QA 371996
ISABEL CARMONA JOVER
ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES
DIFERENCIALES
QA 371996
ISABEL CARMONA JOVER
ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES
DIFERENCIALES
Isabel Carmona Jover
Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey
PEARSON
Educación
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México • Argentina • Brasil· Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
España· Guatemala· Panamá· Perú· Puerto Rico • Uruguay· Venezuela
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CUARTA EDICiÓN, 1992
Primera reimpresión, 1994
Segunda reimpresión , 1996
Tercera reimpresión, 1997
Cuarta reimpresión , 1998
© Longman de México Editores, SA de C.V.
D.R. © 1998 por Addison Wesley Longman de Mé'lico, S.A. de C.v.
Atlacomulco Núm. 500-5° Piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
CNIEM 1031
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación
pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de
recuperación de información, ninguna forma o por nungún medio, sea
electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia,
grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este
ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 968-444-150-9
Impreso en México. Printed in Mexico.
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Para mis padres
ISABEL y JESÚS
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"Cuando cojo este libro,
súbitamente se me pone limpio
el corazón, lo mismo
que un pomo cristalino.
-Me da luz en mi espíritu,
luz pasada por mirtos vespertinos,
sin ver yo sol alguno ... ¡Qué rico me lo siento! Como un niño
que no ha gastado nada de su vivo
tesoro, y aún lo espera todo de sus lirios
-la muerte es siempre para los vecinostodo lo que es sol: gloria,
aurora, amor, domingo."
Juan Ramón Jiménez
Así te lo deseo, lector amIgo.
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Prólogo
El mundo es, en todas sus partes, una aritmética viviente en su desarrollo, y una geometría realizada en su reposo.
Platón: Timeo.
Desde tiempo inmemorial, la matemática ha ejercido una fascinación especial
sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella, toma partido a
favor o en contra; a favor, por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su
constitución; en contra, por sentirse, quizá, ante una tarea superior a las propias fuerzas.
Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemática no es
para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura
matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas,
compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las
veces usando las leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen
la base de esta formidable ciencia. La matemática posee a su vez tal armonía,
tal proporción, exactitud y belleza que se identifica con la "música de las esferas", citando libremente a Piíágoras.
El libro que está en sus manos en este momento pretende presentarle una
introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de la matemática sumamente útil y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferenciales.
El texto contiene la exposición y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de
primer y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. También
se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los métodos de
series y transformadas de Laplace.
El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a
• prueba su aptitud, y cuando resuelva los de opción múltiple podrá aquilatar la
precisión del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada capítulo
contiene un resumen y un examen de auto evaluación, este último con un nivel de
conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensión del texto.
Se ha procurado rodear a cada capítulo de un ambiente humanís!ico, mediante biografías, comentarios, curiosidades y pasatiempos.
El requisito para leer este libro es conocer el cálculo diferencial e integ!':ll.
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PRóLOGO
Este libro nació, creció y salió a la luz gracias a la colaboración de mis
maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia, cada uno de ellos
aportó lo que a su área competía. Especialmente agradezco al Lic. Juan Manuel
Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic.
Christian Garrigoux Michel su participación en la redacción de las biografías.
Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que
deseo disfrute y le sea útil en su formación profesional y en su trabajo.
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PRóLOGO
ón de mis
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an Manuel
y al Lic.
biografías.
obra que
jo.
Estructura lógica de los capítulos
1
Ecuaciones diferenciales
en general
.
•..
2
3
Ecuaciones diferenciales
de primer orden
H
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de primer orden
...
r
4
5
Ecuaciones lineales
de segundo orden
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
lineales de segundo orden
...
r
6
7
Solución mediante
series de potencias
Transformadas
Laplace
de
'r
8
9
Series de Fourier
Métodos numéricos
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Gottfried Wilhelm, Barón von Leibniz (1646-1716)
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Gottfried-Wilhelm, Barón von Leibniz
"Este sabio geómetra empezó donde los demás habían acabado. Su cálculo lo llevó a
países hasta entonces desconocidos donde
hizo descubrimientos que son una sorpresa
para los matemáticos más hábiles de Europa" .
G. de L'Hópital
Gottfried-Whilhelm Leibniz nació el 21 de junio de 1646 en Leipzig, en la
actual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la universidad. En
1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestría en filosofía y jurisprudencia
en 1664. A los 20 años fue doctor en leyes, después de superar algunas dificultades administrativas debidas a su edad.
Empezó entonces a trabajar como diplomático, lo que le permitió trabajar
en Europa e indirectamente lo llevó a la creación del cálculo. En efecto,
durante una estancia en París conoció al gran científico holandés Huygens
quien lo inició seriamente en el conocimiento de las matemáticas .
. En 1676, después de varios años de ·e studio autodidáctico, inventó un nuevo
método matemático que publicó en 1684 bajo el título: Un m étodo nuevo para
máximos, mínimos y tangentes. Esta publicación desató la más famosa contro~
versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gión de una obra oientífíca, puesto
que Newton, si bien no lo había manifestado públicamente, era ya poseedor del
cálculo. Hoy en día, se considera que Newton se adelantó a Leibniz, pero
que éste último inventó independientemente el cálculo y usó un simbolismo
más apropiado, de hecho vigente hasta la fecha.
A la clásica comparación entre ellos, a favor de la mente más rigurosa y
profunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de Leibniz quien
fue, además, uno de los mayores filósofos de su siglo, así como un pionero en
el estudio sistemático de las leng>ua~.
A pesar de que no logró satisfacer su deseo de crear una lógica simbólica
se adelantó a su época más de un siglo y con su muerte, acaecida en 1716,
desapareció probablemente el último de los sabios con conocimientos universales.
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Indice
Prólogo
Estructura lógica de los capítulos
Leibniz
Simbología
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3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Geometría . .. ...
Ecuación de Bernoulli
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2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Variables separables
Homogéneas . . ,
Exactas .. '
Factores integrantes ..
Lineales
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¿ Qué son las ecuaciones diferenciales?
¿Cómo resolver una ecuación diferencial?
Definiciones básicas
Clasificación dp. las ecuaciones diferenciales
Solución de una ecuación diferencial ... .....
SoluCión general, solución particular .... . .....
Solución singular
Interpretación geométrica . . .. . .. .
Campo direccional . .
Isoclinas ."
Ortogonalidad .... .
Trayectorias ortogonales '"
Existencia y unicidad de las soluciones
Resumen
Autoevaluación 1 ..
Riemann
Comentarios
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íNDICE
Página
Ecuación de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . . 152
Ecuación de Clairaut . . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156
Química ... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . .... 159
Biología . . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166
Física . . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . .... 171
Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182
Familia Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . . 185
Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 187
4
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Ecuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... . ........... .. ... . 196
Ecuaciones lineales .. . .............' .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . 202
Principio de superposición o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . 205
Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . 206
Wronskiano .. . .............. , .... . ........................... . . . .. . 208
Ecuaciones lineales homogéneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... . 218
Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . 219
Ecuación de Cauchy-Euler . .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . 222
Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes ' . .. ..... . 234
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden . ..... ..... ..... . 241
Método de coeficientes indeterminados ... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . 242
Método de variación de parámetros ... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . 255
Resumen ... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , 267
Autoevaluación 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . 270
Euler
277
Comentarios
279
5
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo order¡
Geométrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... .
Osciladores .. . ............. . . ', . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. .
Caída libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . ... ' . .. . . . .. .. .. .. . .. . .
Circuitos eléctricos ..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... .
Flexión de vigas .............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... .
Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . .
Gauss . . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . ,
Comentarios
6
283
287
293
298
302
31?
316
318
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series
Pruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . 322
Series de potendas ... . .... .. . . . .......... . . . ..
, . .. . . ... .. .. . 32b
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ÍNDICE
17
Página
Desarrollo de una función en series .. . . . . ................. . ......... 339
Función analítica en un punto . . ............. . .......... . .. . . . ... . ... 346
Operaciones con series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. . 347
Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . .. 352
Punto ordinario ..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352
Punto singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . . 353
Punto singular regular ............ ...... ....... . ....... . ......... 354
Solución de ecuac ion es diferenciales alred edor de puntos ordin arios, mediante series de potencias . ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8 ·
Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372
Ecuación de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . . 401
Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel .. . ..... . .... . .. .. .. 401
Función Gamma . .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402
Resumen ... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. . 412
Autoevaluación 6 . .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417
Bessel ... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423
Comentarios
425
7 Transformadas de Laplace
Definición . . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . ..
Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... .
Traslación sobre el eje s ... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... .
Existencia de la transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ...
Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ... ...... ... ..
Resolución de ecuaciones mediante transformadas ...... ... .. . .........
Factores lineales no repetidos ... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... .
Factores con:plejos no repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... ..
Factores lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . ....
Factores complejos repetidos .. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... ..
Derivación de las transformadas ... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . .
Integración de las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ...
Función escalón unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . .....
Traslación sobre el eje t .. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . ..
Funciones periódicas .. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . ..
Convolución . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. ..
Aplicaciones de la transformada de Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. ..
Resumen . . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . .
Autoevaluación 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. .
Laplace .. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ...
Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... ..
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íNDICE
Página
8 Series de F ourier
Series trigonométricas y funciones periódicas ... . .................. . .. 548
Fórmulas de Euler ...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560
Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,.. ..................... 572
Funciones pares e impares . . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587
Series de Fourier para las funciones pares e impares ..... . ............ 594
Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... . ........... 605
Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier . . .......... 615
Resumen . ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 625
Autoevaluación 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . .. 627
F ourier .. . .............. .. ..... . .............. . .................... 633
Comentarios ........................ . ............ .. ................ 635
9 Métodos numéricos para resolver Ecuaciones diferenciales
Método de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . .........
Método de Euler mejorado ................ . . . .. .. ............. .. .
Método de TayJor .. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... .
Método de Runge-Kutta ... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . .
Resumen ... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . .
Autoevaluación 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . .
Abel ...... . .................. .. ...... . ........... ~ ........... .....
Comentarios .. . .. . ........................... . .................. . ..
639
642
643
645
650
651
653
655
Bibliografía ... . .................................................... 659
Indice anaIitico ......................................... . ........... 6,61
Soluciones de los crucigramas ................ . ................... . ... 663
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Simbología
R
Conjunto de números reales.
C
Conjunto de números complejos.
E
Elemento de .
(a, b)
Intervalo abierto (no contiene a los extremos del mismo).
[a, b]
Intervalo cerrado.
(a, b]
Intervalo semiabierto por la izquierda.
[a, b)
Intervalo semiabierto por la derecha.
o
.~
"Quedó demostrado" .
Es el símbolo de implicación usado en el texto, las más de las veces,
como entonces.
Doble implicación, se lee "si y sólo si".
Equivalencia o idénticamente igual.
Semejante o aproximadamente igual.
Por lo tanto, en conclusión.
fx
Significa derivada parcial de la función f(x) con respecto a x.
[19]
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1
¿Qué son
las ecuaciones
diferenciales?
Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que
todos queremos oír. Es un lenguaje.
Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un
descenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las
realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones
a través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de una cuarta
dimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia.
Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales
para los hechos y los datos cambiantes.
¿Cómo resolver una ecuación diferencial?
Hay dos maneras de aprender a patinar sobre ruelo. Primera: En una librería
se compra uno los siguientes manuales: Cómo dominar el patinaje en 15 lecciones, Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre hielo en el
[21 ]
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22
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Paleolítico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patín, El patín,
su constitucián, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografía e ilustraciones a
todo coloT; se va uno a su casa, se instala en su lugar favorito y se sumerge
en la lectura, sin olvidar tomar apuntes, hacer análisis comparativos y aplicar el
cálculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegará un
momento en el que ya está uno totalmente capacitado para estrenar los patines
- regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que quizá ya sufrió uno su
primer reuma. Segunda: Se toma el par de patines y amparándose en el instinto de conservación se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos
y posibles huesos ro,l:os.
Así se aprenden muchas cosas : haciéndolas.
Para resolver una ecuación diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemos
integrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambios
de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares.
Si tenemos
la llamamos ecuación diferencial de segundo orden. Integrando:
dy
x!
-- = -
dx
2
+ Cl
Si volvemos a integrar :
obtenemos un1\ función-solución que podemos comprobar al instante :
derivando:
derivando de nuevo con respecto a x:
el resultado nos convence de la exactitud del método empleado . Así, en este
capítulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferenciales y el método geométrico para obtener soluciones.
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23
¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Definiciones básicas
Definición 1.1. Una ecuación ,diferencial es aquella ecuación que contiene
derivadas o diferenciales.
Definición 1.2. Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más
alta contenida en ella.
Definición 1.3. Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que
está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.
CLASIFICACIóN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ordinarias
La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Parciales
La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependieiites con respecto a dos
o más variables independientes.
Primer orden
Segundo orden
Tercer orden
F(x, y, y') = O
F(x, y, y', y") = O
F(x, y, y', y", y"')
Orden n
F(x, y, y', ... , yen)) = O
Tipo
Orden
=O
J neales
a) La variable dependiÉmte y y todas
sus derivadas son de 1er. grado.
b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la va. riable independiente x (puede ser
constante) .
No lineales
Las ~ue no cumplen las propiedades
{ antenores.
Grado
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24
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
Ejemplo
de ecuaciones
diferenciales:
= 2e-x
dy
dx
oy
ox
+ kx
--
= --
x2y"
+ xy' + y
ot
ot
uv" + ry
0Y.
-
DIFERENCIALES?
--
Os
=O
x2 --
Orden
Grado
Lineal
Ordinaria
1
1
Sí
B.
1
1
,
C.
Parcial
SI
Ordinaria
2
1
Sí
Ordinaria
2
1
No
02y
dy
dr
y'"
+y
sen y'
2
=O
1
Sí
2
1
Sí
(02m) 2
-2on
Parcial
4
1
No
+ y"
Ordinaria
5
3
No
Ordinaria
lINo
Ordinaria
1?
- y2 = O
= x/y
+y
2
Ordinaria
dx
(yVl-
=O
No
Ejercicios 1.1
Escoger la opción que da la clasificación
diferenciales:
1. y"
+ xyy' = sen
x
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal.
B. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.
C. Ordinaria, orden 2, grado 1, no
lineal.
D. Ordinaria,
lineal.
O.
4.
B. Parcia
lineal.
C. Ordin
lineal.
dy
= kv
y'
Parcial
+ x-- + (r-v )y
04V
ot
-4-
A.
Tipo
A.
=x
--ot + --OS2 =: C
2
R
3. x3yy'"
(porque el coef.
de y" no depende
de x exclusivamente)
oy
¿CóMO
orden 3, grado -
1, no
correcta
de las siguientes
ecuaciones
--Definici
no conti
tuir la
identida
--Definici
que con
integrae
--Definici
eión eu
-----
EJEMP
05X
2. e' __
ot5
02y
+ -- 2 = cte.
or
A. Ordinaria,
B. Parcial,
La fune
orden 2, grado 2, lineal.
orden 5, grado 1, lineal.
C. Parcial, orden 2, grado 2, no
lineal.
D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.
Porque
en otra
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NCIALES?
¿CÓMO RESOLVER
3. ryy'"
ineal
Sí
Sí
Sí
el coef.
o depende
exclusivaente)
Sí
D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal.
É. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no
lineal.
B. P.arcial, orden 2, grado - 1, no
lineal.
C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.
D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal.
4. y"
+ 2x3y'
-
(x - 1)y
orden
A. Ordinaria, orden 2, grado 2, no
lineal.
B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal.
C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal.
D. Parcial,
orden 2, grado 1, no
lineal.
= xy3/2
2, grado
1, no
lineal.
B. Parcial,
orden
2, grado
3
2'
25
DIFERENCIAL?
+ y =O
_ x2yy"
A. Ordinaria,
No
UNA ECUACIÓN
no
lineal.
C. Ordinaria,
orden
3
3, grado -,
2
no
Respuestas.
Sí
No
No
No
1. C; 2. B; 3. C; 4. A;
5. D.
lineal.
Definición 1.4. Solución de una ecuación diferencial es una función que
no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una
identidad.
Definición 1.5. Solución general de una ecuación diferencial es la función
que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas
integraciones) .
No
Definición 1.6. Solución particular de una ecuación diferencial
ción cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.
cuaciones
EJEMPLO
1
La función
x
+ y2 = C
es la solución
dy
dx
o 2, lineal.
general
de la ecuación
1, lineal.
Porque derivándola
en otra forma:
implícitamente
diferencial:
1
----
2y
1, lineal.
do 2, no
es la fun-
tenemos:
2yy' =-1
1
+ 2y
dy
--
nx
= O, o expresado
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26
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Sustituyendo y y y' obtenemos una identidad:
2.yc=x(-
donde y
1
J=-1 :.-1=-1;
2-/c-x}
= -vc=x.
EJEMPLO 2
La función y = e-X + 8 es solución particular de la ecuación diferencial
y' + e-X = O, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:
y' = _ e-X
_ e- x
+ e-X = O
:. O = O
EJEMPLO 3
=
La función y
3:x! + C¡X
cial y" = 6, porque:
+ C2
es solución general de la ecuación diferen-
y' = 6x
y
y"
+ C¡
= 6
:.6
= 6
EJEMPLO 4
La función t = 2xy2 + 3:x!y + g(y)
ecuación diferencial parcial:
+ f(x.)
es la solución general de la
(it
- -=4y +6x
oy ox
Porque:
y
02t
-~--
ay ox
.
~ = 2y2 + 6xy + f(x)
ox
= 4y + 6x; sustituyendo:
4y
+ 6x = 4y + 6x.
EJEMPLO 5
La función y = c¡e- x
ecuación diferencial:
+ C2eX + C3e-2X + C4e2X
y/V _ 5y"
+ 4y =
O
es solución general de la
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¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Porque:
y'
= - cle - X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4 e 2X
y"
= + cle - x + C2eX + 4c3e-2X + 4c e2X
4
Sustituyendo:
-------------y/v
- 5cle-X - 5C2 ex - 20c3e- 2X - 20c4e 2X
+
-
-..............
----
- 5y"
..
4c le- x + 4c2ex
'-~----
.._--
+ 4c3e- 2X + 4c e2 x =
4
O
-----~----4y
+
:. O
=O
EJEMPLO 6
La función y = e X(3 cos 2x + sen 2x) es solución particular de la ecuación
diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque:
y' = e X( - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + e X(3 cas 2x + sen 2x)
y" = e X( _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x)
e X(_ 6 sen 2x
+2
cos 2x)
+
e X(3 cas 2x
+ sen
Sustituyendo:
eX( _ 12 cas 2x -
4 sen 2x) + 2e X(_ 6 sen 2x + 2 cos 2x)
sen 2x) + e X(12 sen 2x - 4 cas 2x) +
e (3 cas 2x +
e X(_ 6 oas 2x - 2 sen 2x)
X
+ e (15 'cas
X
2x
15 cos 2x] = eX(O) = O.
:.0=0.
2x);
+
sen 2x) =
+ 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x +
_ 2 sen 2x + 5 sen 2x +
eX[- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x
12 sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x
+5
+
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¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Ejercicios 1.2
Averiguar si las siguientes funciones son solución de la correspondiente ecuación diferencial.
= Ge
1
Y = 2e - 2x + - eX
3
X
l. Y
2.
3. Y
= B In x +
G
= G,e - x + G2e2X
X
X
y = Be + xe
de y'
=O
~- 2y = pX
de y'
= / 64x
de y' - y
V
x3
=O
+ Y =O
4. y
de y" - y' - 2!J
5.
de y" - 2y'
'6.
senx
Y -- -3x
1
7. y - - - = O
Gas x
3
8. y = -
3x
+2
= 1 + G .j 1 - X2
y = 2x VT=7'
9. y
10.
11. y
+y=
de xy '
= e-X Gas -12 x
1
de y' - y tan x = O
de y' = 3y2
de yy'
= 4x -
de 4y"
+ By' +
de y '"
+y
= Gas t}
=e
dey '
+
x
y
t
x
14. y= - Gas x
15. x
=
16. y
=e
Gas t }
y=.2 sen t
sen
_1
2x
+ xy
de (1 - X2)y'
12. y = e-X Gas -X
2
13.
Gas x
RX3
5y = O
= e-x Gas -12
y
~=
1 - X2
de xy' - y
de yy '
=x
=r
x
O
tan x seG x
+ 4x = O
de xy' - y tan in y = O
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29
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIóN DIFERENCIAL!'
Respuestas: Sí son solución, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12.
NOTA.
Usando este triángulo:
~~SiX
cos t
sen t
x
y la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones anteriores.
Definición 1.7. Solución singular de una ecuaClOn diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (X¡¡, Yo) coincide con la
tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en
ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequeña que ésta sea.
Estas soluciones no se obtienen a partir de la solución general. Un método
para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuación diferencial dada con
respecto a y', con lo cual formamos un sistema de ecuaciones:
F(x, y, y')
=
°
oF(x, y, y')
- - - - - = 0,
oy'
del cual, eliminando y', se obtienen una o más soluciones singulares.
EJEMPLO
Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial:
y'2 = 16x2
Derivando con respecto a y', tenemos:
:?y'
=°
De donde y' = O; sustituyendo en la ecuación, obtenemos x = 0, qu e es l a
solución singular.
En efecto, las soluciones generales de dicha ecuación son:
y
=
2 X2
+ c,
Y
y para el punto (0,0) su gráfica es y
=-
2x2 "+ c,
= ± 2 X2
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¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
y
..... x
------~E----------
Figura 1.1
=°
I
YX
es el punto de contacto con las pendientes de y
punto (0,0).
= + 2r
en el
Definición 1.8. Problema con valor inicial es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales.
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación diferencial:
°
y' -4xy =
1
Para la condición inicial: Y = - cuando x = 0, o bien, brevemente:
5
1
y(O) = 5
La ecuación puede escribirse como:
dy
= 4xy
dx
o
dy
-y
= 4x dx,
integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:
-In y
=
2X2
Y = ce2x
+c
2
.
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31
¿C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL?
1 1 1
Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que: ce'l ~ C
5 5 5
=
= -.
Entonces la solución particular es:
1
y =_ e2X
5
2
•
EJEMPLO 2
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
y"
= x,
para
=4
y(-2)
y'(O)
=
1
Integrando ambos lados de la ecuación tenemos:
y
,
r
=- + Cl
2
Volviendo a integrar:
Y=
X
3
- + C1X + C2 es solución general.
6
Aplicando las condiciones iniciales dadas:
para y'
para y
O+
1
=
4
= -- -
4
=
Cl ~ C l
-8
6
-4
3 -
2Cl
= 1
+ C2
2(1)
+ C2
22
C2 = - -
3
. '. y
3
22
= 6' + x + 3'
es
X
solución particular.
Comprobación : derivando la solución particular y sustituyéndola en la
ecuación, debe satisfacerla:
y' =
y"
r +1
2
= x.
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32
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
OBSERVACIóN. Se necesita igual número de condiciones iniciales que el del
orden de la ecuación diferencial.
EJEMPLO 3
Dada la siguiente función:
como solución (la forma de obtenerla se estudiará más adelante) de la
ecuación diferencial:
y'" - 4y"
+ y'
-i- 6y = O
Encontraremos la solución particular para las siguientes condiciones iniciales:
y(O) =4,
y"(O)
= 4c
y'(O) = -1 ,
+ C2 + 9C3
l
y"(O)=O
.~
4c l
+ C2 + 9C3 = O
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Cl
Obtenemos:
.
••y
Cl
= 10/ 3,
= 10
- e 2x + 29
_ e-x
dadas.
3
12
_
C2
-
+ C2 + C3 = 4
= 29/ 12, C3 = -7/ 4
7
4
e
3x
.,.
. .
es la soluclOn particular para las condIcIones
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FERENCIALES?
les que e¡ del
¿CÓMO RESOLVER
UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL?
33
Ejercicios 1.3
Dada la ecuación diferencial, su solución y las condiciones
el valor de las constantes arbitrarias.
iniciales,
determinar
Respuestas:
+ 6x = O
1. yy'
y(O)
=4
1
2. y2y' - 4x = O
y(-) = O
2
ante) de la
3. y' = 1 + y2
y
tan x
4. y' = 1 _ y2
+
5. yy' = e
2X
+ y'
6. 2y"
1
+e
1t
- y
tanh-ly
=x + e
Donde
- 1
y2
=e
2x
=1
y(-)
4
+y
y(O)
=-
e=--
{ y(O)
=O
el=-
+ 2x + e
= eos x + 4
1
2
=1
{"(O)
=4
. Escoger la opción correcta.
Solución
condiciones
Condición
= 12x
A. 24y = r
c.
y
+e
= 6x + e
=r + e
D.
x
= -1 .,,¡:¡¡=c
B. y
inicial
y(.j2) =-1
general
2
6
e=O
=O
y'(~)
2
y'
2
e=O
<y <1
=O
8. Ecuación
3
e=--
y(O)
y'(O)
7. y"
= 16
= tan(x + e)
1- e tan x
diciones ini-
e
Valor de las constantes
= -22
e = -13
e
e= -3
e =-4
=1
3
4
2
3
e2=-el
=1
e2
=4
2
3
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¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
9. Ecuación
Condición inicial
xy' = 7
y(l) = 7
Solución general
Valor de las constantes
A. y
= 7 In x +
c=7
C
7
B. y=-r+c
2
C. y = In x
7
c=2
+C
D. y = In cx
c=7
7
10. Ecuación
y" = 2x
Condición inicial
+1
y(O)
=1
y'(l)=- Z
Solución general
A. 6y = 2X3 + 3r
Valor de las constantes
+ Clx + C
2
{
1 3
1
B. y=-x
+-r+cx+c
3
2
1
2
C. Y
=r
+ CIX + C
C2
= -
12
{~~ =;-
3
=-
3
CI
2
{
1
Cl = 1 .
C2
= 1
1
13
6
D. y=-r+-x+c l X+C 2
3
2
11. Ecuaoión
Condiciones iniciales
y(O) = In 2
y'(ln 2)
Solución general
A. y
=
eX
CI
2
CI
{
= Cl + c x + e
D. y = eX
O
Valor de las constantes
+ clx + C
{ C2
C. y
=
2x
2
+ clx + C2
C2
= In 2 = - 2
=O
= In 2
{ C2
= In 2
=O
CI
= - 2
CI
{ C2
1
+ (In 2) (ln 2 -1
= In 2 - 1
1)
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ENCIALES?
¿CóMO RESOLVER
UNA ECUACIóN
DIFERENCIAL?
12. Ecuación
yy
I
Condición
= Gas x
Solución
1t
y(-)
2
general
35
inicial
=3
Valor de las constantes
= 2 Gas x + G
B. In y = Gas x + G
A. y2
G=9
G = In 3
y2
C.
-= sen x + G
G = 7/2
2
D. In y = sen x
+G
G = In 3
-1
Respuestas:
= 6x 13
y = 7 ln x + 7
1
1
y = - x + - x
.
3
2
8. B, Sol. particular
2
y
9, A, Sol. particular
-
3
10. B, Sol. particular
11. D, Sol. particular
y
1/
12. C, Sol. particular
-
2
o
=
eX -
2
2x
= sen x
1/ =
-
3x
+ In 2 -
+
1
1
7
+-
2
2 sen x+-7
Geométricamente,
la solución general representa
una
Así: r + y2
G2 representa
una familia de circunferencias
familia de curvas.
(figura 1.2).
=
y
y
1)
y
x
= Xl
-4
------~--~~-7----------X
Figura
1.2
Figura
1.3
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36
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES?
La solución general y = x2 + c es una familia de parábolas (figura 1.3). La
solución particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que se
obtiene cuando las constantes arbitrarias
toman un valor específico a causa
de las condiciones iniciales. Así, en las figuras 1.2 y 1.3 la forma que tiene
la solución particular para c
1 Y e
4, es r + if
1 Y Y
x2 - 4, respectivamente.
=
=-
=
=
¿CÓMO
El co'
con una
propieda
Defini
tes id'
Definición 1.9. La terna (x, y, y') determina la dirección de una recta que
pasa por el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es
la representación
geométrica del campo direccional;
Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional,
en donde, para cada curva de la familia solución, la tangente en cada uno de
sus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto.
EJEMPLO
El campo
t
direccional
de la ecuación
y'
= (y
diferencial:
-1)x
Podemos dibujarlo dando valores enteros para x y y y calcular las pendientes correspondientes:
-3
-,1
-2
1
O
2
3
4
Así, v
familia d
~
-3
12
8
4
O
-2
9
6
3
O
-1
6
4
(2)
O
3
0
1
O
O
-4
-8
- 12
-16
-3
-6
-
- 12
O
8)
-4
- 6
-
8
1
O
-1
E-~
- 3
-
4
O
O
O
2
-3
@
-1
O
1
3
-6
-4
@
O
0
4
-9
-6
-3
O
Figura
(3)
1.4
O
0
G)
6
-
9
O
O
0)
G)
6
8
9
12
y dando
Si y'
=k
o bien:
para k
=
k=
k=
---_._-_._-- - - - -- -- - - - - --
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37
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
El conjunto de los trazos ese! campo direccional (figura 1.5). Cruzando
con una curva los segmentos de igual pendiente, se obtienen curvas con la
propiedad de atravesar segmentos con idéntica pendiente; entonces :
Definición 1.10. Isoclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendientes idénticas.
Figura 1.5
Así, vemos que las isoclinas de la ecuación diferencial y' = (y - I)x son una
familia de hipérbolas. Para obtener las isoclinas, se iguala y' a una constante,
y'
y dando valores a
Si y' = k
~
= k,
k se pueden graficar.
(y - l)x
=
k
o bien:
k
y = x
+1
es la familia de hipérbolas,
= 1,
asíntota horizontal
para k
= 0,
y
k
= 1,
y=-+ 1
k=-l
1
x
Y
= - -1x
+ 1,
etc.
----
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38
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES?
¿CóMO
Observamos que en los cuadrantes 1 y 3, y' > O (las soluciones crecen) y
en los cuadrantes 2 y 4, y' < O (las soluciones decrecen). Ya podemos trazar
aproximadamente
las curvas solución: una familia de parábolas.
Ejercicio
Figura
EJEMPLO
=k
o sea
k
=O
y'
=O
k
=1
y'
=1
k=-l
k
Identifica
2
Obtener la solución aproximada
método de las isoclinas
y'
1.6
de la ecuación diferencial:
y'
por el
6. y' =
x=k
y'=-l
=2
= x,
y'
donde y'
>O
para
X>
O
7. y' =
y y'
<O
para x
<O
=2
8. y' =
9. y' =
etc.
Las isoclinas son rectas paralelas
una familia de parábolas.
1. Y '-2. y' =
3. y' =
4. y' =
5. y' =
10. y'
al eje y y las curvas solución
forman
=
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NCIALES?
¿CÓMO RESOLVER
UNA ECUACIÓN
k =-1
crecen) y
os trazar
39
DIFERENCIAL?
k
y
=1
x
Figura 1.7
Ejercicios 1.4
Identificar
las isoclinas
de las siguientes
ecuaciones
Familia
,
, por el
l. Y =x-y
,
2. y =x+3
,
3. y =y+x
,
4. y = ye
y_ x3
5. y'
X
=
6. y
o
o
,-
y
,
,
8. y = 2y(x
,-
,
10. Y =
+ y)
1
x=k-3
y =k- x
y = ke="
y=k+X3
k
(x - y)
k
= y2 +- xy
Y
GOS
x
k
y=x+2
y=-
-
de isoclinas:
y=x-k
y=--
7. y = y(x + 2)
9. Y
forman
x
--
diferenciales.
1
k
k=1
{ k =- 1
(n
= Znr:
x = (2n + 1)7t
x
= 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...
)
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40
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Figura 1.8
Familia de isoclinas:
-r
11. y' = y2
y2=k+r
12. y'=-JX2 +y2
13. y'
r + y2 =
= -J X2 + 2x + 1 + y2
14. y' = -J X2
+ 11 -
15. y' = 1 - yx
16. y' = y
4x - 6y
k2 = (x
+ 13
k2
+ 1l +
k 2 = (x - 2l
y2
+ (y -
3l
1-k
y=--
x
+r
En los siguientes ejercicios, trazar el campo direccional y algunas curvas
solución.
17. y' = ~
y
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41
¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Figura 1.9
18 . y
'
k =- %
y- x
y+x
= --
x
Figura 1.10
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42
19. y'
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
=
xy
Respuesta: El campo direccional es
semejante al de la figura 1.6 observar que la asíntota horizontal está en
y = o.
20. y'
=
3x-y
x
Figura 1.11
Además del método de isoclinas para obtener soluciones de las ecuaciones
diferenciales, también existen otros: el de Euler y el de aproximaciones sucesivas, aparte de los métodos numéricos iterativos tan ' rápidamente elaborados
por una computadora.
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43
¿cóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Definición 1.11. Dos curvas son ortogonales en un punto
son perpendiculares en el punto de intersección.
~
sus tangentes
y
x
Figura 1.12
Recordamos que las pendientes de estas tangentes son recíprocas y de signo
contrario, excepto en el caso en que las tangentes sean paralelas a los ejes de
coordenadas.
EJEMPLo 1
1
Dadas las funciones y = - y Y
x
los puntos de intersección.
= "'13 x
3
,
averiguar si son ortogonales en
x=
1
-Y -- - -if3
~
los puntos de intersección en los reales son :
Derivando las fu n ciones para obtener su pendiente, tenemos:
dy
1
dx
r
ml= - - =m2 =
dy
- - = X2
dx
1
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44
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
y
1
m¡(P
= - -J3
m¡(P2)
=-
I)
1
-J3
=-
En ambos puntos se cumple que mI
mlPI)
= ..j3
m2(P2)
= ..J3
DIFERENCIALES?
¿CÓ
1
--o
y
m2
1
Y =_x3
3
De'
for
F(
mI
ell
= .¡s
1
Y=3
rna
x
1
=-
.,,¡s
P
Figura 1.13
EJEMPLO
toma:
~m
2
Sean las funciones y = e"
y y
= e-x, su punto de intersección
es (0,1).
y
y
=
e-X
\
I
I
I
¡---
EJ
mI
I
Ha
Su
x
m2
Figura 1.14
I
I
I
I
En
die
Qu
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45
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
dy
dy
m2=--=-e- X
m¡=--=e x
dx
dx
m¡(O)
= 1
mz(O) =-1
1
.·.m¡=-
Definición 1.12. Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan
formando ángulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuación
F(x, y, y') = O, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a
ella, es otra familia de la forma:
1
F(x, y, - - ,)=0
y
Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se
toma: m¡
-+ m2
dy
= -.x
d=
dy
= -=
dx
-
f(x, y), y como m2
1
f(x,y)
=
1
da la trayectoria ortogonal a la primera ecuación
EJEMPLO 1
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas y
= ex.
.
~
~
y
Su pendIente es: m¡ = - - = e; o sea: - - =dx
dx
x
Entonces una familia ortogonal a estas rectas será la que tenga como pendiente:
m2
dy
= -- =
dx
1
e
Que también se puede expresar como:
o sea
dy
dx
x
y
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46
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
ydy
y2
Integrando:
--
2
¿CÓMO
= - xdx
x2
= - --2 + c,
DIFERENCIALES?
o bien:
y2
+x =c
2
y
y=x
1111
~
.x
II11
-1
y=-x
2
y=-x
Figura 1.15
o
La familia de circunferencias con centro en el origen y la familia de
rectas que pasan por el origen son mutuamente trayectorias ortogonales.
Ejcrcici
Obtener
1. Y =
EJEMPLO
2
2. y=
Hallar
las trayectorias
Ootenemos:
dy
m,
ortogonales
= dxdy- = 2cx
y como e
de parábolas
y
= y/r
= ex',
3. y =
4. y2_
~ - = 2(y/x )x
2
dy
dx
dx
Buscamos:
de la familia
m2
dy
-x
dx
2y
= - = --
o bien:
= 2y/x
2y dy
= - x dx, integrando:
5. y3_
6. yln
7. y=
---------------------------------------------http://carlos2524.jimdo.com/
ENCIALES?
¿CóMO RESOLVER
UNA ECUACIÓN
47
DIFERENCIAL?
y
Figura 1.16
Observamos
milia de
gonales.
que es una familia
de elipses.
Ejercicios 1.5
Obtener las trayectorias
ortogonales
de las siguientes
familias
Trayectorias
1. y=er
4
+e
2. y =7x
ortogonales:
2y2
+r=e
4y
+
7x
=e
=ct.
+ ef
3. y = (X2
=e
y. - 6x = e
y ln ex = 3
y = ce"
4. y2 _ x
2
5.
6.
7.
2
8
- y3j2
3
xy
+
ln x
=e
=e
y (lnx
+ e)
=4
=e
y2 + 2x = e
2y3 _9x2
de curvas.
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48
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
= vx+ e
8. y
9.
Y=
r =
ceas 28
Referencia: (Ver Cap. 3, pág. 131)
=
10. r
e(l -- eas 8)
Referencia : (Ver Cap. 3, pág. 131)
11. r = e - sen 8
Referencia : (Ver Cap. 3, pág. 131)
12. Y
= e eas x
r
r
4
_
3
3 2
X /
+e
= esen2 8
r = e(1
=
y2
y
14. y2
-
=
+ eas 8)
l/(ln
e
see 8
+ tanB
2ln(e sen x)
= ex
= 2ex + 4
= e eash x
Y = eln Ixl
15. Y
y2 = 2ln(e eseh x)
16.
2y2
= _ 2r ln Ixl + r
eas y = ee - X
17. sen y = ee - X
18. Y
)
= ee
X
19. eX eas y
2
=e
20. 2y
= X-JX2 -
21. X2
+ b 2y2 = 1
eX sen y
1- ln(x
+
-Jr -1)
22. Para la familia
X2 = 2(y - e), determinar q~lé
curva de las trayectorias ortogonales pasa por el punto (l, 2).
23. Para la familia
=
+e
y2
2ax (parábolas que pasan
por el origen) , determinar qué
curva de las trayectorias ortogonales pasa por el punb (2, 4).
+e
=e
y
=-
y2
+r =
eash -IX
+e
21nex
Respuesta: y
+ ln x = 2
=
Respuesta: y2 + 2X2
24, elipse
con centro en el origen .
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49
¿COMO RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL?
y
----~------~E-------_+--__.x
Figura 1.17
Existencia y unicidad de las soluciones
En álgebra lineal nos encontramos con tres tipos de sistemas de ecuaciones en
el plano:
2y
{
+ 3x = O
2
3
- - y--x = O
5
5
y- x
{
=5
y- x= 2
Figura 1.18
2Y
{
+ 3x = O
y = x+5
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50
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Estos sistemas tienen: un número infinito de soluciones (cada punto de las
rectas en el plano satisface ambas ecuaciones), ninguna solución (ningún punto
del plano es común a las dos ecuaciones) y una sola solución (las dos ecuaciones tienen uno y sólo un punto en común), respectivamente.
Los dos primeros sistemas no nos ayudan mucho para obtener respuestas
congruentes. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que nos interesan
son aquellas que tienen una sola forma y un único valor para ciertas condiciones
iniciales. ¿Bajo qué condiciones se puede garantizar que una ecuación diferencial de primer orden tenga una y sólo una solución?
Teorema 1. Existencia y unicidad
Dada una ecuación diferencial
y'
= f(x,
y)
donde f(x, y) está definida en una región rectangular R que contiene al punto
(xo, Yo).
y
Si f(x, y) satisface las condiciones:
a) f(x, y) es continua en R,
!L.
ay es
b)
Yo
.~
existe un intervalo 1 con centro
en Xo y existe una y sólo una función
y
g(x) definida en el intervalo 1
que satisface la condición inicial
y(xo) = Yo·
=
x
Figura 1.19
Dicho de otra manera:
Condiciones para la existencia de soluciones:
Continuidad de f(x, y) en R.
Acotamiento de f(x, y) por R.
continua en R,
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51
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Condiciones para la unicidad:
Continuidad de f(x, y) y
.
5f
5Y
en
R.
5f
Acotamiento de f(x, y) y - - por R.
5y
Estas condiciones son suficientes pero no necesarias, porque puede existir
una solución única que satisface y(xo) = Yo, pero que no cumple la condición
a), o la condición b), o ninguna de las dos .
EJEMPLO 1
3
Sea Y ' =2"
Y
'~f(x,
y)
5f
3
= -,
1,2
5y
y
En todos los puntos del eje x no se cumplen las condiciones a) y b) porque
f(x, y) y 5f son discontinuas en Y = O; sin embargo, por cada punto del
5y
eje x pasa una sola curva solución.
Y = 19x
+c
o bien
Y=
.J 9(x -
xo)
y
x
Figura 1.20
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52
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
EJEMPLO 2
Hallar la región del plano xy en la cual la ecuación diferencial :
y'
= xy
tiene una solución única en un punto (xo, Yo) de esa región .
E ntonces I(x, y)
= xy, oy01 = x;
ambas son continuas en todos los puntos del plano xy, y por cualquier
punto (xo, Yo) en el plano pasa una y sólo una solución y = ee
2
X
/2,
o bien,
2
Yo = ce'" / 2 de donde :
Yo
e = - -2- '
e ("'o) 12
EJEMPLO 3
Dada la siguiente ecuación diferencial
y'=W
Averiguar en qué región:
a) Tiene más de una solución.
b) Tiene solamente una solución .
Solución:
01
2
oy
3 -lfY
I es continua en todo el plano xy .
' x.
-01 es d"Iscontmua en e l eJe
oy
· x h ayos
d ecuacIOnes
.
"
(x + el
a ) E n e l eje
solUClOn
y = Oy y = - que d an
27
origen a un número infinito de parábolas cúbicas.
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53
RESUMEN
b) En todo el plano excepto en el eje x
dy
Porque - - = dx,
3 yl¡J
y2/3
(x
y=
=
X
+ e,
+ el
27
y
x
Figura 1.21
Resumen
Definiciones
ECUACIÓN DIFERENCIAL:
la que contiene derivadas o diferenciales.
ORDEN:
el de la derivada más alta.
GRADO:
el exponente de la derivada más alta.
SOLUCIÓN:
función sin derivadas que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN GENERAL:
con constantes arbitrarias.
SOLUCIÓN PARTICULAR:
SOLUCIÓN SINGULAR:
las constantes toman un valor determinado.
su pendiente tiene un punto en común con la pendiente
de otra solución.
PROBLEMA CON VALOR INICIAL:
CAMPO DIRECCIONAL:
ISOCLINAS:
ecuación diferencial
+ condiciones
iniciales.
conjunto de segmentos de la terna (x.. y, y').
curvas que satisfacen: y' =
f (x, y) = k.
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54
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
CURVAS ORTOGONALES:
SUS
pendientes son perpendiculares en el punto de inter-
sección.
TRAYECTORIAS
ORTOGONALES:
familias de curvas cuyas pendientes son perpen-
diculares entre sí.
Clasificación:
ordinarias: una sola variable independiente
Tipo
{
parciales: dos o más variables independientes
a) y , y', y", .. . y (n ), son de ler. grado
Lineales
{
b) Cada coeficiente depende sólo de x
Grado
No lineales
{No cumplen lo anterior
Teorema: Existencia y unicidad de las soluciones. Continuidad y acota-
miento de f(x,y) y
~
oy
en la región R.
Autoevaluación 1
1. Definir: isoclinas.
2. Definir: campo direccional.
3. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones.
4. Escoger la opción que contiene la definición correcta de: trayectorias
ortogonales.
A. Familias de curvas paralelas entre sÍ.
B. Familias de curvas cuyas pendientes las cortan en ángulo recto.
C. Dos familias de curvas de la forma F(x, y, -
1
- ,-)
y
= O.
D. Familias de curvas que se intersectan formando ángulo recto.
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IALES?
AUTOEVALUACI6N
inter-
5. Clasificar
(oy)
a)
+
2
\ox
erpen-
1
55
las siguientes
02Z
of
=~
6. Escoger
=O
la opción
ecuación diferencial:
por su tipo, orden y grado:
et
y
+ y(y'/-x
b) (x-1)y"
ecuaciones
que contiene
la clasificación
correcta
de la siguiente
+ (xy'yz = ~.
x(r -1 )y'"
x
o
A. Ordinaria,
orden 3, grado 2, lineal.
B. Ordinaria,
orden 3, grado 1, no lineal.
C. Ordinaria,
orden 4, grado 2, lineal.
D. Parcial,
orden 4, grado
1, no lineal.
x
7. Verificar
rencial: xyy'
acota-
si la función
= y + 2.
8. Elegir la opción
correspondien te:
A. Y = e-X
+e
r+y
C.
r + e-
=e
B.
D. y
2
y2
=e
= ceCOSX
= cx(y + 2)2
e"
que da la solución
de
y
,
de
yy
de
yy
de
y
=
es solución
general
de la ecuación
de la ecuación
dife-
diferencial
= 2xy = O
,
'
,
9. Sustituir la función y
sen
ver si la satisface: y' = 2 sec y.
=-x
= xe"
-y
_1
2
sen x
=O
2x en la siguiente
ecuación
diferencial
para
ctarias
10. Elegir la opción que contiene la correcta solución particular
guiente ecuación diferencial: (x + I)y'
xy, para y(O)
l.
=
= ln (x + 1)
B. y = e" - x
C. y = e'(» + 1)
A. y
D. y(x
+
1)
= e".
=
de la si-
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56
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
11. Resolver el problema con va}or inicial y(O)
= 7, y'(O) = O,
y"
= 6x -
12.
12. Seleccionar la opción que contiene la solución particular correcta del
problema con valor inicial.
Ecuación diferencial
A. xy"
=
y'
B. yy" = (y' y
c.
yy'
= y' + 2xy
Condición inicial
Respuestas:
y(O)
= 1, y'(l) = 4
y(O)
=
y(O)
=1
y
y(O)
= 12
y
1, y'(O)
y=
2:r + 1
= 3
= In y +:r + e
= tan X2
13. Encontrar las trayectorias ortogonales de :la familia de curvas:
y = e (tan x
+ sec x).
14. Seleccionar la opción que contiene la familia de trayectorias ortogonales de: y' = 2xy
c. y = ln:r + e
D. y = In ex
15. Señalar la región donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución
única: y'
-5x/y.
=
Respuestas de la autoevaluación 1
1, 2 y 3, ver el texto.
4. D. La A es falsa, porque la condición es la perpendicularidad, no el
paralelismo. La B es falsa, porque una pendiente es tangente y nunca corta
a la curva. La C es falsa, porque está incompleta, debe ser: una familia de la
forma F(x, y, y') con otra familia de la forma F(x, y, -
1
-,- J.
Y
5. a) Parcial, orden 2, grado 1, no lineal. b) Ordinaria, orden 2, grado 1,
no lineal.
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57
AUTOEVALUACI6N 1
6. B. La A es falsa porque el grado de la ecuación es el exponente de y"'
o sea 1. La e es falsa porque el orden no es la suma de los órdenes de las
derivadas que existan en la ecuación; el grado es 1, no es lineal porque y'
está al cuadrado. La D es falsa porque la ecuación es ordinaria, sólo hay una
3
d y
=-y
dx
"
.
"'
vanable
mdependlente
y
3
y
,
dy
= __
el orden es 3.
o
dx '
7. Sí lo es. Derivando implícitamente:
eY -
dy
dx
dy
= 2cx(y + 2)-- + c(y + 21
Sustituyendo c
dy
- ( eY
dx
dx
eY
=---~ y
~+~
dy
,
tomando factor comun - -
dx
2e
e
--)=y+2
x
Y
-
Y
Dividiendo entre eY y simplificando
dy
y
1
-(-)=dx
y+2
x
xyy' = y
+ 2.
O
8. C. La solución de la opción A debe ser y = ce-x!, aplicando correctamente las leyes exponenciales. La· solución de la opción B es y2
La solución de la opción D es y = ce-
cosx
+r
=
C.
.
9. Sí.
dy
Derivando - dx
2X~
2
= ----¡~==:=?
VI-4r
= sen- 2x ~ 2x = sen y
y ..J 1 - 4r = cos y
Derivando 2x = sen y
l
Si Y
dy
2
dx
cos y
--=--~y
,
=2secy.
10. D. Solución general y(x
la solución particular es: y(x
11.
Y = x3
-
6r
+ 7.
+ 1) = ce x para y(O)
+ 1) =
,¡r.
= 1 ~ e = l.
Por lo tanto
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58
¿QUÉ SON LAS ECUAC IONES DIFERENCIALES?
12. A. La opclOn B tiene intercambiados los valores de las condiciones inicial es y le falta el coeficiente 3 para satisfacer dicho cambio. En la opción e
no se aplicó la condición inicial. Por erro r en la opción D se tomó y(O) = O.
13. Derivando:
dy
-= c(sec x + sec x tan x),
dx
2
sustituyendo c
Y
= -----tan x + sec x
dy
-= ysec x
.dx
dy
dx
-
oos x
--~
ydy
y
== -
Gas x ,dx,
if + 2 sen x =
c.
14. B. La solución de A contiene la solu ción de la ecuación dada. Las soluciones e y D empl ean función logaritmo en vez de función exponencial.
15. Tomamos
f(x,
y)
5x
y
of
5x
y2
= - - y - = -; f es discontinua en y = O, o sea, en
oy
el eje x; en el eje x se infringe la condición b) del teorema de existencia y
unicidad, de hecho la solución es y2 + 5x!
c; en y
O no hay soluciones. ¿En
qué parte del plano existe una y sólo una solución, en cada punto del mismo?
En todo el p lano xy, excepto en el eje x.
=
=
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BIOGRAFíA
59
Georg Friedrich Riemann (1826-1866)
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60
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Georg Friedrich Riemann
Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad física, Riemann impactó, sin
embargo, el mundo de las matemáticas como pocos lo han hecho en la historia.
Hijo del pastor de un pequeño pueblo en Alemania, recibió no obstante una
buena educación que lo llevó a presentar su tesis doctoral delante de Gauss en
Gottingen.
Este último, reconocido como difícil de sorprender, quedó entusiasmado
por el desarrollo que hizo Riemann sobre la teoría de la función de una variable
compleja. Este episodio se recuerda como la única vez en la que Gauss haya
expresado admiración por un trabajo ajeno.
Ahí aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generarían el
enfoque topológico del análisis. Un poco más tarde clarificó la noción de integral mediante una nueva definición conocida como la "Integral de Riemann" .
Sus trabajos sobre los fundamentos de la geometría le permitieron generalizar
la noción de espacio y son precursores de las teorías del siglo XX sobre los
espacios abstractos.
Pero su complexión débil lo hizo presa de la tuberculosis, un mal entonces
incurable, y Riemann murió en 1866 a los 40 años. Sus obras, que caben en
pocas páginas, son de una densidad tal que dejan trabajo e ideas incluso para
los matemáticos de hoy en día.
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61
COMENTARIOS
Comentarios
" ... Estos acertijos, en cierto modo, más
que ninguna otra rama de las matemáticas,
reflejan el . espíritu siempre joven, inquisitivo e intacto, de esta ciencia. Cuando un
hombre deja de maravillarse, de preguntar
y jugar, está acabado".
E. Kasner
y
J. R. Newman.
Averiguación
=a
La función y
X
es hija de - - -________ y vio la luz en 1679.
a) Descartes
b) Leibniz
c) Euler
Demostración de la falacia: n = n
+1
+ 1/ = n + 2n + 1
(n + Il - (2n + 1) = n
ambos miembros 2n + n:
(n + 1/- 2n - 1 - 2n
2
Sabemos que (n
2
restando de
;
2
2
-
n = n2
-
2n2
-
n;
sacaooo factor común:
(n
sumando (2n
(n
+ zy- (n
+ Il -
(n
+ 1) (2n + 1) =
n2
-
+ 1//4 a ambos miembros:
+ 1)(2n + 1) + (2n + Il/4 = n 2 -
n(2n
+ 1);
n(2n
+ 1) + (2n + Il/4;
o sea:
[(n
+ 1) -
(2n
+
I)/2l
= [n -
(2n -i- 1)/2F,
elevando a la potencia 1/ 2
n
+1-
(2n
+ 1)/ 2 = n-
n+l=nD
¿Dónde se generó el error?
(2n
+ 1)/ 2
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62
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Pensamiento
"La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números".
Blavatsky.
Propiedades metafisicas del número 1
Representa el principio de unicidad, de lo indivisible e ilimitado: Dios. Pitágoras
dice que es el padre, creador de todas las cosas; el pensamiento, creador de
todas las ideas; la memoria, el fundamento del conocimiento. Como número,
representa al hombre, el único animal que camina erecto.
Elles lo determinado, la iniciación, lo que insta para que las cosas sean,
la voluntad. Es la identidad, la igualdad, la existencia y la persistencia. Representa lo espiritual, la luz, la inteligencia y la aptitud para proponer, considerar
y resolver. Es meditación, reflexión y decisión, obrando como trabajo en la
mano de obra y como volición en el pensamiento .
Remontándonos a los orígenes: Sistema de numeración del Antiguo Egipto,
(posiblemente 3000 A.C.)
1
6
10
23
100
1000
10000
100000
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63
COMENT ARIOS
6. El que profesa la ingeniería.
HORIZONTALES
7. Descripción, cuento, relato.
1. Curvas con pendiente constante. Nota
musical.
8. Piedra sagrada del altar. Símbolo qUÍmico del azufre. Bonita, agradable.
2. Mil. Cierto tipo de ecuaciones diferenciales.
9. Participio del verbo ser. Signo muy
usado en las ecuaciones matemáticas.
3. Artículo masculino singular. Entreguen. Exponente de la derivada de mayor
orden en una ecuación diferencial. Vocal.
10. Artículo. (Al revés.) Descanso, paro
de! tra,bajo. Corriente caudalosa de agua.
11. Tipo de queso. Símbolo químico del
aluminio.
4. Pronombre relativo. Pasar la vista por
lo escrito. (Al revés.) Ser supremo.
5. Símbolo de "unión" en la teoría de
conjuntps. Letra que se usa para designar
la constante de integración. Conjunción copulativa que indica negación. Examiné,
investigué, estudié.
6. Dos. Lengua provenzal o lemosín.
Abreviatura de licenciado. Nombre de
varón.
7. Vocales. Pieza heráldica en forma
de paja estrecha. Las 3 primeras letras de
Einstein. Especie de toro salvaje.
CRUCIGRAMA
1
1
2
3
4
5
8. Símbolo químico del Radón. Uno en
números romanos. Recubro con oro. Otorga.
Vocales.
6
9. Perpendicular. Terminación propia de
los alcoholes.
8
7
9
VERTICALES
1. Ingeniero mecánico electricista. Amo.
2. Función sin derivadas que satisface a
una ecuación diferencial. Consonante.
3. Lo da la derivada más alta de la ecuación diferencial. (Al revés.) Clase, muestra.
4. Cien. Fino, exquisito.
5. f;cuación diferencial donde la y y sus
derivadas son de primer grado y cada coeficiente depende solamente de x. Logaritmo
decimal.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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2
~e
Ecuaciones
diferenciales
ordinarias
primer orden
En el mundo de las bacterias se desató impensadamente un conflicto. Cuatro
de entre las más jóvenes decidieron intervenir en la dimensión de los humanos, con el firme propósito de sumergirse en su sangre y mediante una rapidísima proliferación segregar una sustancia alrededor del corazón que lo inmunizara del mal, de la mentira y de la fealdad.
A pesar de la oposición de la colonia bacteriana, las cuatro amigas estudiaron su plan. Vieron que si su rapidez de crecimiento era proporcional a la
cantidad de bacterias presente en cada momento, en corto tiempo llegarían a
recubrir un corazón humano con la sustancia que llamaron biverbe. Observaron
que se duplicaban al cabo de 5 minutos y su pregunta siguiente fue qué cantidad de bacterias debía tener la nueva y revolucionaria colonia para que en
20 minutos hasta el corazón más renuente fuera recubierto de biverbe.
Aquí es donde acudimos a nuestro lenguaje simbólico para resolver a nuestras amigas su problema.
Sea x la cantidad de bacterias presente en cada momento del proceso, entonces, la proporcionalidad observada viene dada por la relación
[65]
~:
IX
x
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66
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Para . establecer una igualdad, usamos una constante k, llamada constante
de proporcionalidad y así obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
dx
- -=kx,
dt
la cual se resuelve por integración inmediata:
de donde ln x = kt + c
x= ce kl •
Esta función exponencial convenció a las bacterias de que su crecimiento
iba a ser rápido, pero esta solución general les resultó ambigua porque había
demasiadas incógnitas. Utilizando las condiciones iniciales de su experimento,
O, que
se encontraron los valores de c y k de la siguiente manera: para t
fue el momento inicial, había x
4 bacterias.
Sustituyendo en la solución :
4 = ceo .
c= 4
x = 4e k t,
y para t = 5 minutos el número de bacterias se duplicó: x = 2(4). Volviendo
a sustituir· estos nuevos datos:
=
=
k=~
5
Así la solución general, tiene la forma:
x
= 4 e(ln 2/5)t = (4)2 t / 5
=
=
Y la respuesta a la última pregunta quedaría: para t
20 minutos, x
?;
20 5
entonces: x
(4)2 / ; X
64 bacterias.
Por tanto, sólo 64 bacterias en un lapso de 20 minutos pueden inmunizar
un corazón humano. Entonces las bacterias se desparramaron, comenzaron su
trabajo y .. .
En este capítulo trataremos especialmente las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: variables separables; homogéneas (reducibles a variables separables) ; exactas; con factores integrantes (reducibles a exactas), y
lineales.
=
=
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
67
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Definición 2.1. La ecuación di ferenc-ial de variables separables es de la forma siguiente : f(x) dx + g(y ) dy = O, donde cada diferencial tiene como
coeficiente una función de su propia variable, o una constante.
Método de solución : integración directa.
¡f(X) dx
+
f
g(y) dy
= O
Cuando no pueden separarse las variables de una ecuaClOn y no pueden
agruparse en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables,
habrá que usar otros métodos para encontrar la solución.
EJEMPLO 1
Resolver e X +Y y' = x, con las condiciones iniciales y = ln 2 cuando x = O.
1) Separar las variables usando las propiedades de las funciones involucradas y los artificios algebraicos necesarios:
eX e Y
dy
-
-
dx
= x;
e Y dy
= x e-X
dx.
2) Integrar cada miembro de la ecuación:
f
e Y dy
=
f
x e -x dx
=-
x e-x - e-x + c, solución general en la forma implícita porque no
está despejada la variable dependiente y, pero:
eY
y
y
= ln I e - X
= f(x).
(- x -
1)
+ c ¡,
solución general en la forma explícita:
3) Aplicar las condiciones iniciales: y(O)
ya sea en su forma explícita o implícita.
= ln 2
en la solución general,
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68
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
En la implícita: e1n 2 = - O - 1
+e
2=-1+e
e=3
.•. e Y
= -
x
e-x - e-x
En la explícita : In 2 = In 11(0 - 1)
+ 3,
solución particular.
+ e 1; aplicando
exponencial, tenemos:
2=-1+e
e=3
:. y
=
In 1e-X (- x - 1)
+ 31
EJEMPLO 2
Resolver xyy'
= 1 + y2, para y = 3
cuando x
= 1 o bien y(l) = 3.
1) Separar variables:
dy
xy--= 1
dx
y
1
1
2) Integrar: 2 In 11
+
+ y2
dy
+ y2
= dx
X
y2 1= In 1x
I+
ln
Ie I
Observación . La constante de integración no pierde su arbitrariedad, su
carácter de cualquier número, si está afectada por funciones. Así , ln lel = e
porque el logaritmo natural de una constante es también una constante;
del mismo modo se puede usar eC, e2, sen e, eosh e, etc.
Usando las propiedades de los logaritmos (por eso introdujimos "In lel"):
In
11 + y2 1'h =
In
1ex 1
Aplicando exponencial:
I 1 + y2 1'h = 1ex 1
Elevando al éuadrado:
1
CX2 _ y2
+
y2 = ex 2
= 1, solución general implícita.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
3) Aplicar las condiciones iniciales y( 1)
=3
e(l) - 9 = 1
e = 10
1Ox! - y2
= 1, solución particular.
EJEMPLO 3
Resolver: sen x
ea~y
dx - eas x sen y dy = O
1) Separar variables:
sen x
sen y d
--dx - - y= O
eas x
eas 2y
2) Integrar término a término:
- ln leos xl
ln leos xl
1
- -=e
eas y
+ see y =
e, solución general.
En este caso que no nos dieron condiciones iniciales, vamos a comprobar
la solución. Derivando implícitamente:
sen x
- - - dx
easx
+ see y tan y dy =
O
sen x
1
sen y
- -- d x + - - - - dy=O
eas x
eas y eas y
=
o
- sen x cas2 y dx + eas x sen y dy
O
sen x eos2 y dx - eas x sen y dy = O O
EJEMPLO 4
Resolver:
e-x
+ y'
=
1
-..;xr+l
+ 6x
para y(O)
=e
69
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70
ECUACIONES
1)
Separar
1
..J r +
dx
dy _ (
2)
Integrar:
3)
Aplicar
y
DE PRIMER
ORDEN
ECUACI
variables:
dy
:.
ORDINARIAS
y
= senh :' x +
+ 6x -
1 ) + 6x ..JX2+1
= senh=' x + 3r +
condiciones
1
iniciales:
e-X
e
+ e,
e-X
e-X
ción,
punto
A. y ,
dx
B. Y ,
solución
general
explícita.
C. y
= e + 1.
3r + e-x + e + 1
solución particular.
D.
Solución: la primera derivada se representa geométricamente
por la pendiente de la tangente; aprovechando esta identificación, podemos plantear
la ecuación diferencial que cumple con la condición pedida:
dy
dx
Separando
variables
dy
--=dx
Aplicando
la condición
In
Iy + 71 = x +
e
de que la curva debe pasar por el punto
1-6 + 71 = e,
:.
In
Ejercicios
Hallar la
1.
y'
2.
y'
Iy + 71 = x,
e
(O, -
6):
=
4.
y'
=
=8
=x
5.
y'
=
6.
y'
=(
7.
y'
=e
3. y'
y+7
In
l
=Y + 7
e integrando:
,
Solució
opción
La op
constan
la absc
EJEMPLO 5
'Hallar una curva que pase por el punto (O, -6), de tal forma que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada
del punto más 7 unidades.
y
,
= O;
o bien:
y
= e" - 7.
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R ORDEN
ECUACIONES
DIFERENCIALES
EJEMPLO
DE VARIABLES
71
SEPARABLES
6
Escoger la opción que contiene la ecuación diferencial, junto con su solución, de la curva para la cual la pendiente
de la tangente en cualquier
punto es proporcional
a la abscisa de dicho punto.
A. y' = ky, Y = ce'"
B'
. y
=x, y
c.
= kx, y = k -r2 + e
'cita.
y'
x!
=- + e
2
D. y' =~, y = k ln [x] + e
x
la pendenada
la penplantear
Solución: la opción correcta es la e, el resultado
es una parábola.
La
opción A planteó el problema con respecto a la ordenada y no a, la abscisa.
La opción B no expresa correctamente
el enunciado
porque le falta la
constante de proporcionalidad.
La opción D considera
el recíproco
de
la abscisa en vez de la abscisa que pide ve] enunciado
del problema.
Ejercicios 2.1
Hallar la solución
general
de las siguientes
ecuaciones
Solución
1.
r
Y =4x--6
y
6x + e
2. y'
= 1- 7r
7
y=x--x3+c
3
3. y'
= 8 + 2x - 3x2
y
J
4. Y' =x 5 --+x
2
X
(O,-6):
general
= 2r -
5.
y
,-
-
9r - 6
r
= 8x
diferenciales:
+x
2
-
x!
6
x
1
y=-+-+-+c
6
x
Y =9x
+e
x2
2
6
+- +e
x
6.
y'
= (4 + 3xl
Y
1
= -(4+3xy
15
7.
y'
= e=:" + 2x
Y
= - - e-3x + x2 + e
1
3
+
e
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ECUACIONES
72
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
,
y
2
= -sen
5
+e
24.
y
s
= -cas 3t + c
25.
di
s
= t ln
t - t
26.
di
11. --2-~
yS
,d t
s
= (t +
cY
12.
4y3/2 _ 3y2
= 2 cos 5x
8. y'
ds
9.-dt - - sen 3t
ds
10. - dt
= lnt
+ 4t
ds
_ Vx+x
- ...¡y-y
dy
dx
13. y'
=
3r..Ji6+
y2
5x
dr
1
3
.J
2
27. y'
= 4x 2
3
14. y'
=
15. y'
=e
y'
=
eY
X+Y
y
1
+ x2
y2
1·8y_ '_
y1
20. y'
cos' x
-y
+ e-Y = e
ln y
= tan
y2
Y
.,.;-T+7
_1
x
+e
x
9x2
22. y' = 4 - 9x
2
6x -12
23 • Y ' _
2
x
=
31. y'
=
32. y'
=
33. y'
=
34. y'
=
35. y'
=
=c
=
In y
hallar
1
X
+-
sen 2x
-
_
= senh
la solución
_1
x
particular
6x5
y(I)
=2
5
y(I)
=O
= 4x Y = 4x -
y(I)
= 20
Y
6x
+
c
2
Solución
=4-
y'
y
En los ejercicios siguientes,
las condiciones iniciales dadas.
21. y'
30.
= e" + e
4ex
1
X
=
=
+e
1f/2
3
- + sen=!
~
19. y' =
= _2 (x4 _
"
x_y
16. y' = 4 e
17.
y4
y3
29. y'
c
Y
X3~
=
28. y' ~i
+ 3x2 + e
J/
+ y2 = x +
16
dr
+ 2t + e
y
= 6lnx
+e
ción
correspondiente
particular
3x3
-
x6
3x3
-
x6
12
+2
+- +8
x
a
Escog
dife
36. y'
=
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73
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
24. y'
25. -
26. -
=
dr
1
dr
27. y'
1
= - Gas - t
2
2
dt
dt
e4X _ 5 sen x
= 2 sen t - e -
= ..:.y
t
y(O)
=
r(7t)
=O
reO) = 4
y(1)
1
xVX2 -
28. y '= - - - -
5
1
4
Y
= - é x + 5 Gas x
r
= sen - t - 1
r
=-
1
- 4
1
2
+ e- t + 5
2 Gas t
=O
y(- 1)
=
1
Y
29. y'
= ln x -
9X2
y(1)
=7
y
= x 1n x tan y = eX
x - 3x3
+ 11
+1
1
30. y' = eX cas2 y
7t
y(O) =-
e- X
31. y' = - sen y
y(I)
= O
Gas y = e-X
y2
32. y ' = - - -
y(I)
= - -7t4
- = - tan- I x
=e
y(O)
=
2e 3x
1
33. y'
3x
+ X2
+
2Y
,
Gas2 x .
34. y = - y2
35. y'
=
Y
1 - x2
4
e
1
y
O
y(7t) = - 1
y(O)
- -
4y 3
=1
1n y
=5
+ 3e- 2Y
= 6x + 3 sen 2x - 4 - 67t
= tanh-
I
x
Escoger la opción que contiene la solu ción general o pa rticular de la ecuación diferencial d ada :
A. eY
= -21 eX , solución
B. eY
= -21 eX
2
C. eY
2
+ 4,
solu ción particular
= -12 eX, solución
2
D . eY = -1 eX 2
2
+ G,
general
particular
' genera l
so l ucion
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74
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
37. 10 xy y' = 1 _ y2
= ex y2 =
l 5
/ ,
A. 1 - y2
B. 1 -
X-
l 5
/
solución general
+ e,
solución gene-
ral
C. ln 11 - y2
general
=
D . 1 - y2
38. y ln y y' - ln x
=O
=
para y(l)
y2
A. - ln y
2
1_ 5 =
l
X-
/
5
,
solución
solución general
= x ln x - x + 1
y2
if
+ e,
1
1
B. -ln y - - y2
2
4
C. -
X
1
ln y - - y2
= x ln x -
x
+e
= x ln x -
x
+-
3
2 4 4
D. y ln y - y
39. dx = XVX2 -1 6 dy
para y(4)
A. x
= x ln x -
x
=O
= 4 see 4y + e
B. x = 4see 4y
C. x
= 4eos4y
D. ln(x
40. (1 - ln x) dx
+ (1
- ln y) dy
=O
+
y2
VX2 - 16)
.
para y(e)
=e
A. x ln x
+ y ln y
B. x(2 - ln x)
C. x - x ln x
+ ln4
= 2e
+ y(2 -
+y-
D. 2x - x ln x
= -2
In y) = 2e
=O
y ln y = O
y ln y
+ 2y -
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75
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
41. y'
+ 3y + 5 =
A. (ce - X - 5)/ 3
O
B. (ce -
3X
C. (e -
3X
D. (e-
X
- 5)/3
+ e+ c-
5)/3
5)/ 3
Respuestas:
36. D
37. A
38.
e
39. B
40. B
41. B
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Definición 2.2. Polínomios homogéneos son aquellos en los que todos los
términos son del mismo grado.
EJEMPLO 1
X2 Y
+
8xy2 _ x3
+
y3
La suma de los exponentes del primer término es 2 + 1 = 3, lo mismo para
el segundo 1 + 2 = 3, por tanto los cuatro términos son de grado 3.
EJEMPLO 2
x Y Z2
-
r
y2
es un polinomio homogéneo de grado 4.
Definición 2.3. La ecuación diferencial homogénea es de la forma:
M(x, y)dx + N (x, y)dy
0, donde M y N tienen la propiedad de que para
toda t > 0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N
sean del mismo grado n.
=
M(tx, ty) = t n M(x, y)
N(tx, ty)
=t
n
N(x, y), n
r::
R
Por ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables
separables mediante sustituciones apropiadas.
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76
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 3
Determinar si la función
dicar su grado:
f(tx, ty)
y)
= 2 VxY + x es homogénea, si
lo es, in-
= 2V(tx) (ty) + tx
=2tVXij + tx
= t[2yxy +
como f(tx, ty)
-?
f (x,
=t
n
x]
f(x, y), n
E
R,
la función es homogénea y de grado 1.
EJEMPLO 4
= -vx+1.i; averiguar si es homogénea y su grado.
f(tx, ty) = '¡tx + ty = yt(x + y) = t 2 -vx+1.i
1
como f(tx, ty) = t 2 f( x, y), la función es homogénea y de grado - .
2
Sea la función f(x, y)
1
1
/
/
EJEMPLO 5
Sea la función f(x, y )
grado.
f(tx, ty)
=t x
3 3
= x + x2y + y; vamos
3
a ver si es hom ogénea y su
= (txl + (txY (ty) + ty
+ t 3x2y + ty =F ef(x, y); la función no es homogénea.
EJEMPLO 6
X2
D e terminar el grado de la sigu iente ecuación: y'
Sean M(x, y)
= X2 + y"
=
y
+ y2
= --xy
N(x, y)
xy
entonces M(tx, ty)
(Lx? + (tyj2
t 2(X2 + y2) es de 20. grado
2
y N(tx, ty)
(tx) (ty)
t xy es de 20. grado; la ecuación es homogénea de
. orden 1.
=
=
=
=
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77
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Definición 2.4. Las ecuaciones diferenciales homogéneas también tienen la
siguiente forma:
dy
-
dx
+ g(u) = O donde
= f(x,
u
y).
Método de solución: usando sustituciones algebraicas apropiadas, se con vierten en ecuaciones de variables separables. Una de las más comunes es:
y
- = v
x
~
y
= vx
EJEMPLO 7
Resolvemos la ecuación diferencial (X2
Usando y = vx
Dividiendo entre
y
dy
+ y2) dx -
xy dy
=O
= vdx + xdv
(X2
+
(1
+ 'l} ) dx
(1
+ v2 - v 2)
dr)dx
= vr(vdx + xdv)
r
= v(vdx + xdv)
Separando variables:
dx
= v x dv
dx
- - = vdv
x
Integrando:
v2
ln !x! = -2 + c
y
Como
v = -:r
.~
1
y2
ln !x! = _.
- +c
2 X2
y2
Entonces:
ln
!x! = -2X2. + c.
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78
ECUACIONES
EJEMPLO
Usando
ORDEN
dx
cuando
=x +y
v
+ (x + y
x
=-
-+ y
- 4) dy
=O
7. x(x
1
=v -
x
y
= dv
dy
+ (v
+ (v
vdx
vdx
Separando
- dx
- 4) (dv - dx)
- 4) dv -
(v -
=O
4) dx
=O
variables:
v2
4v
12. (3y2
v
=x +y
.-+
+ yf
(x
:.
Aplicando
condiciones
O
=e
-+
(x
-
=-
4x
+ (y
+e
14. (2xy
v2 - Bv
-
10. (y
13. (2xy
-2
1f
,
9. xy
11. (7x
Integrando:
(-
,
8. xy
(v-4)dv=-4dx
Com~:
ECUACI
6. (y
+ y)
(x
=O
y
DE PRIMER
8
Resolver
para
ORDINARIAS
+ y)
B(x
+ yf -
By
==-
Bx
Bx
+e
+e
=e
=1
.•
(2
15. y'
=
r-
16.
iniciales:
e
+
(x
+ yf -
By
= 1.
dy
17. -
dx
Ejercicios 2.2
Hallar
18
la solución
general
de las siguientes
ecuaciones
Solución
1. x y'
=y
2. xy'
=
3. (x - y)
4. y'
=
-
x
+x
dx + (x
y
+r
y2
- y
+
1) dy
=O
y
= x ln e x
+ y)
dy
= ln e (2x -
= ex
2y
+
1)
Encon
dadas:
21. (3xy2
para
2
x
. d=-+~
x
y
(r +
(r +
x
2xy
5
19.
20.
= xln~
y2 _ x2
diferenciales:
general:
y
2 (x
dy
·dx
x
Y2
x
= 2ln
Ixl + e
22. (3xy2
para
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79
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
+ -Jr + y2) dx =
6. (y
7. x (x
+ y) dy =
8. xy' - y = re
+ x ) y' =
+ y2) dx
+y
13.
14.
+ 2y)y' = -2x -7y
(3y2 + r)y' + 2xy + 3X2 = O
(2xy + X2 + 3y2) y-'
+ (y 2 + 2xy + 3x2) = O
(2xy + 2y2 + X2 + y2) y'
+ (2x 2 + 2xy + X2 + y2) = O
15. y
, - 3y - 4x
-2y - 3x
y
x
x
y
=-
y2
+
7xy
(y
+
x) (y2
x cas x
+cx
+r =c
=
+ r)
oC
= c
= xy y'
r -
17.
dy
dx
= y - x+ 1
dy
x+y +2
dx
x+y - 4
18.
y
- - = ln c x (J - -y
(y - x) (y - 2x)
16.
y2
x
x- y
11. (7x
12.
= senh _1 !!..- + c
ln x
x
9. xy' = X2 sen x
10. (y
(r
x dy
(y -
y - x -6
y
xl -
=
c
= 3 ln I x + y - 1 I + x + c
19. (r
y2 - 2xy
X3 + x2y
20.
3xy
x2y2
+ 2xy) y' = - 3X2 (X2 + 2xy) y' =- 2y2 -
12y - 2x
+ xy2 =
C
+ X3 y = C
Encon trar la solución particular correspondiente a las condiciones iniciales
dadas:
Respuestas:
21. (3xy2
+ x3) y'
=
= 3y3 + x2y
para y(J)
2
3
22. (3xy2 - x ) y'
3y3 _ x2y
para y(l) = O
y
y3
+ x2y
=
y=O
= 2x
= JOx3
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80
ECUACIONES
,
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
Respuestas:
y-x+8
23. y =----
B.
y-x-l
C.
= -2
para y(l)
24.
(y - xy - 2 (y - x)
= 18x - 3
D.
No se
y-x-2
=y-
y'
x
1
para y("2)
+
32. x esen
+y
para y(O)
=1
+
(y - xy
14y
+
4x
=9
A.
B.
=O
y e
C.
=1
Y
X
/
D.
= y2 + xy
=1
para y(l)
=e
x eX/Y
=
33. y'
27. (X2 + xy sen ~)y'
= y2 sen.!!....
x
x
=~
para y(l)
Y
2
28. {1 - 2 (x
Y1
1
="2
25. (y - x)y'
26. ry'
7
+ y)]
Sugerencia:
v
A. x-y
=-
1t
eCOS
2
+x +y +1=O
=x +y
y'
B. x-y
para y(l)
ln (x
x
= 1t/2
x
x
=O
+ y) + x -
29 • x Gas -y, y = y Gas -Y - x seri -Y
para y( 1)
Y/X
xsen~
x
C. x-y
2y
=1
D. x-y
=1
A. xy2
+~
y2
30. (xYGas~
+ x2sen~)y'
x
para y(l)
x
= y2Gas~
B.
-=
2
C.
-=
2
x
Y
=~
2
x
D. y2
Escoger la opción
rencial dada:
31. x (eY/x
A. Y
=e
1J X
/
-
que contiene
1) y' ~ eY/X (y -
+
1
x)
la solución
particular
de la ecuación
para y(1)
ln
y2
1t
Y sen-=x
2
x
=O
dife-
+ xy
35. (2x
A. 3y'
in
+3
+ 4x
B. No pue
génea.
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ER ORDEN
ECUACIONES
B.
y
DIFERENCIALES
=xe
Yx
/
HOMOGÉNEAS
81
1
-
C. No puede usarse cambio de variable.
18x - 3
D. No se puede integrar
32.
x
GOs!!....
ese" y/x
por los métodos directos.
r -/y ese" y/x GOs!!...-
=
y'
x
A.
x
B. x
=
=
x =
C. x
ese" y/x
D.
e,eny/x
-
2
-
1
= y - 2x -/- 1
Y -2x-J
=1
1=
A. x - y - 2In
13 -
B. x - y-/-2
In
1
y - 2x - 1
1
=- 2
C. x -
y-/-2
In
1
3 - y -/- 2x
1
=G
D. x - y-/-2
In
1
y - 2x - 1 1
=G
=-
34. (x -/- 2y) y'
A. xy2 -/- ry -/- x'
y2
B. -=ln
x2
x
=O
para y(O)
=2
y -/- 2x
-2
y - 2x
para y(-2)
=2
para y(-l)
= -/-1
=G
Gr
2y -/- X
y2
C. -=ln
2
para y(l)
ese" y/x -/- 1
= e,eny/x
33. y'
x
4r
2y -/- x
D. y2 -/- xy -/- x2 = 4
cuación diíe-
35. (2x -/- 3y) y'
= 2 (x -
A. 3y2 -/- 4xy - 2X2 -/- 5
o
B. No puede
génea.
aplicarse
y)
=O
la sustitución
y
= vx
porque
la ecuación
no es homo-·
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82
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
C. No puede aplicarse la sustitución x - y
mogénea.
D. 3y2
+ 4xu -
=v
porque la ecuación no es ho-
2X2 = -3.
Respuestas:
31. B. La opción A no consideró la constante de integración. La opción e
niega el hecho de que sí puede usarse el cambio de variable y = vx.
V
La D opina que
e
1 d
v
v -ev
_
= -dxx
d .
. d
no pue e llltegrarse, Sien o que ya
es de variables separables y la integración es inmediata.
32. C . En las opciones A, B y D se aplicaron mal las condiciones iniciales.
33. A. La opción B no tomó la integral correspondiente al diferencial de v.
En la opción e no se aplicaron las condiciones iniciales. La opción D
contiene los errores de las opciones B y C.
34. D. En la opción A faltan las condiciones iniciales. En las opciones B y
e
hay error en la integración de la variable v.
35. D. En la opción A están mal aplicadas las condiciones iniciales. La opción B ignora que la ecuación sí es homogénea y permite el uso de
y = vx. La opción e contempla una sustitución no apropiada.
Ecuaciones diferenciales exactas
=
Definición 2.5. Dada la función z
f(x , y), se dice que la expresión
dz = fx dx + f y dy es su diferencial total.
Donde fx y fy son las derivadas parciales de la función f (x, y), con respecto
a cada una de las dos variables independientes; además, suponemos que estas
derivadas parciales son continuas en una región R del plano xy.
EJEMPLO 1
Sea z = 4ry - 2xy 3
+ 3x
-+ dz = (8xy - 2y 3
+ 3) dx + (4r -
es el dif.erencial total de la función z.
6xy2) dy
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83
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
EJEMPLO 2
Sea z
=e
X Y
/
+ xy
~
1
dz = (- e xflJ
y
\
+ y) dx -
X
(- eX / Y
y2
-
x) dy
es el diferencial total.
Si tomamos el lado derecho de la expresión y lo igualamos a cero, entonces :
Definición 2.6. La igualdad M(x, y) dx + N(x, y) dy = O es una ecuación
diferencial exacta ~ el primer miembro es una diferencial total.
Es decir: Si df = fx dx +fy dy ~ f"dx + fydy = O es ecuaClOn diferencial
exacta y fr = M (x, y), fy = N (x, y). Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función f (x, y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada. Usando la notación de la diferenciación
parcial, tenemos:
of
N=~
oy
M=--,
ox
,
Si volvemos a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otra
var.iable: .
oN
ox
Por el cálculo sabemos que si las derivadas parciales son continuas entonces: ,
Esto significa que:
oM
oy
oN
ox
Por tanto, si la ecuación es exacta se cumple esta condición. Por
bleceremos el siguiente teorema.
f
so esta-
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ECUACIONES
ORDINARIAS
Teorema 1. La condición necesaria y suficiente para
rencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = O sea exacta es que:
oM
oN
oy
ox
ORDEN
que la ecuación
dife-
Para
ver si una
Así, en est
ecuación
Método de s
1) Dada la e
3
+y
Sea la ecuación diferencial:
x sen y dx
Sean M
x sen y y N
Y cos x
=
=
oM = x cos y,
oy
*- -y
cos x dy
oN
.~-Como x cos y
ECUA'CIONES
el teorema
La explicación
anterior demuestra
el teorema.
diferencial es exacta lo aplicamos inmediatamente.
EJEMPLO
DE PRIMER
ox
= O. ¿Es exacta?
= _ y senx
2) Aplicamos
fx = M(x,
3) Integramo
f=
sen x, no es exacta.
fMd
4) Al resulta
con respec
EJEMPLO
Averiguar
o
oy
4
si la ecuación
t, =-
diferencial
e" dx +·x eY dy
M
N
oM _-
----
oy
Como My
= O es exacta
oN _
--
eY ,
ox
f
5) Igualamos
6) Integramos
e" ,
= Nx = e", sí es exacta.
EJEMPLO
Resolver la
(6xy - 2y2)
EJEMPLO
5
1) M
Dada la eouación diferencial
bar que no es exacta.
Mx= 1,
x dy - y dx = O, aplicar
el teorema
= 6xy
para proM; =6x
Ny
=
-1,
Mx*- N¿
Si intercambia.nos
los diferenciales, las derivadas parciales deben obtenerse
con respecto a la variable independiente
que no está multiplicando
a la
función.
Es exact
2) Existirá
ción; to
fx=
M(
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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
ASI,' en este caso M
= x, N = -
oN
. di ca
y, en vez d e tomar -oM
- y- como In
oy
ox
oM
oN
el teorema, tomamos - - y - -o
ox
oy
Método de solución
1) Dada la ecuación diferencial vemos si es exacta.
2) Aplicamos la definición :
fx = M(x, y)
o
fy
= N(x, y)
3) Integramos con respecto a x o con respecto a y
f= fMdx
4) Al resultado lo derivamos
con respecto a y
fy
= oyo f
o
f = f Ndy
o
con respecto a x
o
fx=- f N dy
ox
M dx
5) Igualamos el nuevo resultado a N o a M.
6) Integramos por última vez la ecuación .
EJEMPLO 6
Resolver la siguiente ecuación diferencial
(6xy - 2y2) dx
1) M
+ (3X2 -
= 6xy - 2y2,
M y =6x-4y,
N
4xy) dy = 0, si es exacta.
= 3X2 - 4xy,
N x =6x - 4y .
Es exacta porque M y
=
N:r
2) Existirá una función f tal qu e fx ~ M(x, y) y fy = N(x, y), por definición; tomamos cualquiera de las dos igualdades, por e je mplo :
fx=M(x,y)
~
fx=6xy-2y 2
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ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
3) Integrando con respecto a x
J f x = J (6xy - 2y2) dx
f = 3ry - 2Xy2
+ f(y)
La constante arbitraria de integración será una función de y, puesto
que y funge como constante en esta integral.
4) Derivando con respecto a y:
fy
5) · Sabemos que fy
= 3r -
4xy
+ rey)
= N(x, y) por definición, entonces:
fy
= 3r -4xy
Como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí :
3X2 - 4xy
+ rey) =
3;(1 - 4xy
rey) = O
~
6) Integrando: f(y) =c .
. :. La solución es: f(x, y) = 3ry - 2xy2
o 3ry - 2xy2
+ c =O o
+c
bien 3x2y - 2xy2
= c.
La comprobación se reduce a encontrar el diferencial total de la función solución.
Obtenemos el mismo resultado, si en vez de tomar la ecuación
fa: = M(x, y), tomamos fy = N(x, y).
EJEMPLO 7
Verificar la solución del problema del ejemplo 6, tomando fy = N(x, y):
1) Vimos que M y = N x
3) Integrando con respecto a y:
Jfy= J(3X2-4xy)dy
t
= 3x2y -
2xy2
+ f(x)
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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
4) Derivando con respecto a x:
+ f'(X)
fx = 6xy - 2y2
5) fx
= 6xy -
2y2
+ f(x) = 6xy -
2y2 ,~f'(x)
=O
6) Integrando: f(x) = e
... 3~y - 2xy2
= e es la misma solución obtenida anteriormente.
EJEMPLO 8
Resolver la siguiente ecuación diferencial, si es exacta:
(2y - 2xy3 + 4x
1) M y
2) fx
=2-
+ 6) dx + (2x -
6xy2
=N
x,
3~y2
- 1) dy
=O
para y( - 1)
=O
sí es exacta
= M(x, y) por definición, entonces:
fx =
2y - 2xy3 + 4x
+6
3) Integrando con respecto a x:
f=
2xy - ~y3
+ 2~ + 6x + f( y)
4) Derivando con respecto a y:
fy
5) fy
= N(x,
= 2x -
3xV
+ f(y)
y)
2x-3xV+f(y)=2x-3xV-l ~f(y)=-l
6) Integrando:
f(y)
=-
y
+e
... la solución es:
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88
ECUACIONES
+ 2X2 + 6x
2xy - ry3
q + 6(-
2(-
1)
- y
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
ECUAC
Ejerci
= e; para y( -1) = O
=c
Deter
resolve
c=-4
1.
+
2xy - ry3
2X2
+
+
6x - y
4
= O, es la solución particular.
2.
EJEMPLO 9
Resolver (2x
1) M
+ 6ry)
dx
+ (3x3
- 2xy) dy
= 2x + 6ry
M¿
= 6x2
Nx= 9r-2y
2)
la ecuación,
(2 + 6xy) dx
+ (3r -
vemos que puede
Re
dividirse
entre
= 6x = N¿
2y) dy
Y
5.
(eX
6. (y
ya es exacta
Re
7. (1
con respecto
a x: f
4) Derivando
con respecto
a y:
3x2
*O
=O
i; = M(x, y)
fx = 2 + 6xy
fy-
x
Re
3) Integrando
5)
4. (-
.'. No es exacta
Observando
queda:
My
Re
N = 3x3 -2xy
My*Nx
~
=O
= 2x +
3ry
+
f(y)
Re
i, = 3r + rey)
8. (1
N(x, y)
Res,
+ f(y) = 3r
- 2y ~ f'(y)
= - 2y
9. y(l
6) Integrando:
f(y)
=-
y2
+c
Re
.". 2x
Solución que satisface
+ 3x2y
a las dos ecuaciones
_ y2
= c.
diferenciales.
10.
Re
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89
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Ejercicios 2.3
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; si lo son,
resolverlas.
+ 2) dx + (1 - 6y - 5x) dy =
Respuesta: x: + 2x - 3y2 + Y - 5xy =
1. (2x - 5y
2. (2xy 3
4y
-
+ 4x -
Respuesta: X2y 3
O
G
+ (3xV - 4x) dy =
4xy + 2x: - 3x = G
3) dx
-
O
3. (16xy - 3x2) dx + (BX2 + 2y) dy = O
Respuesta: Bx:y - x 3
+ y2 =
G
4. (- 20xy2 + 6x) dx + (3y2 - 20X:y) dy = O
+ y) dx + (e Y + x) dy = O
Respuesta: eX + xy + eY = G
5. (eX
y
1
+ (x + -eIlIX)dy =0
6. (y - -eIlIX)dx
X2
Respuesta: xy
x
+ eYIX = G
y
1
X'
x
7. (1 - -; e YIX ) dx + (1 + _ . el/IX) dy = O
Respuesta: el/Ix
8. (1 - -~ el/IX) dx
x
+y +x=
G
+ el/Ix dy =
O
Respuesta: xe"" = e ecuación diferencial no exacta.
+ GOS xy) dx + x(l + GOS xy) dy = O
Respuesta: xy + sen xy = G
9. y(l
+ y sen xy + 1) dx + (9xV + xsenxy) dy =
Respuesta: 3X2y
GOS xy + X = e
10. (6xy 3
3 -
O
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90
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
+ Y Gas xy) dx + (3y2 + X Gas xy) dy =
Respuesta: x + sen xy + y3 = e
11. (3x!
O
3
12. (4x 3
4xy2 + y) dx
-
+ (4y3 - 4x2y + x) dy =
y2 Y+ xy = G
Respuesta: (X2 13. (sen y
y
y
+-
x!
y
+ Gas - =
Respuesta: x sen y
1
Y
- - sen -) dy
x
x
+ (x Gas y
sen -) dx
x
O
=O
G
X
14. (y Gosh xy
+
2x) dx
+
(x Gosh xy - 2y) dy
+ X2 -
Respuesta: senh xy
15. eX cos y dx - x eX sen y dy
y2
=
=
=O
G
O
para y(O)
=
para y(O)
=
1t
Respuesta: No es exacta
16. eiX Gas y dx - eX sen y dy
Respuesta:
17. [Gas (x
=
O
eX Gas y = - 1
+ y) -
l} dx
Respuesta: sen (x
+ Gas (x + y) dy =
1t
O
para y(O) =2
+ y) = 1 + x
+ (eX Gas y + eY) dy =
Respuesta: eX sen y + eY = 1
18. eX sen y dx
19. (2x sen y
1t
para y(O) = O
O
+ y e XY ) dx + (x Gas y + e
XY
)
dy
=O
para y(J)
=
1
Respuesta: N o es exacta
+ y e dx + (x" Gas y + x eXY ) dy =
Respuesta: r sen y + e:ry = 1
20. (2x sen y
21.
XY
)
x
(-..JY+ 1) dx + ( - - + 1) dy =
Respuesta:
2yy
x vy + x + y =
7
O
O
para y(1t) = O
para y(1) = 4
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91
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
+ 5y) dx + (1 + 5x) dy = O
Respuesta: 4x + 5xy + y = O
22. (4
23. (1 -
(X2
x
+ y~y/ 2
Respuesta: x
1
24. ( -
) dx
1
+
+ y) dx + (x -
r
26. Y Gas xy dx
1) dx
+
(x Gas xy
y
Respuesta: ln I xy
1
x
+ye
XY
)
dx
para y(9)
=1
y
para y(l) = 2
O
+
sen y) dy
1) dy
I + X2 -
+1=
=O
para y(3) = O
O
para y(1) = 1
=
O
y
=O
1
para y(-)
2
y
I+ e
XY
Y
1
y
Respuesta: y2
xy
,fl +x2
+ sen!!.- + X2 =
x
para y(1)
=O
para y(O)
=
1
+ 2x)dx + -Jl+? dy =
Respuesta: y
=2
=e
29. (2x- 2Gos-)dx+ (2Y+-Gos-)dy=O
x
x
x
x
.
=- 2
O
1
+ (+ x eX!J) dy = O
Respuesta: ln I xy
30 (
para YrO)
+ y2 - r = 4x
1
28. (-
=O
=O
+ -x- dy =
+ 2x) dx + (- -
x
+ y + -2 =
1
) dy
2 y 3/2
Respuesta: sen xy - GOS y
1
) dy
2y
-
Respuesta: 1
27. (-
Y
+ yzy/2
=-
1
vx+ xy + -.,¡y
- = 13
Respuesta:
-1 - y2
(r
3
+ y2
,fx2
2VX
25. ( .
+ (1 -
para y( - 1)
-J 1 + r + X2 = 6
O
6
1
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92
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Escoger la opción que contiene la solución de la ecuación diferencial dada:
x
1
Y
+ (x + -)
dy =
y2
31. (y - -) dx
O
1
+y2
A. 1
y
B. xy- -= e
x
c.
x
xy - - = e
y
-x;2
X2
+ -2 + -2y2 =
D. 1 - ln y
e
5
-4x)dy=O
y2
32. (2x - 4y)dx+(- A.
X2 -
+ -5
4xy
y
=e
5
B. - - 4xy = O
Y
C.
f:x:=-
D.
X2 -
4
+ -5 + 18 =
4xy
O
Y
33.
(eY¡X_
A. x
~eY/x -1)dx
x
eY¡X
+ y2 -
1 eY¡'X
D. __
X2
-
X
Y
_
r
=
+ (e Y/ x + 2y)dy =0
O
eY ¡X
+ 2x =
e
para y(1) = 5
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93
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
A. Y sen _1 x
+~=
e
+ '!!.... =
1
x
B.
c.
y sen- 1 x
x
D. N o es diferencial exacta
y
35. (cos- 1 y - - eY!X) dx
X2
+(
-x
~
1_
y2
1
+ -X
eY!X) dy = O
A. No es ecuación exacta
B.
c.
X
cos- 1 y
+ eY!X =
e
Respuestas:
31. C. La opción A no es la solución sino la parcial de M con respecto a y o
la p'lrcial de N con respecto a x. La opción B tiene un error de integración. La opción D tomó fy
=
y
_!.....,
en
y
vez de f",
=
y-
~.
y
32. D. La opción A no tomó en cuenta las condiciones iniciales. En la opción
B no se terminó el proceso para encontrar fy. La opción C da el teorema M y = N", = - 4 pero no es la solución.
33. C. La opción A supone unas condiciones iniciales que no fueron dadas.
La opción B representa M y = N", pero no es la solución. En la opción
D se tomó mal fx que debe ser eY!x -
!!..- eY!X - 1.
x
34. A. La opción B contiene M y = NJ: pero no es la solución. La opClOn C
satisface a la ecuación diferencial pero no nos dieron condiciones iniciales, así que no es la opción correcta. La opción D está incorrecta
porque sí es exacta.
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94
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
35. C. La opción A es falsa, sí es exacta. La opción B representa M y
, La opcion
, D tomo'f·x =
pero no es 1a so1ucion.
= N:x;
x
+ -1eY/x por
.JI-y2
x
error.
Ecuaciones diferenciales con factores integrantes
Como se vio en el ejemplo 9 de la sección anterior, una ecuación diferencial
que no es exacta puede convertirse en exacta mediante un factor apropiado.
Def~nición 2.7 Si existe una función F (x, y) tal que
F (x, y) M dx + F (x, y) N dy = O es exacta, entonces F (x, y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx + Ndy = o.
Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios
factores integrantes; es decir, puede convertirse en exacta multiplicándola por
2
Y x 2
x,. xy, - , - , x y, etc.
x
y
Métodos para encontrar el factor integrante F (x, y):
1) Por inspección de la ecuación diferencial suponemos una función que luego se
prueba por el teorema 1 de la página 84.
2) Si el factor es sólo función de x
~
donde p(x) =
My
F(x)
-
N
=e
SP ( X) d.:r
Nx
3) Si el factor es sólo función de y
~
F(y) = e
fp (Y ) dy
N:x; -My
donde p(y) = --M--
EJEMPLO 1
Hall ar el factor de integración de la ecuación: 3y dx
+ 4x dy =
O
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ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES
M=3y
N =4x
My=3
N~ =4
Como M y =1= N x, no es exacta.
Observamos que es de variables separables y su solución es
debemos encontrar su f.actor integrante.
Sea F(x, y) = X2 y 3 sugerido por la forma de la solución.
~
My
3ry4 dx
+ 4X3y3 dy =
----M
----N
= 12x l = N
2
X3
y 4 = e, pero
O
ya es exacta,
x,
fx = 3ry4
f
fy
I '
= xV + f(y),
= 4x y
3
3
+f
(y)
= 4X y
3
3
rey) = O
f(y) = e
Es la solución que ya se había obtenido por el método de variables separables.
Por tanto, podemos usar la siguiente regla: Si la ecuación diferencial .es
de la forma p y dx + q x dy
O, donde p, q E R
~ F(x, y)
xP- 1 yq-l
=
=
Si la ecuación diferencial es de la forma y dx - x dy = O
~
1
-
1
-
y2' X2'
1
- - son posibles factores integrantes.
xy
EJEMPLO 2
Hallar el factor de integración de: 4y dx - x dy = o.
My
=4
N_
= - 1, no exacta.
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ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
1
Sea F(x, y) =xy
4
~
1
-dx- -dy =0
x
y
-..-
-.-
M
N
M y = 0= Nx , ya es exacta.
4
fx=-x
f
= 4ln x -1- f(y),
1
I
fy = f (y) = - y
f(y)
4 In x - ln y
= -lny
+ lnc
= ln e
que es el mismo resultado que obtenemos usando separación de variables.
· EJEMPLO 3
Encontrar el factor de integración de: 3x2y dx
My=3r,
probamos si F(x) = e
p(x)
F(y)
~
Jp(y)dY
r
e1p (y)dy
F(y)
= ef -
con:
dY Y
/
p(y)
= O.
N",=O,
es fac tor de integración.
3r
= My N- N = -no es
y
=
+ y dy
función de x, entonces buscamos:
N",-M
= --M-::-'
1
y
= e- =.!.tny
Y
y
*
= - -, sí lo es,
y
O
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ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES ·
Multiplicando la ecuación diferencial por este factor tenemos:
3r dx
+ dy
=O
N=I
N y = O, ya es exacta
fx
= 3r, f = x
J
+
= l' (y) = 1,
f (y), fy
f(y)
=Y + c
EJEMPLO 4
. Resolver mediante un factor integrante:
x tan x dx - y cos x dy = O
para y(O) = 2
M = x tan x
N = - y cos x
¿Existirá una F(x) o una F(y) que convierta en exacta esia ecuación
diferencial? :
p(x)
y sen x
= 0= tanx
-y cos x
.~ F(x)
= e Stanxdx = e-!nlcosxl = _1- = sec x
cos x
x sec x tan x dx - y dy
= O,
ya es exacta.
fx = x sec x tan x dx
f
= x sec x -In Isec x + tan xl + f(y)
fy=f(y) = - y
y2
j(y) = - 2
:. xsecx -In Isecx
+ tan xl-
y2
2
+c
= c.
97
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98
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Sustituyendo las condiciones iniciales y(O)
0(1) - In 11
4
+ 01 - 2" =
:. 2x seG x - 21n IseG x
.G
de donde
+ tan xl -
y2
G
=2
= -2.
= - 4.
Ejercicios 2.4
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integración
apropiado:
1. x_Zy-S ,d x
Respuesta:
2. X- sen x dx
+ x _ 3y_4 .dy =
O
factor X3yS. Solución: X2
+ xy dy =
+ y2 = G
O
1
Respuesta: factor -. Solución : 2 sen x - 2x GOS X + yZ . G
X
3. (y
+ x + 2) dx + dy =
O
Respuesta: factor eX. Solución: eX(y
1
Respuesta: - . Solución: eX
+ xy2
+ x + 1) =
_ y3
Y
5. (xy
+ y + y2).dx + (x + 2y)dy =
G
= Gy
O
Respuesta: factor eX. Solución: xye X + y2 eX = e
6. (2 sen y - sen x
1
+-
x
Gas x) dx
1
y
x
sen y) dy
y
+ (- Gas x + x Gas y + -
Respuesta: factor xy. Solución : xy Gas x
+ x2y sen y =
+ y4) dx + (3X2 + 6 xy3) dy = O
Respuesta: factor l. Solución: X2y3 + xy6 =
G
Respuesta: factor x3 • Solución:
=e
7. (2xy
X4
y 2(X2 _ y2)
G
=O
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99
ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES
y
9. (X2
1
+ 2) dx + -X (1 + ln xy) dy = O
Respuesta: factor x. Solución: y ln xy
1
10. - (1
y2
x
+ In xy) dx + (y3
=G
+r
3) dy = O
, Respuesta: factor y2. Solución: x ln xy _ y3 = G
11. Y (1
+ ln xy + 2x) dx + (x
Respuesta:
factor~.
_2yZ) dy
=
O
+ X2 =
Solución: x ln xy - y2
G
Y
Encontrar la solución particular:
12. (xy
+ 1 + -2xXY) dx + X2 dy =
e
O
para y(-3)
Respuesta: factor eXY. Solución: x e XY
13. (4y2 - 5xy) dx
+ (6xy -
5r) dy
=
+ X2 =
O
6
para y(1) = 2
O
Respuesta: factor X3y'. Solución : X'y6 - XSys
14. (ye ZY
=
= 32
+ x + 1) dx + (ye 2Y + e2y -
x) dy = O para y (1)= O
Respuesta: factor eX - Y. Solución: yex+Y + x e X- Y = e
15. [- y - Gat (x
+ y)] dx -
Respuesta: factor sen (x
y dy
=O
+ y).
para y(1t)
Solución: y Gas (x
+ y) -
=
sen (x
1t
+ y) =
1t
En los siguientes ejercicios probar, mediante el teorema 1, si la función
F (x, y) es factor integrante de la ecuación dada:
16. F (x, y)
= xy
de (ye XY
1
1
x
y
+ -) dx + (x e XY + -) dy
=O
Respuesta: Sí, pero no lo necesita porque ya es exacta.
17. F (x, y)
= xy
1
1
de - - dx - - dy
x
y
=O
Respuesta: Sí, pero no lo necesita, se integra directamente.
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100
ECUACIONES
18. F (y)
=y
de (- sen x
Respuesta:
19. F (x)
=
+ y)
GOS
+ (--
dx
x
y
ORDINARIAS
+ 2x)
dy
DE PRIMER
ORDEN
25.
=O
A. y
B. x I
Sí.
.
x de (y cosh. x
Respuesta:
ECU
y
+-
x
c.
senli x) dx
+ senh. x dy
=O
D.
Sí.
26.
20. F (x)
= e"
de (e" sen y
Respuesta:
21. F (x, y)
No. La ecuación
= xy2
Respuesta:
dx
+ (eX
cos u
=O
+ r) dy
A. 1
es exacta.
de (6y - 24xy5) dx
+ (9x
B. x
- 56xV)
=O
dy
C.
D.
Sí.
22.F(x,y)=.JX2+y2
Respuesta:
+ 2xy)
de (Ir
No. La ecuación
x
+y
2
E,
Y
+y)dx+(.J
2
x
+y
?
+x)dy=O
es exacta.
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene un factor de integración de la ecuación diferencial dada:
23. (y - xV) dx
3
+ (-;::x -
xV)
:J
X4 2
c.
xy2
=O
27.
A.
B.
c.
D.
A. ry4
B.
dy
Y la
y
28.
D. x2y
A.
24. dx
+ (x
- y
+ 6)
dy
=O
B.
A. eX
b. eY/x
c.
c.
eX/Y
D. e"
D.
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101
ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES
25. (xy2 senh xy
+ y cosh xy) dx + (x 2y senh xy + 2x cosh xy) dy
=O
A. Y
B. x
c.
y/x
D . x/y
26. (1
+ xy) dx + (-x + X2) dy =
O
Y
A. l/y
B. x
c.
Y
D. l/x
En los ejercicios siguientes, e1egir la opción que contiene el factor integrante
y la solución de la ecuación diferencial dada:
27. (2
+ !!..-) dx + (~ + 2) dy =
O
Y
x
+ xy2 = e
A. Factor: ry2. Solución: x2y
+ 2y = e
x2y + xy2 = e
B. Factor: xy. Solución: 2x
C. Factor : xy. Solución:
D. Factor: x2y2. Solución:
28. (y
~ X3 y 2 + .!... X2y 3 =
3
1
2
1
+ -eXY) dx + (x + -eXY) dy =
A. Factor : eX. Solución:
~ e XY
y
B. Factor: eXY . Solución: eXY
C. Factor: e Y • Solución: e XY
O
i.
e XY =
X2
-
+x+y=
2
+ !!..- = e
2
y2
D. Factor: eXY . Solución: eXY
+-
2
=e
e
e
e
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102
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
y
29. (- GOS xy
X
1
+ -X2 sen xy + 3y3) dx + (GOS xy + 3xy2) dy =
+ X3y = G
Factor: X2. Solución: - x"y sen xy + 2x GOS xy + 9x2y2 = G
Factor: x. Solución: - x2y sen xy + 2x GOS xy + 9x2y2 = G
Factor: r. Solución: x sen xy + X3y3 = G
A. Factor: x. Solución: x sen xy
B.
C.
D.
O
.,¡xy: Solución:
A. Factor:
-x
B. Factor: xy. Solución: xy
3
H
-
Y
+ -x
6
6
=
G
+ ~ X6y2 yxy +
C. Factor: _1_ . Solución :
2Vxff
D. Factor:
3
.,¡xy: Solución: -
2
...¡xy -1-
X5 y
xy
4 (xyy/2
=
lO x5 y
.,¡xy =
G
G
1
+ - - + 5x =
4
2yxy
G
Respuestas:
23. B. El resto de las opciones no satisface el teorema de exactas.
24.D.
25. A.
26. C. y D.
27. C. La opción A muestra la solución correcta, de hecho, derivando y sustituyéndola en la ecuación, la satisface; sin embargo, el factor no es
correcto; no cumple con el teorema de exactas. La opción B tiene el
factor correcto, pero la expresión dada como solución es, en realidad
My
2x + 2y
N x lo que demuestra que, con el factor integrante,
la ecuación diferencial dada se convierte en exacta pero no es la solución. La oJ3ción D presenta una solución dependiendo de que estuviera
correcto el factor de integración que propone.
=
=
28. B. La opción A presenta una exponencial que no es factor de integración
N suponiendo el factor
y una solución equivocada, pues se tomó fx
=
correcto. La opción
e, además de no tener un factor correcto, tiene en
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103
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
la solución el resultado de igualar fy = M suponiendo el factorcorrecto. La opción D tiene el factor adecuado, pero el error de la solución de la opción C.
29. D. La opción A tiene mal el factor de integración. La B tiene un correcto
factor integrante, pero la expresión que funge como solución es
M y = N x y no la solución. La e tiene los errores de A y B.
30. C. La opción A tiene un factor correcto, pero la solución errónea proviene
de haber igualado fx a N. La opción B supone correcto el factor que
propone y toma Mx como la solución. La opción D tiene el factor correcto, pero toma como solución M y = N x '
Ecuaciones diferenciales lineales
Vimos en el capítulo 1 que las condiciones para que una ecuaClOn diferencial
fuese lineal son : a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son de
primer grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante).
Definición 2.8. La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es:
y' + f(x)y = r(x). Si l'(x) es idénticamente iguara cero, entonces la ecuación
se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino
como el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas acero);
si r(x) =1=- O, entonces es lineal no homogénea.
Métodos de solución:
Si l'(x) = O
~
Es de variables separables.
Si r(x) =1=- O
~
a) Método del factor integrante.
b) Método de variación de parámetros.
y la forma de la solución es:
para r(x)
=O
~
para r(x) =1=- O ~
Y
= e e-ff(x)dX
y = e- ff(x)dx
[f e ff(X)dxr(x)dx + e]
Vamos a obtener la solución para r(x) =1=- O, usando el método del factor in_
tegrante y el de variación de parámetros.
a) Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la
r(x) en exacta y la resolveremos por el m étoecuación diferencial y' + f(x)y
do de las exactas.
=
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104
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea
correspondiente es y = e - f f(X)dX, 'sugiere la posibilidad de que un factor para
la no homogénea sea de la forma e Sf(X)dX.
Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos:
eSf(X)dX y'
+ f(x) y eff(x)dX =
r(x) eSf(X) dX
Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y', realmente 'Se puede expresar cOlmo
la derivada de un producto de funciones:
Entonces:
~ (eSf(X) dX y ) =
r(x) eSf(X)dX
dx
Integrando con respecto a x: eSf(X)dX y
= f r(x) eSf(X)dX + e
Despejando y: y = e-Sf(X)dX [f eff(x)dXr(x) + eJ, que es la solución general ya
indicada y satisface a la ecuación lineal.
Como eSf(X)dX nos llevó a la solución propuesta, es el factor de integración
que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea ~ Por
ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor,
multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.
EJEMPLO 1
Dada la ecuación diferencial: dy + (3x!y - X2) dx = O, ver si es lineal y
resolverla por medio del factor integrante.
Se acomoda según la forma indicada: y'
dy
+ f(x) y = r(x),
.
__ + 3x2y =
dx
Sí es lineal, con f(x)
= 3X2 y r(x) = X2
Su factor integrante tiene la forma:
F(x)
=
eSf(X)dX
=
eS3x2dX = ex3
X2
quedando:
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105
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Multiplicando la ecuación, tenemos:
NX
=
3
3X2
eX , ya es exacta,
Entonces:
f
fY = eX +
= eX
3,
f (y)
=
3
1 3
ye X - - eX
3
rey) =°
3
Y=
1
3
y
+ f(y)
f(y) = c
3
- + c e-x.
Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución:
y = e _xl
[J e
x3
X2
dx
Y
1 3+ c]
= e-x3[_ex
3
Y
=-31 + ce-x .
+ cJ
3
b) Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual
en matemáticas introducir cambios de variables, hacer sustituciones o reemplazar funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo.
Sabemos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea
de 1er orden: y' +f(x)y=O, es: y ·=ce-Sf(X)dX
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106
ECUACIO NES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial lineal no
homogénea:
y' + f(x) y
r(x),
=
vamos a realizar la siguiente variación de pm'ámetros en la solución general
de la homogénea:
Sea e
u(x) y v
e - ff (X ) dx ,
=
=
=
entonces y(x)
u(x)v(x) será una solución de la no h omogénea, siempr·e y
cuando podamos encontrar una función u (x) tal qu e dicha solución sa tisfaga
a la ecuación, Si es solución, lo cual vamos a suponer de momento, entonces
derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, tenemos:
-+ uv'
+ u'v
+ u' v + f uv =
r
u'v
+ (v' + fv) u =
r
y' = uv'
Como v es solución de la homogénea, el paréntesis se hace idén ticamen te
cero, ya que siempre que sustituimos la raíz o solu ción en una ecuación, ésta
se hace cero. Obtenemos entonces: u'v
Integrándola, u
-1:
dx
r
= r d e donde u' = -,
v
+ e.
La función u existe porque v =F O es so lu ción, entonces y
de la lineal no homogénea y toma es te aspecto:
y
O sea y
=
e-f¡(X)dX
=
e - ff (x) dX [
f
r(x)
e - f f( X)dX
[J eff(X) dX T(X) dx + e],
dx
= uves
solución
+ el
que es a dond e queríamos llegar.
EJEMPLO 2
= 2y + x .
dond e f(x) = - 2, T(X) = x.
Resolver por variación de parámetros: y'
Vemos que y' - 2y
= x es lineal,
La ecuación diferencial homogén ea correspondiente es y' - 2y = O que
ti ene como solución: y
ee 2x .
Tomando e
= u(x),
=
v(x) = e
2X
y sabiendo que la función
tI
está dada por
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107
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
=/
u=
~ u=
r(x)
- - dx+c
v(x)
(...!;-dx + e = - ~e -2X Je
2
b
~e-2X + e
4
Como la solución de la homogénea es y
Y
= (- 2x
e _ 2x -
1
4"
e _ 2x +
=
entonces:
UV,
= - 2x -
e) e 2X , y y
1
4"
+
2
e e x.
Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución.
+ e]
2X x dx + e]
y = eS 2dx [J e J _2dx X dx
= e 2x [J e y = e 2x [_ ~e-2X _
y
~e-2X + e]
2
Y=
x
1
4
4
- - - - + e e x.
2
2
EJEMPLO 3
Resolver por variación de parámetros:
(X2
+ 16) y'
=x
- xy
,x
y - X2 + 16 Y
x
=
X2
+ 16
La ecuación homogénea correspondiente es:
,
y Con solución: y
Sea v(x)
=
e
= .J~ + 16
x
X2
+ 16
-o
y-
.JX2 + 16.
Y e
=
u(x)
=
f .J
x j (X2
x
2
+ 16)
dx + e
+ 16
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108
ECUACIONES
~U
x
f
=
Y
=
UD
+
(X2
u= -
~
ORDINARIAS
= (-
16yP
1
+
-jx2
16
1
J
•
2
x
+
dx
ORDEN
ECUACIO
+e
+e
+ e)
16
DE PRIMER
.J
x2
+
16
y=c-jx2+16-1,
que es la solución
general
de la ecuación
dada.
Compf
EJEMPLO 4
Resolver por cualquiera de los dos métodos: factor integrante
de parámetros;
o bien aplicando la fórmula general:
o variación
1
= x + y3
y'
Vemos que no es lineal, pero tampoco se puede resolver por variables
parables, no es ni exacta ni homogénea. ¿Qué podemos hacer?
Tomando la función recíproca:
dx
dy
y
= x + v'
1. (3~
x
= y3,
Resp¡
ya es una ecuación diferencial lineal en x.
Usando el factor integrante
F = eS g(Y)dy= e- Sdy
ecuación:
= e-Y
M = - e-Y
i, = e-Y
M
y
f
= xe-
Y
+ f(y)
Ejercicio:
Resolver
dx
dy - x
e-Y dx -
se-
e-Y (x
N
Nx
+ y3) dy
==-
I
= e-Y y multiplicando
la
=O
e-Y (x
+
2. (x
Resp¡
+ l)
e-Y, ya es exacta.
3.
y
(5
x
Resp
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109
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
f'
(y) = - y3e - Y
f(y)
= y3e -Y
+ 3y 2e- Y + 6y e-Y + 6e- Y + e
:. x e - Y + e - Y (y3
e -Y (x
+ 3y2 + 6y + 6) =
+ y3 + 3y2 + 6y + 6) =
o bien: (x
e
e.
+ y3 + 3y2 + 6y + 6) = eeY
Comprobación: derivando la variable x con respecto a y:
dx
-+ 3y2 + 6y + 6 = e eY
dy
-
dx
+ 3y2 + 6y + 6 = e
Y
dy
x
+ y3 + 3y2 + 6y + 6
(
eY
dx =X+y3
__
dy
)
O
Ejercicios 2.5
Resolver por el método de factor integrante o por la fórmula general.
1. (3 ~ - 8) dx
x
+ 3 dy =
O
Respuesta: factor x. Solución: 3xy - 4X2 = e
2. (x
+ ~) dx x
dy
=O
Respuesta: factor
5y
3. ( - - 24x 2) dx
x
1
x
Solución: y
+ 5 dy =
= X2 + ex
O
Respuesta: factor x. Solución: 5xy - 6x4 = e
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110
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
dy
4. ___ y = e 2x
dx
=e
Respuesta: factor e - X. Solución: y
+Y=
5. dy
2x
+ e eX
e2:.::
dx
1
= - e2x + e e-X
Respuesta: factor eX. Solución: y
6. y'
+ 3~y =
X2
+ (e os x) y
= -31
Solución: y
Respuesta: factor
7. y'
3
= cosx
Respuesta: factor e sen X. Solución: y
8.
y'
3
+ e e-X
= 1 + e e - sen X
_!!-. = ;>;.4
X
1
Respuesta: factor -. Solución: y
x
9. xy ' - 2y
X2
+ 4y =
9x 5
+ 2X
Solución: y =
= 5x
5
+
4y
=x-
In x - 2x
+e
2
= x 5 + - x3 + e x 7
+~
Respuesta: factor
12. xy'
3~
3
Respuesta: factor x4 • Solución: y
11. xy' - 3y
4
= 3~ + 2x
1
Respuesta: fac tor -
10. xy'
x5
= - +ex
3
i..
r
Solución: y =
~ x5 2
eX
Respuesta: factor x 3 • Solución: x4 y
=
eX
+e
X2
+ e x3
4
X2
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111
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
13. xy' - 3y
= x4 sen x
1
Respuesta: factor 3' Solución: y
x
14. xy' - 5y
= :x! see2 x
1
Respuesta: factor - 5 . Solución: y
x
15. ry'
= x 3 (- eos x + e)
+ 2xy =
=x
5
tan x
+ex
5
e 3x
Respuesta: factor X2. Solución: 3x2y
= e 3x + e
Resolver por el método de variación de parámetros o por la fórmula general.
16. y' - 2y
= - 6,
17. y' - 2y
= x,
u
20. y'
2ry
x3
3
=- + e.
Solución .
Y
= e x2, u = ln x + e. Solución:
y
+ (eos x) y =
(see 2 x) e- senx, u
Solución: y = (tan x
21. y' - (senh x) y
= 3 + e e 2x
x3
2
/2 (-
3
+ e)
= e x2 (ln x + e)
= tan x + e.
X2
= xecosnx,
l +r - l + r'
= ln x.
= ea:
+ e) e-sen x
1
22 Y ,- 1
- - - y - - --
.
y
l .i
'
u=e- 2 X( - -x
- - )+e
Soucion:
y=- -x - - 1 +ee2:.
2
4
2
4
U
19. xy' -
= 3e - 2x + e. Solución:
U
= -2
+ e.
l
'
So ucion: y
23. y'
+ (In x) y
24. y'
+ (1 + 3x2) y= 3 + 9X2.
Solución: y
y
Solución:
=e e
tan -1
x -
= ecos n x (_r
2
1
= 1 + e eX(l -!n xl
Solución: y = 3
2
+ e eX( -l- X I
+ e)
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112
ECUACIONES
25 • y '
+ (sec
x) y = cos x. SI'
o
I
UClOn:
ORDINARIAS
DE PRIMER
x + e
+ tan x
X cos
= ------
y
secx
+y
=
para y(O)
e-X
Respuesta:
= e-X
y
iniciales
dadas
.Y
que la con
A. e-sen
= - 41
B. esen
C. esen
1
(x --)
ECUACIONES D
32. Sea la ecu
Resol ver las siguientes
ecuaciones
para las condiciones
usando dos métodos (como comprobación
uno del otro).
26. y'
ORDEN
-1
D. e-sen
Respuesta:
x
_1
y
=F
33. Dada la ec
= sec x (-r2 + .,¡::¡t)
y
x
-1
y
4
27. y' - (tan x) y = x sec x para y(O)
-1
en exacta,
A. x8
28 • y '+ ~y 1
R espuesta:
3
= -JT=X2
+ -- 1
l+r
29. y'
= 3 + ey
B. x-8
C. No necesita
_1
sen
y
=4
para y(O)
= e-tan
-1
x
= x e-tan
_1
x
para
y(O)
D. No necesita
de las linea
=O
34. Sea la ecu
Respuesta:
y
que y
x
A. u-
30. y
,
+ (sec
x tan x) y
Respuesta:
y
sen x
= --cos'x
para
y(O)
=6
B. u
= 1 + Se'>:"":"
En los siguientes
=
= uv
IX
-Gas
f x cos
C. u=-- 1
ejercicios
escoger
la opción
cos x
correcta.
D. u=x
31. Dada
la ecuación
A. Es lineal
diferencial
en y porque
B. Es lineal en y porque
de primer
y y y'
cada
orden:
son de primer
coeficiente
en y porque
y no está elevada
D.
en x porque
es lineal en y.
No es lineal
_ x2
= x e",
grado.
depende
C. No es lineal
nente -1.
y y'
solamente
al exponente
35. Sea la ecua
para que y
de x.
1, sino al expo-
A. v
=
B. v-C. v
=
eX(l_lnx)
f
eX
--eX1n
ex(lnx_I)
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ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
32. Sea la ecuación diferencial
que la convierte
adas .Y
A. e-sen
lineal:
113
y'
+ ~y
1-x
= 1; el factor integrante
en exacta es:
-1
x
B. esen -1 x
C. esen
-1
D. e-sen
y
_1
y
. , y , - --8y
33 . D a d a 1a ecuaClOn
x
= 888 x,
8
e 1 f'actor mtegrante
que laa convi
convierte
en exacta es:
C. No necesita
factor integrante
D. No necesita factor integrante
de las lineales.
porque
ya es exacta.
porque puede resolverse por la fórmula general
34. Sea la ecuación diferencial y' - (tan x) y = x, ¿qué forma tiene u(x) para
que y = uv sea solución de esta ecuación?
A. u =
B.
u
f--X-
Gas x
= J
x Gas
C. u=--
dx
x dx
1
cos x
D. u=x
35. Sea la ecuación diferencial y' - (ln x) y = 1, ¿qué forma debe tener v(x)
para que y = uv sea solución de esta ecuación?
A.
expo-
B.
C.
v
v=
v
= eX(1-1nx)
J
eX
---dx
xlnx
e
= eX(lnX-1)
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114
ECUACIONES
D. v =
f
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
eXlnx-x
= xy = x(
y = x(
B. Y
dx
eX
ECUACIONE
C.
D.
2
diferencial xy' - 2ry = e" (ver ejercicio
ción u(x) es la que debemos tomar para hallar la solución
de variación de parámetros?
36. Sea la ecuación
19), ¿qué funpor el método
40. Dada 1
general.
= xy = sen
y = xy = x-
= e¿
A. y
B. u
= - 2x
B.
c.
= In
x
C.
= ln x + e
D.
A.
u
u
D. u
37. Las condiciones
A.
de linealidad
en x son:
son de primer grado.
forman una combinación
lineal.
B.
Los coeficientes
son funciones de x solamente.
y y sus derivadas son de primer grado.
C.
La ecuación debe ser de primer orden.
Los coeficientes
son funciones de x solamente.
D.
Las funciones forman una combinación
La ecuación debe ser de primer orden.
= e",
la ecuación x2y' + 2xy
paso intermedio
de la solución,
38. Dada
A. y = x-2 ( f
ex dx
¡r
f
eX
B. y = x-2
C. y
=x
2
dx
(
(
x-2
+
-
x2
dx
A es
coefi
proe
lineal.
encontrar
la opción que
usando la fórmula general.
contiene
un
e)
tamp
32. B. La fo
Por
33. B. La A
La e,
por e
soluci
pued
+ e)
=
lineal xy' - y
r sec' x, encontrar la opción que contiene
un paso intermedio
de la solución, usando la fórmula general.
A. y=x-1(frse¿xdx+c)
1
tene
D. Y = e- J f(x)dx
39. Sea la ecuación
1
31. C. La
+ e)
.ex
1
Respuestas:
y Y sus derivadas
Las funciones
1
34. B. Porqu
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115
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
B. Y = x- 1 tan x
c.
y
= x ( f sec 2 x dx + c)
D. Y = x ( J:c sec 2 x dx
+ c)
40. Dada la ecuación lineal xy'
+y=
cas x, ¿qué opción contiene la solución
general?
A. y
= x-1(xsenx + casx + c)
B. y = sen x
c.
y
= x-
1
+c
+ c
D. y = x-1 (senx
+ c)
Respuestas:
31. C. La ecuación debe tener la forma y'
tenemos:
y'
y
+ f(x) y =
r(x) despejando y'
y
A es falsa porque el grado de y es -1. B es falsa porque - X2 y x eX
coeficientes de y _ l, no de y. D es falsa porque si tomamos el recíproco:
y
dx
dy
x
eX
+ X2
tampoco cumple la linealidad en y.
32. B. La forma del factor integrante es (para las lineales en x) F(x)
Por eso no pueden ser ni A, ni
=e
ff(X)dX.
e, ni D.
33. B. La A está mal porque la integral es positiva (ver ejercIcIO anterior).
La e sugiere que es exacta, lo cual es falso, como puede comprobarse
por el t{lorema de exactas. La D no está del todo bien, puesto que la
solución general siempre involucra a dicho factor, aunque obviamente
puede resolverse la ecuación sin obtenerlo en primer lugar.
34. B. Porque u =
¡
i
r(x)
x - dx
- dx = - v(x)
1
cas x
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116
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
En A no se considera el cociente correcto. En e se toma, en realidad,
la función u con la forma de la función v . En D, se toma r(x) nada
más en lugar de la integral antedicha.
35. C. En A se tomó mal el signo. En B aparece la forma de la función u(x).
En D todos los conceptos están revueltos.
36. D. En A se toma v(x), en lugar de u(x). En B se toma f(x) en lugar de
u(x). La opción e tiene la función correcta pero le falta la constante
de integración, para que aparezca como soluci6n -general al multiplicarse por v(x).
37. B. A Y e presentan, cada una, una condición correcta. D no responde a
la definición.
38. A. y = e-
S2c!:r/x [
fe
eX
S2c!:r/X -
r
dx
+ cj.
Automáticamente no cumplen B,
e
y D.
39. C.
y
= e- S _c!:r/ x [ f e S_c!:r/ x x sec 2 x dx + cJ. Por eso no cumplen A, B Y D.
40. D. La opción A toma como r(x)
= x cas x;
cas x
.,
en vez d e - - - o La opclOn
x
B contiene a la función u(x) por el método de variación de parámetros,
pero no es la solución. La opción e muestra a la función r(x) del mismo método.
Resumen
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Variables separables
f(x)dx + g(y)dy = O
Método de solución: integración directa.
Homogéneas
y' + g(u) = O, donde u = f(x, y)
Método de solución: sustitución apropiada.
Muy usual: y
vx
=
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117
RESUMEN
Exactas
M(x, y)dx
+ N(x, y)dy = O
Definición:
oF(x, y)
aF(x, y)
= M, - -- = N
ax
ay
. aM
aN
= -ay
ax
Teorema: es exacta
SI - -
Método de solución:
= M o fy = N
1. Tomar fx
2. Integrar en x o integrar en y
3. Derivar con respecto a y o con respecto a x
4. Igualar el resultado a N o igualar a M
5. Integrar.
Factores integrantes
F(x, y) es factor integrante si F M dx
función de x:
~
F(x)
= e5
p(x)dx
donde p(x)
+ F N dy =
O es exacta. Si el factor es
My - N x
=-N
Si el factor es función de y:
~
Nx - My
F(y) = e f p(y)dy donde p(y) = ___ "M
Si el factores función de x y y, se obtiene por inspecclOn, por tanteo, o por
métodos que no se van a considerar en este curso.
Método de solución : multiplicada la ecuación por el factor integrante, se resuelve por exactas o variables separables según el caso.
Lineales
Condiciones de linealidad: a) La variable y y todas sus derivadas son de primer
grado; b) cada coeficiente depende solamente de x (o constante).
Forma general: y'
+ f(x) y
Si r(x) = O ~ Y = e eSi r(x) -::/=- O ~ Y = e-
= r(x)
S1 ( X) dX,
S1 ( x )dx
es solución.
[J e
S1 ( X) dX
1"(x)clx
+ eJ,
es solución.
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118
ECUACIONES
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
1. Método del factor integrante: si la ecuación es lineal en x ~ F(x)=eff(x)dX.
Si la ecuación es lineal en y ~ F(y) = eff(Y)dY• Al multiplicar la ecuación por
este factor se convierte en exacta y se resuelve por exactas.
2. Método de variación
de parámetros: y
v = e-Sf(X)dX
= uv
AUTOEVALU
4. Demost
la condi
es la solución, donde:
T(X)
'~u=
f
-dx+c
v(x)
5. Estable
Por tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la fórmula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.
6. Resolve
Autoevaluación 2
7. Encontr
Escoger la opción u opciones que contienen
que se indican:
la forma general de las ecuaciones
+ xy dy = 0, variables separables.
4x2y2 dx + X3y dy = 0, homogénea y variable separable.
x2y' + xy = y2, homogénea y variables separables.
y' + y = v', homogénea.
1. A. 4x2y dx
B.
C.
D.
A. x = x
+
B. x = x
+
x2
C. Y =--H
2
+ eXy = 0, lineal, variables separables.
eX(y dx + dy) = 0, exacta, lineal.
eX(y dx + dy) = 0, variables separables.
2.J x + y2 dx + .J x2 + y2 dy = 0, exacta.
2. A. y'
B.
C.
D.
3.
1
D. x =-(x
2
8. Resolver
con la e
2
Escoger
la opción u opciones que presentan
apropiado
A. F(y)
B. F(x)
para la ecuación
D. F(x, y)
+ ~)
y
dx
+~
y
de integración
cosh xy dy = O.
9. Resolver
10. Elegir 1
diferenci
=Y
=x
C. F(x, y)
(cosh. xy
un factor
A. e" - xy
y
B. e" - xy
x
C. eX-xy
=-
= xy
D. eX_ xy
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119
AUTOEVALUACIóN 2
4. Demostrar el siguiente teorema : Dada la ecuación
M(x, y) dx
+ N(x,
y) dy = O,
la condición suficiente y necesaria para que sea exacta es:
oM
oN
oy
ox
5. Establecer las propiedades de linealidad.
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método apropiado:
eY y' = in x
7. Encontrar la opción que contiene la solución general de:
(x
+ y) dx -
(x
+ y + 3) dy = O
3
A. x
= x
+ y + -In 12(x + y) + 31+ e
B.
x
=
+ y +-
c.
Y
=-
4
3
In
2
x
X2
D. x
2
12(x + y) + 31 + e
y2
+ - + xy + 3y + e
2
3
= -12 (x + y) + -In
12(x + y) + 31+ e
4
8. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (y4 - x4 ) dx
con la condición inicial: y(l) = 1
9. Resolver por el método apropiado: (x
+ xy3 dy
+ y ) dx + (x + y -
= O,
2) dy = O
10. Elegir la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación
diferencial: (eX - y) dx + (e Y - x) dy = O
A. eX - xy
=e
B. e Y - xy = e
C. eX -
xy
D.
xy
eX -
+ eY =
+ eY =
e
O
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120
ECUACIONES
ORDINARIAS
11. ¿Cuáles serían los posibles factores integrantes
(--
y
y
l+r
+ --tan-
"oRDEN
1. Son cor
bles. L
y no eSI
=O
1
AUTOEVAL
Respuestas
de la ecuación?:
+ tan- xdy
x) dx
1
DE PRIMER
x
A. tan=' y
2. Son cor
1
B. Y
3. A. Las
1
C. -
4. Ver el
x
5. Ver el
D. x
12. Hallar la forma que debe tener la función u(x) para que y
solución de la siguiente ecuación:
1
y' -
.,j 1 -
x2
y
= x esen
= u(x)
6. La ecu
v(x) sea
_1
x
13. Escoger la opción que contiene un paso intermedio de la solución de la
siguiente ecuación diferencial por fórmula general de las lineales:
Y
,1
=-casx
x
x
y como
B. y
= eSdx¡X [f e- SdX¡Xcos x dx + c]
C. y
= x [ f x-2 cos x dx +
D. y = x-
interme
1
+ -y
A. y=e-SdX¡x[feSdx¡Xcasxdx+c]
1
7. Es hom
lo es.
c]
8. Es hom
[J cos x dx + cJ
14. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
y'
+ e-X
y
=
x
ee-
para
y(O)
=e
y como
15. Escoger la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación:
xy dx - (X2 - x) dy.
A. y
= (x-1)
B. y(x - 1)
= c(x-1)
cy = x-l
C. y
D.
=c
O
Para y(
.. La s
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121
AUTOEV ALUACIóN 2
Respuestas de la autoevaluación 2
1. Son correctas A y B. La opción C falla al decir que es de variables separables. La opción D contiene una ecuación que sí es de variables separables
y no es homogénea.
2. Son correctas A, B Y C.
3. A. Las demás opciones no cumplen el teorema M y =
Nr'
4. Ver el texto.
5. Ver el texto.
6. La ecuación es de variables separables:
e Y dy
e'¡
=
= ln x dx
x In x -
+e
x
y = ln[ x [n x - x
=x + y y
7. Es homogénea. Tomando v
dy
+ e]
= dv -
dx, se obtiene como paso
intermedio:
dx = v + 3 dv,
2v + 3
y como solución, la opción D. La opción C fue resuelta como exacta y no
lo es.
8. Es homogénea. Tomando
y
= vx,
dx
X
y como solución general:
Para y( 1) = 1, e = 1
La solución particular es:
se obtiene como paso intermedio:
v 3 dv
2v 4
-
1
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122
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
9. Es exacta, ya que My = 1 = N x.
fx
f=
=x + y
X2
2" + xy + f(y)
= x + l' (y) = x + y -
fy
2
f'(y)=y-2
y2
f(y) = - - 2y
2
X2 + y2
+ 2xy -
4y
= e,
+e
solución general.
10. Es exacta porque M y = - 1 = Nx • La correcta es C. Las opciones A y B
presentan parte de la solución nada más y la opción D supone condiciones
iniciales que no nos han dado. La solución debe quedar en su forma general,
con la constante de integración.
11. D. Como se comprueba por el teorema de exactas.
12. La solución de la homogénea es:
Y
=e
u=
e
f
sen
-1
x
=
v
1.( X )
--dx =
e
sen
Jx
v(x)
e
-1
x
sen
-1
x
dx
esen -lx
X2
-7 U
y=
13.
= - + e es la forma que debe tener u para que
UV
2
=
e
sen
_1
r
x (-
2
+ e)
sea la solución general.
D . En la A falta un factor de la función r(x). En la B además del error
apterior, tiene cambiados los signos. En la C el error es de signos intercambiados.
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123
AUTOEVALUACIóN 2
14. Y
y
=
e-
Je -X dx
= ee-
x
(x
para y(O)
x
f e
f e -X dx
e
e- X
dx
]
+e
+ e)
=e
y = ee- (x
[
~
e
=1
+ 1).
15. C. y D. La opción A no tiene la constante de integración y no se dieron
condiciones iniciales. La B contiene un error en el manejo de funciones
logarítmicas.
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124
ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Agustín Louis, Barón de Cauchy (1789-1857)
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BIOGRAFÍA
125
Agustín Louis, Barón de Cauchy
Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789, es decir, un mes después de la
toma de la Bastilla. A los pocos días, el padre llevó a toda su familia a la provincia para escapar de la revolución y del régimen del terror. A los 11 años
regresó a París para estudiar y Lagrange reconoció en él grandes cualidades
matemáticas.
En contraste con sus ideas políticas y religiosas -conservadoras hasta la
terquedad-, Cauchy fue un gran innovador en matemáticas. El cálculo diferencial tal como lo legaron Newton y Leibniz contenía aún algunos conceptos
nebulosos, de poco rigor . Cauchy emprendió la tarea de reestructurarlo sobre
bases sólidas y rigurosas, con la doble meta de poder "enseñar el análisis con
la claridad de la geometría" y de dejar la materia sentada sobre buenos cimientos. Esta tarea fue llevada a su último término por Weierstrass en Alemania. El trabajo de Cauchy apareció por primera vez en 1821 en el curso de
análisis que dio en la escuela politécnica.
A pesar de su constitución débil, Cauchy fue un trabajador infatigable, de
hecho uno de los matemáticos más prolíficos, junto con Euler y Cayley. Entre
otras muchas cosas, destacó su contribución a la teoría de las permutaciones,
al establecimiento de la noción de grupo y al desarrollo de todas las bases
de la teoría de la función de una variable compleja. Se interesó también en la
teoría de las ecuaciones diferenciales y dejó su nombre a la famosa ecuación
de Cauchy-Euler, ecuación resuelta por Euler antes que naciera Cauchy, pero
investigada por éste en el caso más general de la variable compleja.
Con toda seguridad el lector conoce también otro de sus legados de importancia: el conjunto de conceptos de límite, continuidad y derivada. El que
se enseña en los textos actuales es, esencialmente, el que estableció Cauc1lY.
Cuando murió, el 22 de mayo de 1857, sus capacidades extraordinarias para
las matemáticas lo habían hecho miembro de diez de las más famosas academias
europeas.
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126
ECUACIO ES ORDINARIAS DE PRIMEn. ORDE
Comentarios
28325 6 7 4 5 4 9
"Una mano hizo el número.
Juntó una piedrecita
con otra, un trueno
con un trueno,
un águila caída
con otm águila,
una flecha con otm
y en la paciencia del gmnito
una mano
hizo dos incisiones, dos heridas,
dos surcos: nació el
número."
Pablo Neruda (Fragmento)
Propiedades metafisicas del número 2
Representa el principio de dualidad, de la diversidad, de lo par e impar. Pitágoras lo llama audacia, fuente, distribución, armonía, paciencia. El signo 2
está formado por una recta y una curva, símbolos de lo espiritual y lo material. Es la imaginación, principio de sabiduría, razón, discreción, adaptación,
equilibrio, asociación. Representa la concordancia de fuerzas opuestas, la relación d e los sexos, el equilibrio de espíritu y materia.
Pregunta: ¿Quién descubrió la notación literal?
Aportaciones de Cauchy
Problema de Cauchy. Determinación en términos analíticos de una superficie
que satisface a una ecuación diferencial dada y que contiene a una curva dada
sobre la cual hay una serie de planos que deben resultar tangentes a la superficie buscada.
Teorema de Cauchy. Establece que es nula la integral de una función de
variable compleja sobre una curva que no contenga ningún punto singular.
Principio de convergencia de Cauchy. Dada una suces ión an = al, a2 , a3 •. . , si
la diferencia entre dos elementos de la misma puede hacerse tan pequeña como
se quiera, en valor absoluto, la .sucesión es convergente.
La demostración rigurosa de la existen cia del límite de una función usando
las famosas o y E.
Sistema de numeración babilónico alrededor de 2000 A.C.
e
o
10
11
20
60
600
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RDEN
127
COMENTARIOS
VERTICALES
HORIZONT ALES
1. Máquina usada en las votaciones
hacer automáticamente
el escrutinio.
2. ED Mdx
13M
=
13y
cumple --
3. Consonante.
+
Ndy
=
O en las que se
de agua. Desafíos,
alen
9. Existe.
volar.
Adjetivo
10. Nota musical.
mano.
posesivo.
Partes
(plural).
5. Guanajuato.
Consonantes.
posesivo (al revés).
Pronombre
6. Palas que se usan en el tenis. Vocal.
provoca-
7. Consonante. Dentro de. Símbolo químico del Argón. Consonante .
8. Artículo plural femenino.
nera. Consonante.
que se multiplica
4. Oxido de hierro hidratado, se usa en
pintura. Sufijo aumentativo. Consonante.
Esbozo, dibujo ligero.
6. Globo, dirigible.
. Pitágno 2
mateación,
rela-
1. Cierto tipo. de ED de primer orden.
2. Preposición
inseparable
que denota
privación. Se alegra. Tuesto sobre las brasas.
3. Cantidad
Consonante.
13N
--o Vocal.
13x
4. Disposición o aptitud para hacer
guna cosa. Siglas de un país ubicado
América del Norte.
5. Corriente
ciones.
para
7. Espantarían,
atemorizarían.
8. Consonante.
IAOT. Artículo
9. Vocal en plural.
Ironías,
neutro.
burlas.
De esta maSirve
CRUCIGRAMA
para
del cuerpo hu-
1
2
3
4
5
6
789
1
2
3
erficie
a dada
super-
4
~
*
6
ión de
lar.
si
como
sando
7
~
8
9
10
f*
~
*
* *
5
~
~
~
~
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http://carlos2524.jimdo.com/
3
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
'H
Les gustaba ípradti car porque era rápido
y eoccitante y /les satisfacía ,esa hambre por
aprender que (creCía con cada lección. Pero
ni uno de .el1os, ni siquiera Pedro Pablo
Gaviota, haTijo, llegado a creer que el vuelo
de las ideas ¡podía ser tan 'real como el vuelo del vient@ y 'las plumas".
Juan Salvad()).f Gaviota. R. Bach
La matemática es una abstracción de la l'.ealidad. Es 'poner en símbolos lo que
nos rodea. lEs una herramienta poderosa ~ue nos conduce a través de la aplicación rigurosa de sus leyes y de la lógica a soluciones precisas,. Ante una situación real: ajuste de especificaciones en las ár,e as de inge niería, sistemas
computacion ales, economía, etc. El camino :a seguir tes :
Establecer la ecuacíiÍ>n diferencial quecraduce fuelmente al lenguaje simbólico el fenómeno a estudiar.
Catalogar y resolver d.icha ecuación.
Analizar la solución.
Para mayor facilidad se expondr.án juntos los problemas concernientes a
varias ramas del saber.
Geometría
1. Un problema típico de esta área es obtener la ecuación de una curva que
pase por un punto prefijado y de la que conocemos su pendiente.
[129]
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130
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 1
La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) vale x + 2y. Determinar la ecuación de dicha curva si, además, sabemos que pasa por el
origen de coordenadas.
1) "Traducimos" al lenguaje simbólico la primera parte de la información.
La pendiente se representa en geometría analítica por la letra m y en
. 1 por 1a expreslOn
. , -dy
ca'1 cu 1o d'f
1 erencla
-,
dx
dy
-)o - -
dx
= x + 2y es la traducción literal del enunciado.
La simbología de la segunda parte de la información es y(O)
que la curva pasa por el origen.
2) Esta ecuación es lineal, no homogénea y de primer orden
dy
- - - 2y
dx
Donde ¡(x)
=-
2, r(x)
-)o
=x
=x
y
= e- S_ 2dx [ f e S-2d I X dx + e J
y
=
Y
= e2I ( _ _x e- 2I
e
23J
f
[
2I
e-
x dx
-
2
1
x
+ eJ
1
_ e- 2
4
,l;
+ e)
2
y = - - - - +ee x
2
4
Para y(O) = O:
1
0=0 - -
4
1
+ e,
e=4
I .¿ x
y = _ _x
_ l
_ +_
o
4y
2
4
=-
2x - 1
4
+e
2X
•
=
O, puesto
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131
GEOMETRíA
3) La curva pedida tiene esta ecuación y se verifica derivando la solución
general y sustituyéndola en la ecuación.
2. Otro problema interesante es el de obtener la ecuación de las trayectorias
ortogonales de una familia de curvas. Aquí va a ampliarse el concepto usando
coordenadas polares.
y
~--------~----------------------------------------.x
Figura 3.1
Sea una curva
e
y su tangente T, <J; es el ángulo del radio a la tangente:
rda
tan<J;=dr
Supongamos una familia de curvas cuya ecuaClOn diferencial en coordenadas polares es: Hdl' + Gda = O; puede escribirse:
da
H
da
H
-- =-1'dr - - G' Y r d'f
G
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132
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Entonces la familia de trayectorias ortogonales responde a la ecuación:
dO
d1'
r--=
r
dO = G o
d1'
H
G
H1'
+--
G d1' - 1' 2 H dO = O.
EJEMPLO 2
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
d1'
1) Derivando con respecto a O: - -
= 2c sen 20
2) Sustituyendo la constante
=
dO
por
G
d1'
dO
o bien dr
+ 21' tan 20dO = O
Donde H
= 1 Y G = 2rtan20.
G
l'
=
G GOS
20.
_r_:
Gas 20
- 21' tan 20
3) La familia de trayectorias ortogonales tendrá como ecuación diferencial:
2r tan 20 dr - r2 ( 1 )dO = O
Separando las variables :
1
-d1' = -cat20dO
2
7'
1
ln l' = - ln (sen 20)
4
l'
+ ln e
= e (sen 20)1/4
1'4 = e sen 20
Forma alternativa: acomodada la ecuación como en el paso 2, se cambia
dr
d6
- - por - r --o A modo de verificación, se usará este cambio.
dO
dl'
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133
GEOMETRÍA
dr
De d6
d6
= - 2r tan 2e, pasamos a : - r dr
=-
2r tan 26, que representa
a la nueva familia de trayectorias ortogonales:
~=2dr
tan 28
1
- In (sen 26)
2
l'
= 2 In r + In e
(sen 26)lf2 = e
o su equivalente :
1'4
r
= e sen 26
3. Esto que se acaba de ver es un caso particular del problema de encontrar la familia de curvas que forma con otra familia un cierto ángulo ~.
Cuando ~
=.2:2 las
trayectorias se llaman ortogonales, y cuando tan ~
= k,
k = cte, las trayectorias se llaman isogonales y la ecuación original dada como
O tiene por ecuación de trayectorias isogonales:
f(x, y, y')
=
y' - k
f(x, y, 1 + ky' )
= O
EJEMPLO 3
Sea la familia de rectas y
=-
CIX,
encontrar la familia de trayectorias iso-
gonales que forman con dichas rectas un ángulo de ~ radianes.
4
La ecuación diferencial de la familia de rectas es
y'
= -
CI
Y como
~
Además ~
x
(1)
x
~
y' -
k
1
?I
= - -
,
y
y = -
= -4
TI
CI
+ ky '
tan ~
=1
y' -1
1
+ y'
Y k
=1
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134
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
y' -1
+ y'
Sustituyendo en (1) y' por 1
tenemos:
y' -1
Y
+ y'
x
1
xy' - x
= y + y y'
,
x+y
y =-x -y
Sea y
= vx
vdx
~
dy
+ xdv =
= vdx + xdv
x + vx
dx
x - vx
1 +v
xdv = ( - - - v) dx
1-v
xdv = (
1+v-v+v2
1-v
) dx
1'1
(1 - v)dv
V
2
dx
+1
x
1
vdv
---:-dv - ----,-2
v +1
v2 + 1
1
tan-1v - -ln (v 2
2
+ 1) =
v = tan [in e x
y
- = tan [ln e x
x
dx
x
ln x
+ ln e
.J v + 1J
2
j
y2
+r J
r
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135
GEOMETRÍA
4. Muchas veces nos interesa conocer la longitud de la tangente desde un
punto P hasta que corta al eje x o al eje y. Supongamos una curva e y su
tangente T en un punto P de la curva, como se muestra en la figura 3.2.
y
T
A~----------~--------------~--~--------------.x
D
B
Figura 3.2
Al segmento comprendido entre P y A lo llamaremos tangente; al segmento
PB: "no1'mal"; la proyección AD se denominará "subtangente" y la proyeoción
D B: "subno1'mal".
Para encontrar la ecuación de la tangente, tomamos otro punto Q sobre
la tangente. Como la pendiente de la recta tangente es y', su ecuación será:
YI -
Y = y'
(Xl -
X).
YI- Y
de donde: y' = - - en general
Xl -
Si queremos para
o sea que en A,
YI
Xl
X
=
=
-y
O -? y'
XI - X
y
X -
-
y'
Esto indica que la recta tangente corta al eje
y
x -y'
X
en:
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136
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
De la misma forma, si queremos que
-+ Y
y y¡
Xl
,
=
O:
YI- Y
= --
=y -
X
xy'
es donde corta la tangente al eje y; siguiendo este procedimiento obtenemos
la siguiente tabla:
Intersección de la tangente con el eje x:
y
X -
-
y'
Intersección de la tangente con el eje y: y - xy'
+ yy'
Intersección de la normal con el eje x: x
Intersección de la normal con el eje y: y
X
+ --;
y
Además podemos establecer las longitudes siguientes.
Longitud de la tangente desde P hasta el eje x:
I
y
-J 1 + (y' y
y
,
I
Longitud de la tangente desde P hasta el eje y:
I x -JI + (y' y I
Longitud de la normal desde P al eje x:
Longitud de la normal desde P al eje y:
I
x
-J 1 + (y,/
Longitud de la subtangente:
I Y, I
Longitud de la subnormal:
I y y' I
y
y
,
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137
GEOMETRÍA
EJEMPLO 4
Demostrar que la longitud de la tangente P hasta el eje x es:
La ecuación de la tangente es: y'
XI- X
,
- y
En YI = O es y = - - Xl -
X
La longitud de una curva viene dada por la expresión
L =
f ~ ..j z + (Y'Y dt,
= t
~1 +
Y2
(Xl -
pero
Xl -
X
-y
= -,-;
y
IX
xf
x
l
sustituyendo:
y..jz + (y'f
y'
o sea :
I
y..jz + o
(Y'Y
y'
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138
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 5
La intersección con el eje x de la tangente a una curva en cualquier punto
es 2x. Si la curva pasa por el punto (2,3) encontrar su ecuación.
y
x - - =2x
y
- -=x
y'
y'
,
-y
y = x
ln y
para y(3)
= - ln x
+ ln e
dy
-dx
y
x
ln xy
= ln e
xy
= e
= 2, e = 6
6
y=-.
Y
x
5. También usamos la geometTÍa para resolver problemas físicos:
EJEMPLO 6
Supongamos que una gota esférica se evapora a una velocidad proporcional a su superficie; si al principio e l radio de la gota es 2 mm, y al cabo
de 10 minutos es de 1 mm, hallar una función que relacione el radio r con
el tiempo t.
4
Volumen de la esfera: V = -
3
7t,.3
Superficie de la esfera : S = 4 m·2
La variación del volumen con respecto al tiempo es :
dV
;¿
dr
--=4m--
dt
dt
La gota se evapora proporcionalmente a su superficie:
dV = kS
dt
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139
GEOMETRÍA
Sustituyendo:
dr
-=k
dt
dr
= k dt
r = kt
+e
t = o ~r = 2
j
Tomando las condiciones iniciales:
t=lO~r=l
se obtienen k y e:
c=2
~r=kt+2
1
= lOk + 2
,~
= lOk
- 1
k=- -
1
10
1
r=- - - t+2
10
EJEMPLO 7
Un recipiente en forma de cilfndro circular recto tiene una sección transversal de 2 m 2 , Se llena de agua hasta una altura de 6 m, En la base posee
un orificio de sección de 4 cm2 • Se desea calcular la altura del agua en
cualquier instante y también el tiempo necesario para vaciar completamente el recipiente.
Llamando:-:_ _ _~
= área
B = área
A
(sección transversal) del recipiente.
(orificio).
h = altura del agua en el instante t.
I1h
i
¡
=
variación de la altura.
t = tiempo.
l1t = variación del tiempo.
g
= 9.8 m / set.
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140
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Consideraremos:
1) Cantidad de agua que sale por el orificio = Cantidad d e agua que desciende en el cilindro.
2) El volum en que bajó en el cilindro es V
ser decrecimiento).
=
Atlh (con signo negativo por
=
3) El volumen que sale por el orficio es V
Btlm, donde tlm es la distancia que recorre el agua durante M segundos si el chorro saliera horizontalmente.
4) v
dm
= dt
es la velocidad. instantánea de la caída del líquido.
.,¡
5) Tomaremos v =
2gh en condiciones ideales (masa del agua
energía einética), suponiendo qu e no hay pérdidas.
su
Entonces la primera ecuación es: - A tlh = B tlm.
Como la variación de altura es con respecto al tiempo, dividimos entre M:
-
Cuando M
~
tlh _ B tlm
-A -- M
ilt
O
dh
dm
tenemos: - A - = B dt
dt
dh
Por tanto: - A - - = Bv (consideración 4)
dt
y
-
A-
dh
dt
=
B
."f'2iJi
(consideración 5),
b
que ya es la ecuación dif.erencial del proceso, con la condición inicial de
que h = ho cuando t = O.
Resolviendo por variables separables:
dh
B
A
r;:;-::
- = --y2gdt
.Jh
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141
GEOMETRÍA
obtenemos 2."fh
=--AB -ffg t + e, que es la solución general del problema.
Aplicamos las condiciones iniciales para saber el valor de c.
2A=c
B
A
:. 2...jh = - - ffg t + 2A
Entonces: 2.,fh=
- 0.0004 .J2i, t + 2..[6
2
2$ =
- 0.0008854t + 4.8989795
h = (-0.0004427t
+ 2.4494898Y,
es la altura del agua h en cualquier instante t .
Para calcular el tiempo necesario que se necesita para vaciar el recipiente,
tomamos h = O.
Entonces: t
= 4.8989795 = 5533.07 seg.
0.0008854
t = 92.22 min = 1.53 horas.
EJEMPLO 8
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (O, 1) con las siguientes propiedades:
a) El. área bajo la curva limitada por los ejes coordenados y la ordenada
de cualquier punto es igual a:
b) La longitud de la curva corr espondieute a dicha región.
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142
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Por la condición a) tenemos:
s=
IX y dx
representa el área
Por la condición b):
y
L
=
iX.¡z +
y'2 dx ,
I + - - - - - - - - -...L.- - - - _---+ que representa la longitud de la
x
curva en el tramo correspondiente.
Entonces, como S = L, tenemos:
Figura 3.3
Derivando con respecto a x:
y
=
.J 1 + y'2
de donde:
dy
-==~=dx
~
Con solución general:
x
=
In (y
+
~)
+e
para el punto (0,1), e = O Y la solución es:
x=ln(y + ~)
Reconociendo la identidad de este logaritmo con las funciones hiperbólicas inversas, tenemos:
x
= cosh-
1
y
es decir: y = cosh x es la ecuación de la curva pedida.
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143
GEOMETRÍA
EJEMPLO 9
Un joven está situado en la esquina A de un estanque rectangular y sostiene una cuerda de 5 m de longitud, en cuyo extremo opuesto está atada
una boya en C. El joven camina hacia B manteniendo tensa la cuerda.
Encontrar la posición del joven y de la boya cuando la boya está a 3 m
de AB.
dy
tan a=-dx
y
tan
A
E
D
B
dy
a = -=
dx
-y
"';25 _ y2
-r;;=::=====;¡,
"';25 _ y2
- - - - dy=-dx
y
Figura 3.4
Integrando:
Cuando la boya está en C: x
= O, Y = 5
0- 51n 1 = e,
Entonces: x
=
5
5ln (
+
C=O
"';25 _ y2 \
y
1- .,,; 25 _
y2,
es la ecuación que da la trayectoria de la boya.
La distancia AD, a la que está el joven, puede expresarse como:
AD
Sea AE
= x;
entonces: AD
= AE + ED
= x + "';25 _
y2
Sustituyendo la ecuación de la trayectoria:
5
AD
+
"';25 _ y2
-
= 5ln - - - --
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144
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Cuando la boya está a 3 m de AB, o sea cuando y = 3, entonces:
ED =
-J 25 -
9= 4
AE=AD - ED
5+4
x = 5 I n - - -4
3
=5In.1-4
=
1.5m
Por lo tanto, para y = 3 tenemos:
Posición del joven: AD
=
Posición de la boya: AE
SIn 3
= 5.5 m
= 1.5 m
Ejercicios 3.1
APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
1. Hallar una curva que pase por el punto (0, - 3), de manera que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea el doble de la ordenada en el mismo punto.
Resp.u esta: y
== -
3e lX
2. Encontrar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0,2) Y en cada
punto (x, y) tien e pendiente -xy.
Respuesta: y
= 2e - x
2
/2
3. Encontrar la ecuación de la curva qu e pasa por el punto (1, e) y en cada
X2
punto (x, y) la pendiente de su normal es -.
y
Respuesta: y
= el/X.
4. Encontrar la ecuación de una familia de curvas tal que todas sus tangentes pasen por el origen.
Respuesta: y
= kx
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145
GEOMETRÍA
5. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales
pasan por un punto fijo es una circunferencia.
6. Hallar la curva qu e tiene la propiedad de que el segmento de cada tangente a la curva, comprendido entre los ejes de coordenadas, se divide
por la mitad en el punto de tangencia.
=e
Respuesta: xy
7. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto
la recta tangente es perpendicular a la que une el punto con el origen de
coordenadas.
Respuesta:
X2
+ y2 = e, e > O
8. En cierto punto de una curva, la pendiente es igual al recíproco de la
abscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad.
+e
Respuesta: y = In x
9. Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su intersección con el eje x tienen la misma longitud.
Respuesta:
r + y2 + 2cx = k
10. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto
la pendiente de la normal se obtiene del recíproco de la abs·cisa restándole la unidad.
Respuesta: y = x
+ In (x -1) + e
11. Encoütrar la curva que pasa por el punto (0,3) y tal que la proyección de su
tangente en di cho punt o sobre el eje x si empre tenga una lon gitud igua l a 2.
Respuesta: y2
=
ge X
12. La proyección de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el
eje x tiene una longitud jgual a la abscisa en P. Encontrar la ecuación de
dicha curva que pasa por el punto (2,3).
Respuesta:
y2
+ X2
= 13
13. La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x - y. Determinar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (O, 1).
Respuesta: y = 2x - 2
+ 3e -
x
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146
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE PRIMER
14. La pendiente de una curva en cualquier punto es 3r. Determinar
ción de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1).
Respuesta:
ORDEN
la ecua-
= x3
y
Re
15. Hallar una curva que pase por el punto (O, -1), de modo que la pendiente
de la tangente en cualquiera
aumentada en 5 unidades.
Respuesta:
de sus puntos sea igual a la abscisa del punto,
23. Hal
x2
= - + 5x - 1
y
Re
2
16. Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier punto
(x, y) es proporcional
a la abscisa del punto (x¿ Yo), es una parábola.
24. Sea
gon
Re
17. Hallar la curva para la que se cumple que la pendiente
cualquier punto es k veces mayor que la pendiente
este punto con el origen de coordenadas.
Respuesta:
de la tangente en
de la recta que une
25.
= exk
Y
26.
18. Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de
la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada
y la mitad de la absoisa del punto.
Respuesta:
19.
y
1
1
4
8
= - - x - - + ee
2X
27.
Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la
distancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva es
igual a la abscisa en P.
Respuesta:
r + y"
= ex
20. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normal
en cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P
con el origen.
Respuesta:
21. Encontrar
x2
+ y"
=e
las trayectorias
ortogonales
r
Respuesta:
r
= e (sen
= e (cos El + sen
El)
de la familia de curvas:
El - cos El)
Re
29. La i
esy
Resp
30. La t
dena
P fa
prop
rectá
Res
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147
GEOMETRÍA
22. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
r = c coi{)
Respuesta: r 2 = e sen e
23. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
r
Resp'uesta: r
= c / (1 -
cos {))
e
1 + cos {)
= ----,-
24. Sea la familia de rectas y
=
clx; encontrar la familia de trayectorias isogonales que forman con dichas rectas un ángulo de n/3 radianes.
2
Y
Respuesta: - - tan- l -J3
x
= ln c(x! + y2)
25. Demostrar que la recta normal corta al eje x en
Xl
=
X
+ yy'.
26. Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es:
I
x..J 1 + y'2
y'
I
27. Demostrar que la longitud de la subtangente es
I y/y' l.
28. Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1)
al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x.
Respuesta: .,j5¡2 = 1.118
29. La intersección con el eje y de la normal a una curva en cualquier punto
es y/2. Si la curva pasa por el punto (1,1), encontrar su ecuación.
Respuesta: y2
+ 2il =
3
30. La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coordenados formando con ellos un triángulo; ya que las coordenadas del punto
P forman con los ejes un rectángulo, hallar la familia de curvas con la
propiedad de que el área del triángulo es siempre el doble que la del
rectángulo.
Respuesta: xy = c
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148
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE PRIMER
ORDEN
31. Encontrar
la curva que cumple la condición de que el área acotada por
dicha curva desde (0,1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la ordenada.
Respuesta:
y
= e"
32. Hallar la curva en el plano xy, con la propiedad de que el área acotada
por esta curva, el eje x y la ordenada, es igual a la longitud de la curva
desde el punto (0,1) al punto (x, y).
Respuesta:
y
= cosñ
x
GEOMETRí
37. Seleccí
milia d
A. x2
+ y2
B. y'
=
c.
= x2
y'
D. x2
33. Hallar las coordenadas
del punto o puntos
más próximos al punto (9, O).
de la curva y
= 2:r
que están
y2
+ y2
38. Escoge
en la f:
(1, 2)
Respuesta:
34. Hallar las coordenadas del punto o de los puntos de la curva x2 que están más cercanos al punto (0,7).
Respuesta:
(- 4,
y2
=9
y
.;7), (4, .;7)
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene la solución correcta.
35.
La derivada dxjdt
es proporcional
el valor de x cuando t = 20.
a x. Sea x(O)
= 10 Y x(5) = 15.
Hallar
A. 4.05
B. 50.6
c.
0.81
D. 16.21
36.
=
Dada la ecuación y'2
36xy, escoger la opción que contiene
nes que pasan por el punto (4, 1).
A. Y
= (2X
32
/
-
17/,
Y
= (_2X3/2
B. No tiene solución porque
c.
D.
y
= (2X
3
(2
-
15/, Y
-
= (_2X
no es lineal
3
(2
39. Hallar
to (ex
17y
+ 17/
No puede tener dos soluciones porque
y unicidad.
dos solucio-
A. y2
+ 2~
B. yy'
=
C. yZj2 =
contradice
el teorema
de existencia
3
D. c=-
2
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MER ORDEN
GEOMETRíA
acotada por
gual a la or-
37. Seleccionar la opcion que contiene las trayectorias ortogonales de la familia de círculos cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen.
149
A. X2 + y2 = kx
B. y , -área acotada
de la curva
C. y
2xy
2xy
- x2 _ y2
,-
D. x2
i que están
y2 _ X2
+ y2 = cy
e que se muestra
es constante.
38. Escoger la opción que contiene la ecuación de la curva
en la figura, sabiendo
que el área del triángulo
A. y3
APB
= 6kx
+e
B. A=k
y
C. tan 6
ción correcta.
AB
=-y
D. y2 dy = 2kdx
= 15. Hallar
A
Figura 3.5
dos solucio-
B
x
39. Hallar la curva que pasa por el punto (1,1), cuya normal en cualquier
to (excepto
A. y2
B.
yy'
+ 2:r = 3
= -2x
C. y2j2=-x2+c
de existencia
3
D.
c=2"
en x
pun-
= O) queda dividida en dos partes iguales por el eje y.
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150
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
40. ¿Qué opción contiene la familia de trayectorias ortogonales de la función
cosy = ae - X ?
A. cosy
= ae'"
B. sec y = ae'"
C. sen y
= ce'"
D. sen y = ce - X
Respuestas:
35. B. Los demás valores son resultados intermedios.
36. C. Es no lineal y admite dos soluciones por ser cuadrátioa, como puede
verificarse.
37. D. La opción A contiene precisamente la familia de círculos cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen (que es el dato del ejercicio). La opción B representa la ecuación diferencial de la familia de
la opción A. La opción C es la ecuación que da la solución correcta
en la opción D.
38. A. Las demás opciones representan pasos intermedios en la solución del
problema.
39. A. Las demás opciones son pasos intermedios.
40. D.
Ecuación de BernoullP
Es una ecuación de la forma:
y'
Para n
= 0, 1 la ecuación
+ f(x)y =
r(x)yn,
n
=F 0, 1
es lineal.
Métodos de solución:
a) Convertirla en lineal mediante la sustitución: u = yl_n
b) Sin convertirla en lineal, mediante la sustitución: y = u(x) v(x).
1
James Bernoulli la estudió en 1695.
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ECUACIóN DE BERNOULLI
151
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación:
Y
,
+ -2xy =
-2xy
2
a) Aquí: n = 2.
Entonces
u = y_l
Sustituyendo
Y = u- l
~
- u-
2
U'
y'
y
+ ~ u- = -
= - u- 2 u'
2x u- 2
l
X
Dividiendo entre _ u- 2 :
,
2
u - - u = 2x,
x
que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución:
u = 2X2 ln x
Como u
= y-t,
+ cr
entonces:
1
y=----2r lnx + cr
b) Sea y
= uv.
Sea v(x) la solución de y'
2
+ -;- y
= 0,
es decir, v(x)
= r1
la ecuación dada se transforma en:
sustituyendo v(x), después de haber dividido la ecuación:
u'
+
u ( - 2/X3
1/x2
U
,
+~) = _ 2xu2!.-.
X
2
X2
2
=--u
X
du
2dx
x
u- l
= 2lnx + e
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152
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
1
u = - --2ln x
Como y
= uv
y=
+e
1
x2(21n x
+ e)
O
EJEMPLO 2
Resolver y'
+ xy =
xy - l/2
Sea u = yl _(_ 1/2) = y3/2
entonces y =
U
2
/
3
,
y'
= ~ u- 1P u'
3
Sustituyendo :
l.. U- 1/3 u' + xu2P = XU- 1/ 3
3
3
u ,+
- xu = -3 x 1inea1 en u
2
2
u= e- /4 1Je
3 2
/ Jxdx
3x
(~ x) dxj
Ecuación de Lagrange
Es una ecuación de la forma:
y
=
x
cp (y ' )
+ <J; (y')
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153
ECUACIóN DE LAGRANGE
Método de solución:
= p
Sea y'
Se diferencia y se sustituye dy por pdx quedando una ecuación lineal con
respecto a x. La solución queda en forma paramétrica. Pueden existir soluciones singulares de la forma y
cp( c)x +.<jJ( c), donde c es una raíz de la ecuación
c
cp(c).
=
=
EJEMPLO 1
Resolver la eouación:
y = (1
Sea y'
= p,
entonces y
+ y') x + y'2
= (1 + p)x + p2
Diferenciando y sustituyendo dy por pdx:
pdx = (1
+ p) dx + xdp + 2pdp
- dx = (x
+ 2p) dp
dx
-=-x-2p
dp
de donde
dx
dp
+x= -
.
2p ya es lineal en x, cuya solución es:
x
=
2 - 2p
+ ce -
P
Sutituyendo este valor de x en la ecuación de y, tenemos:
y
=
(1
+ p) (2 -
y = 2 - p2
2p
+ ce- + p2
P
)
+ c(l + p )e-
P
Por lo tanto, la solución es:
x = 2 - 2p
y
+ ce-
P
= 2 _ p2 + c(l + p)e- P
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154
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Para hallar una solución singular, se deriva la ecuación dada con respecto
a y' :
.') =
x
+ 2y',
entonces:
x
como y ' = p
+ 2p =
O
+ p) x + p~,
Esta ecuación, junto con y = (1
se elimina p .
forman un sistema del cual
x
p= - 2
X
y
X2
= [1 + (- -)]
x +2
4
Comprobando :
,
Y
.
1
= 1 -2 x
sustituyendo'
X2
-
X -
4
= (1 + 1 =
.
XZ
2x - -
2
X
- )x
2
+1
+ (1
X
-
-y
2
X2
- x
+-
4
X2
=x - - + l
4
X2
Como x - 4
*
X2
x - 4
+ 1, la función
y
=x -
~
- no es solución singular.
4
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155
ECUACIÓN DE LAGRANGE
EJEMPLO 2
Resolver la ecuación: y = xy'
Sea y' = p, entonces y = xp
+ ..J 1 + y'2
+ ..J 1 + p2
diferenciando:
+ pdx + -¡=;=P=:;¡..J 1 + p2
pdx = xdp
o = (x + ..J 1 p
+ p2) d p
Si dp = O, entonces p = e
y la solución general de la ecuación es:
y
Si x
p
+ ..J 1 +
=
ex
+ ..J 1 + el
-p
=
O' entonces x = -r====;¡:p2'
..J 1 + p2
Tomando esta ecuación y y = xp
p, tenemos:
+
2_
..J 1 + p2
para eliminar el parámetro
r
p - -1--'
- xademás:
- p
y
= ..J 1 + p2 p + -J 1 + p2
1
y
= -'¡''':'1=+=p:;¡-2
igualando:
.' . X2
+ y2 = 1
es una solución singular.
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156
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Ecuación de Clairaut
Tiene la forma:
y=xy'
+ <\J(y'U
Método de solución: el mismo que el de la ecuación de Lagrange. La solución general tiene la forma:
y = ex
+ <\J (e)
También puede tener solución singular, la que se obtiene eliminando p de
las ecuaciones:
= xp + <\J (p),
y
x
+ <\J' (p) =
O.
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación:
y = xy'
1
y'
1
Sea y' = p, entonces y = xp - p
Diferenciando y tomando dy
pdx
Si dp
=
pdx
xdp
+
pdx
+
1
-dp
p2
= 0, p = e
y
Si x
=
+
1
p2
= 0, = X
= ex 1
p2
~
e
es la solución g/mera!.
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157
ECUACIóN DE CLAIRAUT
Sustituyendo en y
1
= xp -
-
tenemos:
p
2
y=-p
1
Tomando las ecuaciones: x =
p2
2
y=--
y
X
eliminando p:
2=_4
Y
p "'
1
x
Para saber si es o no solución singular, la comprobamos:
Derivando: 2yy' = - 4
yy' = -2,
y' = -2/y
Sustituyendo:
2
1
y=x(- - ) - ----;
y
y
y2
2
Y
y = - ( - - )+ -
- 4
y
Y
y=-+2
2
Y
2
... Sí es solución.
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158
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
QUíMIC
Ejercicios 3.2
Resolver
1. y'
las siguientes
+ ~y
ecuaciones
diferenciales
=~xV
3
x
x2
=e
2. y'
+ xy = xy-2
Respuesta:
y3
= 1 + ee-3x /2
3. y'
+ i. y = 4x3y-l
Respuesta:
y2
= _x4 + ex-2
6. 2y
= X3y-2
las siguientes
= xy' +
7. y = y'
12. Y
4
ecuaciones
y
Respuesta:
y3_
de Lagrange
+ -} 1-yY2
+ seny'
13. Y
x3 = ex'
y de Clairaut.
x
y' In y'
= ce¿/4 + 2
Respuesta:
l
Respuesta:
= ep
14. x=
- In p - 2
e
y=_p2_p
2
x
= In p
+e
- sen=! p
15. Y
Respuesta:
y
8. y = 2xy'
2
3
5. 3xy' - 2y
Resolver
=
11. y-
4. y' - xy = 2xyl/2
:.t
1/ X3y3 +
Respuesta:
x
,'i
10. Y
de Bernoulli.
= p + -}1-
=
p2
e
x=----p2
cos p
V
sen p
__
P
2e
y=-p
_ eosp
-sepp
Respuesta:
Quími
Proceso
p
EJE
Unm
9.
y
3,
= -xy
2
+e
Y
(x=---+
,
¡
P
2e
p
4e
p2
P
4e
p3
P
+_e
p3
Respuesta:
= --6ep - --6ep2
P
,
y
P
3e
+ -2 2 p
prese
se ob
a)
2eP
b) L
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159
QUíMICA
1
10. y
11. y
=
=
1
y'
xy'
xy'
+ y'
Y = ex - -, solución general.
e
Respuesta:
Respuesta:
y2 = -4x,
solución singular.
{y = ex + e,
solución general.
y = ex
12. y
= xy'
13. y
=
,
xy
+ 3y'2
y'
+ 2"
14. x
15. y
1
= xy +----;-¡y
= xy' + 5,
Y
solución general.
Respuesta:
solución general.
Respuesta:
{y = ex + ;,
solución general.
1
= cx +-,
c
solución singular.
y
,
+ 3e2 ,
Respuesta:
lY=3h
Y
2
solución general.
5
= ex +-, solución general.
Respuesta:
y2
e
= 20x,
solución singular.
Química
Proceso primario: Ley de crecimiento o decaimiento.
EJEMPLO 1
Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad
presente. Si inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora
se observa que ha perdido el 8% de la cantidad inicial, hallar:
a) La cantidad de masa en cualquier momento t.
b) La masa del material después de 3 horas.
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160
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE PRIMER
ORDEN
QutMIC
e) El tiempo que transcurre
cantidad inicial.
hasta
la desintegración
de la mitad
de la
Proceso
Solución:
Sea y la cantidad,
Y
dd = ky,
t
en miligramos, presente de material radiactivo,
es la ecuación
del proceso. Integrando:
In y
y
Para t
= O se
Sustituyendo
+e
= kt
= ce"
= 4,0.
cumple que y
el
en la solución, se obtiene:
-7
Para t
entonces:
Y
e
= 40
= 40 e"
b) Si
ni
= 1, Y = 40 - 3.2 = 36.8
porque el 8% de 40 es 3.2 mg.
36.8
1>1
,,,11I
es la ecuación
tiempo t.
b) Para t
que
= 40 e"
k
= ln
y
= 40
36.8
40
material
a) Si
d!
radiactivo
en cualquier
7J
= 3:
si
= 40 e-
O•25
= 31.15
y
= 20
Soluc
e-O.0834t.
da la cantidad
y
e) Para y
e) Si
x
(a
mg.
el
mg:
t=?
20
= 40
e-O.083ft
In2
t=--
0.0834
t
= 8.31 horas
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161
QUíMICA
Proceso de segundo orden: reacciones químicas
EJEMPLO 2
Partiendo de dos sustancias A y B se desea obtener un compuesto C. La
ley de conversión para estas sustancias es: la rapidez de transformación
de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto de las cantidades no transformadas de las sustancias A y B. Tomando · medidas
unitarias suponemos que una unidad de A y una unidad de B producen
una unidad de C.
a) Demostrar que la ley de conversión en t
ción diferencial:
dx
-
dt
= O viene
dada por la ecua-
= k(a - x) (b - x)
b) Si en t = O hay m unidades de la sustancia A, n unidades de la B y
ninguna del compuesto C, hallar la solución para x.
=
=
=
e) Si a 4 kg, b
5 kg, x
1 kg, en t
x cuando t = 1 h, 40 minutos.
= 50
min; hallar el valor de
Solución:
a) Si al principio hay m unidades de A, n unidades de B y cero unidades
de C, entonces, las x unidades de C en un tiempo t constan de;
mx unidades de A y
nx
unidades de B; por lo tanto, quedan
m+n
m+n
sin combinar:
mx ) unidades de A y (b o nx ) unidades de B y la
m+n
m+n
ecuación es:
(a o -
~ = K( ao _
dt
= K(
ao(m
mx ) (b o _
m+n
¡
+ n) -mx
m+n
)(
nx )
m+n
bo(m
+ n) -nx
m+n
)
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162
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Kmn
n
m
m
n
- - - [ ao (1 +-)-x][bo (-+1)-x]
(m
+ n)2
=k (a Donde k
b)
x) (b - x)
= (mKmn
, a =a
+ ny
m
+n
o (--),
dx
(a - x) (b - x)
Caso 1. a
D
= b
m
b
=b
m
+n
o (--).
n
= kdt
dx
---=kdt
(a -xl
~
1
--=kt+C
a-x
Para t
~
=O Y x =O
C
= !....-a
1
1
--=kt+a-x
a
despejando x:
x
Caso 2.
a*- b
~
=
a2kt
unidades de C
akt + 1
1
- - - - - - dx
(a-x)(b -x)
= kdt
Por fracciones parciales tenemos:
1
A
B
1
1
1
1
=
+
=
--(--)
+
(
)
(a-x)(b - x)
a-x
b-x
a-x b-x
a-b b-x
Integrando:
1
1
- - - l n ( a -x) - - - l n ( b - x)
b-a
a-b
= kt + C
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163
QUíMICA
1
- - [ln (b - x) - In (a - x)]
b-a
b- x
In - a- x
= kt + C
= (b-a) (kt + C)
Para t = O, x = O
b
In a
= (b -
b- x
In - - = (b - a) kt
Entonces
C = _ln_(_b /_a_)
b-a
a) C,
a- x
b
+ Ina
b- x
b
l n - - -ln- = (b -a) kt
a- x
a
In
a(b - x)
b (a - x)
= (b -
b-x = _
b
__
a- x
a) kt
e(b - a) kt
a
de donde:
ab (1 _ e(b - a) kt)
a - b e!b - a)kt
x=
c) Si a
si b> a
'
= 4 kg, b = 5 kg, x = 1 kg y t = 50 min, entonces:
e
Para t
=
50k
k = ~ln 16
16
=-,
15
50
15
100 minutos:
(1516)2
(16)2'
4 -5 -
20 - 20
x=
15
x
= -31
= 1.632 kg. de C.
19
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164
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Ejercicios 3.3
1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gr y después de 2 horas se ve que ha perdido
el 5% de su masa original, hallar:
a) La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t.
b) La cantidad de uranio después de 5 horas.
Respuestas: a) y
= 10 e-O.026t
b) y = 8.781 gr
2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia
a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía.
Si al inicio de la reacción había 200 gr de M y una hora más tarde 75 gr,
calcular el porcentaje de M transformada después de 2 horas.
Respuesta: 85.93 por ciento
3. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la
cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg
de este material, se observó que después de 3 horas, solamente el 80% de
la masa permanecía en ese momento. Hallar:
a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.
b) ¿Qué cantidad permanece cuando t = 5 horas?
c) ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es 1/4 de la cantidad
inicial?
= 60 e(! ln 0,8)/3
y = 41.365 mg
t = 18.6 horas
Respuestas: a) y
b)
c)
4. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 gr del material y después
de 2 años se observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado,
hallar:
a) Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t .
b) El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento.
Respuestas: a) y = 300e t[o .5!n (43/50)]
b) t
= 4.73 años
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165
QUíMICA
ORDEN
5. Se sabe que cierto material se desintegra
dad preperdido
~mpo t.
a una razón proporcional a la
cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 20% se ha
desintegrado, hallar la vida media del material.
Respuesta:
3.11 horas
6. Los experimentos demuestran que la rapidez de conversion del azúcar de
caña en solución diluida es proporcional a la concentración de azúcar aún
no diluid
Ul a. Supongamos
Y en t
sustancia
todavía.
=5
horas es _1_.
200
tiempo t.
cantidad
r ciento.
1a concentración
.,
Hallar la ecuación
d'e azucar es --1
150
que da la concentración
de
150
7. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de
1600 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año?
Respuesta:
0.043 por ciento
8. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional
a la cantidad existente. Si la 'cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento?
Respuesta:
a la candespués
tegrado,
=O
azúcar sin diluir en función del tiempo.
1
Respuesta: y = __ e-O.058t
e 75 gr,
nte a la
n 60 mg
80% de
que en t
8 veces más
9. La conversion de una sustancia A sigue la ley del "proceso de primer orden". Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia
se transformó, hallar cuándo se transformarán
nueve décimas partes de
esa sustancia.
Respuesta:
t
= 160 segundos
10. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración
de 40
horas. Hallar cuánto tiempo tardará en desaparecer el 90% de su radiactividad.
Respuesta:
132.8 horas
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166
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Biología
EJEMPLO 1
Por experiencia se sabe que en una cierta población la rapidez de nacimientos y . la rapidez de muertes es proporcional al número de individuos
que instantáneamente estén vivos en un momento dado. Encontrar el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población.
Sea y el número de individuos de la población.
Llamamos dN a la rapidez de nacimientos,
dt
,dM
.
ademas, - - a la rapId ez de muertes. En tonces:
dt
-dN
_. = KnY
dt
dM
dt
__
N_ _ •_
--
La ecuación del proceso es:
dy
-- =
dt
-
dy
-
dt
dy
y
ln y
= kmy
Q_M_---..
y
entrada - salida
= KnY - Kmy
= (K n - Km)dt
= (K" -
Km) t
+ In e
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167
BIOLOGíA
EJEMPLO 2
En cierto instituto tecnológico se declara una epidemia de hepatitis. Se
quiere ' encontrar el modelo matemático de la propagación de la enfermedad, partiendo del hecho de que ya existe un número determinado de
estudiantes enfermos.
Haremos las siguientes suposiciones :
El número de estudiantes E, es grande. Ei es el número de estudiantes
infecta.-1.os. En es el número de estudiantes no infectados. La razón de
cambio de alumnos infectados es d Eijdt.
dEi = a + bE ~' + e E t;
'
-;¡¡
2
' cua dr'
, a
porque esta f
uncían
. atica se acerca mas
la realidad, ya que al comienzo de la epidemia hay pocos enfermos;
luego este número aumenta y se espera que después disminuya; entre los
estudiantes En están los inmunes y los ya recuperados (a, b y c son
constantes) .
= Ei + En en
cuando Ei = O Y Ei = E.
Se cumple que E
cualquier tiempo t, y también : dEi
dt
.,
dEi O
Taman d o en 1a ecuaClOn propuesta -;¡¡ = tenemos :
a) Si Ei = O, entonces a = O
b) Si Ei = E, entonces bE
+ CE =
2
O, e
-b
E
= --
Sustituyendo estos valores:
dEi
bEe
- - =bEi - - dt
E '
dEi
b
=-Ei(E - Ei)
dt
E
Llamare~os K = b j E, constante.
Entonces:
dEi = KEi (E - Eí)
dl
= O,
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168
APLICACIONES
Inicialmente,
DE LAS ECUACIONES
en t = O hay Ea estudiantes
DE PRIMER
ORDEN
BIOLOGíA
infectados, de ahí que:
Ei =Ea
Resolviendo la ecuación diferencial:
dEi
Ei(E _ Ei)
3. Una
= Kdt
.!...Zn Ei - .!...Zn (E - Ei) = Kt
E
E
',1
En t
para
ción
neee
el pe
de a~
inves
a la
proed
cone
hume¡
euart
+e
= o:
11
1
Ea
c=-ln-E
E-Ea
Entonces:
Resp
1
Ei
-ln
E
E - Ei '
1
Ea
= kt+ -ln-E
E - Ea
4. En e
Eí (E - Ea) = étE
Ea (E - Ei)
nitró
quien
un
Ei=
E
(E/Ea -1)e-ktE
+1
Ejercicios 3.4
1. Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterráneo
crece en proporción al número presente en cada momento. Después de
2 horas de observación se forman 800 familias de la mosca y después de 5
horas se forman 2000 familias. Encontrar: a) la ecuación que representa
el número de familias en función del tiempo, y b) el número de familias
que había al inicio.
Respuestas:
a) y
= 434eo.305t
b) y
= 434
2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de
habitantes que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años la
Resp
5.
Resp
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169
BIOLOGÍA
población se ha triplicado y después de 8 años la población es de 45000
habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en la
ciudad.
Respuesta: 7 760 habitantes
3. Una industria le ha encargado a una de sus empacadoras procesar pescado
para producir un concentrado rico en proteínas para mejorar la alimentación de los consumidores. Se sabe que 6 kg de pescado son los que se
necesitan para producir un kg de este producto. Para esto hay que secar
el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente
de aire seco sobre ellos para quitarles la humedad. Por otra parte, los
investigadores han demostrado que la velocidad de secado es proporcional
a la humedad que contenga el pescado y además que a los 25 minutos del
proceso se ha perdido la mitad de la humedad inicial. Para producir este
concentrado se requiere que el pescado contenga solamente el 10% de su
humedad inicial. ¿Cuanto tiempo tiene que permanecer el pescado en el
cuarto para perder el 90% de su humedad?
Respuesta: 1 hora 23 minutos, aproximadamente
4. En el proceso de respiración absorbemos aire que contiene principalmente
nitrógeno y oxígeno, y al exhalar despedimos bióxido de carbono. Se
quiere purificar el ambiente de un salón donde se encuentran bailando
un gran número de personas; para ello, se hace pasar una corriente de
aire puro de 3 500 m 3Jh de aire a la que llamaremos Qa 1, y se hace salir
3000 m 3Jh de aire contaminado (Qa 2 ), con bióxido de carbono. A la concentración de bióxido de carbono la designaremos por Cco2f. Se sabe que
el volumen del salón es de 10 000 m 3 y que la concentración inicial de
bióxido de carbono en el cuarto es de 0.1% del volumen de éste. Suponiendo que la densidad permanece constante, ¿cuál es la concentración
de bióxido de carbono, Ccod, al cabo de 4 horas de haberse iniciado el
baile? La concentración se expresa en gr/m3 •
Respuesta: Cco2f = 0.030119 gr/m 3
5. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al · número de sus
habitantes. Si después de 18 años la población se ha duplicado y después
de 25 años la población es de 20Q 000 habitantes, hallar : a) el número
inicial de habitantes y b) cuántos habitantes tendrá al cabo de 100 años.
Respuestas:. a)
76 372 habitantes
b) 3 588 954 habitantes
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170
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
6. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta
uroporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5
años su número se ha duplicado y después de siete años el número de
animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día
de la inauguración del jardín zoológico.
Respuesta: 218 animales.
7. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
dx
di =
x(a
+ by)
dy
- = y(c + gx)
dt
fue diseñado por el matemático Volterra (1860-1940), para describir el
comportamiento de dos especies que compiten para sobrevivir en el mismo
hábitat. Resolver esta ecuación, usando la regla de la cadena:
dy
dx
dy. dt
dt dx
8. Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos (la malaria), o por transmisiones (la tifoidea). Supongamos que x representa la
cantidad de transmisores en una cierta población, y y es la cantidad de
sanos, en el instante t. Si los transmisores se eliminan de la población con
una rapidez B, de manera que se cumple:
dx
dt
- = ' - Bx
y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto
xy, tendremos:
dy
-=-axy
dt
a) Para x(O) = Xo, hallar x en cualquier instante t .
b) Para y(O)
anterior) .
= Yo,
hallar y en cualquier instante t (usar el resultado
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171
FíSICA
c) Cuando t ~
00,
Respuestas: I a) x
=
¿cuál es el valor límite de y y qué significar
Xo
e- f3t
b) y=yoeaXo(e
c) y
= Yo e-
aX
-f3t
-1)/f3
o/f3
9. Un cuarto tiene 60 m 3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido del 4.5% de
monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m 3/min y se
deja salir la mezcla con la misma rapidez. a) Encontrar una expresión
para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto en cualquier
instante. b) La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles,
por ejemplo: 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.
Respuestas: a)
e=
(9/200)(1 _e-t/ooaao)
b) t = 4 horas
10. En una estación de metro subterráneo de 7500 m 3 se ha comprobado que
hay una concentración de 0.2% de CO 2 • Para renovar la atmósfera, unos
ventiladores introducen aire del exterior (el cual tiene una concentración
CO 2 de 0.06%) a una velocidad de 7000 m 3 /min. Hallar el porcentaje
de CO 2 después de 15 minutos.
Respuesta: 0.06 por ciento.
Física
EJEMPLO 1
Según la Ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfría
una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas
de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28° y la sustancia
se enfría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una
temperatura de 50°?
Uamaremos T a la temperatura de la sustancia a los t minutos.
= _ k (T - 28) es la ecuación del proceso, donde la consdt
.
tante negativa representa pérdida o disminución.
Entonces
dT
La solución por el método de variables separables es:
T
= e e-
kt
+ 28
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172
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Aplicando las condiciones iniciales :
t
y para t
= 12, T = 80
80
Entonces: T = 72
para T
= O, T = 100 tenemos:
100 = e + 28, e = 72
=
72 e- 12k
e-(J/ !2) In(J3/ !8)t
= 50:
+ 28
+ 28
50 - 28
=
e - (J/ !2) In(J3/ !8)t
72
11 1( 13)
ln - = - ln - t
36 12
18
t = 43.72 minutos
EJEMPLO 2
Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una
velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite
debe ser 40 m/seg. Encontrar : a) la expresión de la velocidad del objeto
en un tiempo t, b) la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t
y c) la velocidad después de 8 segundos.
=
a) La fuerza neta F sobre un cuerpo es F
mg - kv, donde m es la masa
del objeto, g es la fuerza de la gravedad y kv es la fuerza debida a la
resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).
Además, por la segunda ley de Newton, tenemos :
F = m dv
dt
dv
m -- =mg - kv
dt
(1 )
En este problema:
w
y
= 30 kg y como w = mg, entonces mg = 30 kg
30
m = -- = 3.06 kg masa
9.8
(tomamos m
= 3)
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173
FíSICA
v. límite
= 40 m j seg,
mg
donde v. Hm.
'
mg
40=-,
k
= --;
k
entonces:
mg
3
k=-=40
4
Sustituyendo estos valores en la ecuación (1):
dv
1
dt
4
-- + -
v = 10 ecuación lineal, cuya solución es:
Con condición inicial: para t = O, v
:. v
= -37 e-
t 4
/
=
8,
+ 40
b) Para encontrar la posición del cuerpo tomamos v
dx
= __
dt
dx
-=-37 edt
con solución: x
Para t
=
O ,~
t 4
/
+ 40,
ecuación de variables separables,
= 148 ex
=O
t 4
/
+ 40 t + C 2
Y C2
=
:. x = 148 e- t / 4
e) Para t
=
-148
+ 40t-148
8
v
= -87
.'. v
=
e- 2
+ 40
35 m / segundo.
o
entonces:
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174
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 3
Un circuito RL tiene una f em de 5 voltios, una ínductancía de 1 henrio,
una 1'esíst"encía de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la
corriente en el circuito para cualquier tiempo t .
El circuito más sencillo RL consta de:
Una resistencia R, en ohmios
Una inductancia L, en henrios
Una
fU(~rza
electromotriz, fem E, en volti os
R
,j\
i
E
1
Figura 3.6
La cantidad de corriente 1, en amperios, queda expresada por la ecuación:
Entonces, para E = 5, L = 1 Y R = 80, la ecuación del circuito es:
~~ + 801 = 5, ecuación
lineal, cuya solución es:
1
Para
t
1
= - + ce- 80t
16
1
= O, 1 = O; entonces: c = - -.
16
La corriente en cualquier tiempo tes:
1
1
= -(1
16
- e- 80t )
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175
FíSICA
EJEMPLO 4
Un circuito Re tiene una fem de 200 cos 2t (en voltios), una resistencia de
50 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. En t
O, no hay carga
en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo t.
=
El circuito
Re
consta de:
Una resistencia R, en ohmios
Una fem E, en voltios
Una capacitancia
e,
en faradios (no hay inductancia)
R
v
i
::::: e
E
1
Figura 3.7
La ecuación que da la cantidad de carga eléctrica q, en culombios, es:
dq
Entonces: E
E
1
---;¡¡ + Re
q
dq
= R ' además 1 =dt-
= 200 cas 2t, R = 50, e = 10- 2 Y la ecuación
. ~; + 2q = 4 cos 2t
ecuación lineal, cuya solución es:
= cos 2t + sen 2t + ce~2t
Para t = O, q = O; entonces: e = -1
q
000
NOTA: 4
J
q = cos2t
el< cos 2t dt = e2t (cos 2t
+ sen2t-e- 2t
+ sen 2t).
Una vez obtenida la carga, podemos encontrar la corriente:
1
dq
= -= - 2 sen 2t + 2 cos 2t + 2e- lt
dt
es:
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176
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 5
Un resorte de peso despreciable está suspendido verticalmente. En su extremo libre se ha sujetado una masa de m = 40 kg. Si la masa se mueve
con velocidad Vo = 1 m/seg cuando el resorte está sin alargar, hallar la
velocidad v cuando el resorte se alarga 2 metros.
La fuerza del resorte es proporcional (y opuesta) al alargamiento (Ley de
Hooke). Además se cumple: fuerza neta sobre el objeto = peso del objeto - fuerza del resorte.
dv
Entonces: m - - = mg - kx
dt
(dX)
, m-dv - - =m v --=mg-kx,
dv
ecuación de variables seO tambien
dx.dt
dx
parables, cuya solución es:
v2
Para x
= 2gx -
k
-
m
r + e,
o bien mv2
= 2mgx -
kX2
+e
= O, v = vo. Entonces e = mv02, por tanto:
Para los valores del problema, la velocidad del alargamiento queda en función de la constante k, cuyo valor puede especificarse mediante condiciones iniciales. En este caso, la velocidad es:
v2
=
k
4g - -
10
+1
EJEMPLO 6
En cierto depósito hay 180 litros de solución salina que contiene 10 kg de
sal. Se vierte agua en el depósito con una velocidad de 4 litros por minuto
y sale la mezcla con velocidad de 3 litros por minuto. La concentración
se mantiene homogénea. Hallar la cantidad de sal al cabo de media hora.
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177
FÍSICA
Volumen inicial: Va = 180 1, cantidad de sal Qo = 10 kg, velocidad del
agua al entrar e = 4, velocidad de la mezola aol salir f = 3.
Sea Q la cantidad de sal en el depósito en un momento dado. El volumen
de solución salina en oualquier momento es: Va + et - ft. La concentración de sal es Q / (Vo + et - ft), y la sal que sale del depósito lo hace
a una razón de f [Q / Vo + et - ft] kg/minuto.
Entonces:
dQ
+
f
dt
Vo
+
dQ
dQ
+ (e -
Q = O
f)t
3
Q _ ()
180 + t
dt
(180
lnQ
+ t)
=-
- 3dt
dQ
3
---Q,
180
Q
3 In (180
+t
+ t) + lnC
C
Q
= O, Q = a = 10,
t = 30, Q = 6.3 kg de sal.
Para t
Para
= (180 + tl
e
= 58.32 X
lOS
Ejercicios 3.5
1. 'Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire
libre (temperatura del aire 20°), hallar la temperatura después de 30 minutos.
Respuesta: T
=
51°
2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en
la cual hay una temperatura constante de 18°. Si después de 15 minutos la
temperatura del cuerpo es de 8° y después de 25 minutos es de 12°, hallar
la temperatura inicial del cuerpo.
Respuesta: T
=
3.5°
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178
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
3. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador
que
está a una temperatura constante de 5°. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8° y después de 40 minutos está a 6°. Hallar la temperatura
inicial de la sustancia.
Respuesta:
T
I~I
il
II~
':,Aí:
1
peratura se mantiene en 50°.
cuerpo es de 40°. Hallar: a)
horas a partir de la inmersión,
temperatura del cuerpo sea de
Respuestas:
8. Un cuer
sin velo
cional a
a) la ve
un tiem
cidad d
= 86°
4. Un cuerpo a una temperatura
Ilri"
FíSICA
a) T
b) t
Respues
de 30° está inmerso en un baño cuya temDespués de una. hora la temperatura
del
la temperatura
del cuerpo después de dos
y b) el tiempo que se necesita para que la
48°.
9. Se deja
una vel
es desp
posición
que se
= 45°
= 3 h 19 min
18 seg
5. La temperatura
del aire es de 40°. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120° a otra de 100° en 20 minutos. Encontrar: a) la temperatura
del cuerpo después de 50 min, y b) el tiempo
necesario para que la temperatura
del objeto sea de 70°.
Respuestas:
a) T
b)
'~I
t
= 79°
= 68 minutos
Respues
10.
l.
~,..,IIIJ
= 2 kg se lanza verticalmente en el aire con una
velocidad inicial Vo = 3 mf seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire
proporcional a su velocidad, hallar a) la ecuación del movimiento, b) la
velocidad en un tiempo t = 20 seg y e) el tiempo necesario para que el
cuerpo llegue a su máxima altura.
6. Un ouerpo de masa m
Respuestas:
dv
a) dt
k
+-
m
v
=-
Respues
11.
Un ciro
ohmios,
Hallar
1
Respues
g
12. Un eire
b) v
e) t
2g
2g
200oh'm
k
k
en el ea
= - - + (3 + ~) e=!"'
= -k2
8k
ln (-
2g
+
Respues
1)
13. Hallar
1
R=40
voltios
y
7. Un cuerpo de masa /4.7 kg se suelta con velocidad inicial de 0,5 m/seg
y encuentra
una fuerza debida a la resistencia del aire dada por HL/.
Hallar la velocidad para el momento
Respuesta: v.= 4.23 mf segundo,
t
que 1 =
= ....{2 segundos.
Respues
I
¡
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179
FíSICA
8. Un cuerpo con una masa de 9.7 kg se suelta de una altura de 300 metros
sin velocidad iniciaL El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser 95 m/seg, encontrar :
a) la velocidad del cuerpo en un tiempo t, b) la posición del cuerpo en
un tiempo t y c) el tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 m / segundo.
Respuestas: a) v = 95 (1 '- e- t / 9 . 7 )
b) x = 95t
+ 921.5 (e- t /
9 7
•
_1)
.c) t = 7.24 segundos
9. Se ,deja caer un objeto que pesa 98 kg desde una altura de 50 metros con
una velocidad inicial igual a cero. Suponiendo que la resistencia del aire
es despreciable, hallar: a) la velocidad cuando t = 0.25 minutos, b) la
posición del objeto cuando t = 3 segundos y c) el tiempo invertido desde
que se soltó el objeto hasta que tocó tierra.
Respuestas: a) v = 147 m j seg
b) x = 44.1 metros
c) t = 3.19 segundos
10. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios,
una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente
en el circuito para un tiempo t
1/5 segundos.
=
Respuesta: 1 = 0.2992 OImperias
11. Un cirouito RL tiene una fem de 8 sen 2t voltios una resistencia de 10
ohmios, una inductancia de 2 henrios y una corriente inicial de 5 amperios.
Hallar la corriente en el circuito cuando t
n /2 segundos.
=
Respuesta: 1 = 0.2779 amperios
Re tiene una fem de 300 cos 2t voltios, una resistencia de
200 ohmios y una capacitancia de 10- 2 faradios. Inicialmente no hay carga
en el cond ensador. Hallar la corriente en el circuito en t
4n segundos.
12. Un circuito
Respuesta: 1
= 0.2779
=
amperios
13. Hallar la corriente en un circuito RL que tien~ un voltaje constante,
R
40 ohmios y L
8 henrios. Para t
O, los valores de E e 1 son cero
voltios y 10 amperios, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para
que 1 = 5 amperios.
=
Respuesta: t
=
=0.14 segundos
=
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180
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
14. Un circuito que consta de un condensador y una resistencia se conecta
como en la figura:
R
~------~I~c=-------~
Figura 3.8
Si lleva una carga q = 0.05 culombios y el interruptor se cierra cuando
t
O, hallar la carga eléctrica después de 9 segundos si c
3 X 10- 3
3
faradios y R = 10 ohmios.
=
=
Respuesta: q = 0.0025 culombios
15. Un objeto que tiene una masa de 4 kg está suspendido de un resorte de
peso despreciable. Si el objeto se mueve con velocidad V o
3 m / seg
cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad cuando se alargue
50 centímetros. I
=
Respuesta: v = (18.8 -
k
16
----,y/ 2 m/seg
16. Un tanque contiene inicialmente 100 litros de una solución salina que contiene 25 kg de sal. Se vierte agua dulce en el tanque a una velocidad de
4 kg/min, mientras que sale del tanque una solución bien mezclada a la
misma velocidad. Hallar: a) la cantidad de sal en el tanque en cualquier
momento t, b) el tiempo que se necesita para que haya una cantidad de
10 kg de sal y c) si t ~ 00, averiguar la cantidad de sal que queda en el
tanque:
Respuestas: a) Q
b) t
= 25e-
t j 25
= 22.9 minutos
c) Q = O
17. Un depósito contiene inicialmente 200 litros de una solución salina que
contiene 40 kg de sal. En t = O se vierte agúa en el depósito a una velocidad de 8 litros por minuto y sale del depósito una solución bien mezclada
a ·6 litros por minuto. Hallar el tiempo necesario para que haya en el
tanque una cantidad de sal de 10 kilogramos.
Respuesta: . t = 58.74 minutos
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181
FÍSICA
18. Encontrar el tiempo q ue se necesita para vaciar un tanque cilíndrico que
tiene un radio de 4 m y una altura de 5 m a través de un orificio redondo
con 1/24 m de racho situado en el fondo del tanque. La velocidad de salida
del líquido es aproximadamente igual a v = 0.6 v'2ifí m/seg, donde h es
la altura del líquido en el tanque y g la gravedad.
Respuesta: t
= 4h
18 minutos
19. Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesférico de 2 metros
dechámetro lleno de agua, si ésta sale por un orificio de 0.1 metros de
radio que hay en el fondo del tanque, sabiendo que la velocidad de salida
de agua por un orificio es la dada en el problema 18.
-::="".¡.,.~xc-
} 1-
r
h
~
______-~ ~~ }h
F igura 3.9
Respuesta: t
= 35.16 segundos
20. Para ir a su clase un joven recorre un camino en línea recta de tal manera
que su velocidad excede en 3 a su distancia respecto del punto de partida
Si v
4 cuando t
O, encontrar la ecuación del movimiento.
=
Respuesta: x
= 4e
=
t
-
3
21. Un tanque cónico de 10 metros de altura y 6 metros de radio pierde agua
por un orificio en su fondo. Si el área de la sección recta del orificio es
1/ 4 m2 , encontrar: a) la ecuación que representa la altura h del agua en
un instante cualquiera y b) el tiempo que tarda en vaciarse.
I-------JJf _ ___ }
áh
___J
h
Figura 3.10
Respuestas: a) h 5 / 2
b) t
= 10
5 2
/ -
125-,,{2g
t
. 72
= 2 min 9 seg
22. Un trineo de 50 kg de peso se empuja en línea recta contra el viento,
con una fuerza de 10 kg. Si la fricción es despreciable, pero la resistencia
del aire es, en magnitud, igual al doble de la velocidad del trineo, y si el
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182
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
trineo parte del reposo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida al
final de 2 segundos.
Respuesta: v
= 2.72
m / seg, x
= 6 .55
metros
23. Un tanque cilíndrico que tiene un volumen de 20 metros cúbicos está
lleno de aire atmosférico que se comprime de un modo adiabático, hasta
que su volumen se hace igual a 15 m 3 . Calcular el trabajo invertido en la
compresión.
Nota: El proceso adiabático se representa por la ecuación de Poisson:
~= fVO)k
Po
"V'
Donde k es una constante para el gas dado. Tomar Po = 1 atmósfera.
Respuesta: W
= 1 ~ k [~;r-l- 1J,
k =1= 1
24. Un tubo ,de 10 cm de diámetro 'c ontiene vapor a 100° C. Se encuentra
aislado con una capa de 3 cm de espesor y conductividad térmica
k = 175 X ]0_6 cal/cm grado seg. Si la superficie externa del aislante se
mantiene a 45° C, encontrar la pérdida de calor en un metro de longitud
del tubo y la temperatura a la mitad del aislante.
Respuesta:
La pérdida de calor es
12.87 cal/segundo
Figura 3.11
La temperatura para el radio 6.5 es
de 69.29° C
Otras aplicaciones
EJEMPLO 1
Un banco ofrece 10 por 100 de interés compuesto continuamente en una
cuenta de ahorros. Determinar el importe del interés ganado en 1 año
con un depósito de un millón de pesos.
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OTRAS APLICACIONES
Sea x la suma de dinero al cabo de t años, entonces:
dx
dt
-- =
O.JO x es la ecuación que satisface al problema, cuya solución es:
x = e eo. a
y para las condiciones iniciales: t
x
= O, x = 1 000000 tiene la forma:
= 1 000000 eO .1!
Para t = 1, x = 1 J05 170.90.
Entonces 1 J05 170.90 - 1 000000
= J05 170.90 es lo que ganó en un año.
Ejercicios 3.6
1. Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al
doble al 15% por año, con un interés compuesto continuo.
Respuesta: t = 4.62 años
2. Un hombre tiene una fortuna que aumenta una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía 'un millón de pesos hace un año y
ahora tiene dos millones, determinar: a) la cantidad que tendrá dentro
de seis meses y b) la que tendrá dentro de dos años.
Respuestas: a) Cuatro millones
b) Infinito
3. Sea ds/dt = 0.4 s la variación de cantidad de dinero s con respecto al
tiempo, donde 0.4 representa el 40% de interés compuesto durante un año .
Calcular: ~) el tiempo necesario para que se duplique la cantidad y b) la
cantidad inicial, si en 10 años el capital es de dos millones.
Respuestas: a) t
= 1.733 años
b) ~o
= 36631.28
4. El radio de la Luna es aproximadamente de 1 738 km. La aceleración de
la gravedad en su superficie es aproximadamente 1.67 m/seg 2 • Determinar la velocidad de escape de la Luna.
Respuesta:
Ve
= 2.4 km/segundo
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184
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
5. Teniendo en cuenta el problema anterior, determinar la velocidad de escape de Marte, júpiter y Venus, si:
Radio
6372km
3389km
6195km
69880 km
Tierra
Marte
Venus
júpiter
*
1
0.37
0.86
2.64
Donde * representa la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta con respecto a la Tierra.
= 4.9 kmjseg
Júpiter: Ve = 59.67kmjseg
Venus: Ve = 10.21 kmjseg
Respuestas: Marte:
,
11
"
:;1 :~
i!,~
Il~~
,1.WilIIJ'
Ve
BIOG
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BIOGRAFíA
Daniel Bernoulli (1700-1782)
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186
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Los Bernoulli
La familia Bemoulli fue para la matemática lo que la familia Bach para la
música. Entre 1654 fecha de nacimiento de Jacobo y 1863 año en que murió
Juan Gustavo, tataranieto de Juan, hermano del primero, esta familia suiza
produjo doce matemáticos de notoriedad. Sin lugar a dudas, los Bemoulli de
más peso fueron Jacobo (1654-1705), Juan (1667-1748) y Daniel (1700-1782),
hijo de este último.
Debernos a Jacobo el uso de las coordenadas polares, la obtención del radio
de curvatura, el estudio de la curva llamada catenaria y muchos más resultados,
consecuencia de la aplicación del cálculo a problemas de física . Los famosos
números de Bemoulli, distribución de Bemoulli, "lemniscata y polinomio de
Bemoulli son obras de J acobo.
Su hermano Juan, maestro reputado y hombre de mal genio, fue aún más
prolífico, especialmente en el desarrollo del cálculo que aplicaba indistintamente a problemas de matemáticas o de física . Así es corno se encuentran entre sus obms el estudio de la propagación de la luz (reflexión y refracción) , de
las trayectorias ortogonales a ciertas familias de curvas o del famoso braquistócrono -la trayectoria de más rapidez para el movimiento de una partícula
pesada entre dos puntos-o Jacobo y Juan, a pesar de cierta tensión entre ellos
debida a asuntos de prioridad de descubrimientos, intercambiaron ideas toda
su vida. También estaban en relación continua con Leibniz, padre de la herramienta que tanto estaban usando.
El tercer gran Bemoulli, Daniel, se interesó más en ciertas ramas de la
física corno la astronomía, la teoría cinética de los gases -creación suya- y,
sobre todo, en la hidrodinámica. Sin embargo, sus trabajos en probabilidad y
ecuaciones diferenciales parciales lo colocan también entre los grandes de la
matemática.
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187
COMENT ARIOS
Comentarios
"Tal como le había iluminado toda su vida,
también ahora el entendimiento iluminó ese
instante de la existencia de Juan Gaviota.
Tenían razón, El era capaz de volar más
alto".
Juan Salvador Gaviota. R. Bach
El par de amigos
Un excursionista, Liborio, camina a la velocidad de 1.6 kilómetros por hora
por la orilla de un río de curso recto con 1 kilómetro de ancho. Su amigo,
Nicasio, está en la orilla opuesta y se decide a alcanzar a Liborío nadando en
todo momento en dirección a él.
La velocidad a que nada Nicasio en aguas tranquilas es de 3.6 kilómetros
por hora y la corriente del río es de 1 kilómetro por hora en sentido opuesto
a la marcha de Liborío. Cuando Nicasio alcance a liborio, ¿cuál será la distancia recorrida por éste desde el momento en que Nicasio saltó al agua hasta
el momento del alcance? Solución: 0.93 kilómetros.
El caracol y el muro
Un caracol sube verticahnente por un muro de 12 m de altura. Durante el día
sube 2 m y durante la noche resbala, retrocediendo 1 m . ¿Cuántos días tardará
en subir al muro, sabiendo que su velocidad promedio es de 16.6 cm por día?
Solución: 11 días.
Propiedades metafísicas del número 3
Representa el principio de la naturaleza en función, transmutación y manifestación. Según Pitágoras genera la música, enseña la geometría, es la razón de
la virtud y la síntesis del intelecto. Está formado por dos semicírculO's que
juntos cO'nstituyen el círculO' completo, símbolo del alma. En la mente humana
es creación, conservación y renovación.
Numeración hebrea, aprox. 300 A.C.
}{
n
1
5
"
10
J F
50
100
1
500
••
}{
1000
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188
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Pregunta: ¿Cómo construir la pista de patinaje más rápida entre dos puntos?
(Braquistócrona)
(Reto para Jacobo y Juan Bemoulli).
Uegaron a la ecuación que cumplía la máxima rapidez :
y {I
+ (y'y] =
c
¿Cómo se obtuvo?
Con solución:
x = a (e - sen 6)
j Una
y = a (1 - cas e)
¿Y cómo se llegó a ella?
cicloide!
"f,os libros tejieron, cavaron
deslizaron su serpentina
y poco a poco, detrás
de las cosas de los trabajos,
surgió como un olor amargo
con la claridad de la sal
el árbol del conocimiento".
Pablo Neruda (Fragmento: Los libros)
Soluciones
EL PAR DE AMIGOS
Consideremos inmóvil la corriente del
río y Liborio llevará su velocidad más
la del río.
VL = 1;'6
SL
=b
+1=
2.6 km/h
= 2.6t
VN =3.6 km/h
SN
dy
b-y
dx
a- x
= 3.6t
~
a
Figura 3.12
Como t
y'(a-x) = 2.6t-y
SN
3.6
= -y'(a - x)=2.6 SN _y
3.6
y'(a - x)=
~~
SN - y,
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189
COMENTARIOS
Derivando:
- y'
y"
z'
+ (a -
13 -JJ+?i
18
a -
~
y'
Z
=O
18
+
y', entonces:
~
y"
= z'
dz
dx
x '
+ -J 1 + Z2) = -
z
=O
=~! -J 1 + if -
-JI + y'2
= -13
; sea y' = z
18 a-x
18
- In (z
13
Para x
x)y"
~
.~
z
= O,
In (a - x)
=
c(a -
1
= ca-
X) _ 13/ 18
13 18
/
(, x)
+ -JT+Z! =
a13/ 18 ~1 _ --;
_( x)
_1 - -
+ In c
:. e
-13/18
=a
U 18
/
a- 13/ 18
_13/18
a
Elevando al cuadrado: 1
+ Z2 = ( 1
X \ _13/9
-
X) _ 13j.18
2z 1 - (
a
--;J
=
(
18
Integrando: 2y
(,
X\5/18
---;;J
18
(:
X
-
_1.3 /9
a
a
= - 5 a \1 -
x)
1 - -
dy _ (
X~_J3/ 18
2-- 1 - -
dx
+ Z2
2z (1 - -;;-)
- 1
X~13/18
1 - -
a
~
+ "3i a ~1
- ---;X)'~/18
; +e
13/18
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190
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Para x
=O ~ Y =O
18
18
O= - - a + - a +c
5
31
18
18
c=-a - - a
5
31
y
468
c =- a
155
Para x
=a
~ y
~
Como t L
e
234
= 2' = 155 a,
pero a
= 1 km
234
YL = - km
155
10 234
18
= -2.61 YL = -26
. -155 = -31
horas,
18
144
Y la distancia será: t L VL = - (1.6) =..:-=.0.93km
31
155
LA BRAQUISTÓCRONA
A(O, O)
, -- - - - - - - - - - - - - - - +
Y
Queremos resbalar desde A hasta B,
¿cuánto tiempo tardaremos?
De acuerdo con la ley de caída, la
velocidad v en cada punto depende
solamente de la altura respectiva :
x- h
x
x
+h
14------'-'----~
B(x, y)
v=ds
dt
= V2gx,
dt=
Figura 3.13
x
Ahora bien, (ds?
= (dxl + (dy? = (dx;Z (1 + (d(dYl
)= (dx? (1 + y' Z)
X)2
Elevando a la potencia 1/2 :
ds = dx
-V 1 + y'z.
entonces: dt =
-v.)2i;.
1 + y'Z
dx
2gx
V
~
2gx
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191
COMENT ARIOS
Integrando, se obtiene el tiempo total de caída desde A a B:
]- SX /./] + y'2 dx
t= -
ffg
0'11
x
Para diferenciales pequeños la curva puede sustituirse por la cuerda, entonces:
y'
] fX ,;] + tan
t -
ffg
1 -
= tan a,
2
a
-IX
x_ n
]
dx= - - - - cos a Y2i
SX
d
x_ n
x
Vx
Añadamos otro difer'e ncial, donde similarmente :
] i
X
GaS
~."j2g
h
+
t2 = - - - -
dx
Vi
x
Sumando:
t
fX
]
1
+2
~."j2g
GaS
_ _2_=¡-r;-;;- (
~av~
~
x _ h
Vx
-rx- -IX- h) +
+
f X+h ~
]
GaS
2
~
...j2g
[7f;;"
~~v~
Vx
x
(..Ji"+h - -JXJ.
Derivando en función de los ángulos e igualando a cero para obtener un
mínimo:
2( -IX - ~)
~
v 2g cos 2 a
(Vx-
,;x-
sena da
+
sena
h) - 2-da
cos a
2(.../X+Ti - ...[X)
ffg?
sen~ d~
2g COSo ~
= (.JX -
sen
..JX+h) - - - d~
cosZ ~
También tenemos:
tan a
= -y -h--Yl '
Y2 - y
tan~= -­
h
Sumando :
tan ~
h(tan ~
y - Yl + Y2 - Y
+ tan ~ = - - - - - -
+ tan ~) = Y2 -
h
y¡
~
= 0,
= constante.
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192
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Diferenciando:
d~
drx
y
de donde
(Fx -
(-v'X+h - .JX) sen ~
=
-J x - h) sen a
Multiplicando y dividiendo por el factor apropiado:
(Fx -
-J x
h)
(v'x + -J x
-JX + -Jx
h)
senrx
h
sen 13
sen rx
-JX + -J x - h -
-v'X+h + -jX'
por ejemplo, igual a:
(.JX+Ti -
=
.fxJI
(.JX+Ti + .JX)
~ rx
sen ~
x+h+
esta relación debe permanecer constante,
1
~.
Tomando h suficientemente pequeño:
sen rx
2-JX -
sen J3
2.,¡x' de ahí que: sen rx
sen rx
entonces
de donde
y'
=
y'
Vx
= ..j2a
.¡x
-J2a
ds,
-JX
como
,)1 + y'2
= J 2rx-x
x
,
o sea:
= sen ~
1
dy
ds
dy
x
~'
ds
= .J 1 + y'2 dx
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193
COMENTAlUOS
Cambiemos los ejes de coordenadas para que la ecuación adopte el aspecto
clásico:
, -- -- -- - - - - - + x
dY - R Y
dx- - Y-
Vi
yc=:y
- - - dy=dx .
dx
= tan
dy
Figura 3.14
en tonces
tan IX
=j
Sea: -
y
y
c- y
y
= c sen2 a
Diferenciando:
dy
=
2c sen IX cas IX dIX
dx = tan
IX
dy
=tan
IX
(2c sen IX cas IX) dIX
= c (1 -
cos 2(1.) dIX
Integrando:
x
= -c2 (2(1. -
sen 2(1.)
= -c2 (1 G
Tomando 2
=a y
2IX
Gas 2IX)
= O tenemos:
x
= a (O -
sen O)
y
=
Gas O) ecuaciones paramétricas de la cicloide.
a (1 -
IX
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194
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
HORIZONTALES
4. Vocal. Planta gramínea. Letras de la
palabra: gris.
1. Matemático francés (1713-1765) autor
de: Teoría de la forma de la Tierra, basada en los principios de la hidrostática. Tosco, inculto, grosero.
5. En paz descanse, en latín. Exponente
de una potencia indeterminada. Superficies.
6. Tranquilizarán, calmarán. Consonante.
2. Lenguaje hablado antiguamente en
Francia. Letras de pira en desorden. Metal
precioso.
3. Símbolo ' del Nitrógeno. Introduciré,
fundaré. Símbolo de la aceleración de la
gravedad.
4. Palabra latina que significa:
Atormentar, afligir.
dada.
5. (Al revés). Segunda letra del alfabeto.
Dudosa, insegura, indecisa. Sociedad anónima.
6. Fruto del nogal. ABONA en desorden.
(Al revés). Camino, carril de hierro.
7. Existir. Símbolo del Argón. Nombre de
varón. Vocal.
8. Símbolo del aluminio. Fuerza que
atrae los cuerpos al centro de la Tierra.
Símbolo del azufre.
9. Parte resguardada artificialmente en
aguas navegables. Dios de la mitología
egipcia.
7. Metal muy denso y radiactivo. Poeta.
8. Recta que toca a una curva en un
punto. Preposición.
9. Aturdido, avergonzado. Símbolo del
carbono.
10. Símbolo del número atómico. Con
cuernos o astas (femenino, plural). Vocal.
11. Arteria principal. Publica, imprime.
12. Calenté, fastidié. Vocales. Nota musical.
13. Satélite de Júpiter descubierto por Galileo el 7 de enero de 1610. De esta manera. General romano y dictador oponente
de Mario.
14. Vocal. Peligroso, enfermo, serio. Cloruro sódico.
10. Símbolo del Oxígeno. Epoca, temporada de larga duración. Infusión. Obra tejida de muchos hilos.
11. Dificultad que opone un conductor al
paso de la corriente. Contracción de prepo
sic ión y artículo .
CRUCIGRAMA
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11---1--1--
2
3
4
VERTICALES
1. Aparato para acumu lar electricid ad.
2. Símbolo del Litio. Madre del padre o
de la mad re. Vocal.
3. (Al revé,) . Flor del tilo. Terminación
de infinitivo. Animal doméstico.
5
6
7
8
9
10
11 L-L-L-L-L-L-L-L-~~~
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4
Ecuaciones
diferenciales
de orden superior
Introducción
Euler se preguntó si no habría una forma más práctica para la expresión eix •
¿Cómo procedió?
Sea z
= ix, entonces
Por tanto
.
¿
. = =¿ --,
e'x
zn
n.
Z
(íx)n
-- = 1
+ zx
- -
=-
=-
i, i 4 = 1, i 5
~
Puesto que: i 2
e
1, i 3
.
~
~
iX 3
- ~
x4
iX 5
x6
iX 7
+ -# + -~ - -m - -n +
= i,
etc.
entonces
lx
e
~
~
~
~
~
~
~
#
m
~
~
n
= 1 - - + - - - + ... + i (x - - + - - - + ... )
En donde reconocemos las series de dos importantes funciones trigonométricas, de ahí que: elx
Gas x + i sen x.
=
Similarmente: e - Ix = Gas x - i sen x.
~19.')J
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196
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Estas son las famosas fórmulas de Euler que vamos a necesitar en este capítulo. Además, veremos algunas ecuaciones de orden superior a dos.
Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones
de primer orden
Dada la ecuación diferencial lineal de segundo orden y" + f(x)y' + g(x)y = O
es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuación. De hecho, así va a hacerse, usando el siguiente cambio:
z = y' ~ z' = y", para que las constantes de integración aparezcan en su
momento.
EJEMPLO 1
Dada la ecuación: xy" = y', reducirla a una ecuación de primer orden y
encontrar su solución.
Sea y'
= z ~ y" = z'
la ecuación es entonces: xz'
Integrando:
dz
dx
z
x
= z , de primer orden.
ln z
o sea
Z
Como z = y'
~
dy
=
CIX
=
= In x + ln e
Clx
dx
dx
X2
Y =c--+c
1
2
2
•
es la solución general de la ecuación lineal de segundo orden.
Comprobación: Derivando la solución:
1/"
y'
pero
Cl
=X
~
y
"
= -y'
x
=
y
Cl
xy"
=
y'
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ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
197
EJEMPLO 2
Veremos algunas ecuaciones de segundo orden en las que no aparece
explícitamente la variable independiente x, que pueden reducirse a primer
orden y resolverse. Se hace la siguiente transformación:
"
d(y')
dz
Sea y' =z
~
y =---= __
dx
dx
Usando la regla de la cadena:
"
dz
dy
dz
y =--'--=--z
dy
dx
dy
entonces, en este caso, usaremos:
y'
=
z
dzy" =zdy
Aplicando al siguiente ejemplo:
y" - y y'
= y'
dz
z---yz = z
dy
dividiendo entre z:
dz
-=y+l
dy
,
dz = (y
o sea
dy
y2
+ 1) dy
--=--+
y + el
dx
2
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198
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
= dx
dy
ECUACION
5. xy"-
2
~+y+el
2
2dy
y2 + 2y
Completando
cuadrado
6. y'"
+ 2e
1
=
= dx.
en el denominador
y tomando
2e, -
1
+
7. yy"
= e/:
2dy
(y
2
-tan-l-el
y
..
I,C:
.. ,
1
y+1
=x +
el
= tan
e2
(elx
+ e2)
+
e2) -1 .
9. 2yy"
10. (y-1
el
'
la
+
8. y"-21
+ 1f + e/ = dx
y = el tan (c,x
:í#C
~"·~¡·
Se' comprueba
+
11. xy"
11«:;
como en el ejemplo anterior.
~~
I
~1~~~ln~I~liII
Ejercicios 4.1
Reducir
12. y" tan
el orden de las siguientes
ecuaciones
diferenciales
y resolverlas:
13. 4 xy "
Respuestas:
+ y'
1. xy"
2. (x -1) y" - y'
3. x2y"
+X=1
y
=O
= e.In
x
+e
2
x2
el - - elx
2
15. xy
Y
=
y
= - ln x - x ln x + x + e jX +
Y
= ln x (-1 -
y
= -ln x (1 + x)
+e
+
1) y"
= y'
Y
=
x2
el 2
rr
2
x)
C2
+ x + ejx + C2
+ x + elx + e
16. 2y'17. 2y"
2
18. 2
4. (x
+
14. 4y"
=0
+ ejx + e2
+CSI
19. y"
=
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199
ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
5. xy" - y' = x
"
6. y'
y'2
=-
y
y
+ y'2 =
O
8. y" - 2y (y'?
=
7. y y"
9. 2y y"
=
+ y' =
11. xy"
CX
C2
el
y3
O
-3 + ClY = C2- X
Cl
Y = -(x
4
= y'2 + 1
10. (y -1) y"
=
y'2
xy '
1
+ C2)" +C
l
Clx
+1
y=
C2
Y=
cd1n x +
e
x
X2
x3
4
18
+- +- +
.. .] + C2
12. y" tanh 3x - 3y '
13. 4xy"
14. 4y"
+ y' =
+ y' =
17. 2y"
=
O
+ y'3 =
O
= 2y' Y
1
= - clcosh3x +
3
C2
O
18. 2 +csc x y" = O
19. y"
Y
O
15. xy" - 3X2 = O
16. 2y' - Xl/'
=O
1 3
Y = -2 x
+ CIx
-1-'
C2
y=2, ~+C2
y
= 2 sen x +
C IX
+
C2
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200
ECUACIONES
=O
Y
= -45 e¡x
+ e2
21. y'2 - 2y"
=O
y
= -2In(x
+
= e" v"
22. 2y"
23.
Y
= y'
6xy"
24. y y" _ y' = v"
•
Y (O) :-:: -1,
I
Id
¡;
y' (O)
= y '2
.'
A. y
+
It:
.. ,
B.
y
= e2/¡x
e.
y
=e
D.
X -
"
.•...
=6
Y
=-
y
=
7
la solución
4 [-xlI el
e lX7 /6
-2e-x
el)
ECUACIO
28. ~y"
3
+
e2
n (e
2el
A. Y
2
x
+
el
)]
+
e2
B. Y
+ e2
C. y
+
D. y
1
de las ecuaciones
de segundo
29. -y"
= eX +
e2
B. y
C. y
y2
l~
"Itl:
el
54
/
SUPERIOR
A. y
25. yy
'~(~~
t
=O
Escoger la opción que contiene
orden reducibles a primer orden.
~
~
,,,
je;
DE ORDEN
y' - 4xy"
20.
r
DIFERENCIALES
2
C¡X
+ e¡y = -
+ v"
26. y y"
+ e2
D.
+e
x
=1
30. y'2 =
= x2 + e2
y2 = el + ~
y2 = x2
A. y2
B.
C.
D. y2-e¡
27. 4y"
=(x
A. y
B. y
+ C2r
= xy'2
8
x
A. y = - -tan-1(-)
el
8
B. y=--tan-1(-)
el
c.
D.
el
+
C.
y
D.
Y
e2
Respuest
x
el
= 8In (x + el)
y = 8In (x + el) + e2
y
y
2
25. B.
y
a
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ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
1
28. - y"
3
201
= y' coth 3x
= -31 cosh 3x + CIX
y = C cosh3x +
1
Y = - cosh3x + CIX +
3
A. y
B.
c.
C2
l
D. Y
29. _ y"
= - -C13 cosh 3x +
C2
C2
= y'24x
A. y
= - -21
B. y
= 1 j(2X2 + c
c.
= -1 tan-
Y
x- l
l
+ CIX
1)
V2x
- -
Cl
C1
+ C2
1
D. y = - -X-'+CIX+C2
2
30. Y '2 = 1- yy " para y(O)
2
=-
1 y'(O)
=1
1
A. y = -
C1 x
+ C2
= 3x-1
y3 = c x + C2
B. y3
c.
D.
1
-1
Y
=x +1
Respuestas:
25. B. La A y C están incorrectas porque se aplicaron mal las leyes logarítmicas y exponenciales. La D está mal porque lomó z' = y" y z = y'
y se resolvieron mal las integrales, sin separar las variables y tomando
algunas variabl es como constantes.
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202
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
26. D. Las tres opciones restantes usan inadecuadamente las constantes de '
integración.
27. A. Las opciones B y
en
e
e
se tomó comO'
no tienen la constante
C2
y además el integrado
1
- -o Este último error perdura en la opción D .
x
+C
l
28. B. La opción A no respeta las leyes logarítmicas. La opción e tampoco,
y la D tiene el signo mal, pues la integral del senh x y del cosh x son
ambas positivas.
29. C. La opción A presenta la constante de integración de la primera integral como sumando, en vez de divisor y le falta la segunda constante
correspondiente a la segunda integral. La opción B es y' en lugar
de y. La opción D tiene el error de la constante C l de la opción A.
30. D. La opción A presenta la solución general, sin aplicar las condiciones
iniciales. La opción B supone correcta la solución que presenta la
opción e y le aplica las condiciones iniciales. La O'Pción e contiene
un error de separación de variables.
Ecuaciones diferenciales lineales
Definición 4.1. Ecuaciones diferenciales lineales.
Son de la forma:
dny
an(x) - n
dx
+a
n_l
dn- ly
(x) -n-l
dx
-
+ ... + al(x)
dy
dx
+ ao(x) y =
con condiciones iniciales:
= Yo
y'(Xn) = y;
y"(xo) = y~'
y(xo)
y(n-I )(XO)
= Yo(n_l )
donde Yo, y~, " ', y/n_l) son constantes arbitrarias.
h(x)
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203
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Para n = 2, tenemos:
a2Y"
+ a¡y' + aoy =
h(x)
con y(xo) = Yo
y'(xo) =
y~
dividiendo la ecuación por a2:
"
Y
al,
ao
a2
a2
h(x)
a2
+-y +-y=-
como a;, i = O, .. " n son funciones de x, podemos escribir:
+
y"
f(x)y'
+
g(x)y = r(x)
que es la forma general de una ecuación diferencia;} lineal de segundo orden.
Si r(x) = O la ecuación se llama lineal homogénea.
Si r(x) =F- O la ecuación se llama lineal no homogénea.
EJEMPLO 1
La ecuación xy"
+ 5x y' 2
X3
y"
y = lh presentada en su forma más simple:
+ 5xy' -
x2y = 12
es una ecuación diferencial lineal no homogénea.
La ecuación y" + 5xy' - x2y = O es una ecuación diferencial lineal homogénea.
Una ecuación diferencial de segundo orden que no pueda escribirse en la
forma y" + f(x)y' + g(x)y = r(x) es no lineal.
EJEMPLO 2
Son ecuaciones no lineales:
y"
+
Y y"
f(x)y y'
+
+ 4(y' Y -
g(x)y = O
2y
y"=~
=
X
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204
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Las funr.iones f(x), y g(x) se llaman coeficientes de la ecuación.
Definición 4.2. La función y = h(x) se llama solución de la ecuación diferencial lineal (o no lineal) si está definida y es diferenciable n veces en
algún intervalo de tal manera que al sustituirla en la ecuación (junto con
sus derivadas) se obtenga una identidad.
EJEMPLO 3
Las funciones y = eX y y = e - X son soluciones de la ecuación diferencial
O, para toda x. Así:
lineal homogénea: y" - y
=
Sustituyendo eX - eX = O en la ecuación dada . De modo similar para:
= e- X
y' = _ e - X
y
Sustituyendo: e-X - e-X
= O.
EJEMPLO 4
=
=
Las funciones y
eX - 1 Y Y
e- x - 1 son soluciones de la ecuación
diferencial lineal no homogénea: y" - y = 1, pero las funciones:
y = eX + e- X - 2 y y = 3( eX - 1) no son soluciones de esta ecuación.
EJEMPLO 5
Las funciones y2 = 2x Y y2 = 4 son soluciones de la ecuación diferencial
no lineal:
+ y'2 = O
y = ..j2X + 2 no es solución .
y y"
sin embargo la función
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205
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O LINEALIDAD
Principio de superposición o linealidad
Teorema 1. Principio de superposición o linealidad.
Sean y¡(x) y yz(x) soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
y" + f(x)y' + g(x)y
O en un intervalo, en tonces: y
c,y¡(x), y
c2Yix) Y
y
c,y,(x) + C2Yz(X) son también solución en el intervalo. Donde C" C2 E: R.
COROLARIO. Una ec uación ' diferencial lineal homogénea siempre tiene una
so lu ción y = O, Y es la solución trivial de la ecuación.
NOT A. Este teorema no se ap lica si la ecuación no es homogénea (ver ejemplo 4) o no es lin eal (ver ejemplo 5) .
=
=
=
=
EJEMPLO 6
Tomando las soluciones de la ecuaClOn diferencial del ejemplo 3, probaremos que la función y = c,e x + G2e - x es solución de y" - y = O.
Derivando y:
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
EJEMPLO 7
=
.J3
=
.J3
=
Las fu nciones y,
eX cas
x y Y2
eX sen
x son solu ciones de la
ecuación diferencial homogénea: y" - 2y ' + 4y
O.
y y = eX (A cas .,¡3x + B sen .J3x) también es solución.
Verificamos derivando es ta función y sustituyéndola en la ecuación diferencial dada:
y'
= eX (-
y"
= eX (- 3 A Gas .J3 x -
,j3A sen ,j3x + fiB Gas -/3x) + eX (A cas ./
+ B sen "¡:¡x)
+ .J3 B Gas
"3x
+ eX (- .J3 A sen .J3x
.J3 x) + eX ( - .J3A sen .J3x + -/3B Gas .J3.r)
+ eX (A cas .J3 x + B sen J3.'()
~ - 3 A eXGas
-j3 x -
3 B sen .J3 x)
3 B eXsen
.J3 x - .J3 A ersen -J3 x
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206
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
+ ...f3 B eXcos -j3 x - ...f3A eXsen .J3 x + -j3B eXcos -J3 x
+ A eXcos -j3 x + B eXsen -J3 x + 2 -j3 A eXsen -j3 x
- 2 V3B eXcos V3 x - 2A eXcos V3 x - 2B eXsen V3x
eXcos,f3 x (-
+ eXsen ,f3x(-
+ 4A eXcos V3 x + 4B eXsen -J3 x = O
3A + V3B + ,f3B + A - 2 ,f3B - 2A + 4A )
3B -.j3A - j 3A + B + 2 -J3 A - 2B + 4B) =
O.
Sí es solu ción .
Dependencia e independencia lineal
Definición 4.3. Dependencia lineal. D os funcion es y ¡ (x), Y2 (x) son linealmente dependientes en un intervalo abi erto, donde amb as están d efinidas,
k¡Y2 o Y2 k2y¡
si son proporcionales en di cho intervalo, esto es, si Y¡
k 1 y k 2 son constantes
O.
=
"*
=
D efinición 4.4. lndependenc·ia lineal. Si Yl (x) y Y2 (x) n o son prop orcional es
en el intervalo son lin ealm ente indep endientes en el mismo.
Consecuencia. Las fun ciones Yl (x) y Y2 (x) son lin ealmente dep endientes e n
un intervalo ~ el cociente YI/Y2 es una constante en el intervalo. Si YI/Y2 depende de x en el intervalo -7 Yl Y Y2 son linealmente independient~s en él.
D efinición 4.5. Las fun cion es Y¡ (x), y2 (x), . . . , Yn (x) son linealmente dependientes en el in tervalo (a, b) si al menos un a de ell as puede expresarse
como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las fun ciones son
linealm ente independientes.
EJ EMPLO 1
1
Las fun ciones : Yl = e- 2x y Y2 = _ e -
2x
4
y
son lin ealmente dependientes, puesto qu e ~
Y2
=
e- 2x
_1 e - 2x
4
= 4, 4 = constante.
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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Las funciones: YI
que:
207
~
= e- 2x y Y2 = e2X son linealmente independientes, puesto
e- 2x - e- 4X
_YI - ___
Y2 e~·r
,
e- 4X =F constante .
Teniendo en cuenta el principio de superposición podemos concluir que
las funciones linealmente independientes entre sí pueden formar una combinación lineal del tipo:
La base o sistema fundam ental de solu ción de una ecuación diferencial en
un intervalo, está formado por n soluciones linealmente independientes.
EJEMPLO 2
es solución de la ecuación diferencial y" - 4y = O, Y como e- 2x y e2x son
funciones linealmente independientes (ver ejemplo 1) forman un sistema
fundamental de soluciones en el 'intervalo - <Xl < X < <Xl .
EJEMPLO 3
= GI X + e2!x! es una posibl e solución de y"
de dos funcion es:
y
+ xy' -
y
= O que consta
Estas funciones son lin ea lmente dependientes en x > O; se puede escoger
el
- e2; pero son linealmente independientes en el intervalo
<Xl < X < 00, pues basta encontrar un punto en los reales en donde una
de ellas no es múltiplo de la otra o escoger el = O Y e2 = O.
... YI Y Y2 forman una base o sistema fundamental de solu ciones de la ecuación dada.
.
=
EJEMPLO 4
= el ln x + e2 ln x
consta de las füncion es ln x y ln x 3 que son linealmen te
dependientes en el intervalo O < x < <Xl por tanto no son base o sistema
fundame ntal de soluciones.
y
3
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208
ECUACIONES
ln x
Veamos:
-ln x:
DIFERENCIALES
In x
1
= --3ln
=
= constante
x
3
DE ORDEN
SUPERIOR
WRONSKIANO
EJEMPLO
en (0,00),
Hallar
3
el wronsk
I
Wronskiano
y¡
Definición 4.6. Sean Y¡, Y2, Y3 ' , " y", funciones que admiten
el orden (n -1), continuas en el intervalo a ~ x ~ b.
El determinante:
=
W (YI, Y2' ' , "Yn)
.~_1,¡j::j~'
derivadas
YI (x)
y2 (x)
Yn (x)
y/ (x)
y/ (x)
Yn'
¡
hasta
w (y"
(x)
Y2, Y3)
=
I
.,f,
F
~
(x)
y/"-IJ
se llama ioronskiano
y/,,_I)
(x)
(x)
Yn("-I)
de estas funciones,
"
~,
.'
Porque
'
Para
el prime'
el caso de tres funciones:
w (y"
EJEMPLO
Hallar
Hallar
Y3
El wronskiano s
dependientes
o ind
Teorema
Y2, 1/3)
=
=
GOS X,
= sen .r, Y3 (x) = l.
112(x)
Gas .r
sen :r
- sen x
- Gas x
GOS
x
-sen
x
1
O
O
= sen'x +
= e=!",
e-"X
W (YI> 1/2> Y3)
= I-
Se=?"
25e-sx
Y2
= e",
eX
eX
eX
e2:<
2e2.r
4e2:x
Y3
I
=1
1
Las funciones e
dientes en (- (
pendientes en (
~ (1) sen x + (1
Como encontrai
el intervalo.
de las funciones:
!JI (x)
2
GOS X
EJEMPLO
2
el wronskiano
2
Sean [(x) y g(x) h
en [a, b J de y" ~
pendientes
en [a, ¡
puede generalizar
de las funciones:
Y 1 (:r)
EJEMPLO
=
Y2
Y/ y/ Y3'
u," y/' Y3"
1
el wronskiano
w (y"
Y2, Y3)
yI
= e2X,
= 42e-
2x
NOTA:
cos(
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209
WRONSKIANO
EJEMPLO 3
Hallar el wronskiano de las funciones:
1t
Yl = cas (x -- 2)' Y2 = sen (x
1t
1t
+ 2)'
Y3 = sen x.
1t
sen (x +-)
2
cas (x ---)
2
sen x
1t
1t
cas(x +-)
2
-sen (x - - )
2
1t
cas x
- sen x
1t
-sen (x +-)
2
-cas(x +-)
2
=0
Porque el primero y último renglones son proporcionales.
----.-------------------------------------------------------~
El wronskiano se usa para determinar si dos o más funciones son linealmente
dependientes o independientes.
Teorema 2
Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, bJ. Sean y ¡(x), ylx) dos soluciones
en [a, bJ de y" + f(x)y' + g(x)y
O; entonces: Yl y Y2 son linealmente independientes en [a, bJ ~ W(Yl' Y2) (x) -=F O para toda x E:: [a, bJ. Este teorema se
puede generalizar para ecuaciones diferenciales de orden n.
=
EJEMPLO 1
Las funciones de los anteriores ejemplos 1 y 2 son linealmente independientes en (- 00, 00); las funciones del ejemplo 3 son linealmente dependientes en (- 00, 00) . Porque si tomamos Cl = 1, C2 = O Y C3 = -1
~ (1) sen x + (O) cas x + (- 1) sen x
O
. Como encontramos Cl -=F O Y C3 -=F O ~ son linealmente dependientes en
el intervalo.
=
NOTA :
1t
cas(x -- - )
2
= sen x
y
sen(x
1t
+ 2) =
Gas x.
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210
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN
El wronskiano puede ser cero aun cuando las funciones
cierto intervalo sean linealmente
independientes
en él.
EJEMPLO
consideradas
en un
su wronskiano
es igual
={
a cero.
r, O <x<
- x2, -
=x
Sustituye
1
<O
1 <x
,\
1\
IIQ~
I1
n,
= r, - 1 < x < 1
ylx)
~.
~
~~.
+2
:\.
W(y¡,
I
I
".
..
Y2)
.
1
".
11. ,~;,
._1
1';
=I
_ x2
x2
-
2x
1=0
2x
Sustituye
En [O, 1}
~fi,:'
W(y¡,
~~
-x2
Y2)
=I
2x
Figura 4.1
r
.'. y
1=0
2x
~ W(y¡, Y2) = O en el intervalo
-1 < x < l. Vamos a suponer que son
linealmente
dependientes
en el intervalo, entonces debemos encontrar dos
constantes C¡ y C2, no ambas cero, tales que:
C¡x Ixl
en -
1 < x <O
en
O<x<l
-
+ C2X2 = O
en - 1 < x
c¡x2
+ C2X2 = O,
X2( -
C¡
C¡x2
+ C2X2 = O,
X2(C1
+ C2) = o.
+ C2) = O
=
=
= x2,
Además,
esto pare
tesis del
en un p
~
g(x)
Por lo t
que
las
Hallar la
de y/o" +
3
Dadas las funciones y¡(x)
x Ixl y ylx)
la ecuación diferencial:
x2 y" - 2y
O
=e
<1
Para C¡ =F O o C2 =F O este resultado
es imposible.
Esto prueba
funciones son linealmente
independientes
en - 1 < x < l.
EJEMPLO
2c¡x2
x2
=
Para x
En [-1, OJ
~
11'
~,
~
2c1r
2
Y2
""IIfiol::,.I"
YI
Para x
= x2, probar que son linealmente
y¡(x)
11I
.~¡IIII
1.~~.,.r..IlII~I'I'"
WRONSKIA
2
Dadas las funciones y¡(x) = x Ixl y ylx)
independientes
en - 1 < x < 1, aunque
1
SUPERIOR
probar
que son solución
de
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ORDEN SUPERIOR
consideradas en un
211
WRONSKIANO
x>
Para
O
son linealmente
e~ igual a cero.
Sustituyendo
,O::;x<l
Para x
en la ecuación
y'
= 2c¡x +
y"
= 2c¡ + 2c2
diferencial:
<O
OJ
- x2
x2
=0
- 2x
2C2X
y'
=-
y"
=
2c¡x
-2c¡
+ 2C2X
+ 2C2
2x
Sustituyendo
=0
2x 2x
uponer que son
os encontrar dos
.'.
y
en la ecuación
= C¡X Ixl +
diferencial:
C2X2, es la solución
general.
Además, acabamos de ver que son !inealmente independientes
y su W = O;
esto parece contradecir al teorema, sin embargo, observamos que la hipótesis del mismo no se cumple en este caso, puesto que, g(x) no es continua
en un punto del intervalo; despejando y" de nuestra ecuación:
~
g(x)
=-
l..x2
es discontinua
Por lo tanto, no se puede
en x
aplicar
=O
dicho teorema.
prueba que las
l.
EJEMPLO 4
son solución de
Hallar la dependencia
de y'" + 4y = O
o independencia
lineal de las siguientes
soluciones
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212
ECUACIONES
DE ORDEN
SUPERIOR
Y2
WRONSKIANO
9. y" - y = O
cos 2x
cos 2x
- J
---c-----,-- - -cosix - senix - cos 2x -
Yl
~
DIFERENCIALES
A. Yl =C¡
B. y¡ = C¡X
El cociente es constante en (- 00, (0), entonces las funciones son lineaL
mente dependientes en el intervalo (en realidad es la misma solución).
C. y¡ =C¡
D. y¡ =C¡
Ejercicios 4.2
Usando el principio de superposición probar si las funciones dadas son solución
de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. Yl
11.
~t
Respuesta:
In·
'o
2. Yl
~,
t
= c.e=",
de y"
+ 2y' + y
A. Yl=C¡
B. y¡ = C¡
=O
C. Yl=C¡
sí.
= c ex,
= C2X eX
Y2
1
Respuesta:
".
= C2X e-X
Y2
de y" - 2y'
+y
D. y¡ =C¡
= e"
no, porque no es homogénea.
11. y"
,.. ".
1(,:;1
3. Yl
"j'.I.
lC'
'1
~1i
(
~
I
¡la'
= c.e=" cos
4. Yl
~11Il1Ii
= e.e"
5. Yl
Respuesta:
6.
u. =
= e-e" sen
= C2e-Xj5
Y2
+ 2y' + 5y
A. y¡ =C¡
=O
+ 5y
2x de y" - 2y'
= cos
C.
2x
de JOy" -
3y'
- Y
v. =C¡
D. y¡
=O
12.
sí,
= C¡X
xV' + 4xy
,
A. y¡ =C¡
e.e"?", Y2
Respuesta:
sen 2x de y"
no, porque no es homogénea .
= c eXj2,
1
= C2e -x
+ y =O
B. y¡=c¡
cos 2x, Y2
Respuesta:
..". ..".
2x, Y2
si.
Respuesta:
+
10. y" - 3y'
=J
de y y"
B. y¡ =C¡
= y'2
C. y¡ =C1
no, porque no es lineal.
D. y¡ =C¡
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene la solución de la
ecuación diferencial dada, usando el principio de superposición para verificarla.
7 • xy2"
+xy
4
8. y" - 2y'
+y
=O
B. y¡
= C¡X 2, Y2 = C2X-¡/2
= C¡X3/2, Y2 = C2X-¡/2
B. y¡ = e.e", Y2 = C2ex
C. Yl
= C¡X1/2, Y2 = C2X_3/2
C. y¡
D. Yl
= c¡r/
D. y¡ = e.e", Y2 = C2e2X
A. Yl
ir .
O
,J --y=
1
/
2
,
Y2
= C2X_3j2
A. Yl = c¡ex, Y2 = c.e="
= e.e",
Y2
Respuestas:
7. A.
8. C. La opcí
de hec
pertene
ejercici
= C2X e"
9. A.
10.
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EN SUPERIOR
WRONSKIANO
9.
son lineaL
olución) .
A. Yl
A.
+ 4y = O
u, = el x sen
B.
B.
Yl
Y " -y=O
C.
D.
son solución
13. y"
= el eX , Y2 = e2 e-X
Yl = elx e", Y2 = e2 xeX
Yl = el e" , Y2 = e2 e'lx
Yl = el eX , Y2 = e2 ¿X
+ 2y = O
= el «; Y2 = e2 e-X
10. y" - 3y'
A. Yl
B.
u, =
C. Yl
D.
11. y"
Yl
el e-X,
= el
eX,
14.
u. = el
sen x,
Y2
= e2 cos x
Y2
= e2 x e"
C.
Y2
D.
Yl
e2 e2x
Y2 =
15.
B.
Yl
= el sen
Y2
sen x,
+ 4xy' + 2y
= e2 tan
x
= e2 cos x
Y2 = G2tan x
y2 = e2x
x,
cos x,
y" -
A. Yl
= el
2y'
+ ¡Oy
C.
D.
Yl
Yl
= el e"
e,
x
eX cos x
=O
= el e" sen 3x,
= e-e",
Yl = el sen x,
B.
= G2e" cos
Y2 =
sen x,
e, cos x
Y2
= G2eos
3x
= e-e" Gas 3x
Y2 = e2eX
Y2
sen 3x, Y2
= e2ex cos
3x
=O
A. Yl
= el x-l,
y2
= e2 x2
B. Yl
= el x-\
y2
= e2 x-2
C. Yl
= el x,
Y2
= e2 x-2
D.
= el
Y2
= e2 r
x,
+ 2y = O
Y2 =
Y2
Yl
2y'
= el eX sen x,
Yl = el e" sen x,
= el sen x,
= cx
= el sen 2x,
B. Yl
Yl
D. Yl
Yl
A.
+ y =O
= el
D.
= e2 e-x
= el e",
C. Yl
C.
= el sen 2x,
Yl = el X sen 2x,
y" -
= e2 cos 2x
Y2 = e2 x cos 2x
y2 = e2 x cos 2x
y2 = e2 cos 2x
2x, y2
y2
A.
12. xV'
olución de la
a verificada.
213
Respuestas:
7. A.
8. C.
9. A.
La opción B no puede formar una base de soluciones porque son L.D.,
de hecho, es la misma solución. Las opciones A y D dan soluciones que
pertenecen
a otra ecuación diferencial.
Los errores de los siguientes
ejercicios son similares.
10. D.
11. B.
12. B.
13. D.
14. C.
15. D.
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214
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
Averiguar si las funciones dadas a continuación
son linealmente
independientes (L.I.) o !inealmente
dependientes
(L.D.) en su dominio, usando las
definiciones
4.3, 4.4 Y 4.5.
16. 1, x, 2x
17.
7, x!
18.
x - 3, x
lnx2,lnx3
2
,
2 nx
/
+3
59. x
L.I.
L.D.
L.D.
30.
sen 2x, Gas 2x
!~ dt
~ 1,.
21. 1, x-l, x-
31.
seri x Gas x, seri 2x
L.D.
60.
22. e", e-X
~
L.I.
32.
1, sen2 x, cos' x
33.
sen2 x, cos' x
23.
«, e
,t,:;¡
24.
e-X, x e-x, x2e-x
l(~
25. 1, x, eX
,.,f ..
.~U~
j:!#~"
2X
e3x
,
-
L.D.
61.
L.I.
s«, e",
Respue
"
t.
e3x, eX,
Respue
L.I.
2
+ 2, x
L.I.
I
~I 111
I
2
Respues
+3
20. 1,4, x, x!
+ 2, x
x
Respues
L.D.
29. ln x, x ln x, x! in x
L.I.
En los si
ciones dadas'
intervalo ea
58.
L.D.
28. x e
L.I.
19. 6, x - 3, x
~.-JI"
27.
L.D.
WHONSKIAN
L.I.
34. 1, sen=+x, cos=?x
L.I.
35. cosh. x,
L.D.
«, e-X
62.
L.D.
e-x, xe
Respue
36.
L.I.
26. e3x,4e3X
1, serih2 x, coshix
L.D.
63.
L.D.
~~
ln x, x 1
Respue
"I~I"I»
,~,,,I'I"1lI
Encontrar
el wronskiano
X2)
W (ln x , ln x3) = O
6
49.
W (x2, e2/nX)
41.
+ 3)
=O
50.
W (lnx, xlnx, x21n x)
=O
X_2) = -
51.
W (sen 2x, Gas 2x)
52.
W (seri x Gas x, sen 2x)
W (1, 4, x, X2)
42. W (1, x-J,
2x-6
W (ex. e", e")
= -Zc»
45.
W (e-X, xe-x,
2e-3x
x2e-X)
=
46. W (1,
x, eX)
= eX
3X
,
)
54.
=
1
65.
=O
W (senix, cos'x)
= 2 ln3 x
=-
L.I.
2
=O
=O
=-
sen 2x
55. W (1, sen=!x, cos=i x]
56.
ln x5, 2
Respue
2
53. W (1, senix, cos'x)
43. W (eX, e-X) = - 2
44.
4e
3X
64.
=O
48.
+ 3) = -
40. W (6, x - 3, x
16 a 36.
W (e
= 14x
39. W (x -·3, x
de los ejercicios
47.
37. W(1,x,2x)=O
38. W (7,
de las funciones
W (cash x, e", e-X)
57. W (1, senhix, coshix]
=O
=O
=O
En los
mente ind
mediante I
71.
YJ=X
A. L.
B. L.
C. L.
D. L.
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215
WRONSKIANO
En los siguientes ejercicios, determinar, mediante el wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el
intervalo correspondiente.
58. x
+ 2, X2 + 2x,
en (- 00, (0)
= (x + 2y
Respuesta: W
L.I.
Respuesta: W
=-
12 eX
L.I.
= -sen x
L.I.
59. x + 2, x, 1, en (- 00 , (0)
Respuesta: W
=O
L.D.
60. e 3X, eX, en (- 00, (0)
Respuesta: - 2e 4X L.!.
Respuesta: W
68. x
61. 3e x , eX, en (- 00, (0)
=O
Respuesta: W
L.D.
62. e - x, xe - x, en (- 00,(0)
Respuesta: W
67. 1, eos x, en (O, TI)
= e- 2x
63. ln x, x In x, en (O, (0)
Respuesta: W
In 2 x
=
+ 1, Ix + 11, en
Respuesta: en ( - 2, -1) W
en (-1,2) W
O L.!.
=
1
1
Respuesta: W
= - -21
69. eX sen 2 x, eX eos 2 x, en (- 00 , (0)
L.I.
64. In x , 2 In x, en (O, (9)
=O
e 2x
L.!.
L.D.
1 ;x,
l en ( O, (0)
65 . x, -,
70. senh x, e - x, en (- 00, 00 )
x
Respuesta: W
=O
L.I.
5
Respuesta: W
(- 2,2)
= - -6x ,
Respuesta: W
=-
1
L.I.
L.!.
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene soluc::iones lineal mente independientes o linealmente dependientes mediante el wronskiano o
mediante la definición 4.5.
=
=
71. Yl
x, Yl
eX
A. L.D. porque en x
B.
C.
D.
= 1, el W = O
L.!. porque elX + e2ex = O ~ el = el = O en (- 00, (0)
L.D. porque elx + ele x = O ~ el = constante en ( - 00,(0)
L.J. porque W = O en x = 1
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216
ECUACIONES
72. Yl=1,
Y2=X,Y3=X+1,
A. L.O. porque
podemos
B. L.I. porque
C.
L.O. porque
=e
X2
/ ,
Y2
.• .:oi~
r .,
=Xe
X2
/ ,
Y3
C. L.O. porque
C¡y¡
!
."
i¡,·,
,;
m
D.
~ , ,:
•••
,.
I
74.
L.I. porque
u. = 3,
Y2
W
= senx,
W
C.
Y2
L.I, porque
O. L.O. porque
= senhix,
Y2
X2
/ ,
= 1, = -1,
C2
"*
= cosx,
=- 3
2
1)
= 0-+
en (-
00,
-+ x
+ C2Y2 + C3Y3 = O
= 2 e3x/2
Y3
B. L.I. porque
75. Yl
= re
C3
=1
C¡
= = =O
C2
C3
00)
Definí
condic
arbitr
Esta def'
siguiente
EJE
=O
Dado
+ Y3
C¡Y¡
"*
00,
B. L.O. porque
W"* O
C. L.O. porque
c¡y¡
O. L.I. porque
W
C2
C3
comp
partic
1) P
susti
00)
O
-
Y3
C3Y3'= O -+
= 1,
en (-
+ C2Y2 + C3Y3 = O
c¡y¡
= = =O
O
+ C2Y2 +
A. L.O. porque
C¡
1
3'
Y¡
2 _
= coshix,
-+
O
en (-
W = -3"*
A. L.O. porque
C¡
WRONSKII
=O
rf.
j':¡
encontrar
+ C2Y2 + C3Y3 = O
C¡Yl
W
q
(-00,00)
+ C2X + C3 (x +
C¡
B. L.O. porque
,~
SUPERIOR
=O
W
A. L.I. porque
DE ORDEN
=O
W
D. L.I. porque
73. Y¡
en
DIFERENCIALES
+ C2Y2 + C3Y3 =
00,
-+
O -+
C¡
= = =O
C2
C3
00)
C¡
C¡
=
-1, C2
= 1,C3 = -1
= = =O
C2
Com
2) A
deriv
C3
= O.
Respuestas:
71. B. La A falla porque el wronskiano puede ser cero cuando las funciones
en el intervalo dado son L.I., como se comprueba por la definición
C¡X + C2ex
O -+ C¡
C2
O en (-.00,00).
La
representa el mismo
error pero dicho de otra manera. La O supone W
O para la independencia lineal y debería ser W
O.
=
= =
e
"*
72.
Ll.:;
C. 73. D. 74. B. 75. A.
_
=
Reso
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217
WRONSKIANO
=
Definición 4.7. La ecuación diferencial y" + f(x)y' + g(x)y
r(x) con las
Yo, y'(xo)
Yo'· donde Yo, Yo' son constantes
condiciones iniciales y(xo)
arbitrarias se llama problema con valor inicial.
=
=
Esta definición se extiende a una ecuación diferencial de orden n, oon las consiguientes n condiciones iniciales.
EJEMPLO 1
Dado el siguiente problema con valor inicial:
y" - 3y'
+ 2y =
1
,
)
3
y(O)=-, Y (O =-
O con
7
5
=
2X
comprobar su solución general y
cle
+ c~x y encontrar la solución
particular para las condiciones inidales dadas.
1) Para comprobar la solución general, derivamos ésta dos veces y la
sustituimos en la ecuación diferencial para ver si resulta una identidad.
y"
4
cle
2X
+ C2ex -
6
cle
y"
Como O
= O,
=4
2X
-
+ C2ex
3 C2ex + 2 cle + 2 C2ex =
3y'
+ 2y
c le
2X
2X
O
sí es solución.
2) Aplicamos las condiciones iniciales en la solución y en su primera
derivada:
1
+
- =
Cl
-35 =
2Cl
7
C2
+ e2
Resolviendo el sistema tenemos :
Cl
16
35
=11
C2= -
-
35
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218
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y
16
= -35
e
2x
11
-
-
35
e
x
es solución particular para las condiciones dadas y
puede verificarse como la solución general.
Teorema 3. Existencia y unicidad de las soluciones.
=
Sea el siguiente problema con valor inicial h(x)y" + f(x)y' + g(x)y
r(x),
Yo, y'(xo)
y~, donde h(x), ((x), g(x) y r(x) con continuas en un intery(xo}
valo l, y sea h(x) *- O para toda x E l . Si x = X o es cualquier punto en este
intervalo, entonces la solución y(x) del problema con valor inicial existe y es
única en el intervalo l (I es abierto).
=
=
EJEMPLO 1
1
= -501 e-sx + 49
- e Sx + 50
5
Fácilmente se verifica que y
x es solución del
problema con valor inicial: y" - 25y = - 5x, con y(O) = 1 Y y'(O) = 5.
Los coeficientes de la ecuación y r(x) = - 5xson funciones continuas en
cualquier intervalo que contenga a Xo = O ~ se concluye, por el teorema
anterior, que la solución es única.
EJEMPLO 2
Tenemos y = 2x- 1
+ 3x-
1
In x
+ 2, solución del problema con valor inicial :
ry"
con y(l)
+ 3xy' + y =
2
= O Y y'(l) = 1
donde X2, 3x, 1 Y 2 son funciones continuas en todos los reales y x= 1
está en los reales. (Además x =1= O) .
. '. La solución propuesta es única .
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Veremos: 1) Ecuaciones de segundo orden con coefi·c ientes constantes.
2) Ecuación de Cauchy-Euler.
3) Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes.
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219
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes
constantes a y b, tiene la forma: y" + ay' + by = O
En el capítulo 2 encontramos que la solución de y'
variables separables es y
e - fJ(X)dx
=
+ f(x)y
= O resuelta
por
Si f(x) es la constante k,
~ y
e- fkdX
ce- kx es solución.
=
=
Esto nos sugiere la posibilidad de que y = ce - kx también sea solución de
y" + ay' + by = O. Veamos. Para facilitar el proceso tomemos:
y
ce-u, con c
1 Y- k
A
~ y = e AX es solución de y' + ky = O
=
=
=
Derivando esta solución:
Sustituyéndola en y"
Como é
X
=F
+ ay' + by =
O
O, para toda x E: ( - 00,
,~
2
A
00 )
+
aA
+ b =O
es la ecuaclOn auxiliar o característica de la ecuación diferencial de segundo
orden, que nos va a dar dos raíces que utilizaremos en la solución.
- a + .Ja
2
- 4b
Sabemos que A =
- - -- - - -
De ahí que si: a2
-
4b
>O
~
Al =F A2 son raíces reales. '
-
4b
=O
~
Al
= A son
-
4b
<O
~
A
= ex ± i~ son
2
2
a
a
2
2
reales e iguales.
complejas.
Estudiaremos 3 casos:
CASO
1. Las raíces de la ecuación caraoterística son reales y diferentes.
,~
y
=
C 1eA1
x
+
x
C2 eA2 ,
es solución general de la ecuación diferencial.
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220
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
CASO
2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales.
~
CASO
=
y
cle xx
+ C2xexx,
es solución general de la ecuación diferencial.
3. Las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas.
~
y
=e
aX
(A cos
+ B sen ~x),
~x
es solu ción general de la ecuación
diferencial.
EJEMPLO 1
Sea la ecuación y" - 2y' - 3y = O una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes, cuya ecuación auxiliar o característica
es:
A2 - 2/..-3 = 0
(A
+ 1)
= O ~ Al = -
(A - 3)
1, A2
=3
EJEMPLO 2
Comprobar que la función y
=
xe 5x es solución de la ecuación diferencial:
y" - lOy'
Sea y
y"
O
= xe 5x
= 25xe
5X
+ 5é x + 5éx
sustituyendo
y"
~
+ 25y =
+ 25y
-lOy'
sí es solución.
la solución general es y
=c e
l
5X
+ c xe
5X
2
EJEMPLO 3
Encontrar la forma de la solución del caso 3 a partir de las raíces de:
A,
=
IX
+ i[3
y
A2
=
IX -
i~
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221
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
En este caso la solución de la ecuación diferencial y"
tiene la forma:
+
ay'
+
=O
by
Usando las fórmulas de Euler:
eíO
e~ y
=
ílj
e + i sen e
eas e - i sen e
eas
=
para
= e'"X [ el (eas ~x + i sen ~ x) +
y = e"X [(Cl
+ C2) eas ~x + i (C l -
C2
e E:: R
(cas ~ x -
i sen ~ x)]
C2) sen ~ x]
Como e'"X cas ~ x, e'"X sen ~ x son L.I. forman un sistema fundamental de
soluciones en ( - 00,00), podemos tomar como constantes A
el + C2 Y
B i (el - e2)
=
=
.". Y
= e'"X (A eas ~ x + B sen ~ x), es solución general.
EJEMPLO 4
' d
' di f erencia:
1y"
Encontrar 1a so1ucion
e I a ec uacion
La ecuación auxiliar es: 1.. 2
cuyas raíces son: A
5
+ 21.. + - =
4
+ 2'
y + -5 y =
4
O
O
= -1 +
-1 i
- 2
a = - 1,
.". Y
= e'_X (A cas -12 x + B sen -12 x), es la solución general.
EJEMPLO 5
Hallar la solución de la ecuaClOn diferencial: y"
- 2, y'(O)
10
las condiciones iniciales y(O)
=
=
+ 14 y' + 49 Y = O,
con
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222
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
+ l4A + 49 =
La ecuación auxiliar es: A2
O
Aplicando las condicIOnes iniciales:
- 2=
~
= - 7 Cl
10
:. y
= _ 2e - 7x
_
4 x e-
7X
,
e
cle
O
-
+O
O + C2eo
O
es la solución particular.
EJEMPLO 6
Dada la solución d e una ecuación diferencial: y =
Cl e
2X
/
5
+ C2X e
2x
/
5
encontrar dicha ecuación.
Como
(A -
2
-f =
5
O, será la ecuación auxiliar
~
o
1/
"
.
4,
4
- - y +--y=O
5
25 y" - 20 y'
25
+ 4y =
O, es la ecuación buscada.
Ecuación de Cauchy-Euler
=
Es de la forma ~y" + axy' + by
O, donde a, bE: R. Para encontrar su solución, usamos la siguiente sustitución : y
x m , y sus derivadas:
y"
=
= m (m -
1) xm-2
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223
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Sustituyendo:
+ a m xm + bxm =
m (m - 1) xm
xm [m (m - 1)
Como xm
*- O,
+ am + b] =
O
O
por ser la solución propuesta,
~
m (m - 1)
y
m
2
+ (a
-
+ am + b = O
1) m + b = O
es la ecuación auxiliar cuyas raíces m] y m2 si son reales y diferentes dan
y = e¡ Xm] + e2 Xm 2 como solución general.
Si son reales e iguales: mI = m2
Si son complejas: m
ción general.
= IX ± i ~
~
~
Y
= e¡xm + e2 (ln x) xm es solución general.
= Xo; [A eas (ln x(3) + B sen (ln x(3)]
y
es solu-
EJEMPLO 1
Resolver la siguiente ecuación de Cauchy-Euler : ry" - xy'
En esta ecuación tenemos: a = - 1 Y b = 2
Su ecuación auxiliar es:
m2
~
+ (a -
1) m
m 2 - 2m
+ b =O
+ 2 =O
=1 ± i
m
1X=1
... y
= x (A eas ln x + B sen ln x),
es la solución general.
EJEMPLO 2
Resolver : x2y"
+ 3xy' + y = O
a = 3,
b=1
+ 2y
= O.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación característica es:
m
~
2
+ (a -1) m + b =
m + 2m + 1 = O
O
2
(m + lf=O
1
.'. y = - (el
x
+ C2 In x)
es solución general.
EJEMPLO 3
Resolver: x2y"
+ xy'
- y= O
Usando la transformación x = et para obtener su solución.
dy
dy dt
y' = - - = - - - - por la regla de la cadena
dx
dt dx
Como x = et
~
t = In x y
dt
dx
1
x
sustituyendo en la primera derivada, queda:
,
Y = -
dy
1
'-
dt
x
volviendo a derivar con respecto a x:
"
dy
1
y = dx (- x2 )
1 dy
+
1 d 2y
dt
--;- df ' dx
1 d2y
=- -X2 -dt+ r de
Sustituyendo en la ecuación diferencial dada:
dy
1
X2( _ _ _
X2
dt
1 d2y
+ --y
+
2
X2
dt
1 dy
x( - - ) - y =0
x dt
dy
d 2y
dy
- - + - 2 +--y=O
dt
dt
dt
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
cuya ecuación auxiliar es: 1..2
(A
-
1= O
+ 1) (A -
1) = O
es la solución para la variable t,
.. . y
=
ClX-
+ C2X
l
es la solución general para la variable x.
EJEMPLO 4
Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución:
3
y
Cl X + C2 x .
=
De aquí se sigue que:
~
(m - 1) (m - 3)
=
m2
O,
Como la ecuación auxiliar tiene la forma m 2
~
x2y"
a - 1
+ axy' + by =
= -
4
Y
b= 3
+3=
-
4m
+
(a - 1) m
,~
a
= -
O se transforma en: x2y" - 3xy'
3
O
+
b= O
y,
+ 3y =
O.
Ejercicios 4.3
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo
orden correspondientes a los casos 1, 2 y 3.
Respuestas:
5 , +y= O
1. y " - --¡y
1,
2• Y" - y
2
3. y"
1
+16
-
+ 2y' + 3y =
y=O
O
y
= e-
X
(A cas
-/2 x + B sen -Ji x)
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ECUACIONES
+
y
= e»:" + G2Xe='"
y
= e'" (A Gas 3x + B sen 3x)
+
7. 16y"
y
= G1e-X/4 + G2e-3X/4
8"
• Y
+-y
y
= c.e="!" + G2X e-
13y
y
= e" (A Gas 2x + B sen 2x)
-
y
=
13y=O
16y'
+ 3y
2,10
3
,~tlll
+ 24y'
10. 5y"
". ,
=O
9
=O
5y = O
r ;I,JI·-
"
=O
+-y=
+
9. y" -6y'
25y
+
6. y"-4y'
2-)3 y' + 3y = O
11.
y" -
12.
y"-By'+17y=O
SUPERIOR
= G¡e3X + e.e:"
+
lOy'
DE ORDEN
y
4. y"-2y'-3y':"-O
5. y"
DIFERENCIALES
=O
13. y" - By' - 9y
X5
y = G¡e,fix
y
18. y" +
A. Y
D. Y
19. y"
A. y
B.
+ C2e-sx
+ G2xefix
= e'" (A Gas x + B sen
B. y
C. Y
X3
/
G1e /
ECUACIO
C. Y
D. y
x)
20. y"-
y = G¡e9X + G2e-x
A. y
4 , +-y=
4
14 • Y " --y
3
15. y"
O
y
9
+ 4y' + 5y = O
y
=
G¡e2X/3 + G2Xe2X/3
= e :"
(A GaS x
+ B sen. x)
En los siguientes ejercicios escoger la opción que da la solución de:
16. y"
A. y
= e+" [A Gas (-3x)
B. y
= e="'
C. y
= G¡e-3X + Gze-JX
D. y = G¡e-3X
.
-<;
17. y" - y'
A. Y
+ B sen
+ B sen
(-3x)]
3x]
D. Y
16. D. L
de
no
+ G2Xe-JX
17. C.
1
Hallar
propuestas
5
+ 4y =O
= G¡eX/ + Gze-x
2
B. Y = G,eX/2
C. y
C. Y
Respuestas.
+ 6y' + 9y = O
[A Gas 3x
B. y
21. y
+ G2ex
= eX/z (A. Gas x + B sen
D. Y = eX/2 [A cos (-
x)
+B
22. y
x)
sen (-
x)J
23. y
= e,
=
=
C¡
C¡
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227
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
18. y"
+
A. Y
+
2y'
2y
=
O
= e - X(A cos x + B sen x)
B. y =e-X [Acos(- x)
c. y c¡e- x + C2ex
+ Bsen(-x)]
=
D. y = G¡e- x
+ C2xe-x
+ By =
19. y" - 6y'
O
= e2X (A GaS 4x + B sen 4x)
y = G¡e;¡X + G2e4X
y = c¡e2X + G2Xe4X
A. y
B.
C.
D. y = e4x (A GaS 2x
+~y=
20. y" - 2n y'
+ B sen 2x)
O
A. y
= ele
B. y
=e
O. y
= G¡e' x + c'2xe'x
'JI"X
'X
'!TX
+ e2e
(A GaS nx
+
B sen nx)
Hespuestas:
16. D. Las otras tres opciones están mal pues suponen las formas de solución
de los casos restantes y, además, la opción A tiene otro error: el ángulo
no es negati vo. Estas mismas razones sirven para los ejercicios siguientes.
17. C.
18. A.
19. B.
20. D.
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a cada una de las soluciones
propuestas.
Respuestas:
y"
+ 2y' + y
6y"
+ 5y'
y" - 2y'
=O
- y = O
+y=
O
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ECUACIONES
228
24. Y
= e" (A cos 9x
+
B sen 9x)
25. y
= eX (A cos
x
+
B sen-)
~
2
28.
irjt~::jJI'W
29.
11",
Jf..•.,
30.
+
y"-2y'
x
DE ORDEN
+
4y" - By'
= e=" (A cos 2x + B sen
y = e ,e4X + C2xe4X
y = c eXj7 + C2e2X/7
y = c,e2Xj3 + e2ex
y = c¡e.flx + e2xe.flx
2x)
y"
+
6y'
+
SUPERIOR
=O
82y
31.
1
+
C:..
"
.1
En los siguientes
a la solución dada:
ejercicios,
escoger
la ecuación
A,
32. C.
13y =0
Resolver las I
gundo orden cOI
16y
36. y" -y =0
Respuesta:
El
~"
diferencial
que corresponde
."111I·
Respuesta:
31.
y
= e,e-V5x +
~'~'
j~1
A. y" + 2-)5 y' + 5y
~Itl_
B. y"
+
32.
C2xe-..[5x
.,;;
.-.""""",
+ 25y =
37. y"
rf'"
I.c,~;'
¡t:::(
DI
ecuació
=O
49y"-21y'
+ 2y = O
3y" - 5y' + 2y = ()
y" - 2-J3" y' + 3y = O
y" - 8y'
ECUACIONES
Respuestas:
=O
5y
2
26. Y
27.
DIFERENCIALES
=O
y
=e
X
+
A, 9y"
B.
C. y" - 2-)5 y' + 5y
C. 9y" -
D. y" -
=O
5y = O
D. y"
-
2-J5y'
-
+
cze3x
33. y = c.e :"!"
34.
A. 5y" - 17y' - 6y
=O
= ()
C. 5y" + 17y' + 6y = ()
D. 5y" - 171¡' + 6y = O
B. 5y" -13y'
-6y
y
+ B sen -)
(A cos 3
5y = ()
2-J5y'
x
3
X
2
+
36y'
38. y" -
37y = ()
Respuesta:
+ 37y = O
36y' + 37y = ()
y" - 4y'
+
4y'
= e.e"
+
A.
y" -
B.
y"
+
+
37y
= ()
Respuesta:
361/
= ()
121/'
+
361/
= ()
40.
+
e-e"
4y"
+
6y
+4
Respuesta:
+ 6y = O
= ()
y
41.
35. y = e.e:"
+ 4y=
xe°.r
+
7y'
39. y"
('2
12y'
C. y" - 7y'
D. y"
+
16y
=-
e-
2y" - 3y'
Respuesta:
A. y"+(e+l)y'+ey=O
B. y"
+
(e-
C. y" - (e
+
l)y' - ey = O
1)y'
+
ey
=
42. 144y" - 2
O
D. y",- (e - l)y' - ey = ()
Respuesta:
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229
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Respuestas:
31. A. Las incorrectas se obtienen al cambiar los signos de las raíces de la
ecuación auxiliar.
32. C.
33. B.
34. A.
35. C.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes para las condiciones iniciales dadas:
36. y" - y = O para y(O) = O, y'(O)
Respuesta: y
37. y"
+ 25y =
= 4e-
X
= -8
4e X
_
O,
y(O)
= O,
y' ( ~)
y(O)
= 2,
y'(O)
=1
1
Respuesta: y = - - sen 5x
5
38. y" - 16y
= O,
1
Respuesta: y = - e _4x
2
39. y"
+ 4y =
2
e4X
y(;) = -1,
O,
Respuesta: y = Gas 2x
40. 4y"
+ _3
+ 4.J3 y' + 3y =
=4
y'(~) =-
2
+ sen 2x
O,
= ..J3
y(O) = - 1,
y'(O)
y(O) = O,
y'(0)=5j2
y(O) = 4,
y'(O) = 2
Respuesta:
y
= _
e -Vir/2
.J3 xe-fiX/2
+ __
2
41. 2y" - 3y' - 2y = O,
Respuesta: y = e 2r
42. 144y" - 24y'
_
+Y=
Respuesta: y = (4
e- r / 2
O,
+ -5
3
x) e Xj 12
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230
ECUACIONES
43. y"
DIFERENCIALES
+ 2y' + 8y = O,
Respuesta:
y(O)
= e-
y
(-2 Gas
X
..¡7 sen
.j7 x -
DE ORDEN
= - 2,
SUPERIOR
y'(O)
=1
ECUACIO
49. 4y"
.j7 x)
A. Y
7
+ 2y
44. y" - 2.,j2y'
Respuesta:
= (.J2 -
y
¡
:-J"":'
Respuesta:
y(O)
5
y(O)
x)
=( ~-
y
= -J2,
y'(O)
=O
y'(O)
=O
B. Y
2x) eV2x
+ 9y = O,
45. 25y" - 30y'
I"",, __
= O,
= 3'
C. y
D. Y
e3xj5
jiU::
. ,f';',
n.;!
~
Escoger la opción que contiene la solución particular
dones:
de las siguientes
ecua-
50. y"
A. Y
"
g .:
"
,.",'
,.
.,
46. y"+49y=0
A. Y
~~;
~4!I
B. y = Gas 7x
¡,:C
iíP¡";
l••••••
C. y
= Gas 7x
D.
= sen
y
y(O)
= 7 Gas 7x + -17 sen
It,:;"
.Ulltf~
111
para
+ sen
= 1 y'(0)=7
B. Y
7x
7x
C. y
7x
D. Y
" •••••
A. Y
= O para
+ 9y
47. y" - 6y'
y(O)
= 3,
y'(O)
=5
= (5 -12x)e
3X
Respuest
= 5eJX
C. y = (3 - 4x) e3x
D. y = (3 - 9x) e3x
B.
+
y
= O para
48. 4y" - 3y' - Y
A. Y
8
7
= - _e-xj4
-
5
8
-
_ex
5
8
5
D. y=
__
_eX
5
= -3,
y'(O)
=-
B.
47.
C.
1
. Resol
13
B. Y =_e-Xj4
C. y = -
y(O)
46.
5
e-xj4
8
5
7
-
-
5
e=:" __
51.
xV'
52.
xV'
53.
xV'
eX
13
5
e"
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
49. 4y" -By'
+ 5y =
O para y(O)
1
1
2
2
A. y
= Gas - x + 2 sen - x
B. y
= 2 Gas -12 x + sen -12
C. Y
= eX (2 Gas -21 x + sen -21
231
= 1, y'(O) = 1
x
x)
1
D. y = eX Gas-x
2
50. y"
+ y'
- 6y
= O para y(O) = O, y'(O) = 6
A. y
6
= _e
5
B. y
= -lB5 e + _125 e-
2x
-
6
_e - 3:r:
5
2x
3x
lB
12
C. Y = _e 2x _ _ e- 3x
5
D. y
= -65
5
e 2x
+ _6
5
e- 3x
Respuestas:
46. B. Las opciones equivocadas intercambian los valores de las condiciones
iniciales o suponen otros.
47. C.
48. A.
49. D.
50. A.
, Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler:
Respuestas:
2"
52 . xy
2
,
2
+3XY
-g-y
=O
53. x2y" + 2xy' - 12y
=O
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232
ECUACIONES
DIFERENCIALES
x2y"
+ 5xy' + 4y
=O
Y
= x-2
55.
x2y"
+ 5xy' - 5y = O
Y
= C¡X + C2X-5
Y
= c¡x-5
Y
= x2 (A cos In x + B sen In x)
+ Bxy' +
Encontrar
lOy
=O
+ 5y = O
57. x2y" - 3xy'
la ecuación
diferencial
C1X-1
+Jf...• ,
59. Y
t::
" .'
J'
ofJ
,
=
+CX
2
2
:ey" - 2y
x-2 (A cos In x2
+ B sen
In X2)
x2y"
60. y=x3(c1+c2Inx)
ECUACIONES
67.
xV'
~
- xy
Respuesta
+ C2X-2
11
+-
68. x2y"
a la solución
6
Respueslti
Escoger e
propuesta:
69. Que con
Respuestas:
58. Y =
~"
(C1 + c21n x)
correspondiente
..,.:-J,..U¡I.,I
ií:.A
SUPERIOR
54.
56. x2y"
JJ ,,'
DE ORDEN
A. y =x,
=O
B. y=
+ 5xy' + By
=O
C. y
D. y=x
+ 9y = O
x2y" - 5xy'
=)j
,
It~;"
",.'1-"
te'::
61. Y
= C¡X +
~~
62. y
= x-1
j!"1!I
x2y"-xy'
csx ln:x
+y=O
70.
Que con!
A. y =x
(A cos In x1f2
+ B sen
ln X1/2)
2
x y
,l~_;,
"
5
+ 3xy + 4 y = O
,
B. y = Q
C. y
'-.1'''''·
Resolver
63.
x2y"
+
x2y"
+
3xy'
Respuesta:
64.
las condiciones
para
+ xy'
Respuesta:
66. 9xV'
y'(l)
=4
71.
Que con
y
B
=- x +
1
- -y
4
y,=
y
A. y=(
2y = O,
-
=
y(!)
_
1/2
X-
= 4, y'(l)
B. y=J
=O
C.
4
s=:
--2
D. y=
3x
= 0,
+ 3.1.:y' + y
Respuesta:
= O,
D. y=¡
y = - In x
x
3
65. x2y"
y(l)
dadas:
4
+ 2xy
Respuesta:
= 0,
y
iniciales
=~
y(l)
= 0,
y'(l)
=1
X1/3 (3 - ln x)
Que cor
y = C1X'
A. x2y"
+ X1/2
= O,
72.
B. x2y"
y(l)
= 3, y'(l) = O
C.
:t.2y"
D. x2y"
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233
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
+ lOy =
67. x2y" - xy'
Respuesta: y
68. x 2 y"
O,
= x cas In x
11
6
1
6
=-
2X -
= 1,
y'(l)
= 1
y(l)
= 1,
y'(l)
=O
3
+ -xy' + -y = O
Re¡;pue¡;ta: y
y(l)
1 2
/
+ 3x-
J 3
/
Escoger en cada caso la opción correcta:
69. Que contiene la solución de 25x2y"
A. Y
= x-
7
(A cas In
X
40
+ B sen In
+
15xy'
+y=
O
40
X
)
C. y=xl/5(GI+G2Inx)
D. y
= x-
7
(CI
+ c21n x)
70. Que contiene la solución de ry"
A. Y
=
1 2
X_ /
+ xy' + 4y =
O
(A cas In xfo / 2 + B sen In x fo /2
C. y=r(c I+c2 Inx)
D. y
= A cas In X2 + B sen In X2
71. Que contiene la solución de :cy"
D.
xy' -
~ y=
O
+ B sen In x 3 )
y = x- 3 (A Gas In X'/2 + B sen ln Xl!")
Y = Xl/2 (CI + G2X-3 In x)
B. Y
C.
=
+~
X1/2
(A Gas In x 3
72. Que cont iene la ecuación diferencial correspondiente a la solución
y
= GIX + C2X5
A. x2y"
+ 5xy'
B. x 2y" - 6xy'
- 5y
= O
+ 5y =
O
C. xV'
O
D.
+ 6xy' - 5y =
x2y" - 5xy' + 5y =
O
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234
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
73. Que contiene la ecuaClOn diferencial correspondiente a la solución:
y
A cas ln x + B sen ln x
=
A . x2y"
+ y =O
c.
+ xy' + y =
x2y"
O
D. x2y" - xy' - y = O
74. Que contiene la ecuación diferencial correspondiente a la solución:
y=x- 4 (c¡+c 2 lnx)
+ 8xy' + 16y = O
xV' - 8xy' + 16y = O
xV' - 7xy' + 16y = O
x2y" + 9xy' + 16y = O
A. xV'
B.
C.
D.
75. Que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial
xV' - 6xy' + 12
O para las condiciones iniciales y(l)
1, y'(l)
=
C.
D.
=8
= 2 _ 6x
y = - 4x + 5x
y = 5r + 2
y =2
6x
A. Y
B.
=
4
X3
4
3
X4
X3 -
4
Respuestas:
69. C. 70. D. 71. A. 72. D. 73. C. 74. D. 75. B.
Todas las opciones erróneas son soluciones que satisfacen la ecuación pero
na las condiciones iniciales.
Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial con coeficientes constantes tiene la forma general:
donde
a¡, i
= O, 1, ..
, n son constantes.
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235
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Su ecuación auxiliar o característica es:
que tendrá n raíces.
Estas raíces pueden ser, como en el caso de las de segundo orden: reales
o complejas, iguales o distintas.
Si las raíces son reales y distintas, la solución es:
Si las raíces son reales e iguales, la solución es:
Si las raíces son reales y de ellas unas son iguales y otras diferentes, se usan
las dos leyes anteriores según el caso; aSÍ, supongamos 6 raíces:
m,
y
"*
m2
= m3
"*
m4
Si las raíces son complejas, para cada par conjugado, la solución es:
y
Si hay otro par igual
sucesivamente.
= e XX (A cos
~
~x
+ B sen ~x)
y = eXXx (A cos
~
x
+ B sen ~ x)
es solución, y así
EJEMPLO 1
Resolver y'"
+ 6y" + 11y' + 6y =
Su ecuación auxiliar es: A3
cuya factorización es : (A
con raíces A,
+ 6 A + 1lA + 6 =
2
O
+ 1) (A + 2) (A + 3) = O
= -1 , A2 = -
.'. Y = c,e- x + C2e - 2X
probarse fácilmente.
O
2, A3
+ C3e - 3X,
=-
3,
es la solución general, como puede com_
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236
ECUACIONES
EJEMPLO
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
ECUACIONES
Encontram
2
¿Cómo aparecieron
las raíces de la ecuación A3 + 6A2 + 11 A + 6 = O del
ejercicio anterior? Usamos división sintética:
una vez que el coeficiente
de la variable de mayor grado es 1, se buscan los divisores enteros del
término independiente.
Así:
(2) (3)
(-2)(-3)
(1)(6)
(-1)(-6)
6=
+ IY (AZ
(A
fA
o sea
Al
Con
..
y
=
= Gje
EJEMPLO
••• ~.JI
t.~:.
I!'
11
Se elige
correcto,
uno de ellos, si el resto de la operación es cero, el factor
si no da cero, hay que probar otro. Probemos el 6:
~l~:".,
11
HA
1" , .
1
6
11
6
+ 498
1
+6
12
+72
~
83
*0
,..
l'
r "o
o ¡
ofJ
j
o,
es
Resolver yV
Polinomio
6
••
It~;';
"_"I'U"
..... -.
¡••
..,¡1¡ ••
.•.".,
.~':.i'!I
no es divisor puesto
Probemos el 3:
que no acaba
1
·~~n
11
+ 27
6
+3
~"; ¡;¡.,..
"_'1
9
1
1I'!'1IW11".1II11
tampoco
lo es. Probemos
38
1
y
Al
=-
EJEMPLO
Resolver
=-
-~ I
2
3
A3 + 6A2 + l T); + 6
2, A3
=-
de orden
*0
-9
A3 + 6A2 + l D. + 6
1, A2
S
~
11
-3
Por último:
1
de orden 4'
de orden
6
que:
6
+ 114
el -3:
1
¡Sí! Esto significa
en cero la operación.
=
= (A
2
-3
A5
+
4
=(Ay las r
+ 3A + 2) (A + 3)
(A + 1) (A + 2) (A + 3)
La soh
3.
3
y/v + 4y'"
Su ecuación
auxiliar
+ 1Oy" + 12y'
=O
EJEMPL
Encontrar
es
A4 + 4A3 + 1OA2 + 12A + 5
+ 5y
=O
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EN SUPERIOR
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Encontramos
+6=O
del
coeficiente
enteros del
2
o sea
.'.
la siguiente
q (A
(A +
y
LINEALES
+ 2A + 5)
237
HOMOGÉNEAS
factorización:
=O
(A + 1f (A + 1 - 2i) (A + 1 + 2i)
= cle-x
+ C2xe-x + e-X (C3cos 2x + C4 sen 2x), es la solución general.
EJEMPLO 4
el factor es
+ 4yIV
Resolver yV
+5y'" -
6y'
-
= o.
4y
AS
Polinomio de orden 5
4
1
-2
de orden 4
1
de orden 2
1
4
AS + 4A + 5A
3
1
O
-2
2
2
2
2
O
-1
-
característica
=O
6A - 4
-6
-4
4
4
-2
O
= (A -1)
6A - 4
-
O
-2
-2
+1
~
4A' + 5A3
1
-1
de orden 3
+
5
-4
2
1
Su ecuación
O
1-
2
-1
2
O
+1
(A + 1) (A + 2) (A2 + 2A + 2)
= (A - 1) (A + 1) (A + 2) (A + 1 - i) (A + 1 + i)
+ 3)
y las raíces son Al
= 1,
A2
=-
1, A2
=-
2, /.:3
A4=-I-i
La solución general
es:
EJEMPLO 5
Encontrar
la ecuación diferencial
cuya solución es:
=- 1+i
Y
es:
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238
ECUACIONES
Observamos
que
A¡
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
= 1.. = 1.. = 1 Y 1.. = 2
2
16. y IV
4
3
ECUACIONES
-+ (A -1)
(A - 1) (A - 1) (A - 2) será la factorización,
y
1..
ylV _ 5y'"
+ 9y"
+4y=
Sugeren
(1..2
4
+ 91..
51..
3
-
2
-
lA
+ 2 = O es
+ 2y = O
- 7y'
la ecuación
auxiliar,
por tanto:
v" + 5
17.
es la ecuación
2A
-
pedida.
Hallar la
Ejercicios 4.4
= c¡e'"
18. y
Hallar
la solución
de las siguientes
ecuaciones
I~··~·'P
,
"
•••
I ~11JI'•••
'd
:f\
1. y'" - 2y" - y' + 2y = O
y
= c¡e-x
+
c2e
x
+
C3ex
20.
2. y'" - 3y" - y'
+ 3y = O
y
=
+
C2ex
+
C3e3X
21.
3. y'" -y"
+ 4y = O
y
= c¡ex +
¡;"A,
~"
1
•
.•.. ,.,
~!
,t'
x
c¡e-
j
I'I',".r~0;'' ·~!
• t .,. ,
19. y=c¡e
R espuestass
1
jl.-~~'"
r
1M
diferenciales:
~
.UI,,·I{
l••••.••
'·'
-4y'
+ By = O
4. y'" -2y"
- 4y'
5. y'" - 6y"
+ 12y'
6. y'"
y = cley
=e
y
= e-X (e, +
y
= e¡e +
+ 4y' + 4y
y
= e-X
- 4y'
=O
+Y =O
y
= e" (CI +
+
y
=
=O
- By
+ 3y" + 3y' + y = O
+ 35y'
7. y'" - lly"
+ e= (C2 +
2x
- 25y
=O
2x
+ C3e2X
2X
C2e-
+
(e,
x
+
C2X
C3X)
23.
c3r)
24. y
= e¡ e
+ C3 eos
+ C3r)
C2X
e" (e2
22 .
25. y
+ C3X)
= e¡e
+ c e'"
3
8. ylV - 2y'" -3y"
+ 6y"
9. y IV - 4y'"
10. y IV - 1Oy'"
+ 24y
11.
v"
=O
-2y"
12. y/v - 5y'"
13. y/v
+ 2y'"
14. y/v - 4y'"
15.
u" +
13y"
+ 35y"
- 50y'
+
+y
=O
+ 9y"
-2y'
+
- 7y'
- y
=O
=O
7y" - 6y'
+ 36y
+ 2y
=O
+ 2y
=O
+ c2x) + e
2x
(e,
c2X
(e,
+ C4X)
Resolver
+ C3X2 + C4~)
26. y/v - y
+ c2e2X + C3e3X
x
cle
Respues.
C4e4X
y
= e-X (e, +
y
= e" (CI +
y
= e-X
y
=
y
= LV cos 3x
C2X)
I
+ eX (C3 + csx}
27. s"
eí
(e,
tc¡
C2X
Respues
+ C2X + C3X2) + c4ex
+ C2X + C3COSX + cs sen
+ D sen
+ B sen
2x
+ 5y'
+ C3X2) + c4e2X
3x
+ ecos
2x
x}
28. y'" - 7
Respues.
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239
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
+
16. Y IV - 4y'" + 8y" - 8y'
+ 4y =0
Sugerencia: tomar
(A2 - 2A + 2/ = O
17. yIV
+ 5y" + 4y =
y = eX (A Gas x + B sen x)
+ xe X(C Gas x + D sen x)
O
y
= A GOS 2x + B sen 2x +
+ C cas x + D sen x
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la solución dada:
y'" - y" - y'
y'" - 9y"
+ 27y' -
+ 2y" -
y'"
y'" - 9y"
+y=
y'" - 6y" - y'
y'" - 3y"
G Gos2x + c2sen2x
+ GJ GOS 5x + G sen 5x
24. y =
Y IV
I
=O
20y
+ 6y =
+ y' -
=O
27y
y' - 2y
+ 24y' -
O
=
O
O
3y = O
+ 29y" + 100y =
O
4
25. y =
+
+ G2 sen 3x
x
+
Y IV - 2y'"
GOS 3x
GJe
G4 Xex
GI
IOy" - 18y'
+ 9y =
O
+
Resolver las siguientes ecuaciones para las condiciones iniciales dadas :
26. y/v - y = O,
Respuesta: y
27. y/v + 5y"
5
7
y'(O)
= 1,
y" (O)
= 4,
y"'(O)
=- 2
3
y"(~) = - 1, y"'(~) = O
2
2
O,
= - -31
GOS 2x
+ 4y' + 12y =
Respuesta: y
= 2,
e-X + - eX - cas x + - sen x
4
4
2
= -
+ 4y =
Respuesta: y
28. y'" - 7"
y(O)
= -16 e-X
7
1
4
sen 2x - - Gas x
6
3
+-
O,
5 .
2
_ _ e2x
y(O)
= 1,
17 6x
+_
e
14
y'(O)
+ -1
= O,
3
sen x
y"(O)
= 36
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240
ECUACIONES
29. y'" - 2y"
••.-:1'-""
1
jl':~:
J"
~!
1..,,::;1
n·A.
A"
~
r
C. y
D. y
,:.:
~
l'''''' ~
.•.. .
B. y
.,J.1
.;
A. y
1'....
f:.;¡.'J:
B. y
,. lIHiff~"+
110.'.,
.~~
~IIIIIIIUI
"",,,;IIIII"'!lWJII
C. y
D. y
+
x GOS X
35.
La s
ciale
A. y
X sen x
B. Y
que contiene
la respuesta
y
correcta:
C. y
IV
D. Y
Respuest
2x
31. C.
y'"
diferencial
correspondiente
= e.e"
y = O
+ y' -
A. 4y'"
- 4y"
B. 4y'"
+ 4y" + y' + y = O
+ 4y" - y' - y = O
- 4y" - y' + Y = O
4y'"
D. 4y'"
34. La ecuación
diferencial
y
correspondiente
+y
O
B. 9y'"
- 3y" - 5y' - y
+
a la siguiente
+ c2e-Xj3 + c3xe-Xj3
x
+ 15y" +
C. 9y'" -
a la siguiente
= G¡e
A. 9y'"
7y'
35. C.
=
solución:
+ G2e-Xj2 + G3eXj2
y
D. 9y'"
ECUACIO
G¡e2X + G2e-4X
3·3. La ecuación
C.
+
= O, y' (O) = O, y"(O) = 2, y"'(O) = - 2
+ 6y" - 32y = O
=
+ G3Xe-4X
= e.e" + G2GOS 4x + G3sen 4x
= G¡e2X + C2e-4X + G3e4X
= e¡ GOS 2x + C2 sen 2x + C3e-4X
de:
SUPERIOR
= 5, y'(O) = 2, y"(O) = O
+ 8y" + 16y = O
= c.e=?" + G2xe-2X + G3e2X + G4xe-2X
= (A cos 2x + B sen 2xY
= A GOS 2x + B sen 2x + ex GOS 2x + Dx sen
= G¡e-2X + G2Xe-2X + G3x2e-2X + G4X3e-2X
32. La solución
1,(.';
.dl,,",'i
y(O)
sen x
la opción
de:
DE ORDEN
+ 4 GOS X
=-
y
La solución
A. y
I
y(O)
+ 2y" + y = O,
iv
Escoger
'1'1'
= O,
2y
y =e
Respuesta:
31.
2x
Respuesta:
30. y
+ y'
DIFERENCIALES
=O
15y"
+ 7y' - y = O
15y"
+ 5y' + Y
=O
Una ecu
la forma:
La di
igualada
relación
solución:
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241
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
35. La solución particular de y'" + 3y" - y' - 3y = O con las condiciones iniciales: y(O) = 2, y'(O) = O, y"(O) = - 6
A. y
c.
1
= e- x + _ex
+ _1 e -
2
y = 3e - x
D. y =
3
_
eX
2
JX
2
_
e- Jx
+
_e-
1
JX
2
Respuestas:
31. C. Los errores provienen, en general, de mezclar los tipos de solución o
de intercambiar los signos de las raíces de la ecuación auxiliar.
32. A. 33. D. 34. B.
35. C. La B representa la solución general, pero se pide la particular; por
eso no es la respuesta correcta.
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, es de
la forma: y" + f(x)y' + g(x)y = r(x), donde f(x) y g(x) son constantes (1)
La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que está
igualada a una función de la variable independiente x. Esto nos sugiere una
relación entre:
y"
+ f(x)y' + g(x)y = O
y"
y
+ f(x)y' + g(x)y =
r(x)
Llamaremos y" a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y yp a una solución particular de la no homogénea que podamos encontrar de alguna manera; entonces se puede establecer el siguiente teorema.
Teorema 4. Si Yh es la solución general de y"
cualquier solución particular de (1)
y
= Yh + yp
+ f(x)y' + g(x)y =
O y . yp es
es la solución general de (1).
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242
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
= Yn + yp es
Demostración: supongamos que y
y"
solución de (1):
= Yn" + YP",
sustituyendo en (1):
Agrupando:
Como Yn es solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cefOo, y como
yp es solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en
r(x),
~
Por tanto, sí satisface y
=
Yn
O + r(x) = r(x)
+ yp
a la ecuación (1). O
Conocida la solución Yn por los métodos anteriores, el problema se reduce entonces a encontral1 la solución yp para resolver las ecuaciones no homogéneas.
Los métodos para encontrar yp son: coeficientes indeterminados y variación
de parámetros.
El método de variación de parámetros, llamado también método general,
supone el cambio de las constantes Cl y C2 de la solución Yn, por funciones de
x. El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para
ciertos tipos de la función r(x).
Método de coeficientes indeterminados para obtener y p
=
=
Se usa para tres formas de r(x): r(x)
polinomio, r(x)
exponencial,
r(x) = función trigonométrica, o combinaciones de ellas, que pueden resumirse, en forma general, de la siguiente manera :
r(x)
= e"'" [Pm(x) cos ~ X + Qn(X) sen ~ xl
Donde A = IX + i ~ es raíz de la ecuación auxiliar y Pm(x) y QnCx) son polinomios de grado m y n, respectivamente. Se busca una solución particular yp de
la forma :
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EN SUPERIOR
en (1):
ECUACIONES
LINEALES
NO HOMOGÉNEAS
DE SEGUNDO
Donde k = máx (m, n), Pk(X) y qk(X) son polinornios en x de grado k, cuyos
coeficientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz
A = IX + i ~de la ecuación auxiliar. La forma de yp se puede resumir en el
siguiente cuadro:
Ai=FO,i=I,2,
Pm(x)
Alguna Ai
r(x)
cecero, y como
se convierte en
Pm(x)eaX
Forma de
r(x)
sen ~ x
=O
r Pm(x)
Forma de yp
para k = máx (m, n)
Pm(x)eaX
es raíz repetida
veces (de orden z)
xZPm(x)eaX
Raíces de la
ecuación auxiliar
Forma de yp
para k = máx (m, n)
Pk(X) GOS~ X
~ x)
± i ~no son raíces
+ i ~son raíces de
+ qk(X) sen
r (Pk(X) Gas ~ x
+ qk(X) sen
orden z
Forma de
r(x)
cial,
ueden resumir-
Pm(x)
IX
z
+ Qn(x)
... ,z
no es raíz
IX
Pm(x) Gas ~ x
=
Raíces de la
ecuación auxiliar
Forma de
r(x)
a se reduce eno homogéneas.
os y variación
Forma de yp
para k
máx (m, n)
Raíces de la
ecuación auxiliar
Forma de
r(x)
étodo general,
r funciones de
y se usa para
~ x)
Forma de yp
para k = máx (m, n)
Raíces de la
ecuación auxiliar
I
es" (Pk(X) Gas ~ x
e
ax
[Pm(x) Gas ~ x
+ Qn(x)
sen ~ xl
IX
IX
+ i ~no son raíces
+ i ~son raíces de
+ qJx)
re
aX
sen ~ x)
(Pk(X) Gas ~ x
~ x)
+ qk(X) sen
orden z
n(x) son polinoarticular yp de
243
ORDEN
EJEMPLO 1
+ 2y' + 4y = 5x +- 3r - x
A + 2A + 4 = O, A = -1 + V3i
4
Encontrar yp dada la ecuación y"
y
2
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244
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado
cuatro:
Nótese que aunque faltan términos del polinomio en r(x), en la yp deben
aparecer todos.
El método consiste en derivar 2 veces la yp y sustituir yp y sus derivadas
en la ecuación dada, igualando después los coeficientes.
+ 3Bx2 + 2Cx + D
y/' = 12Ar + 6Bx + 2C
y/ =
Así,
4Ax3
Sustituyendo en la ecuación dada:
J2Ax2
+ 6Bx + 29 + ~AX3 + 6Br + 4Cx + 2I]
yo
y
y"
+ 2y'
+ 4Ax + 4Bx3 + 4CX2 + 4Dx + 4E = 5x + 3x 2 -x
4
4
,
I
Y
+4y
Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser
igual a los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
A=~
4
5
2
4A=5
B=--
+ 4B =0
12A + 6B + 4C = 3
6B + 4C + 4D = -1
2C + 2D + 4E =0
BA
C=~
De donde:
4
D=~
4
E- -7
4
.
•• yp
= -5
4
4
5
x - - x
2
3
+ -3
4
x
2
11
+ -x-
4
7
4
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245
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
EJEMPLO 2
Encontrar yp dada la ecuación 9y" - 6y'
~
yp
= Ax
3
+ Br +
Cx
+Y=
+D
y/
9 - x3
(), - 1/ 3/ = O
= 3Ax2 + 2Bx + C
y/' = 6Ax
+ 2B
Sustituyendo:
+
1RB - lBAr - 12Bx - 6C
\"
I
~
y
.
- Y6'
y
54Ax
"-...-.~
+ \A X3 + Br +
Cx
+D
j
=9 -
r
v
+y
Agrupando términos semejantes:
AX 3
+
( - IBA
+
B)x"
+
(54A -12B
+
C)x
+
(18B - 6C
A= - l
A= - 1
+ B =0
54A - ·12B + C =
B = - 18
- 18A
C = - 162
O
18B - 6C+D=9
:. yp = _ x3 - 18x2 - 162x - 6,39.
D
= - 639
EJEMPLO 3
Encontrar yp dada la ecuación: y" - y = 8,
~yp = A
y/ =0
y/' = O
Sustituyendo en la ecuación :
O-A=B~A=-8
:. yp
= - 8.
+ D) = 9 -
x3
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246
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 4
=
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial: y" + 4y
2e- X
Observamos que k = - 1
La ecuación auxiliar es: A2 + 4 = O
con raíces: A = + 2i, Al = 2i Y A2
-2i
Como k =F Al y k =F A2, 'la solución yp tiene la forma yp = A e-x; usando el
método de coeficientes indeterminados se hallan las derivadas, se sustituyen
en la ecuación dada y se i.gualan los coeficientes.
=
ytJ
= A e-X
y/= - Ae - x
y/'
= A e-X
A e - X + 4A e-X
SAe- x
= 2e - x
2
= 2e- x
SA = 2,A = S
.
_ 2 -x
.. yp - Se
EJEMPLO 5
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial: y" + y' - 6y = - S e2x
donde k
2
La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: A2 + A - 6 = O
con raíces: Al = - 3 Y A2 = 2
=
Por tanto la solución yp tiene la forma: yp = A x e2x
Derivando:
YP' = 2A x e 2x
y/' =
4A x e 2x
+ Ae
+ 4A e
2x
2x
Sustituyendo en la ecuación no homogénea e igualando coeficientes:
4A xel x
l_ _:,_U~. -
+ 4A el + 2A x e + Ae
x
SA = - S
._-
2x
~
2x
-
6A xe 2x
A =-1
= _ Se 2x
~ e:~. _________________________----"
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ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
EJEMPLO 6
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial
y"
donde k
=
+ 2y' + y = 3e-
X
- 1 Y
la ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:
1..2 + 2A + 1 = O
(A
+ zy =
O
Al = 1..2 = -1
= Ax e2
Por tanto, yp tiene la forma yp
Derivando:
+ 2Axe 2Axe- + 2Ae -
y/ = - A:re- x
y/'
x
X
= Are-X -
X
X
2Axe- X
-
Sustituyendo en la ecuación dada:
3
A=2
2A=3
EJEMPLO 7
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial
ylV _
5y'"
+ 9y" -
7y'
+ 2y =
2e
X
+x
La ecuación homogénea correspondiente es:
Y IV - 5y'"
+
cuya ecuación característica es:
9y" - 7y'
+
2y = O
247
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248
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
con raíces:
Al
= Á = 1.. = 1 Y 1.. = 2
2
4
3
La parte exponencial de r(x) con k = 1, sugiere una solución del tipo
A x 3 e x puesto que hay tres lambdas iguales a k; y la parte polinomial de
r(x), debe ser Bx + C un polinomio de primer grado, entonces:
yp
= A x 3eX + Bx + C
Derivando:
+ 3Ax e x + B
= A x e x + 6Are x + 6Axe X
= A x eX + 9Ax e X + 18AxeX + 6Ae X
= A x e X+ 12Ax e x + 36Axe X + 24AeX
=
yp'
yp"
2
A x3 e x
3
yp'''
2
3
y/v
2
3
Sustituyendo:
A x3 e x
- 5Ax3e x
+ 12Are x + 36Axe + 24Ae X
X
-
45Ax 2e x
-
90Axe X
+ 9Ax e x + 54Arex + 54Axe
3
-
30AeX
X
- 7Ax3e'" - 21Are'"
o
-7B
o
o
~
- 6Ae
x
+ 2C + 2Bx =
+ 2Bx + 2C - 7B =
2
A=-3
-6A=2
2B
B=~
= 1
2C - 7B
yp
2
C=~
=O
= -
4
131
x eX + 2 x
3
EJEMPLO 8
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial:
y" -
~ y'
2
- y
7
+4'
= 3 cas x
2e X
2e
X
+x
+x
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ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
donde m
=
249
1
La ecuación homogénea correspondiente es:
y" - !...... y' - y
2
=O
y su auxiliar o característica es:
con raíces Al
= 2 Y A = - -12
2
Por tanto la forma de yp es: yp
Derivando:
=
A Gas x
+ B Gas x
yp'
= -
Yv"
= -AGasx -
A sen x
+ B sen x,
Bsenx
Sustituyendo:
- A Gas x - B sen x
+ -3
2
3
( .- A - - B - A) Gas x
2
3
A sen x - .- B cas x - A Gas x - B sen x
2
+ (-
B
3
+-
2
A - B) sen x = 3 Gas x
Igualando coeficientes:
-:A - =3}
3
24
A=--
2B
25
B
- A - 2B =0
2
Y
p
=
25
24
18
- - GaSX- - senx.
25
25
EJEMPLO 9
Hallar Yv de la siguiente ecuación diferencial:
y"
aquí m
=
2
= _18
+ 4y =
12 sen 2x
= 3 Gas x
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250
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación auxiliar de la homogénea es:
+4 =
)..2
con raíces: )..
Como m
=
~,
= + 2i,
donde
IX
O
=O Y ~ =2
la solución yp tendrá la forma:
yp
= x (A Gas 2x + B sen 2x)
Derivando
yp'
= x (-
y/'
=
2A sen 2x
+ 2B Gas 2x) + (A GaS 2x + B sen 2x)
x (-4A cos 2x - 4B sen 2x) - 4A sen 2x + 4B cas 2x
Sustituyendo en la ecuación dada:
- 4A x Gas 2x - 4B x sen 2x - 4A sen 2x
+ 4Ax Gas 2x + 4Bx sen 2x =
12 sen 2x
Igualando coeficientes: -4A = 12
:. yp
+ 4B Gas 2x
A= -3, B=O
= - 3x Gas 2x.
EJEMPLO 10
Hallar yp de la siguiente ecuación diferencial:
y" - 2y'
+y=
8 Gas x
donde m = 1,
La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:
)..2 _
2A
+1=
O
()..-IY=O
como 1
*- ± i
tomamos
yp = A Gas x
Derivando
yp'
+ B sen x
= - A sen x + B oos x
YP"
=-
A Gas x - B sen x
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251
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Sustituyendo:
- A Gas x - B sen x
+ 2A sen x -
2B GaS x
S}
-2B =
+ A Gas x + B sen x = S Gas x
B = -4
2A=O
A= O
.'. yp = - 4 sen x.
Comprobación: y/
=
-4 Gas x,
4 sen x
y/' = 4sen x
+ S Gas x -
4 sen x
= S Gas x.
Ejercicios 4.5
Encontrar yp mediante el método de coeficientes indeterminados.
Respuestas:
1. y"
+y=
sen x
2. y"
+y=
eX
1
yp = - - XGasx
2
+x
3. y" - 4y'
+ 2y =
4. y" - 3y'
+Y=
5. y"
+ 6y'
6. y"
+ y'
- 7y
5e x
+ e- X
2ex
yp
=-
yp
= _ 2e x + _1 e - X
5e x
5
- 12y = Se - X + 7e 3x
-
X2
+ y = 2e- x + Sx
9. y" - y
= _12 ex + x
= 3e2x - e - X
7. y" - y' - 2y = 3e 2x
8. y"
yp
+x
3
.,
-
2x
yp
1
1
2
3
= xe· x + '2 x - '2 x + 4"
yp = e-X
= 2e x + 2e - x + x
10. y" - y = Be - 2X
yp
+ Sx
= x eX - x e-X - x
S
yp = _ e - 2x
3
_
x3
-
4x
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252
ECUACIONES
11. y" - 9y = ge3x - 6x4
DIFERENCIALES
+ 3:x:
13. y" - 2y'
3
2
2
3
IIC.,"1~
.c,
.
~1A,
yp
,.,
~
= 8 sen 2x
15. y"
+ 4y = 4sen2x
16. y"
+ -y'
,
3
5
1
- -y
Yv
8
6
= - -Gas3x
25
- -sen3x
25
8
6
= Gasx -1- 5x2
5
= -sen
Yv
+-
25
" ~.<',! '
sen. 2x
2x
29. y" -2y"
3
150x -
3
700
30. y"
17. y"-2y'+y=8Gasx
Yv
= -4senx
Yv
=-
'.~;""¡
1lll11i'"
-:"''''1
~~,
18. y"
+ 3y' + 9y
= 12 sen x + 9x
·'·1
f~
~~'!
36
-Gasx
73
1
96
+ -senx
73
19. y" - 3y' - 9y = 4 Gas 2x - 5e-X
Yv
52
= - --
205
32. y" + 6y'
Ae:" +
cosZx
33. y,tI - 2y'
21. y"
+ y = 4 Gas x - 2 sen
+ 4y = -16 sen2x
22. y" - 2y'
23. y"
+ e-x
24. y" - y
=-
6 sen x
= x Gas x + 2 x sen x
yp
= 4x Gas 2x
Yv
= Gas 2x - 4 sen 2x + 3x + -
- 16sen x
Yv
= 4 x sen 3x - 2 sen x
+
Yv
= 3 sen x + 5 xe
,- 7x2
+
IOe"
- Ze="
6e2x
6
+ l Ze" + 20x
+1
35. Y IV -1
5
x
+
Escoger
7:x:
guientes eje.
14
25. y" - 3y' - 10y = 50 Gas 5x
+
34. Y ti, - 6y
Yv
x
+ 5y = 17 Gas 2x + 15x
+ 9y = 24 Gas 3x
_ Be
X
24
- -sen 2x
205
20. y"
+ 16y
31. y" - 4y
+ 15 cos
+x
3
'·~~IiIIIiI.:
~ft
+ By'
28. y"
2
1
= - - Gas x + - sen x - 25:x:
-
"
Hallar la
26. y" - 4y'
2
-27
j
V·
I•••
2
Yv=-xGas2x
l'
gil'
16
81
ECUACIONES
27. y" - 2y'
+y
- - Gas 2x
25
14. y" - 4y
8
9
1
--x
3
yp =-2senx
= 4 Gas 3x - 2 sen 2x
,••:.,~:JI.
SUPERIOR
= _ xe" + _ x4 + _ x2 + _
y
p
12. y" - 9y = 20 senx
DE ORDEN
35
Yp = - -Gas5x
29'
S6. y" - 4y
15
- -sen5x
29
+ xe _2x - eX - 2x
A. y =
3
+-
5
B. y=
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253
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Hallar la solución general:
6e 2x
26. y" - 4y'
+ 4y =
27. y" - 2y'
+ y = 6e x + Be-X -
28. y"
+ By' =
4Bx2
+x
2
+ 65 sen x
y
=
CI
+ C2e - 8X -
+ 2x 3
= 2e2x + 4 cos 2x
29. y" - 2y'
y
=
CI
+
C2e
-3
x2 + _o3_ x
4
2x
B cos x - sen x
16
+
Jx
Xe
-
-
1
2
cos 2x
1
- -sen2x
2
30. y"
+
16y
= -
B sen 4x
+
17e x
31. y" - 4y = -12 e- 2x
+ 15 cosx + Bx
+ 6y' + 9y =
4e- 3x + 50 sen x
- Be x
+ 6e- x
IV
-
16y
=
c l e - 2X + C2e2X + 3x e- 2X
- 3 cosx - 2x
-
+ 2y =
e 2x
=
y = (c I
34. y'" - 6y" + 12y' - By
6e 2x + 16r
35. y
= A cos 4x + B sen 4x
+ x cos 4x + e'"
y
32. y"
33. y'" - 2y" - y'
1J
-
y
=
15 cos x
=
+ c 2 x + 2r)e- 3X
3 cos x + 4 sen x
Cle-X + C2 eX + C3e2X
+ 4xe'" + xe - x
y = (el + e2x + e3x l + x 3) elr
_ 2Xl - 6x - 6
y
= c¡e-
+ c e + C3COS 2x
1
+ C4 sen 2x + _.
x e 2x + cos x
2X
2X
2
32
Escoger la opClOn que contiene la solución general y = Yh
guientes ej ercicios:
+ yp
+ 13y = -4{)cosx + 13x
y = A ¿x cos 3x + B e 2x sen 3x
S6. y" - 4y'
A.
B. y
=
A e 2x cos 3x
+ B e 2x sen 3x + e cos x + D sen x + Ex + F
en los si-
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254
ECUACIONES
C. y
D. Y
= e2x (A Gas 3x
= sett x -
A. y
=
3 GOS X
= -10
37. y" - By' - 9y
+
Gle-x
+
13
2
+
B sen 3x) - 3 Gas x
+
sen x
DE ORDEN
x
+ --4
SUPERIOR
MÉTODO G
C. y=
13
D. y=
4
+ X + --
13
Respuestas:
e-X - 425 Gas 2x
G2e9X +
B. y = xe -x - --
DIFERENCIALES
xe-x
GOS2x
+
13 Gas 2x
+ sen
+
16 sen 2x
2x
36. C. La
opci
Ey
37. A. La
e
, •••• eI' •
.•~'l;
11,•• , ,
.
C. y = e.e:"
+
G2e9X +
13
- -Gas x
2
xe-x
J"
"
.J,•..•.•••.
j1)""
,..
g.,."
11
c
'
"
r'
,.t
D. y = xe-X
38. y" - 2y'
+ 13 Gas 2x +
+ y = Be"
1'''''.
I,.:;,~,I
,d
sen 2x
38. D. La
falt
16 sen 2x
39. B. La
tie
mé
+ 3x
- !..-.- x3
6
f
t.·;''''
.•"''''l'
A. y = (c.
~~ ,
B. y
~ •• .¡¡,.•",'
+
+
1
G2X + 4x2) e" - _x3
6
+
yp
3x
40. B. En
II~
,. i~_iIII"
1
- - x3 - x2
6
= 4x2ex
__ "iIII'"lIIIfII.'
C. Y = Gle'"
D. y
39. y"
A.
+
G2ex
+
4rex
+2
au
- -
1 3
x
6
+
1
= Glex + G2Xex + 4rex - - x3 6
+ 2y' + y = 1Be2x - 4 sen
y = (e, + G2X) e-x + 1Be
+
C. y = 2e2X
= e-X
40. y'" - 4y"
G2X) e-X
+
2e2x
+ 2 Gas x - x2
(A Gas x + B sen
+ 5y'
- 2y
3x
Método
r+2
Variación
Sabemos
x - x2
2x
B. y = (e,
D. y
x
-
4 sen x -
+ 2 Gas
x -
r
r + 4x
yp
x)
+ 2e2x + 2 Gas x
= - Se" +
B. y
= (e,
+
G3e2X + Gas x
Si tene
tiene al
El cam
y
= u(x) y
además val
= ee" + G2Xex + G3e2X + Gas x + 2 sen x
·G2X + 3x2) e"
- x2
10 Gas x
A. y
+
- 6
+
2 sen x
Pero,
solución
Suponi
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255
MÉTODO GENERAL
c.
D.
+ C2eX + C3~'" + 3:rex + cas x + 2 sen x
y = 3:re x + cas x + 2 sen x
y
=
Cle'"
Respuestas:
36. C. La opción A contiene solamente la y". La opción D contiene a YP' La
opción B debe tener especificados los valores de las constantes e, D,
E Y F.
37. A. La opción B tiene error en las derivadas de yp y le faIta y". La opción
e tiene error en las derivadas de YP' La opción D sólo tiene a yp,
38. D. La opción A tiene equivocada la YP' La opción B sólo contiene YP, le
falta y". La opción e tiene confundidas la yp y la Yn.
39. B. La opción A en vez de yp tiene a r(x) como solución. La opClOn e
tiene yp con error y le falta y". La opción D tiene Yn en forma trigonométrica y las raíces de la ecuación auxiliar son reales, además tiene a
yp con errores.
40. B. En la opción A le falta un término a YP' En la opción e le falta una
x al segundo término de la y" pues hay raíces iguales en la ecuación
auxiliar. En la opción D falta la y".
Método general
Variación de parámetros para obtener YP' Se usa para cualquier forma de r(x).
Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial de la forma:
y"
+ f(x) y' + g(x) y =
O,
es
y - ' clyl x)
+ c2ylx)
(1)
Si tenemos una ecuación no homogénea, es natural suponer que su solución
yp tiene algo que ver con (1), como observamos en el método anterior.
El cambio de parámetros que se va a realizar en (1) es el siguiente:
y
u(x) ylx) + v(x) ylx), cambiando las constantes por funciones de x; Y
además vamos a pedir que: u' Yl + v' Y2 = O
(2)
=
=
Pero, ¿qué forma han de tener u(x) y v(x) para que y
UYl
solución particular yp de la ecuación y" + f(x) y' +g(x) 1/ = r(x)?
Suponiendo que yp = UYl + VY2 es solución.
+ VY2
sea la
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256
ECUACIONES
derivando
yp'
YP'
y YP"
SUPERIOR
MÉTODO
GENERA
Concluimos
que sí
(2)
la condición
= uY¡' + VY2'
= uy¡" + u'Y¡' + vy/'
Sustituyendo
uy¡"
DE ORDEN
= uy¡' + U'Yl + vY/ + V'Y2.
Como tenemos
~
DIFERENCIALES
+ v'y/
EJEMPLO 1
en la ecuación no homogénea:
+ u'Y¡' + VY2" + v'Y/ +
"
+ vy/)
f(x) (uy¡'
J\-
+ g(x)
(UYl
I\.
;,
Hallar la soluci
+ VY2) = r(x)
I
+f(x)y'
+g&JY
La ecuación a
Reacomodando
u(y¡"
\.
términos,
sacando
+ f(x)y¡' + g(X)Yl) +
v(y/'
I
v
como factor común a u y v:
+ f(x)y/
\.
+ g(X)Y2) +
i
y
cero
u'y¡'
~
+ v'y/ = r(x)
Sea Yl
= eX
~
yp
=_
yp
= _ eX
cero
Los paréntesis se anulan puesto que Yl y Y2 son solución; entonces
u'y¡' + v'y/ = r(x), que junto con la suposición (2) forman un sistema de
ecuaciones, cuyas incógnitas son u' y v'. Este sistema va a resolverse por la
regla de Cramer. Entonces:
U'Yl
+ V'Y2 = O
u'y/
+ v'y/ = r(x)
I ~(X)
I Yl,
o' =
I
eX
yp
Y2
y/
-Y2 r(x)
u' =
I Yl
".
y y
W(Yl, Y2)
Y2
y/
Yl
~(X)
Yl,
Yl
Y2
Y/
I
I
u, r(x)
W(Yl, Y2)
EJEMPLO 2
Como Yl Y Y2 son L.I. en el intervalo, entonces
cero en él y entonces existen u' y v'.
Por lo tantee.
U=~fY2r(X)
-Wdx,
el wronskiano
v = !Yl:)
es diferente
dx
de
Resolver por va
Las raíces de lal
y ~ = 1.
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257
MÉTODO GENERAL
Concluimos que sí existe una solución de la forma yp
Yv = - Yl
f
f
Y2 r(x)
=
UYl
+ VY2:
Yl r(x)
---w- dx + Y2 ---wdx
EJEMPLO 1
Hallar la solución particular Yv de la siguiente ecuaClOn:
y" - 3y' + 2y = eX sen x
La ecuación auxiliar A2- 3A
Sea Yl = eX y Y2 = e 2x
~ y
p
=-
eX
f
+ 2 = O tiene
= 1, A2 = 2
~
e2X eX sen x
dx
e3x
Yv = eX Gas x
Yv
dos raíces: Al
+e
+e
2x
2x
f e x eX sen x
dx
e 3x
1
[-
_e-x (sen x
2
+ Gas x)]
= eX Gas x - "'12 eX (sen ~ + Gas x)
1
Yv = eX [Gas x - - sen x 2
1
- Gas xJ
2
1
Yv = - eX (GOS x - sen x).
2
EJEMPLO 2
Resolver por variación de parámetros:
y"
+y=
Gas x
Las raíces de la ecuación característica A2
Y ~ = l.
+ 1 = O son
A
=+i
con a
=O
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258
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La solución de la ecuación homogénea correspondiente es:
Yn
Sean YI
= A GOS X + B sen x
= Gas x, Y2 = sen x
Y W (YI, Y2)
= I-
~ yp = Yv
=-
Gas x sen x
sen x Gas x
Gas x f
I = Gas x + sen x = 1
2
2
sen x GOS x dx
+ sen x fGOS x GOS X dx
1
1
1
+ senx(- x + - sen2x)
224
GOSX (- sen2 x)
1 1 1
sen2x GOS x + - x sen x + - (2 sen x Gas x) sen x
2
2
4
Yv
= - -
Yv
1
= -xsen
x.
2
EJEMPLO 3
Qué forma han de tener u y v para que Yv
y" - By'
= ruYI + VY2 sean solución de:
+ 16y =
x e 4X •
entonces
e 4X
W
=
4e
4
;¡;
xe4X
4xé
x
+e
4x
= 4xe
sx
+e
Sx
_
4xe s;¡;
=e
x3
u=--
3
v =
f
4X
4X
_e__ (x_e__)_ dx
eSoc
=
X2
2
Sx
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259
MÉTODO GENERAL
Comprobación: yp
= - -31 x e
3
4
:r
+ -'X! xe
4
2
:r
Derivando y sustituyendo en la ecuación dada:
EJEMPLO 4
Resolver por variación de parámetros, la siguiente ecuación de CauchyEuler: 'X!y" + 8xy' + lOy = x- 1 ln x
Su ecuación auxiliar es: m 2
con raíces
=-
ml
2 Y m2
+ 7m + 10 =
=-
O
5.
r(x)
y
=-5x-
= - -x-3
5
4
+ 5x- B =
6
5
= - 3x-
2X-B
= x- 3 ln x.
f
2
~ ln x dx
1)
(x
-lnx - _ x4
4
16
+ -x 3-
f
2
x -- (xlnx +3
x)
ln x dx
3x - B
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260
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
=-
X_l
X-
x- 1
= (lnx
4
1
X-
1
+ -- + - - ln x -
- - ln x
12
48
3
x- 1
-3
= -41
15
x- 1 ln x - - X_l
48
15
- - J.
12
x- 1
5
Yv=-(lnx - -).
4
4
La solución general será: y
=
Yll.
+ Yv
Ejercicios 4.6
Encontrar la solución Yv mediante variación de parámetros.
5
1 • Y" - Y,+
- y
4
eX/2 Gas x
=
Respuesta: y p
=)-J e x/] (x sen x)'/
2. y" - 4y'
+ 3y =
Respuesta: Yv
3. y" - 4y'
4. y"
+ 4y =
+ y' -
4r - 6X2 - 6x - 3)
xe 2X
=-
xe 2X
2 Gas 2x
Respuesta: Yv
5. y"
= -241 eX ( -
+ 3y =
Respuesta: Yv
X2 eX
x
sen 2x
2
=-
2y = 3xe 4X
Respuesta: Yv
=
1
12 e4x (2x - 1)
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261
MÉTODO GENERAL
6. y"
+ y' =
x! e3X
e 3x
(72x! - 84x
864
=-
Respuesta: yp
"
,
+ 37)
e-x
7. y "+2y + y =x -
= - xe- + xe- ln x
X
Respuesta: yp
X
8. y" - y = e 2x sen 2x
= 651 ( - sen 2x - 8 cas 2x) e
Respuesta: yp
9. y" + Y = -8x
cas
Respuesta: yp
10. y" - y'
=
+ 9y'
= - 2x Gas x + sen x (1 - 2x!)
4X
= -e (sen x - Gas x)
2
= 4xe
Respuesta: yp
12. y"
x
eX Gas x
Respuesta: yp
11. y" - 4y'
2x
4x
4x
= "-e (8x 2 - 4x + 1)
16
= 18e
x
=
Respuesta: y
p
Respuesta: yp
sen x
81
99
eX ( - - sen x - Gas x)
101
101
2 9x
e (243r - 81r
729
+ 18x -
= -
2)
14. y" - y = 4rex
Respuesta: yp
1
= eX (2 x - x
4
3
+ 23
2
3
x - "2x
3)
+--;;
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262
ECUACIONES
Encontrar yp en las siguientes
de variación de parámetros:
DIFERENCIALES
ecuaciones
DE ORDEN
de Cauchy-Euler
SUPERIOR
por el método
MÉTODO
G
23. y"-
15. x2y" - xy' = 4x3ex
Respuesta:
16. xV'
-
yp
yp
17. -x!y" - 2xy'
:.
,"
Respuesta:
+ 2y = 6~e2X
yp
4' ..•.•'·· .
3
""
gil'
En lOS'
ciales dad
= - xe
2x
2
IHA"
'", ..
Respu
= x (ln xl
.JII
11 ••••
J'
24. y"-6i
+ y = 2x
xy'
Respuesta:
.• ~fIIJ"j,f .
= 4€f" (x - 1)
25. y"
+
18. -x!y" - xy' - 3y = 8x4 sen x
•.•. ¡J
11.,.,11
".l
1"'; ,"
!
,:'l'
Respuesta:
yp
Gas x
= - 8-x! sen x - 24x Gas x + 48sen x + 48--
.jlJoIIi'fl"j
s
~,::1;~
19. -x!y" - xy'
Respuesta:
+ 2y = x
yp
,~~
Respü
x
In x
26. y"-
= x In x
Resp
Encontrar
la solución
general
y
= Yh + yp
de las siguientes
ecuaciones:
27. y"20. y" - 4y' = 8x e"
Respuesta:
y
8
Resp
16 3x
e
= Gl + G2e4X- - xe3X __
3
9
28. y"21. y" - y' - 6y = 5~x sen x
Respuesta:
22.
y
=e
y" - 2y'
= 6x e
Respuesta:
y
e :"
1
+
e e=
2
15
- Gas x -
+ e2x (-
34
25
- sen x)
Resp
34
29. y"
2x
3
= el + e2e-x + e x (2X
?
2
2
-
3)
23x + 4
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263
MÉTODO GENERAL
23. y" - y = 4e x Gas x
24. y" - 6y'
+ 5y =
x
8 xe -
En los siguientes ejercicios resolver las ecuaciones para las condiciones iniciales dadas:
25. y"
+ 4y =
4 Gas 2x,
.
1C
=- -
Respuesta: y
26. y" - 4y'
2
2e 2X
x
=
= (2 -
12éx (x
= 1,
y'(;)=O
= O,
y'(l)
sen 2x + cas 2x + x sen 2x
+ 4y = - -,
Respuesta: y
27. y" - 3y'
y(O)
y(l)
1
e
-)
e2x
2
1
x e2x
e2
+-
+ 2x e 2X (In x -
+ l),
7
Respuesta: y = - - -
12
y(O)
+ -4
3
e 3X
+ 3x e4X
29. y"
+ y' -
6y
=
1
32 e
_2x
2x xl
x"
1)
y'(O)
=4
3
_ _ e4x
4
y(O)
Respuesta: y =
= O,
=1
=
O, y'(O)
=
O
1)
x
+ e (3 -¡- + 8-32
IOe X sen x
91
6
Respuesta: y = - - e2x - - - e - 3x
. 85
85
y(O)
=~;
17
+ eX (- -25- sen x 17
y'(O)
= O
15
- - Gas x)
17
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264
ECUACIONES
=
30. y" - By'
Respuesta:
31. x2y" -
32. xV'
¡,t.."~'l;'~
i,
1t
Y
= 4 + 2e8x + e-2x
= 9x3
Respuesta:
..,tJ,.·j'· ~
-Bxe-2X,
t¡
2y
DIFERENCIALES
1
1
+ -r + geX (x
3
36.
- 2
x
"j
Jf~:Jil"1
+
= ge,
y'(l)
=1
2
+-)
A.
B.
x
y(l)
sen In x
y =5
D. y
6
+ 3xy' + 2y = 2,
Respuesta:
MÉTODO
= 144
'(0) = 402
25 ' Y
25
y(l)
3
SUPERIOR
(- - x - -)
5
25
e",
= - _x-l
y
2
(O)
DE ORDEN
= 1, y'(l) = 5
1
C.
D. y=
li:AI'
i ,'. '
g" 1""
33. x2y" - xy' = 6x3 sen x,
"
y =6
Respuesta:
61""
".,':'
+
y(O)
x2 - 6x seti x -
= O, y'(~)
2
= 7t
6 Gas x
y"
",:;"d
·:;~·t:
~.•..,,','
• ~::I:'
A.
Escoger,
en cada caso, la opción correcta .
B.
¡f.~-':~
«
,
••r,:
t..,.i.f
,....,....
37. Res
34. La forma que han de tener u(xj y v(x) para que yp
de: y" - 4y
e-2X sen x
=
= UYl + VY2 sea solución
C.
A. u
1
= - -4
G.osx
1
B. u = - -Gasx
4
1
1
sen x - - Gas x
4
16
v
=- -
v
= e=?" (- - sen x - - Gas x)
1
1
4
16
C. u
= -Gasx
v
= e-4X (-
1
1
- sen x - - Gas x)
17
68
D. u
1
= -Gasx
4
v
= -201 (-
e-4X sen x - e=:" Gas x)
1
4
35. Reconocer la yp de: y"
+ y' = re
D.
38. En
x2y
A.
x
B.
A. yp = Gl + G2e-x
B. yp = - e-X
e
C.
2
y
•
p
1)
= - eX(x-2 - -X2 + -4
D.
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265
MÉTODO GENERAL
D
. yp
3 7)
x(1
= e '2 x 2 - '2 x + 4
36. Encontrar la solución general de: y" - 4y' = 8e 6x (x - 1)
+ e2 e4X + e 6X ( ~ x -
A.
y
=
c.
y
= el + e2 e4X -
el
6X
e (; -
D. y = el + e2e4X + e6X ( x -
1~)
:8)
~)
37. Resolver para las condiciones iniciales dadas:
y"
+ y'
A. y
=
B. y =
c.
- 2y
= 9xe3X,
0.126e- 2x
+ 0.244e
y(O)
X
2x
2
1
3x
3'
e- + 3" ~ + 3e
y = e 1 e - 2x
10 x -
21 )
100
+ e eX + 3e3X(~x
- ~)
10
100
2
63)
_ 3x(.9X
D. y_e
- -lO
(3
100
38. Encontrar la solución general
= 0 .37,
y'(O)
=-
0.01
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266
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
39. Encontrar la función u para que y = UYl
x2y" - 2xy' + 2y = Zn 2 x - Zn r
A. u
= - X- 1 (Zn2 x + 2In x + 2)
B. u
=-
c.
+ VY2
sea solución particular de:
x - 1 (Inx 2 + 2)
u = x- 1 In 2 x
D. u
= -12
l
2
n x
1
1
+ -Zn
x +2
4
40. La solución general de la ecuación
x2y" - 2xy'
+ 2y =
Zn2x -In X2 es:
1
1
1
A. y=x- 2 (--ln 2 x+ - Inx+-)
2
2
4
1Z2
1Z
1
C . y=2
n x+
nX+
2
D. Y=
C¡X
4
In 2x + -1 In x + -1
224
+ C2X + -1
.-2
Respuestas:
34. C. Dado que la función u
Y21'(X)
= - ! -w
dx
y la función v
= !Yll'(X)
--w- dx
las opciones A, B Y D contienen errores en cuanto a la aplicación
correcta de las fórmulas y/ o en el proceso de integración.
35. D. La opción A contiene a la Yh en vez de la Yp. La opción B es el
wronskiano de Yl = 1 Y Y2 = eX. La opción C presenta parte de la
solu ción, es sólo VY2, falta añadirle UYl .
36. A. La opción B presenta a la solución general de la homogénea
y" - 4y' = O. La opción C está incompleta, le falta añadir VY2. La
opción D también está incompleta, le falta añadir UYl.
37. B. La opción A presenta la solución particular de la ecuación homogénea
correspondiente. La opción C no aplica las condiciones iniciales, es
la solución general. La opción D contiene YP.
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267
RESUMEN
+ VY2 que es uy¡.
La opción B contiene Yh. más la otra parte de Yv que es VY2. A la opción
D le falta añadir la Yv'
38. C. La opción A contiene Yh. más una parte de Yv = uy¡
39. C. La opción A es el resultado de
sultado de
f
f
x- 2 ln2 x dx. La opción B es el re-
x- 2 In x! dx. La opción D contiene, precisamente a Yv'
40. D. La opción A oontiene a la función v. La opción B contiene a Yh.. La
opción C contiene a Yv'
Resumen
Ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden
a) Si la ecuación es de la forma: f(x, y' , y" )
~
z= y', z ' = y"
usamos
b) Si la ecuación es de la forma: f(y, y', y")
~
=O
=
O
, z -dz
z=y,
- = y" .
dy
usamos
La ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma:
y"
+
f(x) y'
+
Si r(x)
=
Si r(x)
=F O ~ es lineal no homogénea.
g(x) y
= 1"(x)
O ~ es lineal homogénea.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O LINEALIDAD
Sean y¡ y Y2 soluciones en un intervalo, y G¡ Y G2 constantes,
~
y"
y = G¡y¡ + G2Y2 es solución,
+ f(x)y' + g(x)y = O.
en el intervalo, de la ecuación homogénea:
Este principio no se aplica si la ecuación es no lineal o no homogénea.
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268
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
DEPENDENCIA LINEAL
a) Y¡, Y2 son L.D. en un intervalo
si Y¡ = k¡Y2 o Y2 = k 2Yh k h k 2 = constantes.
b) Yh Y2, .. . Yn son L.D. en un intervalo si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras.
c) Sistema fundamental, o base de soluciones, de una ecuación diferencial
es la combinación lineal
Donde Yh Y2 son L.I. en un intervalo.
d) El wronskiano de n funciones se define como el determinante de orden
(n - 1) de la matriz:
W (y¡, Y2, . . . , Yn)
=
y ¡(x)
Ylx)
Yix)
Y¡' (x)
Y/(X)
yn'(x)
e) Sean f(x) y g(x) continuas en [a, bJ
Sean Yh Y2 soluciones en [a, bJ de: y"
~
~
+ f(x) y' + g(x) y =
O
Y¡ y Y2 son L.!. en [a, bJ
W (y¡, Y2)
*' O, para toda x E
Problema con valor inicial
[a, b].
= Ecuación diferencial
+
Condiciones iniciales
Teorema de existencia y unicidad
h(x)y"
+ f(x)y' + g(x)y =
r(x), con y(xo} = Yo, y'(xo} = Yo'
*'
Donde h, f, g y r son continuas en un intervalo 1, y h(x)
O. Si x = Xo es
cualquier punto en este intervalo, ~ la solución y(x) existe y es única en !.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
a) De segundo orden con coeficientes constantes. Son de la forma:
y" + ay' + by = O; a, b = constantes, cuya ecuación auxiliar o característica
es : A2 + aA + b
O
=
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RDEN SUPERIOR
269
RESUMEN
a2
-
4b
>
-
4b
=O
~ Al
-
4b
<O
~
2
Si { a
2
a
ellas puede
O ~
Al
*"
= 1..
raíces
A = x ± i~, raíces
2,
ción diferencial
nante de orden
1.
Al
*"
CASO
2.
Al
= 1..
CASO
3. A
reales
iguales
complejas.
1..2
2
= a + i~
~
=e
aX
Y
+ B sen
~x).
+ by
= O; a, b E:: R.
general:
CASO
1. m,
*"
CASO
3. m
=a
m2
+ i~
de encontrar
1) Suponer
~
Y
una solución
c) Ecuaciones
= xa [A cos ln xfj
de la forma y
= xm.
con coeficientes
any(n)
+
an_ly(n-l)
+
anmn
+
an_lmn-I
+
Ecuación auxiliar:
n raíces .
ln xfj J
x = e'.
de orden arbitrario
Son de la forma:
+ B sen
la solución:
2) Usar la transformación
iniciales
(A cos ~x
b) Ecuación de Cauchy-Euler.
Es de la forma: x2y" + axy'
Ecuación auxiliar o característica:
m2 + (a - 1) m + b = O
Formas
Xo
diferentes
general:
CASO
Solución
=
reales
exSolución
. Si x
raíces
1..2,
constantes.
= o.
+ a2m2 + a.m. + a¿ = O, que
+
+
a2y"
alY'
+
aoy
tendrá
es
única en 1.
a:
característica
~
la solución
es y
= emx
(el
+
C2X
+
C3X2
+ ... +
Si hay raíces iguales y también raíces diferentes,
riores a los grupos de mi que convenga.
cnxn-l)
se aplican
los dos casos ante-
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270
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
4. Seleccionar la
en el interval
Ecuaciones lineales, no homogéneas de segundo orden
Solución: y
= r(x)
+ f(x)y' + g(x)y
Son de la forma: y"
AUTOEVALUACIÓN
A. 2 senh2x,
= Yh + yp
B. 2 coshi6,
Formas de obtener yp: a) coeficientes indeterminados;
variación de parámetros.
a) Método de coeficientes indeterminados:
b) método general:
ver el cuadro de la página 243.
c.
1, eX, xe-
D. lOglOX,
1
In
b) Método de variación de parámetros:
Suponemos como solución y = UYl + VY2, donde Yl y Y2 son solución de la
ecuación homogénea correspondiente, y u y v tienen la forma:
u
~
J
=yp
Y2r(x)
dx
W(Yl, Y2)
= -Yl
J
v
Y2r(x)
-Wdx
+ Y2
=
f
A. Son 1.D.
dx.
B. Son 1.1.
c. Son L.1.
Autoevaluación 4
D. Son 1.D.
1. Usar la sustitución apropiada para resolver: y" - y'
= O,
con y(O)
= 2,
= 1.
y'(O)
y coshx
2. Escoger la opción que contiene la solución general de la ecuación:
Y
"
--y
1,
2
8. Resolver y"
x2
X
2
2
=- + - +
B. y
=
D.
4Cl -
1
242
= e-tan. Cl(x
x = ci tan=! (y
y
7. Enunciar el
I
=YY
A. y
c.
e-X sen 3x, e
6. Escoger la o
mediante el
Ylr(x)
dx
W(y¡, Y2)
J -W
Ylr(x)
5. Encontrar el,
9. Seleccionar
4y" + 16y'
Cl
tan
.J
4Cl -
1
(x
+ C2) -
1
-
+ C2)
+ Cl)
3. Dadas las funciones cos x, cos (x - 1), cos (x + 1) averiguar si son linealmente independientes o linealmente dependientes.
= eB. y = e¡e
c. y = e¡e
D. y = e
A. Y.
2
x2
/
10. Resolver: 9:
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271
AUTOEVALUACIÓN 4
4. Seleccionar la opción que contiene soluciones linealmente independientes
en el intervalo {l, 2].
A. 2 senh 2x, e 2X, e - 2x
B. 2 cosh i6, ei0, e - io
ln x
In 10
D. lOglOX,
5. Encontrar el wronskiano de las siguientes funciones :
e-X sen 3x, e-X cos 3x, 1.
6. Escoger la opción que muestTa la dependencia o independencia lineal,
mediante el wronskiano, de las funciones: cosh x, eX.
= eX senh x
W =1
A. Son L.D. porque W
B. Son L.I. porque
C. Son L.I. porque W
eX _ e-X
y senh x
= ---2
= eX cosh x
eX _ e-x
D . Son L.D. porque W = O, ya que senh x = - - -2
y cosh x
eX
+ e-X
= - - -2
7. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones.
8. Resolver y"
+ 3y' -
4y
= O.
9. Seleccionar la opción que contiene la solución general de:
4y"
+ 16y' + 17y = O
x
x
A. y=e- 2 X(Acos-+Bsen-)
.
2
+ C2ex/?
y = c e- 2X + C2xeX/2
B. y =
C.
2
c 1e- 2X
1
D. y = e x / 2 [A cos ( - 2x)
10. Resolver : 9y" - 6y'
+ B sen (-2x)]
+Y=
O
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272
ECUACIONES
11. Resolver:
12. Elegir la opción que contiene
,.".'1'_
.:0:1
.
= 2x
B. y
= e" (A
C. y
= e" (--
D. Y
= x (cos ln x
i,,""'1
+ B sen
2x
GOS
cos 2
GOS
e
2 -
~
t'
13. Demostrar
,~,,,
~;éi=
,~~
"
"1
1
solución
2
18. Hallar
sen 2x)
e
-
1
seri In
19. Escog~
X2)
=
que x
e' es una transformación
de la ecuación de Cauchy-Euler.
correcta
para
encontrar
.."'~~
2
la
A. y:
tI
14. Escoger
la opción
Al"j,¡1
~~
y:::i
y"
l
1
1•
= O.
y' (1)
2x)
+ --sen
2x
2
I
"
b,.
J
= 1,
y(1)
D.
¡;.;1,."
l')
de:
.1;
1'1''
,C••
"1¡
•
particular
- x2
.1
AUTOEVALU
C. y-
iniciales
A. y
SUPERIOR
B. Y
la solución
+ 5y = O
con condiciones
DE ORDEN
+ 4y = O
xZy" - 3xy'
x2y" - xy'
DIFERENCIALES
que contiene
+
y/v - 7y'"
A. y
= e" (e,
B.
=
y
x
cle
X
COS
+
C2
sen x)
la solución
17y" - I7y'
+
C3e.-x
+
+
= e"
D. y
= e.e" +
15. Resolver la
y"(O) = O.
=O
B. y
c4e3X
c2ex
+
e2x
ecuación
(C3
+
c.
= 2x· + x2
-
y'" - 3y"
+ y'
- 3
= 0,
con
y(O)
de coeficientes
= 2,
y' (O) = 6,
indeterminados:
20. Escog¡
y" -!
A. y:
8x.
la solución general de la siguiente ecuapor el método de coeficientes indeterminados:
obtenida
4
y "-g-y=r-2.
= cle-2x/3
y:
D. y'
17. Escoger la opción que contiene
ción diferencial,
B. y=
C. y.
+
C2e
=
C4X3)
16. Hallar la solución general por el método
A. y
6y
de:
+ C2ex + c3e2X + G.e3X
(e, + C2X) + G3e2X + c4e3X
C. y
u" - y
general
2x/3
-
9 x 3 - -243 x
4
8
-
+ -9
2
D. y
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2:73
AUTOEVALUACIÓN 4
9
243
9
4
8
2
- -x! - - x+ -
C. y
2
9
= CI cas 3"2 x + c2sen3"x-;¡x
2 1
2
D. Y = e- x 3 (CI cas - x
3
3
27
- eX
2)
+ C2sen-x
-
9
+ 2"
9 3
27
- x - - - x
3
4
8
9
+2
+~y = - ~e
18. Hallar la solución general de: y" - y'
16
XI4
4
+~x
16
19. Escoger la opción que contiene la solución general de:
y" _ 25 y'
2
+ 6y =
A. Y = e el1x
I
lOe X - 4senx
20
8
16
+ e e l/2x - - ex + - cos x + - sen x
2
11
21
J05
1
e l2x (A cas - x
2
C. y
=
D. y
20
= - -e
11
20
x) - - - eX
2
11
8
16
cas x - - - sen x
29
145
I
-
+ B sen -1
--
20. Escoger la opción que contiene la solución general de :
y" - y' - 6y = 10 cas2x - 4X2
A . y = cle
+ C2xe-
3x -
2x
e- 2x (A cas 3x
B. y
=
C. y
= -Cle' + c2e 3x
25
26
20:
25
- -- cas2x
26
+ B sen 3x) -
+ -2
3
2
2
x -- x
9
25
- - cas 2x
26
r
5
26
+ -2
3
27
+ -2
25
5
- - - cas 2x - - - sen 2x
26
26
D. y = - - - cas 2x - - - sen 2x
7
+--
2
2
x - - x
9
3
2
7
X2 - - X + -9
27
+ -2
3
2
2
x - - x
9
+ - 727
+ - 727
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274
ECUACIONES
21. Resolver por el método de coeficientes
y " - 2'y
+ y = 3--2x
25
e + -3
y(O)
DE ORDEN
DIFERENCIALES
indeterminados
la ecuación:
= 1,
= UYl +
••.~,.".
f
A. u=-1
.1'
lIe;""'1'";".
I,•.• :r1'"l"
.
B. u " ,."'3
nA,!
,
1"
~"
~
I
.,.
l' I
,,f
I,:;,~,I
.,II_¡k"
~,.' , I
sea solución de la ecuación:
y hallar
+ 6 sen
y" -
3y'
que
la solu-
2x.
y v para que
= 9x sen 2x.
5. W=6. B. El
v = e"
f
xsen2xdx
v
=3
f
C. u= 1
v = 3e3x
D. u = el
v
Por
ope
xe-3x
sen Zx dx
7. Ver el
8. y
= C2e3X
=
C1e
I
,:el'
24. Encontrar la yp de la siguiente ecuación:
y" -
~,::f;¡'
~~~:
~~
= C3
4. C. No
indeterminados
y'" - y" + y' - y = Be-X
de la ecuación:
VY2
3. Son L.
C2
= O.
y'(O)
23. Escoger la opción que contiene la forma que deben tener u
yp
AUTOEVALU!
.
., . 1es:
sen 2x, para 1as con ditcrones
InICIa
22. Resolver por el método de coeficientes
ción general
SUPERIOR
1
- y
4
= 3reXj2
9. A. La
25. Escoger la opción que contiene la solución de:
x2y" + xy' ~ y
x(2 - In x), con condiciones iniciales:
=
,~~I
= -~,
y(l)
A.
8
y
= c.x=' +
B. y
= cle-
c.
=-
y
x
B
C2x
+ ~ (- ~ + 5 In x
4
2
- ln2 x)
4
2
+ !.... ( _ ~ + S In x 4
D. y = ~ (~~
2
+ SIn
In2 x)
13. Ver te
x).
Respuestas de la autoevaluación 4
l. y
= eX +
rea
y f
eió
In2 x)
2
x -ln2
11. ~
12. D. La
+ c2ex + ~ (- ~ + S In x -
_1_
4x
4
10.
=~.
y'(l)
1
14. C. La
Yl
de
1
15. y =-
5
2. B. La opción A representa y' y no y. Las opciones e y D no respetan las
constantes.
16. y = c1e
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275
AUTOEVALUACI6N 4
3. Son L.D. porque
C2
= C3 = l.
Cl COS x
= C2COS (x -
4. C. No es la opción A porque 2 senh x
que 2 cosh!O
= elo + e - iO.
1)
+ C3 cos (x + 1),
= e2'" -
e-
2x
para Cl
= 2 cos 1,
. No es la opción B por-
Ni la D porque loglo x
= -lnlnx
--o
10
5. W = - 30e- 2x .
6. B. El wronskiano antes de aplicar las identidades es
eX (senh x - cosh x).
Por ello, las opciones A y B muestran un resultado incompleto. La
opción D no tiene sentido.
7. Ver el texto.
9. A. La opción B sería el caso de Al
=-
2 Y 1..2
1
= -.
2
En la opción C se
mezclan las formas de solución. En la opción D se intercambian los
valores de o: y ~.
12. D. La opción A supone que la solución es del tipo de raíces diferentes y
reales. La B muestra una solución general, sin condiciones iniciales
y falta aplicar t = In X. A la opción C también le falta la transformación.
13. Ver texto.
14. C. La opción A supone raíces complejas. La B supone raíces desiguales.
y la D mezcla conceptos y pone un término como si la ecuación fuera
de Cauchy-Euler.
1
9
27
15. y = - e3x + - c os x + -- sen x.
555
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276
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
17. A. La opClOn B supone raíces iguales de la ecuación auxiliar. La opción
C supone raíces complejas y la yp tiene un error algebraico. La D lo
mismo.
19. A. La opClOn B supone la solución de la homogénea con raíces iguales.
La opción C supone raíces complejas de la ecuación auxiliar. La opción
D presenta la YP, le falta sumar la y".
20. C. La opción A considera raíces iguales a la ecuaClOn auxiliar y le falta,
un término de la Yp, La opción B considera raíces complejas de la
ecuación auxiliar y también le falta un término de la Yp, La opción
D está incompleta, le falta sumar y".
21. y = -
10
-T
3
22. y = Glex
eX -
2
-
3
x eX
+ 3~x + -4
3
+ G sen x + G3 cos X 2
2e -
GOS 2x - sen 2x.
x
+ -2
5
sen 2x
+ -4
5
GOS 2x.
23. B. La opción A representa - Yl Y Y2. La opClOn C contiene a Yl y al
wronskiano de Yl y Y2. La opción D presenta los términos cuya combinación lineal da y".
24. YP
=e
x 2
/
(r - 3r
+ 6x -
6).
25. C. La opción A no aplica las condiciones iniciales. La opclOn B supone
la solución exponencial sin efectuar la transformación t = In x. La D
representa la YP . ·
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277
BIOGRAFíA
Leonardo Euler (1707-1783)
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278
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Leonardo Euler
En 1707 nació en Basel, Suiza, un nmo que sería años más tarde el mejor
alumno de Juan Bernoulli y, finalmente, el matemático más prolífico de todos los tiempos: Leonardo Euler.
Su padre, pastor calvinista, a pesar de tener cierta formación matemática,
deseó que su hijo estudiara teología. Sin embargo, la facilidad notoria del muchacho para la ciencia pura lo encaminó hacia las matemáticas. Con todo, la
educación de Euler resultó completísima, abarcando disciplinas tan variadas
como la teología, la medicina, la física, la astronomía y las lenguas orientales.
A los 20 años, recomendado por los Bernoulli, Euler fue invitado por la
emperatriz Catalina 1 de Rusia para ocupar la cátedra de medicina y fisiología
en San Petersburgo. Aceptó, pero, poco después de su llegada, quedó como
catedrático en matemáticas, puesto que conservó hasta 1741.
Durante esta estancia Euler perdió el uso de su ojo derecho; suceso que de
ninguna manera alteró su producción diaria de descubrimientos ya que, como
comentara el académico francés Arago : "Euler calcula sin esfuerzo aparente,
tal como el ho'mbre respira, o el águila se sostiene en el aire". Es sabido también que hacía matemáticas al tiempo que jugaba con sus niños.
En 1741 aceptó una invitación de Federico el Grande y dejó San Petersburgo para irse a Berlín donde vivió hasta 1766, fecha en la cual regresó
definitivamente a Rusia en donde murió en 1783.
La producción de Euler no sólo fue enorme en tamaño, sino también en
variedad. Le debemos avances en mecánica celeste, hidráulica, construcción
de barcos, teoría de la música, etc... Su intuición genial lo llevó a inventar
buena parte de las notaciones que usamos hoy en día, a establecer algoritmos
nuevos y a manejar formalmente ciertas expresiones hasta obtener resultados
tan sorprendentes como el famoso ei1r• + 1 O, ' que contiene los 5 números más
importantes de . la matemática. Su nombre quedó relacionado con todas las
ramas de esta ciencia, por ejemplo, en ecuaciones diferenciales inventó el método del factor integral.
Las obras completas de Euler ocupan 75 volúmenes de tamaño respetable,
lo que lo coloca, sin lugar a dudas, en el primer lugar en cuanto a productivi dad . Es de notar que este gran hombre pasó sus últimos 17 años en la ceguera total sin que por ello decreciera el ritmo de su trabajo creativo. Para
eso, escribió sintéticamente sus pensamientos en un pizarrón, del cual algunos
discípulos copiaron a su vez los resultados. La leyenda relata que el día de su
muerte se acercó al pizarrón poco después de haber encontrado algo de importancia y escribió: "Ich sterbe" (me muero) y cayó muerto.
=
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279
COMENTARIOS
Comentarios
"Días creó el número entero, lo demás es
obra del hombre".
Kronecker.
Anécdota
Euler creía en Dios. Cierto día, Diderot fue a visitar la corte rusa, invitado
por la emperatriz Catalina de Rusia (1773). La conversación de Diderot era
liberal, amena y con tendencias ateas. Esta desenvoltura divertía mucho a la
emperatriz, pero no tanto a sus ministros, que le pidieron cortara por lo sano
la exposición de doctrinas sospechosas. La emperatriz utilizó un ardid: hizo
saber a Diderot que un ilustre matemático había conseguido demostrar por
álgebra la existencia de Dios y que deseaba presentarle su demostración ante
la corte. Diderot aceptó de buen grado. El matemático (que era Euler)
anunció solemnemente con perfecta convicción:
a
+ bn
"Caballero, - - - = x, luego Dios existe; ¡respóndame!"
n
Diderot, que no sabía nada de álgebra, quedó atónito y desconcertado,
mientras la corte entera se reía. Su regreso a Francia fue inmediato.
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280
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
COMENTAR
Propiedades metafísicas del número 4
HORIZONTA
Representa el principio de realidad, fundamento de la ciencia de los números
y causa de permanencia. Para Pitágoras contiene en sí el fuego del 1, el aire
del 2, el agua del 3 y la tierra del 4.
Es la materialización de la virtud divina en el hombre, la Afirmación y la
Negación, la Discusión y la Solución. Representa el esfuerzo en la mano de
obra, y la voluntad en el pensamiento.
1. Determi
más funcione:
dientes o no. I
2. Dios de
griega. Gran
la famosa fór
3. Abreviat
Primeras letr
Numeración
••
O
maya (aprox. 300 A.C.)
•
1
-
••
- - •••
5
8
12
10
15
,~
•
20
•
•
400
4. Filósofo
de la razón
tanteo
5. Preposic
tiran.
6. Negació
¿Qué expresión contiene
cada uno de estos símbolos una y sólo una vez?:
O, 1, i, e,
TI;
Euler era intuitivo y, a veces, no ahondaba
por eso, le sucedían cosas así:
1
+1~ dx=-~
_1
2
x
¿Es posible este resultado
X
negativo?
en la precisión de sus resultados,
1
=-1-1=-2
-1
7. Quirúen
de Rusia. C
romanos.
8. Pieza d
9. Termin:
de seda estr
10. Comer,
en su clase.
Si hay error, ¿dónde está?
VERTICAL
1. Fin de
OM.
2. Natura
Tierra del
3. Termi
Consonante.
significa:
ción.
4. El
"l~fp·
,;¿'~~.:?,
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281
COMENTARIOS
HORIZONTALES
5. Consonante. Vocal. Ocio en francés.
1. Determinante para encontrar si dos o
más funciones son linealmente independientes o no.
2. Dios de los vientos en la mitología
griega. Gran matemático alemán autor de
la famosa fórmula ei 1/" + 1
O.
=
3. Abreviaturas de: eminencia y capital.
Primeras letras de erosión.
4. Filósofo alemán, que escribió "Crítica
de la raz6n pura". Lejano, apartado, distante.
5. Preposición. Separan, distancian, re ·
tiran.
6 . Negación. Habiten, vivan. Consonante.
6. Astrónomo alemán famoso por sus
tres leyes sobre los movimientos de los
planetas, una de las cuales es: Los planetas
giran alrededor del sol formando elipses
en las que el sol ocupa uno de los focos.
Pronombre personal.
7. Vocales.
aniquiló.
Cinta
10. Comercio al por mayor. El primero
en su clase.
10. Uno de los cuatro palos de la baraja española. Diez por cien. Consonante.
CRUCIGRAMA
1
2
3
4
5
6
VERTICALES
1. Fin de semana, vacación, en inglés.
~M.
2. Natural de Roma. Habitante de la
Tierra del Fuego.
3. Terminación genérica de los alcoholes.
Consonante. Preposición inseparable que
significa: por causa, en virtud de. Conjunción.
4. El que anda vagando de noche.
a justició,
9. Emperador romano, céleLre por su
crueldad y el incendio de Roma. Nula,
inoperante, inútil.
8. Pieza de artillería. Río de Rusia.
aumentativo.
elaboró,
8. General macedonio, hijo de Filipo II,
de sobrenombre: Magno.
7. Quinientos en números romanos. Río
de Rusia. Cuatrocientos seis, en números
romanos.
9. Terminación de
de seda estrecha .
Realizó,
7
8
9
10
1---1--
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5
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de segundo orden
"El secreto, según Chiang, consistía en que
Juan dejase de verse a sí mismo como
prisionero de un cuerpo limitado, con una
envergadura de 104 centímetros y un rendimiento susceptible de programación. El
secreto era saber que su verdadera naturaleza vivía, con la perfección de un número
no escrito, simultáneamente en cualquier
lugar del espacio y del tiempo. Juan se
dedicó a ello con ferocidad . .. "
Juan Salvador Gaviota.
R. Bach.
Aplicaciones geométricas
Para encontrar ecuaciones de curvas que satisfacen ciertas propiedades se usan
ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Ot:::-a propiedad es la relacionada con el radio de curvatura de una curva.
Si y = f(x) es una curva dada, entonces su curvatura está dada por la
ecuación:
: 2831
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284
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
(1 + (y' )'-)3/2
Y el radio de curvatura es r = - - _.
I y" I
EJEMPLO 1
Hallar la ecuación diferencial de la familia de elipses con centro en el
origen y cuyos ejes coincidan con los ejes de coordenadas.
Solución:
La ecuación de una elipse con ejes a y bes:
Derivando las veces que sean necesarias para obtener una ecuación, tenemos:
2b 2x
+ 2a y y' =
yy'
=
b2
En la ecuación original: - 2 X2
a
2
O
b2
--x
.
a2
+ y2 = b2,
bl - y 2
de donde
yy'
= - (
sustituyendo:
b 2_y2
2
)
X
X
Tomando otra derivada:
+ y' (xy' + y) = 2yy'
xyy" + xy'2 = yy'
xyy'
11
Y
y'2
= -
y
Y
- -
x
es la ecuación diferencial no lineal pedida.
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APLICACIONES GEOMÉTRICAS
285
EJEMPLO 2
Si el radio de curvatura de una curva y = f(x) en un punto es
= [1 + y'2pl2j y" Y la longitud de la normal desde dicho punto al eje x
es YV 1 + y'2, encontrar las curvas con la propiedad de que el radio es
proporcional a la longitud de la normal. (Observar la diferencia entre
k=1yk=-1.)
r
Tomemos k
= 1, entonces:
[1 + (y'/FI 2
-=-------.:.~~
y"
1
+ y'2 =
= y V1 + (y 'Y
y" Y
Mediante reducción de orden:
dz
1 +Z2=yz __
dy
1
zdz
dy
+ Z2
Y
Integrando:
como z
dy
= dx' entonces:
dy
---::--:--- = dx
e/ y2_1
y por sustitución trigonométrica, la nueva integral da:
elevando al cuadrado y ·despejando y, tenemos:
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286
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
6. Encontrar
el
esta curva es
rencial: y"
que representa una familia de catenarias.
Tomemos k = - 1, entonces:
+ y'2y/2 = -
(1
de donde
yy"
La expresión
yy"
+ v" +
1 = O.
+y
proviene
'2
.,,...•. ,
·'1'·..
·1-
~"".1''''
¡l,A,,'
"
~ l
t"
"
+ v"
y",
entonces:
- CI)
= O,
~~,~
lIe;" ;",
,1' "1'-
,,,'
y'¡ 1
+ x = CI
+ (x
y dy
=
de derivar yy',
yy'
OSCILADO RES
integrando
de nuevo: y2 + (x - CI? = C2, que representa
circumjerencias
con centro en el eje x.
la familia
de
7. Hallar una e
que el área'
sus puntos, 1
área bajo die
Sugerencia: e
x - y/y' . ,
Respuesta:
y2
8. Encontrar la
Ejercicios 5.1
de su tangen
j
1. Hallar la familia de curvas cuyo radio de curvatura
Respuesta:
(x + CIY + (y + C2? = k',
es constante.
Respuesta:
2. Hallar la familia de curvas con la propiedad
en cualquier punto es igual a la longitud
su mismo sentido.
Respuesta:
y2
+ (x
-
cIl
de que su radio de curvatura
de la normal en dicho punto y en
anterior
Respuesta:
cuadradas.
pero en sentido opuesto.
/'
2cly eCIX+C2
+
= e2(CIX+c2!
1.
10. Hallar la lo
4. Hallar la familia de curvas con la propiedad
tura es proporcional
Hallar el ár,
curva es tan
ción diíerenc
= C2.
3. Lo mismo que en el problema
Respuesta:
9.
y
al cubo de la longitud
de que su radio
de la normal.
de curva-
que pasa po
Respuesta:
Respuesta:
y2
= 2CI
(x
1
+ C2? + --k-o
2CI
Osciladores
5. Hallar la familia
de curvas para las cuales el radio
que la normal (considerar I y" I como
veces mayor
Respuestas:
para I y" I
ejes paralelos al eje y.
Para
-y",
x
y
= y",
4ClY - 4c/
= a (e - sene)
= a (1
- cose)
= (x
+ C2?,
de curvatura
+ y").
parábolas
es dos
Movimiento arrn
con ejes con
o
cicloides.
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287
OSCILADORES
6. Encontrar el área bajo la curva y = f(x) y sobre el eje x, sabiendo que
esta curva es tangente al eje x en el origen y satisface a la ecuación diferencial: y" = see y'.
Respuesta: La curva es: y = x sen- 1 x
es 0.3565 unidades cuadradas.
+ .,j 1 -
X2 -
1, Y el área pedida
7. Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de tal manera
que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de
sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje x, sea proporcional al
área bajo dicha curva, acotad~ por el eje x y la ordenada de este punto.
Sugerencia: el punto de intersección de la tangente con el eje x es:
x - y/y' .
Respuesta:
y2k_l
= ex.
8. Encontrar la curva cuyo radio de curvatura es proporcional a la pendiente
de su tangente.
9. Hallar el área bajo la curva y = f(x) y sobre el eje x, sabiendo que esta
curva es tangente a la recta y = 4 en x = O Y satisface la siguiente ecuación diferencial:
y
"
y'
=..,¡;¡=y-.
Respuesta: La función es y = 4 cuadradas.
X2
y el área pedida 32/ 3 unidades '
10. Hallar la longitud de la curva y = f(x), desde x = O hasta x = 1, sabiendo
que pasa por el punto (O, 1) Y que y" = (eX + e- X)/2.
Respuesta: 1.1752.
Osciladores
Movimiento armónico simple (oscilación libre). Se rige por la ecuación:
d 2x
m-=-kx
dt 2
o
d 2x
-dt + a x = O
2
2
'
para a 2
= -mk
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288
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
donde - kx es la fuerza de restitución del resorte. La solución de esta ecuación tiene
la siguiente forma:
x
con amplitud
= Cl cos at + C2 sen at,
x = V c/ + c/, periodo 21t/ a seg y frecuencia -
a
ciclos/ segundo.
2n
Movimiento amortiguado (oscilación libre) . Se rige por la siguiente ecuación:
d 2x
dx
m -=
- kx - b b>O
2
dt
dt'
d 2x
dt
--2 + 2n -
o
dx
dt 2
+ a2x =
O, 2n
b
=- ,
m
cuya ecuación auxiliar es:
m2
+ 2nm + a
2
= 0, m = - n + .Jn
Cuando n 2 > a2, la solución es x
sobreamortiguado;
= c e t + C2effl2t
m
l
l
2
-
a2 •
y el movimiento se llama
para n 2 = a 2 , la solución es x = c¡e m" + c 2em" Y el movimiento se llama críticamente
amortiguado y se expresa x = e,e ml + eieml,
y si n 2
= a la solución es x = e-nI(el
2
,
eos
.Ja
2
-
n 2t + C2 sen
.Ja
2
-
n 2 t) y el movi-
miento se llama subamortiguado .
En los tres casos se observa que cuando t
~
00,
el desplazamiento x
~
o.
Oscilaciones forzadas
Si se aplica una fuerza exterior sobre el sistema, la ecuación diferencial es :
d 2x
dx
m-=
- kx - b - +F(t)
2
dt
dt
2
. b
k
dx
dx
2
_
o
2n = - , a2 - _
dt 2 + 2n dt + a x - F(t),
m
m
La solución general es x(t) = Xh + X p , donde la solución Xh tiene siempre el
factor e- nt, el cual tiende a cero cuando t tiende a infinito; por eso Xh se llama
solución transitoria. Si F(t) es periódica, entonces Xp se llama solución estacionaria,
Si una oscilación forzada llega a una amplitud máxima, la frecuencia im··
pulsora recibe el nombre de resonancia.
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289
OSCILADORES
EJEMPLO 1
Una ll anta de masa m cuelga de un resorte. Una vez conseguido el punto
de eq uilibrio, se su elta la ll a nta con una velocidad inicial Va a una distan cia Xa d ebajo de la posi ción de equilibrio y simultáneamente se le
aplica una fuerza ext erna F(t) dirigida haci a aba jo. E ncontrar la ecuación
del movimiento. (Considerar la resistencia del aire).
x= o
Figura 5.1
Se toma como posItIva la direcc ión hacia abajo d el eje x y se tien e en
cu enta la fricción del aire (resistenci a proporcional a la velocidad d e la
masa) .
En cualquier tiempo t, hay tres fuerzas que actúan en el sistema:
F(t) es la fuerza ext erna medida en e l sentido positivo.
F, = - kx, k > O es la fuerza de restitución del resorte (ley d e Hooke).
Fb ~ - bx', b > O es la fu erza debida a la resistencia de l aire y actúa
siempre en direcc ión opuesta a la velocidad; por e llo ti end e a re tardar
el movimiento.
F , y F b son nega tivas porqu e van en sentido opuesto al eje x considerauo.
Por la segunda ley de New ton, la fuerza neta qu e ac túa sobre la masa
(masa) (ace leración ).
es: F
=
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290
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Entonces: F = Fr + Fb + F(t) representa la aplicación de todas las
fuerzas sobre la masa m. Es decir: mx" = - kx - bx' + F(t)
o sea x" + 2nx' + a2 x = f(t),
donde :
2n
= !!....,
a = ~, f = F,
m
m
m
2
es la ecuación que rige una oscilación forzada. Las condiciones iniciales
del proceso son: x(O) = xo y x'(O) = Vo.
EJEMPLO 2:
A un resorte, que se estira 50 cm al aplicarle una fuerza de 4 N, se le cuelga un peso
de 19.6 N. A este peso se le aleja de su posición de equilibrio jalándolo 1 m hacia
abajo. Si se suelta el peso, estudiar el movimiento en los casos: a) No hay
resistencia del aire, b) si la resistencia del aire es 8dx/ di Y c) si además de la
resistencia del aire hay una fuerza aplicada al peso de 80 sen 2t.
El peso W del objeto es 19.6 y.como W = mg, la masa
w 19.6
m = - = - = 2kg
g
9.8
a) Sea x el alargamiento del resorte, por la ley de Hooke Fr
este caso: F r = 4 N para x = 0.5 m.
Entonces
en
k-~
- 8.
- 0.5 Fb
Además
= kx;
=O y
F(t)
= O.
d2 x
La ecuación del sistema es: m - 2
=-
o sea
x"
dt
cuya solución es: x = el eas 2t
kx
+ 4x = O
+ e2 sen 2t.
Aplicando las condiciones iniciales : cuando t = O, x = 1 Y x' = O se
obtiene el
1, el = O. Por tanto: x = eas 2t representa un movimiento
=
oxmónico de amp1itud 1m,
~- := !.- =
2rr.
rr
+ perio d o: 22n
0.318ciclasj segunda
= n seg
'
y f
recuanCla:
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291
OSCILADORES
b) En este caso, la ecuación es:
d 2x
dx
m--=
- kx - 8 dt 2
dt
X"
cuya solución es: x
+ 4x' + 4x =
O
= e- 2t (el + e2t).
Aplicando de nuevo las condiciones iniciales:
x
= e _2t (1 + 2t)
El factor de amortiguamiento es e-l!.
c) En este caso, tenemos la ecuación:
d'x
dx
m-- = - 8x+80 sen 2t - 8 dt"
dt'
x" = - 4(x - IOsen2t) - 4x',
x"
Su solución es x
=
Xh
+ 4x' + 4x = 40 sen 2t.
+ Xp,
donde:
Xp
Xh
= -
= e- 2t (el + C2t)' y
5 cos2t.
Para las condiciones iniciales dadas:
x = e- 2t (6
+ 12t)
- 5 cos 2t,
La partee- 2t (6 + 12t) representa un movimiento transitorio y-S cos 2t
es el movimiento estable.
Ejercicios 5.2
l. Un resorte cuelga verticalmente; su extremo superior está
mo inferior pende una caja que pesa 196 N. Una vez
tira de la caja hacia abajo haciéndola desplazar 0.25 m
biendo que k = 80 N/m y que la resistencia del aire
fijo y del extreen equilibrio se
y se suelta. Saes despreciable,
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292
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
hallar: a) la ley del movimiento de la caja y b) el tiempo necesario para que la caja se
mueva desde la posición inicial hasta 0.0625 m por debajo de la posición de
equilibrio.
CAíDA
LIBRE Y LEY
7. Dos pesos igua
ellos se despre
gerencia: x(O)
Respuestas: a) x = (cos 2t)j4
b) t
2. Resolver
1 suponiendo
el problema
a) de vj4 y b) 4v.
Respuestas:
Respuesta: x
= 0.659 segundos.
que hay una
a) x = e-1/160t(0.25 cas 1.996t
resistencia
del aire:
+ 0.00078 sen 1.996t)
8. Una cadena de
soporte hacia a
cadena cuelga
lizarse toda la
Respuesta:
3. Una masa de 98 N de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que ~ = 4.9 N/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza de
y = sen..J2i, t metros.
Respuesta: x =
- 0.7.J2i
0.49 - 2g
sen O.7t
+
0.49
0.49 - 2g
sen-l2it.
4. Se suspende
una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533
metros. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio
con una velocidad inicial de 1 m/ seg dirigida hacia arriba. Hallar el movimiento
resultante si la fuerza debida al aire es de 80v newtons.
Respuesta:
x
= (e-51
-
e-31)j2.
5. Supongamos que al sistema del problema anterior se le aplica una fuerza
externa: I(t)
10 sent. Hallar el movimiento resultante de 'la masa.
=
9
Respuesta: x = - --
20
e-31
+ --25
52
e-51
+ --1
130
(7 sent - 4 cost},
6. De un resorte que tiene una constante k = 50 se suspende un peso de
49 N. El peso se pone en movimiento desde el reposo, estirándolo 0.98
metros hacia arriba de la posición de equilibrio y aplicando una fuerza
externa f(t) = 10 sen 2t. Si no hay resistencia del aire, hallar el movimiento del peso.
Respuesta:
x
=-
0.98cos
foil -
0.21 sen .,¡yot
1
+ -sen2t.
3
=
t:;=
9. Se cuelga de un
0.6125 metros.A
1 m hacia arriba
que hay una res
Respuesta:
r
=
10. Un resorte cue
de mkg. Si la
está sin alargar.
Respuesta:
VI
Caída libre y le
Se va a considerar
por dos fuerzas: la
cional a la veloci
la masa permanec
Por la segunda
La fuerza de la
g = 9.8 m/seg2•
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CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
293
7. Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte. Si uno de
ellos se desprende, hallar la ecuación del movimiento del otro peso. Sugerencia: x(O)
b.
=
Respuesta:
x
= b GaS
/'f;
t.
8. Una cadena de 8 metros de longitud se desliza sin rozamiento, desde un
soporte hacia abajo. Si el movimiento se inicia en el momento en que la
cadena cuelga 1 metro del soporte, hallar el tiempo que tardará en deslizarse toda la cadena.
Respuesta: t
= 2.49
segundos.
9. Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que el resorte Se alarga
0.6125 metros. A esta masa se la aleja (aparta) de su posición de equilibrio jalándola
1 m hacia arriba y se la suelta. Hallar el movimiento resultante de la masa, sabiendo
que hay una resistencia del aire de 16v
Respuesta: x = e - 4 ' (-1 - 4t).
10. Un resorte cuelga verticalmente. En su extremo libre se coloca una masa
de m kg. Si la masa se mueve con velocidad Va m / seg cuando el resorte
está sin alargar, hallar la velocidad en función del alargamiento.
k
Respuesta: v 2 = 2gx - -
m
X2
+ va
2
•
Caída libre y leyes del movimiento
Se va a considerar la caída vertical de un cuerpo de masa m que está afectado
por dos fuerzas: la aceleración de la gravedad y la resistencia del aire proporcional a la velocidad del cuerpo. Suponemos que tanto la gravedad como
la masa permanecen constantes y que la dirección positiva es hacia abajo.
Por la segunda ley de Newton:
dv
F = ma = m --.
dt
La fuerza de la gravedad dada por el peso w del cuerpo es: w = mg, donde
g
= 9.8 m / seg
2
•
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294
APLICACIONES DÉ- LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La fuerza debida a la resistencia del aire es - kv, k ~ O, negativa por ser
opuesta a la velocidad; k es la constante de proporcionalidad. Entonces la
fuerza neta sobre el cuerpo es:
F= mg - kv
o sea
dv
m - - = mg - kv
dt
de donde
Tt+
dv
k
m v=g,
es la ecuación del movimiento del cuerpo. Si la resistencia del aire es despreciable, entonces k
O Y la ecuación es:
=
dv
dt
-=g.
La velocidad lírrúte se define así:
VI
=
:g .
Si la resistencia del aire no es proporcional a la ve10cidad sino al cuadrado
de la velocidad u otra relación, entonces las ecuaciones deben modificarse.
EJEMPLO 1
Un paracaidista junto con su paracaídas cae partiendo del reposo. El
peso total es w kilogramos. Sobre el
sistema actúa una berza debida a la
resistencia del aire que es proporcional a la velocidad. Si la caída es
vertical, hallar :
¡
kv
a) La ecuación del movimiento.
b) La ecuación con los siguientes
98 kg, Y k
10.
datos : w
=
w=mg
=
c) La distancia recorrida por el paracaidista.
a) La fuerza neta e3:
F = mg - kv
/
Figura 5.2
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295
CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
dv
m-- =mg-kv
dt
de donde
dv
k
=
y -. +- v
g es la ecuación diferencial del sistema con las con di_
dt
m
ciones siguientes: para t
O, v
O.
=
=
La solución de esta ecuación es:
mg
v = - - (I - e- ktjm )
k
b) w
= mg = 98 kg.
Entonces m
: . v = 9.8 (1 - e- t ), cuando t ~
98
= -= 10 kg, g = 9.8 m/seg
9.8
00,
2
v se aproxima a mg que es la velocik
dad límite constante.
c) Como v
dx
= dt
tenemos:
dx
mg
= -(1 k
Con condiciones iniciales: x
e- ktjm ) dt
= O para t = O.
y para los datos del inciso b):
x
= 9.8 (t + e-
t
-
1).
EJEMPLO 2
Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación:
d 2x
dx
-+9-+20x=0
df
dt
A partir de un punto a 2 m a la derecha del origen, la partícula en el
tiempo t
Oseg se dispara hacia la izquierda con una velocidad
v = 12 m/seg. Hallar:
=
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296
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
a) El tiempo en que la partícu la pasa por el origen.
b) El desplazamiento máximo negativo.
c) La velocidad máxima (posit iva).
Solución:
La ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es:
+ 9A + 20 = O
A2
con raíces Al
=-
4, A2
=-
5.
Por tanto, las ecuaciones del desplazamiento y de la velocidad, son:
Encontramos los valores de el y e2 mediante las condiciones iniciales; aSI:
para t = O ~ x = 2
Y también para t
=O ~ v =-
12,
C•1 --
- 12= - 4c¡- 5c 2
e2
a) Cuando la partícula pasa por el origen: x
4e- S !
1
ffitlltip licando por _
2
= 2e -
_?
-
= 4.
= O. Entonces :
4!
eS!
t = ln 2 = 0.6931 segundos.
b) El desplazamiento máximo negativo se dará cuando v
= O.
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297
CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
= 20e- 5t ~ t = ln 2.5.
x = - 2e- 41n2 .5 + 4e-51n2.5
= - 2 (2.5)_4 + 4 (2.5)-5
Be- 4t
Entonces:
X
= _
(2.5)-5
=-
0.01024 m.
c) La máxima velocidad se tendrá para:
dv
dt
- - = - 32e- 4t + IODe- sl =
JOOe- SI
t
de donde
Entonces
v
=
O
= 32e- 41
= In (25/8).
8e- 41n (2S j8) _ 20e- S1n¡2S j8¡
__8 (25)
_4 - 20 (25)
-s
8
8
= 5(25 / 8)-S
v
=
0/)]677 m / seg.
Ejercicios 5.3
1. Hallar el ti empo necesario para qu e un cuerpo ca iga a la Tierra desd e
la a ltura de 400000 kilóm etros si la altura se mide desde el centro de la
Tierra y sabiendo qu e su radio es 6400 kilóme tros aproximadamente.
R es puesta: y2y"
=-
k, t
= 122
horas .
2. Una partícula se mueve a lo largo del eje .r de acuerdo con la ' ley :
d 2x
-
dt
2
dx
+ 4 - + 13.r =
dt
O
=
Si esa partícula empieza su movimi ento en .r
O, con una velocidad inicial
d e 6 metros por segundo hacia la izquierda, hallar : a) :r en función de t.
b) Los tiem pos en qu e se producen las paradas.
Respuestas: a) .r = - 2e - 21 sen 3t.
b) t = 0.33
nn:
+-
3
radi anes, n = 0,1 ;'!,3, .. .
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298
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
3. Una partícula de masa m se mueve por el eje x con una fuerza de repulsión que es inversamente proporcional al cubo de la distancia desde el
punto Xo al origen. Determinar la ley del movimiento.
4. Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con una velocidad v. Durante
la caída, el -c uerpo experimenta una resistencia que es proporcional al
cuadrado de ola velocidad. Hallar la ecuación del movimiento.
m
Respuesta: x = - In cosh
k
fIg
-
m
5. Si en el problema anterior m
t.
=
=
=
4 kg, g
9.8 m l seFf, k
3.673. Hallar:
a) la velocidad al cabo de dos segundos. b) El tiempo necesario para caer
a una distancia de 8 metros.
Respuesta: v
= 3.26mlseg, t = 2.68
segundos.
6. Un hombre y su barca pesan 98 kg. La fuerza ejercida en la dirección
del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble
de la velocidad. Determinar: a) la velocidad 20 segundos después de que
la barca haya empezado a moverse. b) La distancia recorrida al cabo de
esos 20 segundos.
Respuesta: a) v
= 2.4 mlseg, x = 36.97
metros.
Circuitos eléctricos
Se puede establecer la siguiente analogía entre un sistema mecánico y un
circuito eléctrico :
Sistema mecánico
Circuito eléctrico
d 2x
dx
m- 2
kx - b - + F(t)
dt
dt
Desplazamiento: x
dxldt
Velocidad: v
Masa : m
Amortiguamiento: b
Constante del resorte: k
Fuerza externa: F(t)
d 2q
dq
1
L= - R - - - q + E(t)
df
dt
c
Carga: q (culombios)
Corriente: 1 = dqldt (amperios)
Inductancia: L (henrios)
Resistencia: R (ohmios)
Capacitancia: C (faradios)
Voltaje aplicado, fem, E(t) (voltios)
=-
=
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299
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Tendremos presentes las siguientes leyes:
Segunda ley de Kirchhoff : la suma algebraica de los cambios de potencial
en el recorrido de cualquier malla de un circuito es cero.
Es decir: el voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de
las caídas de voltaje en el resto del circuito.
La caída de voltaje a través qe la resistencia es: IR.
La caída de vohaje a través de la induct;lllcia es: L dI.
dt
1
La caída de voltaje a través del condensador es: - q.
e
EJEMPLO 1
=
Un circuito tiene una fem R
100,e- st voltios, una resistencia de 10 ohmios
y una capacitancia de 0.02 faradios. Si q(O) = O, hallar : a) la carga y
la intensidad de la corriente en cualquier instante t, b) carga máxima
y el tiempo necesario para obtener la carga máxima.
Voltaje proporcionado E = JOOe- St •
R
Caída de voltaje en la resistencia
IR = 101.
Caída en el condensador
q/ c
=
q / 0.02
=
= 10
E
50q.
a) Por la segunda ley de Kirchhoff:
10 1
+ 50q =
JOOe -
st
C = 0.02
F igura 5.3
dq
,
como 1 = dt
entonces:
dq
10 dt
o
dq
+ 50q =
-dt + 5q =
JOOe- St
lOe- St con q(O)
cuya solución es : q
'
= lOte - Sto
=°
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300
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La intensidad de la corriente es I
dq
1= dt
dq
= -,
dt
es decir:
= lOe-S! - 50te- S! = lOe - SI (] -5t)
dq
b) La carga máxima ocurre cuando : dt
=O
entonces:
lOe - 51 (1 - 5t)
= O, t = 0.2 segundos
Para este ti empo, la carga es:
q
2
= 2e- 1 = - = 0.735 culombios.
e
EJEMPLO 2
Un circuito consta de una inductancia 1 = 0.25 henrios, una resistencia
R =] ohmio, una capacitancia e = 0.2 faradios, una fem E = JO sen 2t
voltios y un interruptor k. Hallar: a) la ecuación diferenoial de la carga
en cualquier momento t . b) La carga y la intensidad de la corriente en
t si al cerrar el interruptor en t = O, la carga es nula.
Caída en la resistencia IR
= 1.
Caída en la inductancia
dI
dI
L - - = 0.25 - - o
dI
dt
e
E
Caída en el condensador
1
q
q
-= =5q.
e 0.2
= 0.25
Figura 5.4
a) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:
dI
1+ 0.25dI
+ 5q
= lOsen2!
= 0.02
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ClHCUITOS
Como /
301
EU:~CTHICOS
dq
= -dt
'
d 2q
entonces: 0.25 - dt 2
d 2q
dq
2
dt
dq
+ -- + 5q
dt
- - + 4 - - + 20q
o
dt
= 10 sen 2t
= 40 sen2t,
es la ecuación diferencial que rige a este circuito, con las condiciones
guientes: en t
0, q
0, /
O.
=
b) La solución
La solución
C¡p
=
=
SI-
es:
C¡h
es:
qh
= e- 2t (el Gas 41 +
qp
= - GOS 2t + 2 sen 2t
y la solución general es: q = e-U (el Gas 4t
C2
sen 4t),
+ e2 sen 4t) -
Gas 2t
+ 2 sen 2t.
Que para las condiciones inicial es dadas queda:
q = e- 2t (eos4t - -
1
?
sen4t) - c;as2t
+ 2sen2t.
La intensidad .de la corriente es: 1 = dq j dt ; entonces :
/ = e- t (-
3 sen 4t - 4 Gas 4t)
+
2 (sen 2t
+
2 cas 2t).
La parte transitoria de q y de 1 es: qh yq' h Y la permanente es: qp y q' p.
Ejercicios 5.4
1. Un circuito consta de una induGtaneia de L = 0.5 henrios, una resistencia
R
20 ohmios, un condensador cuya capacidad es e
0.0025 faradios y
una f em E
100 voltios. Hallar la carga y la corriente, sabiendo que en
t
O, q
O e 1 O.
=
=
=
=
=
=
Respuesta: q = 0.25 [e-"Ot (- ca~ 20t - sen 20t)
1
10 e- 20t sen 20t.
=
2.
+ 1},
=
Un circuito eléctrico consta de una induGtancia de L
0.2 henrios, una
resistencia R
4 ohmios y un condensador de e
0.01 faradios. Hallar la
=
=
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302
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
carga q y la corriente 1 en la tiempo t, si en t
1 = - 1 amperio.
= O, q = 0.5 culombios e
Respuesta: q = e- lOt (0.5 cas 20t + 0.2 sen 20t),
1 e- lOt ( - 12sen20t - cas20t).
=
3. Resolver el problema 1, sabiendo que la fem aplicada es E
Respuesta: q
1
= -[e
65
+4
Respuesta 1
_ 20t
( -
.
7 cas 20t - 9 sen 20t)
+7
= 50 cas lOt.
cas 10t
sen lOt].
1
= -[e-~Ot (320
65
+ 40
sen 20t-40 cas 20t)-70 sen 10t
cas 10t].
=
=
=
10 hernios, R
90 ohmios, e
0.005 faradios y un
voltaje E = 500 sen t. En t = O no hay carga en el circuito, pero sí hay una
corriente inicial de 0.5 amperios, hallar la carga del condensador.
4. Un c ircuito tiene L
R espuesta: q
9
= -(16ge 442
4t
-
11ge -
St
)
25
+ -(221
9 cas t
+ 19 sen t).
Flexión de vigas
Consideramos vigas horizontales a aquellas que son uniformes en forma y material. El eje de simetría (línea punteada) se llama curva elástica y su ecuación da información acerca de la flexión de la viga producida por su propio
peso y por cargas externas.
En mecánica se demuestra que el momento de flexión de todas las fuerzas
exteriores que actúan sobre la viga
está dado por:
M= El
R
É--- ---- - ---- -- --o
Figura 5.5
Donde E es el módulo de elasticidad de Young que depende del material
y del diseño de la viga, 1 es el momento de inercia de la sección transversal de
la viga en x, tomado con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro
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CUNDO ORDEN
FLEXIóN
0.5 culombios e
de gravedad de la sección. El producto
una constante. R es el radio de curvatura de la curva elástica con ecuación:
El se llama rigidez
a la flexión
y es
~---t!----~
x
[1 + (y'/P/2
R=-----y"
= 50 cos lOt.
os lOt
303
DE VIGAS
Figura 5.6
Como y' en todos sus puntos es muy pequeña,
entonces:
1
R=~
y"
n lOt
faradios y un
pero sí hay una
sador.
de ahí que:
M
= Ely".
El momento M en la sección transversal es la
mentos de las fuerzas exteriores. Suponemos que
momentos positivos y las fuerzas hacia abajo dan
y se toma positivo hacia arriba.
El desplazamiento y de la curva elástica desde
la viga.
suma algebraica de los molas fuerzas hacia arriba dan
momentos negativos, el eje
el eje x se llama flecha
de
19 sen t).
EJEMPLO
1
Viga simplemente apoyada. Una viga
uniforme, de longitud 1
5 metros,
apoyada según se muestra en la figura 5.7 se flexiona bajo su propio
peso, que es de w = 2 kgjm. Hallar
la ecuación de la curva elástica.
=
n forma y maiea y su ecuapor su propio
I~/ZZZZZZVZZZZZ~/.~
Figura 5.7
y
as las fuerzas
~~
x
l-x
O
x
wl
wl
2
2
del material
transversal de
por el centro
•Q
P
wx
.w(l-x)
Figura 5.8
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304
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Como la viga está simplemente apoyada, cada extremo soportará la mitad
wl
del peso de la viga: - = 5.
2
Tomando un punto P a una distanc:ia x del origen, observamos primero las
fuerzas qu e actúan a la izquierda de P:
•
Una fuerza hacia arriba:
wl
2
• Una fuerza hacia abajo wx en el centro de OP; entonces el momento
total de flexión en P es:
wl
x
2
wl
w
2
2
= - x - wx (- ) = - x - -
M
2
X2
Para demostrar Cjue el momento flector en P es independi ente del segmento estudiado, vamos a ver Cju é pasa en PQ. Hay dos fuerzas:
•
wl
Una fuerza hacia arriba - a una distancia 1- x de P.
2
•
Una fuerza hacia abajo w(l - x) a una distancia - -- de P.
2
l-x
Entonces:
M
u;!
= 2
(1 -
M = wl x _
2
(l-x)
x) - 1(;(1 - x ) - -
2
~r
2
y
(igual que antes)
=
Sustituyendo el valor de M en la ecuaClOn M
E/y", teni endo en cuenta
que y
O cuando x
O Y cuando x = l, tenemos :
=
=
E/y"
.
= wl2 x _
1(' X 2.
2
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305
FLEXIóN DE VIGAS
Integrando:
,
wl 3
w 4
E/y = - x - - x
12
24
+ex+c
1
2
.
3
Para las condiciones dadas
C2
wl
= 0, = - -.
24
el
Por tanto:
y
.
= -~
(- x
24EI
4
+ 2lx
3
-
[3x)
y en particular para este caso:
Y
.
1
12E/
= - - (_x 4
+ 1Ox
3
-125x).
EJEMPLO 2
Viga cantilever. (Apoyada en un extrelllo y libre en el otro.) Una viga
uniforme de longitud l = 5 metros y con w = 2 kg/m tiene libre un
extremo. Hallar la curva elástica y la flecha del extremo libre.
!I
x
o
...
l-x
----t------==========----------¡~------¡_--+x
Q
w(l-x)
Figura .5.9
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306
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Para calcular M es más sencillo estudiar el segmento a la derecha de P,
en el que actúa la fuerza w(l- x):
M
=-
l-x
w(l- x) ( - - )
2
Sustituyendo en la ecuación: M
= -w
-(l-xy = 2
=
(5 - xY.
Ely", tenemos:
"
- w(l- xy
E/y =
2
'
'con las condiciones siguientes : cuando x = 0, y =
la tangente y' = O.
°
y la pendiente de
Integrando:
Ely'
Para x
= 0,
y'
= 0,
= -w2 . -31 (1- xl + el
e l = -W- 1
3
entonces
6
Integrando de nuevo:
Ely = - -w (l - x )4 - -W
24
Para x = 0, y = 0, entonces
e =
2
Ely = -
W
_
24
y
Z3
6
w
_
24
x
+ e2
y
l4
xr _ 6 f3 x + 24
(l _
W
W
l4
W
= - - (- x 4 + 4lx3 - 6f2x!).
24El
La flecha será la deformación máxima que ocurre cuando x = 1,
_
Ymax -
-
W
--
8 El
14
•
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307
FLEXIÓN DE VIGAS
En particular, para este caso, la curva elástica es:
Y
1
= - - (12EI
X
4
+ 20x3 -
150r)
625
y la flecha:
Yma..r
= 4EI
- hacia aba¡·o.
EJEMPLO 3
Una viga horizontal de 8 metros de longit.ud está empotrada en un ex~
tremo y apoyada en el otro. Hallar: a) la ecuación de la curva elástica
si la viga tiene una carga uniforme 4 kg/ m y soporta un peso de 100 kg
en el punto medio·. b) El punto en el cual la flecha es máxima.
y
i
1
.1---------- l-x--------_~I
1<11
1
I
1
1
2
:
1
'+-- (1 o
l.
x) - - - - - -...
~I
1
1
1
l- x
~I
1
1
- (1 - x)
2
l. .1
.,.....-l-x:- - - -..
~I
.1
2
1
1
1
:Q
1
1
x
e
w(l- x)
Figura 5.10
Consideramos dos intervalos: O
respectivamente.
< x < 1/ 2
a) Las fuerzas que actúan en PIQ son:
e
Q situada a (l - x) metros de PI; la carga
y l/ 2
<x<
l, para PIQ y P 2 Q
hacia arriba (desconocida) en
w (1- x) kg en el punto medio
1
1
2
2
de PIQ situada a - (1 - x) metros de PI, y 100 kg a (-1 - x) metros de PI'
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308
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Entonces:
El y" = C (l - x) - w (1 - x)
El y"
= C (1 -
x) - ;
(l -
~
(1 - x) -
xl -
100
10
(~
(~
l - x),
l - x).
Integrando:
E1 y ,
Para x
1 C (1 - x) + - (l - x) + 50 (-1 l = - -2
6 2
W
2
J
x )2
+ el
= O, y' = O,
El Y '
= - -21 e,(1 -
x) 2
+ -W (l -
_
x) 3
6
1 - x )2 +1- C [2
+ 50 (-1
2
2
50 F.
4
u; [3 _
6
Integrando de nuevo:
[
3
E ly= -le (-x)
6
- -e
24
W
-j _ (1
- ('l2
,
2
[
50( 1 l - x) 3
- x)4 - 3
w [3 - -6
-50 12 ) x
4
2
+ ez
Como y(O) = O, entonces:
w (l - -y) 4 - 50( -1l - x) 3
El Y = -1 C (l - x )3 - -
ti
24
+ (~C[22
W
6
3
[J- 50
4
[2) x
2
+ ~[4
24
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309
FLEXIóN DE VIGAS
Para los valores dados:
El Y
1 C
1
50)3
= -6
(8 - x) - - (8 - x) - - (4 - x + (32C 6 3
3
1024
- 800)x
4
3
2048
3200
+- +- - -e 25.6 .
333
Las fuerzas que actúan en P2Q son C en Q a (1 - x) metros de P2, la
1
carga w(l - x) kg a .- (1 - x) metros de P 2 • Entonces:
2
El y"
= C(l- x) - ; (1 - xl,
El y'
= - ~ (1 -
El y
xl +
= (;e (l- x? -
~ (1 - x/ + el,
w
24 (1 -
xl +
+
elX
e2.
Los va lores de el y e2 deben coincidir con los obtenidos antes. Por tanto:
E l Y = -e (1 - x) 3 - -w (1 - x )4 + (-C
6
24
2
W 13 - 50
. - -- 12)x
[2
6
4
W 14
50 13 - -e 13 .
++24
24
6
Para los valores dados:
El y
.
e
= -
6
(H -
1
.lY - -- (H - .l}
6
2048
3200
+ -- + -- -
+ (32C -
e-
33:;
Si tomamos .r = f para y
=
3
256.
0, se obtiene la fuerza C:
() = l. (-e 12 - -w
2
1~4
- - - H()())x
6
/3
2
3 W
50
e
- 50
-- l) + 1 (- 1 + - - - )
4
24
24
6
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310
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
DE VIC
3. Una viga hori
de donde:
e
= l..- wl + 125 = 173 .
8
Sustituyendo
4
en las ecuaciones
Y
Y
FLEXIóN
1
24EI
= --
= --
1
libre en el otr
a) la ecuació
4
Respuestas: a)
anteriores:
(355r - 2184r - 4X)4), O <x<
24EI
+ 2616)..2
(25600 -19200x
b) La y máxima de la flecha
de la viga. Tomando y' = O:
16x3
+
- 45x3 - 4x4); l/2
se presenta
b)
l/2,
a la derecha
4. U na viga hari
< x < l.
-
tremos. Si tie
ecuación de l
del punto
medio
Respuesta: y
135r - 5232x
+
=
tiene la raíz real x
4.45 aproximadamente,
a la que está situada la flecha máxima.
=O
19200
e indica
la distancia
al origen
5. Resolver el pr
de la viga.
Respuesta:
-
24
y=
Ejercicios 5.5
1
241
1. Una viga horizontal de 9 metros de longitud está empotrada
en ambos extremos. Hallar la ecuación de su curva elástica y su máxima deformación
vertical cuando tiene una carga uniformemente
distribuida
de 1 kilogramo
por metro.
6. Una viga suj
Respuesta.
.
_
1
y - -24EI
3.4
(35x - x - 2.I87)x,
Ymax
.
_
-
-
37179
--o
128EI
2. Una viga horizontal simplemente
apoyada tiene una longitud de 10 metros
y un peso despreciable
pero sufre una carga concentrada
de 40 kilogramos
que está a una distancia de 2 metros del extremo izquierdo (origen). Hallar
la ecuación de la curva elástica.
Respuesta:
Respuesta:
y=
\ 3~I(4x3-+400X),
y =
tud y varias
cargas de w
metros del ex
máxima.
O<x<2.
<
( _1_ (-16x3
·3EI
+ I20r + 400x),
2
< x < 10
-
-
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311
FLEXIÓN DE VIGAS
3. Una viga horizontal de 8 metros de longitud está empotrada en un extremo y
libre en el otro. Si la carga uniformemente repartida es w
4 kg/ m, hallar:
a) la ecuación de su curva elástica. b) La flecha máxima.
=
1
Respuestas: a) y = - - (- 384r
+ 32x
3
x').
-
6 El
b) Ymax
=-
2048
- -o
El
4. Una viga horizontal de 12 metros de longitud está empotrada en ambos extremos. Si tiene una carga uniformemente distribuida de 3 kg/m hallar la
ecuación de la curva elástica y la flecha máxima.
Respuesta: y = -
r
8 El
( -144
+ 24x -
~
1~
x), Ymax = - -El'
5. Resolver el problema 4 si además actúa un peso de 20 kg en el punto medio
de la viga.
Respuesta:
y=
1
---::24 El
( - 792x2
1
---(648x2
24 El
+ 112r - 3x
+ 32x3 Ymax
4
),
O <x< 6;
3x4 - 8640x
= -
+ 17280),6 <
x < 12.
342
--o
El
6. Una viga sujeta en un extremo y libre en el otro tiene 6 metros de
tud y varias cargas: una carga uniformemente repartida de 2 kg/ m
cargas de w
10 kg aplicadas cada una en los puntos que distan
metros del extremo fijo. Hallar la ecuación de la curva elástica y la
máxima.
Respuesta:
=
_ 1_ ( _ x4
12 El
y=
+ 64x3
_ 576x2, .o <x< 2,
1
- - (160 - 240x - 456.¿
12 El
+ 44x 3 - x')
_ 1_ (24x3 _ 216:r _ x' - 1200x
12 El
804
Ymax
= - El'
"
2 <x< 4
+ 1440),4
< x <6,
longiy dos
2 y 4
flecha
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312
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SECUNDO OHDEN
Otras aplicaciones
EJEMPLO 1
Cable colgante. Un cab le de peso despreci a ble sostien e un puente uniforme.
Det erminar la form a Cjue adopta el ca bl e.
La ecuación diferen cial de un cabl e suspendido es :
1
dW
H
dx
Dond e H es la fuerza hori zontal aplicada en el punto más bajo del cabl e
y W es la ca rga verti cal tota l.
En el e jemplo propuesto, la carga es uniforme, ento nces: dW j dx
consta nte y la ecuac ión es:
d 2y
k
dX2
H
=k
es
con condi cion es : y'(O) = O Y !feO) = a ( const ante qu e representa la distancia del punto mús b a jo de l ca bl e a l piso de l pu ente).
Integra ndo:
dy
k
dx
I-J
- -=- x
P ara y'(O)
= O tenem os
Cl
= ()
+C
l
y:
k 2
Y
. = -2I-J- x + c2
Para !I (O)
= a te nemos = a.
(' 2
En ton ces :
k
1' = -2 J-J- x2 + a'
.1
es la ecuación de un a famili a d e par,íbola s; por ta nto , e l ca bl e adopta la
forma de parúbol a.
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313
OTRAS APLICACIONES
EJEMPLO 2
Péndulo. El péndulo simple consta de una masa m suspendida de una
vari ll a de longitud l y masa despreciable. Suponiendo que el movimiento
se realiza en un plano vertical, determinar e l ángulo de desplazamiento 8
y el periodo de vibración.
E l arco s de un círculo de radio l que
se abre un ángu lo 8, cumple la si guiente igualdad:
I (}
y la aceleración angular es:
Por la segunda ley de Newton tenemos:
Figura 5. 11
da una fu erza tangencial qu e pu ede igualarse con la otra fu erza que representa la componen te tangen cial d el peso w. Entonces:
es decir :
dze
g
dt
l
-- + 2
sen e = ()
'
para valores peCJu eños e1 el ángu lo 8 se pued e consid erar CJu e
e ntonces:
(Fe
g
+ -8=(]
de
I
cuya so lu ción es:
8
J¡g
= el sen'lj{T7
I + e2 cos'lj T t
e=
sen 8.
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314
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
.
.
El periodo es T
=
Jf =
{l
21t
21t
\!g '
EJEMPLO 3
Un cilindro circular recto de 2 metros de radio está verticalmente sumergido en agua cuya densidad es 1000 kg/ m 3 . Si se empuja hacia abajo y
se suelta tiene un periodo de vibración de 1 segundo. Hallar el peso del
cilindro.
Sea positiva la direcc;ión hacia abajo. Y sea y metros el movimiento del
cilindro en el tiempo t. Según el principio de Arquímedes: Todo cuerpo
sumergido, total ()' parcialmente, en un fluido experimenta un empuje hacia
arriba igual al peso del fluido desalojado. Entonces la variación que corresponde a la fuerza de flotación es:
Por Jo tanto:
W
d2 y
g
dt
-= -40001ty
2
(ley del movimiento vibratorio)
donde W es el peso del cilindro y
g = 9.8 m / seg 2 , es decir:
Figura 5.12
d2 y
39200
dt"
W
-- + - - 1 t y =0
A2
Y
39200 1t -+--w-
= _+
V
1392001t/ Wi
= el Gasv 39200 ít/ W t + e2 sen V39200 1t/ W t.
Vemos que eJ periodo es:
o sea 1
, A
O
2V 1tW
21t
V39200 1t/ W
--
..J 39200
39200
= 2V1tVV
,
de donde W = - - = 3Il9 kg.
39200
41t
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315
OTRAS APLICACIONES
Ejercicios 5.6
l. Una cuerda cuelga de dos extremos fijos. Determinar la forma de la cuerda
si su densidad es constante.
H
w
.
Respuesta: y = - Gosh - x es una Gatenana.
w
H
2. Un péndulo de 1/5 metros de longitud se suelta con una velocidad de
1/ 2 radián/ seg, desde un extremo situado a 1/10 radianes respecto de la
vertical hacia dicha vertical. Hallar la ecuación del movimiento.
1
Respuesta: 8 = - GaS 7t
10
1
+-
14
sen 7t.
3. Una cadena colocada sobre un clavo grueso pende 1 metro de un lado y
2 metros del otro. Si la cadena está resbalando, hallar el tiempo que tarda
en caerse si el rozamiento es despreciable.
Respuesta: y =
t=
~ (Gas hj!j t {3 In (3 +
V2g
1),
.J8) =
0.69 segundos
4. Resolver el problema 3 si el rozamiento es igual al peso de 0.5 metro de
cadena.
Respuesta: t =
J!g
In (5
+ 2.J6) = 0.897 segundos.
5. Una caja cúbica de 2 metros de lado flota en agua. La caja sube y baja
con un periodo de 1/2 segundo. Si la densidad del agua es 1000 kgjm 3
hallar el peso de la caja.
Respuesta: W
= 496.5 kg
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316
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Karl Friedric:h Gauss (1777-1855)
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BIOGRAFÍA
3]7
Karl Friedrich Gauss
Niño prodigio, Gauss nació en Brunswick, Alemania. A los 3 años cornglO un
error de sU!lla en las cuentas de su padre y a los 10 resolvió instantáneamente
un problema que su maestro planteó a la clase para tener un momento de
tranquilidad. Se trataba de sumar todos los números del 1 al 100, y el muchacho
lo resolvió encontrando mentalmente la fórmula m(m + 1)/ 2 y sustituyendo
en ella. Su genio \legó a ser famoso y el duque de Brunswick decidió ayudarlo
económicamente. Así fue como Gauss obtuvo su doctorado en Helmstadt,
habiendo hecho la mayor parte de sus estudios en Gottingen .
A los 19 años Gauss vacilaba entre dedicarse a la lingüística o a la matemática. Su descubrimiento de cómo construir un polígono de 17 lados con
puras herramientas euclideanas, lo decidió a favor de esta última. Es menester
recordar aquí que el problema \l evaba 2000 años sin haberse resuelto. Este
hallazgo corresponde por otra parte al primero de 146 resultados encontrados
después de su muerte en su diario personal.
En su tesis doctoral, Gauss dio pOI primera vez un a demostración rigurosa
del teorema fundamental del álgebra. Su gen io fue tan variado como riguroso y
se dedicó en un principio a la teoría de los números, que desarrolló enormemente, demostrando entre otras cosas el te·orema fundamental de la aritmética.
Se interesó también en la astronomía donde, gracias a su método de los mínimos cuadrados y s-u gran facilidad de cómputo, predijo con éxito la posición
de Ceres. En geometría, creó el primer modelo no euclideano y en electromagnetismo, demostró su cél ebre teorema. En ecuacion'es dife renciales, Gauss
dio su nombre a la hipergeométrica que abarca como casos particu lares otras
famosas ecuaciones.
Es curioso el hecho que a pesar de su repugnancia por la enseñanza, considerando que los buenos alumnos no requieren de un maestro y qu e los malos
no tien en por qué estudiar, Gauss marcó el principio de una é poca gloriosa
para la matemática de su país con la aparición de una pl t'yade de genios,
discípulos suyos o influenciados por sus trabajos. En cambio durante su juventud, se encontraba en Alemania como un gigante en un desi erto yeso se
comprueba con la pregunta que alguna vez harían a Laplace: "¿Qui én es el
mayor matemático alemán?", a lo que contestó: "Pfaff ... " "Pero, ¿y Gauss?"
"¡Ah, Gauss es el mejor matemático del mundo!"
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318
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
COMENTARIOS
Numeración g
Comentarios
Voy y vengo
por mi biblioteca,
donde mis libros son ya luz, como los otros,
igual que por mi sueño adolescente;
y quien viene es quien quise -quien
s011éentonces que viniera -la mujer, el hombre-o
El mediodía pone solitario
el alrededor, donde
hablo, sonriente, con los que me ignoran, porque tengo,
en círculo distante, lo infinito.
Juan Ramón ]iménez (Fragmento:
La obra)
A'
1
B'
2
1\.'
A'
20
30
~'
T'
200
300
Ejemplo:
I
=
He aquí un teorema de Gauss: la ecuación xn - 1
O se puede resolver mediante raíces cuadradas o, de modo equivalente,
el polígono regular de n vértices se puede construir con regla y compás, cuando n sea un número primo
de la forma siguiente:
n
22k + 1, k
1,2,3, ...
y otro más: toda ecuación de grado 11 tiene al menos una raíz en los números complejos.
Modelos de exposición sencilla y clara, aunque la demostración
rigurosa sea
bastante densa.
=
=
PREGUNTA:
¿Quién
inventó
Propiedades
el telégrafo
eléctrico?
metafísicas del número 5
Representa
el fuego VIVIente, de acción circular. Pitágoras
lo llama varón y
hembra, alianza esencial, lo insuperable,
lo inconquistable,
lo que es justo por
esencia y no admite disputa. Representa
el deseo en la mano de obra y la
purificación
en el pensamiento.
Promete intuición
para penetrar
las causas
primeras y las razones últimas, impulso para buscar y encontrar.
282
Cinco por och
¿Verdadero
o
La matemá
"Grandes" de
hasta los 76,
Platón, que II
y, según se d
un teorema,
bablemente el
pudo haber vi
un problema,
cuela a los ci
siguió trabaja
otra fuente:
Se pueden
(78), Legen
Hadamard. (9:
La matem
(muere a los
enfermedad),
¿Podríam
los "grandes"l
las facultades
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•.
SEGUNDO ORDEN
COMENTARIOS
319
Numeración griega, aprox. 400 a.e.
uiensoñéel hombre-o
ignoran, porque tengo,
4
E'
5
F'
6
Z'
7
A'
30
M'
40
N'
50
3;'
60
O'
T'
300
y'
400
$'
X'
500
600
B'
1\.'
20
~'
200
nto:
t:,.'
2
Y'
3
A'
1
H'
8
6'
TI'
Q'
70
80
90
P'
100
<j¡'
700
Q'
1l'
800
900
9
l'
10
,A
1 O()O
La obra)
Ejemplo:
uede resolver meregular de n vérun número primo
282
= a1t~ (también
Cinco por ocho cuarenta,
¿Verdadero
usaron las letras minúsculas).
más siete, igual a 49.
o falso?
na raíz en los núSolución:
5 X 8.40
+ 7 = 49.
ración rigurosa sea
La matemática y la longevidad
lo llama varón y
que es justo por
ano de obra y la
netrar las causas
ntrar.
"Grandes"
del panteón matemático:
Leibniz
vivió hasta los 70 años, Euler
hasta los 76, Lagrange hasta los 77, Laplace hasta los 78 y también Causs,
Platón, que llamó a la matemática
muleta de la filosofía, medicina del alma
y, según se dice, no permitió que pasara algún día de su vida sin descubrir
un teorema, vivió hasta los 82 años; Newton hasta los 85; Arquímedes,
probablemente el que más se acerca en genio a Newton, vivió hasta los 75, pero
pudo haber vivido hasta los 100 de no haber sido degollado mientras resolvía
un problema, por un soldado impaciente e irritable; Pitágoras abrió una escuela a los cincuenta y tantos, se casó con una joven a los sesenta y tantos y
siguió trabajando con igual energía hasta el final, cuando tenía 99 años (según
otra fuente: 86 años).
Se pueden citar también: De Morgan (70), Cantor (73), Peano (74), Galileo
(78), Legendre
y Hilbert
(81), Weierstrass
(82), Dedekind
y Borel (85),
Hadamard
(98) y otros.
La matemática no pudo remediar las naturalezas débiles y enfermizas: Abel
(muere a los 27, víctima de da tuberculosis),
Riemann (a los 40, de la misma
enfermedad),
ni otros azares: Galois (muere a los 21 en un duelo).
¿Podríamos encontrar alguna explicación al- hecho de que la mayoría de
los "grandes" pasara de los 70 años? ¿Hay en el mundo estudio que lleve todas
las facultades de la mente a un ejercicio tan armonioso y completo?
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320
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
5. Nom bre prop io de mujer. Alabé.
HOHIZONTALES
1. Viga su jeta e n un extremo y e l otro
e n voladizo.
6. Aboga dillo , picapleitos
Símbolo de l Nitrógeno.
2. Cólera, furia . D ivinidad gri ega que
rep rese nta a la Luna.
7. !Vlazorcas de maíz verde. Donad.
8. Cada uno d e los libros sagrados primitivos de la India. Sí mbo lo de l Argón. (Al
revés) utilizo.
.3. (Al revés). Dirigirse. Templos orientales.
4. Ext remo in ferior de la an te na. H id rocar b uro gaseoso natural , sa tura d o ac íc li co,
qu e se despre nd e de los pozos d e pe tróleo.
9. Pequeiío d e tamaiío, c hi co . Lago salacio de Rus ia.
10. :'Iluelle, fuerza e lásti ca de una cosa.
Símbolo de l Molibd e no.
5. Utilizo. Nombre de co nsonant e. O, u,
de lo con trario (en inglés).
6. Voca l. Carruaje anti g uo. Consonante.
CRUCIGRAMA
7. He rm a nos d e l padre o de la madre.
Conju nción. Voca les.
2345678910
R. Aparato para producir osc il aciones .
2
9. Labi érn ago, arbusto o leáceo. Símbolo
de l ox ígeno. Ilustre familia de artistas alemanes de los sig los XVII y XVIII.
3
t-+--
4
.5
10. Sím bolo d e l Hoclio. Cuerpo
oscila suspendido d e un punto.
qu e
6
7
il
VERTICALES
1. Conjun tos d e cond uctores qu e recorre
una corr ie nt e e léc tri ca.
2. Can tos, me lodías, so los. Hí o de la República Federal d e Alema nia que d esa gua
e n e l Danubio.
3. Sím bol o de l Sod io . Barroco, recargado.
4. Conso nant e. Sím bo lo del Fósforo. De
es ta manera. En música , a breviatu ra de
piano.
(femenino).
9
10
t-+--+-
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6
Resolución de
ecuaciones diferenciales
mediante series
Introducción
¿Se puede d emostrar que :
1
1 - -
2
1
111
+ -3 - -4 + -5 - -6 + .. . =
In 2 ?
Escribiendo de nu evo la expresión del lado izquierdo en su forma de serie de
potencias (más general), tenemos:
x3
x'
x5
x6
23456
X2
x - - + - - -+- - - +
la cual es una serie convergente en: - 1
<
x
~
"
')
1
Derivándola término a término:
resulta una serie geométrica, con razón T = - x, qu e también converge y
ti ene el mismo radio de convergencia (como se vio en cá lculo). Entonces esta
seri e tiene como suma:
1
1
+
x
321
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322
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Integrando este resultado para obtener la suma de la serie que fue derivada:
I
._1 - dt
o 1 + t
x
= ln(l + t) I X= ln(l + x).
o
Concluimos :
x!
x3
x4
234
= ln(l + x) en
x - -+- - - +
Hagamos x
=
-1
< x ::::;; 1.
1:
1
1- 2
1
1
3
4
+ - - - + .. . =
ln 2
O
Como acabamos de comprobar, este capítulo nos da una herramienta poderosa para encontrar resultados notables y para resolver aquellas ecuaciones
diferenciales que se dificultan por los medios anteriores o que tengan coeficientes variables. Primero se hará un repaso del tema sobre series que se vio
en cálculo.
Definición 6.1. Una serie de términos positivos es la suma de los términos
de una sucesión:
t
an
= al + a2 + ... + ano + ...
n =l
En el curso de cálculo se demostraron los siguientes teoremas llamados:
Pruebas de convergencia de series
a) Teorema de divergencia.
Si lim an =1= O ~
n"'",
L'"
an diverge.
n=l
b) Prueba de la serie geO'rrJ'ét1'ica,
Sea
'"
La
n=l
rn - l
una serie geométrica, donde
r es la razón .
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MEDIANTE SERIES
e que fue derivada:
PRUEBAS
Si
Si
DE CONVERGENCIA
11'1 > 1
11' I < 1
y converge
DE SERIES
~
la serie diverge.
~
la serie converge,
323
a
a su suma:
1-1'
de la integral.
c) Prueba
x~ 1.
na herramienta poaquellas ecuaciones
o que tengan coefire series que se vio
= f(n), donde f(x) es continua, decreciente
Si a;
1'"
~
Si
Si
1'"
f(x)dx converge .~ ~
f(x)dx diverge ~
an converge.
an diverge.
n~
d) Series p (serie de Dirichlet).
de la forma:
t
1p
n=ln
Si P
>
1 ~
'" 1
L
-n
n=l
a de los términos
Si P
P
converge.
< 1 ~ la serie
p diverge.
e) Criterio de comparación:
.,
1) Si
L
Cn
converge
y an
< cn, para toda
n,
n=l
as llamados:
cc
~ L a; converge.
n=1
cc
2) Si
L a; diverge
y a;
> a; para toda n,
n=1
ec
~ L a;
diverge.
11=1
I) Criterio
de comparación por limite.
Sean ~an y ~bn dos series de términos positivos.
y positiva
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324
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
, an = c > O
1) Si ltm n -+t;lJ b n
~
an
'"
L
2) Si lím - = O Y si
n -+CQ b n
Ambas series ·c onvergen o ambas divergen.
b n converge,
n =l
tan converge.
~
n =l
an
3) SI ltm n -+~ b n
•
= +
I
00
y si
L
00
b n diverge,
n =l
tandiverge.
~
n =l
g) Criterio de la razón o cociente.
Sea
t
an una serie
n =l
y lím
n --+-.r..
~
I I=
a
n
1
+
an
<
L >
Si L
L
L
1 la serie converge,
1 la serie diverge,
=
1 no hay información acerca de la convergencia o diverge ncia.
Definición 6.2. Una serie alternante es de la forma:
t(-lt+1an=a1 - a2+ ... + ( - lt+1a n +
n =l
Pruebas de convergencia de las series alternantes
a) Para que una serie alternante sea convergente deben cumpHrse:
1) lím an
=
O y,
n .... "
b) Prueba de la razón, la cual -da convergencia absoluta.
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PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES
325
Clases de convergencia
'"
Si L:
(-
n=l
y
t lanl
Ir+
1
también converge,
t (- 1r+
~
a n converge
1
an es absolutamente convergente.
110:::1
t (- Ir+
Si
1
a n converge
n =l
y
t
n=1
~
lanl
diverge
t (- 1r+ a
1
n
es condicionalmente convergente.
n :: 1
Definición 6.3. Una serie de potencias es de la forma:
(alrededor de x
= a,
según Taylor),
o
t
C n Xn
11,=1
(alrededor de a
= O,
según Maclaurin).
Convergencia de las series de potencias
Teorema 1. Sea
t
cnxn una serie de potencias
11, ::: 0
~
exactamente se cumple una de las tres:
1. La serie converge solamente cuando x = O.
2. La serie es absolutamente convergente para toda x E: R (Reales).
> O tal que la serie es absolutamente convergente para
todos los valores de x tales que IXI < R Y diverge cuando Ixl > R.
R es el radio de convergencia de la serie.
3. Existe un número R
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.'326
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Definición 6.4. El intervalo de convergencia absoluta es el intervalo
abierto que contiene los valores de x para los cuales la serie de potencias
converge.
El conjunto de convergencia absoluta es la totalidad de los valores
de x para los cuales la serie de potencias converge, es decir, consta del
intervalo abierto más los extremos del mismo, en caso de que también
la serie converja en ellos.
El radio de convergencia es la mitad de la longitud del intervalo abierto
de convergencia absoluta.
FORMA DE ENCONTRAR LA CONVERGENCIA
DE SERIES DE POTENCIAS
Prueba de la razón:
<
Se toma L
1 para encontrar los valores x, en 10's cuales la serie converge.
FORMAS DE DETERMINAR EL RADIO DE CONVERGENCIA
1) R
= lím..yr¡c:¡
1
n-> oo
EJEMPLO 1
Hallar el intervalo de -c onvergencia absoluta de la serie:
Sean
Cn
=
n2
r
r y
(x - 1
c
n+l
= (n +
IY (x_l)n+l
2n+l
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327
PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE SERIES
~
lím
n -h.
= -21 Ix ·
111ím
n2
+ 2n + 1
n
n-> oo
2
+2
= -21 IX - 11 lím 2n
-. - 2n
n-> oo
1
=1
-2 Ix - 11lím 1= -2 Ix - 11= L
n-> oo
<
Como la condición de convergencia es L
~
1
--¡ Ix -1 1< 1,
-2
<
Ix - 11< 2,
1< 2
x-
1
- 1< x < 3
~
El intervalo de convergencia absoluta es (-1, 3).
EJEMPLO 2
Hallar el intervalo de convergencia absoluta de:
lím
n->oo .
I
(n + 2)/ xn+l
n
(n + 1)/ x
I = Ixllím (n + 2) =
n ->oo
Como la condición de convergencia es:
.~
1
Ixl < -00 , Ixl < O
Ixl
00
<1
¡Absurdol
Esto significa que esta serie solamente converge en x
x
O ~ Ixllím(n + 2)
O
=
n-> oo
y cuando x =1= O ~
Ixl 00
=
Ixllím (n + 2) =
n ->oo
:. la serie converge en x =
o.
00
=
O, ya que cuando
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328
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
EJEMPLO 3
Hallar el intervalo de convergencia absoluta de:
lím
n-->oo
(n + It+
xn
nn
I
1
xn+1 nn
n-->oo xn (n + 1 )n+l
= lím - - - --
= Ixllím (n + 1t(n
nn
= Ixllím
(
+ 1)
n -->~
n -->oo
n
Tomando el lím (
n -' ~
n
+1
r
n
para ver si no da
n
+1
00
I
t.lím
1
n-->", n + 1
y evitar así la forma in-
determinada oo· O, vemos que:
lím n ln (_ n_)
n
n--> oo
n+1
lím(- -t=e
n-->oo n + 1
_1_((n + + Jf n)
1) -
n
In (- - )
n +1
n
' ---l lm
n-4 C(1
=e
=e
1
= e
n
(n
, n + 1
1tm - - - -- - - - 1
lim ~ (~) n-->oo
IIm(- ~-)
n +
n-->",
1
=e
n2
1
lím ( - 1)
=e
:. Ixllím (_
n--> oo n
Haciendo
= e-
I
+ 1r
n_
_ ·lím _1_ =
n-->., n + 1
Ixl O <
1 ~
Ixl <
Ixl e-lO
00
y el intervalo de convergencia absoluta es (- 00, 00).
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PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE SERIES
329
EJEMPLO 4
Hallar el conjunto de convergencia de la serie:
(x _ 2 t +1
lím
-Y n + 1
(n
-
+ 1f +
1
- - - - - - = = - - -1
Vn
= Ix -
(n 3 + l) ~
21lím - - - - - - = = : _
n-' "
(x-2t n3 + 1
'
2 11tm
I
=x -
n -'oo
+
211ím
n -->oo
+
3n 2
1
= Ix -
+1
n3
n3
3n
+2
[(n
+ Il +
Vn
l' ~+
1
"tm
-n -.",
n
1
+-
I
3
+~
n
n " límJ 1
3
3
2
n"
n
1+ - + - + -3
n
n--> oo
21 (l) (l).
= Ix -
:. Ix - 21 <
1,
-1 <x -2<1 ,
intervalo de convergencia absoluta: (1 , 3).
Para x = 1
_1 n- 1j2
' ..¡n
' m
2 --l tm
- = ll
3
n -->oo n + 1
n -.oo
3n2
' m1- = O
lt
5j 2
n -'"
6n
Vn
- Vn+T
- - -- < -(n + Il + 1
n +1
y
3
porque
1j
[(n
3
+ 1) .",fn+T
+ Il + 1J(n3 +
(n
1)
<
+ Il + 1] Vn
._
+ 1? + 1J fn 3 + 1)
[(n
(en
1
< x < 3,
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330
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
~
converge absolutamente en x = 1
Para x = 3
5
serie p = ;;-
>1
~
Yn> -Yn
--
Como -
n
3
n
3
+
converge.
~Vn
.LJ -3 - - converge.
n=l n + 1
.~
1
:. el conjunto de convergencia es [1 , 3].
EJEMPLO 5
Hallar el radio de convergencia de la serie:
e1 j{n+l ) xn+~
lím
n -+oo
=
1-----1
=
e 1/ n xn+l
Ixllím e-1jn(n+l)
Ixllím e1j{n+l) - ljn
n~ CX)
= Ixl (1)
n -->",
~
Ixl <
1, -1
<x<
1
Intervalo de convergencia absoluta: (-1, 1).
Para x = 1
y
n -->oo
Como 1 =1= O ~
í:'" e 1jn
n=l
diverge.
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331
PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE SERIES
Para x
=
-1
lím e1jn = 1
00
,~
L
1
(-lr+ e
1jn
n->oo
{ :. diverge. Conjunto de convergencia: (-1, 1).
110=1
Radio de convergencia: R =
O bien R = n->oo
lím
= lím I
Ie
e 1/ n _l j(n +l )
I=
2
=- = 1
2
2
I
el j n
1 (n .1
j
+ )
lím
n ....-too
1-(-1)
e1j(n(n+l))
=
1
R= l.
110-+00
EJEMPLO 6
Hallar intervalo, conjunto y radio de convergencia de la serie:
(x - Sr+ 1
lím (n
+ 1)3
n
+
1
(x - Sr
n ->oo
' 1- -n3-(x-n- Sr+
= ltm
- -1
n
n ->oo
(n
I
1
+ 1) 3
+ (x - sr
n3 n
= ~
3
.~
1
Ix -
Sllím _n_ =
n-> oo
3'lx - SI <
n
1,
+1
~ Ix - SI (1),
3
Ix - SI < 3,
2
<x<
-3
8.
:. el intervalo de ·c onvergencia absoluta es (2,8).
Para x
=
8
< x-
S
< 3,
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.'332
HESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFEHENCIALES MEDIANTE SERIES
, 1
Primera pru e ba de alternantes: ltm n---) "'j
I
n :
Segunda prueba de alternantes:
= 8 la
Para x = 2
en x
n
=O
11 < I~
I
serie converge condicionalmente.
= I:"' ( -1 l
n
1"' 1
= L -,
• -
n
n=l
n=l
divergente.
n
:. el conjunto de convergencia es (2, 8].
Hadio
R
= 8 -2
2 =!!.- = 3
2'
:. R =3.
EJEMPLO 7
\
t
nI (x - 1)"
n=l
(n
+ 1) I (x
(n
lím
+
-
1yn+l
iyn+l
nI (x -
ir
,
1n -n-ltmn
P ero
lím(~)"=en ~"
".."\n + 1
n+i
2
n
' - - -- l 1m
n (n + 1)
=e
-+ Ix-l le- <
1
nn
=
Ix -
illím(
--~--)"
n ~" n + 1
ln _ n_ _
,
n + l
ltm - -- n -t'l)
=e
y
n
n
l'¡m - - -n ~oc
n+1
=e
Ix - 11< e,
1,
1
- e+ i<x < e + 1.
= e- I
- e<x -1 <e
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·!EDIANTE SERIES
PRUEBAS
DE CONVERGENCIA
R
333
DE SERIES
= _e_+_1_-_(
-_e_+_1_)= _2_e_= e,
2
Para
x
=e+1
~
~
nl e"
n
.
con ""
L..-1 divergente,
Comparando
=1
Sea kl e"
~
+
(k
tenemos:
n
Lo probaremos
k
diverge.
L..-·-n-'
n=l
para
2
por inducción:
> r, e >
11 e'
vemos
It;•
l.
,1:'"
> k":'
1)1ek+1
( 1)
> (k +
(2)
1)\ ¿será cierto?
El término por el cual multiplicamos
(1) para obtener (2) en el primer
miembro es (k + 1)e; ¿por qué cantidad
debemos multiplicar
p-l para
que resulte (k + 1]k?
(k + 1]k
x=---=(l
p_l
p_1 (x) = (k + 1]k,
que (k
Para
+ l)e >
(1
1
+ -y
k
a e.
Una sucesión
+
es creciente
Vamos a verificarlo.
si (1
+ __1
k
<x-1<e
k+2
k+1
k
)
(
k+2
k+1
k+2
k+l
---<-_.
k
+
1
k'
1
k
+
k
1
1
k
+
1
]k+l
?
1
(1 +-]k
k
k
k+1
--k- , pero
?
)
(
porque
k (k + 2)
---~<
k (k + 1)
es creciente;
y+' > (1 + -y
Comparemos:
(1
(
1
+ -y
k, vemos si (1
ser así hará una convergencia
1
+-Yk
k
)
(k
+ zy
k (k
+ 1)
pues de
para toda k.
.
J"l!\1
,
1('4"
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334
RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
PRUEBAS DE
Entonces:
k (k
k (k
+
+
2)
2)
(k
1)
k
k (k
k (k
+
+1
+ 11
k (k + 1)
(k
?
+ 2/
+ 1/
2
11=1
+ 1l
(k + 11
(k
?
k
Comparando
n=l
If,
11:::;::1
P
+ 4k + 4k > P + 3k + 3k + 1,
2
2
t "1"
,"",
I~A,!
t: '
t::,
"
4F
+ 4k > 3k + 3k +
2
. (k ++ 2)k+1 > (k + 1)k
..
k
~ lím(1
k"'",
Podemos
k
-
1
+
~)k=
11=1
1, para toda k.
6.
'
"' x"
¿;
11=1
7.
e,
k
L'" (x-
'S.
";.,,..II,d-1
Entonces
X21l
cc
¿-;¡
los numeradores:
+ 2/ > (k +
k (k
3"
cc
3. "L..J -x"
2'"
4.
,l.*1'Ir,' -
x"
cc
¿n +
2.
t(xt~
n,
n=l
establecer:
(k
+
1)e
> ek >
0
8.
+ ~)
2
n
n=1
k
k
ec
9. ¿nlx
y por transitividad
11=1
(k
+
1)e
>(1 ~jk
+
nI
ec
k para toda k,
10.
¿g;;X
11:::;::1
L
cc
y
nl en
-'-n-
es divergente,
"'
"=1 n
el conjunto
de convergencia
es (-e
+
1, e
+
1),
12.
Ejercicios 6.1
de las siguientes
Conjunto de convergencia
ec
11=.1
:t
(x
11=1
Encontrar el intervalo, el conjunto y el radio de convergencia
series de potencias:
n
"
1. "W n -+ 2 x
2
1l.¿~
n
"=l !
(-1, 1)
13.
n:::;::l
Radio
1
t(x
14.
'" "
¿~
,,=1
n!
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EDIANTE SERIES
PRUEBAS
DE CONVERGENCIA
cc
2.
'1
El
1)
2
rn
cc
4.
+
1
3n
co
'5.
2
2
(- 3' 3)
3
[-1, I]
1
(1,3)
1
[-1,1)
1
L7
n=1
~
1,
1
[-1, I]
+
n
3. L-xn n
2
n=l
'1
1'1
k
xn
2
335
DE SERIES
I: (x n=l
.,
2r
n
6. L~
n=l n
I
•
• 1,111"\1
i:
i:
(X n=l n!
8.
(x
n=! n
2
Ir
+ 2r
+1
"-
nl x"
00
(-00,00)
[-3,
1
-1]
Sólo converge
en x
=O
O
Sólo converge
en x
=O
O
n=1
10.
t
n_x
! n
gn
n=l
se
2
n
11. L -x
n=!n!
12.
e las siguientes
13.
ia
n
3t
-
yrn
2r
(x n n
2
(-00,00)
00
[2,4)
1
[0,4]
2
2
n=l
Radio
1
t(x
n=!
t
., xn
14.
(-00,00)
Lnl
n=l
•
~rtl.•••
7.
9. L
lt~
.
00
,
·~NI·
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336
RESOLUCI6N
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
tr
MEDIANTE
SERIES
n
15.
n=!
oc
(-1,1)
n
Absolutamente
convergente
para toda x =1=- O
1
n
x<00x>2
(-00, O) U (2,00)
Yn
n=! (x -
t
18.
";.,,.,IIUW\
'c.-1':r,
j,,;:~-
19.
I\¡!,.'!
",.,
"
,"
n=!
xn+'
i:
5 (x -
n
t
20.
n=l
Diverge
'"
en todos
Reales
*
los
1
n
n! (x - 3r
n
Sólo converge
3
5
en x
n
30. ~
3 n!
~--n(x
n=l
n
En los sig
convergencia
[~~)
5 ' 5
4r
n3n
n=!
l: '
Ir
+ 1)1
(n
In n
n=l
cc
L
t (x + 2)'
29. Lsen"2(:
n=l
17.
28.
e
DE
n=2
L n!x
16.
1
PRUEBAS
=3
ee
31.
¿
11=1
A.
O
B.
z
L xn
21.
(-1,1)
1
c.
(-00,00)
00
D.
[-1,1)
1
n=l
cc
2n
L ,(x
n=! n.
22.
1;(.
L
23.
-
2r
.,
xn
n In n
32.
n=l
.rn
:r.
L (-1 r 2n + 1
24.
A.
1
(-I,IJ
n=l
B.
cc
L (-lr+'
25.
L (- 1r (x
%
-
4
1
(.!,~J
3
3
n
3 (x n
n=l
26.
3r
i:
C.
3
D.
r
(3,5)
1
33.
n=l
27.
¿
11=1
¿
11=1
2
(-Ir
n=I
(n '+., 1) (x n
5)n
1
(4,6J
A.
B.
*
No
está
definido
el radio
de
convergencia
para
intervalos
de
este
tipo,
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ES MEDIANTE
SERIES
1
PRUEBAS DE CONVERGENCIA
28.
t
onvergente
"
ec
30.
[-3, -1)
1
[2,4J
1
e
e
3+-)
3'
3
3
ln n
1
29. Lsen2"(x
n=l
n
*
337
+ 2r
(x
n=2
. =1= O
DE SERIES
3n
- 3r
,
L ~.(x - 3r
n=l
e
(3--
n
os los
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene
convergencia absoluta y el radio de convergencia.
3
5
nr
=3
31.
" (3jn
L
- (x - 2r
n=l
5
A. Conjunto
o
de convergencia
B. Radio de convergencia
1
00
1
32.
C. Conjunto:
(~~)
\3'
D. Conjunto:
(~,
absoluta
R
=1
3
Y
R
=~
1; J
y R
=1
3
"
L
n
(x + 3r
(n + 1)!
n=l
1
1
3
1
33 •
A. Conjunto:
(-3,3.)
B. Conjunto:
(-00,
C. Conjunto:
[-3,3J
D. Conjunto:
sólo x
~
L..J
n=l
1
este tipo.
(n
+ 1)!
7n
(x -
=3
y R =
YR = 3
y R
(0)
= -3
Ir
A. Intervalo:
[-1, 1J
B. Intervalo:
[-1, 1)
00
1
[-,
3
el conjunto
de
.
11
¡",.
3
,,,,,,r
--y
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338
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
C. Radio: R = 1
D . Sólo converge en x = 1
'"
34."
n
~ (x -
2
4t
A. Intervalo: (3,5), R
=1
B. Conjunto: (-00,3)U(5,00)
C. Conjunto: [3, 5)
D. Sólo converge en x
35.
t
n=l
=4
n; (x - 3t
n.
1
A. Intervalo: (3 - - , 3
e
+ -1 )
e
B. Intervalo : (-3 , 3), R=3
1
C. Intervalo: [-3,3), R=e
D. Conjunto: [-3,3)
36.
i=
n=l
(x
+ 3t
n
3
3n
A. Conjunto: (-00 , -6) U (O, (0)
B. Conjunto: (-6, O], R = 1
C. Conjunto: [-6, 0), R = 3
D. Conjunto: (-00 , -6] U [O, (0)
A. Conjunto: (-1 , 1), R = 1
B. Conjunto: [-1, 1), R
=1
C. Conjunto : (-1 , 1), R = 1
D . Conjunto: [-1, l), R
=1
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339
DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIES
Respuestos:
31.C. 32.B. 33.D. 34.B. 35: A. 36. C. 37. A.
Desarrollo de una función en series
¿Cómo podremos aplicar estos conceptos a la resolución de ecuaciones diferenciales, y por qué las hemos repasado?
Hasta ahora el estudio de las ecuaciones diferenciales se ha limitado a
considerar las que tenían coeficientes constantes y coeficientes variables en las
de Cauchy-Euler, pero ¿cómo resolver ecuaciones de la forma:
f(x)y"
+ g(x)y' + h(x)y = r(x)?
Donde f, g, h Y r son funciones polinomiales, racionales o trascendentes. Después de algunas necesarias definiciones se expondrá el método de solución de
tales . ecuaciones, mediante series de potencias. Son muchas las funciones que
pueden desarrollarse en series de potencias. Para hacerlo se usa la J órmula
de Taylor:
t
¡rn)(a) (x -
ar
nI
donde f(n)(a) significa la derivada n-ésima de la función evaluada en x = a
y a es el valor alrededor del cual se desarrolla la serie. Si a = O, entonces la
serie se llama de Maclaurin.
EJEMPLO 1
Enoontrar la serie de potencias de la función:
,~
y = ln Gas x
para a = O
y = In Gasx
y(O) = ln
sen x
y = - - - = - tan x
Gas x
y' (O)
I
y" (O)
y'"
yIV
= - 2 sec x tan x
= _ 2 sec x - 4 sec x tan x
2
4
2
2
GOSO
=-
=-
tan O
sec!x
y'" (O) = O
yIV
=O
(O) = -2
=O
=-
1
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340
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
yV = -16 sec'x tan x - 8 sec 2x tan3x, yV (O) = O
yV/ = -16 sec6 x - 64 sec'x tan2x - 16 sec 2x tan'x - 24 sec'x tan2x
yVÍ(O) = -16, etc.
OxO
-+ In cos x = - -
OXl
X2
r
x'
x6
2
12
4S
Ox5
2x'
16x6
+ -- -2/ + -3/- - -4/- + -- -+ ...
1/
S/
6/
01
In cos x
Ox
3
= - - - - - - -
Algunas series pueden expresarse cómodamente por su término n-ésimo.
EJEMPLO 2
Hallar la serie de potencias correspondiente a:
1
y=x
para a
1 , O/
y=-=x
x
y (1)
,
1
1/
y=--=--
r
y"
2
2/
r
r
6
x4
y'"
y/v
Y
v
r
3/
x'
4/
= 24
r
r
120
S/
~
~
=1 -
(x - 1)
=--
=1
=1
y' (1)
= - 1/
y" (1)
= 2/
y'" (1)
=-
yIV (1)
=
yV (1)
= -sI
3/
4/
Etcétera.
-+ y
+ (x - zy -
(x -
<X>
=L(-1t(x-1t,
n=l
en 0<x<2.
q + (x
- 1)' - (x -
q + ...
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341
DESARROLLO DE UNA FUNCIóN EN SERIES
EJEMPLO 3
Hallar la serie de potencias de la
y
= ooffx
y
= coffx
y'
= - 2 Gas x sen x
y"
= -2 Gaffx + 2 sen2x
y'"
función~
~
para a = 4
= + 4 Gas x sen x + 4 sen x Gas x
= 8 Gas x sen x
y'" (:)
= ~f) ~'7}=
y/v (:)
8
=8 ~
- 8
4
~ =O
y v = -16 Gas x sen x - 16 Gas x sen x = - 32 Gas x sen x
etcétera.
Ejercicios 6.2
Representar las siguientes funciones par medio de series de potencias, en el
punto x
a indicado.
=
1. y
= IT, a = O
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342
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
2. Y
= eX, a = 1
3. y = e-x, a = O
1
4. Y = - - - , a =0
1 - x
x2n+l
00
senhx=¿ - - -
5. Y = senh x, a = O
6. y
(2n
¿
_x_
2n
00
= Gash x, a = O
Gashx=
+ 1)1
n-O
n =~ (2n)1
7. y = sen x, a = O
8.
y
= sen x,
a
9. Y = Gas x, a
10. Y
= Gas x,
1t
= -
2
=O
a· = 1t
= In x, -donde x >
para a = 1
12. Sea y
1
I~x =
¿
00
(Ir
(-lr+1 x n
n
00
13. Y
= ln (1 + x), a = O
ln(I
+ x) = ¿
(-lr+l~
n
n =l
14. Y = tan x, a
=O
3
tan x
= x + -x3
2x 5
17x1
+ -15 + -315
- + ...
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343
DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIES
15. Y = tanh- 1 x, a = O
16. y
= tan
17. y
=e
18. y
= eX sen x, a = O
_1
senx
,
x, a
a
=O
=O
19. y = xe X , a = O
20. y = eX cas x, a = O
eXcas x = 1
+ x - -r
x'
x5
- - - 3
6
30
+ ...
21. y = reX, a = O
22. y
= sen ln x, a = 1
sen ln x
+
23. y
= .yy=:x, a = O
(x 31
(x
= (x - 1) -
21
zy
zr
x
2
r
r
8
16
...;-r=x=1------ -- ---108
24. y
= rx, a = 1
..:(X = 1
5 (
+ 81
+
25. y
= e"', a = O
2
256
1
1
+-
(x - 1) - - (x 3
9
3
x - 1) -
22 (
)5
729 x -1 -
10
243 (x - 1)'
...
zy
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344
26.
RESOLUCIÓN
Y
27. Y
= In --,l+x
1- x
a
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
1+ x
=O
=2
In --
1- x
-Vx = 3 +
= yx, a = 9
MEDIANTE
SERIES
"" x2n+l
L:----n=v2n + 1
(x - 9)
_
DESARROLLO
B. 1 +
(x - 9)2
(8)33
6
C.
¿
n=O
(x - 9l
5 (x - 9j4
+-------~
(16)3
(384)]6
5
+
.,¡I#'
7 (x - 9/
(256)39
D. 1 +
31. y =
J..~,l:Ilt'lll.'
eCOS
,,·
.C: 1:r,
Lf","r
¡¡Al!
1,' '
"
"tI
,"
J
f
1
En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene la serie de la
función dada:
A. 1-
e _l
28. y =--,a
x
B. e(
X
=0
A.
L:
(-l;n-x-,n=V
n.
B.
L:
n=V
ee
n+l
co
xn
(n
C. ~
C. e(1
+ 1)1
i:
"" (x - 1;n+l
,
n.
D. -
(x -Ir
D. n=V(n + 1)!
29. y = -Vx',a = 1
A.
1
x- 1
+ --
1
x-1
2
30. Y
= e-
A.
X
f.
(1,
~
Il
3 (x -
312~
15 (x -
-
4124
Il
3 (x -
+
2
2
+ --
+
q
(x -
2
nl2n
n=2
(x - q
2122
x-1
c. ---
1 .3 .5 ... (2n - 3)
~
L...J (-lr+1
+
2
x - 1
B . --- 2
D.
32. y = se
15(x24
2
3
+ L...J (-1r+
1
n=2
1.3.5 ... (2n-3)
2
n
(x - Ir
q
A. -
+
•••
q + ".
B. 1
'(x - Ir
C. 1
+ x), a = O
(-1;n+l
'n=o
(n - 1) xn
nI
D. -
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DESARROLLO DE UNA FUNCIóN EN SERIES
+'f.(-1t+
D. 1
,,=2
31. Y
=e
COSX
,
a
1
(n-l) x"
n!
=O
x: 4x4
A . 1 - - + - - ...
2!
32. Y
4!
= sen x, a = -1t2
2
(
C. 1 -
D. _
(x 2!
;J +
8
(x - ~y
3
(x _ 1t)2 + 8 (x - %Y
2
4!
345
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346
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Respuestas:
2~
C. 29. A. 30. D. 31.C.
32.B.
Definición 6.5. Función analítica en un punto. La función f(x) es analítica
en xo si se puede desarrollar en una serie de potencias de x - xo.
~ f(x)
=
'" f(n) (xo) (x - xot
:L- - -n!
n =O
Teorema 2. Analiticidad.
L
Si f(x) y g(x) son analiticas en xo
~ f(x) + g(x), f(x)g(x)
son analíticas en xo.
y
f(x) j g(x), g(xo) =1= O
2. Si f(x) es analítica en xo y f_1 (x) es la función inversa, continua, con
l' (xo) =1= O
~
f - l (x) es analítica en xo.
3. Si g(x) es analítica en xo y f(x) es analítica en g(xo)
~
f[g(x) ] es analítica en xo.
EJEMPLO 1
a) Las funciones eX, cos x y sen x son analíticas en todos los Reales.
Observemos:
= :L -n!xn = 1 + x + 2!- + -3!X" + -4!x + .. .
X2
-"1
eX
4
n=O
Por la prueba de la razón obtenemos el intervalo de convergencia absoluta:
lím
n~oo
(n
+ 1)/
xn
n!
=lím
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347
OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
. = Ixl 0, como la condición de convergencia es Ixl O < 1
~
-
< x<
00
con R
00
=
00
y la función eX converge en todos los Reales
:. la función es analítica en x
2.:'" e
b) La serie
1
E
Reales
n xn+l
/
es analítica en toda x E:: (-1,1).
Operaciones con series de potencias
SUMA
Dos series de potencias pueden sumarse término a término.
Sean
t
lZn
(x - xot
= f(x)
y
con radio de convergencia R
~
f(x)
t
bn (x - xot
= g(x)
n=O
+ g(x) =
t
>O
(a n + b n ) (x - xot
71=0
Para toda Ix - xol
<
R.
PRODUCTO
Dos series de potencias pueden multiplicarse término a término (cada ténnino
de la primera por cada término de la segunda).
Sean
2.:'" a
n
(x - xot = f(x) y
71=0
n
(x - xot = g(x)
n=D
~ f(x) g(x) =
para toda
2.:'" b
2.:'" (aob
Ix -
xol
<
n
+ a1bn_ + ... + anbo) (x
1
- xot
R.
DIFERENCIACIóN
Una serie de potencias puede diferenciarse ténnino a término.
Sea y(x) =
2.:'" a
n=O
n
(x - xot
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
348
una serie convergente para
Ix -
xol
< R,
donde R
>O
00
~
y'(x)
= L na" (x -
OPERACIONES CON S
1
4. y =- 2 en x=x
xot-1
1
-2
n=l
Respuesta:
x
también converge y tiene el mismo radio de convergencia que y(x).
5. Y = x
4
INTEGRACIóN
+2
X3
=
"
i
-
sí, es
Respuesta:
Una serie de potencias puede integrarse término a término.
00
'f1",II·IIIIIIi!1
Sea y(x)
=L
,1".
"l
,!
•••
an (x -
xot
"=0
¡]O
•
f
.~
una serie convergente para
x
L
~
= L _n_
"=0 n
o
xol
<
R, donde R
>
O
+ -2 x
1
Respuesta:
y=
2
4
a
00
y(t)dt
Ix -
1
6. y = - x3
3
+I
(x - xor+1
7. y=yxenx=
y tiene a R como radio de convergencia.
no.
Respuesta:
Las demostraciones pueden encontrarse en los libros de cálculo diferencial e
integral.
8. ¿Será convergen
Ejercicios 6.3
.,
Determinar si las funciones siguientes son desarrollables en series de potencias
de x en el punto indicado.
la serie
n
¿=-,
"=1 n
Respuesta:
diver
I
1. y =- en x = O
x
Respuesta:
2.
y
9. ¿Es posible ene
vergente y euya
no.
.,
1
=- en x = I
Respuesta:
x
11.=1 _
1
Respuesta:
¿
x
.•
= L (-Ir
,,=0
(x -
Ir, O < x
< 2.
10. Se dan dos se
I
3. y = x: en x = O
Respuesta:
no.
determinar la e
Respuesta: diver
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349
OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
1
4. y = -
X2
en x = -1
1
'"
Respuesta: 2" =
(n
x
"=0
L
5. y
=x + 2
4
r +x
X3 -
+ 1) (x + Ir,
- 6 en x
-2
<x<
O.
=O
Respuesta: sí, es el mismo polinomio.
1
1
6. y = - x3 + 3
2
Respuesta: y
7. y =
X2 -
X
+7
en x = -1
(x + 1/
(x + 1/
= 49
-6
- (x + 1)2
+-3
Vx en x =
-1
Respuesta: no.
8. ¿Será convergente la serie que resulta de restar
x"
L ---,
,,=1 2n
+1
[-1, 1) de
. ~x"
la sene L.J - , [-1, 1)?
"=1 n
Respuesta: diverge.
9. ¿Es posible encontrar dos series de términos positivos cuya suma sea convergente y cuya diferencia diverja?
Respuesta:
L'" -1
y
,,=1 n
L'" - -1
"=1
n
10. Se dan dos series de términos positivos divergentes
determinar la convergencia de su suma.
Respuesta: diverge.
'"
1
L
-,,=2 n ln n
y
'" 1
L
,,=2 n
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
OPERACIONES
ea
11. ¿Cuál es la serie de potencias de la función x2 e-X? Una vez obtenida,
diferenciada término a término para mostrar que:
16. Elegir la
OpC
350
mación de e
cc
L (-2r+'
n='
R espuesta:
+2
=4
nI
A. e-1/2 = 1
r _x nl__
~
n+2
= W (-1
x2 e-x
n
n=O
=
B. e-1/2
12. Encontrar cas 10° con una aproximación de cuatro cifras decimales.
Respuesta:
0.9847.
C.
•••• f1"".,~,Q:"'i!I
1111'
tI. :r,
'l
I
\'1"
',1
111'"
l"
t::
,"
I
11
'
al
13. Calcular el valor de la integral mediante series de potencias, aproximando a cuatro cifras decimales.
f
'~'
Respuesta:
I(x) dx, donde f(x)
1.3179.
14. Lo mismo que en el ejercicio 13, para:
Respuesta:
e" - 1
~~,x..,....
= {
x
1
'/
i°
e-1j2 = 1
D. e-1j2 = 1
-+- O
. x
=O
17. Sabiendo qu
2
--1
dx
+x
4
la serie que
0.49397.
de convergen
15. Escoger la opción que contiene el valor de
50
dx
'/4
1
+ ' , con
una apro-
ximación de cuatro cifras decimales, usando series de potencias.
Sugerencia:
A.
:t
nxn-
:t
(n +
n=l
Sugerencia: usar
---
1
= L'" x"
1- x
n=O
B.
n=l
A. 0.24903
=
L
x3n+'
3n
+
1
ec
n=O
C.
B. 0.24903
=
2: (-Ir
fi=O
X3n+,
eo
3n
+
1
n=O
C. 0.25098 =
L
D.
+1
+
1 '"
-¿n
2
3n
X
3n
L (n+
n=2
1
n=O
Respuestas:
D. 0.25098 =
L (-Ir
n=O
X3n+1
3n
+
1
15. B. 16. D.
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351
OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS
1
16. Elegir la opción que da el valor de - - usando series con una aproxi-
Ve
mación de cuatro cifras decimales.
A. e-
1/2
B. e- 1/ 2
=1
=
1
1
1
1
1
+-+-+--+--+--+
2
8
48
384
3840
-1
+ ~ _ ~ + ~ __1_ +
2
C. e- 1/ 2
=
1 _
~
=
1 _
~
6
24
+ ~ _ ~ + _1_
2
D. e- 1 / 2
2
2
6
_
24
+ ~ __1_ + _1_
2
8
17. Sabiendo que __
1_ =
1- x
48
t
384
xn, -1
< x<
de convergencia.
Sugerencia: usar diferenciación.
t
n xn -\
-1
<x<
1
n=l
B.
t
(n
+ l)(n + 2) xn,
O<
X
n=l
c.
"
I:
(n + 1) xn,
n=O
Respuestas:
15. B.
16. D.
17. D.
+
1 hallar la opción que contiene
n=O
la serie que corresponde a la función
A.
___
1_
3840
-2
<x<O
<
2
1
(1 -
y
x
.
y encontrar su mtervalo
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352
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Puntos notables
Definición 6.6. Punto ordinario de una ecuaClOn diferencial de la forma:
y" + f(x)y' + g(x)y = O, es aquel punto Xo en el cual ambas funciones
f(x) y g(x) son analíticas, es decir, pueden representarse en series de po~
tencias de (x - xo) con radio de convergencia R > O.
EJEMPLO 1
Encontrar los puntos ordinarios de:
1) y"
X (X2 -
+ xy' + (x + 2) y =
O
Primero estableceremos cuáles son exactamente las funciones f(x) y g(x),
dividiendo la ecuación entre x (X2 - 1):
"
y
donde f(x) =
1
r _1
_1_,
- 1Y
+ X2
x+2
Y g(x)
1)
X(X2 -
+1
f(x) no es analítica en x =
g(x) no es analítica en x
x+2
-O
- 1) Y -
+ x(X2
= O, x = + 1
. '. los puntos ordinarios de la ecuación diferencial dada son todas las
x E: R, excepto x = O Y x = ± 1.
EJEMPLO 2
¿Será x
f(x) =
= O un punto ordinario
r =
x
de la ecuación xy"
+ ry' + (sen x)y = O?
x analítica en todos los R,
sen x
1
x3
g(x) = - - = - ( x - x
x
3/
X2
x4
x5
5/
X1
+ - - - + ... )
7/
x6
=1--+---+
31
51
71
también es analítica en todos los R,
... los puntos ordinarios de esta ecuación son los Reales.
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353
PUNTOS NOTABLES
Definición 6.7. Punto singular de la ecuación diferencial:
y"
+ f(x)y' + g(x)y =
O
es aquel punto xo, en el cual, al menos una de las funciones f(x) y g(x)
no tiene representación en series de potencias de x - xo.
Se observa, por lo tanto, que un punto singular es un punto no ordinario.
EJEMPLO 1
El punto
Xo
= O es un punto singular de la ecuación diferencial:
y" +x(lnx)y' =0,
porque la función ln x no tiene una serie de potencias que la represente,
en cero.
,EJEMPLO 2
Hallar los puntos singulares de:
X2(X -
f(x)
=
x3(x2-1)
~ (x _ 1)
x
g(x) = -----:---~ (x - 1)
= x (x
l)y"
+ 1)
+ X3(~ -
l)y'
+ xy =0
es analítica para toda x,
1
- - - - - no es analítica en O y 1,
x (x - 1)
. '. los puntos singulares son x = O Y x = l .
Vemos que los coeficientes polinominales darán puntos ordinarios en donde
las funciones estén definidas y puntos singulares en donde no lo estén.
EJEMPLO 3
Dada xy"
+ (cos x) y =
O, ¿tendrá algún punto singular?
cos x
,
= --no es anahtica en x = O
x
Por lo tanto x = O es un punto singular y todos los puntos x =1= O son or-
g(x)
dinarios.
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354
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
EJEMPLO 4
La ecuación de Cauchy-Euler : ax2y"
+
+
bxy"
cy
=O
donde a, b, e son constantes, tiene un punto singular en x
ya que f(x)
= -axb
y g(x)
no están definidas en x
son puntos ordinarios.
=O
= -axe 2
= o. Todos los demás puntos
(reales o complejos)
EJEMPLO 5
La ecuación de Bessel: x2y"
gular en x = o.
+ xy' + (r -
d) y
= O tiene
un punto sin-
EJEMPLO 6
La ecuación de Legendre: (1 - r) y" - 2xy'
puntos singulares: x
l.
=+
+ n (n + 1) Y =
O tiene dos
Definición 6.8. Punto singular regular. Dada la ecuación:
y"
+ f(x) y' + g(x) y =
O,
el punto x = Xo es singular regular si las funciones (x - xo) f(x) y (x - xof g(x)
son analíticas en x
Xo.
=
NOTA : Basta que lo sean en una vecindad de xo. Se trabajan como un límite.
Si estas nuevas funciones no tienen representación en series de potencias, entonces x = Xo se llama punto singular irregular.
EJEMPLO 1
Los puntos singulares de: x 3 (r - 9) y"
x
-3, x
OYx
3; de ellos, sólo x
dos son si.tl-gulares regulares.
=
Si f(x) =
=
=
1
3
x (x - 3)
,
g(x)
(x - 3f
= - --~(x+3)
+
(x
+ 3) y' +
(x - 3y Y
=
O, son
= O es singular irregular los otros
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355
PUNTOS NOTABLES
Para x = -3
(x
x+3
3)'
+ 3)f(x) =
(x - 3)2 (x + 3)
+ 3y g(x) = - - - - -
(x
X3(X _
x3
ya son analíticas en x = -3.
Similarmente para x = 3.
Sin embargo, en x = O no son analíticas:
xf(x),
=
1
X2
X2
(x _ 3) ,
g(x)
= -(x-- -3]2x (x
+ 3)
EJEMPLO 2
(x -
Sean f(x) =
1
(x -
1/ y" + y' + y =
1
-(x - q
, g(x) -
q
O
-
El punto x =1 es singular irregular, porque:
(x - 1) f(x) =
1
q
(x -
y
x -1
g(x) = 1;
aunque g(x) sí es analítica en x = 1, como f(x) no lo es, la ecuación no es
desarrollable en potencias de x - l.
EJEMPLO 3
x4 (2r
+ 9x
- 5) y"
x3 (2x 2
+ 9x
y"
+
=
1
1
x 3(x - - ) (x
2
1
+ xy =
- 5)
Y
=
O
O
f(x) = O
1
g(x)
= x3(2r + 9x -
5)
1
+ 5)
x
= - y x = -5 son puntos singulares regulares
x
= O es un punto singular irregular.
2
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356
RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
MEDIANTE
DIFERENCIALES
SERIES
Ejercicios 6.4
En los si
completa de p
Encontrar los puntos ordinarios,
de las siguientes ecuaciones:
singulares
regulares
o singulares
irregulares
15.
A. x=O
Respuestas:
+ (x
1. xy"
-
1) y'
+ x2y = O
2. X2(X - 1) y" + xy' = O
,
.1.
"t
~111'
h¡\'"
3. (x
+ 1'1 y" +
+
xy'
ry
=O
II!
f..
1,' '
4. x2y"
+ eXy' + y = O
D. x=O
16. X (X2 - 1)
=
x
-1 singular irregular
x =F -1 ordinarios
A. Por se:
x = O singular irregular
x =F O ordinarios
(,,1"
..
C. x=O
x = O, x = 1 singular regular
x =F O, x =F 1 ordinarios
• ;-1',11.·''''
111":r,
B. x=O
x = O singular regular
x =F O ordinarios
B. x=xi:-
."
5. xy"
6. x2y"
+ xy' + (sen. x)y = O
+ X3y' + (sen
x)y
-
=O
x
+ 2)y"
- x(x -
JYy'
+ry=O
D. x=
O ordinarios
=
=
x
1, x
2 singular regular
x =F 1, x =F 2 ordinarios
17. x(x-l?
x = 3 singular irregular
x =F 3 ordinarios
xi:-
B.
+ (x e )y' = O
2
C. x=O
xi:-
ordinarios
A. X=O
8. (x - 3j3 y" + y = O
9. X3y"
00
= O singular regular
x =F
7. (r - 3x
<x<
00
x = O singular regular
x =F O ordinarios
X
xi:-'
C. Todo
10. xy"
+ (reX)y = O
11. xy"
+ (tan
x)y'
-
+ ry = O
<x <
00
13. ry"
+ (esenx)y, = O
+
(tanhr:' x)y'
+
x2y
+ (tunh=!
x)y'
+ x2y
D. x=1
=O
=O
ordinarios
18. xy"
x
= O singular irregular
'x
=F O ordinarios
x
= O singular regular
-1
14. xy"
ordinarios
1t
Ixl < -
2
12. x2y"
00
<x<O
Ixl <
Y O
1 ordinarios
<x<1
+ (e
A. x=
x:f.
B. Tod
ordinarios
C. x=
D. x=
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357
PUNTOS NOTABLES
En los siguientes ejercICIOS escoger la opCIOn que contenga la descripción
completa de puntos notables de cada ecuación diferencial.
15. xy"
+ eX
A. x
2
y'
+ xy = O
= O ordinario,
así como el resto de los Reales
* O ordinarios
B. x = O singular irregular, x
C. x = O ordinario y x> O ordinarios
D. x
16.
X (X2 -
=
O singular regular x
1) y"
+ (x + 1) y'
* O ordinarios
= O
- y
A. Por ser coeficientes algebraicos, todos los Reales son puntos ordinarios
B. x
=
c.
x
= O singular
x
-1 , x
-1, x
x =F -1, x
D. x
*
x
B. x
x
regular
* O, x * 1 ordinarios
=
regular; x
-1, x
1 ordinarios
* *
O, x
= -1, x = 1
17. x (x - 1y y"
A. x
= O, x = 1 singular
singular regular, x
=1
*
singular irregular,
-1, x
*
+ y' + xy = O
= O singular regular, x = 1
* *
0, x
singular irregular
1 ordinarios
= O singular
* O, x * 1
irregular, x
ordinarios
= 1 singular
regular
C. Todos los Reales son puntos ordinarios
D. x = 1 singular regular, x
18. xy"
+ (eX cos x) y' + xy =
A. x
x
* 1 ordinarios
O
= O singular irregular, x = 1 singular regular
* *
O, x
1 ordinarios
B. Todos los Reales son ordinarios
* O ordinarios
x = O singular irregular, x * O ordinarios
C. x
D.
=
O singular regular, x
1 ordinarios
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358
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
19. xy" - (eX sen x) y'
=O
A. x
= O singular
B. x
=
C. x
= O singular irregular, x = ± 1 regulares
D. -
20. xy"
A.
O singular irregular, x =F O ordinarios
=F O, x =F
x
regular, x =F O ordinarios
00
+1
< x<
ordinarios
son ordinarios
00
+ ry' - (tan- x) y = O
Ixl < 1 son ordinarios
l
= O singular regular,
B. x
x =F O ordinarios
C. x = O singular irregular, x =F O ordinarios
D. -
00
<X<
00
son ordinarios
Respuestas:
2
15. D. El desarrollo de eX = 1
x4
x6
+ X2 + - + -
--L
26 '
2
eX
junto de los Reales. Entonces - x
o. "
su dominio es el con-
= -1x + x + -x2 +
3
no está definida en x = O; por tanto x es un punto singular (se desX
cartan A y C). Como xf (x)
eX
2
= ---+ x = O es
x
singular regular.
16. B. La opción A olvida despejar y para ver si quedan definidas las funciones f(x) y g(x). La opción C no aplica bien el hecho de que
(x - xo) f(x) y (x - xoY g(x) queden analíticas en x = xo. La opción D
está incompleta y supone x = O como punto ordinario.
17. A. La oeción B cambia la condición de irregularidad. Para la OpClOU C
ver el ejercicio 16 opción A. La opción D está incompleta y además
contiene el error de la opción B.
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359
SOLUCIÓN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
eX cos x
X2
= -1x + 1 -
x3
=
+ '" no está definida en x O
x
3
6
Y sí para los Reales diferentes de cero, y al aplicar xf (x) se convierte
en eX cas x para - 00 < x < 00; de ahí que x = O es singular regular
y los demás puntos son ordinarios.
18. C. Como
19. D. En este caso
eX sen x
=
-
1
x
finida en todos los Reales.
- -
2X2
x4
x5
+. x + - 3 - - -~- - -~- + .. ,
está de-
20. A. Teniendo en cuenta que el dominio de la función tan h- 1 x es
x3
x5
- 1 < x < 1, que su desarrollo en series es tan h _ 1 X = X + - + 3
5
tan h _1 X
r x4 x6
Entonces
= 1 +- +- +- +
queda defix
357
nida también para el dominio referido, puesto que x = O es punto
ordinario.
Método para resolver ecuaciones diferenciales alr~dedor
de puntos ordinarios, usando series de potencias
Si una ecuación diferencial es analítica en un punto Xo, entonces su solución
también lo es en Xo, y como dicha solución será una función desarrollable en
series de potencias, podemos suponer que, en forma general, tendrá la forma
siguiente :
.,
y
=
¿
Cn
(x - xor
n=O
donde
Cn
cambia para cada función específica.
Teorema 3. Sea y" + f(x) y' + g(x) y = O una ecuación diferencial con un punto ordinario en x = Xo y sean a, b constantes arbitrarias. Existirá una función
única y(x) analítica en Xo que es una solución de la ecuación dada en los
alrededores de Xo y satisface las condiciones iniciales y(xo)
a y y'(xo)
b.
Si el dominio de f y g es Ix - xol < R con R > 0, entonces
.,
y(x) =
Cn (x - xor también es válida en el mismo intervalo'. El método de
=
=
¿
n=O
solución se explicará mediante un ejemplo simplificado para Xo
ecuación de primer orden .
= O Y para una
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360
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
EJEMPLO 1
Encontrar la soluc.ión de la siguiente ecuación diferencial, usando series
de potencias.
y' - y
Sea y
= L'"
ei xi
=
O
la solución general
i=O
Derivándola: y'
= L'" i el Xi-l
i=l
Sus tituyendo en la ecuación, tenemos:
L'"
L'"
i e¡ Xi-l -
i=l
el
Xi
=O
i =O
Para poder sumar las series, los exponentes de x deben ser iguales; para
ello hacemos el cambio de variable correspondiente en cada serie.
En la primera serie tomamos: i - 1
k ~ i
k+1
=
osea
=
'"
L(k + l)e k + l xk
k=O
Esto es posible porgue desarrollando:
L'" i ei
Xi-l
=
el
+ 2ezx + 3e3xz + 4e4~ +
i=l
y desarrollando también:
L'" (k + 1)
e k + 1 Xk
= el + 2ezx + 3e3xz +
k=O
vemos que se trata de la misma serie.
Para la segunda serie tomamos i
L'"
k=O
Xk
[(k
=
k y la ecuación queda:
+ l)e k + l
-
ekJ
= O
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SOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
361
Como xl< =1= O por ser la solución propuesta,
k = 0,1,2,3, .. .
es la fórmula de recurrencia, de la que se obtiene cada una de las constantes para cada uno de los términos de la serie solución. AsÍ:
~
Para k=O
Co
Cl=--=CO
0+1
C2
~ y
Cl
Co
2
2
C2
Co
C3
Co
=-=-
k=2
,~
C3 = - = 3
6
k=3
etc.
~
C4=-=-,
4
24
L'"
=
Cn
xn =
Co
+ Clx + c x: + c r + C4 +
2
3
X4
n=O
Co
+ CoX + -Co
Co
(1
=
=
2
. .2
X-
+ -Co x3 + -Co x4 +
6
24
X2
X3
X·
21
31
41
+ x + - + - + - + .. ..J
Si resolvemos por variables separables:
dy
dy
-=y, - =dx, lny=x+c,
dx
y
y
= e"'+C
.'. y
= ce"',
obtenernos el mismo resultado, con lo que se verifica el obtenido anteriormente.
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362
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
EJEMPLO 2
En ocasiones, el cambio de variable en los exponentes de las sumatorias
no conserva iguales los Índices de las mismas; en este caso se extraen los
términos que sobran en las sumatorias de menor índice para poder sumar
términos semejantes.
Así: dada y" - xy = O
f c,x' =
=
sea la solución: y
Co
+ C¡X + C2 X 2 + C3 X 3 +.C4 X 4 + ...
1=0
00
~
y' = ¿ic,X'-¡ =
+ 2c2 x+ . ..
CI
y" =
;=1
t
i(i - 1) Ci Xi -
2,
i= 2
Sustituyendo en la ecuación dada:
ti(i -
1) CiXi -
2 -
X tCixi
i=2
t
=
O
i =O
i(i - 1) CiXi -
2
t
-
i= 2
CiXi+1
=
O
i =O
k=i - 2
L (k + 2) (k + 1)
k = i+1
O)
C k + 2 Xk -
k =O
L
C k _1 Xk
=
O
k=1
Extrayendo el primer término de la primera sumatoria, o sea, cuando
k = O:
2C2
+L
00
(k
+ 2) (k + 1) C k + 2 Xk -
k=1
ya se pueden sumar
+
L
k=1
Xk
{(k
0k_l Xk
=
O
k=1
hlS
series, quedando:
00
2C2
L
+ 2) (k + 1) C k + 2 -
C k _ 1]
=
Oxo
+ Ox + Or +
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DIANTE SERIES
SOLUCIóN
DE ECUACIONES
y como x" =1= O ~ (k
las sumatorias
se extraen los
poder sumar
es la fórmula
k
k
+ 2) (k +
de recurrencia,
entonces:
Cl
12
C2
6 -
~y
y C"+2 = (k
C"_l
k
1)'
=O
= 1,2,3,
C4
c-
k=6,
Cs
Cs =- =0
56
7 -
...
Cl
504
k =5,
-
42 -
Co
6
= 7, c9-7212960
k
30 -
Co
180
+
ClX + Ox
C3
=.co
363
DE POTENCIAS
C
Cs =-=0
20
c-
k=4,
SERIES
+ 1) C"+2 -
6
C4=-
= 3,
2) (k
Co
= 1, C3=-
k=2,
+
USANDO
-
C
k=8,
2
Co
+ -x
J
6
Cl
+ -x
12
+ Oxs + __Co
-xv
12960
10 -
+
4
C7
Cl
45360'
-
90 -
etc.
Co .
+ Ox + --;\,
+ --xCl
S
.E
180
e,
xlO
7
504
+
45360
sea, cuando
EJEMPLO 3
Si la ecuación diferencial no es homogénea, la fórmula de recurrencia
queda restringida a los valores para los que los coeficientes se hacen cero.
Así, si la ecuación es:
y" Suponemos
y
=
'"
L
e, Xi
i=G
y
= 3r - x + 4
como solución
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364
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
~
ti
-----(i - 1) CiXi -
t
Z
-
i= 2
ro
2) (k
+ 4 + Or + OX4 +
x
---...--i=k
i-2=k
¿)k +
Ci~i = 3r -
i=O
ro
+ 1)c k + 2 X k -
'"
k=O
+ 4 + ¿Oxk
=3r - x
¿:>kXk
k=O
para k = O
~
2cz -
= 4
Co
~ C2
k=3
+ Co
4
=
,
2
porque los coeficientes del lado izquierdo de la igualdad deben ser iguales a los correspondientes coeficientes del lado derecho.
Para k = 1
~
6 C3
Para k=2
~
12c4
Cl
-
c2=3
-
(k
C4
k=4, C6=-=
10
30
Cs
k = 5,
k
= 6,
~
1
Cl -
---
6
31
10
10
720
10
+ Co
41
k = 3,4,5, .. .
para
+ 2) (k + 1)
+ Co
+ Co
=--24
C4
1
Cl -
= ---
+ Co
61
1
Cl 1
5040 =----¡¡-
Cl -
C7
= 42 =
C
8 -
~ C3
= -1
C6
-
10
56 -
+
10
Co
617.8
-
-
+
Co
8/
'
et
c.
Sustituyendo los coeficientes en la serie solución:
y
=
-
Co
4 -+
Co
Z
Cl -
1
+ ClX + - - - y - x + ~r +
Cl 1
.
+ __
x +
7
7/
10
10
+ Ca
4/ ·
+ Co
4
X
,X8 + ...
8.
Cl -
1
5
+ ------s¡-x +
10
+ Ca
6/
6
X
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365
SOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
Agrupando:
~
~
~
~
= Ca (1 + ~-~ + -4~ + -~~ + -m
+ ... ) + cl(x + -~ + -~ + -n + ... )
.
y
+ 2~ -
~
3/
x4
+ 10 4/
-
y = Ca cosh X +
- (x
Cl
~
x5
- -
5/
x6
+ 10 -6/
sen h x
~
x7
- 7/
x8
+ 10 -8/ + ...
X2
x4
x6
x8
2/
4/
6/
8/
+ 10 (1 + - + - + - + - + ... )
~
+ -3/ + -5/ + -7/ + ... ) + x -
Se sumaron y restaron los términos 10 (1
10(1
~
+ -)
2/
~
+ -)
+ 2~
2/
y x para completar dos
series más,
= Ca cosh x + senh x + 10 cosh x - senh x + x-lO :. y = (c o + lO)coshx +
-1)senhx - 3~ + x-lO.
~
y
S~
Cl
+ 2X2
(Cl
Ejercicios 6.5
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando series de potencias.
1. xy'
=y + 1
Respuesta: y
2. (x - 1) y'
=
-1
+ (2x + 1) y =
Respuesta: y =Ca (1
3.
+ ClX
+ x + 2A- + -8
= (2x + 1) y
Respuesta: y = (x + ~)
(~+
x) y'
Cl
4. xy' - y = O
Respuesta: y
= Clx
O
.-2
3
3
X
+ 11
- x + -71 x + ...
4
3
5
15
)
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366
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
5. x(x3 -l)y' - (4x 3 -1)y = O
= Cl (x - x4)
x (r + 1) y' = y (3r + 1)
Respuesta: y
6.
Respuesta: y
=
Cl
(x
+ ~)
7. (x - 1) y' - y = O
Respuesta: y
8. y'
+ y =0
9. (1
+ x) y' =
Respuesta: y
=
Co (1
1
=
10. y" - xy' - y
=
+ ln (1 + x)
Co
O
Respuesta: y=co(l
11. (1 - x) y"
+ 2ry =
Respuesta: y
13. y" - (1
,
~
~
~
2
8
48
~
~
~
+-+-+-+
~
~
" , )+Cl(X+-+-+ ... )
3
15
+y = O
Respuesta: y =
12. y"
- x)
Co
(1 - - - - - 2
6
24
Co
(1 - 6
+ .. .) + C
~
l
~
(x - - - 6
12
+ ... )
O
=
~
+ r) y =
Respuesta: y =
Co
+ -~- - .. .) + C
168
~
l
(x - -
O
(1
X2
x4
x6
2
8
48
+ - + - + - + ... )
x3
7x5
3x7
+ Cl (x + -6 + -120 + -560 + ... )
10
+ -~- - ... )
360
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367
SOLUCIÓN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
14. y"
+ ry'
- xy = O
x3
6
15. y"
+ xy' + ry =
90
x9
1296
x6
x8
90
3360
X
6
+ - - - + - - - ... ) + CIX
Respuesta: y = co(1
2X2
x4
Respuesta: y = co(1 - 12
+ - + - - + ... )
x3
x5
x7 + C l ( X - - - - + - - + ... )
6
40
144
I
i
4
x
6
x
8
+(-----+
... )
6
45
1680
16. y" - (r - 1) y'
+ y =O
=
X2
(1 - 2
Respuesta: y
Co
+c
17. y" - 2xy
r
1
x3
7x5
19x6
x7
6
120
720
420
+ - - - - + - - - - - + ... )
(x - -
2
x4
3x5
40
x6
120
x7
80
+ - - - - + - - + - + ... )
8
=r
Respuesta: y = co(1
x3
x6
x9
+ -3 + -45 + - + ... )
1620
x.
x7
x4
x7
+c 1 ( x + - + - + ... )+(-+-+
6
126
12
252
... )
18. y" - ye = O
X
X
Sugerencia: tomar ye como (co
y usar el product'J de los primeros términos.
Respuesta: y =
Co
(1
X2
x3
2.
3.
+ Cl + C2X2 + ... )(1 + x + -, + -, + ... )
:r
x3
x'
x5
13x6
2
6
12
24
720
+ - + - + - + - + - - + ... )
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368
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
+ :i V = O
19. y'"
Respuesta: y =
Co
-
~
+ C2 (~ 20. y"
x5
60
+ Cl(X -
x9
6048
+ --'-
60
13
1153152
x lO
x1 4
7200
1572480
+ -- -
-
X
+ ... )
)
+ ~y = + + 1
X2
X
Respuesta: y =
~
Co
~
+ - - - ... ) + C
(1 - 12
672
x3
X2
x4
x6
x7
~
l
(x - 20
~
+ - - - ... )
1440
x8
x lO
+-+-+----252
- - -672
-+2
6
12
60
5400
21. y" - xy'
=~ -
Respuesta: y =
2x
Co
+C
(x
l
x6
~
~
~
~
~
~
6
40
336
3
12
20
+ - + - + - + ... ) + (- - + - - x'g
X7
+-+840
- - ... )
90
168
22. xy"
+ ~y' =
Respuesta: y
x3
+ 4x
= Co + c,
(
X3
X -
{;
)
x5
x7
x9
+ 40 - 336 + 3456 - ...
23. y" - xy' = e-X
Respuesta: y =
,
x3
Co
x5
x7
X2
~
x·
+ Cl (x + -6 + -40 + ~6
- + ... ) + (- -6 +2
8
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369
SOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
24. y"
+ xy' + (2x -
l)y
=O
x
x
19x
9x
= Co (1 + -r2 - -x3 - -24
- - + - - + - - + ... )
60
720
2520
4
3
Respuesta: y
7
6
5
25. y'" - xy = x
Respuesta: y = co(l
6x
x4
5x8
+-+ 4/
42x
6
8/
2X5
+ ",)+CI (X+ x4
lO
5x8
12 x9
+ - -+ ... )
5/
9/
45r 2
+ C2 ( X2 + -,
+ --,
+ ... ) + (-41 + -81- + -121- + ... )
6.
10.
26. y"
+ 4xy = O
2
Respuesta: y
oy
=e
= eo(1 -
6
4 x - ...) + el ( x - -4x" + 42 x 7 - ...)
-4X3 + ---_
2.3 2.3.).6
3.4 3.4.6. 7
(1 -~3 x 3 + ~45 x
6
-
. . .)
o
+ e/(x -
~3 x" + 2.
x
63
7
-
•• •)
27. Encontrar la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación.
(Nota: En este caso hay más de una respuesta correcta.)
y" - y
A. y=co(l
r ~ ~
+,+,+,+
2.
4.
6.
D. y = Co cosh x
=
O
x!
~
~
", )+cI(x+'+'+ -7'
3.
5.
+ CI senh x
28. Una sola opción contiene la solución de: y" - 2ry = o.
¿Cuál es?
A. y = Co (1
x4
x6
x8
+ X2 + -6 + -90 + - + ... )
2520
.
x3
x5
x7
x9
+Cl(X+ - +-+ - - + -+ ... )
30
630
22680
3
.
+ .. .)
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370
RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
B. y=co(1-x2+---+
c.
x4
XO
6
90
X4
y=co(1
x3
... )+c1(x--+---+
3
x5
x8
+-+-+
6
168
D. y=co(l--+--
X4
x8
6
168
DIFERENCIALES
... )+Cl(X+-+-+10
... )+Cl(X--+--
MEDIANTE
x5
x7
30
630
.•..•' ..•..
y' - 2xy
,
11,'1:r.'"
,t",.--
-2
rl~
I;).'!
l:'" '
tI'
"
Il'f.i
II.ti
A. Ck+~=
+1
'
k
= 1,2,3,4,
DE
31. Elegir la
360
x5
x9
10
36
... )
v=»
A.
... )
B. y=
=O
...
C. y=
1,.
;11·1"
k
Ck_1
-
.. .)
SOLUCIóN
x9
29. Hallar la opción que contiene la fórmula de recurrencia de:
11'11I111I1,,1
SERIES
B. Ck+~=
2 Ck_~
= 0, 1,2,3, ...
'
k
= 0,1,2,3,
2 Ck_1
k +1 '
k
= 1,2,3,4, ...
-2
C. Ck+1=
D. Ck+1=
+1
k
k
k
'
Ck_~
+1
D. y=
...
30. Hallar la opción que contiene la fórmula de recurrencia de:
(x - 1) y"
(k
A. Ck+2=
+ II Ck+1
(k + 2)
+ k + k Ck+1
(k + 2) (k + 1) ,
D. Ck+2 =
27. A. B.
y senh
y como
k=0,1,2,
...
~ y=
+ 1) Ck+1
k=-~1,2,3,
k+2
(1
= O, 1,2, ...
)
(k
C. Ck+2 =
=O
2
(1
B. Ck+2=
k
+ y'
Respuestas:
...
+ k + k Ck+
(k + 2)
y
=e
X
2
)
1
k
= 1,2,3,
...
y
(
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371
SOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS
31. Elegir la opción que contiene la solución de:
y" - xy = 2
~
~
~
~
~
~
21
41
61
31
51
71
D. y=co{1--+---+ ",)+Cl(X--+-+-+ .. . )
x'
X
Ü
... )
+(~--+--
12
360
Respuestas:
27. A. B. D. Puesto que coshx = 1
x3
x5
1
Y como cas hx = - (eX
2
Y
= _Co (eX
2
Co
Y = eX (-
x·
= x + 31 + 51 + ...
y sen hx
~
~
+,
+ -41 + ...
2.
2
1
y sen hx = - (eX - e-X)
C
+ e-X) + _(eX
-
Cl
+ -) + e2
+ e-X)
l
2
X
C()
(- -
2
Cl
-)
2
2
e-X)
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372
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
La opción e no está correcta porque supone que la fórmula de recurrencia se
aplica para k = 1,2,3, ... , no tomando el cero, y aparecen tres constantes arbitrarias en una ecuación diferencial de segundo orden.
28. C. La opción A contiene el error de no haber multiplicado
r
por y. Las
opciones B y D suponen que la y estuvo multiplicada por +2 y por
+2X2 respectivamente.
29. D . La opción A supone que la ecuación es y'
+ 2xy =
O. La opción B no
contempla una operación con series con el mismo subíndice inicial. La
opción e contiene los errores de las opciones A y B.
30. C. La opción A contiene un error de simplificación. La opción B tiene un
error en el cambio de índices. La opción D contiene los errores de
A y B.
31. A. La opción B considera, por error, que la fórmula de r~currencia es
Ck
--::-----::---, k
(k + 2) (k + 1)
C
k
_
= 1,2,3, . " siendo en realidad
1
= (k + 2) (k + 1)' k = 1,2, 3, ...
ecuación es y" + xy = 2. La opción D
Ck +2
La opción
e
supone que la
contiene los errores de B y C.
Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de
puntos singulares
A veces no se pueden encontrar soluciones en series de una ecuación diferencial como las expuestas anteriormente. Entonces puede suponerse una solución
del tipo:
.,
y
=x L
T
Cm
xm, donde r es una constante.
m=O
Esta serie es una generalización de y
= L'"
Cm
xm, puesto que cuando r
=O
m=O
se convierte en ella.
Teorema 4., Sea y" + f( x) y' + g(x) y = O una ecuaClOn diferencial con un
punto singular regular en x = Xo, entonces siempre existe al menos una solución de la forma:
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
y
= (x -
~
xoY
L Cm (x -
~
=L
xor
m=O
que converge en O <
Ix -
Cm (x - xor+ r
373
(1)
m=O
< R.
Xol
Esta serie recibe el nombre de serie de Frobenius. Especificando:
Si x = Xo es un punto ordinario
~ r
=
Si x = Xo es un punto singular regular
general.
O Y (1) es la solución general.
~
Si ·x = Xo es un punto singular irregular
la forma (1).
(1) dará una solución o la solución
~
pueden o no existir soluciones de
Método de Frobenius. Ecuación indicial
Para resolver una ecuación diferencial por el método de Frobenius, suponemos
una serie para Xo = O de la forma:
y
~
~
m=D
m=O
= xr L cmxm = L cmxm+r
Derivando:
y'
=t
(m -t¡ r) cmxm+r-l
m=O
y" =
t
(m
+ r) (m + l' -
1) cmxm+r-2
lIl=O
Sustituyendo en la ecuación, e igualando coeficientes obtenemos una ecuación, llamada ecuación indicial que provee dos valores para r. Se va a deducir
dicha ecuación a partir de la forma general de una ecuación diferencial con
puntos singulares:
y"
+ -a(x)-y '+ b(x)
- y= O
X
X2
donde a(x) y b(x) son funciones analíticas en x = O
Multiplicando la ecuación por r:
X2 y"
+ a(x) xy' + b(x) y =
O
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374
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Sean:
a( x) = ao + a¡x
+
+ .. . = ¿
a2 x2
amX
m
m=O
b(x)
= b o + b¡x + b2r
+ .. . = ¿
bmxm
m=O
Sustituyendo y y sus derivadas, tenemos:
+¿
hmx m
+¿
¿
hmxm
m=O
=
cmxm+ r = O,
m=D
m=O
Para m
¿
cmxm+ r = O
m=O
O, e igualando coeficientes:
r (r - 1) coxr
+ aorcoxr + hoxrc o =
coxr [r (r - 1)
El método considera siempre
Co
*
+ aor + hoJ =
O
O
O; entonces:
r2 + (a o - 1) r
+ ho =
O
es la ecuación indicial con raíces r¡ Y r2.
EJEMPLO 1
Aplicando el método de Frobenius hallar la ecuación de índices de la
ecuación: 2xy" - y' + 2y = O, que tiene un punto singular regular en
Xo = O
Despejando y":
"
1 ,
1
Y - - y + ---y=O
2x
x
Entonces xf (x)
= - -21
y
rg (x) = x,
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375
SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
El desarrollo en series de xf (x) tiene un único elemento que es precisamente G,¡
-1 / 2, Y el desarrollo de rg (x)
x también tiene un elemento
cuyo coeficiente es b1, esto quiere decir que bo O.
=
=
=
Así:
r2
1
+ (- -
2
-1)r
+ O=
O
3
r(r-
3
2
r1 = -
)= 0
2
~
También podemos encontrar la ecuación de índices '"
de ' esta forma:
Sea: y
=
L'"
cmxm+r
m= O
y'
=
L'"
(m
+ r) Cm xm +r-1
(m
+ r)(m + r
m=O
y"
=
t
_ 1)cm xm+r_2
m = O
Sustituyendo en 1a ecuación dada:
2
L'"
(m
+ r) (m + r -
m=O
'"
+ 2¿
1) cmxm +r- l -
L'"
.
m= U
(m
+ r) cmxmp - 1
cmxm+ r = O
m=O
Se toman las sumatorias en dond~ la x tiene menor exponente y m
2 [r(r -
Y
Co
1)J CO
-
rco = O
[r(2r - 3)J = O es la ecuación de índices.
AquÍ Frobenius pone una condición:
Co
*- O siempre,
3
f1
r(2r - 3) = O
~
==2
entonces:
=
O:
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376
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
En todos los casos se le asigna a r¡ la raíz mayor, y por el teorema
anterior queda asegurada al menos una solución de la forma:
y¡ = X3 / 2
L'"
cmxm
ffl = O
Nada más queda determinar el valor de los coeficientes Cm por el método
del inciso anterior.
En los casos en que r¡ y r2, raíces de la ecuación indicial, son reales, (donde
siempre consideramos r¡ > r2) a veces puede obtenerse una segunda serie solución que junto con la primera serie formará la solución general de la ecuación
diferencial. Estudiaremos -3 casos:
Caso 1. r¡ - r2 0:/= número entero
~
y¡
= Xr¡ t
cmX m , Co 0:/= O
m= O
'"
Y2 = Xr2
bmxm, bo 0:/= O.
L
m= O
Caso 2. r¡
= r2 = r
~ Y.'
=
xr
L'"
cmxm, Co 0:/= O
m=O
Y2 = y¡ In x
+ xr
t
bmxm.
ffl = .l
Caso 3. r¡ - r2
~ y¡
= entero
= Xr¡
L'"
positivo
cmXm,
Co
0:/= O
m= O
Y2
'"
= k y¡ In x + Xr2 L
bmxm, b o 0:/= O, donde k puede ser cero.
ffl = O
Por supuesto, y¡ y Y2 son linealmente independientes y la solución general es,
en todos los casos: y = c¡y¡ + C2Y2 .
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
377
Raíces que no difieren en un número entero
EJEMPLO 2
Encontrar la solución general de la ecuación del ejemplo precedente:
2xy" - y'
La ecuación indicial dio: rl
= x ¿'"
cmxm y Yz
3jZ
m= O
.
O
= -32 , rz = O,
~ rl -rz
Yl
+ 2y =
= ¿'"
3
= - =1= entero
2
bmxm
Xo
m= O
Partiendo de la sustitución que se hizo de y y sus derivadas en la ecuación:
'"
2 ¿ (m + r) (m + r - 1) cmxm+
T
-
1
'"
m=O
+2
¿(m + r) cmxm +
-
T
-
1
ffl = Q
t
cmxm +
=
T
y multiplicando por x:
O
m= O
m = k
+2 t
cmXm + + 1
T
=O
m= O
m
2
t
+1=
k
(k + r) (k + r - 1) CkX k + T
k =O
-
f
(k + r) CkXk+T + 2
k=O
t
C
k
_
1
xk p
=O
k= l
Tomando un término de las dos primeras sumatorias para igualar los
Índices :
2 [r(r - l)coj-rc o= O
-------~------ecuación indicial
co(2r - 3r)
=O
entonces r(21' -3)
como
=O
~
rl
co=l=O
3
= -, rz = O
2
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378
2
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
t
+ r) (k + r -
(k
1) Ckxk+r -
k=l
t
+ r) ckxk+ r + 2
(k
k=l
t
k=l
C _ XkF
k l
La ecuación de recurrencia, para k = 1,2,3, ... es:
Ck
para
1'1
= -
(k
+ 1') (2k + 21' -
3)
-2 C k _
=
3.
(k+-)2k
2
=
k(2k
l
k = 1,2,3, ...
+ 3)
- 2 Co
Cl=--
1
5
-2
k=2
C2
2
Cl
= - - = -Co
14
35
- 2 C2
- 4
27
945
C3=--= -
-2
k=4
~
,
= 23
Ck
Para k
-2c k - l
Yl
=
Co -
Yl
=
Co
C3
C --- -
44
4 -
2
CoX
5
-
2
(1 - - x
5
+ -2
35
..2
COA; -
+ -2
35
..2
x -
-
-
2
- - Co
10395
'
etc.
4324
+ - - - cox
945
10395
- - Cox
4
945
-- x
3
+ ... ).
Volviendo a la ecuación de recurrencia para r
bk =
-C O
-2 b k _
l
k(2k - 3)
= 0,
, k = 1,2,3, .. .
tenemos:
= O
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
Para k
379
-2 C o
b l = - -- =2b o
=1
-1
-2 C l
b2 = - -- = -Cl= -2bo
2
k=2
k=3
-2 C3
-2
b 4 = - -- = -- b o
k=4
20
b -
45
- 2C4 -~b
35
5 -
- 1575 o
etc,
Y2 = b o (1
+ 2x -
_.2
2x
+ -49
4
(1 - -2 x + -4 x 2 - - - x 3
5
35
945
es la solución general.
••, y
=
Co
3
2 4
x - - x
45
+ ,"
)
+ ' , ,) + bo (1+2x
-
2x2
+",
)
Raíces iguales de la ecuación indicial
EJEMPLO 3
Resolver:
X3 y"
-
Xz
Sea la solución: y
(1
=
+ x) y' + xy = O
t
m
cmx +
r
m=O
y y'
=
¿'"
(m
+ r) cmXmp -\
y"
= ¿'"
(m
+
¿'"
(m
r) (m
+
r - 1) cmxm+r-z
m=O
m=O
Sustituyendo en la ecuación dada: .
¿'"
m=D
(m
+ r) (m + l' -
1) cmxm+r+l -
m=O
+ r) cmxmp + l
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380
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Tomando las sumatorias de menor exponente en las x, tenemos para m
+ Ca =
r (r - 1) Ca - rCa
Ca (r2 - 2r
+ 1) = O,
= o:
O,
como Ca :::j:. O ~ (r - 1f
=O
De la ecuación de Índices (r - 1Y = O obtenemos dos raíces iguales, entonces la forma de la solución es:
Yl = xr
¿'"
cmx m y
y2
¿
= Ylln x + xr
bmxm, donde r = 1.
m=l
m=O
Para encontrar Yl igualamos exponentes e Índices de las sumatorias anteriores:
¿'"
(k
+r-
1) (k
¿'"
(k
+r+r-
2) Ck_lX k+ r
¿'"
-
2) Ck_ 2 Xk+ r
+
¿'"
(k
+r-
Ck_lX kF
1) Ck_lX kF
=O
Para k = 1 se obtiene la ecuación de Índices y para r = 1:
le
(k - 1) CI<_l - k Ck_ l - (k - 1) Ck_ 2
ck_Jk (k - 1) - k
c k _Jk
2
-
2k
+ 1] =
+ 1] = (k
C
C
k
_
+ Ck_ l = O
(k - 1) Ck_ 2
- 1) CI<_2
2
k_l = k- -1, k =2,3, . ..
es la fórmula de recurrencia para encontrar los coeficientes de Yl. Donde
Ca = Ca.
Para k = 2,
k=3,
k =4,
Ca
Cl =1
Cl
C2
2
2
C2=-=-
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
y
C3
Co
4
24
k = 5,
C4
k = 6,
c. - - - - -
=
Co
(1
= -= C4
•-
X2
r
x4
21
31
41
381
Co
5 -
120'
etc .
~
+ x + - + - + - + . .. ) = Co W
m=
xm
O mI
=
Co
ex
Para encontrar Y2, usaremos tres métodos :
1) Variación de parámetros.
2) Y2
= Yl (x) f
e - Sf(x) cix
yl (x)
dx generalización del método de variación de
parámetros.
3) Por diferenciación de la solución propuesta Y2.
1) Obtención de y2 mediante variación de parámetros.
Sea Y2 = UYl
-4
= uy/ + U'Yl
yz" = U"Yl + 2u'y/ + uy/',
yz'
sustituyendo en la ecuación ry" -
r
(1
+ x) y' + xy = O,
X3y/' - ry~ ' - ryz' + XY2
= X3U"Yl + 2ru'y/ + ruy/' - ruy/ - ru'Yl - X3uy/ - X3U'Y l
.-4
XU"Yl
XU"Yl
Como Yl
y y/
cero
----U'Yl -
+ 2xu'y/ + 2xu'y/ -
= xe
X
(tomando
= xe + eX
X
U'Yl (1
Co
XU'Yl = O
+ x) =
= 1)
O
+
XUYl = O
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382
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
sustituimos:
xu"xe X + 2xu' (xe x
u"x!e X + x 2u' eX
+ eX) _
+ xu' eX =
+ x)u'xe X =
(1
O
O
Dividiendo entre xe x :
+ xu' + u' = O
u" x
= - (x + 1) u'
u"x
u"
u'
x
dz
x
+1
Sea u'
x
+1
=z
~
d
-=--- x
z
x
lnz = - x - lnx
z = e- x -
1nx
e-X
z=-
x
du
e-x
,~-=-
dx
u=
u=
1
f -(l
x
e- x
--;- dx
, x2
x3
x4
x5
x + - - - + - - - + ... )dx
2/
3/
4/
5/
x
x
= In x - x + -2.2/- - -3.3/
- + - x _ ___
+
4.4/
5.5/
X2
U
f
x
3
4
3
Y2
5
x!
x
= UYl = (In x - x + -2.2/
- - - - + .. .)(X€¿X)
3.3/
u"
= z',
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
383
2) Obtención de Y2 mediante la fórmula.
Donde y 1
=
xe x
y f(x)
=
+ x)
-r(1
3
X
xex
= Yl
f X2 e2x dx
=Yl
f~dx
xe-
Efectuando una larga división :
=
Yl
f
1
(- - 1
x
x
r
x3
2
6
24
x4
120
+ - - - + - - - - + .. .) dx
=Y1lnx+Yl(-x+ -
X2
x3
x4
x5
- - - -+ - - - - - + .. . )
2.2
3.6
4.24
5.120
.'. Y2 = y1lnx
+ xe
X
L""
md
(-1rx m
- - - -o
(m) m!
3) Obtención de Y2 por diferenciación.
Sea Y2
= y1ln x + x L""
m=l
b m xm, la solución propuesta para las raíces igua-
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384
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
les de la ecuación indicial. Derivándola y sustituyéndola en la ecuación:
Y2=y 1 lnx+
f
bmxm+l
m=O
Empezando desde cero no se pierde generalidad, como veremos a continuación. Derivando con respecto a x:
Y/
Y2
"
= -
Yl
2
x
=
+ Y/
Yl
x
L'"
+
ln x
+
(m
1) b m xm
m=O
2Yl'
+- + YI ,ln,x '+"
L
X
+
m (m
ffi
m=O
Sustituyendo:
+ 2x!y/ +
- XYl
X3y /' lnx
¿'"
+
m(m
+
l)b m xffi+2
m=O
'"
L:
(m + 1) b m xm+2
- XYI - x!y/ ln x -
m=O
L'"
- x!Yl - X3y/ ln x -
(m
+ 1) b m xm+3
m=D
+ XYl ln x
L'"
+
b m xm+2
= O,
m=D
2x!y/ - 2XYl - X2Yl
+
ln x (x!y/' - x! (1
,
+
x) y/
+ XYl)
y~----"')
cero
+
t
t
m 2b m Xffi+2 -
m=D
(m
+ 1) bm Xffi+3 = O.
m=D
Sustituyendo YI Y Y/:
2X2 (xe X
+
eX) - x (2
+
x) xe X +
L'"
m 2 b m xm+2
m=D
L'"
m=D
(m -1- 1) b m xm+3
=
O.
1
1) b m x - .
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
Dividiendo entre
+ e=r) -
2(xe X
(2
r:
+ x)e +
X
.
xe'"
+
t
m 2 bmxm -
m.-=Q
m
t
m 2 bmxm -
t
t
+
(m
1) bmxm+l = O
m=O
m=O
+ l)b mxm+l = O
(m
m=O
----------------+
+ 1 =k
1 =k
m
Igualando índices:
Xk
L
, + Obo +L
k 2bk Xk - L kb k_
k=l(k-l).
k=l
k=1
00
00
00
bk =
bk _
k
Xk = O
b o = bo
~
y
1
1
-
1
k 2(k _ 1)!' k = 1, 2, 3, ...
es la fórmula de recurrencia,
para k
1,
b1 bo - 1
~ Y2
=
=
k=2,
b = b1
2
k=3,
b3 = - - - = - - 3
18
36
k=4,
b4 =
4" -
= Yl ln x + x [bo + (bo -
1) x
_
.!...- = 2b o -
2
4
b2
1
b3
+
6b o - ·11
+
=
288
2bo - 3
4
12bo - 25
288
12bo -25
1
96
3
4
X4
r +
+ ... ]
,etc.
6b o - 11
36
x3
385
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386
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Si tomamos b o
= O:
3 _.2
11 .-3
Y2=Yl l nx +x [ - x--;¡x - 36 Á
25
4
288 x - ... J.
-
Como se comprueba por la solución obtenida por los métodos anteriores;
teníamos :
=Yl ln x + (x + :C + --r21 + -31x
4
=
Yl ln x
+
+ ... ) (-
( - :C
x
x
:C
x3
x4
2.21
3.31
4.41
4
5
+ - - - - - + - - - .. .)
3
x
x
3.31
4.41
+ - - - - - + - - - .. .
2.21
x4
~
2
2.2.2
- -+- ~
- 3/
-+ ... )
2
3 3
11 4
25 5
=Yl l nx +( - x - - x - - x - - - x -
4
36
288
que coincide con las anteriores.
La solución general de la ecuación es, definitivamente:
Raíces que difieren en un número entero
EJEMPLO 4
Resolver la ecuación : xy"
L
+
2y'
00
Sea y =
m=O
Cm
xm+T la solución,
+
xy = O
... ),
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
00
00
L
=
~y'
387
+ r)cmxm+r-lyy" =
(m
m=O
L
+ r)(m + r -1)cm xm+r-2
(m
m=O
Sustituyendo:
t
+ ·r )(m + r _1)c m xm+r_l +
(m
2
m=O
+
t
+ r)cmxm+r_l
(m
ffl=O
t
cmxm+r+l
=
O
m=O
Tomando las sumatorias con menor exponente en las x, y m = O,
r(r - 1) ca
COr(r
+ 1) = O,
como ca *- O ~ r(r
+ 2r ca = O
+ 1) = O
r2 = -1
00
~ Yl
=
X
O
L
00
Cm xm
Y2
Y
L
= kYl ln X + x- 1
m=O
b m xm,
m=O
será la forma que tomarán para este caso Yl y Y2' Multiplicando por x
las sumatorias:
+
t
c m xm+r+2
m-O
=O
m+2=k
00
2: (k + r) (k + r -
00
1) Cl<xl<+r
1<=0
+2
L (k + r)
00
Ck
xk+r
1<=0
k=2
Para k = O obtenemos la ecuación de índices.
Para k
= 1,
Para k
= 2,3, ... ,
(1
+ r)r Cl + 2 (1 + r) Cl = O ~
Ck
=
-CI<_2
-------'='-------
(k
+ r) (k + r +
+L
1)
Cl
=O
cl<_ 2X l<p = O
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388
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Para
=
Tl
O:
k(k - 1) Ck + 2(k) Ck +
-C _
k
y
Ck
C
k
_
2
=
O
2
= k(k + 1)' k = 2, 3, 4, ...
es la fórmula de recurrencia.
Para k
=
2,
-Co
C2=-6
-Cl
k=3,
C3= -
-=O
12
k=4,
k =5,
CS=O
k=6,
C6 -
Como sen x
~
-
x3
=x -
3/
X
S
-C4
-- -
42
-C o
--
- 5040'
etc.
x7
7/
+- - - +
5/
S
sen x
X2
X
x
3/
5/
x7
- - = 1 - - + - - - + ...
:. Yl
=
7/
sen x
Co--.
X
Para obtener Y2 se usa clialquiera de los métodos del ejemplo 3. También
se puede probar la misma fórmula de recurrencia para T2 = -1, la cual
a veces da la solución correcta.
Para
T2
= -
1
b k -
-b
k_2
(k _ 1 )k'
k
2 3 4
= " , ...
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
Para k
= 2,
k = 3,
k=4,
b - - b2 _ bo
4 12 - 24
k = 5,
bs =--- = 0
~b3
20
k=6,
y
Yz
= Oy1lnx + ;c
1
= b o(1 -
X2
21
x4
x6
41
61
+ - - - + ... ) = b o cas x
bocas x.
A veces no aparece la función logaritmo natural.
cosx
Como Yz = bo- -, la solución general es:
x
sen x
y = Co-x
+b
sen x
x
0 - -.
Por el método de la fórmula :
e-f ~ dx
Yz = Ylf
= Yl
Yl
f __
1_
sen2 x
sen x
= ____
x
0
dx
= Yl
cos x
sen x
_ __
x_z
dx = Yl
2
f
f-xz-
csc 2 X dx
-
-2-
sen x
=-
= _-casx
___
x
cas x
~Y2=bo --­
x
y
y
= C osen-x --x + b
(J -
cas x
--.
D
x
dx
Yl cat x
389
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390
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Ejercicios 6.6
Usar el método de Frobenius para obtener YI y Y2 de la solución general en el
punto singular x = o.
TI -
=1= número entero.
T2
+ (x + l)y' + 3y = O
1. 2xy"
R espuesta: YI
_.1 / 2
=:.\.
7
(1 - - x
6
143
21
+ -:.\.
-
11 3
-x
_.2
40
143
+ __
x
80
4
5760
5
- - - x + ... )
15360
Y2
2. 3x2y"
= ( 1 - 3x + 2:.\._.2 - -2
3
+ 2xy' + X3 y =
Respuesta: YI
X
3
+ -1
7
4
1 5
x - - x
45
O
x3
30
= ;¿/ 3 (1 x3
24
9
+ -X- - -x - + ... )
Ó
-
3420
X
861840
r
Ó
y2 - ( 1 - - + - - - - +
-
2"
3 . xY
1
,
1
-6 xy +T Y =
Respuesta: YI
4. 3ry" -- xy'
Y2
+ xy'
2448
-
=
572832
O
3r + -x - + -x - + ... )
70
210
1680
7
+x
X3 y
=O
r
- -
2
xli "
(1
x3
30
- -
= (1
4
x4
60
+ - + ... )
+ -x + -x:- + -x - + ... )
9
21
1638
280098
x
x
r
+ 15
- + -990 + -+
151470
3
Y2
3
x
X4 / 3 (1 - - - - -
= (1
=
)
2 3
X / ,
3
Respuesta: Yl
...
O
+ (r + x) y =
Respuesta: YI
5. 2ry"
=
+ ... )
6
... )
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
+y =
6. 4ry" - (x - r ) y'
r
x
+ - - - - + ... )
3
x
Respuesta: Yl = X (1 - 7
7. 3xy"
O
77
1155
+ y' + 2y = O
Respuesta: Yl =
r/
3
r
x
x
+ - - - - + - - - ... )
3
2x
(1 - 5
20
330
4
3
+ (1
Respuesta: y¡
Y2
9. 4ry"
+ xy'
9240
r x
x
+ - - - + - - - ... )
Y2 = (1 - 2x
8. 3ry" - xy'
4
2
21
420
- x) Y = O
X
Xl
= X( 1 + -
Xl
X'
)
+ - + -- +
+ ...
5 80 2640 147840
= r/:J (1 + x + -r8
- (1
+ x) y =
Respuesta: Yl = x(l
x3
x4
+ -168
-+- + ... )
6720
O
X
x3
X2
+ -9 + -234
-+-+
11934
x4
1002456
r
x3
x4
Y2 = X- 1 / 4 (1 - x - - - - - - - - 6
126
5544
10. 3ry" - xy' -
(X2 -
x) Y
11. xy" - y'
+ 4x y =
3
=
X
7
2X2
+-
35
x3
17x4
195
17472
- - - + - - - ... )
entero positivo.
O
Respuesta: y 1 = sen r,
.. . )
=O
Respuesta: Yl = x4 / 3 (1 - -
r1 - r2
+ ... )
Y2 = cos r
391
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392
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
3
12. (1 - x) y" - -
x
2
+-
y'
= O
y
x
4
Respuesta: y¡
= - -x -
xl
+ 2x + r
(1 -
Y2
13. ry"
= 3
+ 6xy' + 4y =
Respuesta: y¡ = x14. 2ry" - x!y' - (x
Respuesta: YI =
15. xy"
+ (x -
O
,
-j-
4) Y
(1
+-
=
O
3
x
8
1) y' - y
Respuesta: Y¡
16. ry" - x(3
X2
l
= 2 (e-
=
3
x!
40
+-
1
+-
96
x3
1
+ - - x + ... )
4
896 '
O
1
X
-
+ x)y' + 2xy =
+ x)
O
8
Respuesta: y¡ = x4
Y2
=
(1
17. x!y" - x(4 - x) y'
2
1
2
x
+ _x
+ -x·
+ __
x + - - + ...
5
5
10
2
1
+ -3 x + -6
+
+ 3y' + 4x y =
3
105
336
r)
(6 - 2x) y = O
Respuesta: y¡ = -r(e18. xy"
7
X
-
1),
O
Respuesta: y¡ = x- 2 sen x!,
19. x!y"
+ 4xy' + (x! + 2) Y =
Respuesta: YI = x- 2 sen x,
O
Y2
= x- 2 cos X
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
20. 'X!y"
+ 6xy' + (6 -
X2) y
=
O
Respuesta: Yl = x - 3 senh x,
Raíces iguales rl
21. xy"
+ y'
- y
+ (x
=
= x-
r2.
00
xm
m= O
(m!l
L: - -
Y2 = y1lnx
22. xy"
Y2
=O
Respuesta: y 1 =
- 1)y'
+ (-
2x -
3_.2
-;¡.
4
11 3
--x
-
J08
+ ... )
1
+ (- -1)y =0
x
Respuesta: Yl = X
23. xy"
+ y' + y =
O
Respuesta: Yl = 1 - x
Y2 = Yl ln x
24. xy"
+ y'
X2
x3
x4
x5
4
36
576
14400
+ - - - + - - - - - + ...
3
+ 2x -
_.2
- x
4
11
+ -J08
-x
3
-
...
- 4y = O
Respuesta: Yl
16
= 1 + 4x + 4X2 + _x
9
4
16
+ _x + __ x + ...
3
4
9
225
176
27
2
3
Y2=y¡lnx-8x-12x - - - x -
25. xy" + y' + x2y = O
Respuesta: y 1 = 1 Y2
x3
9' +
393
JI!
x6
324 -
= Yl ln x + -272 x
3
26244
1
6
- -- x
324
+ .. .
+ ..
5
3
cosh x.
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394
RESOLUCIÓN
26. xy"
+ y'
-
Respuesta:
+ x(l
Respuesta:
MEDIANTE
SERIES
x2
x4
= 1 + Z + -2-2
2
-
x)y'
y¡
= e"
2.4
-
x6
+
+ ...
~62
2.4.
1
I
B.
CO
r-
=1
1'(r - 1)
+ 1) =
CO (l + r+
3y' - 2x
CO
[1'(1'+ 2)J
33. xy"
A.
•..
~,j,.J,1
CO (1'2 -
O
+ 4r +
CO (1'2+ 41' +
CO (1'2+ 2r -
B. co(r2
~.p
e'~'"
l'f';'
=
A.
D.
=O
xy
Y2=y¡lnx-x--~--x
••
t
DE ECUA
C. cor(r
3
4
128 x -
4 x2 -
,f j4.tld'-j~~
r
SOLUCIÓN
32. xy" - y
Y2 = y¡ln x -
27. x2y"
DIFERENCIALES
=O
xy
y¡
DE ECUACIONES
3
11
4
36
3
---x
25
4
288
-
...
C.
D.
28. ~y"
+
+
(X2 - x) y'
Respuesta:
y¡
y
34. x2y"
= xe-
Y2 = 1'¡¡ 1n x
.
29. (~-
x) y"
Respuesta:
30. xy"
+ y'
Respuesta:
+ (3x
y¡
-
-
+
1) y'
2
3 3
x - - x
5
+ -18
x
4
4
-
B.
1
lnx
Y2 = 1 _ x
1- x
2
xy' -
2
co(r --)
1
2
3
2
1
2
C. co[r--r
2
2
D. co[r +-r
=O
= 1 + 2x
1
+-
A. cor(r--)
+ y =O
= --,
2y
y¡
=O
X
+ ~ + ~X3 + ~X4 +
9
35. xy"
36
22
_.2
Y2 = y¡ 1n x - 4x - Bx -
-
27
+ (1 -
3
2
2x)
A. eo [1'(1'-1)
3
x B.
CO
(1
+ rj2 =
C. co(r2-2r
31. Usar el método de variación
de parámetros
J
para obtener:
D. cor
=O
e-Sf(X)dX
Y2 = y¡(x)
En los siguientes
Índices:
ejercicios
y/ex)
dx
escoger la opción que contiene
36. 16 xV'
la ecuación
+ 3y
=
A.
Co
[16r (r -
B.
CO
(16r
de
+ 16
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ES MEDIANTE
SERIES
SOLUCIÓN
DE ECUACIONES
ALREDEDOR
DE PUNTOS
SINGULARES
395
32. xy " -y=O
A.
CO
(1'2 -
B.
CO
1'(1' -
C.
co1'(1'
D.
33. xy"
A.
=O
+ 1) = O
1)
=O
+ 3y' - 2xy = O
co[1'(1' + 2)J = O
(1'2 + 41' + 3) = O
(1'2 + 41' + 1) = O
(1'2 + 21' - 2) = O
(1'2
CO
B.
CO
C.
CO
D.
=O
1)
t -
+r
-
1)
.
CO
,~
2"
34. xy
+-xy
1
,
2
2
1
=O
3
-)
=O
2
e¿ (1'
-
2
13
C. e¿ [1' 2 - -
D.
35. xy"
Co
[1'
+
2
2
1J
+
(1 - 2x)y'
-
1) -
21'J
=O
(x -
=O
+ 1']2 = O
B.
CO
c.
e¿ (1'2 -
(1
=O
r - -J
2
+ -32 r -
A. co[r(1'
21' -
1)
=O
D. cor2 = O
36. 16 xV'
.ene la ecuación de
"
A. co1'(1' - -)
2
B.
er:
3
--y=O
A.
Co
+ 3y
=O
[16 r (1' -
B. co(16r2
1)J
=O
+ 16r + 3) = O
1)y
=O
"
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396
RESOLUCIÓN
C.
Co
(16r2
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
SOLUCIÓN
DE E'
+ 3) = O
16r
-
DE ECUACIONES
D. No tiene, por ser ecuación
Encontrar la opción que contiene
la ecuación de Índices:
t
B. Y¡=
de Cauchy-Euler,
m=O
la forma general
de Yl y Y2, a partir
de
C.
D. y¡=
37. xy"
m=
+ 3y'
-
=O
2xy
A. Yl
=
¿ cmxm
Y2
= x- ¿ bmxm
¡rt.",
B. Yl =
m=D
t cmx
m
Y2
= ky1ln
x
A. y¡ =x
"
t bmxm
+ x-
2
m=D
m=O
l,
- xy'
2
m=O
Il-q¡~:;
40. 2xV'
00
00
1~ .•,,··fI,.f,.j"~
B. y¡
= xlI
t':.
;1I"
••
00
00
j,1'
¿ cmx
m
C. Yl =x
Y2
¿ bmxm
+ x-
= y1lnx
2
m=l
m=D
00
D. Yl = X
¿ cmxm
Y2
t
= x-2
38. xV'
+ 3x(1 + x)Y' + (1
-
3x)y
00
A.
¿ cmxm
u, = x-1
bmxm
Y2
=O
Escoger la
t bmxm
= Yl ln x + x-1
00
00
u, = x-1
¿ cmxm
Y2
= x(y1lnx
¿ bmxm)
+ x-1
cmxm
Y2
= x-¡ ¿ bmx
m
m=D
m=D
C.
=
¿
Y2
ID
cmx
¿ bmxm
= Y¡ ln x + x-1
m=l
m=O
39. xy"
+ y = (j
A. Yl
=x
u.=c
00
00
D. Yl
= ea
B. y¡=e
00
00
=¿
A. y¡
m=l
m=D
C. Yl
41. x(I - x) y"
m=l
m=D
B.
D. y¡=x
m=D
m=D
C. y¡=xl
42. xy"
t cmx
+y
00
m
m=O
D. No ti
Frobe
Y2
= ky ln x +
¡
¿ bmxm
m=D
A.
u.>«
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MEDIANTE SERIES
SOLUCIÓN
DE ECUACIONES
ALREDEDOR
DE PUNTOS
cc
ec
Bo Yl =
397
SINGULARES
¿ cmxm
Y2
= Yl In x + x
¿ bmxm
m:::::I
m=O
ec
Yl Y Y2, a partir
c.
de
Yl
¿ cmx
=X
m
m=O
Do Yl =
cc
'"
¿
cmx
m
Y2
= Yl In x +
2xV'
-
+ (1
xY'
=O
- x) y
ec
ec
Ao Yl = X
m
m=l
m=O
40.
¿ hmx
¿ cmxm
Y2
¿ b-x"
= y1ln x + Xl/2
m=O
m=O
ec
00
Bo Yl = Xl/2
¿ cmxm
¿ bmxm
+x
= y1lnx
Y2
m=O
o""
m=O
,
Co
¿ cmxm
u. = Xl/2
Y2
m=O
t cmxm
eo
= XI/2
Y2
m=O
x(1 -
x)Y"
+ 2y' +
2y
la solución Yl de las siguientes
ecuaciones:
=O
x2
A. Yl=COX-1(1-x+--
B. Yl
¿ »:«:
ffl=O
Escoger la opción que contiene
41.
¿ bmxm
= kYl In x + x
m=O
Do Yl = X
'.
eo
cc
2
000)
eo
= coy1lnx
¿ bmxm
+ x-
1
m=U
2
C. Yl
= Co (1 -
Do No tiene
x
+ -)
x
2
solución
en el punto
Frobenius.
42.
xY"
+ y =O
Ao Yl=CO(1--+----+
X
x2
x3
2
12
144
000)
singular
x
= O,
por
el método
de
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398
RESOLUCIóN
B. y¡ = ca
t
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
m
x +¡
(-:-1r
DE EC
SOLUCIóN
Respuesta: YII
m=O
donde
rl - r
00
C. y¡
= e¿ y¡ In
+¿
x
bmxm
Respuestas:
m=O
D. y¡
43. 3ry"
=O
32. B. La opcíó
+ X2)y = O
- 2xy' - (2
2
3
x
A. y¡
= e¿ (1 - 2 -
B. y¡
= ca(1
C. y¡
=
D. y¡
= eo ( -
Co
4
X
12
_
40
x4
26
1976
x4
x6
26
1976
(X2 +
x__
480
__
La opció
... )
La opció
+ ... )
33. A. La opcíé
primeras
- + --
1-
5
~
x2
+- +-
la o las
+ ... )
r
x4
- 26 - 1976
... )
34. C. Las opc
+ xy'
44. ~xV'
4
_ .
A. y¡-cox(1
B.
_
y¡ -
4
+-x+-x
3
_4
Co
_
C. y¡-co(1
+ 1)y = O
- (2x
X
(1
+
4
-~x
3
16
2
21
16
+-
21
4
16
+-x+-r+-x
3
21
La opci
16
+-x
63
x
2
32
+--x
567
3
16
+ --
63
16
3
63
x
3
4
35. D. La opci
+ ... )
La opci
+ ... )
La opci
+ ... )
36. C. A la o
La opci
4
D. y¡=co(-1+-x--r--x
3
16
16
21
63
3
+ ... )
La opc
resolver
45. Probar que la ecuación diferencial x4y" + y
por el método de Frobenius y es: y == O.
= O tiene
46.
por el método de Frobenius,
Determinar la forma que deben tener
de la ecuación:
x2y" - y'
YI y Y2,
+ y =O
una sola solución
37. B. La opc
La opc
r, =r2'
La opc
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SOLUCIóN DE ECUACIONES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
.,
Respuesta:
Yl
=
L
.,
Cm
xm+T 1
=L
Y2
TI -
1'2
bm xm+T2
m= O
m= O
donde
399
= ..j3 i.
Respuestas:
32. B. ' La opción A toma las dos sumatorias, siendo que sólo deben tomarse
la o las que contienen la variable x con el menor exponente.
La opción C toma m = 1 en los coeficientes y debe ser m = O.
La opción D contiene los errores de A y C .
33. A. La opClOn D toma las tres sumatorias y sólo deben tomarse las dos
primeras por tener la x el menor exponente.
La opción B supone m = 1 en los coeficientes y debe ser m = O.
La opción G contiene los errores de B y D .
34. C. Las opciones A y B omitieron una sumatoria cada una.
= 1, en
La opción D toma m
= O.
vez de m
35. D. La opción A tiene equivocado el término - 21' que debe ser
+ T.
La opción B toma m = 1, en vez de m = O.
La opción C toma dos sumatorias de más.
36. C. A la opción A le falta una sumatoria.
La opción B toma m
=1
en vez de m
= O.
La opción D supone que una ecuaClOn de Cauchy-Euler no puede
resolverse por el método de Frobenius.
37. B. La opción A supone
La opción C supone
1'1
=
TI TI
1'2
*-
entero y
TI -
1'2
=O-
= 1 Y debe ser = O para
1'1
Yl
( - 2)
y para
= 2.
Y2
supone
1'2.
La opción D contiene los errores de C para
Yl
y de A para
Y2'
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400
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
TI = Tz = -1, entonces Yz debe multiplicarse por x, lo cual no está definido en el método de Frobenius.
38. A. La opción B supone que como
La opción C toma raíces de la ecuación indicial
ese caso tampoco Yz tendría esa forma.
TI
=
OY
Tz
=
La opción D tiene error en la Yh que debe multiplicarse por
39. A. La opción B debe tener a
Y además supone que TI
multiplicada por x porque
lo cual es falso.
Yl
=
TI
=
1
-1, en
X-l .
> Tz =
O
Tz,
=1= entero.
La opción C supone
TI -
La opción D supone
TI
= = O.
40. D. La opción A supone
TI
=
Tz
Tz
Tz,
cuando
1
TI
= 1 Y T2 = - .
2
La opción B contiene el mismo error anterior y además tiene intercambiadas TI y Tz, TI = 1 debe pertenecer a la solución YI.
La opción C, además de tener intercambiadas
Tz = entero.
TI
y
Tz,
supone
TI -
41. C. La opción A toma
infinita.
TI
= -1,
en vez de
TI
=
O Y supone una serie
La opción B expresa la forma general que toma
se pregunta por Yl.
Yz
en este caso, pero
La opción D está en un error porque el método asegura que al menos
hay una solución del tipo Frobenius.
=
42. B. La opción A está incompleta, falta multiplicarla por XTl x.
La opción C propone la forma general de la Y2 y se pregunta por
Yl.
La opción D trabaja la fórmula de recurrencia para Tz = O, con lo
que se anula Cl Y el resto de las constantes, además supone Co o.
=
43. C. La opción A resuelve para
1
T2
= - -,
en vez de
3 .
TI
= 2.
La opción B está incompleta, debe multiplicarse por xz.
La opción D, además del error en B, supone que la fórmula de recurrencia es
Ck
=
-c
k(3k ~27)' Y ambos miembros son positivos .
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401
ECUACIÓN DE BESSEL
44. A. La opción B propone como
TI
=-
4, en vez de
rl
La opción C está incompleta, falta multiplicar por
= 1.
= x.
T
X l
La opción D supone que el resultado es una serie alternante.
Ecuación de Bessel
Una ecuación de gran aplicación en ingeniería es la ecuación de ~essel, que
tiene la forma:
Donde v > O es un parámetro real y x = O es un punto singular regular.
Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel
Gran cantidad de ecuaciones son de la forma:
xV'
+ axy' + (h + exm ) y = O
(2)
Donde a, h, e, m son constantes (e> O Y m =1=- O) se reducen a una ecuación
de Bessel mediante las siguientes sustituciones:
_(t )-IX /fJ
y-
y
u,
Quedando:
a -
Donde a
1
= - -2 -'
m
~=-,
2
2.,;r;
y= -
-,
m
y2
=_
(a_-_1_Y__ 4_h
m2
Nota: Cuando e = O Y m = O la ecuación ( 2) es la de Cauchy-Euler. También
pueden usarse otras sustituciones apropiadas.
EJEMPLO 1
Dada la ecuación diferencial y" + y = O, probar que la transformación
y = Yx z la convierte en una ecuación de Bessel.
Entonces: y =
x! / 2 Z
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4ú2
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Derivando con respecto a x:
=
X' / 2 Z'
y" =
X' /2 Z"
y'
+ !-.- X - ' / 2 Z
2
+ X- 1/ 2 z'
-
!-.- X- 3/ 2 Z
4
Sustituyendo en la ecuación dada:
Xl/2
Multiplicando por
z" +
X- 1/
2
1
X- 3/ 2 Z
z' - -
4
+
X 1/ 2 Z
=
O
~/2:
X
2
z"
+ xz' + (x
2
que ya es de Bessel, con parámetro v
-
!-.-)
z = O
4
= ~.
2
Antes ,de entrar en la solución de la ecuación de Bessel, hablaremos de una
importante función: la función Gamma.
Función Gamma
Definición 6.9. La f unción f(n) para n
Fórmula de recurrencia: r(n
+ 1) =
> O se
define como:
n r(n)
Valores de la función Gamma para n = 1,2,3, ...
= 1 r(1) = 1 = 1I
r(3) = 2 r(2) = 2.1 = 2 = 2/
r(4) = 3 r(3) = 3.2 = 6 = 31
r(2)
,I
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ES MEDIANTE
SERIES
ECUACIÓN
DE BESSEL
403
r(5)
= 4 r(4) = 4.6 = 24 = 41
= 5 r(5) = 5.24 = 120 = 51
..................................
r(6)
r(n
+ 1) = nl
= O, 1,2,3,
=1
para n
donde 01
...
Por ello, la función Camrna es una generalización de la función factorial.
=0
Tomando r(n) =
r(n
+ 1) , n>
.
n
O
vemos que r(n) tiende a infinito cuando n se acerca a cero. Queda claro, entonces que r(n) no está definida para n = O, ni tampoco para n = -1, -2,
-3, ... Sin embargo, podemos definir la función Camma para valores negativos que no sean enteros, si en la definición quitamos la restricción de n> o.
••l'•
••
La gráfica quedaría así:
,
1, hablaremos de una
I
I
I
I
I
I
I
I
,I
1
I
I
I
I
o:
I
I
I
I
I
-3,
I
I
I
I
I
I
I
IV
I
,
,
-2,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
,
~.
I
3
2
1
1
-[
-2-
I
I
.\
4
-[
,
I
r(xl
-3
:n4
2
3
x
4
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404
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Algunos resultados interesantes son:
r(x
+ 1) =
lím _ _ _1_.2_.3_._._._k_ _ _ k
(x + 1) (x + 2) ... (x + k)
X •
k->",
r(x
+ 1) =
..j21tx
Xx e
-x(l +
_1_
12x
+
_1_ _ ...)
288x!
Serie asintótica de Stirling.
Para x = n entero positivo y suficientemente grande (por ejemplo n> 10),
la fórmula de Stirling da una aproximación útil para nI
Es decir, el valor de ambos tiende a ser el mismo cuando n -+ oo.
EJEMPLO 2
Hallar el valor de r(3 .5) sabiendo (por las tablas para 1
que r(1.5)
= 0.8862
Como r(n
+ 1) =
n r(n)
sea n = 2.5
-+ r(3.5)
Pero, para obtener r(2.5)
= 2.5 r(2.5)
sea n = 1.5
-+ r(2.5)
= 1.5 r(1.5)
= (1.5) (0.8862)
= 1.3293
:. r(3.5)
= (2.5) (1.3293) = 3.3233.
Solución de la ecuación de Bessel
x2y"
+ xy' + (X2
- y2)y
Aplicando el método de Frobenius:
Sea
y
= L'"
m=O
Cm xm+T
la solución. Derivando:
=
o
<n<
2)
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ECUACIóN DE BESSEL
405
L'"
y'
+ r)cmxm+r-l
(m
m=O
t
y" =
(m
+ 1') (m + r
1) Cm xm+r- 2
-
m=O
Sustituyendo en la ecuación de Bessel :
+
t
c m xm+r+2 -
t
cmxm + r
+r-
y2] = O
..;
m=O
Para m
=O
m=O
=O
Co [r (r - 1)
Como
Existirá, por tanto, una solución de la forma:
Para hallar las
Cm:
L'"
[(m
+ r)2-
m=O
y2]
Cm xm+r
----
+
-
L'"
m=k
t
([k
+ rf -
m
y2] Ck
xk+r
,+
k=O
Para k
=1 Yr =y
Para k
= 2, 3,4, . ..
Cm xm+r+2
=
O
"'=0 - - - -
t
+ 2=k
C k _ 2 xk+r
=O
~ el
=O
k=2
~
(1
~ Ck
+ 2v) Cl = O,
-C _
= k (k + 2v)
k
2
como
y
=1= O
es la fórmula de recurrencia.
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406
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Para k = 2,
- Ca
C2=---
4 (1
k=3,
Cl
=
k = 4,
C4
= .
C3
+ v)
=
C5
-
=
= ... =
C1
C2
4.2(2 + v)
O
- 1
=
4.2(2 + v)
(
-
Ca
4(1 + v)
)
Ca
4
2 .1.2 (1 + v) (2
k = 6,
-
C6
+ v)
-1
C4
= - -- -
Ca
12(3+v) ( 24 .1.2.(1 '+V) (2+V))
6(6+2v)
-
Ca
--,----- --- - - -, etc.
26.1.2.3 (1 + v) (2 + v) (3 + v)
( - 1l'ca
.
\
,k = 1,2,3, .. .
.
2 k! (1 + v) (2 + v) . . . (k + v)
2k
Escogiendo un valor apropiado para
tal como:
Ca,
puesto que es una constante arbitraria,
1
Ca=---2 v r(1
v)
+
y recordando que r(1 + v)
los coeficientes pares así:
C2k
=
vr(v) podemos volver a escribir la fórmula para
(-1l'
2 k+JI k! (1 + v) (2 + v) .. ' (k + v) r (1 + v)
= --:::---,--::-:-------,-- --::----:::---2
22k+v
( - 1l'
k! r (1 + v
+ k)' k =
O, 1,2, . . .
Si v >0, esta serie converge por 10 menos en el intervalo O < x
<
oo.
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407
ECUACIóN DE BESSEL
Funciones de Bessel de primera clase
La serie solución anterior suele denotarse por l v (x), entonces :
.,
(-Ir
(xjm+
l/x) = ,8m!r(I + v + m)
Similarmente, si tomamos
l
1'2
(x) =
-v
v
\2
= - v, .obtenemos:
.,
~~
(-Ir
x
2m _ v
-
Eo m! r(I - v + m) 2
Las funciones l/x) y l _/x) se llaman funciones de Bessel de primera clase de
orden v y -v, respectivamente.
Dependiendo del valor de v, l
converge en 0< Ixl < oo .
- v
(x) puede tener potencias negativas de x y
Soluciones de Bessel
Habrá siempre una Yl de la forma:
Yl
= Ixl L
m
Cm x , que es l/x).
v
m=O
Para ver la forma Y2 consideramos 3 casos:
=
1) Si
TI -
~ Y2
= Ixl-v L
T2
V -
(-v)
= 2 v -=1=
entero positivo
.,
Cm xm que es l _/x)
m=O
y
=
Cl
l/x)
+ C2 l _/x)
es solución general.
2) Si v=O ~ (-Iynl/x)=I_/x) en este caso Yl y Y2 son linealmente dependientes, puesto que es la misma solución. Entonces:
Y2 = Ylx) ln ·lxl
+
"'
L
m=O
bm x
m
,
.
que se obtiene como en el ejemplo 3 de la página 379.
:. y
=
Cl
l/x)
+ C2Y2
es solución general.
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408
RESOLUCIóN
3) Si 2v
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
Y2
= kylx)
In ¡x¡
U sar las tran
de Bessel,
¿ b« xm
+ ¡x¡-v
(ver ejemplo 3 de la página 379).
m=O
:.
y
= el l/x)
+ e2Y2
D
Ejercicios 6.
= entero positivo.
cc
~
ECUACIÓN
es solución
-~
.
1.
general.
Respuest
EJEMPLO 3
Hallar
la solución general
,.,p,..tl
x~"
y
111·I,d
de la ecuación:
+
xy ,
+ (x~
-1) y
16
-
,(.1:
l ~j;~~•
I¡A,! ~·t~:",
,(."
1"
l1
,"
;!l'"''''''''
t::
f';."
Como v
2. xV'
= ~ ~ la solución general en O
4
.
y
<x<
Respuest
00
3. x2y"
es:
2
1 _I/lx).
a
a=-
EJEMPLO 4
Hallar
la solución
general
Como v
=4 ~
+ xy' + (X2 -
la solución general
Y2
y
= el Ux)
+ e21lx)
y
de la ecuación:
ry"
J
16) Y
<x <
en O
J
= llx)
00
2
=ffi
y zz t='
=O
tendrá
una YI
= 14(x)
y
Respues
e-Sdx/X
2
14 (x)
dx
4. x2y" +
dx
-2-'
x14 (x)
Respue
5. xV'+
EJEMPLO 5
Hallar
+ 3.
a zz S; b
+e
= elll/lx)
=O
+x
la solución general
x.2 y "
Respue
de la ecuación:
+
xy
'(
+
4x
2
-
-)1 y
9
=O
6. xV'+
Sea z
~
y
= 2x (y se convierte en ecuación de Bessel), donde
= el llj2x)
+ C21 _1/l2x)
en O
< x < oo ,
1
v=-3
Respue
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409
ECUACIÓN DE BESSEL
Ejercicios 6.7
Usar las transformaciones dadas para reducir las siguientes ecuaciones a otras
de Bessel.
1. x2y"
+ xy' + (9r -
+ xy +
41) y =
,(
= 3x.
4x. .2 -
0,
dx
.
xl/(3x)
f
= 2x.
z
= el l l/l 2x) + e21_1/l2x).
Respuesta: y
3. xV'
z
= el l¡(3x) + e2 l¡(3x)
Respuesta: y
2 • ;¡,.. 2y "
1) y = 0,
+ 3xy' + ry =
°
a = 3, b = 0, e = 1, m = 2,
a - 1
m
2yc
(a a = -=l, ~=-=1, y=--=l, v2 =
22m
y
= (~) -a/ p u, x = (~)l/P
Y
=t-
l
u, x
= t.
1
Respuesta: y =-[ellz(x)
x
+e
2
lz(x)
J
e- J3 d.xjX
l/ex)
dx]:
4. xV'+5xy'+(2+ .r)y=0 (ver ejercicio 3) .
Respuesta: y
5. ry"
+ 7xy' + (3 + x ) y =
2
Respuesta: y
6•
,.2"
;¡,
y
1
= -X2 [el l,,,;(2x)
+ e2 1-v,,,;(2x)].
2
v2
= -x1
3
[el l " 6lx)
+ xy , (
+1
4 x2 -
Respuesta: y
v
°
+C 1
2
-
"lx)]
.
6
v
1)
1
25 Y = 0, . z = "2 x.
x
x
= el 1l / ~(-)
2 + C2 1_1 / 5(-).
2
II - 4b
m2
=1
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410
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
7. ry"
+ xy' + 4 (x
Respuesta: y
4
9) Y
-
= O, z =
= el lir) + e21ir)
8. 4xV' + 4xy' + (x
-~) y = O,
36
Respuesta: y = el 11 j lvx)
9. y"
+ xy =
f
z
X3/ 2\
1
11. Probar que: r(-) =
2
2
2
13 (x )
dx.
+ e2] _l j lvx).
=..¡xCv
(2
+
[1/3\3)
10. Demostrar que: r(n
e- fdxjX
= .,¡x.
O (ecuación de Airy) y
Respuesta: y
r.
+ 1) =
= uYx, z =
Bl
n r(n), n
~ X3j2.
3
, (~X3/2\l.
_1,3
3
)J
>
O
F
Sugerencia: Hacer u = X2 y usar coordenadas polares para obtener pri1
mero: J2 = TI, donde 1 es la definición de la función gamma para x =-.
2
12. Hallar: r( - 0 .5). Respuesta: - 3.5448
13. Hallar: r( - 1.2). Respuesta: 4.8504
14. Hallar: r(2.7). Respuesta: 1.5446
15. Graficar en el mismo sistema de coordenadas lo y
Bessel de orden cero y uno.
Resolver las siguientes ecuaciones de Bessel:
16. ry"
+ xy' + (X2
-
~)y =
4
O
h
las funciones de
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411
ECUACIÓN DE BESSEL
17. x!y"
1
+ xy' + (x!
- 81) Y = O
Respuesta: y = e111/g{x)
18. x!y
11
X2
I
+ xy + 9
+e
2
1 _l/g{X)
x
3
z=-
Y = 0;
x
H..espuesta: y = A lo (-)
.
3
x
+ B lo (-)
f
dx
xl/ (x j 3)
3
19. Probar que en la solución del ejercicio 16 se cumple que:
I
l/i x) = sen
x
Vx
.
SugerenCla: y
(x) = eos x _
y I
Vx
_ 1/ 2
u
= Vx
t
20. Probar que 11jx)
=
(_ lr xym+1/2
L _ _ _ '-2'---_ _ =
m=C
1
Sugerencia: r(-) =
2
21. xy" - y'
3)
m. r(m+2
F
+ 4x y = O
5
2 3
Respuesta: y = x [e 1I 1/ 3 (3 x)
22. y"
+ ~ y' + Y =
x
Respuesta: y
+eI
l
O
= -x!1 [A12 (x) + BI2 (x)
_1 / 3
I
2
(-3 x3 )]
e-Ss/xci::
l/ex)
23 . xy " + -1y ,+1
-y=O
2
A
7tX
,
4
Respuesta: y = rx [C)l¡lVX)
+ ci _l/ivx)]
dx]
sen x
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412
RESOLUCIÓN
xV' -
24.
2xy'
+
(4x4
DE ECUACIONES
-
4)y
MEDIANTE
=O
Respuesta: y = x3/Z [C}5¡l~)
SERIES
RESUMEN
Definiciones
+ e)
J _n(x) = (-lrln(x),
25. Probar:
DIFERENCIALES
_5/i~)J
FUNCIÓN A
Una función es
de x - Xo·
n entero.
Resumen
PUNTO ORDI
Serie
De una ecuacié
cual ambas fun
DEFINICIÓN
Suma de los términos de una sucesión:
PUNTO SING
ec
Il'!'~!;;
~·l."·'
«
.
L
an
= ao + al + az + . . . + an + ...
Es aquel punto
n=O
l'ffl.'tt
¡fj"",.r·J'
ALTERNANTE
PUNTO SING
ec
L
(-lynan=ao-al+az-a3+
.. ,
+ (-lynan+
...
n=Q
Si al multiplic
x
Xo·
=
PUNTO SIN
POTENCIAS
Si a pesar de
Taylor.
'"
L
Cn
(x -
ti]",
a
* O.
n=O
Teoremas
cc
Maclaurin.
L
Cn
xn, a = O.
1. CONVER
n=O
TAYLOR
En una se
Una función se representa mediante una serie, usando:
t
ten) (a) (x -
ayn
b) La seri
ni
n=O
e) Existe
para t
Para e
CONVERGENCIA
Si
Ix - al <
a) La seri
R, R es el radio de convergencia.
lím \e
n
PRUEBAS
DE CONVERGENCIA.
Ver páginas 322 a 325.
n->oo
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413
RESUMEN
Definiciones
FUNCIÓN ANALÍTICA EN UN PUNTO
Una función es analítica en
de x - Xo.
Xo
si se puede desarrollar en una serie de potencias
PUNTO ORDINARIO
De una ecuación diferencial: y" + f(x) y' + g(x)tJj = O es aquel punto Xo en el
cual ambas funciones f(x) y g(x) son analíticas.
PUNTO SINGULAR
Es aquel punto Xo en el cual f(x) y jo g(x) no son analíticas.
PUNTO SINGULAR REGULAR
Si al multiplicar f(x) por (x - xo) y g(x) por (x - xol ya son analíticas en
x
=
Xo.
PUNTO SINGULAR IRREGULAR
Si a pesar de los productos anteriores no son analíticas en x
= Xo.
Teoremas
1. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS
En una serie
..
¿
cnxn se cumple exactamente una de las tres:
n= Q
a) La serie converge solamente en x
= o.
b) La serie es absolutamente convergente en x
E
R (reales).
c) Existe un número R > O tal que la serie es absolutamente convergente
para toda x que satisface Ixl < R y diverge cuando Ixl > R.
Para encontrar la convergencia : Prueba de la razón.
lím
n-+ oo
c
I
xn+ll
n+l n
en
X
=L
donde L
<
1 da la convergencia.
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414
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
2. ANALITICIDAD
3) Se sus
4) Se util
a) Si f(x) y g(x) son analíticas en Xo
~ f(x) + g(x), f(x)' g(x) y f(x)/g(x),
son analíticas en xo.
b) Si f(x) es analítica
f'(xo) =F O
~ f-l(X)
.
J.I"':·~
5) Se ext
todas
es la función
inversa,
continua,
con
Y UNICIDAD
n=O
es analítica
I
en Xo
Método
segundo
DE LA SOLUCIÓN
Sea y" + f(x) y' + g(x) y = O una ecuación diferencial
con un punto ordinario en x = Xo y sean a, b, constantes arbitrarias. Existirá una función única
y(x) analítica en Xo que es una solución de la ecuación dada en los alrededores de Xo .y satisface las condiciones iniciales y(xo)
a y y' (xo)
b. Si el
eL$tlfJ
•
=
¡f'I.••••.•I'JI
dominio
de f y g es
también
es válida
Ix -
xol
en el mismo
6) Se igt
7) Se ob
en xo.
c) Si g(x) es analítica en Xo y f(x)
~ f(g(x))
es analítica en xo.
~:;~:
g(xo) =F O
en Xo y f-¡(x)
es analítica
3. EXISTENCIA
RESUMEN
<
R, con
>O
R
~
y(x)
=
.,
=L
cn(x -
xot
n=o
intervalo.
1) Sup
Lm
6) Se
el
7) DE
TI:
4. EXISTENCIA
DE UNA SOLUCIÓN ALREDEDOR
DE UN PUNTO SINGULAR REGULAR
8) Se
so
Sea y" + f(x) y' + g(x) y = O una ecuación diferencial
con un punto singular en x
Xo, entonces siempre existe al menos una solución de la forma:
=
TI
.,
y(x)
= (x
-
xol
L e; (x
-
xor
n=o
Que converge
Método
para
1) Suponemos
Ix -
en: O <
resolver
xol
una ecuación
< R.
diferencial
mediante
series
de potencias
una solución:
.,
y
=
L
n=o
Cn
2) Se deriva
dada.
xn [x¿ punto
tantas
veces
ordinario¡
como
indique
el orden
de la ecuación
diferencial
r
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415
RESUMEN
3) Se sustituyen y y sus derivadas en la ecuación diferencial.
4) Se utiliza un cambio de variable para igualar los exponentes.
5) Se extraen de las sumatorias los términos de las que tengan más, para que
todas empiecen con el mismo índice.
6) Se igualan los coeficientes de ambos lados de la igualda~.
7) Se obtiene la fórmula de recurrencia para obtener el valor de cada
n = O, 1,2, . .. y se establece la serie solución.
Cn ,
para
Método de Frobeníus (alrededor de puntos singulares para ecuaciones de
segundo orden).
00
1) Suponemos la solución y
=
2::
Cn
xn+T
n=O
Los pasos 2 al 5 son iguales al método anterior.
6) Se toman la, o las sumatorias de menor exponente y se hace n
el fin de obtener la ecuación de índices, con co"* o.
7) De 1a ecuación de índices se obtienen dos raíces
rI
rI
y
r2.
= O,
con
Tomamos siempre
> r2 .
8) Según sean
solución:
rI -
r2
"*
rI
Y r2 hay tres casos con sus correspondientes formas de
entero
00
YI
=
X'·I
2::
Cn
xn,
co "* O
n=O
00
Y2
= XT2 2:: b n xn, bo"* o.
n=O
YI
= xT ten xn, Co"*
O
n=O
Y2
=
00
YI
ln
X
+ xT 2:: bn xn.
n=l
rI -
r2
= entero positivo
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416
DE ECUACIONES
RESOLUCIóN
=
y¡
MEDIANTE
SERIES
AUTO EVALUACIÓN
Propiedades:
ec
XT¡
¿ cnxn,
=1=O
Co
cc
¿ b;
+X2
In x
y¡
r(I)
r(n
n=o
=k
Y2
DIFERENCIALES
T
r(-~
b, =1=O.
z",
2
n=O
y
y
= e¿ y¡
+ b¿ Y2
9) Para encontrar
recurrencia
la
será la solución
y¡ se usa el método
T
general
por la
T¡
general
Autoevaluaciónl
en los tres casos.
anterior sustituyendo
en la fórmula
obtenida en la ecuación de índices.
de
1. Encontrar
alrededor
la
de
2. Escoger la op
"
10) Para obtener Y2, se puede
la fórmula de recurrencia,
~.:;~;
.
a) Variación
~
b) Directamente
.ii·~~:p,·,
..•,.'"
.~
probar el mismo
o bien usar:
de parámetros
(todo
Y2
coeficiente
de y'
coeficiente
de y
~., •• I,.,I!'·JI
donde
p(x)
=
..
sustituir
T2
en
radio de con
el proceso)
= y¡
la fórmula
procedimiento:
e-
J
A . Conjunto
SP(X)dX
dx
y/
B. Conjunto
C. Conjunto
"
D. Conjunto
e) Por diferenciación.
3. Encontrar el
Ecuación de Bessel
xV'
+
xy'
+ (r -
y
es el parámetro.
=O
y2) Y
4. Calcular la s
sión de 10-5:1
Solución:
Si
y
=1= entero
y =
Si
y
= entero
y
=
C¡ ]
C
Jx)
+C
2 ]
_Jx)
J v (x) + C 2J v (x)
¡
f
e- SP(X)dx
]
v
2(X)
5. Definir funci
dx
6. Enunciar el
mediante
ser
Función Garnrna
Definición:
Fórmula
r(n)
=
l'"
de recurrencia:
7.
t'::' e=' dt
r(n
+ 1) = n r(n)
Escoger la o
y" + f(x)y'
A.
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ES MEDIANTE
SERIES
AUTOEVALUACIóN
417
6
Propiedades: r(1) = 1
r(n+1)=nf
1
r(-¡) =
es casos.
ndo en la fórmula de
ción de Índices.
ento: sustituir rz en
F
Autoevaluación 6
1. Encontrar la serie de potencias correspondiente a la función
alrededor de x = o.
y
= XZ e-X
2. Escoger la opción que contiene el conjunto de convergencia absoluta y el
L'"
radio de convergencia de la serie:
n:O
A. Conjunto
(-1,1)
R=1
B. Conjunto (-1,1]
R =1
C. Conjunto [-1,1)
R=1
D. Conjunto [-1,1]
R=1
xn
--o
Vn
3. Encontrar el radio de convergencia de la serie:
t
n=o
2nxn
n
+2
4. Calcular la siguiente integral, mediante series de potencias con una precisión de 10-5:
i
l
o
sen x dx
x
5. Definir función analítica en un punto.
6. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones obtenidas
mediante series de potencias.
7. Escoger la opción que contiene la definición de punto singular regular de
y" + f(x)y' + g(x)y
O.
=
A. Es un punto en donde las funciones f(x) y g(x) no tienen, ni pueden
tener una representación en series de potencias.
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418
RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
B. Es el punto Xo que al formar los siguientes productos
g(x) (x - xof hace que sean analíticos en xO.
SERIES
f(x) (x - xo) y
AUTOEVALUACI,
11. Elegir la
obtenida p
C. Es el punto Xo que al formar los siguientes productos
f(x) (x - xof y
g(x) (x - xo), hace que sean desarrollables en series de potencias.
A. Y
= Ca
D. Es el punto donde una ecuación tiene representación
tencias, no importando
punto.
si están definidas
en series de poo no las funciones en dicho
B. Y = Ca
+ ba(1
8. Resolver mediante series de potencias
y" + xy'
y, alrededor de x
o.
=
=
~;;;:
"
e't~~~'
.'
la siguiente
ecuación
diferencial:
9. Seleccionar la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial:
lr,:I,c1
•.
+ xy = x3 -
y"
e1~"··'
x
+x----+--+
x
x
12
180
x3
x4
x6
6
12
180
3
A. y=co(1
4
6
+_3_X8_
D. Y
= Ca
12. Dadas: la
3
2
40
Con
rl
=
)
2240
B. y = Co (1 - x
= Ca
1
:x:
",)+Cl(---X5
6
C. y
...
+- - - +-
- ... ) + Cl( -
:x:
2
3
+-
40
Encontrar
x5
+ ... )
X8
- 2:40
13. Escoger la
tenida al
6
x
x
180-12960+'"
X3
C. Y=Co
(
1-6+
1
3
__ X2 + -x5
D. y
=
2
40
a (1 -
6+
C
:x: _
+ 2"
9
x3
~X5
40
_
3
--XS_
2240
6
X
x'
x'
12- 504+'"
9
x_+
12960
+_3
(
+c¡ -x+
)
x2y" + 3xy
...
__
180
)
",)+Cl(-X+---+
x4
x7
12
504
... )
A. xV'
+
_
X7
2240
y =CO
10. Encontrar la ecuación de índices, la solución completa Yl y la forma general
de la solución Y2 (método
xu"
de Frobenius)
+ (1
- x) y'
B. t2u"
de:
+ y =O
y=-
+
1
x
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419
AUTOEVALUACIóN 6
11. Elegir la opción que contiene la solución general de 5xy"
obtenida por el método de Frobenius:
A. y = Ca X 4 / 5 (1 - ~
9
x
B. y = Ca (1 - -
9
+ ba(1
=
Ca
252
14364
12
9" +
4 5
X / (1
x:
xZ
252 -
14364
TI
+ ... ) + b a X
~ + ~ - ... ) + b a (I
-
9
252
+ 2ry =
12. Dadas: la ecuación xY" - y'
Con
+ .. .)]
+ -x:- - --r- + .. .) + ba Yl In x
X
D. y
- x
O,
+ -r - ... )
- x
C. y = Ca (1 -
+ ... ) + ba[YlInx + (1
+ y' + y =
_
X
xZ
4 5
/
(1 - x
+ 12
- ... )
+ x: - ... )
12
O
= 2, = O Y la solución:
Tz
Yl=CaX• .2 ( l - -2
x '.- + -1- x 6 - -1- x9
15
180
8910
+ ...
)
Encontrar Yz.
13. Escoger la opción que contiene una ecuación de Bessel y su solución obtenida al reducir la siguiente ecuación:
xZY"
+ 3xy' + (- ~ + r) y =
2
y
A. x:u"
y
B.
=
~u"
O, usando las siguientes transformaciones:
u
= -,
x =t
t
+ xu' + (x: - ~) u =
Ca IV372(x)
o
Y
O, con solución:
+ Cl 1 _~x)
+ tu' + (f
3
- -) U
2
=
O, con solución:
u
=-
x
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420
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
C. ru"
y
+ xu' + (r - ~) u =
2
O, con solución:
1
= -[c
o JV3i2 (x) + clJ._V312(x)
X
D . fu"
y =
+ tu' + (f - ~) u
2
Co
J 3/ i x)
= O,
f
dx(2
-J
)i
3/ 2 x
con solución:
+ Cl J_ 3/ 2(X)
14. Esc oger la opción que da la solución de:
+ xy' + (l-r -1)y =
ry"
B. czfz(x)
+ c2flx)
x
C. clJz(-)
4
16
O
dx
--xJ/(x)
J
J
+ c2Ji-x
dx
x!/ (x / 4)
)
4
15. Encontrar la solución de la siguiente ecuación de Bessel:
_.2
;¡;
y"
+ xy , + (x 2 - -4 ) y =
9
O
Respuestas de la autoevaluación 6
2. C. Como converge en x = - 1, las opciones A y B están erróneas, y como
diverge en x = 1, las opciones B y D están mal.
3.
R=~
2
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421
AUTOEVALUACIóN 6
4. 0.94608
5. Ver pág. 346 del texto.
6. Ver pág. 359 del texto.
7. B. La opción A define un punto singular irregular. La opción C tiene los
factores intercambiados. La opción D no analiza el caso de la singularidad para ver si es removible.
x:
x6
X4
8. y = co(1+-- - + --+ ... )+CIX.
2
24
240
9. C. Las opciones A y B toman de forma incorrecta la fórmula de recurrencia que debe ser:
-C _
k
Ck
+2
(k
y 20 C s
.
1
+ 2) (k + 1)'
+ C2 =
k
=
1,2,4,5,6, ...
1 para k = 3.
La opción D tiene un error en el signo.
10. Ecuación de Índices car2 = O
:.Yl =
t
m
cmx , Y2=Yl lnx
+
m= O
y Yl
=
t
bmx
m
m=l
ca(l - x).
11. D. Las opciones A y B suponen que
Como
1'1 -
T2
4
5
1'1 -
4
entonces Yl =
5
= - - O= -
La opción C contiene el error de poner
12 • Y2
= ba (1
- -2 X3
3
T2 -=1=-
+ -1
18
6
1
9
X - -- X
567
+
)
Oo'
TI
X
número fraccionario.
4j5
~ cmx
en la Y2 y
m
1'2
en la Yl'
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422
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
13. B. La opción A no tiene expresada correctamente la ecuación de Bessel,
pues aunque sí tiene la forma, tiene la variable incorrecta en la solución : falta dividir entre x.
La opción C supone que el parámetro es urr entero.
La opción D no toma la raíz de y2 y no divide entre x como sugiere la
transformación usada.
14. C. La opción A no toma bien el parámetro y no transforma la ecuación
a una de Bessel.
La opción B tampoco hizo la transformación.
La opción D no toma bien el parámetro.
15. Y
= cJz/i x ) + el _2/lx)
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423
BIOGRAFíA
Federico Guillermo Bessel (1784-1846)
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424
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Federico Guillermo Bessel
Esencialmente astrónomo, Federico Guillermo Bessel alcanza, sin embargo, cierta notoriedad también en matemáticas. Nacido en Rusia, pero de nacionalidad
alemana, consigue el puesto de director de un observatorio a los 26 años, al
tiempo que se convierte en amigo del gran Gauss.
En tanto que astrónomo recopila datos observacionales y forma un catálogo
de estrellas. Es el primero en calcular la distancia de la Tierra a una estrella
(61 del Cisne), explicando que el aparente movimiento de ésta se debe, en
realidad, a la rotación de nuestro planeta alrededor del Sol. Graci~s a un heliómetro de su fabricación, detecta unas perturbaciones en la órbita de Sirio y
Proción y prevé la existencia de compañer·os para esas estrellas.
En matemáticas establece la ecuación diferencial que lleva su nombre, al
estudiar el movimiento de cuerpos celestes y, resolviéndola, crea las famosas
funciones de Bessel.
Su aseveración en cuanto a los compañeros de Sirio y Proción resulta verificada poco después de su muerte, acaecida en 1846.
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425
COMENTARIOS
Comentarios
Si hay quien lo sabe,
yo lo sé más que ese, y si lo ignora,
más que ese lo ignoro.
Lucha entre este saber y este ignorar
es mi vida, su vida, y es la vida . . .
Juan Ramón Jiménez.
Rompecabezas
=
Un tipógrafo compuso X acba en vez de X = acb a .
Pero, ¡oh sorpresa!, el número X no se alteró. ¿Cuál es ese número?
Solución: X = 2592
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426
RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
COMENTARIOS
Problema
Los pasatiempos
y las paradojas
fueron ya populares
en la antigüedad;
los
hombres de todas las épocas agudizaron
su ingenio con los juegos. Sabemos
que Kepler, Pascal, Fermat, Leibníz, Euler, Lagrange y otros, dedicaron
mucho tiempo a solucionar rompecabezas.
Las investigaciones
en el campo de los
pasatiempos
matemáticos
surgen de la misma curiosidad,
están guiadas por
los mismos principios y requieren las mismas facultades
que los estudios relacionados con los descubrimientos
más profundos
de las matemáticas
puras.
t.
."•.,
"
,.'l'.i~\1J'
trtJ:~f.JP
Representa e
del Verbo en
adaptación, 1
número 6 es
guientes virt
1. Dar h
l,t"ft:~LI
¡!I"..s.~.~1
Propiedades
PARADOJAS
-"
..
Supongamos
una cuerda q
de la soga pe
cuerda. ¿Qué
1
Si 1 - 2
1
1
1
1
+ -3 - -4 + -5 - -6 + ... = ln 2
2. Propof
3. Instrui
reordenando
4. Vivir
obtenemos:
5. Ser to
ln 2
1
1
1
3
5
246
1
1
= (1 + - + - + ...) _ (_ + _ + _ + ... )
=[(1
=1
11
111
+-+-+
35
1
1
2
345
111
oo.)+(-+-+-+
246
... )]-2(-+-+-+
246
6
11111
+r+x +x +
entonces
Euler probó
3
1
4
1- x
para x
1+2
¿Es posible
este resultado
Numeración
1
...)=0
= O.
Si 1 + x
oo.)
-
111
+-+-+_+_+_+
-(1+-+-+_+_+_+
2
3
456
ln 2
6. Dedic
= 2 y quedó
sorprendido
+ 4 + 8 + 16 + ... =
o tiene algún
"pequeño"
del resultado:
-1
error?
http://carlos2524.jimdo.com/
COMENTARIOS
427
Problema
Supongamos que un mono de 10 kg de peso cuelga de uno de los extremos de
una cuerda que pasa por una polea, en un tiempo t
O; del otro extremo
de la soga pende un peso también de 10 kg. El mono decide trepar por la
cuerda. ¿Qué es lo que sucede y cuál es la ecuación representativa del proceso?
=
Propiedades metafisicas del número 6
Representa el principio de movimiento y de reposo. Simboliza la actuación
del Verbo en cada ser, la aptitud generativa, la concordia, la estabilidad, la
adaptación, la ten.tación y la virtud que la resiste. Según los pitagóricos, el
número 6 es la panacea nupcial y para que lo sea, se deben ejercitar las siguientes virtudes:
1. Dar hospitalidad.
2. Proporcionar comodidad a los enfermos.
3. Instruir a los niños en edad temprana.
4. Vivir de acuerdo con la ley.
5. Ser tolerante con el vecino.
6. Dedicar una parte de cada día a la meditación y a la oración.
Numenición hindú (aprox. 200 a 300 A.C.)
- 1
2
o
7
4
7
10
20
T
100
1000
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428
RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
5. (Por) En consecuencia,
por
Dificultad, obstáculo, inconveniente.
HORIZONTALES
tanto.
1. Series de forma cnxn.
6. Símbolo químico del sodio. Símbolo
químico del Niobio. País de Asia Antigua,
patria de los elamitas.
2. Compostura que se hace en el casco
de la nave. Papá ...
3. Vocal. Donad.
Hijo de Dédalo.
7. Consonante.
cal.
Imaginan,
piensan.
Vo-
4. Aspire, solicite. Vocal.
8. Habitantes
enojo.
5. Abreviatura de universidad. Gran astrónomo alemán que trabajó las ecuaciones:
x?y" + xy' + (x? - y2)y = O.
....
,..
•..~.,..~"
¡tl.i
6. Terminación de los alcoholes.
ción. Vocal. Vocal. Vocal.
.'
"1~·1
.•'
Perú.
Cólera,
9. Vocales. Reptil de piel escamosa, cuerpo y cola largos y extremidades cortas.
Nega10. Suma de los términos de una sucesión. Consonante. Nota musical.
ti:"'".,
·r"'¡·~~
del antiguo
7. Matemático que desarrolló un procedimiento para resolver ecuaciones alrededor
de puntos singulares mediante series.
11. Artículo neutro. Artículo
singular. Pronombre personal.
femenino
8. Rey, en francés. El, en francés. Consonante. Connsonante.
9. Vocal. Cetáceo de hasta 10 m de largo, cabeza redonda, color azul por el lomo
y blanco por el vientre; persigue a las
focas y ballenas. Uno de los cuatro elementos básicos de la Naturaleza.
10. Conjunto de reglas o principios sobre una materia enlazados entre sí, Vocal
en plural.
CRUCIGRAMA
1
1
2
3
4
5
6
7
8
•
•
•
•
de capital. Vocal. Animal
2. Apócope de papá. Apellido
novelista mexicano. Vocal.
7
de
un
3. Colocación de algo en el lugar que le
corresponde. Corrientes de agua.
4. Miembro de los clérigos de San Cayetano. RT.
10
•
•
•
•
•
•
8
9
•
•
•
6
1. Abreviatura
doméstico.
10 11
•
3
5
9
•
2
4
VERTICALES
Transformación:
cambio,
variación,
metamorfosis.
•
•
•
•
•
1ntroducción
Nuestro
planeta
•
Otras cíclicas:
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MEDIANTE SERIES
secuencia, por
, inconveniente.
tanto.
o del sodio. Símbolo
País de Asia Antigua,
aginan, piensan.
antiguo Perú.
Vo-
7
Cólera,
de piel escamosa, cuerxtremidades cortas.
Transformadas de Laplace
érminos de una suceta musical.
. Artículo
ersonal.
femenino
Transformación:
cambio,
variación,
metamorfosis.
Modificación:
giro,
mutación,
metempsicosis.
RAMA
6
7
8
9
10 11
Transfiguración,
•
tú -
•
yo
conversión,
pura "yo-tuosis" .
•
•
•
•
Introducción
Nuestro planeta
•
•
•
•
es el reino de las transformaciones,
Semilla
~
Trigo
~
unas lineales:
Pan
Otras cíclicas:
Larva
•
Crisálida
Huevo
"
Mariposa
[429]
,¿
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430
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Otras más, reversibles:
ED
~
TL
~
EA
~
Sol. A.
~
TL _1
~
Solución de la ED.
Donde: ED = Ecuación diferencial
TL = Transformada de Laplace
EA = Ecuación algebraica racional
Sol. A.
TL _1
=
Solución de la ecuación algebraica racional
= Transformada inversa
de Laplace
La TL tiene inversa, por eso se le llamó reversible.
Pierre Simon de Laplace estableció una transformación mediante la integral
siguiente:
Definición 7.1.. Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida
para t ~ O; a la expresión :
!l'{f(t)}
=
ioo e- st f(t) dt = F(s)
se le llama transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.
Notación: !l'{f(t)} significa que el operador !l' se aplica a la función f(t)
para generar una nueva función, llamada F(s) .
EJEMPLO 1
Hallar !l' {e} donde e es un real; por definición:
!l'{c}
=
ioo e- st e dt
= lim e {b e- st dt
b
~
00
}o
e
= blim
...,,,,
_:_st
1:
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431
INTRODUCCIÓN
_e - sb
s
+1
= lim c -- - - b ~
= -es
00
para
s> O,
Nota, Para abreviar, la integral impropia se expresará sin la función límite,
aunque naturalmente se sobreentiende,
EJEMPLO 2
Hallar: .P{t},
Por definición:
.P(f(t)}
=
l'"
e-st t dt
usando integración por partes:
= _ ~ e-st I'" - ~ e - st \ '" .
s
o
o
S
Veamos el primer término:
, - -t1tm
se st
t -> '"
t
+ l'tm--,
st
t ->
o
se
Aplicando la regla de L'Hopital:
-1
lim--st =O
t -> '" s'le
y el segundo límite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia
a que esté elevada la variable t), Por tanto:
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432
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 3
Hallar: 2W}.
Por definición:
2{f}
=
i'"
e-st t 2 dt
21'"
= _ _f e-st 1'" + _
s
o
s
te-st dt
o
= _ _f e- st 1'" + ~[_ ~e-st 1'" + ~
s
o
= _ _f e- st 1'" _
s
o
s
2t e-st
s
s
1'o"
o
_ ~ e-st
S
1'"
e-stdt]
So
1'o"
2
= -0+-.
S3
Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante dividida entre la variable s; la transformada de t es l/s2,
2
y la transformada de f es - . Entonces, podemos deducir, por la definición,
S3
que:
2{tn } = ~
para n = 1,2,3, ...
sn+l
donde 01 = 1.
EJEMPLO 4
Hallar: 2{eat }.
Por definición:
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433
INTRODUCCIÓN
= - -1 - e-(S-a)t
s-a
1
2'{eat } = - - ,
s-a
1'" = O + --1
s-a
o
s> a .
EJEMPLO 5
Hallar : 2'{cas w t}.
Por definición:
2'{cas w t}
=
Su "'e-st cas w t dt
= -
= _
~e-stcaswtl '" s
o
L'" e-stsenwtdt
o
~e-stcoswtl'" + w e-stsenwt 1'"
s
_ w
o
21'"
~
--+ (1
w
s
+
o
S2
e-st cas w t dt
o
2
w
~
)
S'" e-stcaswtdt = -
_1-caswt 1'"
sed
o
o
+ -w--senwt
\'"
s" e st
,o
1
s
1
J'"
o
e-st cas wt dt
=
s 2
1 +~
s2
s
Notamos que cuando t -+ 00, entonces: e-st -+ O Y cas wt, sen wt; por mucho que crezca t siempre están entre -1 y 1, limitados; por tanto, al crecer
t sin límite, el cociente:
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434
TRANSFORMADAS
Gas w t
,o
e' t
INTRODUCCII
sen w t
"
, se acerca mas y mas a cero.
est
La demostración
i. g, h
Sean
DE LAPLACE
rigurosa
definidas
la da el teorema:
abierto 1 que contiene a a,
en un intervalo
E: 1 Y si
si f(x) ~ g(x) ~ h(x), x
lím f(x) y lím h(x) existen y son iguales a L,
X""';Q
X-)Q
EJEMPI
~
lím g(x) existe y es igual a L.
X""
Hallar: ,
a
Por defi
¡l'
r.(:';;::
..
~¡:.~'
tl".:·II!:~
.'
Podríamos obviar esta dificultad, suponiendo que podemos encontrar la
transformada de Laplace para eiat (lo cual puede demostrarse también para los
complejos)
~'Iw4>~:i1
~
.
!é'{e,wt}
= __1 ._
(ver' ejemplo
s - tw
s
él
+ iw
+w
2
iwt
y como sabemos que e
imaginarias, se obtiene:
.
!é'{e,wt}
s
-
i'"
4)
.
+w
2
+t--i'"
w
+w
2
= Gas w t + i sen w t, igualando las partes reales
= !é'{Gas w t + i sen w t} =
s+iw
él
y las
_
+w
2
En es
mada:
y
s
!é'{Gas w t}
=
82
+w
!é'{sen w t}
=
S2
+w
2
w
2
SI
Teon
función
constant
!é'{af(t)
Demost.
EJEMPLO
Hallar:
6
!é'{f(t)}
si f(t)
= {~
O~t<l
i
1
>
!é'{a f(!,
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435
INTRODUCCIóN
= _ ~e-st 1" = ~e-s.
s
S
1
EJEMPLO 7
Hallar: .P{senh a t}.
eat _ e-at
Por definición: senh a t = - - - -
2
.P{senh a t}
=
1
1
2
2
_.P{e at } - _.P{r at }
1 (
-2
=
1
s-a -
a
-2-
- 2'
s - a
1
s+a
)
s> lal ·
En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada : su linealidad.
Teorema 1. La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada
función f(t) y g(t) cuya transformada d e Laplace exista y para cualesquiera
constantes a y b, tenemos:
.P{a f(t)
+ b g(t)}
= a .P{f(t)} + b .P{g(t)} .
Demostración:
.P{a f(t)
+
b.g(t)}
= la" r
st [a f(t)
+
b g(t)] dt,
por definición de transformada
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436
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= a loo e- st f(t) dt + b loo e- st g(t) dt,
puesto que la integral también es lineal
= a Z{f(t)}
+ b Z{g(t)}
O
EJEMPLO 8
Hallar: Z{e- 3t
Z{e- 3t
+e+t
3
-
2}.
2}
+ ZW}
= Z{e- 3t }
- Z{2}, por linealidad,
usando los ejemplos 4, 3 Y 1 respectivamente:
1
31
2
S4
S
=--+--s
-
+3
S4 -
+ 6s + 18
sys + 3)
6s
3
Transfonnada inversa de Laplace
Definición 7.2. Transformada inversa de Laplace. Si .<l'{f(t)} = F(s),
entonces:
Z_l (F(s)}
=
f(t) se llama transformada inversa de F(s}.
Notación: Z_1 (F(s)} indica que vamos a obtener la función f(t) cuya
transformada es precisamente F(s). También la transformada inversa es lineal.
EJEMPLO 9
3
Sea: F(s) = 2
s
Halla~f(U. tal Jlu~:
Z-1
--
{:2} = f(t):
Sabernos que: -=~{l/s2} = t (ejemplo 2)
Por linealidad: Z_1
:. f(t) = 3t. -
{3/~} =
3 Z-1 {l/sl}. Entonces: Z-1
{~}= 3t
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437
TRASLACIóN SOBRE EL EJE S
EJEMPLO 10
Encontrar f(t) si F(s)
.~
7
- -
7
s+3
- - o Como: -
1
s-a
= 2{e
at
}
(ver ejemplo 4)
= 72{e- 3t } = 2{7 e- 3t }
s+3
:. f(t)
=
= 7 e-
3t
•
EJEMPLO 11
1
s
=
Hallar: f(t) si F(s)
4.
+ 1 =4
en nuestro 'c aso n
•
f(t)
..
~
n
= 3,
= !...2-1
31
{3/} =!...~ = !...-~.
31
6
S4
Traslación sobre el eje s
Teorema 2. Traslación sobre el eje s (primer teorema de traslación).
Si
~
2{f(t)}
=
F(s)
2{eat f(t)} = F(s - a),
a
E:
R.
Demostración:
2{eat f(t)}
= J'" r
=
1'"
st
eat f(t) dt por definición, entonces:
r(s_a)t
=F(s -
a)
f(t) dt
O
Este teorema facilita encontrar transf.ormadas sin resolver la integral, basta
con recorrer la función . Gráficamente se vería así:
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438
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
F(s)
F(s)
s
Figura 7.1
EJEMPLO 12
Aplicar el primer teorema de traslación para encontrar:
2{f e 6t},
2
Como 2{f} = 3
s
donde
a = 6.
(ver ejemplo 3)
EJEMPLO 13
Hallar: 2{e- 2t sen3t},
Como
~
2{sen3t} =
2{e - 2t sen 3t}
a = -2
3
(ver ejemplo 5)
s2+9
3
= -.----(s
+ 2/ + 9
EJEMPLO 14
a = 1.
Hallar: 2 {e t cosh 2t},
Como
2{cosh 2t}
= -1 2{e + _1 2{e2t
2
}
2
2t
}
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439
TRASLACIÓN SOBRE EL EJE S
1
1
1
=-[--+' -J
2 s-2
s+2
~
.2' {e t cosh 2t}
s -1
= -----:,--(s - q - 4
También se nos puede pedir ' que encontremos la función f(t) si conocemos
su transformada de Laplace.
EJEMPLO 15
s+5
Hallar: f(t) si .2'{f(t)} = ---::---S2 + 2s + 5
Primero acomodamos el denominador como suma o diferencia de cuadrados
(que son hasta ahora las formas generales de las funciones más usadas)
S2
~
.2'
+ 2s + 5 = s2 + 2s + 1 + 4 = (s + q + 4
s+1
- - -o
(s + 1? + 4
s+1+4
(f(t)}
= (s + zy + 4
4
+----(s + q + 4
s+1
2
-----:-+ 2· -----:-(s + 1f + 4
(s + q + 4
Observamos que la función quedó recorrida a = -1; por tanto la f(t) debe
quedar multiplicada por e-t. Como sabemos (ejemplo 5) que:
.2'{cos w t}
s
=
S2
y en nuestro problema:
1L 2
+W
2
y
.2'{sen w t}
= 4, w=2,
w
= - -- 2
S2+W
'
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440
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Recorriendo ambas s - (-1)
f(t)
= s + 1, tenemos:
= e- t cas 2t + 2 e- t sen 2 t
f(t)
= e-
t
(cos 2t
+ 2 sen 2t).
Nota. Observamos que este resultado es la solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. De ahí la importancia del estudio de la transformada de Laplace.
Definición 7.3. Función seccionalmente continua.
f(t) es función seccionalmente continua en t
E:
[a, b]
~
a) Está definida en todo punto del intervalo.
b) Si es posible dividir el intervalo [a, b] en un número finito de subinterval os, en cada uno de los cuales la función es continua y existe el
límite de la función desde el interior del sub intervalo a cualquiera de
los extremos del mismo.
f(t)
Figura 7.2
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441
TRASLACIÓN SOBRE EL EJE S
Definición 7.4. Función de orden exponencial.
f(t) es función de orden exponencial IX.
++
Existen M,
IX E
R tales que:
at
If(t) I ~ Me .
Esta condición significa que la función f(t) está acotada por exponenciales.
f(t)
Figura 7.3
EJEMPLO 16
Determinar si f(t)
=t
3
es de orden exponencial
Hay que determinar si existe
IX
IX.
de tal manera que:
at
-Me
~
t
3
~
Me
at
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442
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Tomando t 3 :::( Mea!, si a partir de un valor de t, la expresión t 3 Me- at
decrece y se acerca a cero, a medida que t tiende a infinito, entonces t 3
será de orden exponencial IX (similarmente la otra desigualdad).
~
lím t 3 Me- at
=
O
t--> o>
t 3 es de orden exponencial
para
IX
IX
> O.
EJEMPLO 17
Determinar si f(t) = e- 2t es de orden. exponencial
IX.
Como -e n el ejemplo anterior:
lím e- 2t Me- at = lím
t-->o>
t--> o>
:. e -
2t
M
=0
e{a+ 2 )t
es de orden exponencial
IX,
si
IX
>
~
2.
Existencia de la transformada
IX
~
Teorema 3. Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial
en t ~ O. Sea f(t) seccionalmente continua en t ~ O
2{f(t)} existe para s>
IX.
Demostración: para cualquier entero positivo n, tenemos :
l
o
O>
e- st f(t) dt
=
(n e- st f(t) dt + foo e - st f(t) dt
Jo
n _____
11
12
Como f(t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito 0:::( t :::( n, la
integral 11 existe. Para la integral 12 se cumple que:
: :( Joo e- st If(t)1 dt
n
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443
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
Como f(t) es de orden exponencial
iOO e-st
loo
= M
=
existen M,
IX,
[f(t) [ dt :::;;
e-(S-a)t
M
- (s -
IX
tales que: [f(t) [ :::;; M e at
M
e at
s> IX
O
iOO e-st
dt
dt
e-(s-a)t
IX)
1'"
n
M
= -- e-(s-a)n, para
S-IX
EJEMPLO 18
Dado que: 2- 1 {~} =
sa+
Sea:
a
5
+1= -
Entonces:
2
2- 1
~
a
r
(a
t
hallar: 2- 1 {
,
+ 1)
S!/2}
3
a=-.
2
t
{S5/21} - --532
/
-
-
&/2
Ver ejemplo 2, página 404.
1.3293'
r(2")
Ejercicios 7.1
Usaremos los siguientes resultados ya obtenidos:
e
2{c}=s
1
2{e at } = - s-a
2{senwt}
w
= --+w
S2
2
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444
TRANSFORMADAS
2{cos
wt} =
DE LA PLACE
EXISTENCIA
DE LA
1, 0< t
s
S2
+w
10. f(t) =
2
t
t
\
2{senh
at} =
a
S2 _
3t, 0<
a2
11. f(t)
2{cosh
2{eat
Encontrar
la transformada
at} = i
\ O,
s
_a
2
f(t)} = F(s - a)
de Laplace
=
en las siguientes
funciones:
12. f(t)
= tet
13. f(t)
=e
14. f(t)
= t cost
15. f(t)
= t senh t
16. f(t)
= coshat
t
cost
Respuestas:
~J'
.',.
tr.:···.
,-
I
¡-,•.
"
.'
e,,~-:J'
720
1. f(t) = t6
-
2. f(t) = etj5
5
-5s - 1
3. f(t) = 4e-3t
--
4. f(t) = et-2
--
S7
4
s+3
17. f(t)=tcosh2t
1
e2(s-1)
6s2
5. f(t) = 6 - f
2
-
+9
6s2
24 -
+ 9s4
para
obtener
Respuestas:
= 1 - 2t3
+e
t
1
12
S
8
4
+ 98 -
-7s
2
¡
0< t < 2
O, 2 ~ t < 4
1,
t~ 4
-1,
=t
e-3t
2
1
_ (es
2S
la transformada
Usar las fórm
guientes funciones
20. f(t)
= (t -
21. f(t)
= te:"
22. f(t)
=t
23. f(t)
= e (t +
2)2
1
82(S-1)
9. f(t) =
19. f(t)
S5
En los siguientes ejercicios usar la definición
de Laplace de las siguientes funciones:
8. f(t) = t - 8
= e-t cost
S3
6. f(t) = t4_ 3f
7. f(t)
18. f(t)
+ e-
4S
_
1)
6
-
t
2t
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445
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
10. f(t)
=
1, 0< t
t
11. f(t)
<
~
t
3
3
3t, 0< t
<
1
t
~
1
1
- (J + 2es
j
1
,)
+ - e-
j
·,
S2
=
O,
1
12. f(t)
= te
13. f(t)
= et Gost
14. f(t)
= t Gost
t
(s
-If
s-1
(s -
If + 1
15. f(t) = t senh t
16. f(t)
= Gosh at
17. f(t) = t Gosh 2t
18. f(t)
= e- t Gost
19. f(t) = t2 e- 3t
(s
+ If +
1
2
(s
+ 3/
Usar las fórmulas para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
20. f(t) = (t - 2)2
1
21. f(t) = te- 2t
22. f(t) = t 6
-
23. f(t) = et (t
Respuestas:
2
4
4
- -S2+ S3
s
(s
2t
+ 3)
+ 2)2
720
3s -
(s -
2
2
IY
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446
24. f(t)
TRANSFORMADAS DE LA PLACE
= 4e 5t -
3 sen 4t
25. f(t) = 6t 3 + 2 GOS 9t
4
2s
S2
+ 81
4
+ 2/ + 16
(s
s- 4
(s - 4l - 25
28. f(t) = e - 2t GOS 2t
s+2
(s + 2/ + 4
29. f(t) = et senh 3t
3
- 1/ -
(s
30. f(t) = GOS 2t
+ sen 3t
31. f(t) = 3 sen 4t
+ e - 2t
3
s
12
1
--,--::- + - S2 + 16
s +2
1
+4
S2
2
33. f(t) = sen 2t
S
35. f(t) = sen 3t
9
- +s2+9
-s2+4
32. f(t) = sen t GOS t
34. f(t) = GOS 2t
+ 16
S2
36
"7 +
26. f(t) = e- 2t sen 4t
27. f(t) = e4t Gosh 5t
12
s- S
+ 4)
S2 + 2
(S2
s(s2 + 4)
6
(S2
+ 1)(S2 + 9)
Sugerencia:
36. f(t) = sen t GOS 2t
37. f(t) = (sen t - GOS q
38. f(t) = (t
+ 2/ e t
sen 3t = sen t sen2 t
{ sen t = sen (2t - t)
1
3
1)
2(S2+9 - s2 + 1
2s + 4
s(s2 +4) .
S2 -
4s 2 - 4s + 2
(s - q
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447
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
1
s
2(S2+1
39. f(t) = cas t cas 2t
40. f(t) = e- t sen 2t
41. Probar que 2'{ta } =
r
(o;
+ 1)
sa + 1
, o;
s
+ s2+9)
2
1) (SZ + 2s
(s
+
>
- 1
+ 5)
yn
42. Probar que 2'{t 1 / 2 } = - 3 -2
2S /
Sugerencia: usar el resultado anterior.
43. Probar que 2' {t - 1/ 2 }
44. Probar que 2' W/2 }
=~,
s> O.
= -3yn
-o
4S
5 2
/
En los siguientes problemas encontrar f(t) dada su transformada de Laplace
F(s), donde f(t) = 2' - l{F(s)} .
Respuestas:
45. F(s)
=
f(t)
1/ s2
2
46. F(s) =-
f(t) = f
S3
1
47. F(s) =S4
1
1
48. F(s) = - - - S2
49. F(s) = (s
S
+1
+ 2/
(s - 3/
50. F(s)= - - S5
(s
- 1/
-~S4
2
1
S3
s
52. F(s) = - - -
f(t)
1
=r
6
f(t)
=t -
f(t) = 1
S3
51. F(s) =
=t
+ -s -1- 4
e- t
+ 4t + 2t
2
f(t) = 1 - 12t +27f -lBt3
t = 1 - 3t
f()
f(t) = t 2
-
3
+-
2
1 + e4t
1
t2 - - t 3
6
+ 27 t
B
4
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TRANSFORMADAS
448
1
6
53. F(s) = 7 +
54 . F(s)
1
f(t)=-t2
-;- + s + 9
1
1
= --s-2
+ s+--3
_ 24
S3
1
55. F(s) = 3s _ 2
= 4s +
= e + e-
f(t)
= !.- e2tj3
7
+
2s - 1
¡.,I
~JIP:"
t'(.•••
l'
58. F(s) =
tr".•~'
,.
.'
"I~J!'jll
59. F(s)
60. F(s)
=
=
62. F(s)
63. F(s)
1
4 (s - 1)
+
1
+
=
1
3(s
+
f(t)
1)
f(t)
f(t)
1
1
25s2 _ 1
f(t)
4s
2
= ~+ 4
s+4
66. F(s) = S2
+3
7s - 4
67. F(s)
= ~+9
68. F(s)
= s3j2
1
s
1
B.
S2 _
C.
S2
D.
S2
-
9
3
1
3
1
4
=
4
72. f(t)
V2
2
A.
1
-sen-t
3
1
3
f(t)
1
5
=- senh-
1
-+
s
2
S
l +2
S(S2
= 3 Gas 2t
-
+ 4)
l+8
D.
2
+ 16
73. f(t) = Gash2 t
sen 2t
~
+ 4--sen
3
4
= 7 Gas 3t - .-- sen 3t
3
2Jf
2
S(S2
1
f(t)
f(t)
_
= Gas 2t
C. --
t
5
= cosh - t
f(t)
+9
B.
f(t)
= Gas ~t
+9s
1
= - etj4 + - e'
1
2
f(t) = - Gas ~t
6
y6
+4
3s -
+9
S2
= _et + _e-t
= Gas-t
f(t)
64. F(s) = 4s2 _ 1
65. F(s)
s
A. ---
+ 3t
etj2
.!.-
= cos St
71. f(t)
3
s
6s2
=
.
2s
+
70. Probar que rI
Escoger la opc
funciones:
12 t2
-
2
1
4s _ 1
9s2
=
f(t)
+
1
61. F(s)
3
2
s
1
3(s -1)
2s2
3t
2t
DE
EXISTENCIA
69. Probar que I
1
f(t) = - e=t'"
4
5·7 F(s) =. -¿"¡
9t
3
1
.
+ 6 + e-
2
f(t)
1
56. F(s)
1
DE LAPLACE
A.~[_1
B.~[_1
4 s-
~t
4
C.
D
I
s
1
4s
s-
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ADAS DE LAPLACE
EXISTENCIA
DE LA TRANSFORMADA
449
1
69. Probar que la función - 2 no tiene transformada
de Laplace.
t
12 f
70. Probar que r(O) = oo,
Escoger la opción que contiene la transformada
funciones:
71. f(t)
A.
_1
el
s
3
S2 + 9
S2 - 9
s
3
3
S
S2 + 9
S2 - 9
-----
B.
----s2-9
s2+9
C.
-----
D.
-----
72. f(t)
A.
B.
s
S2 + 9
S2 - 9
s
S2 + 2
S(S2 + 4)
D.
S2 + 8
S(S2 + 16)
C.
s-2
D.
: [ s ~ 2 -
s
1
48
+
e-t) et
+1
+ 1)
2s
s(s
2s -]
s(s - 1)
2s
D.
= cosh" t - senh2 t
1
S2 + 2
S(S2 + 4)
+1
C. -s+l
s+2
s
sen -j3 t
sen 3t
D.
B.
A.~[_1_ + ~ + -1_J
B.
S2 + 2s + 4
S(S2 + 4)
A.
S2 + 16
-+-S
S2 + 4
4
3
s
1
C.
75. f(t) = (1
1
ty
A. (~: 1 + S2 : 1J
= cas22t
-+
s
+ cos
74. f(t) = (sea t
2
s
C.
73. f(t)
n2t
= cos 3t - senh 3t
de Laplace de las siguientes
~
+
s ~ 2]
76. f(t)
2s -
1
s-1
= e-
2t
(3 cos 6t-5
3s - ;¿4
A.
S2 + 4s
+ 40
B.
-30
S2 + 4s
+ 40
C.
S2 + 4s
D.
8 - SS
+ 40
3s + 2
S2 + 4s + 40
sen 6t)
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450
TRANSFORMADAS DE LA PLACE
Escoger la opción que contiene la función f(t) que se obtiene aplicando
2- I {F(s)} (la transformada inversa de F(s)).
1
77. F(s) = -
S
A. f(t)
= t2 + t3
e+f
+t f(t) = 1 + t -
C. f(t)
78. 2-1{
=
1
1
3s - 1
A. f(t)
3
s- 2
3 e 2t
79. 2-1 {
- 3 e- 2t
B.
S2
B. f(t) =
D.
1
+ - - --
+
-
A.
= eos Bt e- 2t
D. f(t) = eos 4t e- 2t
2
1
2
3
3
}
2
3
= - et + - etl3
3
2t
3 e 2t
= - e tl3 + - et
1
D. f(t) = - é
}
C. f(t)
3 (s - 1)
1
3
+8
3 e- 2t
1
2
B. f(t) = - etl3 + _ etl3
3
3
C. f(t)
S
+ 4s + 8
f(t) = (sen 2t + 3 eos 2 t) ef(t) = (eos 2t + 3 sen 2 t) e- 2t
S2
2
+-
3
et
Y3 + --eos--t]
1
V3
A. e- tl2 [sen--t
2
B. e-t feos t
V3
2
+ sen t]
V3 + --sen--t]
1
Y3
C. e- t/2 feos - - t
2
1
D. e-t [sen-t
2
.,¡3
2
1
+ eos-t]
2
Respuestas:
71. A. La respuesta B corresponde a f(t) = eosh 3t - sen 3t. La opción C corresponde a f(t) = sen 3t - eosh 3t. La opción D corresponde a
f(t)
eos 3t - cosh 3t.
=
1
72. D. Como eos 22t = - (1
mado f(t)
f(t)
=
+ eos 4 t), el error de la opción A es haber to2
1 + eos 4 t, el error de la B es haber tomado
= 2'1 (1 + eos 2t).
73. C. Debido a que eosh 2 t - senh 2 t = 1 las opciones A y B contemplan
sólo 2{cosh2 t} y 2{senh 2 t}. La opción D contiene un factor equivocado.
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451
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
74. C. La opción A aplicó directamente la transformada dentro del paréntesis, en vez de desarrollar el cuadrado. La opción B presenta la -transformada de sen 2t únicamente. La opción D la de cos2t solamente.
75. B. La opción A representa la transformada de 1 + e-t. Las opciones
D olvidan misteriosamente la transformada de f(t j = l .
e y
76. A. La opción B contiene la transformada de f(t) = - 5 e- 2t sen 6 t . La
opción C la de f(t)
3 e- 2t sen 6 t - 5 e- 2t cos 6 t (que no es la que se
pide) . La opción D la de f(t)
3 e- 2t cos 6 t.
=
=
77. D. La opción A tiene equivocados los dos primeros términos. La opción B
1
1
3
los tres. Y la opción C supone que F(s) = - + - - - -- o
s
s2
s+2
78. A. Los errores provienen de tomar la F(s)
F(s)
1
=+ 2
3s - 1
3s -
= 3 (s 1-
1)
+
2
3 (2 - 1)
o
--o
1
79. B. La opción A tiene intercambiadas las fórmulas. Las opciones C y D no
acomodan la fracción correctamente y por eso falta la función sen 2 t.
80. C.
Propiedades de la transfonnada de Laplace
Algunas integrales se complican mucho o se invierte demasiado tiempo en ellas,
aunque sean sencillas; por ejemplo: 2W e t sen t}; de ahí la necesidad de usar
teoremas que faciliten las operaciones.
Teorema 4. Transformada de la derivada de una función.
Si .ft'(f(t)}
Demostración:
= F(s)
~
2{f'(t)}
2{f'(t)}
= sF(s) -
feO)
= So'" e-stf'(t) dt
= e- st, dv = f'(t) dt,
du = - se- st dt, v = fft).
u
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452
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
~
+ S feo e- ts f(t) dt
f(t) leo
st
e
o
=-
o
feO)
+ s2{f(t)}
= sF(s) - feO)
D
Procediendo de la misma manera, obtenemos:
2{f"(t)} =
2{f''' (t)}
=
8
3
F(s) - s feO) -
S2
l' (O)
F(s) - s2f(0) - s 1'(0) - 1"(0),
etc.
Generalizando:
2{f(n) (t)}
= sn F(s) -
sn-l f{O) - sn_2 1'(0) - sn-3f"(0) -
. .. -
¡rn-l)
(O).
Esta igualdad se cumple siempre que f, 1', 1" ... f In) sean continuas en t ~ O
¡en) sea seccionalmente continua en t > o.
Y de orden exponencial a y, además,
EJEMPLO 1
Usar este teorema para demostrar que:
1
2ft} =-.
2
8
= t ~ 1'(t) = 1 y feO) = O
2{1} = s F(s) - feO) = s 2{t} - feO) = s 2{t} -
Sea: f(t)
~
Despejando: 2{t}
=
O
1
-2{1}
s
1
1
1
s
s
s2
D
EJEMPLO 2
1
Dada: 2{sent} = - - ,
S2
+1
usar el teorema de la transformada de la derivada para obtener 2{cos t}.
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
= cas t
fet) = - sen t
453
Sea f(t)
~
feO)
y
=1
Z{-sent} =sZ{cast} - feO)
1 -Z{sen t}
CO{
oL
cas t
}
= s Z{cas t}
t}
= -1 -Z{sen
- ---'----'-
s
=:(1-S2~1)
1 s2+1-1
s
S2 + 1
EJEMPLO 3
Demostrar que:
Z {senh a t} =
a
S2 _
a2
, mediante el teorema de la
transformada de la derivada.
Sea
f(t)
= senh a t,
feO)
= O,
f(t) = a Gosh a t,
f"(t)
Z{f"}
Z{a 2 senh a t}
a
Z{senh a t}
1'(0) = a,
= a2 senh a t.
= S2 Z{f(t)} - s feO) - l' (O)
= S2 Z{senh a t} - O - a
= (i - aZ) Z{senh a t}
=
a
-. . 2 --
::; _ a Z
O
EJEMPLO 4
Hallar: Z{t Gas wt}.
Sean
f(t)
= t Gas wt,
feO)
=O
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454
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f(t)
=-
wt sen wt
f"(t) = - w 2t
~
GaS
+ GaS wt,
S2
.:&'{f(t)} -
=
S2
.:&'{t GaS wt} - 0-1
- 2w .:&' {sen wt} =
(S2
=1
wt - 2w sen wt
.:&'{f"} =
.:&'{ -w2t GaS wt - 2w sen wt}
f(O)
S
feO) - feO)
+ w 2).:&' {t GaS wt}
- 1
EJEMPLO 5
Resolver la siguiente ecuación diferencial, con condiciones iniciales:
y" -
!....
y' 2
=
O,
~.:&'{y'}
.:&'{y"} -
~ .:&'{y}
y
2
-
S
1j(0)
y'(O)
= ~2
- .:&'{y} = .:&'{O}
y(O) - y'(O) -
.:&'{y}
= O,
(~- ~s
~ [s .:&'{y}
2
-1)
- y(O)] - .:&'{y} = O
= sy(O) + y'(O) - ~y(O) = ~
2 2 2
~
5/2
.:&'{y} =
3
~ -
-s-1
2
Nota. Llamaremos: .:&'{y}
.:&'-11
~ = y.
s2-~S-1~
5/2
2
= Y(s).
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455
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicando el método de fracciones parciales:
B=[
5/2
A
B
-----=
+--1
s-2
1
(s - 2) (s
+ 2)
s
A=1
+2
1
1
--s-2
1
s+ -
2
2- 1
1-1--_1_(
s- 2
1
=
e 2t _
e-t/2
s+2
Teorema 5. Transformada de la integral de una función. Sea f(t) una función seccionalmente continua en t ~ O Y de órden exponencial a, y si
2{f(t)} = F(s), entonces:
2
lit
f('t) d.
(= ~
2{f(t)}
=~
F(s).
Demostración.
Sea
G(t) =
~ G'(t)
lt
d
f('t) d't
(t
= dt Jo f('t) d't = f(t)
Tomando transformada de Laplace:
2{G'(t)} = s2{G(t)} - G(O)
=s2{G(t)},
de donde:
2{G}
=~2{G'}
s
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456
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= s
1"'
t
e-st(i f(t) d't) dt integrando por partes:
dy = e-stdt,
du = f(t) dt;
y
= -1
_,__
e-a'
S
Tenemos : s [- : e-
=
st
1t
f('t) d't
1: + : Sa"'
e- st f(t) dt]
Sa"' e-st f(t) dt
= 2{f(t)}
, F(s).
~
= F(s)
2{G'(t)}
Pero: 2{G(t)}
= ~2{G'(i)}
s
1
= -F(s)
s
O
EJEMPLO 6
Hallar f(t) mediante el teorema de la transformada de la integral,
si F(s) = (2
S S
1
-
)
1
Sabemos que 2- 1
2- 1
1ses
2
1_1_? =
s2 - 1 )
senh t, entonces:
1
I=ftsenh'td't =cosh'tlt =cosht-1,
- 1)
o
o
:. f(t) = cosht - 1.
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457
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO 7
Dada F(s)
= s (s 203
2)
hallar f(t) usando el teorema de la transformada
de la integral de una función. Sabemos que !l'-1
~
2-1
y 2- 1
y 2- 1
¡ ¡ Jo
~
20
1=
~l(s - 2)\
¡
20
S3(S -
I
= (t 20e2T d't = 10e2T
20
ses - 2)
t
o
20e Zt ,
= 10e2t _ 10,
(lOe 2T - 10) d't
o
2T
I:
=
5e
=
5e 2t - 10t - 5,
l=
2))
i
t
¡~l =
s - 2)
- 1O't
r (5e 2T _ 1O't -
Jo
= -5 e 2T -
5·-2
.. - 5't
2
5) d't
I
t
o
= -5 e 2t - 5t 2 - 5t - -5
2
f(t )
= 5 ( '21 e
2
2t
2
- t - t -
1\
'2).
Como se puede comprobar, aplicando la transformada y reduciendo a común denominador, se observa que el teorema puede aplicarse sucesivamente.
Ejercicios 7.2
Usar el teorema de la transformada de la derivada de una función para encontrar F(s), dada f(t):
Respuestas:
1. t sen 3t
6s
:--~~~
=-: -~ ;.-::"'
~---~-:~-=-=~~~-=~~ - ==
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458
TRANSFORMADAS
+1
S2
2.. t cosh. t
1f
(S2 -
DE LAPLACE
PROPIEDADES
Usar el teorem
contrar f(t), dada
4s
3. t senh 2t
4/
(S2 6s2
4. t2 sen t
-
9. 2-1
\_1_
s(s- 4)
2
+q
(S2
\
DE
S2(S
2s3
(S2
5. t2 Gas 3t
54s
+ 9j3
-
6s
6. t senh t
(S2
lj3
-
,.'
~:"tI,l"
J'o"~~,.
t(.··· ,
"
ll"'.J"
~
3t
\_1_+ 1
S(S2
\T
s s-s +
12. 2-1
O:::;; t :::;;1
7. Sea f(t) =
,t
, .•.¡,.,Jl
11. 2-1
+2
2
2
t
1_
+3
10. 2-1 \__
13. 2-1 \
'> 1
2s-+ 1
S2(S
a) Hallar 2{f(t)}
14. 2-1
b) Hallar 2{f'(t)}
\_7
\_3
S3(S -
= s2{fl
c) ¿Se cumple 2{f'}
Dar las razones.
Respuestas:
a)
- feO) en este caso?
15. 2-1
~ _ e-s(~+~)
s
S2
s2(s2
S2
16. 2-1
¡
s
i(s +
17. 2-1 \~
t2 O:::;; t :::;;
1
8. Sea f(t)
=
O
resto
Resolver las si
transformada de
a) Hallar 2{f(t)}
b) Hallar 2 {f"}
e) Justificar 2{f"}
=1= s22{fl
Respuestas:
2
( 1 - -2 - -2) +-,
a) e-S
b) ~
s
\_s +
S2( S2
b) ~_~e-s
s
-
- -
S
18. y'
+ y =0,
19. y"
+ 4y =
- sf(O) ~ 1'(0)
S2
S3
S3
20. y" - 9y =
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MADAS DE LAPLACE
PROPIEDADES
DE LA TRANSFORMADA
Usar el teorema de la transformada
contrar f(t), dada F(s):
9.
10.
2- 1
2- 1
2 11
211
1
s(s -1 4)
1
11.
1
S(8
12.
2
8
-
2 11
2 1
15.
1
- (1 - cos At]
16
1
- (sen 2t - Gas2t
4
I
1
16. 21
17. 21¡s-a¡
S3(S
1
-senh3t
--t
9
1
-(1
16
+ 16)
2
a
_ea2
+ a)
Resolver las siguientes ecuaciones
transformada
de Laplace:
1
3
sen4t)
- cos-tt -
t
2
19. y"
= O, y(O) = 1
+ 4y = 2, y(O) = O
+y
y'(O)
20. y" - 9y = O
=O
y (O)
y'(O)
=1
=O
+-t
t
2t
--+---
2
a2
con valor
inicial,
2
diferenciales
a
Respuestas:
18. y'
!
2
s+41
S2(S2
2
7 (e' - ~ - t - 1)
s2(i 3- 9) f
1
+ 1) -
¡
t
3 - t - Se='
1)
-
-1)
1
+t«:"
+ 3t-1)
9
¡
7
S3(S
para en-
4
+ 1))
S2(S
de la integral de una función
~(ét
+ 4)
S2(S2
12s - 1
13. 2-1
14.
¡
¡
¡
¡
+ 16)
2
459
Respuestas:
1+ 3)
S2(S
DE LA PLACE
y
= e-X
Y
= -(1 - cos Zx]
y
= costi 3 x
1
2
4
usando
la
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460
TRANSFORMADAS
=x
21. y' - 2y
",2. y"
y (O)
+ 16y = 4
=O
Y (O) = 1
y'(O) = O
Y
1
= 4 (e
3
ZX
Y =-cos4x
4
-
DE LAPLACE
1) - ~
2
1
+4
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta. Usando el teorema
de la transformada de la derivada, hallar F(s).
23.
t e
2
.
'
,1.¡./lI'
c.
3
D.
3
s
1
s
U sar el teore
1
•
A. et_
A. (s - 2/
B.
2
C.
26 . 2-1 t
2t
2
..
~"".c, .,
PROPIEDAD
B. et+
2
C. et+
2/
(s -
D. et_
1
2/
(s 1
1s
1
27. 2-
D. (s - 2/
A. 3 (s
24. t sen 5 t.
B. 3 ca
A.
lOs
(S2 + 25)2
B.
lOs
S2 + 25
1
28. 2-1
+ 25/
(S2
1
s
D.
S2
A. -(1
4
+ 25
B. ~
4
25. t2 sen2 t.
A. 2
24
S3 -
(S2
B..
+ 4l
4s
(S2
l
D. 3se
s
C.
C. 3 (c
+ 4)2
S
1
C. 4
1
D. -
4
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S DE LAPLACE
do el teorema
PROPIEDADES
DE LA TRANSFORMADA
C.
2
S3
2s3-24s
D.
1
S3
s3-12s
(S2 +
(S2 +
DE LAPLACE
4?
4?
Usar el teorema de la transformada de la integral:
26. 2
1
1 fI (/-
1)
¡
A. et-1
B. et
+1-
D. et
-
27. 2
11·
t
1- t
3
s (S2 -
A. 3 (senh t -
{
1) ~
1)
B. 3 cosh t
C.3(cosht-1)
D. 3 senht
28. 2-
1\ S2(S2
s+l
l
+ 4) ~
1
A. -(t
4
1
- -sen2t)
2
1
B. -(1-co.s2t+tsen2t)
4
1
C. 4(1-
1
cos2t)
1
D. -(1 - cos2t)
4
+ 4t
1
-
8
sen 2t
461
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462
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
27. C.
Resolver mediante transformada de Laplace.
= O, Y (O) =
29. y' - y
RESOLUCI6
7t
7t
A. -s - 1
28. C. La
te.
B. 7tet
C.
s
D.
¡tI
t\
"'*"~"
~"
(t.•••
..
'fr':'" ~
"
,,~.JI
30. y"
A.
la
_7t_
+
1
29.
7te-t
B.
+ 25 y = 3, y (O) = 1,
Gas 5 t + sen 5 t
y' (O)
22
3
30. B. La
la
25
y"
B. -
25
Gas 5 t
3
C. -(1 25
+ sen
5t
=5
+-
cos s t¡
Resoluci
de Lapla
D. Gas 5 t - sen 5 t.
Respuestas:
Método de
23. A. La opción B contiene la transformada de 2 t et. La opción
1
2t
te
•
La D contiene la de -
2
e
la de
ejemplo 5
e e",
24. A. La opción B contiene la transformada de
En otr
10
Gas 5 t. La opción
e
la
1. Fac
de ~ t sen 5 t. La opción D representa la de Gas 5 t.
10
2. Fac
25. D. La opción A contiene la transformada de f Gas 2 t (paso intermedio
de la correcta solución). La opción B contiene la de t sen 2 t (también
es un paso intermedio). La opción e la de f - f Gas 2 t (¿será también un paso útil para llegar a la solución correcta?).
26. D. La opción A contiene la transformada inversa de
tudiaremos
1
s (s -
B aplicó mal los límites de la integral. La opción
errores anteriores.
e
. La opción
1)
contiene los dos
3. Fac'
4. Fal
Factores
Estudi
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
463
27. C. La opción A equivocó las fórmulas. La opción B contiene la transfor3
mada inversa de - - -o La opción C los dos errores anteriores.
S2 - 1
28. C. La opción A contiene la transformada inversa de
1
~(~
+ 4)
solamen-
te. La opción B tiene un coeficiente equivocado. La opción D contiene
la de
1
s (s
2
(la A y D son pasos intermedios).
+ 4)
29. B. La opción A -representa la F(s) a la cual se le debe aplicar la transformada inversa. La opción C no aplicó correctamente el teorema de
la derivada de la transformada y además está incompleta. La opción D
contiene el error de la C aunque ya esté completa.
30. B. La opción A contiene una parte de la solución. La opción C representa
la otra parte de la solución. La opción D supone que la ecuación es
y" - 25 y
O, para y (O)
1 Y y' (O)
5.
=
=
=
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada
de Laplace usando fracciones parciales
Método de fracciones parciales para encontrar la transformada inversa. En el
ejemplo 5 de la página 454 obtuvimos Y(s)
=
5/2
(s - 2) (s
, .
+ 1/2)
En otros ejercicios pueden aparecer otros factores en el denominador. Estudiaremos:
1. Factores lineales no repetidos.
2. Factores complejos no repetidos.
3. Factores lineales repetidos.
4. Factores complejos repetidos.
Factores lineales no repetidos
G(S)!
G(s)
A
donde - - = - - H(s)
H(s)
s- a
Estudiaremos !l' - 1 - -
1
+ W(s),
porque H(s) con-
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464
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
DE E
RESOLUCIóN
tiene un factor (s - a) que por ser lineal tendrá como numerador una constante. W(s) representa las restantes fracciones parciales. Para determinar el
valor de A, tenemos tres opciones:
a) Usando fracciones parciales (según se estudió en cálculo).
El límite cuandos
mediante la regla
b) Usando límites:
Como (s - a)
,.,
1
I
*- O ~
G(s)
a) H(s)
(s -
= A + (s - a) W(s)
s->
G(s)
sea
Q(s)
= (s - a) H(s)
EJEMPLO 1
(.~~"
...',
~
~~I'¡'
Q(s)
= A + (s - a) W(s)
Resolver la sigui
de Laplace.
..
t""'"
•
jl
,i""t
Tomando el límite cuando s ~ a, vemos que H(s) no se hace cero porque contiene un factor (s - a) que se puede cancelar con el que está multiplicando,
por tanto, existe el límite.
lím Q(s)
= lím A + lím (s
s~a
s~a
-
a) W(s)
s~a
y"-
2{y" - 2y'Y(s) - sy(O) -:
S2
Cero
:.
Q(a)
~ + sy('
= A,
Y(s)
Y
1 (S)!
2-1
G
H(s)
=
= Aeat + 2-1 {W(s)}.
s
4
1
+ S2_
2
S(S2 -
c) Usando derivadas (desarrollo de Hea viside) .
La solución de
Sea
Q(s)
G(s)
= (s - a) --
H(s)
1
y =2-
G(s)
~
Q(s)
C(O)
= H(s)
~
s-a
~ A
= lím Q(s) = !í!!!
s->a
1*+
S2
que da A en el límite, como acabamos de ver,
G(s)
H(s)
s-a
A
= H'(O) ,
G(s)
= S2
-
3s
H(s)
= S3
-
2f
H'(s)
= 3s2 - 4,
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE ' LAPLACE 465
A
= lím
_s ->
_ a_C_(
s_Y
lím H(s)
s ->a--
s- a
El límite cuand.o s ~ a produce una forma indeterminada que puede destruirse
mediante la regla de L'Hopital:
A
=
C(a)
lím H' (s)
s->a -
C(a)
H'(a)
-
1
EJEMPLO 1
Resolver la siguiente ecuación diferencial por medirJ de la transformada
de Laplace.
y" - 2y' - 3y:- 4
p ara
= 1,
y(O)
y'(O)
= - 1.
2'{y" - 2y' - 3y } = 2'{4 }
S2
Y(s) - sy(O) - y'(O) - 2 sY(s)
Y(s)
!.-s + sy(O) + y'(O) -
+ 2y(O) -
3Y(s)
= !.-s
2y(O)
= - - -- - - - -S2 -
4
+ S2 -
2s - 3
2s
S -
2s - 3)
S(S2 -
S2 -
s(s
+
3s + 4
1) (s - 3)
La solución de la ecuación por el método de derivadas será :
y
= 2'-1 1
3s + 4 l = Ae + Be- + Ce
+ 1) (s - 3) í
Qt
S2 -
s( s
.~ A = C(O)
B
= C( -
H'(O)'
C(s)
=
S2 -
3s
H(s)
=
S3 -
2s2
H'(s)
=
3 s2
-
1)
H'( - l)'
+4
-
3s
48 - 3
e=
t
3t
C(3) . Además,
H'(3 )
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466
TRANSFORMADAS
8
A=_4
-3'
B=-=2,
4
1
12
3
C=-=-
4
RESOLUCIÓN
ft?_l{~
S3 _
4
Y
DE LAPLACE
1
G(s)=2l
= - 3" + 2 e=' + 3" e".
H'(s)=3s2
Comprobación
por el método
de fracciones
parciales.
G
s2-3s+4
s(s+1)(s-3)
+ 4 = A S2-
.'
B
s
s+1
2As - 3A
+-s-3
+ B S2-
3Bs
a!l:;;:: li
A+B+C=1
..
t""."
-2A-3B+C=-3
B =2
-3A=4
C=~
+ C S2+ C S
A=-~
,1
.'
11~/jl
B=~
3
f(.···
Ir.
A=W
C
= - +--
-----S2- 3 s
A
H'
c= H'
I
Comprobación
A-
por el método
s2-3s+4
(s+1)(8-3)
s2-3s+4
B=
s (s - 3)
s2-3s+4
C=
s (s
+
1)
y =-:,
3'
Factores co
de límites.
I
--
s tzz
I s=
Ü
-1
I s =3
4
Teníamos qu
-3
Cuando a es
---2
8
4
-
4
- 12
1
-
3
Si s - a es f
G(s)
EJEMPLO 2
Resolver
s2
y" - 2y' - 3y
R(s)
= et, y(O) = 2,
Y(s) - sy(O) - y'(O) - 2s Y(s)
+ 2y(O) _
= 4.
3Y(s) = _1_
s - 1
Donde los e
y
y
= 2-
Como
2s2-2s+1
Y(s) = (s _ 1) (8 - 3) (s
y' (O)
+ 1)
y
1
eat =
eat = eat(
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 467
G(s) = 2 S2
H'(s) = 3
2s
-
+1
6s - 1
S2 -
A = G(l) = _ ~
H' (l)
4
B _ G(3) _ 13
- H' (3) - 8
e=
G( - l) _ = ~
H' ( - 1)
8
=-
Y
1
_e!
4
13
5
+ _e
! + _e-t.
3
8
8
Factores complejos no repetidos
2- 1 '{ G(s)
H(s) } = A ea!
Teníamos que
+ 2-
1
{W(s)}
Cuando a es complejo, entonces:
a
= + i{3
Y 71
IX
=
IX -
.i~
Si s - a es factor de H(s) también lo es s - a.
G(s)
A
B
- - =--+--+W(s)
H(s)
s- a
s- a
:.
Donde los coeficientes de G y H son reales,
y
y
= 2-
Como
y
e iit
e at
=
1
{
G(s) }
H(s)
= e("'+
eext (GOS
~
¡flJt
= A ea! + B ea!
+ 2-
1
{W(s)}
= e"t e'fl t = e"'t (cos ~ t + i sen ~ t)
t - i sen
~
t)
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468
~
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= Ae
at
y
(cos
~t
+ i sen
~t)
+ B e at (cos
~t
- i sen
~t)
+ 2- 1 {W(s)}
= e at [(A + B) cos ~t + i (A - B) sen ~t] + 2 - 1 {W(s)}.
Por el análisis del caso anterior teníamos:
= Q(a) = Q(a + i~) = QI + iQ2'
B = Q(a) = Q(a - i~) = Ql - iQ2'
A
Y
Sumando y res tando las dos ecuaciones:
A
+B=
A - B
=
2Ql
,~
2 i Q2
i (A -
B)
= -
2 Q2
Sustit'uyendo es tas n uevas constantes:
y = e at (2 Ql cos ~ t - 2 Q2 sen ~ t)
2-.I 1-
+~
+ W(s)i~ =
s- a
A
s- a
2 e at (QI cos
~
t - Q2 sen
~
t)
+ 2-
1
{W(s)},
EJEMPLO 3
Resolver: yO - 2y'
+ 2y = O,
y(O)
s2y(S) - sy(O) - y'(O) - 2sY(s)
Y(s)
y'(O)
= 1.
+ 2y(0) + 2Y(s) =
O
(O) - 2y(0)
1
=sy(O) ~+ -y' ~+2
=--- ~ -1- 0~- 1 +0
Tomamos: Q(s)
Q(1
= O,
+ i) =
Como
= S -11 +2" en tonces
1
1"
.
.
=
----:
.~ = 1 + 2- 1 + 2
22 2
2 ± V4=8
s = - -2
y
=
y
=e
2
+ 2i
2
2e t (O - ( - 1/ 2)sent)
t
sen t .
1
~ .~ Ql
2
= O,
a =1
+
i
{
- ~ =1
Q2
1
= - -,
2
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 469
EJEMPLO 4
+ 4y' + 5y =
Resolver: y"
1,
y(O)
+ 4sY(s) -
s2Y(S) - sy(O) - y'(O)
=
O,
4y(O)
y'(O)
=
O.
+ 5Y(s) = ~
s
1
Yi(s) _
-
~
1
s
+ 4s + 5
+
s(~
+ i,
'para s
= - 2
Y Q(s)
= s(s + 12 + i')
4s
1
+
5)
~
= 1
= - 2,
IX
.~
Q(-2
+2
s(s
+ t). = -
(-
- i) (s
+ 2 + i)
1
2 + .i) ( - 2 + i + 2 + i)
1
1.
= --+~
10
5
para s = O
Y
1
= -5
+ 2e - (- -1 cas t + -1
105
2t
sen t).
EJEMPLO 5
Resolver y"
+
=
0,
para y(O)
s2Y(s) -
+
2y
= 2 cas 2t
y'(O)
=
O.
2y'
sy(O) -
y'(O)
+ 2sY(s)
- sen 2t,
- 2y(O)
+ 2Y(s) = -~ s2 +4
2s - 2
Ys _
s2+4
( ) - S2 + 2s + 2
(s - 2i) (s
+
2s -:2
2i) (s + 1 - i) (s
2s - 2
(~
+ 4) (~ +
+ 1 + i)
2s
+ 2)
2
_
_2_
s +4
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470
TRANSFORMADAS DE LAPlACE
ambos factores tienen raíces complejas.
Para
S2
+ 4,
s=
Para
S2
+ 2s + 2,
s=
+ 2i,
- 1 + i,
a = O,
a= -
~
1,
= 2,
~ = 1,
tomaremos una Q( s) para cada raíz
Para s = 2í:
Q(s)
=
2s - 2
(s + 2i) (s + 1 - í) (s + 1 + í)
Q(2í)
=
2(2i) - 2
4í(í --t- 1) (3í + 1)
2í - 1
- 8 - 4í
- 20i
4i - 2
- 16 - 8i
-8 + 4i
- 8 + 4i
=--= 80
4í - 2
( - 2 --t- 4i)4í
1 ,
1
- i ~ Ql = 0,Q2 = - - ,
4
,
4
paras= - 1+í
Q(s) =
Q( - 1
2s - 2
(s + 2í) (s - 2.í) (s + 1 + í)
2( - 1+í) .,- 2
- 4
+ í) = - - - - -- - ( - 1 + 3í)( - 1 - í)(2í)
+ 2í
4 + 8í
+ 2í
- 4
(4 - 2í)2i
-2+í 2-4i
JOí
1.
=--=-t
2 + 4i 2 - 4í
20
2
Y = 2 e ot (O cos 2t
1
+-
4
sen 2t)
+
1
2e - t (O cos t - - sen t)
2
1
Y =-sen2t - e - tsent.
2
Factores lineales repetidos
Si H(s) = (s -
aym,
entonces según la teoría de fracciones parciales tenemos :
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 471
Am_~
G{s)
Am
H(s)
(S - ar
--=
Pero 2 - 1
+ (S -
+ .. . +
ar-~
}= Am e
{(s A
- ar
m
tm -~
at
(m - 1)/
A2
Al
+ - - +W(S)
(S - ay
S- a
por definición de transformada de La-
place.
C(s) }
H(s)
2-1 {- - = eat (A
~
m
tm - l
(m - 1)/
At
+A
+ -~
+ Al) + 21.
Sea
~
Q(s) =
Q(s)
1
m - l
tm - 2
(m - 2)1
+ ... +
{W(s)}.
C(s) (s - ar
H(s)
= Am + A m_ 1 (s
- a)
+ A m_ 2(s
+ A 2 (s - ar- 2
+ Al (s -
- ay
+ ...
ar- 1 + W(s) (s - ar
(1)
Tomando el límite cuando s ~ a, todos los sumandos, menos el primero, se
anulan y Q( a)
Am.
=
Derivando los dos miembros de (1) con respecto a s encontraremos Am_l
y con sucesivas derivaciones, obtendremos el resto de las constantes
Q'(s)
=
Am_1
+ 2Am_2(s -
a)
+ 3A m_
+ (m - 1) Al (s -ar- 2
3
(s - ay
+ mW(s) (s
Tomando límite cuando s ~ a:
lím Q'(s)
s->a
=
Am_l ~ Q'(a)
Q" (s)
= 2Am_2 + 6A m_
Q" (a)
=
Q'" (s)
2A
m_ 2
= 6A
m_ 3
~
=
3
A
m _ 2
+ ...
Am_l
(s - a)
=
+ ...
Q"(a)
2
+ ...
- ar- l
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472
TRANSF ORMADAS DE LAPLACE
'"
Q'"(a)
Q (a)=6 m _3 -+Am-3 = -6- , etc.
y en general
Q(k )(a)
Am _I< = ---¡¡¡-' k=O,1,2,3, ... ,m - l .
EJEMPLO 6
Resolver y'"
+ 6y" + 12y' + By =
Para: y(O) = 4,
y'(O) = - 12,
O
y"(O) = 34.
s3Y(S) - s2y(O) - sy'(O) - y"(O) +6iY(s) - 6sy(O) - 6y'(O)
+ 12sY(s) - 12y(O)
Y(s)
=
+ BY(s) =
2
4s2 + 12s
+ 10
(s + 2/
+ 12s + 10
S3 + 6s + 12s + B
4s
2
Aquí: a
=-
O
2
Como siempre tomamos como Q(s) la parte de Y(s) donde no esté el factor
raíz del denominador; aquí, Q(s) es:
=
Q'(s) =
Q(s)
Q"(S)
+ 12s + 10
Bs + 12
4s2
=B
Y A3 = Q(-2) = 16 - 24
A2
= Q' ( -
2)
= -
16
y(t)
:. y(t)
=
2
e- 2t (2
= e- 2t (t
+ 12 :=
B
Q"( - 2)
Al=
+ 10 =
=-= 4
2
f
2 -
4t
- 2]2.
+ 4)
2
- 4
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 473
EJEMPLO 7
Resolver y"
+y =
t
para
sZY(s) - sy(O) - y'(O)
y(O)
+ Y ( s)
= O, y' (O) = O.
=~
SZ
s= O
tenemos un factor real repetido
Y un factor complejo S2 + 1.
Para el factor s = O
~
Q(s)
=
1
--2--
S
+1
como sólo está repetido dos veces, solamente se necesita la primera
derivada
- 2s
Q'(s)
= (l + ¡y
y la form a de la solución es:
donde A z = Q(O)
Y Al
=
Q'(O)
Para el factor s = i [porque
S2
+ 1
1
Q(s)
= sZ(s + i)
=
1
~
= o.
= (s -
i) (s +i)]
i
Q(i) =2 ~
Ql = O,
1
QZ= 2 '
Y la forma de la solución es
Y
Entonces:
y
= t - sen t .
1
= 2eOt (O cost - - sen t).
2
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474
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 8
+ 9y =
Resolver y" - 6y'
s2 y(s) - sy(O) - y'(O) -
O,
y(O)
= 1, y ' (O)
+ 6y(O) + 9Y(s) =
6sY(s)
s- 4
= s - 4-
A2
= Q(3) =
Al
=
(-
t
~
Q' (s) = 1
Y = e 3t
O
a=3
Y (s)_
·
- (s - 3f'
Q(s)
= 2.
- 1
1
+ 1) .
. Factores complejos repetidos
C(s)
Am
Sea: - - =
H(s)
(s - ar
Am _l
+ (s -
Bm
+ (s -
m
+ ... +
Bm_l
(ir
_
+ ea! (B
ar -
l
+
(s -
tm - l
(m _ 1)1
A"
Al
(s - af
B2
ar-
l
+ ... +
tm - 2
_ 2)1
+ B m_l (m
(s -
+s- a
Bl
+ W(s)
al + --_
s- a
+ ... + B t + B )
1
2
+2- 1 {W(s)}
Esto puede expresarse en forma condensada:
2 -1
l
tk -
Ak
(s - at
+
.
Bk
(s - at
1
- - - [A k e
(k - 1)1
.
!
(cos
~
t
¡
=
tk -
l
(k _ 1)1
+ i sen ~ t) +
(A ea!
+
k
B,: eX! (cos
.
B e'it)
k
~
t - i sen
~
t)]
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RESOLUCIóN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 475
para
Como
Ak
= Qkl + iQk2
Y Bk
= 1,2,3, . .. , m
k
= Qkl -
para
iQk2
Qkl' Qk2
E:
R
Sumando y restando, tenemos:
~
Caso particular:
m
2 e"t t k -
y(t) =
=2
I
(k - 1)/
Y W(s)
(QkIGaS ~ t - Qk2 sen ~ t)
=O
2e"t tI
+ -J!- (Q2I Gas ~t -
Q22 sen ~t)
Vr-------~/
,
k=2
EJEMPLO 9
Resolver y"
+ y = 2 Gas t
s2Y(S) - sy(O) - Y/rO)
2s
--+2s
Y(s) =
S2
+1
S2
+1
para
+ Y(s) =
y(O)
= 2,
--/!-s +
1
Y/rO)
= O.
.
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476
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
~
S2
+ 1 = (s + i) (s -
i) ~ s
= + i,
donde
o;
= O,
~
= 1,
Para s = i:
Q(s)
= 2s
3
(s
+ 4s
+ iy
,
2i3 + 4i
Q(t) (2iY -
2i
- 4 -
1 ,
-
2" t
Para encontrar Al tomamos la primera derivada:
Q'(s) = 2s
Q
'(')
t
y(t)
3
-
= 2i3 -
4s
(s
+ 6s 2i + 4i
+ iY
4i + 6i
(2iY
3
+ 4i
= 2 [(1 + O)cost -
y(t) = 2 cos t
=1
1
(O - 2"t) sent]
+ t sen t,
EJEMPLO 10
Resolver: y"+y=2(cost+sent),
s2Y(S) - sy(O) - y'(O)
2s
Y(s) =
+ Y(s)=2_s_
y(O)=O,
s2+1
+ s_1_
+2
---c-- - 1
S2 + 1
-----:---S2 + 1
y'(0)= - 1,
2s+2 - s2 - 1
(S2 + 1y
s2+1
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477
DERIVACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS
s=
donde
+ i,
a = o,
~
= 1
+1
+ iY
= 2s - i
Q(s)
(s
2i - i2 + 1
2i+2
= -- =
Q(i) =
(2il
-4
=
l.
2
2
1
~
Q'(s)
1
----t
Q21= - - ,
2
1
Q22 = - -.
2
2i - 2 s i - 2 s - 2
(s + ip
Q' (i) = 2i - 2i
2
-
= O
2i - 2
(2iY
Q11
Y
= 20t [(O -
Y = 2 (- -
t
2
= O,
Q12
= O.
1
1
- t) GOS t - (O - - t) sen tJ
2
2
Gas t
+ -t
2
sen t)
y = t (sen t - Gas t).
Derivación de las transformadas
Teorema 6. Si
2 {f(t)} = F(s)
~
2 {t f(t)} = - F'(s)
Demostración:
F(s)
= lO. e -
st
f(t) dt
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478
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Diferenciando con respecto a s:
- dP = -d
ds
ds
100 e- st f(t) dt = 100 -o e- st f(t) dt
o os
o
= - ioo e- st tf(t) dt
= -
.P{tf(t)}
O
Generalizando:
.p{(-trf(t)}
=
FIn)
(s)
Así, para n = 2:
~
.P[t2 f(t)} = P"(S)
Para n = 3 :
~
!l'{ef(t)}
=-
PIfI(S), etc,
EJEMPLO 11
Encontrar .P{t Gas wt} usando este teorema:
.P{t Gas wt}
S2
=-
d
s
ds s"
+ w 2 _ 2s
(S2 + w 2j2
2
+ w2
S2 _ w 2
(S2 + w 2j2
EJEMPLO 12
Hallar .P {e senh at} ,
Por el teorema de la derivada de la transform'a da:
.P[t2 senh at}
= FI/(s)
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479
INTEGRACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS
a
F(s) = -..2--,
entonces:
2
Corno
Ii
F'(s)
=
-
a
-2as ,
2
(S2 _ a J2
F"(s)
= -2as
2
+
(~
6a~
2 {f senh at} = (2
S
+ 2a
a
-
3
2a + 8as
_ a2?
2
3
2?'
Integración de las transfonnadas
Teorema 7. Sea f(t) una función que satisface las condiciones del teorema de
f(t) existe, y además 2{f(t)} = F(s), entonces:
existencia y lím
t-+o+
2
¡f(;)
f
t
= lO) F(a) da
Demostración:
Sea G(t)
= f(t) ~
t
f(t)
= tG(t).
Tornando transformada a ambos lados y aplicando el teorema de la derivada
en el segundo miembro:
2{f(t)}
= - ~ 2{G(t)}
Entonces
g(s) = -
ds
F(s)
J:
dG
= - ----;¡;, integrando:
fea) da =
:. 21 f(;) ¡= f.O)
f.O) fea) da
fea) da
O
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480
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO
r
).
Ejercicios 7.3
13
Dada F(s) =
(s -
2.
encontrar f(t), usando integración de la transformada:
a)
Resolver las sig
FactOres lineale
+ 3y' +
1. y"
da _ _
1
\'" __
1
(a - al
(a - ay s - (s- ay
2
= t2-
1
y como f(t)
2-1
~
¡ ¡~
(s ~ ay
Q(s) =1
~
y(O)
Q'(s) = O
i'"
F(a)da¡,
entonces:
y(t)
= eat(B2t
+B
y(O)
Q'(a) = O
B1
= O,
3• y " --y 5,
1)
2
B2=1}
Q(a) =1
~
= 1,
2. y" - 4y =
y(t)
f(t)
INTEGRACIóN DI
y(O)
= te"
= 1,
=O
= t (te"]
4. y" - 2y'
y(O)
:. f(t)= t2eat•
= 3,
5. y" - By'
EJEMPLO
¡ ¡.
HaIJar: 2
2
y(O)
14
se~ 3t
~sen3tt
,-t-\
=
5.'"
s
~
Como
3
+
2{sen3t}
3
=--
6. y" - 6y'
S2
y(O)
+9
= In (s
+ a) -
1
1
s+a
s+b
=---+--.
= y'(O
8. y'" - y"
15
s+a
Hallar f(t) dada F(s) = ln --,
s+b
s+a
In -s+b
= O,
7. y'" - 3y"
o ''''s ="2
1t - tan - 1 3'
S
9 da = tan - 1 3"
y(O)
EJEMPLO
= O,
In (s
+ b);
Y
y(O)
usando los teoremas convenientes.
d
- -[In
ds
(s
s+a}
!é'-l ln __
{ s+b
.
+ a)
-In(s
+ b)] =
= _1 (e-bt _ e-at).
t
= y'(O
9. y'" - 2y"
y(O)
= 2,
10. y'" - 9y"
y(O)
= y'(1
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481
INTEGRACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS
Ejercicios 7.3
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace.
FactOres lineales.
1. y"
O
1
y
= _ 2e - 2t + 3e - t
=O
Y
=-
y
= eC1j2 )t
+ 3y' + 2y =
y(O)
= 1,
2. y" - 4y
y(O)
3. y"
Respuestas:
= O,
y'(O)
=
=2
y'(O)
5,
-2
Y +y=O
y(O)
= 1,
y'(O)
4. y" - 2y' - 3y
y(O)
= 3,
y(O)
= O,
6. y" - 6y'
y(O)
= O,
y(O)
5
y = _e 3t
4
= 10
=4
y
+ By = 2e
y'(O)
y(O)
= _3 e- t + 23
_ e 9t
10
__
45
9
3t
+ 3y= 3
y"(O)
=2
+ 4y = e -
9. y'" - 2y" - 5y'
2, y'(O)
y(O)
10. y'" - 9y"
t
4
5
+ 6y = O
= y"(O) = 1
+ 26y'
- 24y
= y'(O) = y"(O) = 1
Y
= -3B e
Y
= -1
t
= y'(O) = y"(O) = O
=
7
+ _e
-
=2
= y'(O) = O,
8. y'" - y" - 4y'
y(O)
=O
=2
y'(O)
7. y'" - 3y" - y'
(cosh 2t - 1)
= ~2
y'(O)
5. y" - By' - 9y
1
2
=1
3t
-
e- t
-
-
-
6
Y = 2e t
Y
1
et
-
-
1
-
_e3t
5
13
10
-
-
3
1
e- t
B
1
__
6
= - e2t
4
5 t
e
4
+1
e- 2t
12
1
+ _e
-
+ _1
12
2t
5
e3t
+ _9
B
eH -
1
-
24
e2t
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482
DE LAPLACE
TRANSFORMADAS
Respuestas:
Facto-res lineales repetidos
11. y"
+ y'
- 2y
y(O) = O, y'(O)
=1 - 2t
=4
Y
22. y" - 4
+t
= e' - e-2t
y(O)
=
23. y" - 6
+ y'
= t et
y(O) = y'(O) = O
12. y"
-
2y
y
=
1 f
1
e (- -t
6
9
+ -1) --e 1
27
27
t
_2t
I
y(O)
=
24. y" - 8
13. y" - 2 y'
+- y = t e
t
y(O):::: y'(O)
y=-fé
=O
I
6
I
y(O)
25. y"
= e:"
y(O) = O, y'(O) = y"(O) = 1
1
(-f
6
+ _t32
2
y
= e-
Y
= - senh 2 t
Y
=t
t
"J.'
15. y" - 4 Y = senli 2 t
,1"I.ljl
y(O)
16. y"
= O, V'(O) = 1
+ 2 y' + y
y(O)
=t +3
= 1, y'(O) = O
17. y" - 4y'
y(O)
18. y'"
y(O)
+ 4y
=te2t
y
t
y
= y'(O) = O, y"(O) = 4
=2
y'(O) = y"(O) = y'''(O) = O
y(O)
Factores
= y'(O) =
complejos
=-
- 2y
y"(O) = O
no repetidos.
= e2t
f
y" + 4y' + 5y
y(O) = O, y'(O)
=O
=1
27.
s">
y(O)
Y 1/(0)
+ t)
(-
6
= e-t
(_
t
5
7
4
4
+ _) _ 3 e-u + _
e-3t
29.
t4
y(O)
y=--+2
24
6 et
y
= et (3 f
+ 6 t + 6) -
Factores
6 e2t
I
30.
I
3l.
Verificarlos por dos métodos: a) complejos,
b) por las fórmulas básicas.
2l.
=
y(O)
y"'(O)
t e='
2
1, y(O)
+ 5 y'
+1-
4
26. y/v +
t cosh 2 t
28.
+ 6 y" + 1 1 y' + 6 Y = e-
20. y'" - 4 y"
8
+ -1
+ 9y
= O, y'(O) = 1
19. y"" =
3
=
+ t)
..
~''''''
=
+4
y(O)
+ 3 y" + 3 y' + y
.14. y'"
1
Y
= e-
2t
sen t
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ADAS DE LAPLACE
INTEGRACIÓN
DE LAS TRANSFORMADAS
22. y" - 4 y'
+ 13 Y = O
Respuestas:
= 1, y'(O) = O
y" - 6 y' + 13 Y = 2
y(O) = 1, y'(O) = 1
y" - By' + 17 y = et
y(O) = 1, y'(O) = 2
y" + 4 y' + 5 Y = t
y(O) = 1, y'(O) = - 3
y(O)
23.
1 __ 1 e-2t
_)
27
27
24.
25.
+ t)
cosh 2 t
483
=. e2t (cos 3 t -
Y
= -132 + ¿t(11-cos 2 t 13
-10)sen 2 t
13
y
= -101 et + e4t (-109 cos t -
17
- sen t)
10
y
29
= e-2t(-cost
25
t
+--5
26. y/v
=O
= y'(O) = y"(O) = O,
=4
+ 29 y" + 100 y
y(O)
y"'(O)
27. y/v _ 2 y'"
+9y
+ 10y"
-
= y'(O) = O,
= 1, y"'(O) = 2
y/v _ y = O y(O) = 2,
y'(O) = - 1, y"(O) = 4,
y'''(O) = - 2
Y
2·
= t e' + 25
- et -
29. y'" - 2y"
y(O)
6 e"
+ y'
Factores
complejos
30. y/v
+ 2 y" + y
y(O)
y"(O)
s: a) complejos,
31.
= -4931e=' + -4
Y
= e2t + 4 cos t
Y
= t cos t -
Y
= cos 2 t + t sen 2 t
et -
cos t
+-
2
repetidos.
=O
= y'(O) = O,
= 2, y"'(O) = -
u" + By" + 16 Y = O
y(O)
y'(O)
2
- cos 3 t
25
y
- 2y =0
= 5, y'(O) = 2, y"(O) = O
4
-sen 5 t
105
3
- -sen3t
50
y"(O)
28.
4
25
= 21
-2 sen 2 t -
y(O)
7
e-2t + _e-3t
4
22
- -sent)
25
Y
1By'
=0
2
- sen 3 t)
3
y
sen t
+ t sen
2
= 1,
= y"(O) = y"'(O) = O
t
sen t
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484
TRANSFORMADAS
32. y"
+y
= 2, y'(O) = 1
y(O)
33. y"
+ 9 Y = GOS3 t
= y'(O) = O
y(O)
34. y"
= sen. t
+ 25 Y = 2 sen. 5 t
y(O)
35. yN
y(O)
= 1, y'(O) = O
+ 2 y" + y = sen
t
= y'(O) = y"(O) = y"'(O) = O
1
- t Gas t
2
DE LAPLACE
+ -3
y
= 2 Gas t -
Y
1
= -tsen3t
6
Y
= Gas 5 t -
Y
= - sen t - - t Gas t - - t sen t
44 . .P{tésenw
sen t
2
I
1
- t Gas t
5
1
+~
25
sen 5 t
3
3
1
8
8
8
2
D
INTEGRACIÓN
l
45. .P{t e-t
Gas
Usando el teore
46. .P\ sen; t
..0'\ e-
at
.'
".,
1,'1'1
~¡;ti'
'o
trf·lIIl,r,
.'
,#11
En los siguientes ejercicios usar el teorema de la derivada
para encontrar F(s).
de la transformada
47 .
_
¡
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ORMADAS DE LAPLACE
t cos t
+ -3
2
INTEGRACIÓN
DE LAS TRANSFORMADAS
485
sen t
2w(s -1)
45. 2{t e=' cosh. t}
,s-Z
+ 2s + 2
(~+ 2sl
t cos t
1
sen 5 t
25
+~
1
t cost - - t2 sen t
Usando el teorema de la integral de la transformada, hallar F(s).
I
46. 21 se~h t
B
~1
at
ada de la transformada
47.
e-
Respuestas:
~ln~
¡
e="
~
2
s -
1
ln s + b
s+a
1
48. 21 Gasa t ~ Gasb t
~
-ln--2
S2
+b
2
+a
2
49. Demostrar:
50=
e-3t
_
e="
dt = ln2
t
50. Hallar:
J=
o
s
Gas6 t - Gas4 t dt
t
ln-
2
3
5I. Probar:
1=
o
sen t
--dt=t
1t
2
Os
ya
1
52. 2te:
4]4
1
S
- - tan- -.
2
4
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta.
53. y" - 6y'
'4f+96
7t
4 t/
3
A. -e
2
4t
+ By =
1
--e
2
-2t
1,
y(O)
= 1,
y'(O)
=7
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TRANSFORMADAS
486
B. ~ _ ~
8
e2t
e2!
8
D.~
C. 21 e4t _ ~ e2t
8
4
D . 1 --e
INTEGRACI
e,
+ 21 e4t
4
DE LAPLACE
2
3 ae
10
+-e
4
8
+
57. y"
4t
A.-
5
4
+ 4y
54. y'" - y" - 4y'
1
1
A. _e3t - _e-2t
6
4
= se",
y(O)
13
B. ~
3
_e2t
60
-
= O, y'(O) = y"(O) = 1
+-e
10
'j
!~Il:1
•••,,"" ~I
.,..~~I'
'
B.
fl¡···
"
~¡'FI"
I
,'1"",,1•
C.
4
-
+
_et
3
5
D. - e
t __
6
13
__
1
1
36
4
A. - e" __
B. te:"
4
3 3t
+ _e
A. e
10
= y' (O) = O
B. e
+ te:"
e,
+ -1 e-t
1
C. - e=" - _ e2t + te='
D e='
( 31 +"92) + 1
56. y" = Zte",
e 2t(
y(O)
36
-
~
2
-
1
2
2
59. y"
21
4e-
= O, y'(O) = - 4
t) + ~ - ~
7 1)
-T+Tt
A. e2t (~
2
B.
e2t
t
-
e
D. e
3
4
+
58. y"
_e
4
y(O)
e="
1
4"1
e-2t
1 2t
e-2t
36
D.
3
3
te=',
2
+ _e
60
55. y" - 4y=
e.
4
12
4
5 2t
12
1 2t
+ _e
_et
1
1
_e-2t
+
A. 2
B. 2
e,
u
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487
INTEGRACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS
C. e
D.
57. y"
2t
1)
l
7
\-:2t+-:2
-:21 {1
- 7te 2t (t - 1) ]
+ 36y = O,
5
A. _e 6t
4
y(O)
3
+ _e
-
= 2,
y/ (O)
=3
= 1,
Y/rO)
6t
4
1
.
B. - - GOS 6t - 2 sen 6t
2
+ -1
C. 2 GOS 6t
3
D. _e 6t
4
5
+~
e-
B.
=e
t
y(O)
,
(1710 GOS t + 10J...- sen ~/
17
~ +~e
e- 2t (J...- Gas t _
sen
20
20
/
C. e- 2t
(J...- GOS t
20
D. e- 2t (J...- Gas t
10
59. y"
6t
4
58. y" + 4y' + 5y
A. e _2t
sen 6t
2
+ y = cost,
+-
B. 2 Gas t
+ -2
+ 17 sen
10
t sen t
1
C. - t sent
2
1
D. - sen t
2
+ -1
2
t) + ~
10
= Y/rO) = O
t sen t
2
1
_ 17 sen ~
20)
y(O)
1
A. 2t GOS t
t
10
t sen t
et
=O
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488
TRANSFORMADAS
Usando
el teorema
de la derivada
de la transformada:
DE LAPLACE
INTEGRACIÓN
U sando
63. 2 \COSht
60. 2(t3sent}
A.
6s2 - 2
(s2 + q
B.
248- 24s3
(S2+ q
A.
No eJÓ
iB ln. i-
i
C. 2lni
24s3 - 24s
(s2 + q
C.
el teor
2 - 6s2
D.
i
1
2
D. -ln-
s:
(s2 + 1/
64.
lO
'/
~r.f.'1 .
.'
,#"
61. 2{f
GOSt
+f
sen t}
3
A. 2s - 6s
B.
(s2 + 1/
2(S3 + 3s
2
B.
-
(S2 +
3s - 1)
2(s
D.
(s2
TI
C. -4
1l
D.
6s2 - 2
(s2 + q
c.
2
TI -
t
Respuestas:
+ II
+q
53. B. La o
La o
62. 2{te
2t
A.
B.
cosñ 3t}
conJ
s2+9
54. D. La o
(S2 - 91
s(s - 2/
+ 54(8-
[(8 - 21-
c.
s2 - 4s + 13
(~- 4s - 51
D.
2~ + 548
(s2 - 9y
9l
2)
pasa
conti
55. D. La
B, a
tore
coefi
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ADAS DE LAPLACE
INTEGRACIÓN
de la integral de la transformada:
Usando el teorema
63.
489
DE LAS TRANSFORMADAS
2·¡
cosht ~ cosh2t
A. No existe porque
¡
ln s, cuando s ~
00,
es
00
~-4
B. ln---
~-l
~-4
C. 2ln--
S2 -
1
D. -ln-2
64.
2¡sen
A.
1
4
S2 -
=¡
1
S2 -
tan=' 2s
1t 1t
B. - - tan- 2s
2
1t
C. -
4
D.
1
- tan=':s
1t -
tan::' s
Respuestas:
53. B. La opción A tiene el error de considerar
.,
L a operen
condiciones
e
se o1Viidéo d e computar
C(O)
--o
H'(O)
2{I}
1
= O en vez de -.
s
La opción D aplica otras
iniciales.
54. D. La opción A tiene desordenados
pasar al denominador
los coeficientes.
el factor s - 3; 2 {e3t}
La opción B olvidó
1
= ---.
La opción
s-3
e
contiene los errores de A y B.
+ 1y~ La opción
B, además de tener equivocados los coeficientes, no consideró los factores (s - 2) Y (s + 2). La opción e también tiene el error de A y los
coeficientes intercambiados.
55. D. La opción A no considera el factor lineal repetido (s
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490
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
56. D. La opción A tiene intercambiados los paréntesis. La opción B, como
t
1
la e, confunden los factmes y para e2t debe ser (2 - 2)' así como
1
7
para eo t debe ser - - - t.
s
2
57. C. La opción A toma los factores complejos (s ± 6i) como reales (s ± 6).
La opción B tiene intercambiados los coeficientes. La opción D tiene
los errores de A y B.
58. D. La opción A tiene intercambiados los coeficientes e incompleta la
solución (falta el factor s - 1). La opción B no aplicó bien la fórmula, faltó multiplicar por 2 la exponencial. La opción e contiene los
errores de A y B.
59. C. La opción A supone que Q21
que Q11
= 1 Y debe ser
cero. La opción
B supone
= 1 Y debe ser cero. La opción D supone que Q12 = ~4 y debe
ser cero.
60. C. La opción A contiene F"(s) en vez de - F'''(s) . La opción B no consideró el cambio de signo. La opción D contiene los errores de A y B.
61. B. Las opciones A y e tienen sólo 2'{f cas t} y 2'{f sen t} respectivamente. La opción D equivoca los signos del numerador.
62. C. La opción A está incompleta, le falta aplicar el primer teorema de
traslación. La opción B toma 2'{t2 e2t cash 3t} . La opción D contiene
los errores de A y B.
0
2
-
1
63. D. La opción A no considera el cociente In - - -, cuando o ~ 00, apli¿ - 4
cando la regla de L'Hopital queda In 1 O. La opción B no completó
ro{cash t - t cash 2 t }
adecuadamente la integral. La opción e da 4.;z;
=
64. B. La opción A considera que el resultado de la integral es 2 tan- 1 20
La opción
e
supone que es
res de A y C.
~ tan
2
_1
e
o. La opción D contiene los erro-
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491
FUNCIóN ESCALóN UNITARIO
Función escalón unitario
Esta función es un elemento básico para representar fuerzas discontinuas o impulsivas, como las vibraciones en sistemas mecánicos o algunas situaciones en
circuitos eléctricos.
Definición 7.5. La función escalón unitario V (t - a) [o también Va(t)] se
define:
V(t - a)
Si a = O
= 1°1
t< a
t ;::: a,
a ;::: O.
~
V(t)
= Vo(t) =
l
o t<
1
O
t ;::: O
U(t)
U(t)
•
1
a
Figura 7.4
Frecuentemente esta función se presenta combinada con otras. Veámoslo en
el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1
Sea la función y = f(t) = t 2
Observar cuidadosamente las siguientes gráficas:
a) f(t)=f!
b) f(t) = t 2 , t;:::O
c) f(t -
31,
d) V (t - 3)
e) f(t - 31 V(t - 3), t;::: O
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492
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
FUNCIÓN ESCAL
EJEMPLO 2
Hallar la tran
y
y
y
EJEMPLO 3
,t
(a)
(b)
Yj
,
~
,,,-?,
Dada la sigui
• t
(e)
a) Expresarla
b) Expresarla
Yj
c) Encontrar
.,
t~I"
.'
If'4<ljl
y
,
,
I
(d)
(e)
Figura 7-5
Se ve claramente que la función escalón unitario es de orden exponencial
a, y seccionalmente continua, entonces existirá su transformada de Laplace.
Definición 7.6. Transformada
de U(t -
2{U(t
-
a)}
a).
1
=-
s
Puesto que por definición de transformada
2{U(t
-
a)}
=
l'"
e=" U(t -
a) dt
-1
ras.
tenemos:
=!oa e-st O dt +
L'"
e=" 1dt
= _ ~e-stl '"= O + ~e-as.
s
a
S
a) f(t) =
b) Recorde
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493
FUNCIóN ESCALóN UNITARIO
EJEMPLO 2
Hallar la transformada de Laplace de U(t - 3)
.P{U(t - 3)
+ U(t -
2)} =
s
Dada la siguiente gráfica:
= f(t).
b) Expresarla en función de escalón unitario.
c) Encontrar su transformada.
'i
1
1
31
21
I
I
I
I
I
I
1
1
1
I
-1
Figura 7-6
a) f(t)
=
0, 0< t < 1, t> 3
1, 1 < t < 2
-1 ,2<t<3
b) Recordemos que U(t - a)
={~
2) .
~(e-3S + e- 2S).
EJEMPLO 3
a) Expresarla como y
+ U(t -
t;::::a
t<a
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494
TRANSFORMADAS
Observamos
que para t
= 0, t = 1, t = 2
Y t
= 3,
= {~
V(t - 2)
= {~
En t
= 0,
f(t)
=O
-+
O.V(o)
En t
= 1,
f(t)
=1
--+
I.V(t
En t
= 2, f(t) =
En t
= 3. f(t) = O -+
-1
-+
y
t
<1
t ~ 1
t<2
t~2
t<3
= {~
t ~ 3
1)
a) f(t)=OUc
(t - 1) Ult) p;
y como en t =
f(t)
tUlt) -
- 2)
-2.V(t
I.V(t
En t = 1 se multiplica
f(t)=Oaf(t)=I.
-
ESCALÓ
t<O
t~O
1)
V(t - 3)
FUNCIóN
tenemos:
V(t)={~
V(t -
DE LAPLACE
- 3).
=
l U (t - 1), porque
es 1 lo que vale el brinco
de
b) Aplicaremr
=
2'{U¡(t)}
En t
= 2 se multiplica
por (-2)
En t
= 3 se
por 1 porque
-+
multiplica
= V(t
f(t)
-
= Vlt)
e) .::f{f(t)}
= -s
+
1) - 2 V(t - 2)
-
1
porque
+
2 Vit)
(e-
S
-
Ze:"
la f(t) desciende
f(t) asciende
2 unidades.
una unidad.
-+ 2'{t U¡(t)}
V(t - 3)
VJ(t).
Similarmente
+ e-
3S).
2'{f(t)}
EJEMPLO
4
se-
S
Dada
=
la siguiente
gráfica:
a) Expresarla
en función
de escalón
b) Encontrar
su transformada.
+ e-'
unitario.
e-S _ e-l
S2
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FUNCIÓN ESCALóN UNITARIO
495
y
2
3
Figura 7-7
y(t) =
{~ -
O<t~1
1<t<2
1
1
t~2
a) f(t) = O U o(t) + (t - 1) Ult) - (t - 1) Ult) + 1.ult)
(t - 1) Ult) produce la recta con pendiente 1 prolongada hasta el infinito,
y como en t = 2 se trunca, por eso hay que restarle (t - 1) U2 (t), entonces:
f(t) = tUltJ - Ult) - tUit) + 2 Ult)
b) Aplicaremos la transformada, término a término:
~
2{t U 1(t)}
=-
,
F (s)
(_e-
=-
s
(s
S2
+ 1)) = ___
e - S (s + 1)
_
S2
2S
Similarmente para 2{t Ult) }
e - (2s + 1)
=--S2
2{f(t)}
e - S(s + 1)
e-s
= - -- - - ~
e - 2S (2s
S2
e - S _ e - 2s
1)
~
s
se- S + e-S - se- S - 2se- 2s _ e - 2s
+
+
2se -2S
2e - 2s
+ __
s
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496
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 5
e - as
Hallar f(t) si 2{f(t)}
Como
e - asl
l
= - S2
= U(t -
2- 1 -s- ~
a) entonces :
t U(t - a) = 2- 1 { - F'(s)} = 2 - 1
La nueva
F(s)
ase-as
= -tt- +
1e - as (:: + 1)
¡
e-as
-
s
2
en la que nos sobra un término, q'le se lo restamos:
2- 1
ase-as
--
1
S2
e - as
ase - as
+ - S2- - - S2-
¡
= t U(t - a) - a U(t - a) =
= (t - a) U(t - a)
V(t)
--+------------L-----------.t
a
Figura 7-8
.
.. f(t)=
{Ot -
t<a
t?;::a
a
Traslación sobre e! eje t
Teorema 8. Traslación sobre el eje t (segundo teorema de traslación).
Si F(s)=2{f(t)} y a>O
~ ,<-as F(s) = 2jf(t - a) U(t - a)}
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497
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
Demostración:
Llamemos F(s)
-+ F(s) =
1'"
= .P{f(t)}
e- ST f(-¡;) d .. , por definición.
Multiplicando la igualdad por e-as:
sea a
+ 't =
ras F(s) =
t
L'"
-+
¡
cuando .. = O,
t=a
cuando .. = 00, t= 00 Y
d .. = dt
r st f(t - a) dt
Para que la integral vaya de cero a infinito, se modifica la función multiplicando fU(t - a); cuando U(t - a) = O, -+ f = O, cuando U(t - a) = 1 -+
f·1
=f
e-as F(s) = la e-st f(t - a) (O)dt
= l" e-st f(t
+
L'" e-st f(t - a) (1) dt
- a) (j(t - a) dt
ras F(s) = .P{f(t - a) U(t - a)}
O
EJEMPLO 6
Trazar la
~áfica
La gráfica es (t -
y encontrar la transformada de f(t)
1'f U(t
- 1)
= ¡(ot -1 )2,
t < 1
t?;;l
=
(t -
11 U(t -
.1).
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498
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
y
2
Figura 7-9
Por el segundo teorema de traslación, tenemos:
2'{(t - l)y(t - 1)} = e- SF(s)
Además : 2'{f} = 23
S
:. 2'{(t -
1J U(t
2
- l)} = e-S 3'
s
Comprobación :
2'{(t -
q
U(t - 1)}
= 2'{f U(t -
2'{t2 U(t _ l)} = F"(s) = S2 e-S
l)} -
22'{tU(t - 1)}
+ 2se- s + 2e-
+ 2'{U(t -
1)}
S
S3
2'{t U(t - l)}
=-
e-S
F'(s)
=-
S
e-S
+ - S2
e-S
2'{U(t - 1)} = F(s) = s
s2e- s
+ 2se- s -
2ie- s
_
S3
Esto confirma también la utilidad de este teorema,
2se- S
+ s2e-
S
e -S
=27'
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499
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
EJEMPLO 7
Dada f(t)
= U(t -
1t) sen t, hallar e-as F(s).
Para poder usar el segundo teorema de traslación necesitamos sen (t - 1t).
Sabemos:
sen (t - 1t) = sen t
O
(;OS
1t - cosA sen1t
= -
sen t
f(t) = - U(t - 1t) sen (t - 1t),
1
Como
,Sf{sen t}= - -- , entonces:
S2
+1
e- 1r S
,Sf{ - U(t - 1t)sen (t - 1t)} = - -.- - .
S2 + 1
EJEMPLO 8
Dada F(s)
=
e - s _ e - 2s _ e- Js
s
e-s
e- 2S
e- Js
,Sf-l{ __ - - - - - S2
S2
S2
2
+
+ e-
4S
'
hallar f(t).
e- 4S
----::2}. Tomamos el primer término.
¡;
e- S
Para encontrar ,Sf- l{ __ } partimos del hecho:
.
~
e- S
,Sf- l{_} = U(t - 1)
Y ,Sf{t U(t - 1)} = - F'(s) =
e-ses
S
,Sf-l{
+ 1)
y
S2
e -S (s
s
+ 1)
2
}
= t U(t - 1).
e-S
Pero necesitamos: ,Sf_l{-;z} y vemos que en la expresión
,Sf-l{
e - s (s
camos.
~
+ 1)
}, podemos restarle un término para que quede lo que bus-
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500
TRANSFORMADAS
S
2-11 sr
= 2-l
= t U(t -
+ e~s
+ e-S
~e-s
l
S2
1) - U(t - 1)
= (t -
¡=
S
_ sr
¡
_
1
2-1 _e-S
S
1) U(t - 1)
TRASLACIóN
DE LAPLACE
50B
t -,
1
¡
f(t)
= ~4
O
e-S t
= 2- T~.
1
f(t)
1
Similarmente trabajamos con los demás términos:
1
- [se="
S2
+ (-
+ e-s
-
se-S
3 se=" - e-3S)
cuya transformada
+ (_
'
+ 2 se="
2 se=" - e-2S)
+ 3 se=" + 4 se=" + e="
_ 4 se-4SJ,
inversa es:
(t - 1) U(t - 1) + (2 - t) U(t - 2)
+ (3 -
t) U(t - 3)
+ (t -
4) U(t - 4)
Ejercicios 7.4
¿Cuál será la gráfica de esta función? Procedemos por pasos:
«: 1
>1
(t - 1) U(t - 1) = ~~_ 1
t
t
(2 - t) U(t - 2) = lo2 _ t
t<2
t>2
para
para.
t
t
>1 ~
>2
~
Hallar la transfo
t-1
+2-t
1
l~-t
t<3
t>3
para
t
>3
~
1
+3-t
4-t
(t-4)U(t-4)=
1~-4
t<4
t>4
para
t >4
~
I
1. f(t)
= k[U(t
I
I
2. f(t)
= k U(t
I
I
3.
I
'1
t-]
-
(3-t)U(t-3)=
I
4. f(t)
= 1~
5. f(t)
=
t-4
+t-4
-O
t
r
1 1
2 3
http://carlos2524.jimdo.com/
FORMADAS DE LAPLACE
TRASLACIÓN
SOBRE EL EJE T
t - 1
f(t)
¡
1
=
4-t
O
e-S
s-u:»:
1
2
¡
•
501
l<t<2
2<t<3
3<t<4
resto
jet)
S
1
_48},
2
3
4
Figura 7-10
+(t-4)U(t-4)
Ejercicios 7.4
r pasos:
-?
t-l
-?
t-1
Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
Respuestas:
1. f(t)
+2-t
= k[U(t - 3) - U(t - 2)J
2. f(t)=kU(t+I)
No tiene
1
1
+3-t
4-t
3. f(t)
=-
4. f(t) =
1~
5. f(t) =
{i
t- 4
+t - 4
O
5 U(t - 1)
+ 6U(t)
> rt
t < 1, 2
l<t<2
3<t<4
5
e-s
< t < 3, t > 4
6
+-
s
s
3
- (1 s
O<t~1t
t
__
e-'1rS)
1
- (es
S
_
e="
+ 2 e-
3S
-
2 e-
4S)
http://carlos2524.jimdo.com/
502
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Establecer las siguientes funciones en términos de la función escalón unitario y encontrar su transformada.
6.
3
3
7t
f(t) = - - - U(t - -)
222
y
F(s)
= (3/2s) (1 -
e(-71P)S)
3
2
1t
2
Figura 7-11
7.
1
_ (1 - e-s
s
y
•
l~--"'"I
1
2
Figura 7-12
+ e-
2S )
http://carlos2524.jimdo.com/
RMADAS DE LA PLACE
a función escalón
uni-
TRASLACIóN
503
SOBRE EL EJE T
8.
y
3
=--
222
3
1t
-U(t --)
= (3/2s) (I
-
2
e(-,,'¡2)S)
1
i
I
1
1
I
I
1
1
2
3'1
41
I
I
I
I
I
I
1
I
-1
Figura 7-13
9.
1
- (1 s
e-S
+ e-2S)
y
2
2
3
Figura 7-14
1
I
http://carlos2524.jimdo.com/
504
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
TRASLACIÓN SO
12.
10.
1
_ (2 e:" - e="
+ 2 e-2S _
YI
e-S)
s
y
~
•
2
1
,'1
'2
3
,
1
,
I
-11
I
Figura 7-15
11.
13.
2
1
-(---)
s 1 + e-s
y
2
Periódica,
I
con periodo 2
~
I
1
2
3
. Figura 7-16
4
http://carlos2524.jimdo.com/
TRASLACION SOBRE EL EJE T
505
12.
y
Periódica, con periodo 2a
~(
S
1
)
eas+ l
k
a
2a
3a
Figura 7-17
13.
y
Función escalonada
3
~(
S
2
1-+----..1
I
I
-1
2
Figura 7-18
3
1
1 -
)
e-s
http://carlos2524.jimdo.com/
506
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
14.
y
Función escalonada
4
3
2
2
Figura 7-19
15.
y
2
Figura 7-20
16.
y
2
3
Figura 7-21
i.(_l_)
S
eS - 1
http://carlos2524.jimdo.com/
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
17.
507
y
1
2
Figura 7-22
18. Resolver el ejercicio 17 usando el siguiente teorema:
2{f'(t)} = s 2{f(t)} - feO)
· 19.
1
-s1 + -(-1
+ 2e- s _
S2
y
2
3
Figura 7-23
20.
y
2
1
2
Figura 7-24
3
e- 2S)
http://carlos2524.jimdo.com/
508
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
21.
y
1
2
3
Figura 7-25
22. Resolver el ejercicio 21 usando el teorema de la transformada de la
derivada de una función .
En los siguientes ejercicios, hallar f(t) dada F(s):
a) En términos de la función escalón unitario.
b) En la forma usual.
