Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 1: Inducción Completa.
Ref. Grimaldi 4.1
Ejercicio 1 Demuestre que 7n − 2n es divisible por 5, para todo n ∈ N.
Ejercicio 2 Encuentre (y demuestre) cuáles números naturales n pueden expresarse como suma de
treses y/o cincos, es decir,
existen i, j ∈ N ∪ {0} : n = 3i + 5j.
Ejercicio 3 Sea


1 1 0
A =  0 1 1 .
0 0 1
Conjeture una fórmula para An y demuéstrela.
Ejercicio 4
a. Demuestre la siguiente igualdad:
n
P
i2 = n (n + 1) (2n + 1)/6.
i=1
P
P
b. Probar que para todo n ≥ 1 se cumple que ( ni=1 i)2 = ni=1 i3 . (Exam. febrero 2017 Ej6)
P
(Sugerencia: Recordar que ni=1 i = n(n + 1)/2)
Ejercicio 5 (1er parcial octubre 2000 Ej16)
Sea m el menor número natural que verifica 2m > m2 + 1. Halle m y pruebe por inducción que si
n ≥ m entonces 2n > n2 + 1.
Ejercicio 6 Demuestre que en la lista de inscriptos al curso de Matemática Discreta I, 2018, hay una
cantidad par de estudiantes que tienen una cantidad impar de amigos inscriptos en el mismo curso (no
vale llamar a Bedelı́a).
Ejercicio 7 Sean f (x) = xex y g(x) = 1/x, demuestre las siguientes igualdades para las derivadas
n-ésimas:
n!
f (n) (x) = ex (x + n),
g (n) (x) = (−1)n n+1 .
x
Ejercicio 8 Para n ∈ N sea S un subconjunto de números reales con |S| = 2n . Demuestre que el
número de comparaciones necesarias para ordenar en forma ascendente los elementos de S es menor o
igual que n × 2n .
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 9 (Exam. diciembre 2009 Ej6)
Demuestre por inducción completa que 10n+1 + 3 × 10n + 5 es múltiplo de 9 para todo n ∈ N.
Ejercicio 10 Demuestre que:
1
a. n3 − n es divisible por 3 para todo n entero.
b. La suma de los cubos de tres enteros consecutivos es divisible por 9.
Ejercicio 11 Demuestre que todo natural n puede expresarse como la suma de cinco y/o sietes siempre
que n sea mayor o igual a 24, es decir para todo n ≥ 24 existen i, j ∈ N ∪ {0} tales que n = 5i + 7j.
Ejercicio 12 (Exam. octubre 2001 Ej8a)
Demuestre que si
an = 2an−1 + 7an−2 + an−3
y a1 = 3, a2 = 10, a3 = 30, entonces an > 3n
para todo n > 1.
Ejercicio 13 Se define
Sn =
n
X
para todo n ≥ 1.
i!.i
i=1
Demuestre que Sn = (n + 1)! − 1.
Ejercicio 14 Considere un tablero cuadriculado de 2n cuadrados por lado al cual le falta un cuadradito
en algún lugar. Demuestre que se puede cubrir dicho tablero con piezas en forma de L formadas por 3
cuadraditos cada una.
Ejercicio 15 La sucesión Fn de Fibonacci se define recursivamente del siguiente modo:
F0 = 0, F1 = 1 y
Fn = Fn−1 + Fn−2
para todo n > 2.
Pruebe que:
a.
n
P
i=0
Fi = Fn+2 − 1.
b.
2n
P
c.
2
Fi Fi−1 = F2n
.
i=1
i=1
Ejercicio 16 Se considera la función f definida sobre R \ − 32
f (x) =
1
.
3x + 2
Demuestre que la derivada n-ésima de f es:
f (n) (x) =
3n (−1)n n!
.
(3x + 2)n+1
2
n
P
por:
Fi2 = Fn Fn+1 .
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 2: Combinatoria.
Ref. Grimaldi Secciones 1.1, 1.2, 1.3 y 1.4
Ejercicio 1
a. ¿De cuántas formas se puede colorear una bandera de cuatro franjas con cinco colores?
b. ¿Y si los colores de franjas contiguas deben ser distintos?
c. Idem a la parte ??. con la restricción de que el color de la primer y última franja sean distintos.
Ejercicio 2 ¿Cuántos números naturales pares de tres dı́gitos distintos (en base diez), existen?
Ejercicio 3 ¿Cuántas palabras distintas pueden construirse (con o sin sentido), usando todas las
letras de la palabra ASALAS?
Ejercicio 4 ¿De cuántas maneras diferentes puede una torre de ajedrez, desplazarse desde la esquina
inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, admitiendo únicamente movimientos hacia arriba
o hacia la derecha?
Ejercicio 5 (Ej. 1 del examen de diciembre de 2016) ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras
de SKYWALKER que empiecen en vocal y no contengan la secuencia RK?
Ejercicio 6 Un comité de 10 personas será elegido entre 8 hombres y 8 mujeres. De cuántas formas
se puede hacer una selección si
a. No hay restricciones.
b. Debe haber 5 hombres y 5 mujeres.
c. Debe haber un número par de mujeres.
d. Deben haber más mujeres que hombres.
e. Deben haber al menos 6 hombres.
Ejercicio 7 ¿De cuántas formas puede un jugador extraer 5 cartas de una baraja común (de 48
cartas) y obtener:
a. cinco cartas del mismo palo,
b. cuatro ases,
c. cuatro cartas del mismo valor,
d. tres ases y dos sotas,
e. tres ases y un par?
Ejercicio 8 ¿De cuántas formas es posible hacer una partición de un conjunto de 2n elementos, en n
conjuntos de 2 elementos?
1
Ejercicio 9 Demuestre la fórmula de Stifel y escriba las primeras 6 lı́neas del triángulo de Pascal.
Ejercicio 10 Considere la suma
n
X
i
Cm
.
i=0
Calcúlela para algunos casos usando triángulo de Pascal, conjeture cuánto suma en general y dei
= 0.
muéstrelo por inducción. Aclaración: Si i < m entonces Cm
Ejercicio 11 ¿De cuántas formas diferentes pueden distribuirse r pelotas del mismo color en n cajas
diferentes?
Ejercicio 12 ¿De cuántas formas puede distribuir un maestro 8 bizcochos de chocolate y 7 de crema
entre 3 estudiantes, si cada uno desea al menos un bizcocho de cada tipo?
Ejercicio 13 ¿Cuántas formas hay de sentar 5 niños en 12 sillas puestas en lı́nea? ¿y si los niños no
deben quedar sentados uno junto al otro?
Ejercicio 14 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al arrojar 3 dados?
Ejercicio 15 ¿Cuántas fichas diferentes hay en el juego del domino?
Ejercicio 16 Hallar la cantidad de soluciones distintas (enteros no negativos) de la ecuación:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4.
¿Cuántas soluciones hay si se reemplaza el = por un <?
Ejercicio 17 ¿Cuántos números en {1, 2, 3, . . . , 100 000} cumplen que la suma de sus dı́gitos sea 7?
Ejercicio 18
a. Para n y k positivos, probar que el coeficiente de xn1 1 xn2 2 . . . xnk k en (x1 + x2 + · · · + xk )n es
n!
,
n1 ! n2 ! . . . nk !
con n1 + n2 + · · · + nk = n.
6
b. Determinar el coeficiente de x4 en el desarrollo de (x3 − x2 + x − 1) . (Ej. 3 del 1er par. 2001)
c. Hallar el coeficiente de x6 en (2 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 )5 . (Ej. Des. 1b del 1er par. mayo 2018)
Ejercicio 19 Hallar la cantidad de subconjuntos de un conjunto con n elementos razonando con la
fórmula del binomio.
2
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 20
a. Probar que:
n
X
(−1)j Cjn = 0.
j=0
er
b. (Ej. 4 del 1 parcial del 2000) Hallar el valor de la siguiente suma:
203
X
Ck203 (−4)k .
k=0
Ejercicio 21 (Ej. 1 parte a. del 1er parcial del 2000)
Halle la cantidad de palabras distintas que pueden obtenerse permuntando las letras de la palabra
MOMENTÁNEAMENTE si la primer letra debe ser O.
Ejercicio 22 ¿De cuántas formas se pueden distribuir las 32 piezas del ajedrez en el tablero sin que
