UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS
ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
ASIGNATURA:
ESTADISTICA GENERAL
DOCENTE: MsC. MARTHA SOLANO COELLO
Contenido
• Funciones de Probabilidad Discreta:
Binomial y Poisson, manejo de tablas
de probabilidad. Solución de casos.
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
Observa variables tomadas de su realidad e identifica el
modelo de probabilidad en variables discretas o continuas, de
acuerdo a sus propiedades.
VARIABLES ALEATORIAS
Definición: Se denomina variable aleatoria a una variable
estadística cuantitativa, una variable aleatoria es un valor
numérico determinado por el resultado de un experimento
aleatorio.
A la v.a. de le denota por letras mayúsculas como X. Y. W, etc, y a
sus valores individuales con letra minúsculas, X: x1, x2, x3, ….etc
Ejemplos:
Nº de caras al tirar dos monedas.
Nº de aprobados en una clase de 200.
Nº clientes en la cola de un banco.
Tipos de Variables aleatorias:
•Variable aleatoria discreta
•Variable aleatoria continua
Ejemplo:
Si lanzamos dos monedas al aire y definimos
la v.a. X = “número de caras obtenidas”
x1
x2
x3
0
1
2
Variable aleatoria discreta
Puede tomar un número limitado de
valores, es decir ciertos valores diferentes
que son el resultado de la cuenta de
alguna característica de interés.
Ejemplos:
Nº de caras al tirar dos monedas.
Nº de aprobados en una clase de 200.
Nº clientes en la cola de un banco.
Función de probabilidad o de cuantía:
Función que asigna probabilidades a cada uno de los valores
de una variable aleatoria. Las probabilidades es similar a las
frecuencias relativas. Se le denota por p (xi ) y que satisface las
siguientes condiciones:
p (xi ) = ≥ 0
∑ p ( xi ) = 1
Valores
xi
p(x)=P[X=x]
x1
p ( x1 )
x2
p ( x2 )
x3
p (x3 )
Función de distribución: función que acumula
probabilidades asociadas a una variable
aleatoria. Se denota de la siguiente manera:
Valores xi
0
p(x)=P[X=x]
p ( 1/4 )
F(x)=P[X≤x]
p ( 1/4 )
1
p ( 2/4 )
p ( 3/4 )
2
p (1/4)
p (4/4)
Propiedades:
1.
P(X>x)=1–P(X≤x )
2.
P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X < a)
3. .
Características de las variables aleatorias discretas:
La media de una variable aleatoria discreta
Es el promedio, de la variable aleatoria. también se conoce
como el valor esperado, E(x), en una distribución de
probabilidad.
La media se calcula con la fórmula:
La varianza
Propiedades de la esperanza Matemática
Sean X1 y X2 v.a. con esperanzas definidas, a y b constantes;
entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a) E(aX1 ) = a E(X1)
b) b) E(aX1 + bX2) = a E(X1) + b E(X2)
PRINCIPALES VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
Las distribuciones de variable discreta más
importantes son las siguientes:
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
n= el número de ensayos.
k= el número de éxitos
observados.
p= la probabilidad de éxito.
Características de la distribución binomial
1.
Supongamos que la probabilidad de tener una unidad
defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05.
1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se
encuentren defectuosas?
2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre
defectuosa?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson suele emplearse a problemas donde la v.a. es el nº
de veces que ocurre cierto evento en un intervalo de tiempo con un promedio
dado.
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:
Donde es el número promedio de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo,
e es la constante 2.71828 y k es el número de ocurrencias.
Por ejemplo:
•Nº de llamadas que recibe una central telefónica en el período de un minuto.
•Nº de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana.
•Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Características de la distribución Poisson
La media y la varianza esta dada por λ esta dada por:
µ=E(X)= λ
La variancia está dada por: V ( X ) = = λ
REGLA:
(aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson)
Si en una distribución binomial, n es grande y la probabilidad
de exito es pequeña (p < 0.1), aproximar la distribución Binomial a la
distribución Poisson, calculando ( λ = np)
Se tiene que cumplir que:
p < 0 . 10 y p * n < 10
Ejemplo:
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura
es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año,
¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor
que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución
de Poisson: P(x = 3) = 0.0892.
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300
días de trabajo es de 8.9%.
Aplicaciones:
1. Un supervisor de seguridad en una empresa cree que el número esperado
de accidentes laborales por mes es de 3.4
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el
próximo
mes
ocurran
exactamente dos
accidentes?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran tres o
más
accidentes?
2.
3.
Una prisión de máxima seguridad reporta que el número de intentos
de escape por mes da una media de 1,5 intentos/mes. Calcule:
a. Probabilidad de tres intentos de escape durante el próximo mes.
b. Probabilidad de al menos un intento de escape el próximo mes.
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de
0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya
fabricados hayan 5 defectuosos?
4.
En un estudio de Control de Calidad de determino
que el 0.01% de los relojes producidos por una
empresa Taiwanesa son defectuosos.
a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes
exista exactamente un reloj defectuoso?.
b. b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido
de 1000 relojes existan al menos dos defectuosos?
5.
Un ingeniero que labora en el departamento de control
de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una
muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2%
de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la
probabilidad de que en la muestra:
a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén
con defectos.
6. Si 8 de 100 viviendas violan el código de
construcción.
¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas,
que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción.