‫נכתב ע"י ענבר‬
‫השליף הגדול ללינארית ‪2‬‬
‫הקדמה קצרה‪:‬‬
‫לרוב ‪ 6/8‬שאלות במבחן בנויות בתבנית החוזרת על עצמה במשך שנים‪ .‬לשאלות אלו יש אלגוריתם קבוע וידוע‬
‫מראש לפתרון או מספר כיווני מחשבה שאפשר ללכת בהם ואחד מהם יפתור את השאלה‪.‬‬
‫בקובץ זה אפרט את הדרכים לפתרון שאלות אלו‪.‬‬
‫ממליץ לפתור מבחנים ולהיעזר בשליף כשנדרש‪.‬‬
‫בשביל לפתור את שתי השאלות הנוספות צריך לשלוט טוב בחומר (בעיקר בספר הראשון) ולהתפלל לה'‪ ,‬אללה‪,‬‬
‫בודהה או כל ישות עליונה אחרת‪.‬‬
‫יאללה בהצלחה לכולנו‪.‬‬
‫דיסקליימר‪ :‬אינני גאון מתמטי‪ ,‬ייתכנו טעויות‪ .‬אם נתקלתם בכזו אנא שלחו לי הודעה ואתקן‪( .‬כנל אם רוצים‬
‫לתרום למאמץ המלחמתי ולהוסיף דרכים לפתרון)‬
‫(אם אתה קורא את זה אחרי סמסטר ‪2022‬ג' עזובת'י בשקט סיימתי את הקורס)‬
‫‪ .1‬הוכח שקיימת מכפלה פנימית כך שהקבוצה (נתון כלשהו) ‪ B‬הוא אורתונורמלי‪:‬‬
‫א‪ .‬נראה שהקבוצה שנתונה היא בסיס‬
‫ב‪ .‬נגדיר מ"פ כמכפלה סטנדרטית של וקטורי קואורדינטות של הקבוצה ‪ B‬לפי הבסיס ‪. B‬‬
‫ג‪ .‬נראה שמתקיים אורתונורמלי ותכונות המ"פ‪ ).‬שאלה ‪ 1.2.2‬מראה שתכונות מ"פ מתקיימות לכל מ"פ‬
‫סטנדרטית על קואורדינאטות של בסיס)‬
‫ד‪Profit! .‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי המטריצות‪/‬טרנספורמציות‪/‬תבניות חופפות‪:‬‬
‫א‪ .‬אם לשתי מטריצות סימטריות ממשיות להן את אותה הסימנית (בצורה האלכסונית) והדרגה אז הן‬
‫חופפות (משפט ‪)6.2.1‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f‬תבנית במרחב סופי ו‪ B,A-‬מטריצות מייצגות לפי בסיסים שונים אז הן חופפות‪( .‬משפט ‪)4.5.4‬‬
‫ג‪ A .‬ו‪ B-‬מטריצות חופפות אמ"מ אפשר לקבל את ‪ B‬מ‪ A-‬ע"י חפיפות אלמנטריות (משפט ‪)5.3.4‬‬
‫‪ .3‬הוכח כי המטריצות‪/‬טרנספורמציות‪/‬תבניות אינן חופפות‪:‬‬
‫א‪ .‬אפשר לפי השיטות של אמ"מ שבסעיף מעל (הכי קל סימנית ודרגה)‬
‫ב‪ .‬מטריצה חופפת למטריצה סימטרית היא סימטרית (טענה ‪)5.1.1‬‬
‫‪ .4‬הוכח כי תבנית ‪ f‬מהווה מכפלה פנימית ‪:‬‬
‫א‪ .‬הראה שכל התכונות של מ"פ מתקיימות (הרבה עבודה)‬
‫ב‪ .‬נפרק למספר שלבים‪:‬‬
‫‪ )1‬נראה ש‪ f-‬תבנית בילינארית (אם לא נתון) ע"י הצגה כ – ‪( f(x,y) = x^tAx‬משפט ‪( )4.1.6‬ונציג את‬
‫‪ f‬כמטריצה כפי שמוסבר בדוגמא בעמ' ‪)31‬‬
‫‪ )2‬נשים לב ש‪ A-‬סימטרית ולכן גם תבנית ‪ f‬סימטרית (למה ‪)4.2.2‬‬
‫‪ )3‬נגיע לצורה אלכסונית ונראה ש‪ A-‬חיובית לחלוטין (טענה ‪)6.3.2‬‬
‫‪ )4‬מתכונות התבנית הבילנארית בנוסף לסימטריות והחיוביות מתקיימות כל תכונות המ"פ‬
‫הפנימית ולכן זוהי מ"פ‪( .‬הגדרה ‪)1.2.1‬‬
‫*אופציה נוספת היא להשתמש בשאלה ‪ 4.2.6‬ובשאלה ‪ , 2.2.10‬להראות שהתבנית סימטרית חיובית לחלוטין‬
‫ואז לנמק באמצעות השאלות הללו שהיא מ"פ‪.‬‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫‪ .5‬האם ניתן ללכסן את שתי התבניות הריבועיות באותו הבסיס?‬
‫א‪ .‬אם אחת מהתבניות חיובית לחלוטין (או שלילית לחלוטין) אז ניתן לבצע לכסון סימוליטני (משפט‬
‫‪ ,)6.5.1‬יעני קיים בסיס משותף לפיו לשתי התבניות‪/‬מטריצות יש צורה אלכסונית‪(.‬יש להוכיח שלילית‬
‫לחלוטין או לציין שזה עובד אנלוגית באותה הצורה רק צריך לכפול ב‪)1- :‬‬
‫ב‪ .‬הדגשה ‪ :‬ההפך איננו נכון‪ ,‬אי אפשר להפריך באמצעות הטענה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכחה ששתי התבניות לא ניתנות ללכסון סימוליטני‪:‬‬
‫נניח בשלילה ש‪ Α‬ו‪ Β‬ניתנות ללכסון סימולטני‪ ,‬אז קיימת מטריצה הפיכה ‪ M‬כך ש‬
‫)‪Μ^tΑM=D1=diag(λ1,...,λn‬‬
‫)‪M^tBM=D2=diag(δ1,...,δn‬‬
‫נסתכל על הפולינום הבא‪:‬‬
‫|‪|M^t(Α-xB)M‬‬
‫מצד אחד‬
‫|‪= |M^t(Α-xB)M‬‬
‫|‪= |M^tΑM-xM^tBM‬‬
‫|‪= |D1-xD2‬‬
‫|)‪=|diag(λ1-xδ1,...,δn-xδn‬‬
‫)‪(λ1-xδ)...(δn-xδn‬‬
‫וזה פולינום פריק!‬
‫מצד שני‬
‫|‪= |M^t(Α-xB)M‬‬
‫|‪= |M^t|Α-xB|M‬‬
‫‪= |Α-xB|M||^2‬‬
‫כשהמטריצות לא ניתנות לליכסון סימולטני בדרך כלל בפולניום |‪ |Α-xB‬יהיה גורם לא פריק ונגיע‬
‫לסתירה‪.‬‬
‫‪ .6‬מצא את המטריצה אשר מבצעת לכסון סימוליטני לשתי תבניות‪:‬‬
‫שאלה שלא חוזרת על עצמה הרבה‪.‬‬
‫יהי ‪ A‬חיובית לחלוטין ו‪ B-‬סימטרית‪.‬‬
‫‪p^t! not inverse‬‬
‫א) נחפוף את מטריצה ‪ A‬ל‪ I-‬ונמצא את ‪ P‬עבורה ‪ P-1( P-1AP = I‬יעני ההופכית)‬
‫ב) נסמן מטריצה ‪ S=P^tBP‬ונלכסן את ‪ S‬אוניטרית‪.‬‬
‫ג) נמצא ע"ע ‪ ,‬מ"ע וו"ע‬
‫ד) ננרמל את הוקטורים (ו"ע של ע"ע שונים כבר אורתוגונלים(לינ' ‪()1‬‬
‫ה) נאחד לכדי בסיס אורתונורמלי ונסמן מטריצה שעמודותיה וקטורי הבסיס ‪( Q‬זוהי המטריצה‬
‫אשר מלכסנת אוניטרית את ‪.)S‬‬
‫ו) ‪ M ,M=PQ‬הינה המלכסנת סימוליטנית את ‪ A‬ואת ‪.B‬‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫‪ .7‬תבנית לינארית ‪ , Q‬אמתו כי מתקיים‬
‫(משהו דומה לזה)‪:‬‬
‫מחליפים את המספרים כמובן בכל שאלה‪ ,‬במילים של בני אנוש צריך להראות ש‪ 3-‬ע"ע מינימלי ו‪ 5-‬ע"ע‬
‫מקסימלי‪ .‬תמיד התבנית בשאלות האלה תהיה סימטרית ממשית‪.‬‬
‫א‪ .‬נמצא ע"ע של ‪ q‬כמובן‬
‫ב‪ .‬התבנית סימטרית ממשית ולכן לכסינה אורתוגונלית (משפט ‪)3.2.1‬‬
‫ולכן קיים בסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ו"ע השייכים לע"ע שמצאנו‪.‬‬