los reyes están amenazándose?
Ejercicio 23 ¿De cuántas maneras se puede particionar un conjunto de 6 elementos en subconjuntos
de cardinal 3, 2 y 1 respectivamente? ¿Y si todos los subconjuntos tienen cardinal 2?
Ejercicio 24 En una playa se juntan 13 chicos y deciden hacer 4 equipos para jugar al voleibol,
para ello hacer tres equipos de 3 jugadores y uno de 4. Entre los chicos se encuentra uno sumamente
habilidoso y otro que es de madera, los restantes 11 jugadores son intermedios. Para equiparar, al
habilidoso lo colocan en uno de los equipos de 3 jugadores y al de madera en el equipo de 4 jugadores.
Probar que con esa condición existen 46200 posibles formas de armar los equipos.
Ejercicio 25 Para una selección de fútbol, fueron convocados 2 goleros, 6 zagueros, 7 mediocampistas
y 4 atacantes. ¿De cuántos modos es posible formar una selección con un golero, 4 zagueros, 4
mediocampistas y 2 atacantes?
Ejercicio 26 En una prueba que consta de 10 preguntas, un estudiante decide responder solo 6 con
al menos 3 de esas preguntas elegidas de entre las 5 primeras. ¿De cuántas formas distintas podrı́a
hacerlo?
Ejercicio 27 (Ej. de desarrollo del 1er parcial del 2000)
−k
P
Demuestre la siguiente igualdad: ki=0 ki Nn−i
= Nn , siendo k ≤ n ≤ N números naturales.
Ejercicio 28 (Ej. 2 del 1er examen del curso 2001)
Si p es un número primo, hallar la cantidad n de 4-uplas (a, b, c, d) de enteros mayores que 1 cuyo
producto es p20 . Es decir: n = |{(a, b, c, d) ∈ (N \{1})4 : a·b·c·d = p20 }| .
Ejercicio 29 Hallar el coeficiente de
10
a. x5 en el desarrollo de (x5 + x − 1) . (Ej. 3 del 1er parcial del curso 2000)
b. de xy 3 z 5 del polinomio (2x + 4y + 2z + 5)14 . (Ej. 5 del 2do examen del curso 2001)
3
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 3: Funciones y número de Stirling.
Ref. Grimaldi Secciones 5.2 y 5.3
Ejercicio 1 Determinar si las siguientes funciones son inyectivas y/o sobreyectivas:
a. f : Z −→ Z definida por f (a) = a − 1.
b. f : R −→ R definida por f (a) = a3 − 2a.
c. f : Z −→ Z definida por f (a) = a3 − 2a.
d. f : N × N −→ N definida por f (a, b) = a.
e. f : N × N −→ N definida por f (a, b) = 2a 3b .
f. f : R × R −→ R+ definida por f (a, b) = 2a 3b .
g. f : N × N −→ N definida por f (n, m) = 2m (2n + 1) − 1. (Del ej. 6 examen 28/2/02 )
Aclaración: Suponemos que 0 ∈ N.
h. g : R × R −→ R definida por g(x, y) = 2y (2x + 1) − 1. (Del ej. 6 examen 28/2/02 )
Ejercicio 2 Sean f : A −→ B y g : B −→ C dos funciones y g ◦ f la composición de f con g, es decir
que (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Si considera que los conjuntos A, B y C son finitos, pruebe o encuentre un
contraejemplo a las siguientes afirmaciones:
a. Si f y g son inyectivas también lo es g ◦ f .
d. Si g ◦ f es inyectiva también lo es g.
b. Si f y g son sobreyectivas también lo es g ◦f .
e. Si g ◦ f es sobreyectiva también lo es f .
c. Si g ◦ f es inyectiva también lo es f .
f. Si g ◦ f es sobreyectiva también lo es g.
Ejercicio 3 Dados A = {1, 2, . . . , m} y B = {1, 2, . . . , n}, calcule la cantidad de funciones f de A a
B que satisfacen:
a. f es inyectiva.
c. f (i) < f (j) para todo i < j en A.
b. f es biyectiva.
d. f (i) 6 f (j) para todo i 6 j en A.
Ejercicio 4 Sea A un conjunto con 10 elementos y B uno con 3 elementos.
a. ¿Cuántas funciones diferentes de A a B hay?
b. Si denotamos con P(X) al conjunto de partes de X, es decir al conjunto de todos los subconjuntos
de X ¿Cuál es el cardinal de P(B)? ¿y el de P(A)?
1
c. Considere las funciones f : B −→ P(B) que verifican para todo x :
dichas funciones hay? (Examen Agosto 2003)
f (x) 6= {x}. ¿Cuántas de
d. Considere las funciones f : {1, 2, . . . , 6} → P{1, 2, . . . , 6} inyectivas, tales que 1 ∈
/ f (1), 2 ∈
/
f (2)}. ¿Cuántas de dichas funciones hay? (Parcial de mayo de 2018)
Ejercicio 5 (Parcial 2000)
Considere los conjuntos A = {1, 2, 3, . . . , 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. ¿Cuántas funciones f : A → B
satisfacen |f (A)| ≤ 3? Indique la opción correcta:
d. 73 Sob(10, 3)+ 72 Sob(10, 2)+ 71 Sob(10, 1).
a. Sob(10, 3).
b. 310 − Sob(10, 3).
c. 73 Sob(10, 3)− 72 Sob(10, 2)+ 71 Sob(10, 1).
e.
7
3
Sob(10, 3).
Aclaración: Sob(m, n) es la cantidad de funciones sobreyectivas de un conjunto con m elementos a uno
con n.
Ejercicio 6 Dé un argumento combinatorio para probar que para todo n y m naturales vale:
P
a. nm = ni=1 ni Sob(m, i).
b. Sob(m + 1, n) = n(Sob(m, n − 1) + Sob(m, n)).
c. S(m + 1, n) = S(m, n − 1) + n S(m, n).
P
m
d. Sob(m, n) = m−(n−1)
Sob(m − i, n − 1).
i=1
i
Pn n
e. n! = i=0 k dk , donde d0 = 1 y dk es el número de desarreglos de tamaño k.
Aclaración: En todos los casos, S(m, n) indica el número de Stirling de 2da especie definido como
S(m, n) = Sob(m, n)/n!.
Ejercicio 7 (1er parcial sep. 2016 Ej. 2)
Juan quiere guardar 10 libros diferentes en 7 estantes vacı́os diferentes y quiere que al menos 5 de ellos
posean un libro. ¿De cuántas maneras puede realizar esta tarea?
a. Sob(10, 7) + Sob(10, 6) 76 + Sob(10, 5) 75 .
b. CR75 .
c. CR57 .
d. S(10, 7) + S(10, 6)
7
6
+ S(10, 5)
7
5
.
e. Sob(10, 7) + Sob(10, 6) + Sob(10, 5).
2
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 4: Principio de Principio del Palomar y de
Inclusión-Exclusión.
Ref. Grimaldi 5.5, 8.1 y 8.3
Principio del Palomar
Ejercicio 1 (1er par. mayo de 2017 Ej1 MO) ¿Cuántos estudiantes deben realizar esta prueba para
asegurarnos que al menos dos entreguen las mismas respuestas de múltiple opción? Tener en cuenta
las posibles respuestas en blanco y que son cuatro opciones por cada una de las seis preguntas.
Ejercicio 2 Demuestre que cualquier subconjunto de seis elementos del conjunto S = {1, 2, . . . , 9}
debe contener dos elementos cuya suma sea 10.
Ejercicio 3 Dados cinco punto
√ de un cuadrado de lado 2, pruebe que deben haber dos que estén a
distancia menor o igual que 2.
Ejercicio 4 Sea f : A −→ B una función, donde |A| > |B|. Demuestre que hay al menos d|A| / |B|e
puntos del dominio que toman el mismo valor.
Ejercicio 5 (1er Par. setiembre 2009 Ej3)
Se consideran n puntos en un triángulo equilátero de lado 1. ¿Cuál es el n mı́nimo que garantiza que al
menos dos de los puntos se encuentran a distancia menor o igual que 1/2? (Observación: Vale colocar
puntos sobre los lados del triángulo).
Ejercicio 6 Demuestre que entre 100.000 personas hay al menos dos que nacieron exactamente al
mimo tiempo (hora, minuto y segundo).
Ejercicio 7 Pruebe que al menos uno de m enteros consecutivos es divisible por m.
Ejercicio 8 (Examen Marzo 2003)
Halle el menor natural n tal que dados n dı́gitos diferentes se puede asegurar que existen dos de ellos
cuyos cuadrados diferirán en un múltiplo de 6.
Ejercicio 9 (Examen de Julio 2004 Ej 5)
Sea un tablero de 141 filas y 8 columnas. Cada cuadradito del tablero se pinta de blanco o de negro de
forma tal que cada fila tenga exactamente cuatro cuadraditos pintados de negro. Demuestre que hay
al menos tres filas con igual secuencia de colores.
Ejercicio 10 Dada una secuencia (x1 , . . . , xn ) de números, decimos que (xi1 , . . . , xik ) es una subsecuencia si se verifica i1 < i2 < · · · < ik .
a. Mostrar que toda secuencia de n2 + 1 números reales distintos (a1 , . . . , an2 +1 ) posee una subsecuencia creciente o bien una decreciente de n + 1 números. (Pique: considerar el conjunto de pares
{(xk , yk ) : 1 ≤ k ≤ n2 + 1}, siendo xk (yk ) el tamaño de la mayor subsecuencia creciente (decreciente)
que termina en ak )
1
b. Encuentre una secuencia de n2 números naturales distintos donde el resultado de la parte a. no
se cumpla.
Principio de Inclusión-Exclusión
Ejercicio 11 De 100 estudiantes, 32 estudian matemática, 20 fı́sica, 45 biologı́a, 15 matemática y
biologı́a, 7 matemática y fı́sica, 10 fı́sica y biologı́a, 30 no estudian ninguna de las tres materias.
a. Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias.
b. Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias.
Ejercicio 12 ¿De cuántas formas pueden extraerse 9 canicas de una bolsa si hay 3 de cada uno de los
siguientes colores: blanco, rojo, azul, negro?
Ejercicio 13 ¿Cuántos enteros entre 1 y 9.999.999 inclusive tienen a 31 como suma de sus dı́gitos?
Ejercicio 14
a. ¿Cuántos enteros entre 1 y 105 inclusive no son divisibles por ninguno de los enteros 3, 5, 7?
b. ¿Cuántos enteros entre 1 y 1155 inclusive son múltiplos de 3 pero no son divisibles por ninguno
de los enteros 5,7 y 11? (Exam. julio 2000 Ej. 9)
Ejercicio 15 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 19 si xi es un entero y
a. 0 6 xi 6 8 para todo i?
b. 0 6 x1 6 5, 0 6 x2 6 6, 3 6 x3 6 7 y 0 6 x4 6 8?
Ejercicio 16 (Exam. diciembre 2009 Ej3)
Se tira un dado 6 veces. Calcule la cantidad de formas en que podemos obtener un número múltiplo
de 18 como suma de las 6 tiradas del dado.
Ejercicio 17 (1er parcial mayo de 2017 Ej5) Hallar la cantidad de permutaciones de 123456 que cumplen
que ningún dı́gito par está en su ubicación original.
Ejercicio 18 Calcule cuántas permutaciones de los dı́gitos del número 123456789 cumplen que:
a. Ningún dı́gito está en su posición original.
b. Los pares no están en su posición original.
c. Los pares no están en su posición natural y la secuencia debe empezar con los dı́gitos 1, 2, 3, 4
en algún orden.
Ejercicio 19 ¿Cuántas palabras de 4 letras pueden formarse usando las letras A, B, C, D, E si debe
aparecer al menos una vocal?
2
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 5: Funciones Generatrices.
Ref. Grimaldi 9.1 y 9.2
Ejercicio 1 Encuentre las funciones generatrices para las siguientes sucesiones (por ejemplo en el caso
P i
de la sucesión 1, 1, 1, . . . la respuesta pedida es 1/(1 − x) y no 1 + x + x2 + x3 + · · · ni
x ).
a. C06 , C16 , C26 , . . . , C66 , . . .
f. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .
b. C16 , 2C26 , . . . , 6C66 , . . .
g. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
c. 1, −1, 1, −1, . . .
h. 0, 0, 1, a, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , . . .
d. 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .
i. 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, 16, 0, 32, 0, 64, 0, 128, . . .
e. 0, 0, 0, 3, −3, 3, −3, 3, . . .
j. 0, 0, 1, b, a, b2 , a2 , b3 , a3 , b4 , a4 , b5 , a5 , b6 , a6 , b7 , . . .
Ejercicio 2 Determine la sucesión generada por cada una de las siguientes funciones generatrices.
a. f (x) = (2x − 3)3
c. f (x) = x3 /(1 − x2 )
e. f (x) = 1/(2 − x)
b. f (x) = x3 /(1 − x)
d. f (x) = 1/(1 + 3x)
f. f (x) = 3x6 − 9 + 1/(1 − x)
Ejercicio 3 (Examen febrero 2010)
La función generatriz asociada a la sucesión (0, 0, a, 1, 0, a2 , 2, 0, a3 , 3, 0, a4 , 4, 0, a5 , ...) es:
a. f (x) =
a
x
−
.
3
1 + ax
(1 + x6 )
c. f (x) =
ax2
x3
+
.
1 − ax3 (1 − x3 )2
b. f (x) =
a
x
−
.
3
1 + ax
(1 + x3 )2
d. f (x) =
a
x
×
.
3
1 + ax
(1 + x3 )2
Ejercicio 4
a. Encuentre el coeficiente de x8 en (1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · )10 .
b. Para cada n natural, encuentre el coeficiente de x8 en (1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · )n .
c. Para cada natural n encuentre los coeficientes de x5 , x8 y en general de xr en (1 + x + x2 )(1 + x)n
para 0 ≤ r ≤ n + 2, r ∈ N.
1
Ejercicio 5
a. Dé una demostración de la igualdad del Ej. 27 del práctico 2 a partir de la igualdad polinómica
(1 + x)k (1 + x)N −k = (1 + x)N
b. Usando la identidad (1 + x)n (1 + x)−n = 1, demuestre que
m X
n n+m−k−1
k=0
k
n−1
(−1)m−k = 0 ∀m ≥ 1.
Ejercicio 6 Halle las funciones generatrices de 03 , 13 , 23 , 33 , . . . y de sn =
n
P
i3 , y deduzca la fórmula
i=0
2
n
X
n(n + 1)
3
.
i =
2
i=0
Ejercicio 7 Halle la función generatriz de an = dn /n! donde dn denota los desórdenes de tamaño n.
Ejercicio 8 Halle una función generatriz y el coeficiente de la misma que resuelve las partes a. y b.
del ejercicio 15 del práctico 4. Realice lo mismo si el ejercicio tuviera las siguientes nuevas partes:
c. x2 par,
d. x1 par y x3 impar,
e. x4 primo.
(En todos los casos 0 ≤ xi para todo 1 ≤ i ≤ 4.)
Ejercicio 9 Verifique que (1 − x − x2 − x3 − x4 − x5 − x6 )−1 es la función generatriz de la cantidad
de formas en que podemos obtener un número n como suma de las tiradas de un dado (todas las
necesarias).
Ejercicio 10 Un parcial consta de 8 preguntas múltiple opción. Cada pregunta bien contestada vale
5 puntos y cada pregunta mal contestada o no contestada 0 puntos. Halle una función generatriz cuyo
coeficiente en xp indique la cantidad de formas de obtener p puntos. ¿Y si las mal contestadas valieran
-1 puntos?
Ejercicio 11 Encuentre una fórmula para la convolución cn de los siguientes pares de sucesiones:
a. an = 1, si 0 ≤ n ≤ 4; an = 0, ∀n ≥ 5, bn = 1, ∀n ∈ N.
b. an = (−1)n , bn = (−1)n , ∀n ∈ N.
c. an = 1, si 0 ≤ n ≤ 3; an = 0, ∀n ≥ 4, bn = n, si 0 ≤ n ≤ 3; bn = 0, ∀n ≥ 4.
2
Ejercicio 12 Hallar el coeficiente de xn en
∞ i
X
2
i=0
i!
xi ×
∞ i
X
3
i=0
i!
xi
Ejercicios Complementarios.
Ejercicio 13 Halle la función generatriz de la cantidad de formas que tiene un cajero automático de
dar n pesos. Los cajeros solo poseen billetes de 100, 200, 500 y 1000 pesos.
Ejercicio 14 (1er parcial 2009)
Sea an , n ≥ 0, la cantidad de palabras de n letras A o B, tales que después de una A no puede venir
una B (suponemos que a0 = 1). Entonces, la función generatriz asociada a (an )n∈N es:
a.
1
1−x
b.
1
.
(1 − x)2
c.
x
.
(1 − x)2
d.
x
.
1−x
Ejercicio 15 Encuentre el coeficiente de x15 en las funciones
a. x3 (1 − 2x)10 .
b. (x3 − 5x)/(1 − x)3 .
c. (1 + x)4 /(1 − x)4 .
Ejercicio 16 Halle la función generatriz de
0 · (−1), 1 · 0, 2 · 1, 3 · 2, . . . , i(i − 1), . . . ,
y una fórmula para
n
X
i(i − 1).
i=0
Ejercicio 17
a. Encuentre los primeros tres términos de la convolución cn de los siguientes pares de sucesiones:
i)
ii)
iii)
an = 1, bn = 1, ∀n ∈ N.
an = 1, bn = 2n , ∀n ∈ N.
an = 1, si 0 ≤ n ≤ 3; an = 0, ∀n ≥ 4, bn = 1, ∀n ∈ N.
b. En cada caso halle cn para todo n.
3
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 6: Relaciones de recurrencia.
Ref. Grimaldi 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4
Ejercicio 1 Sea a0 , a1 , . . . an , . . . una sucesión que verifica la ecuación:
an = 2an−1 para todo n ≥ 1.
a. Halle a3 si se sabe que a0 = 3.
d. Halle a3 si se sabe que lim an /(2n + 1) = 1.
b. Halle a0 si se sabe que a10 = 1024.
e. Halle limn→+∞ an /(2n + 3n ).
c. Halle limn→+∞ an /2n si se sabe que a0 = 3.
f. Halle a3 si se sabe que lim an /(−2)n existe
(y es finito).
Ejercicio 2 Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones:
a. an+1 − 1.5an = 0,
b. an − nan−1 = 0,
c. nan − (n − 1)an−1 = 0,
n > 0.
n > 1.
d.
n > 2.
an /apn−1
= 2, siendo a0 = 1, con p positivo
diferente de 1. (Exam. marzo 2001)
Ejercicio 3 Resuelva las siguientes ecuaciones:
a. an = 5an−1 − 6an−2 ,
con a0 = 1, a1 = 3.
n > 2,
b. 2an+2 − 11an+1 + 5an = 0,
con a0 = 2, a1 = −8.
c. 3an+1 = 2an + an−1 ,
con a0 = 7, a1 = 3.
con a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4 y a3 = 37, y
siendo b y c constantes desconocidas.
i. an+1 − an = 2n + 3,
n > 0,
n > 0, con a0 = 1.
j. an+1 − an = 3n2 − n,
n > 1,
k. an+1 − 2an = 5,
l. an+1 − 2an = 2n ,
d. an+2 + an = 0, n > 1,
con a0 = 0, a1 = 3.
m. an = 2an−1 + n2n ,
n > 0, con a0 = 3.
n > 0, con a0 = 1.
n > 0, con a0 = 1.
n > 1, con a0 = 1. (Par-
cial 2003)
e. an+2 + 4an = 0, n > 1,
con a0 = a1 = 1.
n. an − 5an−1 + 6an−2 = 3n , n > 2, con
a0 = 0, a1 = 1. (Exam. marzo 2001)
f. an − 6an−1 + 9an−2 = 0,
con a0 = 5, a1 = 12.
n > 2,
o. an+2 − 2an+1 + an = 3 + 5n,
g. an + 2an−1 + 2an−2 = 0,
con a0 = 1, a1 = 3.
n > 2,
p. an+2 − an = 5 + cos(nπ/2), n > 0, con
a0 = −1, a1 = 3. (Examen 2016)
h. an+2 + b an+1 + c an = 0,
n > 0,
q. an+2 − 9an = 2 × 3n + 5 × 2n , n > 0, con
a0 = −1, a1 = 13/2. (Examen 2007)
1
n > 0.
Ejercicio 4 (Parcial 2001)
Se considera la siguiente ecuación:
an + αan−1 + βan−2 = 2n
para todo n > 2.
Halle α, β y a100 sabiendo que: a0 = 1, a1 = 5, a2 = 1 y a3 = 17.
Ejercicio 5 Exprese an en función de los términos anteriores (ak con k 6 n − 1) siendo an :
a. La cantidad de saludos que se dieron los primeros n invitados de una reunión, si cada vez que
llego uno, éste saludo el resto.
b. El número de secuencias de 0s y 1s de largo n en las cuales no aparecen dos ceros seguidos.
c. La cantidad de enteros positivos de hasta n dı́gitos con {0, 1, 2}, tales que la suma de sus dı́gitos
es impar. (Parcial 2010)
Ejercicio 6 Resuelva la siguientes relaciones de recurrencia por el método de las funciones generatrices:
a. an+1 − an = 3n ,
n ≥ 0, a0 = 1.
b. an+2 − 3an+1 + 2an = 0, n ≥ 0, a0 = 1, a1 = 6.
Ejercicio
( 7 Resuelva los siguientes sistemas de relaciones de(recurrencia:
an+1 = −2an − 4bn ,
an = −an−1 − bn
∀n ≥ 0,
b.
a.
bn+1 = 4an + 6bn ,
bn+1 = bn − 3an−1
a0 = 1, b0 = 0.
∀n ≥ 1,
a0 = 0, b0 = 2, b1 = 1. (Examen dic. 2009)
Ejercicio 8 (Examen febrero 2009)
Para un campeonato de fútbol se tiene una cantidad par de equipos participantes. Se quiere armar
la primera fecha (en una fecha todos los equipos juegan exactamente una vez). Sea ak la cantidad de
formas de armar la primera fecha de un campeonato con 2k equipos.
a. Calcular a1 , a2 , a3 .
b. Deducir que ak+1 = (2k + 1) × ak .
c. Probar que ak = (2k − 1) × (2k − 3) × · · · × 3 × 1, para todo k ≥ 1.
Ejercicio 9 Resuelva la siguiente relación de recurrencia por el método de las funciones generatrices:
an+1 − (n + 1)an = 2n+1 , n ≥ 0, a0 = 1.
Comentario: Obtendrá una ecuación diferencial. Para evitarla puede hacer el cambio an = n!bn .
2
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 10 (1er parcial 2009)
Sea an la sucesión que verifica la ecuación an − 2an−1 = 3 × 2n ,
a0 = 1. Hallar a50 .
Ejercicio 11 Exprese an en función de los términos anteriores (ak con k 6 n − 1) siendo an :
a. La cantidad de formas de subir una escalera de n escalones si se puede a veces saltar un escalón.
b. Lo anterior pero sin que se puedan saltar dos veces seguidas un escalón (o sea, que si se saltea
un escalón, entonces el siguiente no se saltea).
c. El número de formas en que una sucesión de unos y doses suman n. Por ejemplo, para n = 3
serı́an las sucesiones 111, 12 y 21.
d. La cantidad de palabras binarias de largo n, que no tienen 3 unos consecutivos.
e. El número de secuencias de As, Bs y Cs de largo n en las cuales no aparecen dos As seguidas.
(Exam. marzo 2001)
Ejercicio 12 Se pretende diseñar una bandera con n franjas horizontales, cada una de las cuales puede
ser de color rojo, azul, verde o amarillo. Halle la cantidad de banderas posibles en cada una de las
siguientes situaciones:
a. No hay restricciones sobre el color de cada franja.
b. Dos franjas adyacentes nunca pueden ser del mismo color.
c. Idem b y que la primera y última franjas sean de distinto color.
Ejercicio 13 Hay n estudiantes formando una fila y cuando suena el silbato cada estudiante puede
intercambiar de lugar con su compañero de adelante o de atrás (en caso de que los haya). ¿De cuántas
formas diferentes pueden quedar esos n estudiantes luego de haber sonado el silvato?
Ejercicio 14 (1er examen 2003)
Sea an una sucesión tal que an+4 − 5an+2 + 6an = 0 con a0 = 3, a1 = 5, a2 = 7, a3 = 9. Hallar a1000 .
Ejercicio 15 (Examen diciembre 2008) Para todo n ∈ N se considera el número:
an =
√ !n
3+ 5
+
2
√ !n
3− 5
2
a. Mostrar que an verifica una relación de recurrencia de orden 2, homogénea, a coeficientes constantes.
b. Probar que an es un entero positivo, para todo n ∈ N.
3
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 7: Relaciones (1ra Parte).
Ref. Grimaldi 5.1, 7.1 y 7.2
Aclaración: En todos los ejercicios R−1 denota la relación inversa, i.e. R−1 = {(x, y) : (y, x) ∈ R},
y R la relación complementaria, i.e., R = {(x, y) : (x, y) 6∈ R}.
Ejercicio 1 Determine si las siguientes relaciones son reflexivas, irreflexivas (∀x, (x, x) 6∈ R), simétricas, antisimétricas, asimétricas ((x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R) o transitivas en A = {1, 2, 3, 4}:
a. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}.
b. R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.
c. R = {(1, 3), (1, 1), (3, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 4)}.
d. R = ∅.
e. R = A × A.

0

1
f. Las relaciones cuyas matrices son i) 
0

1
1
0
1
1
0
1
0
0


1
1



1
, ii) 1

0
0

0
0
1
1
0
0

0

0

0

1
0
0
1
0
g. Para A = {1, 2, 3, 4, 5} y las relaciones dadas por los grafos dirigidos siguientes
1
i)
1
2
5
3
ii)
3
5
4
2
4
Ejercicio 2 Considere el conjunto de propiedades P = {reflexiva, simétrica, transitiva}. Para cada
subconjunto T de P , exhiba un ejemplo de una relación que satisfaga las propiedades de T y no
satisfaga las de P \ T .
Ejercicio 3 Sean R y S relaciones en un conjunto A = {a1 , a2 , ..., an }.
a. Elabore un criterio para decidir si R es o no simétrica basándose en la matriz de R.
b. Si R y S son simétricas: ¿lo serán también R, R−1 , R ◦ S, R ∪ S, R ∩ S?
c. Ídem a los casos anteriores sustituyendo simétrica por reflexivas, irreflexivas, antisimétricas,
asimétricas y transitivas.
1
Ejercicio 4 (Parcial 2000) Halle el número de relaciones R en el conjunto A = {a, b, c, d} que verifican
simultáneamente las tres condiciones siguientes: R es simétrica; (a, b) ∈ R; (c, c) ∈ R. Construya la
matriz y el diagrama de flechas (o digrafo) de una de estas relaciones.
Ejercicio 5 ¿Cuántas relaciones binarias
a. reflexivas,
b. simétricas,
c. asimétricas,
d. antisimétricas
son definibles sobre un conjunto con n elementos?
Ejercicio 6 Para cada proposición sobre la relación R definida sobre un conjunto finito A, indique si
es verdadera o falsa. Justifique
a. Si R es reflexiva sobre A, entonces |R| ≥ n.
b. Si |R| ≥ n2 − k, con k < n entonces ∃a ∈ A tal que (a, a) ∈ R.
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 7 (Parcial 2001) Una relación R sobre un conjunto no vacío A es compatible si es reflexiva y
transitiva. Considere las relaciones R−1 y S = (R ◦ R−1 ) ∪ (R−1 ◦ R). Investigar si R−1 es compatible
o un orden parcial, si S es simétrica, si S es irreflexiva y si R ⊆ S.
Ejercicio 8 Demuestre o halle un contraejemplo a las siguientes afirmaciones:
a. La composición de dos relaciones puede ser una función sin que ninguna de ellas lo sea.
b. La inversa de una relación puede ser una función sin que ella misma lo sea.
c. La composición de dos relaciones puede dar la relación vacía sin que ninguna de ellas lo sea
Ejercicio 9 Sea R relación reflexiva y simétrica; T relación desconocida, y S relación antisimétrica.
Indique verdadero o falso, justifique:
a. R ◦ R es reflexiva.
d. T ∩ T −1 es reflexiva si y solo si T es reflexiva.
b. R ◦ R es simétrica.
e. T 2 es simétrica si y solo si T es simétrica.
c. Si S ◦ R es simétrica entonces S es reflexiva.
Ejercicio 10 (Examen febrero de 2016 Ej2) Sean R y S relaciones sobre un conjunto A, con S reflexiva
y antisimétrica. Decir cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a. R ∩ R−1 es relación simétrica, y es reflexiva si y solo si R lo es.
b. R ◦ S es reflexiva entonces R lo es.
2
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 8: Relaciones (2da Parte).
Ref. Ref. Grimaldi 7.3 y 7.4
Relaciones de equivalencia
Ejercicio 1 Sea n un entero positivo. Definamos la relación ≡ en Z, llamada congruencia módulo n,
en la forma:
a ≡ b si a − b es divisible por n.
a. Pruebe que ≡ es una relación de equivalencia.
b. Demuestre que a ≡ b ⇐⇒ a y b dan el mismo resto al ser divididos por n.
c. Describa el conjunto cociente Z/ ≡ cuando n = 3, 2, 1.
d. Pruebe que |Z/ ≡ | tiene n elementos.
Ejercicio 2 Para cada n ∈ N ∪ {0} sea Rn el número de relaciones de equivalencia diferentes que
pueden definirse en un conjunto dado con n elementos. Para cada n, i ∈ N sea S(n, i) el número de
Stirling del segundo tipo. Pruebe que:
a. Para todo n ∈ N ∪ {0} se cumple Rn+1 = C0n Rn + C1n Rn−1 + · · · + Cnn R0 .
b. Para todo n ∈ N se cumple, Rn = S(n, 1) + S(n, 2) + · · · + S(n, n).
Ejercicio 3 En cada uno de los siguientes casos, pruebe que R es una relación de equivalencia en A
y describa el conjunto cociente A/R:
a. A = Z y aRb si a2 = b2 .
b. (Parcial 2000) A = Z y aRb si a2 y b2 dan el mismo resto al dividirlos por 5.
c. A = Z y aRb si a4 y b4 dan el mismo resto al dividirlos por 5.
d. A = R2 y vRw si existe a ∈ R no nulo tal que w = av.
Ejercicio 4 (1er parcial junio de 2017 Ej5) Hallar la cantidad de relaciones de equivalencia sobre
{0, 1, . . . , 7} tales que #[0] = 2 y #[1] = 4. Opciones: A) 60; B) 120; C) 180; D) 240.
Ejercicio 5 (Parcial 2000)
Sea M el conjunto de todas las matrices reales n × n. Pruebe que la relación ∼ en M definida por:
A ∼ B ⇔ existe P ∈ M invertible tal que B = P AP −1
es de equivalencia. Halle la clase de la matriz nula y la clase de la matriz identidad.
1
Relaciones de orden
Ejercicio 6 Sea A = {a, b, c}, calcular la cantidad de relaciones de orden que hay sobre A.
Ejercicio 7
a. Halle el número de relaciones de equivalencia en {1, 2, 3, 4} que contienen a la relación {(1, 2); (3, 4)}.
b. Ídem para relaciones de orden.
Ejercicio 8 Sea A = {1, 2, ..., 100}. ¿Qué hay más, relaciones de equivalencia o de orden en A?
Ejercicio 9 Para ensamblar cierto producto hay que realizar las 11 tareas T1 , T2 , . . . , T11 en el siguiente
orden parcial cuyo diagrama de Hasse se muestra en la Figura 1 (a). Escriba una lista de instrucciones de
1
4
3
5
2
6
7
10
8
11
9
(a)
(b)
Figura 1:
modo tal que, al ejecutarlas según la lista, el resultado final sea el producto correctamente ensamblado.
Ejercicio 10 Un empleado de un centro de cómputos, tiene que ejecutar 10 programas P0 , P1 , . . . ,
P9 que, debido a las prioridades, están restringidos a las siguientes condiciones: P9 > P7 , P2 ; P7 > P6 ;
P6 > P4 ; P2 > P8 , P5 ; P5 > P3 , P0 ; P8 > P3 , P4 ; P3 , P4 , P0 > P1 ; donde, por ejemplo, Pi > Pj significa
que el programa Pi debe realizarse antes que el programa Pj . Determine un orden de ejecución de estos
programas de modo que se satisfagan las restricciones.
Ejercicio 11 ¿Cuáles de los diagramas de Hasse de la Figura 1 (b) representa un retı́culo?
Ejercicio 12 Demuestre que si A es un conjunto finito y ≤ es un orden en A entonces A tiene algún
elemento maximal y alguno minimal. Demuestre también que si (A, ≤) es un retı́culo (látice) y A es
finito entonces A tiene mı́nimo y máximo. ¿Es cierto alguno de estos resultado si A es infinito? (en
caso afirmativo dé una demostración y en caso negativo un contraejemplo).
2
Ejercicio 13 Muestre que en un conjunto con 61 personas, o bien hay una sucesión de 13 personas
cada una de las cuales desciende de la siguiente, o bien hay un grupo de 6 personas ninguna de las
cuales es descendiente de alguna otra.
Ejercicio 14 Para cada uno de los órdenes (A, ≤) siguientes, dibuje el diagrama de Hasse y determine
si se trata de un retı́culo:
a. A = {1, 2, 3, 4, 12} y ≤ es el orden de divisibilidad (x ≤ y sii y es múltiplo de x).
b. A es el conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, 3} y ≤ es la inclusión ⊆.
Ejercicio 15 Sea A un conjunto y R una relación transitiva y reflexiva en A. Considere la relación en
A definida por S = R ∩ R−1 . Pruebe que S es una relación de equivalencia y que
[a]T [b] si aRb
define una relación de orden en el conjunto cociente A/S.
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 16 Hallar la cantidad de relaciones de equivalencia R sobre el conjunto A = {0, . . . , 9} con
# [0] = 5 y # [2] = 3.
Ejercicio 17 Hallar la cantidad de relaciones de equivalencia R sobre el conjunto A = {0, . . . , 7} con
# [4] = 2, (1, 5) ∈ R, (2, 5) ∈ R y al menos hay tres clases de equivalencia.
Ejercicio 18 (2do parcial 2006)
Sea (C, R) un conjunto parcialmente ordenado con un mı́nimo m y tal que todo subconjunto no vacı́o
posee supremo. Sea f : C −→ C creciente, es decir, tal que x R y implica f (x) R f (y). Se pide
a. Demostrar que existe el supremo de S = {x : x R f (x)}. Llamémosle p.
b. Demostrar que para todo x ∈ S, se cumple que f (x) R f (p).
c. Justificar los cuatro pasos marcados con ∗1 , ∗2 , ∗3 y ∗4 .
∗
∗
∗
∗
1
2
3
4
∀x ∈ S, f (x) R f (p) =⇒
f (p) es cota superior de S =⇒
p R f (p) =⇒
f (p) ∈ S =⇒
f (p) = p.
Ejercicio 19 (Del 1er parcial 2001)
Se considera el siguiente diagrama de Hasse correspondiente a un orden parcial R definido en el conjunto
A = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones es correcta:
a. (A, R) es un retı́culo.
3
a
c
b
e
d
f
g
h
b. El elemento a es un máximo; g y f son minimales.
c. Existen exactamente 7 cadenas de cardinal 3, una de las cuales es {a, b, h}.
Ejercicio 20 (del 2do parcial 2009)
Definimos una relación en I = {2, 3, 4, 5, ..., 100, 101}:
xRy si y = x2 − 1 o si y = x.
a. La relación es de orden parcial y admite al menos 26 anticadenas con 4 elementos.
b. La relación es de orden total.
c. La relación no es de orden parcial.
d. La relación es de orden parcial y admite una anticadena con 90 elementos, y una cadena con 4
elementos.
e. La relación es de orden parcial y admite una anticadena con 91 elementos.
Ejercicio 21 (Ej1 2do examen 2001)
Sea R una relación binaria sobre un conjunto con 3 elementos, cuya matriz de 0s y 1s es:

1 1 1


x 1 y 
z w 1

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es correcta?:
a. R es una relación de equivalencia si y solo si x = y = z = w = 1.
b. Si R es un retı́culo entonces y + w ≥ 1.
c. Para cualquier valor de x, y, z y w la relación R es necesariamente un orden parcial.
Ejercicio 22 Sea A el conjunto de naturales n mayores que 1 que dividen a 60. Sea R la relación
en A definida por: aRb si a divide a b. ¿Es R es un orden parcial? ¿total? ¿retı́culo? Halle todos los
elementos maximales y minimales de (A, R). ¿Cuál es el cardinal más grande de una cadena en (A, R)?
¿Y el de una anticadena? ¿Cuántas cadenas de largo 2 hay?
4
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 9: Grafos: caminos, recorridos, circuitos, conexión,
subgrafos.
Ref. Grimaldi 11.1, 11.2
Algunas definiciones y suposiciones
Todos los grafos se supondrán simples, es decir, sin artistas múltiples ni lazos. El grafo completo Kn tiene
n vértices todos unidos entre sı́. El bipartito completo Kn,m tiene n + m vértices n de los cuales están unidos
a los otros m, y esas son las únicas adyacencias. El camino simple Pn tiene n vértices y todo él es un camino
simple. El n–ciclo Cn tiene n vértices y todo él es un ciclo. El grafo de Petersen es el de la Figura 1 (i). Un
grafo es un árbol si es conexo y no tiene ciclos.
c
b
k
l
f
e
g
d
m
j
a
g
c
(i) Grafo de Petersen
e
d
(ii)
f
h
i
(iii)
Figura 1:
La distancia entre dos vértices a y b de un grafo conexo es la menor de las longitudes de los caminos que
los unen. Por ejemplo, la distancia entre el vértice c y el vértice m del grafo de la Figura 1 (i) es 2. El diámetro
de un grafo conexo es la mayor de las distancias entre dos vértices cualesquiera. Por ejemplo, el diámetro de
P4 es 3 y el de C5 es 2.
Ejercicio 1 Para el grafo de la Figura 1 (ii), determine:
a. Un camino que no sea un recorrido.
e. Un circuito que no sea simple.
b. Un recorrido que no sea simple.
f. Todos los circuitos simples que pasan por b.
c. Un camino simple de b a d.
g. Todos los recorridos simples de b a f .
d. Un camino cerrado que no sea un circuito.
Ejercicio 2
a. ¿Cuál es la distancia entre el vértice d y los demás vértices del grafo de la Figura 1 (iii)?
1
b. Halle el diámetro de Kn , Kn,m , Pn , Cn y el grafo de Petersen (Figura 1(i)).
Ejercicio 3 ¿Cuántos caminos simples tiene P4 ? ¿y K1,4 ? ¿y Pn ? ¿y K1,n ?
Ejercicio 4 (1er parcial de junio de 2017 Ej1 MO) Sean x e y dos vértices adyacentes de C20 .
¿Cuántos caminos de largo 11 empiezan en x y terminan en y?
Ejercicio 5 ¿Cuántos caminos de largo n hay entre dos vértices opuestos de C4 ?
Ejercicio 6 Para cada natural n ≥ 3 se define el grafo rueda de n rayos como el grafo Wn con n + 1
vértices v0 , v1 , . . . , vn tal que v0 es adyacente a todos los demás vértices y v1 , . . . , vn , v1 es un ciclo.
En la Figura 2 se muestra W3 , W4 y W5 .
Figura 2:
a. ¿Cuántas aristas tiene Wn ?
d. Ídem para 5-ciclos.
b. ¿Cuántos 3-ciclos tiene W3 ? ¿y W4 ?
e. Ídem para 6-ciclos.
c. ¿Cuántos 4-ciclos tienen W3 , W4 y W5 ?
f. Determine cuántos k-ciclos tiene Wn .
Ejercicio 7 Pruebe que dos recorridos simples de longitud la mayor posible, en un grafo conexo,
poseen un vértice en común.
Ejercicio 8 Sea G el grafo con conjunto de vértices { 1, 2, . . . , 15} donde el vértice i es adyacente al
j si y solo si su máximo común divisor es mayor que 1. ¿Cuántas componentes conexas tiene G?
Ejercicio 9 Encuentre un grafo G que tenga tres vértices u, v y w tales que
κ(G − u) = κ(G),
κ(G − v) > κ(G),
κ(G − w) < κ(G).
Ejercicio 10 Un hombre debe cruzar un perro, una oveja y una bolsa de repollos, a la otra margen
del rı́o, por medio de una canoa. El tamaño de la canoa no permite llevar más de un objeto a la vez.
Además, no se puede dejar al perro sólo con la oveja ni a la oveja sola con la bolsa de repollos.
a. ¿Cómo se podrá hacer?
2
b. ¿Puede el hombre realizar el proceso si ha de hacer exactamente 20 viajes? (Un viaje es ir de
una margen del rı́o a la otra).
Sugerencia: asociar a cada disposición factible un vértice y unir dos vértices si se puede pasar de dicha
disposición a la otra en un solo viaje.
Ejercicio 11 Sea G el grafo de la Figura 3 (a).
a. ¿Cuántos subgrafos conexos de G tienen 4 vértices e incluyen un ciclo?
b. Describa los subgrafos G1 y G2 de G (Figura 3 (b)) como subgrafos inducidos y en términos de
la eliminación de vértices de G.
c. Trace el subgrafo de G inducido por el conjunto de vértices U = {b, c, d, f, i, j}.
d. Sean e1 y e2 las artistas {a, c} y {a, d} respectivamente del grafo G. Trace los siguientes subgrafos
de G: (i) (G − e1 ) − e2 ; (ii) (G − e2 ) − e1 ; (iii) G − {e1 , e2 }.
e. Encuentre un subgrafo de G que no sea inducido.
f. ¿Qué condición o condiciones debe cumplir un subgrafo para no ser inducido?
g. ¿Cuántos subgrafos recubridores tiene G?
h. ¿Cuántos de los subgrafos anteriores son conexos?
i. ¿cuántos subgrafos de la parte h. tienen el vértice a como vértice aislado?
G
G1
a
b
g
b
f
c
d
g
b
f
f
(a)
i
j
c
d
i
h
G2
a
i
j
h
(b)
d
h
j
(c)
Figura 3:
Ejercicio 12 (Examen marzo 2001)
El hipercubo Hn de dimensión n, es el grafo cuyos vértices son las n-uplas de ceros y unos, tales que
dos n-uplas son adyacentes si coinciden en todas sus coordenadas salvo exactamente en una de ellas,
por ejemplo (0, 0, . . . , 0) es adyacente a (1, 0, . . . , 0) pero no a (1, 0, . . . , 0, 1).
a. Halle los conjuntos de vértices de H1 , H2 , H3 y dibuje dichos grafos.
b. ¿Cuántos vértices y aristas tiene Hn ?
c. Halle 2 caminos simples en H5 de (0, 0, 1, 1, 0) a (0, 0, 0, 1, 0).
3
d. Demuestre que Hn no tiene 3–ciclos.
e. ¿Cuántos 4–ciclos tiene Hn ? (Sugerencia: cuente cuántos 4–ciclos pasan por un vértice fijo.)
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 13 Determine si se cumple o no que K4 contenga:
a. un camino que no es un recorrido.
b. un recorrido que no es ni un circuito ni es simple.
c. un circuito que no es simple.
Ejercicio 14 (1er parcial-examen 2002) ¿Cuántos caminos simples de longitud 2 tiene K12 ?
Ejercicio 15 (2do examen 2003)
Halle el mı́nimo número de aristas que hay que quitarle a K6 para que quede desconectado en dos
componentes conexas, ninguna de las cuales sea un vértice aislado.
Ejercicio 16 Sea Gn el grafo con vértices las n-uplas de 0s y 1s:
V (Gn ) = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ {0, 1}}
Dos n-uplas serán adyacentes si difieren en los valores de exactamente dos de sus posiciones, coincidiendo en el resto. Por ejemplo, en Gn , (0, 0, 1) es adyacente a (1, 1, 1) y a (1, 0, 0), pero no a (1, 1, 0).
a. Dibuje G2 , G3 y G1 .
b. ¿Para qué valores de n es Gn conexo?
c. ¿Cuántas componentes conexas tiene Gn ?
Sugerencia: sume los 1s de cada vértice.
4
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 10: Grafos (árboles, isomorfismos, grado,
circuitos eulerianos y ciclos hamiltonianos).
Ref. Grimaldi 12.1, 11.2, 11.3 y 11.5
Definiciones y suposiciones:
Todos los grafos de este práctico se suponen simples, es decir, sin aristas múltiples.
Un vértice es aislado si no es adyacente a ningún otro.
El grafo complemento G de un grafo G = (V, E) se define como G = (V, V (2) \ E) donde
V (2) = {{u, v} : u, v ∈ V, u 6= v}. Un grafo G se dice autocomplementario si es isomorfo a G.
Si G1 = (V1 , E1 ) y G2 = (V2 , E2 ) son dos grafos vértices disjuntos (V1 ∩ V2 = ∅), entonces su
grafo unión G1 ∪ G2 se define como G1 ∪ G2 = (V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 ).
Denotaremos κ(G) a la cantidad de componentes conexas de G.
Un grafo se dice k–regular si todos sus vértices tiene grado k. Un vértice colgante es un vértice
de grado 1.
Árboles
Ejercicio 1 ¿Cuántas aristas tiene un árbol con n vértices?
Ejercicio 2 Demuestre que la cantidad de componentes conexas de un grafo con n vértices y m aristas
es mayor o igual a n − m. Sugerencias: 1) Proceda por inducción en m o si quiere en n. 2) Otra forma es
considerar un árbol recubridor para cada componente conexa del grafo. 3) agregue un vértice y únalo a cada
componente por medio de una arista.
Ejercicio 3 De un ejemplo de un grafo G que no sea un árbol y que tenga un vértice más que el
número de aristas.
Isomorfismo
Ejercicio 4 Encuentre todos los árboles con 6 vértices, a menos de isomorfismos.
Ejercicio 5
a. Demuestre que dos grafos son isomorfos si y solo si sus grafos complemento lo son.
b. ¿Cuáles de los grafos de la Figura 1 son isomorfos?
c. Determine el número de aristas de G en función del número de aristas de G.
1
Figura 1
d. Determine el número de aristas de un grafo autocomplementario de orden n.
e. Construya un grafo autocomplementario de orden 4 y otro de orden 5.
f. Determine para qué valores de n existe un grafo autocomplementario de orden n.
Sugerencia: Demuestre que n debe ser de la forma 4k o 4k + 1. Para n = 4k, generalice la estructura
del grafo autocomplementario de orden 4 agrupando los vértices en cuatro grupos. Para n = 4k + 1
agregue un vértice al grafo anterior y únalo en forma adecuada.
Ejercicio 6 Para cada par de grafos de la Figura 2 determine si los grafos son o no isomorfos.
a
f
a
a
b
c
d
c
d
e
f
e
f
e
g
h
g
b
1
c
4
2
5
b
6
3
d
h
(a)
(b)
Figura 2
Ejercicio 7 Pruebe que Kn posee tres subgrafos dos a dos isomorfos cuyos conjuntos de aristas son
una partición del conjunto de aristas de Kn si y sólo si n es de la forma 3k o 3k + 1.
Grado
Ejercicio 8
a. Determine el orden de un grafo 3–regular con 9 aristas.
b. Ídem con 10 aristas, dos vértices de grado 4 y los demás de grado 3.
c. ¿Existen tales grafos? En caso afirmativo construirlos.
2
Ejercicio 9 En una clase con 9 alumnos, cada alumno le manda 3 tarjetas de navidad a otros 3. ¿Es
posible que cada alumno reciba tarjetas de los mismos 3 compañeros a los cuales él le mando una?
Ejercicio 10 Sea G un grafo con n vértices. ¿Cuántos vértices de G tienen grado par si G tiene un
sólo vértice de grado par?
Ejercicio 11 aristas si todos sus vértices tienen grado mayor o igual a 3?
¿Existe algún grafo con dicha cantidad de vértices? En caso afirmativo construirlo.
Ejercicio 12 Para todo natural par n ≥ 4 construya un grafo conexo 3–regular con n vértices.
Ejercicio 13 (Examen diciembre 2016 Ej6)
Demuestre que todo grafo conexo con 2 o más vértices tiene dos vértices con el mismo grado.
Ejercicio 14 ¿Cuántas hojas (vértices colgantes) tiene un árbol con cuatro vértices de grado 2, uno
de grado 3, dos de grado 4 y uno de grado 5?
Circuitos y Recorridos Eulerianos, Ciclos y Caminos Hamiltonianos
Ejercicio 15 Halle un recorrido o un circuito euleriano para cada grafo de la Figura 3 o demuestre
que no existe.
Figura 3
Ejercicio 16 Encuentre un recorrido euleriano para G = (V, E) con V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y
E = {ab, ac, ai, aj, bc, cd, ci, de, df, dg, dh, ef, f g, f h, gh, hi, ij}.
Ejercicio 17
a. Determine los valores de n para los cuales el grafo completo Kn tendrá un circuito euleriano.
b. ¿Para cuáles n tiene Kn un recorrido euleriano?
Ejercicio 18 Encuentre la longitud máxima de un recorrido en a) K6 ; b) K8 ; c) K10 ; d) K2n , n ∈ N.
Ejercicio 19 Sea E y H los conjuntos de grafos Eulerianos y Hamiltonianos respectivamente. Dé un
ejemplo de un grafo en E \ H, otro en H \ E y otro en E ∩ H.
Ejercicio 20 Encuentre un ciclo Hamiltoniano, si existe, para cada grafo de la Figura 4.
3
Figura 4
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 21 (Examen febrero 2009) ¿Cuántos vértices tiene un árbol con 16 vértices de grado 1, 20
vértices de grado 2 y el resto de grado 4?
Ejercicio 22 (Examen 2003) Halle el máximo número de aristas que se le puede quitar a K6 sin que el
grafo deje de ser conexo.
