1 RESUMO DOS COMPORTAMENTOS RLC NO DOMÍNIO DO TEMPO ππ = π£π . ππ ππ = ππ 2 . π π£π π = π π π£π = π . ππ OHMS β¦ π ππ³ (π) π π ππ³ (π) = ππ³ (π). ππ³ (π) ππ³ (π) = π³ . ππ³ (π) . π ππ³ (π) π π π π π (π) = ∫ π (π) . π π + π°π π³ π³ π π³ ππ³ (π) = π³ Henries H π π π ππͺ (π) ππͺ (π) = ππͺ (π). ππͺ (π) ππͺ (π) = πͺ . ππͺ (π) . π ππͺ (π) π π π π ∫ π° (π) . π π + π½π πͺ π πͺ π°πͺ (π) = πͺ ππ (π) = Farads F Capacitância Potência Corrente Tensão Unidade Elemento Resistência Indutância 2 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Tabela Básica π(π) 1 → → π(π) 1 π π‘ → 1 π 2 π‘π → π! π π+1 π ππ‘ → sin ππ‘ → cos ππ‘ → 1 π −π π π 2 + π2 π π 2 + π2 Funções Comuns Função Exponencial A. e−at → A π +a Função Degrau (Heaviside) A → A s Função Rampa A.t → A π 2 Função Senoidal A . sen at → A. a π 2 − π2 Função Cossenoidal A . cos at → A. s π 2 − π2 Funções Especiais Transformada de 1ª ordem f ′ (t) → Transformada de 2ª ordem f " (t) → π 2 πΉ(π ) − π π(0) − π ′ (0) Transformada de Integrais π‘ ∫ π(π‘) ππ‘ 0 → sF(s) − f(0) πΉ(π ) π 3 IMPEDÂNCIAS E ADMITÂNCIAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA R (β¦) L (H) C (F) TEMPO Resistência (R) Condutância (G) Reatância (XL) Susceptância (B) Reatância (XC) Susceptância (B) FREQUÊNCIA R R β¦ (OHMS) → 1 π S (Siemens) → 1 π XL β¦ (OHMS) → sL 1 ππΏ S (Siemens) → 1 π πΏ XC β¦ (OHMS) → 1 ππΆ S (Siemens) → 1 π πΆ sC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A energia armazenada no circuito mostrado é zero no instante em que a chave é fechada. Determine para t>0: a) Encontre I(s) usando as técnicas da Transformadas de Laplace pura, sem usar os atalhos atribuídos aos componentes RLC. b) Encontre I(s) usando Transformada de Laplace aplicada a circuitos elétricos. c) Compare os valores encontrados nos itens (a) e (b). d) Com a informação correta de I(s) definida no item (c) , encontre i(t). a) Encontre I(s) usando as técnicas da Transformadas de Laplace pura, sem usar os atalhos atribuídos aos componentes RLC. 4 Aplicar 2ª Lei de Kirchhoff: π£π + π£πΏ + π£πΆ = π£π·πΆ Aplicando o comportamento elétrico dos componentes no domínio do tempo obtemos a equação diferencial e integral: π . π(π‘) + πΏ π ′ (π‘) + 1 π‘ ∫ π(π‘) ππ‘ + π0 = π£π·πΆ πΆ 0 Conforme enunciado, V0 = 0: π . π(π‘) + πΏ π ′ (π‘) + 1 π‘ ∫ π(π‘) ππ‘ = π£π·πΆ πΆ 0 Aplicar a Transformada de Laplace em cada termo: π . β{π(π‘)} + πΏ . β{π ′ (π‘)} + π‘ 1 . β {∫ π(π‘) ππ‘} = π£π·πΆ . β{1} πΆ 0 Apresentando a tabela da transformada de Laplace: f(t) 1 F(s) 1 π π ′ (π‘) π πΉ(π ) − π(0) π‘ 1 β{π(π‘)} π ∫ π(π‘) ππ‘ 0 Continuando: π . πΌ(π ) + πΏ . π . πΌ(π ) − π(π) + 1 1 1 . . πΌ(π ) = π£π·πΆ . πΆ π π Conforme enunciado, i (0) = 0: π . πΌ(π ) + π . πΏ . πΌ(π ) + 1 π£π·πΆ . πΌ(π ) = π πΆ π Colocando I(s) em evidência: πΌ(π ) . (π + π πΏ + πΌ(π ) = π£π·πΆ π 