‫ג‪ .‬יהי וקטור ‪ x‬אשר ונציג אותו כצ"ל של איברי הבסיס ‪.B‬‬
‫‪.a‬‬
‫‪.b‬‬
‫‪.c‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪.f‬‬
‫‪.g‬‬
‫משפט ‪4.1.5‬‬
‫תכונות מ"פ (שאלה ‪1.2.4‬ד' ‪ +‬מסקנה ‪)4.1.6‬‬
‫הצגה כצ"ל‬
‫ו"ע של ע"ע בבסיס‬
‫שאלה ‪1.2.4‬‬
‫צמצומים של בסיס אורתונורמלי‬
‫משפט ‪1.5.7‬‬
‫‪ .8‬מצא ‪ x‬תת מרחבים ‪-T‬שמורים לא טריוויאלים‪:‬‬
‫צריך למצוא ו"ע של ע"ע ‪ ,‬כל מרחב עצמי הנפרש ע"י הו"ע הוא בעצם ‪-T‬שמור‪( .‬דוגמה ‪)8.4.3‬‬
‫צריך עוד? ככ"ה ימצא מרחב עצמי הנפרש ע"י יותר מווקטור אחד‪ .‬מרחבים הנפרשים ע"י וקטורים מהבסיס‬
‫שלו בנפרד גם יהוו תת מרחבים ‪-T‬שמורים! (שאלה ‪(8.4.1‬‬
‫אפשר גם להשתמש בפירוק הפרימרי‪.‬‬
‫‪ .9‬מצא תת מרחב מקסימלי כך ש‪ Q-‬תבנית חיובית‪/‬שלילית לחלוטין על ‪ – V‬סופי‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא צורה אלכסונית ואת הבסיס בו מתקבלת צורה זו‪( .‬בחפיפות אלמנטריות נבצע רק את פעולות‬
‫השורה על מטריצת היחידה‪ ,‬נקבל בסוף את ‪ ,M^t‬וקטורי העמודות של ‪)M‬‬
‫ב‪ .‬המרחב בו נבחר כמקסימלי הוא המרחב הנפרש ע"י הוקטורי העמודות בהן הערכים הם‬
‫חיוביים‪/‬שליליים (מה שאת‪/‬ה צריך להוכיח)‪the vectors on row of matrix m^-1 that in the D matrix near it .‬‬
‫‪value is negative/positive‬‬
‫ג‪ .‬נקח וקטור ‪ v‬ששיך למרחב ושונה מאפס (נגיד במרחב חיובי לחלוטין) ‪ ,‬ולכן ‪. q(v) >0‬‬
‫נקח וקטור ‪ w‬ששייך למרחב הנפרש ע"י הוקטורים ב‪ M-‬שאנחנו לא בחרנו לבסיס‪ .‬קל להראות ש –‬
‫‪ . q(w)<=0‬ואז אנחנו נשחק על משפט המימד ונניח בשלילה כי יש מימד גדול יותר המקיים את‬
‫הדרוש ונראה כי אם כן אז יש וקטור בחיתוך המקיים ‪ q(x)<=0‬וגם ‪ q(x)>0‬יעני סתירה וסיימנו‪.‬‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫‪ .10‬מציאת פולינום מינימלי ‪:‬‬
‫יש מספר תכונות לפ"מ וצריך להשתמש בהן כדי למצוא אותו‪ ,‬בכל שאלה בצורה מעט שונה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם יש פולינום שהטרנספורמציה מאפסת אז הפ"מ מחלק אותו‪(.‬משפט ‪)9.8.3‬‬
‫(שימו לב פולינום המתאפס ע"י טרנס' לא אומר שזהו הפ"א!)‬
‫ב‪ .‬הטרנס'‪/‬מטריצה לכסינה אמ"מ הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים (משפט ‪)10.2.11‬‬
‫ג‪ .‬הפ"מ מכיל את כל הע"ע של הטרנס' (טענה ‪)9.8.5‬‬
‫ד‪ .‬המטריצה‪/‬טרנס' אינה מאפסת אף פולינום קטן מהפ"מ‪ ,‬כלומר אפשר לחשב אם נדרש מהחזקה‬
‫הנמוכה ולבדוק מתי הפולינום מתאפס ע"מ למצוא את הפ"מ‪( .‬הגדרה ‪)9.6.3‬‬
‫‪ .11‬מציאת צורת ז'ורדן ‪:‬‬
‫(אם לא נתונה מטריצה לרוב תינתן משוואה שהטרנספורמציה‪/‬מטריצה מאפסות אותה וממנה יש לבנות‬
‫את הפ"מ)‬
‫ראשית כל מצא את הפ"א‪/‬פ"מ של המטריצה‪ .‬לאחר מכן ישנן מספר אפשרויות‪.‬‬
‫א‪ .‬הדרך הפשוטה ביותר שלרוב איננה מספיקה ביא באמצעות שאלה ‪ 11.10.4‬שאומרת כך‪:‬‬
‫‪ )1‬מספר הבלוקים המתאימים לע"ע הוא הר"ג שלו‪.‬‬
‫‪ )2‬מספר הפעמים שערך מופיע באלכסון בצורת ז'ורדן הוא הריבוי האלגברי שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא פולינום מינימלי‪:‬‬
‫‪ )1‬גודל הבלוק הכי גדול של ע"ע הוא הוא הריבוי האלגברי שלו בפ"מ‪.‬‬
‫‪ )2‬וכמובן להשתמש בנתונים מהסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם הפ"א מהצורה ‪: P(x) = (x-b)^k‬‬
‫‪ )1‬ניתן לומר ש המטריצה (‪ )A - Ib‬ניפולטנטית מכיוון שלפי קיילי המילטון ‪ A‬מאפס אותה‪.‬‬
‫‪ )2‬נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות (לרוב נצמצם אפשרויות באמצעות נתונים מהשאלה ואז ידרש‬
‫מעט חישוב) וגודל הבלוק הגדול ביותר יהיה אינדקס זה‪( .‬טענה ‪)11.8.1‬‬
‫‪ )3‬לפי מה שקל יותר נמצא את מספר בלוקי הז'ורדן בצורה הסופית‪.‬‬
‫‪ .a‬או )‪ n-p(A‬או הר"ג של הע"ע ‪( 0‬לפי טענה ‪)11.8.1‬‬
‫‪ )4‬ניתן לומר כעת ש‪ )A - Ib(-‬דומה למטריצת ז'ורדן שמצאנו‬
‫‪ )5‬ומצאנו את צורת הז'ורדן של ‪( .A‬כי ‪ A‬דומה לה ויש צורת ז'ורדן יחידה לכל מטריצה)‪.‬‬
‫‪ .12‬העלאת צורת ז'ורדן בחזקה‪:‬‬
‫כבר לא מופיע מפורשות בספרים אבל ניתן להשתמש בשאלה ‪ ,11.3.4‬הנוסחא המדויקת עוברת בתושב"ע‬
‫ע"י מיכאל לוינוב‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫‪ .13‬מצא את המטריצה המז'רדנת ‪: P‬‬
‫‪ .14‬מצאו את הפירוק הפרימרי של ‪( A -‬משפט ‪:)10.2.7‬‬
‫א‪ .‬נמצא פ"א‬
‫ב‪ .‬נמצ"א פ"מ‬
‫ג‪ .‬נמצא בסיס ל‪ Ker((A-aI)^k)-‬כאשר ‪ a‬ע"ע ו‪ k-‬החזקה שלו בפ"מ‪.‬‬
‫ד‪ .‬חיבור המרחבים הנפרשים ע"י הבסיסים שמצאנו בסעיף הקודם הינו הפירוק הפרימרי‪.‬‬
‫אם אנו נדרשים למצוא מטריצת בלוקים אלכסונית הדומה ל‪:A-‬‬
‫צריך לקחת את הוקטורים בפירוק בפרימרי (כל מרחב בנפרד יייצג בלוק במטריצה)‪ ,‬לבצע עליו את הטרנס'‬
‫ואז למצוא את הקורדינאטות לפי הבסיס המאוחד של הווקטורים העצמיים בפירוק‪ .‬וקטורי הקואורדינאטות‬
‫יהיו העמודות במטריצת בלוקים האלכסונית‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫‪ .15‬מצאו את הפירוק הספקטראלי (משפט ‪:)3.4.2‬‬
‫*קרדיט‪ :‬העתק הדבק מהסיכום של תומר כספי המלך*‬
‫‪ – A‬המטריצה הנתונה‬
‫למבדה – ע"ע‬
‫‪ – P‬הפירוק עצמו שצריך למצוא‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫פרק אסוציאציות‬
