cos(x0 ) − sin(x0 ) (− sin(x0
) cos2 (x0 ) + sin2 (x0
=
) cos2 (x0
) cos2 (x0
מצד אחד cos2 (x0 ) + sin2 (x0 ) = 1ומצד שני
) sin0 (x0 ) cos(x0 ) − sin(x0 ) cos0 (x0
=
2
)) (cos(x0
0
= ) f (x0
) cos2 (x0 ) + sin2 (x0
) cos2 (x0
) sin2 (x0
=
+
) = 1 + tan2 (x0
) cos2 (x0
) cos2 (x0 ) cos2 (x0
.
טענה
יהי . 0 < x < 1אזי
2
. 1 + x 6 exp(x) 6 1 + x + x
הוכחה :
יהי . 0 < x ∈ Rהוכחנו בהרצאה 15שלכל n ∈ Nמתקיים :
xn
1
!n
xk + . . . +
1
!k
x3 + ... +
1
!3
x2 +
1
!2
61+x+
x n
n
1 < 1 + x 6 en (x) = 1 +
נניח ש־ . 0 < x < 1לכל 2 < n ∈ Nמתקיים :
1 2
1
1
1 n
x + x3 + ... + xk + . . . +
x
!2
!3
!k
!n
1
1
1
1
6 1 + x + x2 1 + x + ... +
xk−2 + . . . +
xn−2
2
3
k(k − 1)... · 3
n(n − 1)... · 3
1
1
1
1
6 1 + x + x2 1 + + ... + k−2 + . . . + n−2
2
2
2
2
1
1 − 2n−1
1
6 1 + x + x2
6 1 + x + x2
2
1 − 12
1 < 1 + x 6 en (x) 6 1 + x +
הטענה מתקבלת על ידי מעבר לגבול כש־ nשואף לאינסוף .
טענה
הפונקציה ) exp(xגזירה מימין ב־ . x0 = 0
הוכחה :
2
יהי . 0 < h < 1מהטענה הקודמת נובע ש־ , 1 + h 6 exp(h) 6 1 + h + hכלומר 6 1 + h
exp(h) − 1
0
ממשפט הכריך נובע כעת ש־ = 1
, lim+כלומר . exp+ (0) = 1
h
h→0
exp(h)−1
h
.16
טענה
הפונקציה ) exp(xגזירה משמאל ב־ . x0 = 0
הוכחה :
1 exp(h) − 1
יהי . 0 < h < 1מתקיים
)exp(h
h
=
1
)exp(h
1−
)1 − exp(−h
exp(−h) − 1
=
=
−h
h
h
, lim+ exp(h)−1נקבל כלומר 6 1 + h
מהטענה הקודמת נובע ש־ lim+ exp(h) = 1ו־ = 1
h
h→0
h→0
exp(h)−1
h
.16
exp(−h) − 1
1 exp(h) − 1
, lim+כלומר . exp− (0) = 1
=
לכן נובע מאריתמטיקה של גבולות ש־ = 1
−h
)exp(h
h
h→0
0
טענה
0
הפונקציה expגזירה ב־ Rולכל x0ממשי מתקיים :
) . (exp) (x0 ) = exp(x0
הוכחה :
השילוב של שתי הטענות האחרונות אומר ש־ ) exp(xגזירה ב־ x0 = 0וש־ )= 1 = exp(0
lim exp(h)−1
h
h→0
0
= ). (exp) (0
) exp(x0 + h) − exp(x0
) exp(x0 ) exp(h) − exp(x0
exp(h) − 1
=
) = exp(x0
יהי . x0 ∈ Rלכל h 6= 0מתקיים :
h
h
h
לכן נובע מאריתמטיקה של גבולות ש־
88
.
) exp(x0 + h) − exp(x0
exp(h) − 1
exp(h) − 1
) = lim exp(x0
= exp(x0 ) lim
) = exp(x0 ) 1 = exp(x0
h→0
h→0
h
h
h
, lim
h→0
0
כלומר ) . (exp) (x0 ) = exp(x0
מסקנה :הפונקציה expרציפה ב־ . R
משפט ) כלל השרשרת ( )!(
תהי fפונקציה גזירה בנקודה x0ותהי gפונקציה גזירה בנקודה ) . y0 = f (x0
אזי הפונקציה המורכבת g ◦ fגזירה בנקודה x0ומתקיים:
0
) (g ◦ f ) (x0 ) = g 0 (f (x0 )) f 0 (x0
הוכחה
נתון שקיימים הגבולות :
)0
lim g(y)−g(y
y−y0
y→y0
ו־
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x0
.
y 6= y0
נגדיר פונקצית עזר , ϕהמוגדרת בכל תחום ההגדרה של gע`י :
) g(y)−g(y
y−y 0
0
) g 0 (y0
y = y0
מתקיים= lim ϕ(y) :
y→y0
) g(y)−g(y0
y−y0
= ). ϕ(y
, ϕ(y0 ) = g 0 (y0 ) = limז`א ϕרציפה ב־ . y0
y→y0
בנוסף מתקיים עבור כל yבתחום ההגדרה של gושל . (∗) g(y) − g(y0 ) = ϕ(y)(y − y0 ) : ϕ
וזאת כיון שאם y 6= y0אז ) − y0 ) = g(y) − g(y0
) g(y)−g(y0
(y
y−y0
= ) , ϕ(y)(y − y0ואם y = y0אזי שני האגפים מתאפסים.
יהי x 6= x0בתחום ההגדרה של . fנרשום:
)) g(f (x)) − g(f (x0
) g(f (x)) − g(y0 ) (♥) ϕ(f (x))(f (x) − y0
) f (x) − f (x0
=
=
))= ϕ(f (x
x − x0
x − x0
x − x0
x − x0
)∗∗(
כאשר השוויון )♥( מתקבל על ידי ההצבה ) y = f (xב־ )∗( .
הגבול
) f (x)−f (x0
x−x0
limקיים כי fגזירה ב־ . x0מכאן גם נובע בפרט ש־ fרציפה ב־ . x0לכן )) ϕ(f (xגם היא רציפה ב־ x0
x→x0
כהרכבה של פונקציות רציפות ,ז`א :
)) lim ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0 )) = ϕ(y0 ) = g 0 (y0 ) = g 0 (f (x0
x→x0
לכן נוכל להפעיל אריתמטיקה של גבולות על )∗∗( ונקבל:
) = g 0 (f (x0 ) · f 0 (x0
) f (x)−f (x0
x−x0
) f (x)−f (x0
x−x0
))ϕ(f (x
lim
x→x0
lim ϕ(f (x)) · lim
x→x0
x→x0
)) g(f (x)) − g(f (x0
=
x − x0
lim
x→x0
=
0
כלומר ) , (g ◦ f ) (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0כנדרש.
הערה
כלל השרשרת תקף כאשר fגזירה חד־צדדית ו־ gגזירה ,אך לאו דוקא כאשר fו־ gגזירות חד־צדדית .
טענה
תהי f : D Eפונקציה חח`ע ו־`על` שהיא גזירה בנק' ) x0 ∈ Dבפרט Dמכיל סביבה מלאה של .( x0
אם f 0 (x0 ) = 0אזי הפונקציה ההפוכה f −1 : E Dאיננה גזירה בנק' ) . y0 = f (x0
הוכחה :
נניח בשלילה ש־ f −1גזירה ב־ ) . y0 = f (x0אזי נובע מכלל השרשרת שההרכבה f −1 ◦ fגזירה בנק' x0 ∈ Dומתקיים:
. (f −1 ◦ f )0 (x0 ) = (f −1 )0 (y0 ) · f 0 (x0 ) = (f −1 )0 (y0 ) · 0 = 0
89
מצד שני
, idD = f −1 ◦ fכלומר :
f −1 ◦ f (x) = idD (x) = x
. ∀x ∈ D
0
. (f −1 ◦ f )0 (x0 ) = (idD ) (x0 ) = 1
מכאן נובע ש־
קיבלנו . 0 = (f −1 ◦ f )0 (x0 ) = 1 :סתירה זו מראה ש־ f −1איננה גזירה ב־ ) , y0 = f (x0כנדרש.
פירוש גאומטרי
השיקוף דרך האלכסון הראשי של קו משיק אופקי )הקו הכחול בציור( הוא קו אנכי ששיפועו לא מוגדר )הקו האדום בציור(:
משפט ) הנגזרת של פונקציה הפכית (
תהי f : D Eפונקציה חח`ע ו־`על` ותהי : E D
−1
fהפונקציה ההפוכה שלה .נניח שמתקיימים התנאים הבאים:
f (1גזירה בנקודה ) x0בפרט Dמכיל סביבה מלאה של .( x0
. f 0 (x0 ) 6= 0 (2
f −1 (3רציפה בנקודה ) ) y0 = f (x0בפרט Eמכיל סביבה מלאה של .( y0
אזי הפונקציה ההפוכה f −1 : E → Dגזירה בנקודה ) y0 = f (x0ומתקיים:
1
)) f 0 (f −1 (y0
=
1
)0
f 0 (x
= ) . (f −1 )0 (y0
הוכחה :
יהי x 6= x0ב־ . Dאזי נובע מחח`ע של fכי ) , f (x) 6= f (x0ז`א הביטוי
1
f (x)−f
x 6= x0
) (x0
x−x
0
= ). ϕ(x
נגדיר פונקצית עזר ϕ : D → Rע`י :
01
x = x0
) f (x0
מ־ = f 0 (x0 ) 6= 0
) f (x)−f (x0
x−x0
limומאריתמטיקה של הגבולות נובע :
x→x0
) f (x)−f (x0
x−x0
1
) f 0 (x0
=
מוגדר ושונה . 0
1
) f (x)−f (x0
x−x0
, limכלומר ϕרציפה ב־ . x0
x→x0
יהי y 6= y0ב־ . Eאזי נובע מחח`ע של f −1כי f −1 (y) 6= f −1 (y0 ) = x0ונוכל לרשום :
)= ϕ f −1 (y
1
) f (f −1 (y))−f (x0
f −1 (y)−x0
) f −1 (y) − f −1 (y0
f −1 (y) − x0
=
=
y − y0
) f (f −1 (y)) − f (x0
נתון ש־ f −1רציפה ב־ ) y0כלומר .( lim f −1 (y) = f −1 (y0 ) = x0 :היות ו־ ϕרציפה ב־ , x0הפונקציה המורכבת ϕ ◦ f −1
y→y0
רציפה ב־ y0ולכן:
1
) f −1 (y) − f −1 (y0
1
= lim ϕ f −1 (y) = ϕ f −1 (y0 ) = ϕ (x0 ) = 0
= 0 −1
y→y0
y − y0
) f (x0
)) f (f (y0
1
1
= 0 −1
כלומר
) f 0 (x0
)) f (f (y0
= ) , (f −1 )0 (y0כנדרש.
lim
y→y0
90
פונקצית הנגזרת
הגדרה
תהי . f : D → Rתת־הקבוצה של Dהמכילה את כל הנקודות x0של Dעבורן ) f (x0מוגדר נקראת תחום הגזירות של . f
0
הגדרה
תהי f : D → Rפונקציה נתונה ויהי D0 ⊆ Dתחום הגזירות של . f
נגדיר פונקציה חדשה f 0 : D0 → Rע`י . ∀x0 ∈ D0 : (f 0 )(x0 ) = f 0 (x0 ) :
f 0נקראת הפונקציה הנגזרת של . f
דוגמה 1
נתונה הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י . f (x) = x2 :
ראינו ש־ fגזירה בכל x0 ∈ Rוכי . f 0 (x0 ) = 2x0 :
מכאן נובע שתחום הגזירות של fהוא Rושפונקצית הנגזרת של fהיא f 0 : R → Rהנתונה על ידי . f 0 (x) = 2x
דוגמה 2
תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י |. ∀x ∈ R f (x) = |x
ראינו ש־ fגזירה בכל x0 6= 0וכי
0 < x0
1
x0 < 0
−1
(
0
= ) . f (x0ראינו גם ש־ fאיננה גזירה ב־ . x0 = 0
לכן תחום הגזירות של fהוא } R r {0ופונקצית הנגזרת של fהיא f 0 : R r {0} → Rהנתונה על ידי
||x
x
= ). f 0 (x
דוגמה 3
x 6= 0
= ). f (x
נתונה הפונקציה f : R → Rהמוגדרת ע`י :
x=0
מהו תחום הגזירות של fומהי פונקצית הנגזרת ? f 0
עבור , x0 6= 0הפונקציה y = x1גזירה ב־ . x0היות והפונקציה ) z = sin(yגזירה ב־ , y0 = x10הפומקציה המורכבת ) z = sin( x1
גזירה ב־ . x0
לכן ניתן לחשב את הנגזרת של fב־ x0על ידי הפעלה ישירה של כללי הגזירה ,ולקבל:
1
1
1
1
1
) (= 2x0 · sin( ) − cos
f 0 (x0 ) = 2x0 · sin( ) + x20 · cos( ) · − 2
x0
x0
x0
x0
x0
) x2 · sin( x1
0
האם fגזירה בנקודה ? x0 = 0
נחשב ישירות לפי ההגדרה ונקבל :
=0
) sin( x1
· = lim x
x→0
1
x2 ·sin( x
)
lim
x
x→0
0
= ). f (0
מסקנה f :גזירה בכל נקודה ,כלומר תחום הגזירות של fהוא . Rפונקצית הנגזרת של fהיא f 0 : R → Rהנתונה על ידי :
x 6= 0
) 2x · sin( x1 ) − cos( x1
x=0
0
91
(
0
= )f (x
הגדרה ) גזירות בקטע (
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : I → Rפונקציה נתונה ,כאשר I ⊆ Rקטע.
א( אם I = Rאו )∞ I = (a,או ) I = (−∞, bאו ) I = (a, bנאמר ש־ fגזירה ב־ Iאם`ם fגזירה בכל נקודה ב־ .I
ב( נאמר ש־ fגזירה בקרן הסגורה )∞ I = [a,אם`ם fגזירה ב־ )∞ , (a,וגזירה מימין ב־ . a
ג( נאמר ש־ fגזירה בקרן הסגורה ] I = (−∞, bאם`ם fגזירה ב־ ) (−∞, bוגזירה משמאל ב־ . b
ד( נאמר ש־ fגזירה בקטע ) I = [a, bאם`ם fגזירה ב־ ) , (a, bוגזירה מימין ב־ . a
ה( נאמר ש־ fגזירה בקטע ] I = (a, bאם`ם fגזירה ב־ ) , (a, bוגזירה משמאל ב־ . b
ו( נאמר ש־ fגזירה בקטע הסגור ] I = [a, bאם`ם fגזירה ב־ ) , (a, bוגזירה מימין ב־ aוגזירה משמאל ב־ . b
משפט
יהי Iקטע .תהי f : I → Jפונקציה חח`ע ו־`על`.
−1
fגזירה ב־ , Jונגזרתה נתונה ע`י
אם fגזירה ב־ Iו־ f 0 (x) 6= 0לכל , x ∈ Iאז
1
))f 0 (f −1 (y
=
1
)f 0 (x
= )(f −1 )0 (y
∀y ∈ J
הוכחה
f (I) = Jכי ` fעל` f .גזירה ב־ Iולכן fרציפה ב־ . I
המשפט האחרון של ההרצאה 31אומר שאם I ⊆ Rקטע ו־ f : I Jפונקציה רציפה ,חח`ע ו־`על` ,אזי : J I
רציפה ב־ . J
לכן fמקיימת בכל נקודה x0 ∈ Iאת שלושת התנאים של המשפט לעיל על הנגזרת של פונקציה הפכית.
f −1גם היא
דוגמה 1
n
ˆ
ˆ
ˆ
יהי n ∈ Nותהי f : R → Rהפונקציה המוגדרת על ידי f . f (x) = xרציפה ב־ . R
כאשר nזוגי מתקיים ) fˆ(−x) = fˆ(xעבור כל xב־ , Rולכן ˆ fאיננה חד־חד ערכית כאשר nזוגי .
עבור nזוגי או אי־זוגי ,נגדיר f : [0, ∞) → [0, ∞) :על ידי . f (x) = xn
הוכחתם בשאלה 3של תרגיל 3ש־ fמונוטונית עולה ממש ב־ )∞ [0,ולכן fבפרט חד־חד ערכית .
בנוסף fרציפה ב־ )∞ [0,ומקיימת f (0) = 0ו־ ∞ = ) . lim f (xמשיקולים דומים לאלו שהפעלנו בהוכחת הטענה `לכל פולינום
∞→x
ממשי ממעלה אי־ זוגית יש שורש ממשי` ) הרצאה ( 27נובע ש־ fגם `על` .
√
באופן חלופי ראינו בהרצאה 9שלכל 0 6 yקיים 0 6 xיחיד המקיים x . xn = yזה סומן . n yזה מוכיח ש־ fחד־חד ערכית
√
ועל וש־ . f −1 (y) = n y
. ∀x0 > 0 f 0 (x0 ) = n xn−1
)∞ f −1 : [0, ∞) → [0,גם היא רציפה .בנוסף מתקיים 6= 0 :
0
לכן fמקיימת ב־ )∞ I = J = (0,את כל התנאים של המשפט לעיל על הנגזרת של פונקציה הפוכה ,ועל כן y
בכל y0 > 0ומתקיים :
1
1
1
=
n−1
√
= n−1
) f 0 (x0
n
n x0
n
y0
√
n
= ) f −1 (yגזירה
= ) (f −1 )0 (y0
כאשר nאי־זוגי מתקיים ) fˆ(−x) = −fˆ(xעבור כל xב־ . R
על ידי הבחנה בין המקרים x1 < 0 < x2 , 0 6 x1 < x2ו־ x1 < x2 6 0קל להראות ש־ ˆ fמונוטונית עולה ממש ב־ . R
בפרט ˆ fחח`ע ב־ . R
ˆ
ˆ
ˆ
בנוסף מתקיים ∞ = ) lim f (xו־ ∞ , lim f (x) = −ולכן ` fעל` .
∞→x
∞x→−
מסקנה :כאשר nאי־זוגי ,הפונקציה fˆ : R → Rעצמה הפיכה )אין צורך לצמצם את התחום ואת הטווח ולעבור ל־ . (f
√
גם את הפונקציה ההפוכה שלה נסמן ב־ . fb−1 (y) = n y
√
1
= . (fb−1 )0 (y0 ) = b0 1 = n x1n−1
הפונקציה fb−1 (y) = n yגזירה בכל y0 6= 0ומתקיים :
√
n−1
) f (x0
) n ( n y0
0
92
1
תזכורת :עבור ) 0 < yורק עבור yכזה ! ( הוסכם לסמן גם y nבמקום y
√
1
) נדגיש :בניגוד ל־ , 3 −8הסמל (−8) 3לא מוגדר !(
אם נשתמש בסימון הזה ,נוכל לרשום עבור : 0 < y0
n−1
1
1
y0n
=
n
√
n
1
n−1
) y0
√
n
.
(n
= ) . (f −1 )0 (y0
בהתאם להגדרה של חזקה רציונלית נוכל לכתוב עבור כל : 0 < y0
1 1−n
1 1 −1
1 − n−1
y0 n = y0 n = y0n
n
n
n
=
1
n−1
n
n y0
= n−1
1
1
n
= ) (f −1 )0 (y0
n y0
דוגמה 2
sin x
π π
f (x) = tan(x) = cos
נגדיר f : (− 2 , 2 ) → R :ע`י x
וש־ . f 0 (x0 ) = cos21(x0 ) = 1 + tan2 (x0 ) 6= 0
ראיתם בתרגול 13ש־ fחד־חד ערכית :יהיו ) (− π2 , π2
=0
.ראינו בהרצאה הקודמת ש־ fגזירה בכל x0ב־
,
∈ . x1 , x2
sin x1 ·cos x2 −cos x1 ·sin x2
cos x1 ·cos x2
⇔
=0
x1 − x2 = kπ , k ∈ Z
⇔
sin (x1 − x2 ) = 0
sin x2
cos x2
−
) (− π2 , π2
sin x1
cos x1
⇔
⇔
⇔ f (x1 ) − f (x2 ) = 0
=0
) sin(x1 −x2
cos x1 ·cos x2
) f (x1 ) = f (x2
⇔
אבל ) x1 , x2 ∈ (− π2 , π2גורר ) . x1 − x2 ∈ (−π, πלכן ) x1 − x2 = kπ ∈ (−π, πומכאן , k = 0כלומר , x1 = x2כנדרש.
fרציפה ב־ ) (− π2 , π2ומקיימת ∞lim f (x) = −
+
x→− π
2
. limלכן נובע ממשפט ערך הביניים ש־ ` fעל` .
ו־ ∞ = )f (x
π−
x→ 2
הפונקציה ) f −1 : R → (− π2 , π2מסומנת ) ) arctan : R → (− π2 , π2במחשבון .( tan−1 : R → (− π2 , π2 ) :
⇒=
⇒=
93
נמצא ביטוי מפורש לנגזרת : arctan0
יהי . y0 ∈ Rנסמן ) , x0 = f −1 (y0 ) = arctan(y0כלומר ) . y0 = tan(x0
0
f (x0 ) = cos12 x0 6= 0ולכן כל התנאים של המשפט לעיל על הנגזרת של פונקציה הפוכה מתקיימים :
1
1
=
1 + y02
) 1 + tan2 (x0
1
=
1
)0
cos2 (x
1
=
) f 0 (x0
= ) arctan0 (y0 ) = (f −1 )0 (y0
הגדרה ) נגזרות מסדר גבוה (
תהי f : D → Rפונקציה ויהי D0 ⊆ Dתחום הגזירות של . fיהי D00 ⊆ D0תחום הגזירות של . f 0 : D0 → R
0
אזי הפונקציה (f 0 ) : D00 → Rנקראת הנגזרת השנייה של ) fאו הנגזרת מסדר שני של .( fנהוג לסמן אותה ב־ . f 00
0
נמשיך ונגדיר באותה צורה את D000 ⊆ D00ואת ) . f 000 = (f 00
(n−1) 0
באופן כללי ,בהינתן , 2 6 n ∈ Nנגדיר בצורה אינדוקטיבית את f (n) : D(n) → Rע`י
תחום הגזירות של ) f (n) . f (n−1נקראת הנגזרת ה־n־ית של ) fאו הנגזרת מסדר nשל .( f
, f (n) = fכאשר ) D(nהוא
המשפטים המרכזיים על הנגזרת
הגדרה )מינימום ומקסימום גלובלי(
תהי f : D → Rותהי . A ⊆ Dנאמר ש־ x0 ∈ Aהיא נקודת מקסימום )מינימום( גלובלי של fבקבוצה Aאם`ם מתקיים
) ∀x ∈ A : f (x) 6 f (x0
) ) .( ∀x ∈ A : f (x) > f (x0
ל־ ) f (x0עצמו קוראים הערך המקסימלי )המינימלי( של fב־ . A
הערות
א( בהינתן f : D → Rו־ , A ⊆ Dלא בהכרח קיימת נקודת מקסימום )מינימום( גלובלי של fבקבוצה . A
ב( הערך המקסימלי )המינימלי( של fב־ Aהוא } .( min { f (x) | x ∈ A } ) max { f (x) | x ∈ Aזה מוכיח את יחידותו
) במידה והוא קיים ! ( .אבל נקודת מקסימום )מינימום( גלובלי של fבקבוצה Aלא חייבת להיות יחידה .למשל ,כאשר f
קבועה ,כל x0 ∈ Aהינה נקודת מקסימום )מינימום( גלובלי של fבקבוצה . A
הגדרה ) נקודת קיצון מקומי (
תהי f : D → Rפונקציה נתונה .נקודה x0 ∈ Dתיקרא נקודת מקסימום )מינימום( מקומי של fאם`ם Dמכילה סביבה מלאה U
של x0כך ש־ x0היא נקודת מקסימום )מינימום( גלובלי של fבקבוצה . U
אומרים ש־ x0היא נקודת קיצון מקומי של fאם x0מקסימום או מינימום מקומי של . f
הערה
שימו לב x0 :היא נקודת קיצון מקומי של fאם`ם מתקיימים שני התנאים הבאים:
x0 (1היא נקודה פנימית של , Dכלומר Dמכילה סביבה מלאה של . x0
(2קיים δ > 0כך ש־ ) ( ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : f (x0 ) 6 f (x) ) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : f (x) 6 f (x0
משפט פרמה ) ( Fermat
תהי x0 ∈ D ⊆ Rנקודת קיצון מקומי של . f : D → Rאם fגזירה ב־ x0אזי . f 0 (x0 ) = 0
הוכחה :
א( נניח ש־ x0מקסימום מקומי של . f
בפרט x0היא נקודה פנימית של Dוקיים δ > 0כך ש־ ) f (x) 6 f (x0עבור כל xב־ ). (x0 − δ, x0 + δ
0
0
fגזירה ב־ x0ולכן fגזירה מימין ומשמאל ב־ x0ו־ ) . f− (x0 ) = f 0 (x0 ) = f+ (x0
) (x0
) f (x)−fכי f (x) − f (x0 ) 6 0ו־ . ( x − x0 > 0
לכל ) x ∈ (x0 , x0 + δמתקיים 6 0
x−x0
אי־שוויון חלש בין פונקציות בעלות גבול גורר אי־שוויון חלש בין הגבולות .על כן מתקיים:
0
) (x0
. f 0 (x0 ) = f+ (x0 ) = lim+ f (x)−f
60
x−x0
x→x0
94
עבור כל xב־ ) (x0 − δ, x0מתקיים 0 :
מעבר לגבול מוליד את אי־השוויון > 0 :
) f (x)−f (x0
>
x−x0
) (x0
lim f (x)−f
x−x0
x→x−
0
) כי f (x) − f (x0 ) 6 0ו־ .( x − x0 < 0
0
= ) . f 0 (x0 ) = f− (x0
קבלנו ש־ f 0 (x0 ) 6 0ו־ f 0 (x0 ) > 0ולכן נובע מהטריכוטומיה ש־ , f 0 (x0 ) = 0כנדרש.
0
ב( אם x0מינימום מקומי של , fאזי x0מקסימום מקומי של , −fולכן נובע מחלק א' ש־ , (−f ) (x0 ) = 0ז`א .−f 0 (x0 ) = 0
אחרי כפל ב־ ) (−1נקבל , f 0 (x0 ) = 0כנדרש.
הערות
א( תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י | . f (x) = |xל־ fיש נקודת מינימום מקומי ב־ x0 = 0אך fאיננה גזירה ב־ . 0
)למעשה אין אף נקודה בה הנגזרת של fמתאפסת(.
ב( תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י f . f (x) = x3גזירה ב־ Rומתקיים . ∀x0 ∈ R f 0 (x0 ) = 3x20 :בפרט . f 0 (0) = 0
אבל אין ל־ fאף נקודת קיצון מקומי ,כי fמונוטונית עולה ממש ב־ . R
משפט רול )
Rolle
(
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bותהי f : [a, b] → Rפונקציה המתקיימת את שלושת התנאים הבאים :
(1
fרציפה בקטע הסגור ]. [a, b
(2
fגזירה בקטע הפתוח ).(a, b
(3
). f (a) = f (b
0
אזי קיימת נקודה ) , c ∈ (a, bאחת לפחות ,כך ש־ . f (c) = 0
הוכחה :
fרציפה בקטע הסגור ] [a, bולכן ,על פי המשפט השני של ויירשטראס ,קיימות שתי נקודות ] c1 , c2 ∈ [a, bכך ש־ :
) . ∀x ∈ [a, b] : f (c1 ) 6 f (x) 6 f (c2
נבדיל בין שני מקרים:
.1אם ) f (c1 ) = f (c2אזי מתקיים ) , ∀x ∈ [a, b] : f (c1 ) 6 f (x) 6 f (c2 ) = f (c1כלומר ) . ∀x ∈ [a, b] : f (x) = f (c1
על כן fקבועה ,והנגזרת שלה מתאפסת בכל נקודה ב־ ) . (a, bלכן
a+b
2
= cמקיימת . f 0 (c) = 0
= } ) {a, bכי ) f (a) = f (bאך ) .( f (c1 ) 6= f (c2
.2אם ) f (c1 ) 6= f (c2אזי c1 6= c2ו־ } 6 {c1 , c2
ז`א ש־ a < c1 < bאו , a < c2 < bכלומר לפחות אחת הנקודות c1או c2היא נקודה פנימית של הקטע ]. [a, b
לכן נובע מההגדרה שאותה נקודה היא נקודת קיצון מקומי.
נתון ש־ fגזירה ב־ ) , (a, bולכן fגזירה באותה נקודה ,ועל כן נובע ממשפט פרמה שהנגזרת באותה נקודה מתאפסת.
הטענה מתקיימת בשני המקרים ,כנדרש.
דוגמה
3
טיפלנו במשוואה , x + 64x − 1 = 0והראנו בעזרת משפט ערך הביניים כי קיים לה פתרון בקטע
ניעזר כעת במשפט רול כדי להראות שהפתרון יחיד.
נגדיר פונקציה f : R → Rע`י . f (x) = x3 + 64x − 1
fגזירה ב־ , Rובפרט גזירה בכל קטע ) (a, bורציפה בכל קטע ]. [a, b
נניח בדרך השלילה שקיימים x1 , x2 ∈ Rעם x1 < x2כך ש־ f (x1 ) = 0וגם . f (x2 ) = 0
אזי fמקיימת בקטע ] [x1 , x2את תנאי משפט רול ,ולכן קיים ) c ∈ (x1 , x2עבורו . f 0 (c) = 0
95
1
1
128 , 64
.
היות ו־ f 0 (x) = 3x2 + 64לכל , x ∈ Rנובע ש־ . 0 = f 0 (c) = 3c2 + 64 > 0
סתירה זו מראה שאין נקודה נוספת בה הפונקציה מתאפסת.
משפט לגראנז' )
Lagrange
( ) או משפט הערך הממוצע(
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bתהי fפונקציה רציפה בקטע הסגור ] [a, bוגזירה בקטע הפתוח ). (a, b
אזי קיימת נקודה ) , c ∈ (a, bאחת לפחות ,כך ש־
)f (b)−f (a
b−a
= ). f 0 (c
הוכחה
משוואת הקו הישר שעובר דרך הנקודות )) (a, f (aו־ )) (b, f (bהיא − a) :
נגדיר את הפונקציה l : R → Rעל ידי − a) + f (a) :
)f (b)−f (a
(x
b−a
)f (b)−f (a
(x
b−a
= ). y − f (a
= ). l(x
כפולינום )ממעלה ,(1הפונקציה lגזירה בכל Rולכן בפרט גזירה על הקטע הפתוח ) (a, bורציפה בקטע הסגור ]. [a, b
נגדיר פונקצית עזר h : [a, b] → Rעל ידי . h(x) = f (x) − l(x) :
hרציפה ב־ ] [a, bכהפרש של פונקציות רציפות ב־ ] , [a, bוגזירה בקטע הפתוח ) (a, bכהפרש של פונקציות גזירות ב־ ). (a, b
מכללי הגזירה נובע ש־
)f (b)−f (a
b−a
h0 (x) = f 0 (x) − l0 (x) = f 0 (x) −
). ∀x ∈ (a, b
בנוסף מתקיים :
)f (b) − f (a
(a − a) − f (a) = 0
b−a
h(a) = f (a) − l(a) = f (a) −
)f (b) − f (a
(b − a) − f (a) = f (b) − f (b) + f (a) − f (a) = 0
b−a
h(b) = f (b) − l(b) = f (b) −
בפרט ) h(a) = h(bולכן hמקיימת את תנאי משפט רול ב־ ]. [a, b
על כן קיימת נקודה ) , c ∈ (a, bאחת לפחות ,כך ש־ . h0 (c) = 0
כלומר
)f (b)−f (a
b−a
. 0 = h0 (c) = f 0 (c) −נעביר אגפים ונקבל
)f (b)−f (a
b−a
= ) , f 0 (cכנדרש.
הערה
משפט רול הוא מקרה פרטי של משפט לגרנז' ,אבל אי־אפשר להוכיח את משפט רול ע`י ציטוט משפט לגרנז' ) כי השתמשנו במשפט
רול בזמן שהוכחנו את משפט לגרנז' ! (.
טענה
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bתהי fפונקציה גזירה בקטע ). (a, b
א .אם fקבועה ב־ ) (a, bאזי
. ∀x ∈ (a, b) f 0 (x) = 0
ב .אם fמונוטונית עולה ב־ ) (a, bאזי
. ∀x ∈ (a, b) f 0 (x) > 0
ג .אם fמונוטונית יורדת ב־ ) (a, bאזי
. ∀x ∈ (a, b) f 0 (x) 6 0
הוכחה
96
א .הוכחנו בעבר
ב .תהי ) f . x0 ∈ (a, bמונוטונית עולה ב־ ) (a, bולכן ) . ∀x ∈ (x0 , b) : f (x) > f (x0
לכן מתקיים> 0 :
) f (x)−f (x0
x−x0
) כי f (x) − f (x0 ) > 0ו־ . ( x − x0 > 0
∀x ∈ (x0 , b) :
אי־שוויון חלש בין פונקציות בעלות גבול גורר אי־שוויון חלש בין הגבולות .על כן מתקיים:
) (x0
0
, f 0 (x0 ) = f+כנדרש.
(x0 ) = lim+ f (x)−f
>0
x−x0
x→x0
ג .תהי ) f . x0 ∈ (a, bמונוטונית יורדת ב־ ) (a, bולכן מתקיים . ∀x ∈ (x0 , b) : f (x) 6 f (x0 ) :
לכן מתקיים6 0 :
) f (x)−f (x0
x−x0
∀x ∈ (x0 , b) :
מעבר לגבול מוליד את אי־השוויון :
) כי f (x) − f (x0 ) 6 0ו־ . ( x − x0 > 0
) (x0
0
, f 0 (x0 ) = f+כנדרש.
(x0 ) = lim+ f (x)−f
60
x−x0
x→x0
משפט
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bתהי fפונקציה גזירה בקטע ) . (a, bאזי מתקיים:
א .אם לכל ) x ∈ (a, bמתקיים f 0 (x) = 0אזי fקבועה ב־ ). (a, b
ב .אם לכל ) x ∈ (a, bמתקיים , ( f 0 (x) 6 0 ) f 0 (x) > 0אזי fמונוטונית עולה )יורדת( ב־ ). (a, b
ג .אם לכל ) x ∈ (a, bמתקיים , ( f 0 (x) < 0 ) f 0 (x) > 0אזי fמונוטונית עולה ממש )יורדת ממש( ב־ ). (a, b
הוכחה
א .נסמן )∈ (a, b
a+b
2
= . x0תהי ) . x0 < x ∈ (a, bנראה ש־ ). f (x0 ) = f (x
fגזירה ב־ ) (a, bולכן בפרט רציפה ב־ ) .(a, bהיות ו־ ) f , [x0 , x] ⊆ (a, bרציפה ב־ ] [x0 , xוגזירה ב־ ). (x0 , x
ז`א ש־ fמקיימת בקטע ] [x0 , xאת תנאי משפט לגרנז'.
לפיכך קיימת ) c ∈ (x0 , xכך ש־ = f 0 (c) = 0
) f (x)−f (x0
x−x0
,ולכן , f (x) − f (x0 ) = 0כלומר ). f (x0 ) = f (x
על ידי החלפת הקטע ] [x0 , xבקטע ] [x, x0מראים באותו אופן בדיוק ש־ ) f (x0 ) = f (xכאשר . a < x < x0
לכן ) f (x0 ) = f (xעבור כל xב־ ) , (a, bועל כן fקבועה ב־ ) , (a, bכנדרש.
