VARIABLE ALEATORIA
1.
DATOS Y AZAR
1
Variable aleatoria
Variable aleatoria es toda función que asigna un número real a cada uno de los
resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza con las letras mayúsculas: X, Y, Z,
W,..., etc.
El conjunto de todos los valores que toma la variable aleatoria se llama recorrido.
1.1
Variables aleatorias discretas
Son aquellas que tienen como recorrido un número finito de valores o una cantidad
infinita numerable de valores.
Ejemplo:
En el lanzamiento de dos monedas, se define la variable aleatoria X:“El número de
caras”
X
SS
SC
CS
CC
0
1
2
Rec X = {0, 1, 2}
1.2
Variables aleatorias Continuas
Son aquellas que pueden tomar cualquier valor numérico real en un intervalo o conjunto
de intervalos.
Ejemplo:
X: “Estatura de los alumnos del Preuniversitario Pedro de
Valdivia”
2
DATOS Y AZAR
VARIABLE ALEATORIA
Ejercicios
1.
Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones.
a. ___ El número de caras en el lanzamiento de cuatro monedas es una
variable aleatoria discreta.
b. ___ El tiempo de caída de una piedra desde la azotea de un edificio es
una variable aleatoria continua.
c. ___ El número de pintas rojas al sacar una carta de un naipe inglés es
una variable aleatoria discreta.
d. ___ El peso de los bebés recién nacidos es una variable aleatoria
continua.
e. ___ Las horas de duración de una batería es una variable aleatoria
continua.
f. ___ El número de puntos que se obtienen al lanzar tres dados es una
variable aleatoria continua.
g. ___ Obtener tres puntos al lanzar un dado es una variable aleatoria.
h. ___ El lanzamiento de una moneda es una variable aleatoria.
2.
Para el experimento de lanzar tres monedas, determine las siguientes
variables aleatorias:
X: “El número de caras que se obtienen”.
Y: “El número de sellos que se obtienen”.
Resultados del experimento
(c, c, c)
(c, c, s); (c, s, c); (s, c, c)
(s, s, c); (s, c, s); (c, s, s)
(s, s, s)
Valores de X
Valores de Y
VARIABLE ALEATORIA
3.
DATOS Y AZAR
3
La tabla adjunta representa los resultados obtenidos en el experimento
aleatorio del lanzamiento de dos dados.
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Se definen las siguientes variables aleatorias.
X: Suma de los puntos obtenidos.
Y: Diferencia no negativa de los puntos obtenidos.
Z: Producto de los puntos obtenidos.
a. ¿Cuál es el dominio de las funciones X, Y, Z?
b. ¿Cuál es el recorrido de X?
c.
¿Cuál es el recorrido de Y?
d. ¿Cuál es el recorrido de Z?
Respuestas
3. a.
(6, 2)
(6, 1)
(5, 2)
(5, 1)
(4, 2)
(4, 1)
(3, 2)
(3, 1)
(2, 2)
(2, 1)
{(1, 1)
(1, 2)
(6, 3)
(5, 3)
(4, 3)
(3, 3)
(2, 3)
(1, 3)
(6, 4)
(5, 4)
(4, 4)
(3, 4)
(2, 4)
(1, 4)
(6, 5)
(5, 5)
(4, 5)
(3, 5)
(2, 5)
(1, 5)
1. a. V; b. F; c. V; d. V; e. V; f. F; g. F; h. F
(6, 6)}
(5, 6)
(4, 6)
(3, 6)
20, 24, 25, 30, 36}
d. Z: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18,
c. Y: {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(2, 6)
(1, 6)
b. X: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. X: {0, 1, 2, 3}; Y: {0, 1, 2, 3}
4
DATOS Y AZAR
2.
VARIABLE ALEATORIA
Función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta
Es una función que asocia a cada valor xi de una variable aleatoria discreta “X” la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi: P(X = xi), es decir
f(xi) = P(X = xi).
Se denota como
f(x) = P(X = x)
Propiedades
1.
0 ≤ f(xi) ≤ 1.
2.
Si {x1, x2,···, xn} es el recorrido de la variable aleatoria X, entonces:
f(x1) + f(x2) + ··· + f(xn) = 1.
3.
Si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria, entonces: P(X = a) = 0.
4.
El recorrido de la variable aleatoria discreta es el dominio de la función de
probabilidad.
Observaciones:

El recorrido de la función de probabilidad está contenido en el intervalo
[0, 1].