‫כאשר נותנים לכם נתון כלשהו אלו האסוציוציות שצריכות ישר לקפוץ לראש‪ .‬תכלס אלו משפטים המפוזרים‬
‫ברחבי הספר‪.‬‬
‫צמודה לעצמה ‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כל הע"ע ממשיים – אמ"מ (משפט ‪)3.3.1‬‬
‫המטריצה שמייצגת את הטרנס' לפי בסיס אורתונורמלי צמודה לעצמה (טענה ‪)2.2.3‬‬
‫כל מטריצה סקלרית ממשית צמודה לעצמה (שאלה ‪)2.2.2‬‬
‫ההעתקה שמייצגת הטלה אורתוגונלית צמודה לעצמה (דוגמא ‪ 3‬עמ' ‪)146‬‬
‫סכום העתקות צמודות הינו העתקה צמודה לעצמה (שאלה ‪)2.2.3‬‬
‫ההעתקות מתחלפות צמודות לעצמן (שאלה ‪)2.2.3‬‬
‫הפ"א של מטריצה צמודה לעצמה מתפרק לגורמים לינארים (טענה ‪)2.4.2‬‬
‫מטריצה חיובית‪/‬שלילית לחלוטין צמודה לעצמה (כל הע"ע חיוביים‪/‬שליליים)‬
‫אוניטרית ‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪( T*T =TT*=I‬משפט ‪)2.4.1‬‬
‫אוניטרית ‪>-‬נורמלית‪>-‬לכסינה אוניטרית‪>-‬קיים בסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ו"ע השייכים לע"ע‬
‫(משפט ‪)3.2.1‬‬
‫כל הע"ע בערך מוחלט שווים ל‪( .1-‬טענה ‪)2.4.3‬‬
‫שומרת על מ"פ דהיינו )‪( (T(v),T(u))=(v,u‬משפט ‪)2.3.2‬‬
‫המטריצה המבצעת לכסון אוניטרי היא מטריצה אוניטרית‬
‫נורמלית‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ע"ע של ‪ T‬הוא ע"ע צמוד של ‪( *T‬למה ‪)3.2.5‬‬
‫נורמלית‪>-‬לכסינה אוניטרית‪>-‬קיים בסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ו"ע השייכים לע"ע (משפט ‪)3.2.1‬‬
‫המרחבים העצמיים הנפרשים ע"י הו"ע של ע"ע שונים אורתוגונלים זה לזה (משפט ‪)3.2.6‬‬
‫נילפוטנטית‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ 0‬ע"ע יחיד‬
‫פ"א מהצורה ‪ p(x)=x^n‬כאשר ‪ n‬סדר המטריצה‬
‫פ"מ מהצורה ‪ p(x)=x^k‬כאשר ‪ k‬אינדקס נילפוטנטיות‬
‫‪ A‬ניל' דומה ל‪( A^t-‬שאלה ‪( + )11.8.10‬כל מטריצה עם ע"ע יחיד דומה ל‪A^t-‬ש שלה(שאלה ‪)11.9.5‬‬
‫אם ‪ B,A‬ניל' מתחלפות אז גם ‪ AB‬ניל' וגם (‪ )B+A‬ניל' (צריך להוכיח‪ ,‬הראשון פשוט והשני להיעזר‬
‫בטענה ‪)11.3.5‬‬
‫נכתב ע"י ענבר‬
‫לינארית ‪ – 2‬בדיחות אבא‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫איך קוראים לאבא של יוני? וקטור ולבת שלו? טל‬
‫איך יוני ניצח את אריק זאבי בקרב ג'ודו? הטלה אורתוגונלית‬
‫איך אשתו של יוני אופה עוגה? בתבנית ריבועית‬
‫למה הכשילו את הסטונד בקורס? העתקה‬
‫ממי הוא העתיק? מהצמודה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כמה יוני מעשן ביום? שני גרם‪-‬שמידט‬
‫•‬
‫איך קוראים לעובדים בסופר שחותכים פסטרמה?קבוצה פורסת‬
‫•‬
‫‪ T‬שמור‬