ב .נוכיח את הטענה כאשר f 0 (x) > 0עבור כל ). x ∈ (a, b
) הוכחת המקרה בו f 0 (x) 6 0עבור כל ) x ∈ (a, bנעשית על ידי התבוננות ב־ ) . (−fהשלימו את הפרטים ! (
יהיו ) x1 , x2 ∈ (a, bכך ש־ f . x1 < x2גזירה ב־ ) (a, bולכן fגזירה בקטע ] ) [x1 , x2המוכל ב־ ). ((a, b
מכאן נובע ש־ fמקיימת את
לפיכך קיימת נקודה ) (x1 , x2
תנאי משפט לגרנז' בקטע ] . [x1 , x2
) f (x2 )−f (x1
∈ cכך ש־ = f 0 (c) > 0 :
x2 −x1
) f (x2 ) − f (x1
כעת מתקיים (x2 − x1 ) > 0 :
} | {z
x2 − x1
|
{z
}
>0
.
= ) , f (x2 ) − f (x1כלומר הראינו שלכל שתי נקודות ב־ ) (a, bהמקיימות
>0
x2 > x1מתקיים ) . f (x2 ) > f (x1
מסקנה f :מונוטונית עולה ב־ ) , (a, bכנדרש.
ג .ההוכחה זהה לזו של סעיף ב' ,כאשר מחליפים את אי־השוויון החלש באי־שוויון חזק.
הערות ואזהרה
(1מהטענה והמשפט לעיל נובע שאם fפונקציה גזירה בקטע ) , (a, bאזי fמונוטונית עולה )קבועה( ב־ )(a, b
אם ורק אם
∀x ∈ (a, b) : f 0 (x) > 0
) .( ∀x ∈ (a, b) : f 0 (x) = 0
אבל הגרירה ההפוכה של סעיף ג' במשפט איננה נכונה !
0
לדוגמה ,הפונקציה f : (−1, 1) → Rהנתונה ע`י f (x) = x3מונוטונית עולה ממש ב־ ) , (−1, 1אך f (0) = 0ולכן
הנגזרת של fאיננה חיובית בכל נקודה של הקטע ). (−1, 1
(2אם , f 0 (x0 ) > 0לא בהכרח קיימת סביבה של x0בה fמונוטונית עולה.
(
1
x + x2 sin x1
x 6= 0
f (x) = 2
לדוגמא f : R → R :הנתונה ע`י
0
x=0
97
בנקודה . x0 = 0
1
x
x2 sin
0
(
x 6= 0
fהיא סכום של שתי פונקציות גזירות f1 (x) = 12 x :ו־
x=0
(
1
+ 2x sin x1 − cos x1
x 6= 0
0
0
0
2
לכן fגזירה ומתקיים :
= ). f (x) = f1 (x) + f2 (x
1
1
+
0
=
x=0
2
2
= ). f2 (x
אילו היתה קיימת סביבה ) (x0 − δ0 , x0 + δ0של x0 = 0בה fמונוטונית עולה ,אזי f 0היתה אי־שלילית בסביבה זו .
אך עבור nטבעי מספיק גדול (x0 − δ0 , x0 + δ0 ) ,מכילה נקודות מהצורה
1
2πn
= xnומתקיים . f 0 (xn ) = − 12
דוגמה 1
תהי ] f : (− π2 , π2 ) → [−1, 1המוגדרת ע`י ). f (x) = sin(x
ראינו ש־ fגזירה בכל x0ב־ ) (− π2 , π2וש־ . f 0 (x0 ) = cos x
מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה נובע שבתחום ) (− π2 , π2מתקיים . cosx > 0
לכן נובע מהמשפט הקודם ש־ fמונוטונית עולה ממש בקטע ) . (− π2 , π2בפרט fחד־חד ערכית ב־ ) . (− π2 , π2
דוגמה 2
תהי f : (− π2 , π2 ) → Rהמוגדרת ע`י
sin x
cos x
= ). f (x) = tan(x
ראינו בהרצאה קודמת ש־ fגזירה בכל x0ב־ ) (− π2 , π2וש־ ) = 1 + tan2 (x0
1
) cos2 (x0
= ) . f 0 (x0
היות ו־ , 1 + tan2 (x0 ) > 1 > 0נובע מהמשפט הקודם ש־ fמונוטונית עולה ממש בקטע ) . (− π2 , π2בפרט fחח`ע ב־ ) . (− π2 , π2
משפט קושי )
Cauchy
(
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ . a < bיהיו f, gשתי פונקציות רציפות בקטע ] [a, bוגזירות ב־ ). (a, b
א .אזי קיימת נקודה , cאחת לפחות ,כך שמתקיים . (∗) f 0 (c)(g(b) − g(a)) = g 0 (c)(f (b) − f (a)) :
ב .אם בנוסף g 0 (x) 6= 0עבור כל ) , x ∈ (a, bאזי ניתן לכתוב את )∗( בצורה :
)f (b)−f (a
)g(b)−g(a
=
)f 0 (c
)g 0 (c
)∗∗( .
הוכחה
א .נגדיר פונקצית עזר h : [a, b] → R :ע`י )). h(x) = f (x)(g(b) − g(a)) − g(x)(f (b) − f (a
hרציפה ב־ ] [a, bכצירוף ליניארי של פונ' רציפות ב־ ] [a, bו־ hגזירה ב־ ) (a, bכצירוף ליניארי של פונ' גזירות ב־ ).(a, b
מכללי הגזירה נובע ש־ ))h0 (x) = f 0 (x)(g(b) − g(a)) − g 0 (x)(f (b) − f (a
). ∀x ∈ (a, b
מתקיים :
)h(a) = f (a)(g(b) − g(a)) − g(a)(f (b) − f (a)) = f (a)g(b) − g(a)f (b
)h(b) = f (b)(g(b) − g(a)) − g(b)(f (b) − f (a)) = −f (b)g(a) + g(b)f (a) = h(a
98
על כן hמקיימת ב־ ] [a, bאת תנאי משפט רול ,ולכן קיימת נקודה ) , c ∈ (a, bאחת לפחות ,כך ש־ h0 (c) = 0
h0 (c) = f 0 (c)(g(b) − g(a)) − g 0 (c)(f (b) − f (a)) = 0
זאת אומרת
))f 0 (c)(g(b) − g(a)) = g 0 (c)(f (b) − f (a
ומכאן
בכך הוכחנו את )∗( .
ב .אם בנוסף g 0 (x) 6= 0
עבור כל ) , x ∈ (a, bאזי נובע כי ) ) g(b) 6= g(aאחרת gהיתה ממלאת את תנאי משפט רול והיינו
מקבלים נקודה ) ĉ ∈ (a, bכך ש־ , g 0 (ĉ) = 0בסתירה לנתון הנוסף (.
לכן )∗∗( מתקבל מ־ )∗( ע`י חילוק שני האגפים של )∗( ב־ . g 0 (c) · (g(b) − g(a)) 6= 0
הערה
משפט לגרנז' הוא מקרה פרטי של משפט קושי בצורה )∗∗( ,עם g(x) = xעבור כל ]. x ∈ [a, b
( ∀x ∈ [a, b] g 0 (x) = 1 6= 0
) במקרה זה מותר לכתוב את משפט קושי בצורה )∗∗( ,כי
טענה
יהיו fו־ gשתי פונקציות גזירות ב־ ) x0בפרט fו־ gמוגדרות בסביבה מלאה של . ( x0
אם f (x0 ) = g(x0 ) = 0ו־ , g 0 (x0 ) 6= 0אזי קיים הגבול
)lim f (x
)x→x0 g(x
ומתקיים
) f 0 (x0
) g 0 (x0
)lim f (x
)x→x0 g(x
=
.
הוכחה
נתון שקיימים הגבולות = f 0 (x0 ) :
) f (x)−f (x0
x−x0
= lim
x→x0
)lim f (x
x→x0 x−x0
ו־
) = g 0 (x0
) g(x)−g(x0
x−x0
= lim
x→x0
)lim g(x
x→x0 x−x0
.( f (x0 ) = g(x0 ) = 0
) כי
0
מ־ = g (x0 ) 6= 0
)lim g(x
x→x0 x−x0
נובע שקיימת סביבה מנוקבת Uשל x0כך ש־ 6= 0
)g(x
x−x0
עבור כל . x ∈ U
בפרט נובע מכאן ש־ g(x) 6= 0עבור כל . x ∈ U
) f (x)−f (x0
x−x0
) g(x)−g(x0
x−x0
לפיכך נוכל לכתוב עבור כל : x ∈ U
)f (x
) f (x) − f (x0
=
=
)g(x
) g(x) − g(x0
למונה של אגף ימין יש גבול ) f 0 (x0כאשר xשואף ל־ , x0ולמכנה של אגף ימין יש גבול g 0 (x0 ) 6= 0כאשר xשואף ל־ . x0
מאריתמטיקה של הגבולות נובע שלאגף ימין כולו יש גבול כאשר xשואף ל־ , x0ומתקיים
) f 0 (x0
) g 0 (x0
=
)f (x
)x→x0 g(x
lim
,כנדרש.
הערה
שימו לב שבתנאים של הטענה הקודמת ,הגבול
)lim f (x
)x→x0 g(x
הוא בצורת אי־ודאות `
0
0
`.
) כי גזירות ב־ x0גוררת רציפות ב־ x0ולכן lim f (x) = f (x0 ) = 0ו־ .( lim g(x) = g(x0 ) = 0
x→x0
משפט לופיטל בגרסה `
0
0
`)
L'Hospital
x→x0
(
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bויהיו fו־ gשתי פונקציות גזירות בקטע ] , (a, bהמקיימות את שלושת התנאים הבאים :
)(1
. lim f (x) = lim g(x) = 0
)(2
. ∀x ∈ (a, b] : g 0 (x) 6= 0
x→a+
x→a+
0
)(3
קיים הגבול במובן הרחב
)f (x
)g 0 (x
אזי קיים גם הגבול במובן הרחב
. lim
x→a+
)f (x
)g(x
lim+ומתקיים :
x→a
)f 0 (x
)g 0 (x
= lim+
x→a
)f (x
)g(x
. lim+
x→a
הוכחה
ˆ
נגדיר שתי פונקציות חדשות f : [a, b] → R :ו־ , ĝ : [a, b] → Rהמוגדרת ע`י
(
(
)g(x
x 6= a
)f (x
x 6= a
= )ĝ(x
= ) fˆ(xו־
0
x=a
0
x=a
99
ˆ fו־ ̂ gרציפות בקטע ] , [a, bכי בקטע ] (a, bהן מתלכדות עם הפונקציות הגזירות ) ועל כן רציפות ( fו־ gבהתאמה,
ובנקודה aמתקיים :
)lim fˆ(x) = lim+ f (x) = 0 = fˆ(a
ו־
x→a+
x→a
). lim+ ĝ(x) = lim+ g(x) = 0 = ĝ(a
x→a
ˆ fו־ ̂ gגזירות ב־ ) ,(a, bולכל ) x0 ∈ (a, bמתקיים :
עם fו־ .( g
) f 0 (x0 ) = fˆ0 (x0
x→a
ו־ ) g 0 (x0 ) = ĝ 0 (x0
) כי ˆ fו־ ̂ gמתלכדות ב־ )(a, b
על כן ˆ fו־ ̂ gממלאות את תנאי משפט קושי בקטע ]. [a, b
יהי xב־ ] fˆ . (a, bו־ ̂ gממלאות את תנאי משפט קושי בקטע ] ) [a, xכי הוא מוכל ב־ ]. ( [a, b
לכן קיים ) cx ∈ (a, xכך ש־
)f (x
)fˆ(x
)fˆ(x) − fˆ(a
) fˆ0 (cx
) f 0 (cx
=
=
= 0
= 0
)g(x
)ĝ(x
)ĝ(x) − ĝ(a
) ĝ (cx
) g (cx
)∗(
כעת נבדיל בין שלושה מקרים:
)f 0 (x
)g 0 (x
א .נניח כי הגבול
lim+קיים במובן הצר= L ∈ R :
x→a
)f 0 (x
− L < ε1
)g 0 (x
)f 0 (x
)g 0 (x
, lim+כלומר
x→a
⇒ (♥) ∀ε1 > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b] : a < x < a + δ
יהי ε > 0נתון .נציב ε1 = εב־ )♥( ונקבל 0 < δכך ש־ − L < ε
)f 0 (x
)g 0 (x
עבור כל xב־ ). (a, a + δ
נשים לב שהנקודה cxמ־ )∗( מקיימת , a < cx < x < a + δכלומר ) , cx ∈ (a, a + δולכן − L < ε
לאור )∗( זה אומר ש־ − L < ε
)f (x
)g(x
ז`א :
)f 0 (x
)g 0 (x
= L = lim
x→a+
ב .נניח כי ∞ =
)f 0 (x
)g 0 (x
lim
x→a
⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b] : a < x < a + δ
,כנדרש.
x→a+
, lim+כלומר :
> M1
)f 0 (x
)g 0 (x
⇒ (3) ∀M1 ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b] a < x < a + δ
יהי . M ∈ Rנציב M1 = Mב־ ) (3ונקבל 0 < δכך ש־ > M
0
)f (x
)g 0 (x
עבור כל xב־ ). (a, a + δ
נשים לב שהנקודה cxמ־ )∗( מקיימת , a < cx < x < a + δכלומר ) , cx ∈ (a, a + δולכן > M
לאור )∗( זה אומר ש־ > M
)f (x
)g(x
ז`א :
)f 0 (x
)g 0 (x
= ∞ = lim+
x→a
ג .נניח כי ∞= −
)f 0 (x
)g 0 (x
0
) f (cx
) g 0 (cx
.
.הראינו ש־
)f (x
>M
)g(x
)f (x
)g(x
) f (cx
) g 0 (cx
.
,ועל כן הראינו ש־
)f (x
−L <ε
)g(x
)f (x
)g(x
0
lim
x→a+
⇒ ∀M ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b] : a < x < a + δ
,כנדרש.
. lim+
x→a
את המקרה הזה ניתן להוכיח בצורה מאוד דומה למקרה ב' ) ע`י הפיכת אי־השוויונים עם ,( Mאו להתבונן ב־ . − fg
הערות
א( באותה צורה מוכיחים את המשפט עבור שאיפה משמאל ל־ . a
השילוב של שתי הגרסאות מוכיח את המשפט במקרה של שאיפה דו־צדדית ל־ . a
100
ב( שימו לב להבדל בהנחות על fו־ gבכלל לופיטל לעומת אלה בטענה שקדמה לכלל לופיטל.
ג( בתרגיל תוכיחו את המשפט כאשר xשואף לאינסוף.
משפט לופיטל בגרסה `
∞
∞
`
יהיו a, b ∈ Rכך ש־ a < bויהיו fו־ gשתי פונקציות גזירות בקטע ] , (a, bהמקיימות את שלושת התנאים הבאים :
)(1
∞ = ). lim f (x) = lim g(x
)(2
. ∀x ∈ (a, b] : g 0 (x) 6= 0
x→a+
x→a+
0
קיים הגבול במובן הרחב
)(3
)f (x
)g 0 (x
אזי קיים גם הגבול במובן הרחב
. lim
x→a+
)f (x
)g(x
)f 0 (x
)g 0 (x
limומתקיים :
x→a+
= lim
x→a+
)f (x
)g(x
. lim
x→a+
הערות
א( המשפט גם תקף עבור שאיפה משמאל ל־ . a
השילוב של שתי הגרסאות מוכיח את המשפט במקרה של שאיפה דו־צדדית ל־ . a
ב( כמו כן המשפט תקף כאשר xשואף לאינסוף.
משפט דרבו )
Darboux
(
יהיו a, bכך ש־ , a < bותהי fפונקציה גזירה ב־ ) , (a, bוגזירה מימין בנק' aוגזירה משמאל בנק' . b
0
0
0
יהי λ ∈ Rכך ש־ )f+ (a) < λ < f− (b
0
) ). ( f− (b) < λ < f+ (a
אזי קיימת ) , c ∈ (a, bאחת לפחות ,כך ש־ . f 0 (c) = λ
הוכחה :
ראשית נשים לב ש־ fרציפה בקטע הסגור ] . [a, bנגדיר פונקצית עזר g : [a, b] → Rע`י
. g(x) = f (x) − λx
gרציפה ב־ ] [a, bועל כן נובע מהמשפט השני של ויירשטראס ש־ gמקבלת ערך מינימאלי עבור ]. c ∈ [a, b
0
0
, g+ (a) = f+ (a) − λ < 0ז`א < 0 :
מתקיים :
)g(x)−g(a
x−a
. lim+
x→a
לכן קיימת סביבה ימנית מנוקבת ) (a, a + δ1של ) aעם ( δ1 > 0כך שלכל xבסביבה זו < 0 :
)g(x)−g(a
x−a
.
בסביבה זו ) , g(x) < g(aועל כן אין ל־ gערך מינימאלי ב־ . aמסקנה . c 6= a :
0
0
באותו אופן , c 6= bשכן , g− (b) = f− (b) − λ > 0ולכן > 0
)g(x)−g(b
x−b
, lim−כלומר ) g(x) < g(bעבור xמספיק קרוב ל־ . b
x→b
לכן cהיא נקודה פנימית של ] , [a, bולכן המינימום הוא מינימום מקומי ,ועל כן נובע ממשפט פרמה ש־ , g 0 (c) = 0ז`א :
f 0 (c) − λ = 0כנדרש.
טענה
0
תהי hפונקציה גזירה ב־ ) . (a, bאזי ל־ hיכולות להיות רק נקודות אי־רציפות מסוג שני ) ולא סליקות ,ולא מסוג ראשון ( .
הוכחה :
תהי ). x0 ∈ (a, b
0
0
0
נראה כי אם קיימים הגבולות החד־צדדיים במובן הצר ̂ lim− h (x) = Lו־ , lim+ h (x) = Lאז hרציפה ב־ . x0
x→x0
0
נקבע x0 < b < bונסמן
) f (x) = h(x) − h(x0
ו־
x→x0
. g(x) = x − x0
0
fו־ gגזירות בקטע ] , (x0 , bומקיימות . lim+ f (x) = lim+ g(x) = 0
x→x0
כמו כן :
x→x0
0
0
. ∀x ∈ (x0 , b ] : g 0 (x) = 1 6= 0כמו כן . ∀x ∈ (x0 , b ] : f 0 (x) = h0 (x) :
לפי ההנחה קיים הגבול
= lim h0 (x) = L
x→x+
0
0
)h (x
1
= lim
x→x+
0
0
)f (x
)g 0 (x
101
. lim
x→x+
0
לכן נובע מכלל לופיטל כי קיים גם הגבול
כלומר
= lim+ h0 (x) = L
x→x0
) h(x)−h(x0
x−x0
)f (x
)g(x
lim+ומתקיים:
x→x0
)f 0 (x
)g 0 (x
= lim+
x→x0
)f (x
)g(x
, lim+
x→x0
0
. h0 (x0 ) = h+ (x0 ) = lim+ h0 (x) = L
. lim+משמע
x→x0
x→x0
ז`א ש־ h0רציפה מימין בנקודה . x0
באותו אופן מוכיחים ש־ h0רציפה משמאל בנקודה , x0ולכן h0רציפה בנקודה , x0כנדרש.
מסקנה ) נובעת גם ממשפט דרבו (
תהי f : R → Rהמוגדרת ע`י ) . f (x) = sgn(xאזי לא קיימת אף פונקציה F : R → Rהמקיימת . F = f
כלומר לפונקציה fאין פונקציה קדומה ב־ . R
) אבל שימו לב ש־ | F (x) = |xהיא פונקציה קדומה של ) f (x) = sgn(xב־ }(. R r {0
0
הפונקציה האקספוננציאלית
תזכורת
הסדרה
∞ 1 n
n=1
n
1+
∞
= (en )n=1מונוטונית עולה וחסומה ) ,(2 6 en 6 4ולכן היא מתכנסת .נסמן :
n
1
1+
∞→n
n
e = lim
מתקיים 2 6 e 6 4 :
.למעשה מתקיים . e = 2.718281828459045235360... :
סוף התזכורת
x n
נקבע . x ∈ Rנסמן :
. ∀n ∈ N en (x) = 1 +
n
∞)) (en (xמונוטונית עולה ממש החל ממקום מסוים.
טענה :הסדרה n=1
הוכחה :
נסמן . N = b|x|c + 1 ∈ N :אזי , |x| < Nולכל N 6 n ∈ Nמתקיים , |x| < nכלומר . −n < x < n
x
x
מכאן נובע ש־ < , −1כלומר 0 < 1 +עבור כל . N 6 n ∈ N
n
n
x
x1 = x2 = ... = xn = 1 +ו־ xn+1 = 1באי־שוויון הממוצעים
נציב
n
x1 + x2 + ... + xn + xn+1
n+1
x1 · x2 · ... · xn · xn+1 6
√
n+1
ונקבל :
x
n 1+ n +1
n+1
6
r
x n
·1
n
1+
x n
r
n+1
⇓
n+1+x
x
=1+
n+1
n+1
6
n
1+
n+1
⇓
n+1
x
n+1
1+
6
x n
1+
n
⇓
)en+1 (x
en (x) 6
x
∞)) (en (xכולה מונוטונית עולה ממש )כי אז
הערה :עבור , −1 < xהסדרה n=1
n
102
0 < 1 +עבור כל . (n ∈ N
∞)) (en (xחסומה.
טענה :הסדרה n=1
הוכחה :
∞
מספיק להוכיח שיש ל־ (en (x))n=1זנב חסום.
נסמן . N = b|x|c + 1 ∈ N :אזי , |x| < Nולכל N 6 n ∈ Nמתקיים , |x| < nכלומר . −n < x < n
x
x
מכאן נובע ש־ < , −1כלומר 0 < 1 +עבור כל . N 6 n ∈ N
n
n
x
x n
מאי־שוויון ברנולי נובע שעבור כל N 6 n ∈ Nמתקיים > 1 + n = 1 + x
. en (x) = 1 +
n
n
∞)) (en (xחסום מלרע על ידי . 1 + x
לכן הזנב n=N
1
x
= = xn+2 = ... = xn+N +1
x1 = x2 = ... = xn = 1 +ו־
עבור N 6 n ∈ Nנציב
N +1
n
באי־שוויון הממוצעים
x1 + ... + xn + xn+1 + ... + xn+N +1
n+N +1
x1 · ... · xn · xn+1 · ... · xn+N +1 6
xn+1
√
n+N +1
ונקבל :
1
N +1
)+ (N + 1
x
n
n 1+
N +1
1
x n
1+
·
n
N +1
6
n+N +1
s
n+N +1
⇓
n+x+1
< 1
n+N +1
1
(N + 1)N +1
6
x n
n
1+
s
n+N +1
⇓
(N + 1)N +1
x n
1+
n
6
∞)) (en (xחסום מלעיל על ידי . (N + 1)N +1
לכן הזנב n=N
x n
לסיכום :הסדרה
en (x) = 1 +מתכנסת עבור כל xממשי.
n
x n
. exp(x) = lim en (x) = lim 1 +
הגדרה :עבור כל xממשי נסמן :
∞→n
∞→n
n
מתקיים :
. 1 + x 6 exp(x) , exp(1) = e = 2.71 . . . , exp(0) = 1
משפט :לכל x, y ∈ Rמתקיים . exp(x + y) = exp(x) exp(y) :
הוכחה :
מקרה א' 0 6 x :ו־ . 0 6 y
y
x+y
xy
x
. 1 6 1 + x+y
6
1
+
1
+
6
1
+
1
+
:
מתקיים
לכל n ∈ N
n
n
n
n
n2
n
n
n
n
n
. 1 + x+y
6 1 + nx
1 + ny 6 1 + x+y
1 + nxy2
ולכן
n
n
מעבר לגבול כש־ nשואף לאינסוף נותן את התוצאה )אריתמטיקה ,משפט הכריך ו־ = 1
מקרה ב' xy < 0 :ו־ : 0 6 x + yלכל −xy < n
√
x+y
n
מתקיים :
61+
y
n
1+
x
n
xy n
n2
6 1+
xy
n2
.( lim 1 +
∞→n
1+
x+y
n
. 06 1+
מקרה ג' xy < 0 :ו־ : x + y 6 0נסמן u = −x :ו־ . v = −yאזי uv = xy < 0ו־ . u + v = −(x + y) > 0
ממקרה ב' נובע ש־ ) , exp(u + v) = exp(u) exp(vכלומר ). exp(−(x + y)) = exp(−x) exp(−y
זאת אומרת
1
1
)exp(x) exp(y
=
1
)exp(x+y
,ומכאן ). exp(x + y) = exp(x) exp(y
מקרה ד' xy > 0 :ו־ ) x + y 6 0כלומר x < 0ו־ : ( y < 0
1
מסקנה :
)exp(x
= ). exp(−x
נסמן u = −x :ו־ . v = −y
) הוכחה :נציב y = −xבמשפט הקודם(.
103
בעזרת אינדוקציה קלה על m ∈ Nמכלילים את המשפט הקודם ומוכיחים שלכל x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rמתקיים :
m
m
X
Y
exp
= ) xk = exp(x1 + x2 + . . . + xm ) = exp(x1 ) · exp(x2 ) · . . . · exp(xm
) exp(xj
) (∇m
j=1
j=1
1
טענה :יהי . 0 < h < 1אזי
1−h
הוכחה :
כבר ראינו ש־ ) 1 + x 6 exp(xעבור כל xממשי .לכן נותר להראות את אי־השוויון הימני.
1
. (∗) 1 − h 6
מתקיים ) , 1 − h 6 exp(−hכלומר
)exp(h
1
, exp(h) 6כנדרש.
כעת ) 0 < exp(hו־ ) 0 < 1 − hכי נתון ש־ , ( 0 < h < 1ולכן )∗( שקול ל־
1−h
. 1 + h 6 exp(h) 6
טענה :הפונקציה ) exp(xגזירה מימין ב־ . x0 = 0
הוכחה :
exp(h) − 1
h
1
16
, h 6 exp(h) − 1 6כלומר 6
, 1 + h 6 exp(h) 6ז“א
יהי . 0 < h < 1לפי הטענה הקודמת
h
1−h
1−h
1
.
1−h
exp(h) − 1
0
ממשפט הכריך נובע כעת ש־ = 1
, lim+כלומר . exp+ (0) = 1
h
h→0
מסקנה :הפונקציה ) exp(xרציפה מימין ב־ . x0 = 0
טענה :הפונקציה ) exp(xגזירה משמאל ב־ . x0 = 0
הוכחה :
1
)1 − exp(h
exp(−h) − 1
)1 − exp(−h
1 exp(h) − 1
=
=
=
יהי . 0 < h < 1מתקיים
−h
h
h
)exp(h
h
, lim+ exp(h)−1נקבל כלומר 6 1 + h
מהטענה הקודמת נובע ש־ lim+ exp(h) = 1ו־ = 1
h
h→0
h→0
exp(h)−1
h
.16
exp(−h) − 1
1 exp(h) − 1
, limכלומר . exp− (0) = 1
=
לכן נובע מאריתמטיקה של גבולות ש־ = 1
−h
)exp(h
h
h→0+
0
0
). (exp) (x) = exp(x
טענה :הפונקציה expגזירה ב־ Rולכל xממשי מתקיים :
הוכחה :
0
. (exp) (0) = lim exp(h)−1
השילוב של שתי הטענות האחרונות אומר ש־ ) exp(xגזירה ב־ x0 = 0וש־ )= 1 = exp(0
h
h→0
) exp(x0 ) exp(h) − exp(x0
exp(h) − 1
) exp(x0 + h) − exp(x0
=
) = exp(x0
יהי . x0 ∈ Rלכל h 6= 0מתקיים :
h
h
h
לכן נובע מאריתמטיקה של גבולות ש־
) exp(x0 + h) − exp(x0
exp(h) − 1
exp(h) − 1
) = lim exp(x0
= exp(x0 ) lim
) = exp(x0 ) 1 = exp(x0
, lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
.