Ejercicio 23 (Parcial 2001) Sea G un grafo acı́clico, con n vértices y k componentes conexas. Hallar
cuantas aristas tienen G.
Ejercicio 24 (2do parcial 2001) Halle el número de subgrafos conexos recubridores del grafo de la figura,
a menos de isomorfismos.
Ejercicio 25 (Examen febrero 2010) Dados k ≥ 2, v ≥ 3 y un grafo G, k-regular con v vértices diga
cuáles de las siguientes es condición suficiente para que G tenga un ciclo Hamiltoniano.
a) 2k ≥ v; b) k ≤ v; c) 2k < v; d) 2k 6= v
Ejercicio 26 (2do parcial 2009)
a. Sea G = (V, E) un grafo sin lazos, con V = {v1 , v2 , ..., vn }. Llamamos H = (VH , EH ) al grafo
inducido por {v3 , ..., vn }. Probar que si gr(v1 ) + gr(v2 ) < n entonces |EH | + gr(v1 ) + gr(v2 ) <
C2n−1 + 2.
b. Sea G = (V, E) un grafo sin lazos con |V | = n > 2 y |E| ≥ n−1
+ 2. Probar que G tiene un
2
ciclo hamiltoniano.
4
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 11: Grafos (Planaridad).
Ref. Grimaldi 11.4
Ejercicio 1 Dibuje una inmersión en el plano de K4 , otra del cubo y otra de K2,8 .
Ejercicio 2 Indique cuales de los multigrafos de la figura son homeomorfos:
Ejercicio 3 Para los pares de grafos homeomorfos de la figura obtenga un tercero desde el cual los
dos primeros se obtengan por subdivisiones elementales.
Ejercicio 4
a. ¿Cuántos subgrafos homeomorfos a K2 tiene C4 ?
b. ¿Cuántos subgrafos homeomorfos a K1,3 tiene W4 ? (Wn son los grafos ruedas definidos en el Ej. 6
del Práctico 9).
c. ¿Cuántos subgrafos homeomorfos a K2 tiene un árbol de orden n?
Ejercicio 5 Muestre que si se elimina cualquier arista de K5 , el subgrafo resultante es plano. ¿Es esto
cierto para el grafo K3,3 ?
Ejercicio 6 (2do parcial junio 2017 Ej. Des. 1) Probar que todo grafo acı́clico es plano.
Ejercicio 7 Determine cuáles de los grafos de la Figura 1 son planos. Si un grafo es plano, vuelva a
dibujarlo sin aristas solapadas. Si no es plano, encuentre un subgrafo homeomorfo a K5 , o K3,3 .
Ejercicio 8 Sea G = (V, E) un grafo no plano. ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tener |E|?
1
G1
G2
G3
(parcial 2001)
(parcial 2001)
(parcial 2000)
Figura 1: del Ejercicio 7
Ejercicio 9 Determine el número de vértices, aristas y regiones para cada uno de los grafos planos
de la Figura 1. Luego muestre que sus respuestas satisfacen el teorema de Euler para grafos planos
conexos.
Ejercicio 10 ¿Cuántas aristas tiene un grafo conexo 3-regular plano sin lazos y con ocho vértices?
Dibuje un grafo que satisfaga dichas condiciones y otro que las satisfaga todas menos la de ser plano.
Ejercicio 11
a. Demuestre que todo grafo plano tiene un vértice de grado 5 o menor.
b. Demuestre que todo grafo plano con menos de 30 aristas tiene un vértice de grado 4 o menor.
c. Demuestre que en toda inmersión de un grafo plano y conexo con 6 vértices y 12 aristas, cada
una de las regiones está limitada por 3 aristas.
d. Demuestre que para todo grafo conexo G con 11 o más vértices, o bien él o su complemento G
no es plano.
Ejercicio 12 Sea G = (V, E) un grafo plano y cuyas inmersiones planas determinan 53 regiones. Si
para alguna inmersión plana de G cada región tiene al menos cinco aristas en su frontera, demuestre
que |V | ≥ 82.
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 13 Sea G = (V, E) un grafo plano 4-regular conexo sin lazos. Si |E| = 16, ¿cuántas regiones
hay en una representación plana de G?
Ejercicio 14 Suponga que G = (V, E) es un grafo plano con k componentes conexas sin lazos con
|V | = v, |E| = e. Establezca y demuestre una extensión del teorema de Euler para este grafo.
2
Matemática Discreta I - 2019 - 2do semestre
Práctico 12: Grafos (coloración).
Ref. Grimaldi 11.6
Ejercicio 1 Encuentre el número cromático de los siguientes grafos.
a. El grafo bipartito completo Km,n .
b. El ciclo Cn , para n ≥ 3.
c. Los grafos de la Figura.
Ejercicio 2 Demuestra que χ(G) = 2 si y solo si G no tiene ciclos impares.
Ejercicio 3 Sea G = (V, E) un grafo, donde ∆ = máxv∈V grad(v).
a. Demuestre que χ(G) ≤ ∆ + 1.
b. Encuentre dos tipos de grafos G tales que χ(G) = ∆ + 1.
Ejercicio 4 (2do Parcial jun. 2018) Demostrar que todo grafo plano se puede colorear con seis colores.
Ejercicio 5 En los laboratorios quı́micos JJ, Juanita recibe tres embarques que contienen un total de
siete sustancias quı́micas diferentes. La naturaleza de estas sustancias es tal que para todo 1 ≥ i ≥ 5,
la sustancia i no puede almacenarse en el mismo compartimiento que la sustancia i + 1 o la i + 2.
Determine el menor número de compartimientos separados que Juanita necesitará para almacenar en
forma segura estas siete sustancias.
Ejercicio 6
a. Determine P (K1,3 , λ).
b. ¿Cuál es el polinomio cromático de K1,n ? ¿Cuál es su número cromático?
c. ¿Cuáles son los polinomios cromáticos de Pn ?
d. ¿Cuál es el polinomio cromático de un árbol con n nodos?
e. A partir de la parte anterior encuentre el número cromático de un árbol con n nodos.
Ejercicio 7 Hallar el polinomio cromático de K2,n .
1
Ejercicios complementarios.
Ejercicio 8
a. Determine los polinomios cromáticos para los grafos de la Figura.
b. Encuentre χ(G) para cada grafo.
c. Si se dispone de cinco colores, ¿cuántas coloraciones propias de los vértices de cada grafo existen?
G1
G2
G3
(parcial 2001)
(examen Jul 2000)
(examen Jul 2002)
Ejercicio 9 (Examen Febrero 2002) Sea G un grafo con 5 vértices cuyo polinomio cromático evaluado
en 4 vale 0, esto es
P (G; 4) = 0.
entonces G posee dos aristas e y f incidentes, tales que si H = G − e − f , el valor de P (H; 4) = es:
a. 46
b. 47
c. 48
Ejercicio 10 (Examen febrero 2002) Sea G un grafo con 4 vértices. Si se sabe que existe una arista e
de G tal que P (G − e; 2) = P (G; 2) = 2, hallar P (G; 3).
Ejercicio 11 Dé un ejemplo de un grafo G = (V, E) tal que χ(G) = 3 pero que ningún subgrafo de
G sea isomorfo a K3 .
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