1 π + π πΏ + π πΆ = π£π·πΆ 1 π (π + π πΏ + π πΆ ) 1 π£π·πΆ ) = π πΆ π = π£π·πΆ 1 π π + π 2 πΏ + πΆ = π£π·πΆ 1 π 2 πΏ + π π + πΆ Aplicando os valores do circuito: πΌ(π ) = 160 π 2 4 + π 4,8 + 1 0,25 = 160 π 2 4 + π 4,8 + 4 (πππππππ ÷ 4) 5 Resultado de I(s): π°(π) = ππ ππ + π, ππ + π b) Encontre I(s) usando Transformada de Laplace aplicada a circuitos elétricos. Transformando o circuito no tempo para frequência: 6 Aplicando a lei de OHM no domínio da frequência: 160 π(π ) 160 π πΌ(π ) = = = 4 4 π π 4 + 4,8 + π π (π 4 + 4,8 + π ) πΌ(π ) = 160 4π 2 + 4,8π + 4 πΌ(π ) = (πππππππ ÷ 4) 40 π 2 + 1,2π + 1 c) Compare os valores encontrados nos itens (a) e (b). No item (a) não há necessidade de conhecimentos específicos de circuitos elétricos para encontra I(s). No item (b) temos a Transformada de Laplace aplicada, portanto não há necessidade de conhecer a parte matemática do Laplace, apenas conhecer o comportamento dos componentes RLC no domínio da frequência e aplicar a lei de OHM. Obviamente, ambos os casos obterão a mesma resposta. d) Com a informação correta de I(s) definida no item (c) , encontre i(t) para t>0. Qual o método você ficou mais confortável? 1. Laplace puro (solução matemática) 2. Laplace aplicado (solução por circuitos elétricos) Na prática de concursos você pode ser questionado das duas formas de solução, então aprenda as duas formas. Resgatando I(s): πΌ(π ) = 40 π 2 + 1,2π + 1 Iniciando o processo de rearranjo da expressão para torná-la compatível com a tabela de Transformada de Laplace para aplicar a transformada inversa. 7 Aplicando produtos notáveis no denominador: π 2 + 1,2π + 1 (π + π)2 = π2 + 2ππ + π 2 1π 2 + 2.1π . 0,6 + 0,62 + 0,64 π=π {π = 0,6 (π + π)2 = (π + 0,6)2 + 0,64 Como: π 2 + 1,2π + 1 = (π + 0,6)2 + 0,64 Temos que: πΌ(π ) = 40 40 = (π + 0,6)2 + 0,64 π 2 + 1,2π + 1 Vamos objetivar as duas Transformadas de Laplace: π(π‘) → F(s) sin at → a s 2 + a2 eat f(t) → F(s − a) Preparando a expressão objetivando a transformada inversa de Laplace do seno com deslocamento de translação na frequência: πΆπππ √0,64 = 0,8 πΌ(π ) = 40 0,8 0,8 . = 50 . 2 2 (π + 0,6)2 + 0,82 0,8 (π + 0,6) + 0,8 Destacando F(s) (sem o deslocamento): πΉ(π ) = 0,8 (π )2 + 0,82 0,8 β −1 { 2 } = π ππ 0,8π‘ π + 0,82 8 Aplicando o deslocamento de translação na frequência: β −1 { 0,8 } = π −0,6π‘ π ππ 0,8π‘ (π + 0,6)2 + 0,82 Voltando a expressão original: πΌ(π ) = 50 . 0,8 (π + 0,6)2 + 0,82 π(π‘) = 50. π −0,6π‘ . π ππ0,8π‘ RESUMO BIBLIOGRAFIA RIEDEL, S.A.; NILSSON, J.W.; Circuitos Elétricos 8.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. EDMINISTER, J.A.; NAHVI, M.; Coleção Schaum - Circuitos Elétricos. 5.ed. São Paulo: Bookman, 2014. CAPUANO, F. G.; MARINO, M.A.M; Laboratório de Eletricidade e Eletrônica: Teoria e Prática, Ed. 24, São Paulo: Editora Érica, 2007.