f  xi   P  X  xi  
N° de resultados distintos en que se obtiene X = xi
Cantidad de elementos del espacio muestral
Ejercicios
1.
Se define la variable aleatoria X: “Número de caras que se obtiene al lanzar
3 veces una moneda normal”. Complete la siguiente tabla y determine el valor
de a + b + c + d.
Resultados del
experimento
Valores de X f(xi) = P(X = xi)
(s, s, s)
x1 =
f(x1 =
) = P(X = x1) = a
(s, s, c); (s, c, s); (c, s, s)
x2 =
f(x2 =
) = P(X = x2) = b
(s, c, c); (c, s, c); (c, c, s)
x3 =
f(x3 =
) = P(X = x3) = c
(c, c, c)
x4 =
f(x4 =
) = P(X = x4) = d
VARIABLE ALEATORIA
DATOS Y AZAR
5
Ejercicios
2.
El
gráfico
de
la
figura
adjunta
representa
la
función
de
probabilidad
correspondiente a la variable aleatoria X: “Número de caras que se obtiene al
lanzar 3 monedas normales”. Determine el valor de 3a – b.
f(x)
b
1/4
a
0
3.
0
1
2
3
x
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar dos veces un dado y se define la
variable aleatoria X como “El doble de la suma de los números que aparecen”,
entonces, conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones:
a. __ El recorrido de la variable aleatoria es:
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
b. __ El recorrido de la función de probabilidad está contenido en el
intervalo [4, 24].
c. __ P  X  14 
1
6
d. __ P  X  15  0
e. __ P  X  3 
1
18
6
DATOS Y AZAR
4.
VARIABLE ALEATORIA
Se tiene un dado cargado cuyos resultados y probabilidades de ocurrencia se
muestran en la tabla adjunta. Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes
afirmaciones:
X
1
2
3
4
5
6
P(X = x)
6a
3a
a
0,18
4a
0,12
a. __ La probabilidad de que la variable aleatoria X sea un número primo
es 0,7.
b. __ P(X > 6) = 0
c. __ P(X > 4) = 1 - P(X < 4)
d. __ La probabilidad de que la V. A. X sea un número compuesto es
3
.
5
e. __ P(X < 7) = 1
Si f  x  
5.
5kx  1
es la función de probabilidad de la variable aleatoria X, cuyo
5
recorrido es {0, 1, 2, 3}, entonces el valor de la constante k es
Respuestas
1. 1
2. 0
3. a. V; b. F; c. V; d. V; e. F
4. a. F; b. V; c. F; d. F; e. V
5.
1
30
VARIABLE ALEATORIA
3.
DATOS Y AZAR
Función de distribución acumulada de
una variable aleatoria discreta
Dada una variable aleatoria discreta X y su función de probabilidad f(x) = P(X = x), se
define la función de distribución acumulada como la función que asocia a cada valor x i la
probabilidad acumulada hasta xi, es decir:
F(xi) = P(X ≤ xi) = f(x1) + f(x2) + ∙∙∙ + f(xi).
Se denota como
F(x) = P(X ≤ x)
Propiedades
1.
0 ≤ F(xi) ≤ 1
2.
f(xi) = F(xi) – F(xi-1)
3.
Si a < b, entonces P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
4.
P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1 – F(a)
Ejercicios
1.
La tabla adjunta representa los valores de la función de distribución
acumulada para la variable aleatoria X definida como: “el número de caras
que se obtienen al lanzar tres veces una moneda común”. Determine los
valores de a, b, c y d.
X
F(x) = P(X ≤ x)
0
F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = a
1
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = b
2
F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = c
3
F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = d
7
8
DATOS Y AZAR
2.
VARIABLE ALEATORIA
El gráfico de la figura representa la función de distribución acumulada de la
variable aleatoria X definida como “el número de caras que se obtiene” al lanzar
tres monedas.
F(X)
1
7/8
4/8
1/8
0 1 2
3
Valores de la v.a. X
Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones:
a. __ f(2) = 7/8
b. __ P(X < 3) = P(X ≤ 2)
c. ___ P(X  1) = 3/8
d. __ f(2) = F(2) – F(1)
e. __ F(3) – F(1) = 5/8
f. ___ P(X > 2) = 1 – F(2)
g. __ P(1 < X ≤ 3) = F(3) – F(1)
h. __ F(4) = 1
VARIABLE ALEATORIA
3.
DATOS Y AZAR
9
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X está
dada por la siguiente tabla:
X
10
20
30
40
50
P(X  x)
0,05
0,30
0,42
0,75
1
Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones:
a. ___ F(30) = 0,77
b. ___ f(50) = 1
c. __ F(0,30) = 20
d. ___ F(40) = 0,75
e. ___ P(X = 20) = 0,25
f. ___ F(30) – F(10) = F(20)
g. ___ P(X > 20) = P(X  30)
h. ___ P(10 < X ≤ 40) = F(40) – F(10)
10
DATOS Y AZAR
4.
VARIABLE ALEATORIA
El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada
de una variable aleatoria discreta X. Si el recorrido de X es {a, e, i, o, u} y
P(X = e) = 0,1, conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes
proposiciones:
P(X ≤ t)
2m + 2q
m + 2q
m+q
q
m
a
e
i
o
u
t
a. __ P(X = a) = 0,2
b. __ P(X = o) = 0,8
c. __ P(X < a) = 0
d. __ P(X ≤ i) = 0,5
e. __ P(X = i) = P(X = a)
f. __ P(X = u) = 1
g. __ P(X < i) = P(X ≤ e)
h. __ P(X ≤ e) = 1 – P(X > e)
Respuestas
4. a. V; b. F; c. V; d. V; e. V; f. F; g. V; h. V
3. a. F; b. F; c. F; d. V; e. V; f. F; g. V; h. V
2. a. F; b. V; c. F; d. V; e. F; f. V; g. V; h. V
1. a. 0,125; b. 0,5; c. 0,875; d. 1
VARIABLE ALEATORIA
4.
DATOS Y AZAR
11
Esperanza matemática de una variable
aleatoria discreta
La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma de los
productos de cada valor de la variable por su respectiva probabilidad.
E(X) = x1∙p1 + x2∙p2 + ∙∙∙ + xn∙pn
xi: Valor de la variable aleatoria.
Pi: Probabilidad que la variable tome el valor xi.
n: Cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
Propiedades
Si a y b son constantes, entonces:
1.
E(a ∙ X) = a ∙ E(X)
2.
En el caso de que la variable aleatoria tome solo el valor de b, se tiene que:
E(b) = b.
3.
E(a ∙ X + b) = a ∙ E(X) + b
Observaciones

La esperanza representa un promedio ponderado al cual se
acerca la variable aleatoria X cuando el experimento aleatorio
se repite una gran cantidad de veces.

Si en un juego de azar se asocia la variable aleatoria X con la
ganancia obtenida, la esperanza de X representa la ganancia
promedio en cada jugada después de llevarse a cabo una gran
cantidad de ellas.

Si E(X) = 0 el juego es considerado equitativo o justo.

Si E(X) > 0 el juego se considera favorable.

Si E(X) < 0 el juego se considera injusto.

La esperanza también se denota por μ.
12
DATOS Y AZAR
VARIABLE ALEATORIA
Ejercicios
1.
Sea X una variable aleatoria tal que su función probabilidad está dada por la
siguiente tabla
X
P(X = x)
-2
0,2
-1
0,1
0
0,3
1
0,1
2
0,3
Entonces, el valor de la esperanza de X es
2.
Se tiene una urna con tres bolitas verdes y dos bolitas amarillas. El juego
consiste en sacar una bolita de la urna, si la bolita es amarilla el jugador gana
$ 1.000, si la bolita es verde debe pagar $ 800. ¿El juego es justo?
3.
La función de probabilidad de una variable aleatoria X está definida por:
0,3

0,2
P X  x  
0,5
0
si x  0
si x  1
si x  2
en cualquier otro caso
¿Cuál es el valor esperado de X?
4.
Sea E(X) la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta X, con a y
b constantes pertenecientes a los reales. Conteste verdadero (V) o falso (F) a
las siguientes proposiciones:
a. __ E(a ∙ X) = a ∙ E(X)
b. __ E(a ∙ X + b) = a ∙ E(X) + b
c. _ E  X   E  X 
d. __ Si la variable aleatoria toma solo el valor a, entonces E(a) = a
Respuestas
1. 0,2
2. No
3. 1,2
4. a. V; b. V; c. F; d. V.
VARIABLE ALEATORIA
5.
DATOS Y AZAR
13
Desviación estándar y varianza de una
variable aleatoria discreta
La varianza de una variable aleatoria discreta X es una medida de dispersión de sus
valores respecto de el valor esperado de la variable aleatoria (X – E(X))2, es decir:
V(X) = (x1 – E(X))2∙p1 + (x2 – E(X))2∙p2 + ∙∙∙ + (xn – E(X))2∙pn
La desviación estándar de una variable aleatoria X es:   x  
V x .
Observaciones:

La varianza también se puede calcular con la fórmula:
V(X) = E(X2) – (E(X))2

Mientras más pequeña es la desviación estándar, mayor es la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome aquellos
valores más cercanos a su esperanza.
Ejercicios
1.
En el experimento del lanzamiento de un dado cargado, el gráfico adjunto
muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X definida como “El
número que aparece en su cara superior”. ¿Cuál es la esperanza de X?
f(x)
0,3
0,2
0,1
X
0
1
2
3
4
5
6
14
DATOS Y AZAR
2.
VARIABLE ALEATORIA
En el lanzamiento de un dado cargado, se define la variable aleatoria X como “El
número que aparece en su cara superior”. La tabla adjunta muestra la función
de probabilidad de X.
X
P(X)
1
0,1
2
0,2
3
0,4
4
0,1
5
0,1
6
0,1
P(X) ∙ X
X2
X2∙P(X)
Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes igualdades:
a. __ E(X) = 3,2
b. __ V(X) = 1,96
c. __ σ(X) = 1,4
d. __ E(5 ∙ X) = 16
e. __ V(X + 6) = V(X) + 6
f. __ σ(X + 5) = σ(X) + 5
g. __ V(6X) = 36V(X)
h. __ V(X + 6) = V(X) + 36
i. __ σ(X) = E(X2) – (E(X))2
Respuestas
1. 3,2
2. a. V;
b. V;
c. V;
d. V;
e. F;
f. F;
g. V;
h. F;
i. F
VARIABLE ALEATORIA
6.
DATOS Y AZAR
15
Distribución binomial
Un experimento con dos resultados posibles donde uno de ellos se denomina éxito con
probabilidad de ocurrencia p y el otro, fracaso, con probabilidad de ocurrencia (1 – p),
se denomina experimento del tipo Bernoulli.
Si se define la variable aleatoria X como el número de éxitos en n repeticiones de un
experimento del tipo Bernoulli con una probabilidad constante de éxito p, con el
resultado de cada repetición independiente de los anteriores, se dice que X sigue una
distribución binomial de parámetros n y p, la cual se representa por:
X ~ B(n, p).
Ej. En 20 lanzamientos de una moneda normal, se define X: “número de sellos”.
1

La variable X sigue una distribución binomial: X ~ B  20,
2 

6.1
Función de probabilidad binomial.
Al realizar n veces un experimento tipo Bernoulli, la probabilidad de obtener x éxitos,
siendo p la probabilidad de éxito y (1 – p) la probabilidad de fracaso, se calcula
mediante la función de probabilidad binomial:
f(x)  P(X  x)  Cnx  px  1  p
n x
Ej. En el ejemplo anterior, la función de probabilidad binomial es:
x
20  x
1
1 
f(x)  P(X  x)  C20
 1  
x 

2
2 
Recuerde que:
n
n!
Cnx    
 x  n  x  !x!
con n y x ∈ ℕ0
16
DATOS Y AZAR
VARIABLE ALEATORIA
6.2
Función de probabilidad acumulada de una distribución
binomial
La función de probabilidad acumulada para una variable aleatoria X con una distribución
binomial es:
F  x   P  X  x   Cn0  p0  1  p  C1n  p1 1  p 
n
n1

 Cnx  px 1  p 
n x
En el ejemplo anterior, la probabilidad de obtener a lo mas dos sellos es:
0
20
1 1
F 2  P  X  2  C20
0 
  
2 2
1
19
1 1
 C120      
2 2
2
18
1 1
 C220      
2 2
Observaciones:

Si X ~ B(n, p) entonces:
E(X) = n∙p
Var(X) = n ∙ p ∙ (1 – p)
Ejercicios
1.
El 40% de una población de 500 habitantes se encuentra afectada por un virus.
Si se escogen 5 personas al azar, ¿cuál es la expresión que representa la
probabilidad de que solo 3 de ellos se encuentren afectados?
2.
Un estudio sobre los hábitos de consumo arrojó que el 65% de la población ha
fumado alguna vez en su vida. Si se elige a 20 personas al azar, ¿cuál es la
expresión que representa la probabilidad de que 8 de ellas nunca haya
fumado?
VARIABLE ALEATORIA
3.
DATOS Y AZAR
17
Sea la función de probabilidad para la variable X, según la siguiente distribución
0, 4 si x=1

f(x)  P(X  x)  0,6 si x=0
0
en cualquier otro caso

Si x = 1 es definido como éxito y el experimento se realiza 10 veces, entonces la
expresión que representa la probabilidad de obtener 3 éxitos, está dada por
4.
Un deportista de tiro con arco tiene una probabilidad de acertar en el centro del
blanco de 0,4. Entonces, ¿cuál será la probabilidad de que al disparar tres
veces al blanco acierte en el centro una vez?
5.
En ocho lanzamientos de una moneda cargada, en que la probabilidad de cara
es el doble que la de sello, se define la V.A. X: “número de caras”. ¿Cuál es la
expresión que representa la probabilidad de obtener a lo más dos caras?
Respuestas
4.
2 1
2 1
2 1
5. C08        C18        C28      
3 3
3 3
3 3
0,432
0
1. C53  0, 43  1  0, 4
2
8
12
2. C20
8  1  0, 65  0, 65
8
1
7
2
6
3. C10
3   0, 4    0, 6 
3
7