0
כלומר ) . (exp) (x0 ) = exp(x0
מסקנה :הפונקציה expרציפה ומונוטונית עולה ממש ב־ . R
הוכחה :
הפונקציה expגזירה ב־ Rולכן לבטח רציפה ב־ . R
מ־ ) 1 + x 6 exp(xנובע ש־ ) 1 6 exp(xעבור כל . 0 6 x
כעת נובע מ־
1
)exp(x
= ) exp(−xש־ 0 < exp(x) 6 1עבור כל . x 6 0
0
לכן ) 0 < exp(xעבור כל xממשי .מ־ (exp) (x) = exp(x) > 0נובע ש־ expמונוטונית עולה ממש ב־ . R
טענה :עבור כל xרציונלי מתקיים :
exp(x) = ex
)♦( .
104
הוכחה
זה נכון עבור מ־ , x = 0כי
יהי mמספר טבעי .נציב
כעת נובע מ־
1
)exp(x
. exp(0) = 1 = e0
ב־ ) (∇mונקבל = em
x1 = x2 = . . . = xm = 1
= e−m
= ) exp(−xש־
1
em
=
1
)exp(m
m
)). exp(m) = (exp(1
= ). exp(−m
בכך הוכחנו ש־ )♦( מתקיים עבור כל xשלם.
נציב
1
m
= x1 = x2 = . . . = xmב־ ) (∇mונקבל
m
1
, exp(1) = exp( mכלומר
)
m
1
) =e
. exp( m
1
y = exp( mהוא פתרון חיובי של המשוואה . y m = e
מכאן נובע ש־ )
אבל הוכחנו שלמשוואה הזו יש פתרון חיובי יחיד ,אותו סימנו
יהיו mו־ nמספרים טבעיים .נציב
לבסוף נציב
הגדרה :
m
n
=x
ב־
)ex := exp(x
1
)exp(x
1
n
1
e = em
√
m
1
1
exp( m
= . yלכן ) = e m
עבור כל mטבעי.
= x1 = x2 = . . . , = xmב־ ) (∇mונקבל
m
m
√ m
m
1
exp
) (= exp
= n e = en
n
n
= ) exp(−xונקבל :
m
= e− n
−1
m
= en
−1
m
. exp(− m
) n ) = exp( n
עבור כל xממשי.
הערה :שימו לב שזו הפעם הראשונה שאנו מגדירים חזקה עם מעריך שיכול להיות לא רציונלי !
טענה lim exp(x) = ∞ :ו־ . lim exp(x) = 0
∞→x
∞x→−
הוכחה :
הפונקציה expמונוטונית עולה ממש ב־ . R
היות ו־ exp(n) = en > 2nעבור כל nטבעי ,הפונקציה expאיננה חסומה מלעיל ,ולכן ∞ = ). lim exp(x
∞→x
מ־
1
)exp(x
= ) exp(−xומאריתמטיקה של גבולות במובן הרחב נובע כעת ש־ . lim exp(x) = 0
∞x→−
מסקנה :הפונקציה )∞ exp : R → (0,היא חד־חד ערכית ו־`על` ,ולכן הפיכה .
הגדרה :הפונקציה exp−1 : (0, ∞) → Rנקראת פונקצית הלוגריתם הטבעי ,ומסמנים :
) exp−1 (y) = ln(yלכל . y > 0
טענה
א ln .מונוטונית עולה ממש ב־ )∞ (0,ומקיימת ∞ = ) lim ln (yו־ ∞. lim+ ln (y) = −
∞→y
ב ln .גזירה ברציפות ב־ )∞ ,(0,ומתקיים
1
y0
y→0
= ) ln0 (y0לכל . y0 > 0
ג .לכל )∞ y1 , y2 ∈ (0,מתקיים . ln (y1 · y2 ) = ln (y1 ) + ln (y2 ) :
הוכחה :
א .כפונקציה הפוכה של פונקציה מונוטונית עולה ממש ln ,מונוטונית עולה ממש ב־ )∞ . (0,
הגבולות בקצוות התחום נובעים מ־ . Im(ln) = R
ב .נסמן ) f (x) = exp(xו־ ). f −1 (y) = ln(y
fגזירה ב־ Rו־ f 0 (x) = exp(x) 6= 0לכל xממשי ,ולכן כל התנאים של המשפט על הנגזרת של הפונקציה ההפוכה מתקיימים.
1
1
1
1
)∞ . ∀y ∈ (0,
(f −1 )0 (y) = 0
= 0 −1
=
לכן =
)f (x
))f (f (y
))exp(ln(y
y
ג .לכל )∞ y1 , y2 ∈ (0,קיימים x1 , x2 ∈ Rכך ש־ ) y1 = exp(x1ו־ ) . y2 = exp(x2
מכאן נקבל . ln (y1 · y2 ) = ln (exp(x1 ) · exp(x2 )) = ln (exp(x1 + x2 )) = x1 + x2 = ln (y1 ) + ln (y2 ) :
105
הגדרה :יהי . 0 < a ∈ Rעבור כל xממשי נגדיר . ax = exp(x · ln(a)) = ex·ln(a) :
הערות ) :א( עבור , a = eההגדרה הזו מתלכדת כמובן עם הקודמת כי אז . ln(a) = ln(e) = 1
)ב( בתרגיל תוכיחו ש־ )· ln(a
ז`א שעבור ∈ Q
m
n
m
n
m
m
m
m
= ) , ln(a nולכן . e n ·ln(a) = eln(a n ) = a n
= , xההגדרה הזו של
m
n
aמתלכדת עם ההגדרה המקורית
m
√
n
)= ( a
m
n
.a
טענה
יהי . 0 < a ∈ Rאזי מתקיים :
0 < axעבור כל xממשי .
)א(
1
)ב(
.a =a
)ג(
ax1 +x2 = ax1 · ax2
x y
x·y
(a ) = a
)ד(
עבור כל . x1 , x2 ∈ R
עבור כל . x, y ∈ R
הוכחה
, ax = exp(x · ln(a)) > 0כי )∞ (exp) = (0,
)א(
עבור כל xממשי מתקיים :
)ב(
, a = exp(1 · ln(a)) = exp(ln(a)) = aכי expו־ lnפונקציות הפוכות זו לזו.
)ג(
עבור כל x1 , x2 ∈ Rמתקיים :
Im
.
1
ax1 +x2 = exp ((x1 + x2 ) · ln(a)) = exp (x1 · ln(a) + x2 · ln(a)) = exp (x1 · ln(a)) · exp (x2 · ln(a)) = ax1 · ax2
)ד(
y
נעיר תחילה שעבור כל x, y ∈ Rהביטוי ) (axמוגדר כי ) 0 < axסעיף א' ( .כעת מתקיים :
y
(ax ) = exp(y · ln(ax )) = exp(y · ln(exp(x · ln(a)))) = exp(y · (x · ln(a))) = exp((x · y) · ln(a)) = ax·y
כנדרש.
טענה
יהי , 0 < a ∈ Rותהי )∞ f : R → (0,הפונקציה המוגדרת על ידי . f (x) = ax
0
)א(
fגזירה ב־ Rומתקיים f (x) = ax · ln(a) :עבור כל xממשי .
)ב(
אם 1 < aאז fהיא פונקציה חד־חד ערכית ו־`על` ,ומונוטוניות עולה ממש ב־ . R
)ג(
אם 0 < a < 1אז fהיא פונקציה חד־חד ערכית ו־`על` ,ומונוטוניות יורדת ממש ב־ . R
הוכחה :תרגיל.
הגדרה
יהי . 0 < a 6= 1
הפונקציה ההפוכה : (0, ∞) → R
−1
x
fשל הפונקציה )∞ f : R → (0,המוגדרת על ידי f (x) = aנקראת פונקצית הלוגריתם
בבסיס , aומסומנת . loga
במילים אחרות :עבור x ∈ R , 0 < a 6= 1ו־ 0 < y ∈ R
). y = ax ⇔ x = loga (y
מתקיים :
טענה
עבור כל 0 < a 6= 1וכל 0 < y ∈ Rמתקיים :
)ln(y
= )loga (y
)ln(a
.
הוכחה :
)ln(y
)ln(a
= x = loga (y) ⇔ y = ax ⇔ y = ex·ln(a) = exp (x · ln(a)) ⇔ x · ln(a) = ln(y) ⇔ x
106