Respuestas:
23. 2-
1
e - 25 ~
s-~
f(t) = V(t - 2)
1
-{O
f()
t -
1
t<2
t>2
f(t) = V(t - 2) - V(t - 3)
f()-{O
t -
25. 2-
e-5
1
1
1
t<2, t>3
2<t<3
+ e- 25 + 2e- 35 1
s
~
o
f(t)
=
1,
2,
4
t < 1
<t<2
2< t< 3
t> 3
1
http://carlos2524.jimdo.com/
RMADAS
DE LAPLACE
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
509
f(t)
= (t -
f(t)
o
= t-
2)u(t - 2)
l
f(t)
= lOt-a
f(t)
=
t
t
2
<2
>2
t <a
t>a
O
3t -
3,
2t-1
1
t< 1
<t<2
t>2
t < 1, t > 3
t - 1
1< t < 2
-t + 3, 2 < t < 3
O
f(t) =
transformada
de la
1
-t +2
O
t-3
=
f(t)
-t
+ 5
0<t<1
1<t<2
2 < t < 3,
3<t<4
4<t<5
t>5
En los siguientes ejercicios usar el segundo teorema de traslación para encontrar
la transformada de las siguientes funciones:
Respuestas:
U(t - 3)
i>3
3
31. f(t)
1
3
3
t>-
cos t O<t<~
1
2
=
sent O<t<!!...
2
32. f(t)
=
O
t>-
1t
2
2
1t
2
+ e- j2
S(8 + 1)
s
7rS
2
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510
TRANSFORMADAS
33. Comparar los resultados
de los dos ejercicios
anteriores
DE LAPLACE
y encontrar
relación entre ellos.
1t
O
¡
¡
=
..
31t
_e-:;!.7rS/2
_e-7rS/2
S2 +
2
A.
1
B.
2
O<t<l
t2
36. f(t)
-<t<2
Gas t
sen t
t
>
0<
t
t
t
vien
Resto
35. f(t) = 1
En los si
44. La
Respuestas:
34. f(t) = j Gas t
una
TRASLAC
_ (1 -
1
< rt
> rt
t"'··',
e=' -
c.
se:"}
S3
__
s
+
i+1
e-7rS
D.
s-l
(--)
i+1
45. La
e-2(S-1)
,f'4Jj'
37. f(t) = e V(t - 2)
t
tari
s - 1
A.
e-(S+2)
= e=" V(t
38. f(t)
B.
-
1)
s+2
C.
D.
e-2(S-3)
=e
39. f(t)
-
3t
V(t -
2)
s-3
46. La
=e:»
40. f(t) = sen t V(t -
1
41. Hallar 2_
1t)
S2 +
l
ee :»
S2 + 4 ~
1
42. 2_
1
1
43. 2_
lS2
l
=l
t
o
+9~
f(t)
:~:'+¡
2
-sen
> rt
= (-sen
1
C.
t-«;«
3t,
t
D.
> 1t
47. Es
t<1t
0
f(t)
B.
t-c. r:
f(t) = Gas 2t,
e-1rS ~
S2
A.
o
g
1
1
t) e1r-t,
t
> 1t
!t
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511
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
En los siguientes ejercicios eJcoger la opción correcta:
44. La transformada de f(t) = (-t
viene dada por:
1
B. - [2se- s
S2
.
. , f()
45 . L a f unClOn
t =
- 1) -
12tt
2
B. t
2
~
V(t - 2)
2
t V(t - 2)
-
C. t2 V(t - O) - 2t V(t - 2)
D. t 2 V(t - O)
46. La 2-
11:2 (e-
C
=
s
- t 2 ) V(t - 2)
+ 2 e-
1t-1
3t _ 5
t)=
A. f(
B. f(i)
+ (2 t
+
2S
está dada por:
1<t<2
t
(t - 1) V(t - 1)
>
2
+ 2 V(t -
t)= lt-1
1<t<2
. f(
2t-4
t>2
D. f(t)
= t V(t
- 1)
+ 2 V(t
- 2)
47. Escoger la gráfica que representa:
2- 11i....
s
_
3 es
2S
+ 2) V(t
- 2)
O < tt>
< 2,2, en termmos
, .
d e 1a f unClOn
. , esca1on
' urn.
tario es:
A. 2t (t - 2) -
(-t
+ 1)]
e- S (s
-
+ 2) V(t
+ e-
3s
l
s ~
2)
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TRANSFORMADAS
512
A.
;,
,
2
!
TRASLACI
c.
B.
'h
3
DE LAPLACE
4'
D.
3
t
2
1
i
,
2
I
-
t
I
3
I
,
•
I
,
I
,
I
,
,¡
•
50. La 21
123
C.
D.
4
4
3
3
2
2
1
,
I
1
3
,,
I
I
I
,
t,
B.
t,
•
I
I
I
t
,
i
r
A.
I
I
I
2
3
c. t,
Figura 7-26
D.
48. La Jil-1
1s
2
e=»
+ 16
l
ti
viene dada por:
Respuest,
A. sen 4(t - 7t) V(t - 7t)
B. -
44. D.
1
GOS
4
4(t - rr) V(t -
1
C. -sen4t
4
D.
GOS
Uit -
7t)
45. D.
4t Uit -
7t)
49. La Jil{t(t)} si f(t) =
A.
7t)
1
sen t
GOS t
O
< t < 7t , esta,
t
'> 7t
dada por:
46. A.
1 + e-TlS
S2
+1
B. 1 - s e==
S2 + 1
47.
B.
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ADAS DE LA PLACE
SOBRE EL EJE T
TRASLACIÓN
e-
7TS
D.
(1 - s)
s2+1
7Ts
3
50. La 2-1 lse-2--'
I(t)
=
/,
+
r
r
s
A.
513
1
¡
sen t
B. I(t)
=
cos t
está dada por:
t
< 1t/2
t
> 1t/2
t
<
1t/2
t ;» 1t/2
3
C. f(t)
= cos t Uit
-
1t/2)
D. f(t)
= sen t V(t
-
rt/2)
Respuestas:
44. D. La' opción A es incorrecta pues es solamente 2{t V(t - 2)}. La opción B da 2{( - t + 2) V(t - 1)}. La opción e es
2{ - (- t + 2) V(t - 2)}.
45. D. La opción A está incompleta; falta añadir t'. La opción B está incompleta, le falta + 2 t V(t - 2), La opción e no corta a la función f en
t = 2.
46. A. La opción B debería ser (t - 1) Utt - 1) + 2 (t - 2) Uit -:...2). La opción e se olvidó de sumar (t - 1) + (2t - 4). La opción D está incompleta.
47. B.
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514
TRANSFORMADAS DE LA PLACE
48. C. Las demás opciones no usan correctamente las identidades:
cas (A
± B)
y sen (A
+ B).
A la opción A le falta el coeficiente
~.
4
49. C. La opción A es 2{sen t + sen (t - TI) V(t - TI)} solamente. La opción
B es 2{sen t - cas (t - TI) V (t - TI)} solamente. La opción D es
2 {sen (t - TI) V (t - TI) - cas (t - TI) V (t - TI) } solamente.
se- 1TS / .
50. A Y D porque 2 - 1
s2+1
t
< TIj2
t
>
TI
TI
TI
2
2
2
= Gas (t ....,. - ) V(t - -) = sen t V(t - -)
--
TI/ 2
Funciones periódicas
Definición 7.7. Sea f(t) definida para toda t > O Y P
periodo p
f(t + p)
f(t) .
>
O, f es periódica con
=
EJEMPLO 1
Sea
y
=
sen x
= sen (x + 2 TI) = sen x Gas 2 TI
es periódica con periodo 2 TI.
y
+ Gas x sen 2 TI =
EJEMPLO 2
Sea
y(t)
=
1~
0< t
<1
1<t<2
y(
y(t)
= y(t + 2).
'..,
t
con periodo 2,
-1
+ 2) -
2
2
O 3
< tt <
< 34
<
sen x
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515
FUNCIONES PERIóDICAS
Teorema 9. Sea
do p.
f
f
seccionalrnente continua y sea
~
2{f(t)}
=
1
1 - e-SP
función periódica con perio-
Jo(p e-
st f(tj dt
Demostración:
Por definición de transformada de Laplace:
2{f(t)}
=
i'"
e-stf(t)dt
Esta integral puede escribirse como la suma de integrales sobre periodos sucesivos:
2{f(t)}
=
í'"
e- st f(t) dt
=
i
P
st
e- f(t) dt
+
i
ZP
e- st f(t) dt
+ .. ,
Nos interesa tener los mismos límites en las integrales, para ello se hace la
siguiente transformación:
= 't,
dt
2a. integral t = 't
+ p,
la. integral t
3a. integral t
= d't
= 't + 2p,
dt
t
= d't
dt
= O,
1t = p,
= d't
=
•
=O
't = P
=
t
O, 't
O
t = 2p, 't = P
1
t = O, 't = O
t = 3p, 't = P
1
etc.
Como f es periódica, con periodo p entonces:
f(. + p) = f('t) y:
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516
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= (P e - sr f(,¡;) d't [I + e-SP + (e - SP? + (e- SP )3 + ... ]
Jo
\.
)
Y
Serie geométrica con razón e - sp
Para s> O Y
p> O ~
e - sp
<
1
1 Y la serie geométrica converge a - - -
1 - e - SP
EJEMPLO 3
Sea la función y(t)
= 1~
O < t < 1 con periodo 2
1<t<2
Hallar su transformada de Laplace.
1
2
2'{y(t))
=
1
1 - e-
.
lS
o
e - st y(t) dt =
~ e- st 1
1
1 - e - 2s
[i
1
o
2e- st dt
+
52 ]
O dt
1
1
_
-
1 -
1
e- 2S
(_
s
)
o
1
(2(1 - e - S))
- 1 - e - 2s
s
_-----:-1
-
1 _ e - 2S
1
(1 - e-S)(l
+ e - S)
(2(1
~ e- S)\
2
que concuerda con la solución del ejercicio 11 de la sección 7.4.
-}
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517
FUNCIONES PERIóDICAS
EJEMPLO 4
Encontrar la transformada de la siguiente función periódica:
f(t)
1
1t
21t
Figura 7-27
1
1 - e'11"
Soo
~
srr
t
rr
e- st sen t dt
o
e - st sen t dt
.
1 + e= --s2+1
TrS
1
• (1
---TrS
1 - e-
e TrS
e7rS
+1
1
-
+ eS2 + 1
Trs
e
e 2 7rS
, multiplicando por e
1
S2
+1
Veamos esta expresión:
2rrs
)
e TrS
e 7r S
+ 2e + 1
2e + 1
(e 7rS
+ 1y
1
(e TrS
-
-
e
\, eTrS
7r S
_
+1
7rS
7rS
+ 2 + e2 + e_
1)2
TrS
rrs
e7rS + e - 7rS
- - - - +1
2
rrs
e + e - 7rS
----- 1
2
1
-cosh
- -7t s-+= cot h -7t s por identidades hiperbólicas del ángulo
cosh 7t s - 1
mitad.
2
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518
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
~{f(t)}
==
coth (rt/2)s
S2
+1 .
Convolución
Teorema 10. Convolución. Si f(t) y g(t) son seccionalmente continuas para
== F(s), ~{g(t)} == G(s). Entonces:
t ~ 0, de orden exponencial y ~{f(t)}
~ 1fo f(e) g(t t
't)
d't¡ == ~(f(t)} ~{g(t)} == F(s) G(s).
Demostración:
Sean F(s)
== ~{f(t)} ==
1'"
G(s)
== ~{g(t)} ==
i'"
Tomando 't fija
~
~
sea t
dt
e-
f(1:) d't
ST
e-
S
'/
g(y) dy
== 't + Y
== dy
Sustituyendo:
F(s) G(s)
==
1'"
f('t) d't
1'"
st
e- g(t - 't) dt
Figura 7-28
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519
CONVOLUCIóN
La región de integración se muestra en la figura, en el plano t't, y se puede
intercambiar el orden de integración porque f y g son seccionalmente continuas
y de orden exponencial. Entonces:
=
i'"
i'"
=
2
F(s) C(s) =
e- st
e-
st
/i
dt
fut f(t)
~t f(t)
g(t - 't) d't
g(t - 't) d't
t
f('t) g(t - 't) d't
dt]
1O
Notación:
f
*g =
la
t
f('t) g(t - 't) d't = 2- 1 {F(s) C(s)}
EJEMPLO 5
1(s 1+ Il l~
Usar el teorema de convolución para encontrar : 2- 1
Sabemos que
2-
1
/ :2
S2
¡
=t
= t e- t
Y2_1/
+ 2 e- t + t
(s : 1y
- 2.
Comprobación :
2/t
1
2
1
2
1
(s+1J2
s+1
S2
s
s2(s+1)2
e- t
+ 2 e- + t
t
-
21 =
-,-----:- + - - - + - - - = - - - -
[=
t e-
t
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520
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 6
Evaluar
2~it e
= et
tomamos f(t)
21.r
T
Gas (t - 't) d't ¡
y g(t)
= GOS t
= 2{et }. 2{GOS t}
e'T GOS (t - 't) d't¡
1
=_
, __
0
s
_
s- 1
_
-
+1
S2
s
- (s - 1) (S2
+ 1) .
EJEMPLO 7
Hallar: 2-
Sean F(s)
1(s
1 2
+s a)22!
s
= s+a
-2--2
Y G(s) =
1
entonces:
- 2 - - 2'
s+a
1
2- 1 {F}= GOS a t y 2- I {G}= - sen a t
a
~
1
i Jot Gosa'to~sena(t
a
2-- 1 2 S 2 =
(s +aY~
= -1a
ft Gas a 't (sen a t GOS a't o
= -1 sen a t
a
i
GOS 2 a 't d't
o
ia
a
= -1 sen a t
GOS a t sen a 't) d't
t
- -1 Gosa t
a
't) d't
t
sen 2 a 't d't
o
ia
o
t
-1 (1
2
2
+ GOS 2 a 't) d't
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521
CONVOLUCIÓN
-
-
1
a
GOS
a
t
ia
t
2
1
= - sen a t (a
t
o
+
sen 2 a 't d't
2
sen 2 a t
4a
1
(1 - -Gosat
a
1
a
=-senat
1
-
-
a
GOS
GOS
)
2at )
4a
( t
a t GOS a t)
- +sen
----
2
a t(
2a
sen 2 a t
)
2a
t sen a t
2a
Ejercicios 7.5
Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones, cuyo periodo se
indica:
1.
y
1 +---~
l.
I
I
"II
1 I
2,
,
I
3
I
I
I
,
I
I
-1
Periodo: 2
Figura 7-29
1~ =-tanh1
s
-1 -s - s e +l
s
2
(eS -
4
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522
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
caNVOL
2.
7. f(t)
l!
1
s (1
Peril
+ e-
S
)
8. f(t)
9.
2
3
Periodo: 2
¡ti
~:'i
""..
Figura 7-30
,1
3.
e-s
s(l-e-S)
1
\,.."
,
S2
Yi
,t<!'
I
10. f(t
Pe
En los
,2'-J{FI
p=
1
r
r
2
3
~t
I
Periodo: 1
11.!t
Figura 7-31
4. f(t) =
Periodo:
1~
1)
O<t<2
2<t<4
e-2S - 2 se=")
S2(1 _ e-4S)
4
O<t<2
1<t<4
I
12. !ti
I
13.
I
14.
I
15.
2 (1 -
4
6. f(t) = lO
-2t,
Periodo:
+
2
5. f(t) = 12t
4
Periodo:
O<t<l
1<t<2
Respuestas:
e-S (s + 1) - e=" (2s
S2 (1 _ e-2S)
e-4S(Bs
+
S2
2)
+ e-2S(-4s
(1 -
e-4S)
- 2)
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AS DE LAPLACE
1
s (1
+ e-S)
523
CONVOLUClóN
7. f(t)=t2,
O<t<2
Periodo: 2
8. f(t)
=
1
(1
2S
S3
+ 2s + 2s2))
(1 _ e-2S)
1-e- (s+I)
S2 (1 _ e-
O<t<l
to
e-
2 (1 -
S
2S)
1<t<2
y
9.
1
s
S2
2
-tanh-
2
Periodo:
3
2
Figura 7-32
10. f(t)
= 1 sen t
O
Periodo:
1
0< t < 11:
11: < t <211:
21t
En los siguientes ejercicios usar el teorema de convolución para hallar
2-1{F(s)}.
11.
1)
12.
13.
2-11-__
Respuestas:
(s -1)(s
1
2- 1 (s
+ 3/(S
14. 2-1
1s (s -1
15. 2-1
1
e2t
_
et
- 2)~
-
1)
1 (s + 2/(S + 1)
1
2-
1
1
¡
¡
1) \
s - 2)
S(S2
1+ 1)\
1 - Gast
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524
THANSFORMADAS
16. 2-1
1(S2 + 1) (s -
17. ,ft/-1 ~
l(s2
S
f
1)
1
f
+ 1) (S2 + 9)
1
- (e'
2
+ sen
t -
cos t)
1
- (3 seti t - sen 3t)
DE LAPLACE
CONVOLUCló
23. Dada f(t)
Su transf
24
A.~
1
- t cos 2t
1 (S2 +S2 41 f
18. 2-1
2
1
+-
4
S2
B.
1 (s
1
19. 2-
1
2
1
20. 2-
(s
2
1
-t
4
+S 4
)2 ~
(S2
1
-(senwt
2w3
1
~
(S2 + w2)2
S
e.(1 -
e
D.
21. 2-11
+
sen2t
1
- t [sen. 2t - 2t cos 2t)
64
+ 4? ~
S
(1
sen 2t
i(l
- wtcoswt)
24. Usando
2{e-t*
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta:
A.
22. La transformada
f(t) =
1 3t
de la función periódica.
0<
t<3
3 < t < 6.
Periodo:
6
B.
Está dada por:
5[(s
( S2
2s3
5[(s
c. A. s - 3se-6S - e-3s
s(l - e-6S)
B. e-6S(_
-
3
s
+ 1) -
1
_e-3s
c.
_
S2
5(S2
S2
(1 _ e+6S)
6se-3S
D.
e-3s
+ 1_
(J -
e+6S)
25. Usar el
3e-6•
la opció
A. 1-
D. 1 - 3 se=" - e-3S
S2(1 _ e-6S)
B. Gast
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AS DE LAPLACE
525
CONVOLUClóN
=
23. Dada f(t)
leas
ti
0< t < rt/2
O
J
rt/2
Periodo: rt
< t < rt
Su transformada viene dada por:
A.
s
S2
+ e-1rs/2
(1 - e==)
e-
B.
(S2
C.
7rS/"
+ 1) (1 + e-
7rs 2
/
s
(1 -
e-7rs)
e-7rs)(s2
+ 1)
e-1rS/2
D.
sZ (1 - c-7rs)
24. Usando el teorema de convolución escoger la opción que contiene
2{e-t * et cos t}
A.
2s -1
8-1
2s + 2) (s
B.
(S2 -
C.
D.
IY + 1]
5[(s -
2s3
-
5[(s -
+ 1)
+ 4s - 6
IY + 1] (s + 1)
2s2
-2s2
+ Ss -
5(s2 - 2s + 2) (s
3
+ 1)
25. Usar el teorema de convolución para encontrar 2-1
1
1
S(S2
la opción correcta:
A. 1 - cosh t
B. cos t - 1
-
¡ Y escoger
1) \
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526
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
C. Gosh t - 1
D . 1 - GOS t
l
26. Escoger la opción que contiene un paso intermedio de la evaluación de
2 -1
ses
2
Yl
+1 í
1
A. 1 - GOS t -
B. cos t - 1 -
usando el teorema de convolución.
t!
tt
sen (t - 2't) d't -
~
50!
sen (t - 2't) d't -
~
lt
sen t d't
sen t d't
C. 1 - Gas t
+
f!
sen (t - 2't) d't -
~ Sa! sen t d't
D . Gas t - 1
+
lo!
sen (t - 2't) d't -
~ Sa! sen t d't
Respuestas:
22. D . La opción A tiene errores algebraicos. Las opciones B y C además tienen un error de concepto, el divisor de las funciones periódicas es
(1 - e- SP ), donde p es el periodo.
23. C. La opción A se olvidó de dividir el resultado entre
1
1
+7
que es
f7r/ Gas te - S! dt. A la opción B le falta un tér2
el factor de la integral
mino. La opción D contiene los dos errores anteriores.
24. B. La opción A está incompleta, le falta la 2{ - 2e- t }. La opClOn C no
contiene 2{et sen t}. A la opción D le falta 2{2e! GOS t}.
25. C. La opción A considera el resultado de la integral como Gash (t - 't)
Las opciones B y D suponen que 2- 1
1:.
Ií__1_1 íl es sen t, lo cual es falso .
S2 -
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527
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
26. A. La opción B supone que el resultado dE
- eas (t - 't)
I: y debe ser eas (t -
i
1:.
't)
t
sen (t - 't) d't es
La opción C; así como la D,
1
jamás darán el resultado correcto que es: f(t) = 1 - eas t - - t sen t .
2
Aplicaciones de la transformada de Laplace
Circuitos eléctricos
EJEMPLO 1
Encontrar le del siguiente circuito:
~
le
2 Q
10 eost
Figura 7-33
si su equivalente en transformadas de Laplace es:
~Q
~
~
ls
~A
s2
+
le
2Q
1
Figura 7-34
(Sugerencia: utilizar el método de maBas)
Solución:
4(Ic - Is) + 3Ic + 2Ic
5
=O
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528
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
lOS)
3Jc
4 Jc - - - + - + 2Jc = O
(
s' + 1
40s2
4slc - - ~+1
le(6s
5
+ 3le + 2sle =
O
40s 2
+ 3) = S2 + 1
2
le
40s 2
(6s+3)(8 +1)
40s
= -------,--(6s
A
+ 3) (S2 + 1)
Bs + C
8 +1
- -- - 2 - - = - - + - 2 40s2
4{)
6s+3
= As2 + A + 6B8 2 + 6Cs + 3Bs + 3C
= A
+ 6B
0=6C
O =A
+ 3B
A
8
= 8, B = -163 , C = - -.
3
+ 3C
8
16
s
8
1
l e = - - - - + - · - - - - · -3 (2s + f)
3 S2 + 1
3 S2 + 1
le
= -43 e- + 16
-3 eos t t/2
8
3'
- sen t
EJEMPLO 2
Encontrar h del siguiente circuito:
9 Q
3H
2 Q
110 V-=-
i(L)(o-)
Figura 7-35
= 10 11.
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APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
529
si su equivalente en transformadas de Laplace es :
l~
2Q
Figura 7-36
Solución:
Ecuación 1:
-22 + 3 sIl + 2s (11 - 12)
11 (3s + 2s) - 12 (2s) = 55
11 (5s) + 12 (-2s) = 55
-
33
=O
Ecuación 2:
212 + 33 + 2s (12 - 11) = O
212 + 33 + 2s 12 - 2s 11 = O
11 (-2s) + 12 (2s + 2) = -33.
Resolviendo 11 por determinantes:
I-~~ ~~ 21
1,= I_~:
~~21
11 Os
lOs
2
+ 110 + lOs -
66s
48l
22s
3s2
+ 55
+ 5s
22s + 55
A
B
Pero - - - - = - + - 5 (3s + 5)
s
3s + 5
22s
+ 55 = 3 As + 5 A + Bs
=
5A
22=3A+B
55
11
.~
.~
=
A
11
B=-11
= h = 2 _ljlJ
.-¡ -
3s
11
lJ/3 t
t = 2- ljlJ
-;--
+ 5~
11
h = 11 t - -3 e- 5tj3 A .
s
+ 5/3 ~
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530
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 3
Sabiendo que el eje de una viga tiene una deflexión transversal y(x) en el
punto x, cuya ecuación es:
O< x
W(x)
E]"'
<
l
donde El es la constante: rigidez de la flexión, W(x) es la carga vertical
por unidad de longitud l y actúa transversalmente sobre la viga.
Encontrar la deflexión en cualquier punto de una viga fija en sus extremos
x
OY x
l, qu e soporta una carga uniforme W por unidad de longitud.
=
=
La ecua ción es:
d 4y
W
dx
El '
- 4-= - -
O<x<l
=
con condiciones iniciales y(O)
y"(O) = O, y(Z) = O, y"(l)
ticulada), aplicando transformada
S4y(S) - S3y(0) - s2y'(0) - sy"(O) - y"'(O) = ~
EIs
Sean y' (O)
= el:' y'''(O) = e:
~
S4 y(S) -
S4 y (S)
y(s)
,!l'- l{y(S)}
e
1
W
8
2
=-+
EIs
=
1
W
Els 5
e
-
e
2
= ~
EIs
+
S2
1
el e
+ 2'
s + 4'
s
2
1
w
= 24
- -El- t4 + e t + -6
1
eomo y = - w-24EI
y
,
= 6EI t
W
3'
w 2
Y" = -2EI- t
t
4
+ el t + e
- 2 v,
e
+ e2 t
...;¡
6
+ el + 22 f,
e2
e
t3
2
entonces:
aplicando: y(l) = O, y"(l) = O
= O (de viga ar-
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531
RESUMEN
o=
_W_
24EI
l4
+ C 1+ C
2
6
1
l3
C2
wl
= --2EI
O = ~[2+Cl
2EI
C
C
l
l
==-
2
C 2l2 _ _ w
__ p
6
24EI
wl
6(- 2EI) -
wl J
24EI
l2
=
wl 3
12EI -
wP
24EI
=
wP
24EI
La deflexión buscada es:
w
= -24EI
-
(t 4 + l3 t - 2l t 3)
w
=- t W+ P 24EI
2l t 2 ).
Resumen
Definiciones
Transformada de Laplace
Para t
~ O:
,!ll{f(t)}
=
l'"
e-se
f(t) dt
= F(s)
Transfonnada inversa
Si ,!ll{f(t)} = F(s)
~ f(t) = ,!ll-l{F(s)} es la transformada inversa.
Función seccionalmente continua en t
E:
[a, b]
Si a) está definida en todo punto del intervalo.
b) si es posible dividir el intervalo [a, b] en un número finito de sub in tervalos, en cada uno de los cuales la función es continua y existe el límite de la
función desde el interior del subintervalo a cualquiera de los extremos del
mismo.
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532
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Función de orden exponencial
f(t) es de orden exponencial
I f(t) I ~ M e"'t
IX
~
existen M,
IX E
R tales que:
Función escalón unitario
Ut-a
(
-10
) -
1
t<a
t > a,
a;?: O
Transformada de la función escalón unitario
2{U (t - a)}
1
=-
e - as
S
F unción periódica
+ p) = f(t)
t>Oyp>O
f es periódica con periodo p ~ f(t
Teoremas
Primer teorema de traslación
Si 2{f(t)} = F(s)
~ 2{e at f(t)} = F(s - a), a E R
Existencia de la transformada
Sea f(t) de orden exponencial
IX,
t
>O
Sea f(t) seccionalmente continua en t ;?: O
~ 2{f(t)} existe para s> IX.
Transformada de la derivada de una función
Si 2{f(t)}
= F(s)
~
2{f'(t)}
= s2{f(t)} -
Transformada de la integral de una función
feO)
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RESUMEN
533
Derivada de la transformada
Si 2{f(t)} = F(s)
~ 2{tf(t)} = - F'(s).
Generalizando:
2{( -tl f(t) }
=
F (n )
(s).
Integral de la transformada
2
V(;)! = 5."
F(a) da
Segundo teorema de traslación
Si F(s)
= 2{f(t)}
~ e- as
F(s)
ya> O
2{f(t - a) U(t - a)}
=
Transformada de una función periódica con periodo p
2{f(t)}
=
1
1 - e- sp
lP
e-st
o
f(t) dt
Teorema de convolución
Si 2{f(t)}
21 i'
= it'(s)
y
2{g(t)}
f('t) g(t - 't) d't!
= G(s)
entonces
= 2{f} ~{g} = F(s) G(s).
Método para encontrar transformadas inversas cuando en el denominador hay:
a) Factores lineales
Sea
~
G(s)
(s - a) (s + b)(s - e)
2- 1 {F(s)}
Donde
= F(s)
= A e at + Be- bt + c eet
A -
G(a)
H'(a)'
B _ G(-b)
- H'( -b)'
C
=
G(e)
H'(e)
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534
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
RESUMEN
b) Factores lineales repetidos
Sea F(s)=-=
G(s)
G(s)
H(s)
(s -
G(s)
Q(s)=-(s-a/
H(s)
,
ay
5. sen
t4
t3
t2
~ 2-1{F(s)} = ea! (A5 - + A4 - + A3 - + A2t
4!
3!
2!
Q(a)
A --
Donde
Q'(a)
A ---
O!'
5 -
6.
Q"(a)
1! '
4 -
+ Al)
A ---
2! '
3 -
Q"I(a)
A --2 -
3! '
c) Factores complejos
para
=a
cada a
~ 2-
1
+ i~:
Q(s)
=s _ a
7t
[(Q11
4!
7. senh
9. tn ea!
GaS
~t - Q2 sen ~t)
de Q(a
+ i~)
= (a
+ i~)
+ i'~) _
a
+ i~
d) Factores complejos repetidos
= 2e
1 -
+ i~
G(a
Y Ql, Q2 se obtienen
y(t)
QIV(a)
A ---
8. eash
1G(s) ~ = 2e"'t (Ql
el caso m
cos
G(s)
H(s) ~
Para
uJ
10.
ea!
s
11.
ea!
e,
=2
+ tQ21) GaS
~t -
(Q12 + tQ22)sen ~t]
12. t se
donde Q( s) produce
Q21 y Q22
y Q'(s)
produce
Q11 y Q12
13. tea
Tabla
f(t)
de Laplace
de transformadas
2{f(t)}
1. 1
lfs
2.
t
1/S2
3.
r,
n
t", n>
4. ea!
= 1,2,3, .. ,
O
=--= F(s)
n!/sn+l
14. sen
15. sen
r (n)/sn+l
1
-s-a
16. sen
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RESUMEN
535
f(t)
5.
!é'(f(t)}
w
sen wt
S2
6.
F(s)
+ W2
S
Gas wt
S2
+ 10
2
a
7. senh at
S2 _
a2
8. Gash at
9.tn eat ,
n=I,2,3, ...
nI
10. e at sen wt
w
11. e at Gas wt
s - a
(s - a) 2 + w 2
12. t sen wt
13. t Gas wt
14.
sen wt - wt Gas wt
15. sen wt
16.
+ wt Gas wt
sen at senh at
2ws
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536
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
5. Escoger
Fórmulas
17.
e" f(t)
F(s -
18. (-ttf(t),
n
19.
f(n) (t),
20.
i
n
= 1,2,3,...
= 1,2,3,...
A.
a)
F(n) (s)
snF(s) - sn-l feO) -
t
...
-
t":"
s
f(t - a) U(t - a), a> O
22.
i
f('t) g(t - -r:) dr:
2
8
e-as F(s)
7. Hallar
F(s) G(s)
8. Escoger
Autoevaluación 7
1
1. Usar la definición
t
C.
6. Resolver:
t
=
(O)
F(s)
f(-r:)dr:
21.
f(t)
AUTOEVALU
para
encontrar
la transformada
O~t<l
4-3t
de Laplace
de:
A . -e
9
c.
ge
t~l
9. Hallar
2. Escoger
A.
la opción
1
(s
1
3. Escoger
A.
(s
(s -
la opción
1
+ 5/
1
C.-s-S
}
10. Escoge
A. 28
1
D.
s-5
a .sf{e-
B. _1_
s+5
+ 5y
C.--
que contiene
St
sy
que contiene
C. 28
a .sf{t e-St}
11. Hallar
B. _1_
s+5
D.
12. Escog
1
(s -
sy
A. et(1
4. Hallar.sf
1
{cos - t}.
4
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AS DE LAPLACE
AUTO EVALUACIóN
537
7
5. Escoger la opción que contiene a 2{t sen 6 t}
A.
•• -
f(n_1)
(O)
12s
s
B.
~ +36
(S2
12
C.
S2
12s
D.
+ 36
6. Resolver 2{e-t
+ 36)2
(S2 + 36/
Gas2 t}.
1t
7. Hallar ~{sen t V(t - 2)}'
8. Escoger la opción que contiene a
ce de:
1
A. -e
t/9
2-11
1
9s -
(
1\
B. et/9
9
D. 9 e="
10. Escoger la opción que contiene a
A. 2 sen 2t
B. 4 sen 2t
C. 2 senh 2t
D. 2 cosb 2t
11. Hallar
2-11
1
(s -
,1
3?)
12. Escoger la opción que contiene a:
~-11
S2 -
A.
et (Gas3t
C. e' (Gas3 t
+ -1 sen 3 t)
3
+ sen 3 t)
B. et Gas3 t
D. et sen 3 t
8
2s
+
t
10 ~
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538
TRANSFORMADAS
13. Resolver
por transformada
2y"+y'_y=0,
DE LAPLACE
de Laplace:
y(0)=1,
AUTOEVALUACIÓNI
17. Hallar f(t)
=
y'(0)=4
18. Usar el teore
14. Escoger la opción que contiene la Y(s) y la solución de la siguiente
ecua-
1
ción diferencial:
2-+S2(8 _
+ 2y = O,
y'" - 3y'
y(O) = 1, y'(O) = O, y"(O) = O
Respuestas de la
+ 4s + 3
= (s + 2 Y
S2
A. Y(s)
y
= - t e="
1.
s2-3
B. Y(s) = (s
+ 2)(1S-1)
S2 -
C.
=
Y(s)
(s _
IY
3s2 -
=
D. Y(s)
15. Resolver
Y
S3 _
3s
y'" - y"
3
(s + 2)
Y
3
+2
y
+ y'
-
3
3
2
= et (8
- - - t)
9
3
2. B. La opció
+ -1
9
un paso intermedio
de la función periódica:
La opció
e-2t
= 2 e' + e="
16. Escoger la opción que contenga
ner la transformada
?
1
2
= - - e=" - - et
La opció
3. A. (Ver el
= O, y(O) = 1, y'(O) = y"(O) = O
y
~(1-4e-s)
en el proceso de obte-
4.
16s
16? + 1
5. D. El resto
0
t-1
)
1
t(t)=
Periodo:
3
7.
se-7rS/2
-2--'
S
A.
B.
1
1 - e-s
f2
("'e-stf(t)dt
Jo
(t - 1) e-st dt
+
1
9. 2t4.
3
e-st dt
10. C. La opc]
Jo
1
1 - e="
[f21 (t -
+1
8. A.
C. ~ ("' e-st f(t) dt
s
D.
+ lf +
(s
O<t<1
1:::::;t:::::;2
2<t<3
+1
8
6.
1) e=" dt
+
J2t e:"
dt]
La
OpC
La
OpC
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AUTOEVALUACIóN 7
17. Hallar f(t)
=
ft
e- 2T Gas (t - 't) d't
18. Usar el teorema de convolución para hallar:
Respuestas de la autoevaluación 7
2. B. La opción A es 2"{te- 5t } .
La opción C es 2"{e 5t }.
La opción D es la 2"{te5t }.
3. A. (Ver el ejercicio 2).
4.
16s
16s2
+1
5. D. El resto de las opciones están incompletas.
6.
+1
(s + l ' + 4
s
8. A.
9. 2t4 •
10. C. La opción A es
2"-ll~C
s + 4~
La opción B es
2"-11~t
.
s + 4~
La opción D es
2"-ll -i~~J.
s - 4í
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540
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
1
11 . -2 t 2 e3t
12. A. El resto de las opciones están incompletas.
'.3. Y(s)
2s + 9
=- - -2(8
+
10
Y = _e tj2
1
1) (s - - )
3
-
7
_ e- t
3
. 2
14. C. La opci"ón A torna Q'(s) en vez de Y(s).
La opción B considera la H (s) corno (s
(s + 2) (s - ll.
+ 2)
(s - 1), en vez de
La opción D toma como C(s) a H'(s).
15. Y
1
= -(é
+ cost 2
sent).
16. D . Para las demás opciones conviene recordar que si f(t) es periódica con
periodo 3.
~
.!l'(f(t)} =
1
17. - (sen t
5
18.
~ (e at a
+ 2 cos t
at - 1).
1 _ 1e- 35
- 2e- 2t ).
i
o
3
e- 5t f(t) dt
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541
BIOGRAFíA
Pedro Simón, marqués de Laplace (1749-1827)
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542
TRANSFORMADAS DE LAPLAcE
Pedro Simón, Marqués de Laplace
En 1749 nace en el pueblito de Beaumont en Auge, el hombre que algunos
apodarían más tarde el "Newton francés". Sus habilidades matemáticas destacan tanto en la escuela que sus familiares y vecinos juntan dinero y lo mandan a estudiar a la ciudad de Caen. Así es como a los 18 años enseña ya las
rr.atemáticas. Durante toda su vida, Laplace tiene dos temas predilectos: la
astronomía y las probabilidades, y habría de hacerse famoso en ambos.
En astronomía publica una obra monumental en 5 volúmenes titulada:
Tratado de mecánica celeste, en la cual demuestra que un sistema planetario
puede ser estable dentro de las reglas de la mecánica newtoniana. El mismo
Newton consideraba que para conservar su estabilidad, el sistema solar requería de la mano de Dios. En cuanto a la dificultad de los cálculos efectuados
en este tratado, se relata el comentario de N. Bowditch quien lo tradujo al
inglés: "Nunca encuentro escrita la expresión: 'Es evidente que ... ' sin sentirme seguro que tengo varias horas de trabajo arduo por delante antes de
cerciorarme del por qué es tan evidente".
En probabilidad Laplace publica un enorme volumen llamado Teoría analítica de las probabilidades, en la introducción del cual afirma que con el
puro sentido común se puede entender todo lo que a probabilidad se refiere.
La lectura del libro da, sin embargo, la impresión de que intenta demostrar
lo contrario.
En sus obras tiene la desagradable costumbre de no mencionar los autores de los resultados que no le pertenecen. Hablamos, por ejemplo, de la ecuación
de Laplace sin que sea descubrimiento suyo. Se debe hacer observar, en cambio, que utiliza y aplica las transformaciones que llevan su nombre -tampoco
invenciones suyas- más y mejor que nadie antes de él. Por otra parte, la
teoría de la probabilidad le debe más, sin lugar a dudas, que a cualquier otro
hombre. Trabaja bastante las ecuaciones diferenciales, y así es como tenemos
una ecuación de Laplace y el método de la transformada para resolver una
o un sistema de éstas.
Su adaptación a los cambios de sistemas políticos es solamente comparable
con la del camaleón respecto a los colores. Si Laplace es capaz de sobrevivir
a buena cantidad de regímenes, se debe a la facilidad con la cual cambia de
una edición a otra, una dedicatoria hecha a Napoleón por otra donde demuestra que este último no podía, probabilísticamente, durar mucho.
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543
COMENTARIOS
Comentarios
Anécdota
Cierto día, Laplace presentó a Napoleón una edición de su Systeme du Monde.
El emperador había oído comentar que la palabra "Dios" no estaba en el
libro y como le gustaba hacer preguntas desconcertantes, lo recibió así: "Señor
Laplace, me dicen que ha escrito Ud. este extenso volumen sobre el sistema
del universo sin siquiera mencionar a su Creador". Laplace era el más hábil
de sus políticos, pero también el más intransigente en lo referente a filosofía
o a religión, por lo que respondió brusca y vehementemente : "No necesité esa
hipótesis". La respuesta divirtió mucho a Napoleón y la relató a Lagrange.
Este exclamó a su vez: "¡Es una bella hipótesisl Explica muchísimas cosas".
Los números me ponen malo. Shakespeare (Hamlet).
Problema
¿Cuántos hijos tienes y de qué edad? pregunta Sabimuto a su amigo Kilosay.
-
Tengo tres hijas. El producto de sus edades es 36 y su suma 'es el número
de esa casa.
-
¿Y qué más?, dice Sabimuto.
-
¡Ahl de veras -responde Kilosay- la mayor se llama Alicia.
A continuación, Sabimuto dio la respuesta exacta. ¿Cuál es?
Propiedades metafísicas del número 7
Resume en sí el mundo material y es causa operante en el moral. Es el principio
viviente plasmado en sus obras. Simboliza la ascendencia de lo espiritual sobre
lo material. Es síntesis en el pensamiento y congruencia en la mano , de obra.
Da inspiración para distinguir lo bueno de lo malo, guiando la rectitud de los
pasos hacia lo correcto, propiciando la recta elección, la recta deliberación y
la recta dirección en el camino.
Numeración árabe (aproximadamente 200 A.C.)
I
1
o
2
3
4
5
7VAQ •
6
7
8
9
O
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544
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
COMENTA
HORIZO
Solución al problema
36
= 1 - 22 - 32
Las posibles combinaciones de los tres factores son:
1 - 1 - 36, cuya suma es 38
1-2-18,
cuya suma es 21
1 - 3 -12, cuya suma es 16
1 - 4 - 9, cuya suma es 14
1 - 6 - 6, cuya suma es 13
2-2-
9, cuya suma es 13
2 - 3 - 6, cuya suma es 11
3 - 3 - 4, cuya suma es 10
Sabimuto comprendió que necesitaba un dato más al ver que hay dos sumas
iguales, 13; de ahí se infiere que el número de la casa es 13, ya que si hubiera
sido cualquier otra suma podía identificarse unívocamente después de la primera pregunta.
Como 2 + 2 + 9 = 13 Y 1 + 6 + 6 = 13, esto supone gemelas en ambos casos
y sólo cuando las edades son 2, 2, 9, la mayor queda determinada.
7. Lo q
bio en las
en número;
8. (Al r,
tarda
cial.
una
9. Habit
tina). Voc
di da o tip
dos cálcul
eo
10.
( 1749-182
Abraham.
11. Not
mico
del
12. Ave
letras de
PREGUNTA
¿Cómo sería una proyección de la cuarta dimensión? Sí sabemos cómo es
el campo' visual tridimensional proyectado (casi todos guardamos alguna fotografía). Si la dimensión se caracteriza por ciertas cualidades de vibración,
¿sería factible la existencia de la novena dimensión en el planeta Venus, por
ejemplo?
mación.
1. Rela
al mono)
de Omán
2 Tod
botellas.
3. Hij
movida
ovnis.
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AS DE LAPLACE
545
COMENTARIOS
4. Vocal. Ser, hallarse. Contracción.
del Sol en el Antiguo Egipto.
HORIZONTALES
1. Vocal. Que conservan la unidad.
5. Consonantes. Herramientas
de madera (femenino).
2. Diente de un peine. Consonante. Consonante. Vocal. Símbolo químico del sodio.
Son, ocupan
un
7. Operador usado por Laplace
lugar.
5. Conjunción latina. Consonante. Peldaño, función discontinua.
9. (Al revés) te.mínación de infinitivo.
Primeras letras de la palabra cajón. Ciudad de Rusia. Símbolo químico del Boro.
6. Apto para algo. Ceñidor de seda.
10. Uno en números romanos. La más
temible de las metamorfosis de la esposa
de Siva. Primeras letras de dulce. Prefijo
que significa nuevo.
7. Lo que se utiliza para hacer un cambio en las operaciones matemáticas. Seis
en números romanos.
8. (Al revés) nota musical. Tiempo que
tarda una cosa en volver a la posición inicial.
en ambos casos
ada.
11. Terminación de aumentativo. Teorema: .fL' (f(t) l·.fL' {g(t) l
F(s)G(s).
=
9. Habitante de Tierra del Fuego (Argentina). Vocal. Cantidad que sirve de medida o tipo de comparación en determinados cálculos.
12. Sala grande. Vocal. Caudales, riquezas. Vocal.
10. Consonante. Matemático
francés
(1749-1827). Ciudad de Caldea. Patria de
Abraham.
CRUCIGRAMA
11. Nota musical. Atadas. Símbolo químico del cobalto.
12. Ave semejante a la perdiz. Primeras
letras de cráneo. Planta umbelífera.
abemos cómo es
os alguna fotos de vibración,
neta Venus, por
(plural).
8. Vocal. Consonante. Natural de Río de
Janeiro. Vocales.
Ladrón.
e hay dos sumas
a que si hubiera
spués de la pri-
con mango
6. Vocal. Raspa la superficie. Preposición.
Hogar, fogón. Vocal.
3. Símbolo de suma en cálculo. Consonante. Consonante.
4. Consonante.
Dios
13. Cosecha de la caña de azúcar. Afirmación. Vocales.
14. Aso ligeramente.
Paga, acredita.
1
1
2
2
f*
4
f*
f* f*
5
6
1. Relativo a los pitecoideos (parecidos
al mono). Estrecho que comunica el mar
de Omán con el golfo Pérsico.
8
9
1*
10
12
3. Hija de Zeus, diosa del mal. Palanca
movida por el pie. Siglas acerca de los
ovnis.
14
~
~
~
7
~
f*
f*
~
9 10 11 12
f*
f*
~ ~
f*
f*
f*
f*
~
~
~
f*
13
8
~
f* ~
11
2 Todavía. Pieza de corcho para tapar
botellas. Cóleras, furias.
6
~
7
VERTICALES
5
*
3
4
3
~
1*
f*
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8
Series de Fourier
Introducción
1t'
-w -w -w
" .. . y adentro
del número otro número
y otro adentro del otro,
prolíferos, fecundos,
.. . cayendo de los libros . ..
los números, los números,
los números".
. "'4'6'8' 12''''
Pablo Neruda (Fragmento)
Números, con resultados sorprendentes, como :
1t
1
1
1
-=1--+-- - +
4
3
5
7
¿Para qué cansar al lector con más números y números y números? En este
capítulo se demuestran estos resultados y se confirma, una vez más, lo valioso
que resulta el hallazgo de una manipulación adecuada de las series.
[547]
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548
SERIES
DE FOURIER
SERIES TRIG
Jean Baptiste J. Fourier desarrolló una teoría sobre conducción de calor,
para la cual necesitó las series trigonométricas, que tienen unos coeficientes
determinados ingeniosamente por él. Estas series tienen una gran aplicación
en fenómenos de naturaleza periódica, tales como vibraciones magnéticas,
terremotos, corrientes, etc.
pero f(x + 2
tenemos:
Series trigonométricas y funciones periódicas
Obtención de.
+ al cos x + b¡ sen x + a
2
cos 2x + b2 sen 2x +
+ b sennx + ...
... + a
1l
cos nx
= f(x +
Para n = 0,
La función s
+ 2n)
nor de todos
Las series trigonométricas son de la forma:
ao
f(x)
sen (x
+
1l
En gener
=
Donde al' bp i 1, 2, ... , n, ... son constantes reales; llamadas coeficientes.
Estas series son periódicas con periodo 21t generalmente, aunque también puede
extenderse la teoría para cualquier periodo arbitrario.
Recordemos la definición de función periódica.
Definición 8.1. Función periódica. Sea f(t) definida para toda t
T > O, f es periódica con periodo T
~
f(t
+ T) = f(t).
>O
Y
donde n es e.
EJEMPL
Obtener e
Como el
Teorema 1. Sean f(x), g(x) funciones periódicas con periodo T.
~ h(x) = af(x) + bg(x),
a, b E R
también es periódica con periodo T.
~
T=
Demostración:
Como f(x) es periódica con periodo T ~
Como g(x) es periódica con periodo T ~
~
h(x
+ T)
+ T) + bg(x + T)
= af(x) + bg(x)
= af(x
= h(x)
O
Teorema 2. Si T es periodo de f(x)
~
nT, n entero,
también es periodo.
Si T es periodo de f(x)
f(x
+ T)
EJEMPL
Hallar el
a)
GOS
nx
b) sen 2n
c) sen
2
d) tan x
e) Const
Demostración:
~
+ T) = f(x).
g(x + T) = g(x),
f(x
= f(x),
f) tan-
x
3
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SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIóDICAS
549
pero f(x + 2T) = f(x + T) porque f es periódica con periodo T, entonces
tenemos:
f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = ... = f(x + nT) D
Para n = 0,
± 1, + 2, ± 3, + 4,
... , y
X E
R
Obtención del mínimo periodo
La función sen x tiene periodos 2n, 4n, 6n, .. " ya que
sen (x + 2n) = sen (x + 4n) = sen (x + 6n) = .. . = sen x. Sin embargo, el menor de todos ellos es 2n.
En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando:
periodo natural de la función
T =---------------------donde n es el coeficiente del ángulo.
EJEMPLO 1
Obtener el menor periodo de f(x)
= cos 2x.
Como el periodo de la función coseno es 2n
2n
~
T = --- = n
2
T = n , para f(x) = cos 2x.
EJEMPLO 2
Hallar el periodo menor de las funciones:
a) cos nx
b) sen 2nx
2nnx
c) sen -- k
d) tan x
e) Constante
x
f) tan-.
3
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550
SERIES DE FOURIER
a) El periodo de la función coseno es 2n
T
=2
es el periodo de f(x)
= cos nx.
b) El periodo de la función seno es 2n
-+
T
= 2n = 1
2n
c)
T
= 1 es el periodo de f(x) = sen 2nx.
T=~=~
2nn
n
k
2n nx
k
T = --;; es el periodo de f(x) = sen - -k - o
d) La función tan x tiene periodo T =n.
e) La función constante tiene cualquier número positivo como periodo,
por tanto no tiene periodo mínimo.
f) Como la función tan x tiene periodo n
-+
T = ~=3n.
1/3
EJEMPLO 3
Podemos convertir en periódica una función que de por sí
f(x) = eX para - n < x < n y f(x) = f(x + 2n)
nO lo sea:
Su gráfica es:
~----~--~r---~----~----~--~------+
1t
31t
1t
F igura 8.1
x
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SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIóDICAS
Integrales que se utilizan frecuentemente:
f
f
f
f
sen nx dx
~
= -
~ sen nx + G
GOS nx dx =
x sen nx dx
x
n
1
= - 2 sen nx - - GOS nx + G
n
1
x GOS nx dx = - 2 GOS nx
n
f
f
J
X2
X2
+ (-3 - -) GOS nx + G
2x
GOS nx dx = - GOS nx
+ (- -
eax sen bx dx
J
J
J
f
x
n
+ - sen nx + G
2x
sen nx dx = - 2 sen nx
n
~
sen nx GOS nx dx =
J
+G
GOS nx
2
X2
n
n
X2
n
~ sen
2
nx
2n
2
-3) sen nx
n
+G
.
+G
= e= (a sena bx+-b b GOS bx) + G
2
2
eax (a GOS bx - b sen bx)
e ax GOS b x dx =
a2
sen mx sen nx =
+b
sen (m - n) x
.
2 (m - n)
sen mx GOS nx dx = -
GOS mx GOS nx dx =
.+ e
2
-
+ n) x
2 (m + n)
sen (m
Gos(m - n)x
2 (m - n)
sen (m - n) x
2 (m - n)
+
-
-1- G
+ n)x
+G
2 (m + n)
Gos(m
+ n) x
+G
2 (m + n)
sen (m
551
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552
SERIES DE FOURIER
Ejercicios 8.1
1. De las siguientes funciones periódicas hallar tres periodos que les correspondan:
a)
GOS
2x
x
e) sen-
d) sen 2x
f) Gas 3x
x
c)
b ) Got x
GOS
2
Respuestas: a) 2n, 4n, 6n, .. .
b), c), d) n, 2n, 3n,
e) 4n, 8n, 12n, ...
2n 4Tt
3' 3'
f)
2n, .. .
2. Encontrar el mínima periodo de las siguientes funciones:
a) sen x
c) tan x
e) sen2x
g) sen 2nx
i) sen 3nx
b) Gas x
d) Got x
f) Gas 2x
h) Gas 2nx
j) Gas 4nx
Respuestas: a), b) 2n
c), d), e), f) n
g), h) 1
2
3
i)
1
j)
2
3. Graficar las siguientes funciones en el mismo sistema de coordenadas :
1
a) Gas x, Gas x
+
b) sen x, sen x
+-
-Gas2x, Gas x
+
1
-Gas2x
x
= 4'
-n
1
-
2 2 3
1
sen 3x, sen x
1
+-
sen 3x
1
+-
3 3 5
Graficar las siguientes funciones:
4. f(x)
+
<x<
n,
f(x
+ 2n) = f(x)
cas3x
sen 5x
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DE FOURIER
ue les corres-
SERIES
TRIGO NO MÉTRICAS
5. f(x)
X
1t
=2
- 2'
6. f(x) = e-x,
-1t
-1t
= senh
x,
-1t
9. f(x) = cosh x, O < x
10. f(x)
=~,
11. f(x)
=
12. f(x)
=
13. f(x)
=
i) sen 31tx
) cos 41tx
-1t
0,
14. f(x)
15. f(x)
16.
553
= f(x)
+ 21t)
+ 21t) = f(x)
+ 1t) = f(x)
f(x
< X < rt,
f(x
+ 21t)
= f(x)
< rr,
f(x
+ 1t) = f(x)
< X < 1t,
f(x
+ 21t) = f(x)
<X <
°
O<x<1t
sen x,
O<x<1t
0,
1t
<X <
x2 ,
O<x<l
2- x,
1<x<2
x,
o c.
s
21t
1t
«-:
2
=
=
PERIóDICAS
t(x
f(x
< 1t,
-1t
x2 ,
Gas
denadas:
< X < 1t,
< X < 1t,
7. f(x) = Isen x], O < x
8. f(x)
y FUNCIONES
1t
0,
-<x<1t
2
eX ,
O<x<l
e,
1<x<2
Demostrar que h = af - bg, donde
f y g tienen periodo T.
a, b
= constantes,
tiene un periodo
T si
17. Probar que la función f(x) = G, donde G es una constante, es una función
periódica con periodo T, para cualquier número positivo T.
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554
SERIES
Resolver
las siguientes
(3,,/2
18.
J
cos nx dx
Q
integrales.
Respuestas:
31t
2'
0,
l
--,
n
1
19.
r
sen nx dx
i"
x cos nx dx
n=O
n = 2,4,6,8,10,
n=1,5,9,13,
...
0,
2
n = 0,2,4,6, 8,
.
= 1,3,5,7,9,
.
-,
n
~J2,
n=O
"/2
f
xc
-"/2
...
n=3,7,1I,15,
0,
1
- n2'
SERIES TRIGO
24.
-,
n
n
20.
DE FOURIER
n
= 2,4,6, 8, ...
n
= 1,3,5,7, ...
25.
fo"
t
·26.
fo"
x2 sen
cOs
...
En los si
27. La funci
21.
fo"
x sen nx dx
0,
n=O
1t
- ,
n = 1,3,5, ...
n
1t
--,
n
22.
f:"
x sen nx dx
f
-"/2
x sen nx dx
n = 1,3,5, ...
21t
-
n=2,4,6,
2
n
2
1t
n
2
n2
1t
-
n
2
28. El mini
n=O
O
TI,
...
21t
-
n
"/2
C.
n = 2,4,6,
O
n
23.
A. 27t,
A. ~
...
3
29. Escoger
A.
n=O
n = 1,5, ...
n= 2,6, ...
n = 3,7, ...
n=4,8,
...
y
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555
SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIóDICAS
f
24.
7T/2
n = 0,2,4,6, 8, .. .
n = 1,5, .. .
O,
x eas nx dx
rt/ n,
rt
-."./ 2
--,
n
i'IT reOs nx dx
25.
rt 3 / 2,
-2rt/ n2,
2rt/ n2,
n=O
n = 1,3,5, .. .
n =2,4,6, .. .
O,
n=O
rt2
4
- - - 3, n=1,3,5, .. .
n
n
--,
n =2,4,6, ...
n
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta:
27. La función eas ~ tiene los tres periodos siguientes:
2
A. 2rt, 4rt, 6rt
rt
B.
C. rt, 2rt, 3rt
2'
3rt
rt,
2"
D. 4rt, 8rt, 12rt
28. El mínimo periodo de la función eas 3rtx es:
A.
2
3
B. 2rt
C. rt
29. Escoger la gráfica que representa f(x)
A.
D.
= leos xl,
f(x
rt
3
+ 11:) = f(x).
B.
y
y
1
-~------~-----4~------+X
1t
2
1t
1t
2
1t
31t
2
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556
SERIES
DE FOURIER
SERIES TRI
31. La solu
c.
y
e'lr
A.
1
x
C. 17t
e
32. Comp]
Si cad
y
D.
entone
A. Si
se
x
B.Si 1
de
C. Si
Figura 8.1
30. La solución
de la siguiente
integral
I:
D. Si
x cos nx dx, es:
m
2
1t
A.
1t
n2'
rt
n2'
c.
n=O
2 '
O,
Respuesta
n =2,4,6, ...
2.7. D. S
n
= 1,3,5, ...
n=O'
n = 2, 4, 6, ...
1t
n2'
28. A.
D. 10,
1t
1t
n2'
B. O
n
= 1,3,5, ...
n=O
= 1,3,5, ...
-
n
1t
n = 2,4,6, ...
n
n2'
29. A. L
30. B. P,
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DE FOURIER
y FUNCIONES
SERIES TRIGO NO MÉTRICAS
31. La solución de
J:7r
--,
2
n
= 2,4,6, ...
er -1
---n2
n
= 1,3,5,
rt
n=O
n
C.
er - 1
--- ,
2
n
e7r -1
-
32.
n2
+ i'
557
e" Gas nx dx es:
er -1
A.
PERIÓDICAS
"
B.
-
1
n2'
n2'
D.
n
= 1,3,5,7, ...
rt
n
= 1,3,5,7, .. .
-
n2
+ i'
n
+t'
Completar la consecuencia lógica:
Si cada uno de los términos de una serie trigonométrica
entonces:
su suma es función
su suma es función
. ..
n
= 2,4,
n
= 1,3,5, ...
1
2
6,
n=O
1
= 2,4,6, .. .
B. Si la serie converge,
= 2,4,
1
.
n
A. Si la serie converge,
sea de re.
n
...
tiene periodo 2n,
de la mitad
del doble
6,
del periodo,
del periodo,
o
o sea
de 4n.
C. Si la serie converge, su suma es función del periodo 2n.
D. Si la serie converge,
mos del intervalo
su suma es función de la semisuma de los extre2n - O
4n - 2
2n, o sea
TI. O bien,
rr, Etc.
2
=
2
=
Respuestas:
27.
D. Se comprueba
con la gráfica.
28. A.
B representa y = Isen xl. La opción C es y
D da la gráfica de y = sen x.
29. A. La opcion
,5, ...
6, .. ,
30. B. Porque
1
n
2
1
Gas nn - - Gas nn
n2
= O.
= Gas x, y la
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558
SERIES
31. C. Porque
1
tenemos
-2--
+1
n
(e"
GOS
mt - 1) para n
= 1,2,3,
DE FOURIER
...
32. C.
GRÁFICAS DE LOS EJERCICIOS
DEL 4 AL 15
¡ /¿.
-~--;./
-1t
1t
-1t
31t
1t
In
31t
~
5
4
11
21t
7
6
ti -~.
14
11
Sea
n*- m.
31t
1t
~'~
i
~
1t
~
31t 2 1t
2
12
11
10
9
8
1
S:k
GC
---1----! ---¡--1
2
3
15
.
nnx
funciones
las siguientes
GOS ---
propiedades
nnx
sen ---,
n = 1,2,3, .. " k
k
k
de ortogonalidad en el intervalo
y
J~k
1
-¡[ea.
1
Figura 8.2
3. Las
n
OOS
2
14
13
Teorema
311
1t2'
____
I~/ -
satisfacen
cos' n
1
31t
-11
S~k
k
= 2[ (n +
>O
1
=~[2 (n
2
+
-k < x <k.
fk
fk
fk
-k
-k
_k
n rt x
GOS ---
k
mnx
GOS ---
dx =
k
sin =1= m
sin=m
{~
La dem
siguientes:
Para n=m
nnx
sen --k
mnx
sen --k
n rr x
mnx
sen --k
k
GOS ---
dx =
dx
=O
sin =1= m
sin=m
{~
0, para todas n, m.
Para n::j::.
La demostr
formas se v
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559
SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIÓDICAS
Demostración:
En la primera integral, sea n = m, entonces:
J
n TI x
coi - - dx
k
I<
-1<
= JI<
1
-(1
- 1< 2
2n TI x
+ cos--)dx
k
1
k;
2n TI xiI<
1
=-[x + - s e n - - )
=-(2k)=k
2
2n TI
k
-k
2
Sea
n*- m.
Usamos la identidad :
1
cos x COs y = - [ GOS (x
2
I<
J
_1<
n TI x
m TIX
oos - -k- oos -k-- dx
~[c.o'S (n+ m)TIx
2
. --'-----::--+
k
(n
+ m)'1t
(n
+ m) TI
k
1
=- [
2
=~[
2
O
2k
sen
(n
+ y) + GOS (x
- y)}
=
cos
+ m) TI x
k
sen (n [+ m) TI
(n - m)TIx
k
+
+
) dx
k
(n - m) TI
sen
(n - m)
TI
x
k
11<
}
-1<
2k
sen(n-m)TI}=O
(n - m) '1t
La demostración de la segunda integral es similar, usando las identidades
siguientes:
Para n
=m
~
sen2 x
= (1 -
Para n
*- m
,~
sen x sen y = - [ cos (x - y) -
GOS
2x) j2.
1
2
GOS
(x
+ y)].
La demostración de la tercera integral es inmediata, por ser simétrica; de todas
formas se va a desarrollar así:
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560
SERIES DE FOURIER
Para n = m:
J
GOS
k
n~x sen
_k
m1tx dx
k
= ~ ~ sen
Para n::j::. m, usamos: sen x GOS y
J
1 [
(m - n) 1tX
- sen
2
k
k
_k
=_~[
2
= - ~[
2
+
(m
k
+ sen
(m
=O
1
2
(m
+ n) 1tx] dx
k
+
k
(m
k
GOS (m - n) 1t (m - n) 1t
Gos(m+rn)1t-
I
m1tx k
k_k
= - [sen (x - y) + sen (x + y)},
k
GOS (m - n) 1tX
(m - n) 1t
k
+ n)1t
2
2 m1t
k
+ n) 1t
GOS (m
+ n) 1tx]
k
I
k
_k
k
GOS (m - n) 1t
(m - n) 1t
+ n)1t
Gos(m
+ n)1t] =0.
Fórmulas de Euler
.,
Sea: f(x) = ao
+L
(anGOsnx
+ bnsennx)
una función periódica con periodo
n=l
=
T
21t. ¿Qué valores toman ao, an, bn para n
uno de ellos.
= 1,2,3, . . . ? Calcularemos cada
Obtención de ao
Se integra la función anterior desde - 1t a 1t (su periodo):
f:.
f(x) dx =
i:
ao dx
+
i.. . .
an GOS nx dx
+ 1"'11"
bn sen nx dx
para sustituir adecuadamente la sumatoria, añadimos: para n = 1,2,3, ...
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561
FÓRMULAS DE EULER
ao dx
= aox 1'" = 2ao1t
-".
J:".
a~ sen nx I~". =
an Gas nx dx
=
b n sen ux dx
= ~
-b Gas nx 1'"
-
=
~ f~
f(x) dx
-bn
--(Gas n1t n
O
".
Gas n1t)
O
ao =
= 2ao1t
Obtención de a n
=
-1
21t
¡Ir
_".
f(x) dx.
n = 1,2,3, ...
Se multiplican los dos miembros de la función por Gas nx y se integran de
a
7t.
i"'".
Gas nx f(x) dx
f
J:".
+ i"'".
=
1T
_". ao Gas nx dx
+
f:".
bnsen nx Gas nx dx,
a
=:
=
{".". b n sen nx Gas nx dx
ao Gas nx dx
n
,,,.
sen nx _".
a
-[x
2
=O
2
an cos nx dx
n
=
1,2,3, ...
=O
1
+ -sen
2n x] [
2n
-1T
(ver teorema anterior)
-7t
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562
SERIES DE FOURIER
~ J:7r
Gas nx f(x) dx
:. an
= -1
J7r
1t
Obtención de bn
=
an1t
f(x) Gas nx dx,
n
=
1,2,3, ...
-'Ir
n = 1,2,3, . ..
Se multiplican ambos miembros por sen nx y se integran de -1t a 1t.
J:'Ir f(x) sen nx dx
=
{'Ir'lr ao sen nx dx
+ J:'Ir
f
'lr
-11"
ao sen nx dx
+ J_'Ir'lr
2
n= 1,2,3, ...
bn sen nxdx,
= - a:
Gas nx
an Gas nx sen nx dx
\7r = O
-'Ir
J:'Ir an Gas nx sen nx dx = O
'Ir bn sen2 nx dx
J
-'Ir
= ~ bnJ'Ir
(1 - Gas 2nx) dx
2_'Ir
= b [x - ~ sen 2nxJl'lr
2
2n
-'Ir
n
b n = -1 f'lr f(x) sennx dx,
1t -'Ir
Las fórmulas así definidas se llaman fórmulas de Euler:
ao
1 f'lr
= -21t
-
'Ir
f(x) dx
n= 1,2,3, ...
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563
FóRMULAS DE EULER
an
= ~f7r
1t
b n = -1
f(x) cos nx dx,
n
= 1,2,3, ...
f(x) sen nx dx,
n
= 1,2,3, ...
-7r
f7r
1t
-7r
Definición 8.2. Serie de Fourier. La función:
f(x)
= ao + al COI> x + b l sen x + a2 cos 2x
= ao +
~ (ancosnx
+
+
b n sen nx)
11=1
s.e llama serie de Fourier y los coeficientes obtenidos a partir de ao, a n y
b n (las fórmulas de Euler para n = 1,2,3, ... ) se llaman coeficientes de
Fourier de f(x).
EJEMPLO 1
Hallar la serie de Fourier de la siguiente función periódica con periodo 21t
y trazar la gráfica de las tres primeras sumas parciales.
y
1/2
--~---------4----------~----------~---------+----------~x
-7t
2
2
Figura 8.3
Paso 1.
Encontramos los coeficientes de Fourier, mediante las fórmulas
de Euler.
ao
1
=.--
21t
f7r
-7r
f(x) dx
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564
SERIES DE FOURIER
1
1
dx
11'/ 2
21t
1
21t
+
o
[
1-"/2
;
-11'
J
1"
+ X 1' "/ 2 + ;
dX]
,,/ 2
1
2
11'/2
O
f" ;
1
ao =-·
2
an = -1
1t
= -1
f"
[f-"/2 -1 Gas nx dx +
1t
= -1
1t
=
bn
f(x) Gas nx dx
- 11'
,"
2
[1
-sennx J-11'/2
2n
_"
~
[- ~sen
1t
2n
= -1
1t
J7r
n1t
2
Gosnx dx
ro
1
+ -sennx
n
¡" -
1 Gas nx dx ]
1
+ -sennx
111'/2
2
2
n1t
2n
2
1" ]
11'/2
~sen
n1t -
n
+
,,/ 2
o
+ ~sen
2
1
=0
.
f(x) sen nx dx
-11'
= -1t1 [J-11'-7r/ -21 sen nx dx +
2
bn
1
,,/ 2
i
"/2
sen nx dx
+
o
f"
-1
11'/2
1 [- 1
1
- Gas nx 1 - 11'/ 2 ~ -1 Gas nx , 11'/2 - -Gasnx
jo
1" ]
1t
2n
1 [_
1
~ Gas n1t + ~ Gas n1t _ -1 Gas -n1t- + -1 - -Gasn1t
1t
+ ~ Gas
2n
2n
n
sen nx dx ]
2
-11'
2
2n
n1t]
2
~ [- ~Gas~
+~]
n
n
1t
2
n
2n
2
11'/2
n
2n
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FÓRMULAS DE EULER
565
1
1
n1t
= --(1 - cos--)
n1t
2
--,
n
=
1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
2
--,
n
=
2,6,10, ...
0,
n = 4, 8,12, ' "
n1t
=
n1t
Sustituimos los coeficientes de Fou'fie'f en la serié:
Paso 2.
f(x) = ao +
~
bnsennx
n=l
= ao + b 1 sen x + b2 sen 2x + b3 sen 3x +
.
f(x)
= -21
1
2
1
1
1t
21t
31t
51t
+ -senx + --sen2x + --sen3x + O + --sen5x +
1
1
1
1
2
1t
3
5
= - + - (sen x + sen 2x + - sen 3x + - sen 5x + ... ).
Paso 3.
Graficamos
1
S2
SI, S2
y
1
= - + - senx,
2
S3
1t
S3
1
1
2
1t
= - +-
sen x
1
+ -sen2x
1t
y
" .-.--.
•••
~
.....
1 1-- ".....=-=........0./
< • • • • • • • • . . . . . . ..
~
".
-_"""':"',.
_ .7
- - - - <./
>.
--- --..
., .
;:=:.."
.-".
.•./'• • • • • SI
.......
'52
-----,--------~--------~--------_.----------~------+x
-
o
7t
2
7t
2
Figura 8 .4
7t
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566
SERIES DE FOURIER
-TI
X
S2
1
-
S3
-
2
1
2
3TI
TI
TI
4
2
4
TI
TI
3TI
4
2
4
0.72
0.8
0.72
1.04
0.8
0.4
O
0.28
0.2
0.3
1
-
0.6
0.2
0.02
-
2
1
2
TI
1
2
1
2
Observarnos que cada suma parcial se aproxima más a la función original
y en infinito coincide exactamente. Por ello, la serie (si es convergente)
converge a f(x).
EJEMPLO 2
Hallar la serie de Fourier de la siguiente función:
f(x)
r
= 2'
TI,
T
= 2TI.
-Gosnx dx,
2
n
=
-TI
< X<
X2
bn
= -1
TI
1
f'1l' -r
-
2
'11'
sen nx dx,
1,2,3, . ..
n = 1,2,3, . . .
Xl ...
a =-o
an
47r 3
= -1
2TI
-".
2)
[2X
- GOS nx I". + (X2
- - n
n
n
2
-7r
3
sen nx
]I".
-7r
' .
= -1 [2TI
- 2 GOS nTI + -2TI2 GOS nTI ] (ver tabla, pagma
551)
2TI
n
n
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567
FóRMULAS DE EULER
2
1
=-n
2
b n = -1
21t
Gasn1t
=
n = 1,3,5,7, ...
2
n = 2,4, 6,8, . . .
- sennx 1" + (-2 - -~ )
[2X
n
n
n
2
3
-
Gasnx /"
-
7f'
2
= -1
- 3 - -1t
[( 2
n
21t
1t
Gas n1t -
)
n
2
2
6
~
6
4
+2
-23 - -1t
n
n
(
= - + (- 2) Gas x + -
[(x) = -
'Ir
2
Gas n1t ] = O
)
2
Gas 2x - - Gas 3x
9
+ ...
'" (_1)n
L
-2-
Gasnx.
n
n =l
EJEMPLO 3
Hallar la serie de Fourier correspondiente a la función:
f(x)
-1t
= {O
Gas x,
<
1t
x< - 2
1t
1t
2
2
1t
-<x<1t
2
y
--<x<-
y
T =
a o = -1
21t
í \
an
--~----~----~--~----~~X
-1t
1t
1t
1t
2
=~
f(x) dx
_"
f:"
f(x) Gas nx dx;
n = 1,2,3, .. .
2
bn =
Figura 8.5
f"
~
J:"
f(x) sen nx dx;
n = 1,2,3, ...
21t
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568
SERIES DE FOURIER
1
ao = 27t
[f-"/2
_" O dx +
1
1"/2 =
= -senx
21C
an
-,,/2
f"/2
= -1
7t
eos x dx +
-,,/ 2
1
-[1
- (-1)J
27t
1
=-.
7t
eos x eos nx dx
1
21C
a - -n -
J
-,,/2"
Como eas x eas y
~
" /2
= -127t
1
= - feos (x - y) + eos (x + y)J
2
f"/2feos (x -
nx)
- ,,/ 2
+ eos(x + nx)J dx
1"/2
+ eas (1 + n)xJ dx
feos (1 - n) x
- ,,/ 2
= -1- [ - 1 - sen (1
1- n
27t
- n) x
1[ 1
+ --1
sen (1 + n) x.JI"/2
1+n
- ,,/2
= - - - - - sen (1 - n) -7t
1- n
27t
2
7t +
+ - -1s e n (1 + n)-
2
1-n
1
+ - - sen (1
1- n
- -1s e n (1
l+n
1- [ ---sen(12
7t +
= - 27t
n)1- n
2
=~[_l_sen(l
- n)~ +
7t l - n
2
7t
- n)2
7t]
+ n)2
- -2s e n (1
1 +n
- 1-sen(l
l+n
7t]
+ n)-
+ n)~],
2
1
7t
7t - eos -senn-)
7t
7t
= -I [ ---(sen-easn7t
l-n
2
1
7t
7t
+ ---(sen-eosnl+n
2
2
2
2
2
7t
7t]
+ eas-senn-)
2
2
2
n*- 1
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FÓRMULAS DE EULER
569
1[ c o s
7tn - 1( - - + -1 - ) ]
=-
21-n
7t
1+n
+2
-2
7t
- - -2 - c o s n - =
7t (n - 1)
2
n=2,6, ...
n =3, .. .
0,
-2
Para n
al
= 1 ve.ffiOS:
1
= --
f7r/2
27t
1
= -27t
(cos Ox
+ cos 2x) dx
-7r/ 2
f.,r/2 (1 + cos2x) dx
-7r /2
= -1- [ x + -1 sen 2x]
27t
2
... /2
1
1 [ = --
1 .
= -1- (_7t + 7t) ___
27t
-7r/2
Ahora buscamos: bn = 7t
j7r1Z
2
2
1
f(x) = -
7t
2
cos x sen nx dx
-7r /2
1
- -1 - cos(n - 1)x - ---cos(n
n - 1
n +1
27t
~
n = 4,8, ...
1
2
+ - cosx +
--cos2x -
2
37t
+ 1)x]
¡7r/2
2
--cos4x
157t
1
1
2
1
1
1
7t
2
7t
3
15
35
+
2
--cos6x357t
=--+-cosx+ -(-cos2x - -cos4x+-cos6x-
EJEMPLO 4
Hallar la serie de Fourier de:
f(x)
= x,
-7t
< X < 7t
= o.
-7r/2
+ .. .).
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570
SERIES DE FOURIER
y graficar las tres primeras sumas parciales.
ao = -1-
f71'
-71'
2TI:
an
J"
-'Ir
1[1
= -;-
= -1
xdx
x Gas nx dx,
n
= 1,2,3, ...
TI:
n 2 Gas nx
=
bn
~x sen nx]
+
¡'-'Ir
Ir
(ver página 551)
~
[~Gas
nn - ~ Gas nn + 2:. sen nn TI:
n
n
n
2
2
= -1 J'Ir
x sen nx dx,
-'Ir
TI:
= -1
TI:
n
TI: sen nTI: ]
n
= o.
= 1,2,3, ...
[ -12 sen nx - -X Gas nx·J171'
n
n
n
n
1
-'Ir
n
n
= - [ - - Gas nTI: - - Gas nn]
TI:
=-
2
-Gasnn
n
2
n
=
n = 1,3,5, ...
2
n = 2, 4,6, ...
n
f(x)
=~
bn sen nx
n=l
=2(senx-
~
2
=
2(<;en x -
(sen2x)
+~
(sen3x) -
3
~
(sen4x)
4
~ sen 2x + ~ sen 3x - ~ sen 4x + ...)
234
+ .. .).
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E FOURIER
FÓRMULAS
Sean:
571
DE. EULER
SI
= 2 sen x
S2
= 2 sen x - sen 2x
S3
= 2 sen x -
sen 2x
+ -2
sen 3x, entonces:
3
y
1t
x
-1tt·.
r··.
\\ ....
/-
...
1t
/ ..
7
"//
r
\ \ .... .:~:
\)1
/./
-1t
Figura 8.6
x
-rr;
3rr;
-4
rr;
rr;
rr;
2
4
6
O
SI
O
-1.4
-2
-1.4
-1
O
S2
O
-2.4
-2
-0.4
-0.134
O
S3
O
-3
-1.33
-0.88
-0.8
O
rr;
rr;
rr;
6
4
2
1
3rr;
4
rr;
1.4
2
1.4
O
.134
0.4
2
2.4
O
0.81
1.83
1.33
2.87
O
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572
SERIES DE FOURIER
Convergencia de las series de Fourier
Teorema 4. Sea f una función periódica, con periodo
seccionalmente continuas en el intervalo (-1t, ro).
21t y
sean f(x) y f'(x)
Entonces la serie de Fourier converge a:
a) f(x) si x es un punto de continuidad.
b)
~(lím
2
X ""
X
f(x)
+
+
lím f(x»si x es un punto de discontinuidad.
x ...,
o
-
IO
Demostración:
Supongamos que f(x) tiene primera y segunda derivadas continuas.
Tomando an =
~
1:
f(x) eos nx dx
Integrando:
- :1t
1:
l' (x) sen nx dx
Integrando de nuevo:
a
n
= f'(x)eosnxl'lr
n21t
1
-'Ir
n 21t
¡'Ir
-'Ir
f"(x) eos nx dx
El primer término se anula, gracias a la periodicidad y continuidad de 1'(x).
Como f"(x) es continua en el intervalo de integración, tenemos:
If"(x) I <M, donde M e,> una constante apropiada.
Además, leos nxl < 1
~a
n
= n!1t \
1:
f"(x) eos nx dx \
De la misma manera:
Ibnl <
2M
n2
<
2M
dx = --,
para toda n.
n2
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DE FOURIER
f(x) y f'(x)
CONVERGENCIA
DE LAS SERIES
1
1
1
111
laol +
2M
= laol
+ 4M(1 + - 2 + --2 + - 2 + oo.)
(1 + - 2 + - 2 + - 2 + o o o)
2
EJEMPLO
3
1
1
1
2
3
4
o
234
Por lo tanto la serie de Fourier
converge
o
••
)
O
5
1
f(x)
+2+2+2'+
+2M(1
4
Vimos en el ejemplo
1 que la función:
2'
-TI<X<
O,
--<x<O
2
TI
--
2
TI
=
TI
r=:»
1,
1
TI
-<x<TI
2'
2
,
1
corivergra a -
2
d de f'(x)o
573
Podemos concluir que el valor absoluto de cada término de la serie de Fourier
correspondiente
a f(x) es a lo sumo igual al correspondiente
término de la
serie:
que es convergente.
So
DE FOURIER
1
+-
(sen x
TI .
+
sen 2x
1
+-
seti 3x
3
+ ... ),
siendo x un pun-
to de continuidad.
Pero, ¿qué sucede en x
lím
O=O
Y lím
a no
X4
en x
= - -,TI2
TI
= -- -
2'
-
1
_ 2
7r/2
converge
x
=OY
1 ~
2
1
a -.
4
x
TI
¡t
2
2
= -? Veamos para x =-0
0+1/2
2
1
4
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574
SERIES DE FOURIER
Para x
lím 1
= O:
=
x~o+
1
1+0
2
1 Y lím O = O ~
x~o -
2
1
en x = O, converge a - ,
2
7t
Para x = - :
2
1
y
2
lím
1
= 2'
converge a
+1
3
4
2
x--'> - 7r/2-
7t
en x
1/2
= 1
3
4'
EJEMPLO 6
X2
La función del ejemplo 2: f(x)
= -,
2
- 7t
<
X
< 7t
converge en todos los
puntos y su suma es igual a:
7t2
-- + 2 L
ro
6
(-Ir
-
n=l
-2-
Gas
n
nx, donde
IGas nxl
< 1
Por el teorema anterior y tomando x = 7t:
7t 2
1
6+ 2 (-
Gas 7t
Gas 27t
- 1 - + -22 -
Gas 37t
-
-3-2-
+
7t 2
1
1
6
2
3
< - + 2 (1 + -2 + --2
entonces:
Gas 47t
Gas 57t
- -- 52-+
2
4
1
+ - _. .)
42
.. ,) I
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575
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
donde queda probada la convergencia de la serie
¿'"
n=l
1
2".
n
EJEMPLO 7
La función del ejemplo 3 converge en todos los puntos y su suma es
igual a:
1
1
2 1
1
1
- + - cas x + - (- cas 2x - - cas 4x + - cas 6x + ... )
7t
2
7t 3
15
35
EJEMPLO 8
En el ejemplo 4, la función f(x)
1
2 (sen x - - sen 2x
2
= x,
1
+-
3
-
"IV
<X<
7t converge a:
1
sen 3x - - sen 4x
4
+ .. .)
para x como punto de continuidad.
En los puntos de discontinuidad, 7t, 37t, S7t, ... , etc. tenemos:
Para x = 7t:
lírn (-7t)
= -7t
y
lím (7t)
= 7t
~
X~7r +
En dichos puntos la función converge a cero.
_-_7t_+_7t_
2
=
O
.
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576
SERIES DE FOURIER
Tomemos ·en la serie x = ~:
2
1
3
1
1
7
= 2 (1 - O - - - O + - - O - - + ... )
5
n
111
- = 2 ( 1 - - + - - - + . .. )
235
7
( _l)n+l
~=¿--4
n=l
2n - 1 '
en donde se vuelve a demostrar la convergencia de una serie conocida.
EJEMPLO 9
Usando -el desarrollo de series de Fourier de la función f(x)
la suma de la serie
f(x) =
r,
-n
<x<n
1 {"
an = ;-
=
J-" r
COi>
nx dx
~ l~~,o,n{, ~~I'-.J
+
4
4
= -cosnn
=
2
n
-
n 2'
4
;p
n
= 1,3,5, . . .
n
=
2,4,6, .. .
= r,
calcular
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577
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
bn
i
1f
= -1
~
-1f
1t
sen nx dx
o
(:3 - ~)
1 [2X / 11f-1f +
= -; ni,Yn nx
1[(2- - -1t
2
=-
)
n
1t
3
n
(2
1
4
1t
=- -
4 (cosx - -cos2x
3
1f
1
+ -cos3x
-
9
(-1t+1
00
= -3 -
4 ""'
cos nx.
n2
L.J
n=l
EJEMPLO 10
Igualmente el lector puede encontrar:
1f
1
8" = Ji +
1
32
usando: f(x)
+
1
52
+ ...
= Ixl,
-1
<x<
1
o bien:
llamando s = 1
Y
SI
=
1
[1f ]
cosn1t- - (-1t/)
- - cosn1t ] =0.
n3
n
2
f(x)
cosnx
1
1
1
1
4
1
9
1
16
1
25
9
25
49
+ - + - + - + - + ...
+ - + - + - + ...
1
-cos4x
16
+ ... )
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578
SERIES DE FOURIER
Tenemos: s
11
= + -1
+
-16 + -36 + ...
4
SI
=
Por tanto :
SI
1
SI
+ -4
(1
1
1
+ -4 + -9 + ... )
1
+- s
SI
=
4
1
S -
-
4
3
S
=- s
4
En el ejemplo 6, vimos que: 1
~
=
~
+ -1 + -1 + ... =-
4
9
6
3 n2
SI= - -
4 6
Ejercicios 8.2
Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones:
f(x) =
l.
0,
-n <x<O
2,
O<x<n
y
2+------
----~----------~----------~--_+x
- 1t
1t
Figura 8.7
Respuesta: f(x)
1
= 1 + -n4 (senx + -13 sen3x + -sen5x
+ ... ).
5
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579
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
2.
y
1
--~--------------------~----------~----------+------+x
1t
1t
1-
I 2
1
I
- 1+-----Figura 8.8
2
Respuesta: f(x) = - -(casx
n
3.
1
+ sen2x + -cas3x
-
3
1
-cas5x - .. . ).
5
y
1-+-----....
--~---------------------+--~------~----------~-----+x
- 1t
1t
1t
2
Figura 8.9
1
Respuesta: f( x) = 4
+ -1
n
(cas x
+ sen x + sen 2x -
1
- cas 3x
3
+ ... ).
/
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580
SERIES
I
DE FOURIER
4.
'1
CONVERGENCIA
6.
y
1
l
I
I
-
,I
-7t
X
-7t
I
7t
2
7t
2
Figura
Respuesta:
f(x)
1
2
2
n;
=- + -
7t
8.10
1
(cos x - - cos 3x
3
1
+-
5
1
cos 5x - - cos 7x
7
+ ... ).
Respuesta: fl
7. f(x)
= i,
Respuesta: fl
5..
y
8. f(x)
=
x,
1,
-7t
':
I
I
i
l
¡
1
I
7t
I
I
:II
I
7t
¡
7t
2
Respuesta:
"
2
Figura
8.11
1,
Respuesta:
f(x)
1
= -2 +
1
2
-(-cosx
n;
+ ycos7x
1
+ -cos3x
3
-
+ ... ).
1
- -cos5x
5
9. f(x) =
-x,
Respuesta:
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581
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
6.
1~--------------------
TI
-TI
-1
Figura 8.12
Respuesta: f(x)
7. f(x) =
r,
-7t
Respuesta: f(x)
8. f(x) =
= -7t4 (sen x + -13 sen 3x + -15
<X<
sen 5x + . .. ) .
7t
1
1
= -~3
+ 4(- eosx + -eos2x - -eos3x +
4 9
... ).
1x,
1,
Respuesta: f(x)
= -12 - -7t4
2
1
1
+ - (eos x + - eos 3x + - eos 5x + ... )
7t
9
25
2+7t
1
1
+ - - (sen x + -sen3x + -sen5x + ... )
3
7t
5
111
+ (- -sen2x
- -sen4x - -sen6x 2
4
6
.. . ).
9. f(x) =
-x,
O<x<7t
1
7t
2
1
1
Respuesta: f(x) = - - - + - (eos x + - eos 3x + - cos 5x + ... )
2
4
7t
9
25
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582
SERIES DE FOURIER
+ (_ _2 -
7t)
(sen x
7t
1
+ -
sen 2x
1
+-
+ ~sen3x + ~sen5x + ... )
3
sen 4x
5
1
+-
246
-x,
10. f(x)
=
O< x
7t
Respuesta: f(x) = -
4
<
7t
2
- -
(GOS X
7t
+ (-
sen x
+ -1
9
3x
GOS
1
2
+ -sen2x
+ -1
25
GOS
5x
1
- - sen3x
3
+ ... )
+ . .. )
<X<O
O< x < n
- 1t
11. f(x) = -2,
1
6
Respuesta: f(x) = - - - - (sen x
2
O,
12. f(x) =
+ ...
-1t<x<O
o,
1,
sen 6x
Respuesta: f(x)
sen 3x
+ -1
sen 5x
+ -1
GOS
3x
+ -1
GOS
5x
2 1
sen x - - (- GOS 2x
1t 3
+ -1
GOS
4x
7t
3
5
< X<O
-7t
sen 2x,
+ -1
O<x<7t
= - -4 (- -31
GOS X
7t
5
21
1
+ -GOS 7x + ... )
45
O,
13. f(x)
=
-7t
<X<O
sen x,
1
Respuesta: f(x) = 7t
+ -1
2
1
+-Gos6x
35
+ ... )
15
+ .. .)
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CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
o,
14. f(x)
=
- lit
1Gas 2x,
<X<O
O<x<TI
213
-sen 'x + -sen3x
3
5
= -( -
Respuesta: f(x)
TI
15. f(x)
583
= Gas 2x,
-
TI
<X<
5
+ -sen5x
+ .. .)
21
TI
= Gas 2x
Respuesta: f(x)
16. f(x) = Gas 2x, O < x
< TI
413
5
= - (- - sen x + - sen 3x + - sen 5x
Respuesta: f(x)
3
TI
5
21
7
+ -sen7x + ... )
45
Sugerencia: duplicar los coeficientes de Fourier.
x
17. f(x) = Gas - ,
2
-
TI
2
=-
Respuesta: f(x)
TI
<
<
X
TI
1
+ -4 (Gas x TI
3
1
- -Gas4x
63
18. f(x) = sen2 x,
Respuesta: f(x)
1,
19. f(x)
=
- 1,
Respuesta: f(x)
-
< X<
TI
1
1
2
2
=- - -
1
- Gas 2x
15
+ -1
35
GaS 3i
+ ... )
TI
Gas 2x
0<x<1t
-TI
4
<x<O
= - (sen x
TI
l '
+-
3
sen 3x
1
+-
5
sen 5x
1
+-
7
sen 7x
+ .. .)
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SERIES DE FOURIER
584
20. f(x) = x, O < x
< 27t
= 7t -
Respuesta: f(x)
2
1
+-
4
21. f(x)
= Ix¡,
-7t
Respuesta: f(x)
sen4x
7t
4
2
7t
=- - -
23. f(x)
-7t
GOS
=
GOS
7x
<x<
7t
= -7t2 - -7t4 (-31
O< x
x,
-7t
-GOSX,
Respuesta: f(x)
=
~
-x,
8
-ít
O
x,
sen 3x
<
+ -1
9
GOS
3x
+ -1
25
GOS
5x
+ ... )
GOS
2x
1
15
+-
GOS
4x
1
35
+-
GOS
6x
+ ... )
7t
<X<O
1
3
2
15
3
35
= - (- sen 2x + - sen 4x + - sen 6x + .. .)
7t
24. f(x)
1
+ -3
+ ... )
(GOS X
1
49
Respuesta: f(x)
sen 2x
< X < 7t
+22. f(x) = Isen xl,
1
+ -2
(sen x
<x<O
< x < 7t
Respuesta: ver ejercicio 21.
25. f(x) =
GOSX,
O<
Respuesta: f(x)
X
<
7t
3
= -87t (-31 sen 2x + -152 sen 4x + 35
- sen 6x +
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta'.
... ).
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E FOURIER
CONVERGENCIA
DE LAS SERIES
585
DE FOURIER
26. La serie de Fourier de la función
f(x)
-7t<x<O
=
-1
O<x<7t
Está dada por:
8
A. - - (sen x
+ -1 sen 3x + -1 sen 5x + ... )
3
7t
4
B. - (Gasx
C.
Gas3x
1
+-
Gas5x
7t
3
4
- -(senx
+ -sen3x
+ -sen5x
1
1
3
5
7t
8
D. -(Gasx
7t
..)
+ -1
5
5
1
+ ... )
1
3
+ ... )
5
+ -Gas3x + -Gas5x + ... )
27. Los coeficientes de la serie de Fourier correspondiente a la función:
-7t<x<O
0,
f(x) =
O<x<7t
x,
A. ao=-,
B. ao=-,
7t
4
7t
C. ao=-,
4
7t
D. ao=-,
4
7t
2
1
a; = O;
-2
an==-,2
n
= 1,3,5,
... ,
bn=
n
= 1,3,5,
... ,
b; =
7tn
-2
an ==-,
2
7tn
an= 0,
bn= --,
28. Dada la función f(x) = 2 cos' x,
totalmente verdadera:
A. üo=1,
an=n,
n = 1,3,5, ...
b; =-,
n
n=2,4,6,
1
n
-7t
n
= 2,4,6,
< X < rt,
°
1
Ifn, n
-1In, n
= 1,3,5,
= 2,4,6,
...
...
...
sólo una de las opciones es
... , frx)=1+cas2x
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586
SERIES DE FOURIEF.
2
B. an = 0, a2 = 0, t(x) = 1 + -(sen
x
7t
1
+ -sen
3
3x
+ ... )
CONVEHCE
Respuestas:
26. C. Por
C. b;
D. a2
= 0,
a¿
= 1,
2
t(x) = 1 + -(cosx
7t
1
+ -cos3x + ... )
3
27. C.
= 1, a; = 0, t(x) = 1 + cos2x
28. D. Por
29. B. Porl
29. La serie de Fourier de la función
t(x)
= sen 2x, 0< x <
411
A. -(-
3
30. A.
1
+ -sen3x
5
-senx
7t
está dada por:
7t
+ -sen5x
+ ... ).
21
Definició
t(x) es f
B.
8
1
- -(-
C.
4
- -(-
811
D. -(senx
7t
5
21
1
1
+ -cos3x + --cos5x + ... )
1
3
+ -cos3x
+ -cos5x
+. ... )
5
21
-cosx
7t
1
-cosx
3
7t
1
EJEMP
f(x)
+ -sen3x + -sen5x + ... )
3
=e
5
f( -x)
30. Los coeficientes de la serie de Fourier de la función
t(x)
= sen x, 0< x <
A. ao=~,
B. a¿
2
-4
an
= 7t (n2
a;
= 0,
7t
= 2'
son:
7t,
1)'
_
b _
n-
7t
n = 2,4,6, ... ,
-2
(n2 _ 1)'
b¿
=
°
EJEMP
f(x) =.
t( -x)
n = 2,4,6, ...
.'. la f
C. ao=~,
1
1
D. a¿ = n'
.
an
-2
= 7t (n2 _ 1)' n = 2 ,4, 6, ... , b« =
an =0,
bn
= _ -4
7t
(n2
_
1)'
°
n = 1,3,5, ...
Defínicl
f(x) es
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587
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
Respuestas:
26. C. Porque ao = 0,
an = O,
bn
-4
= -,
n
nTI
= 1, 3, 5, 7, ...
27. C.
= b =O
a o = b = 0,
28. D. Porque an
n
29. B. Porque
n
Y ao
an
= 1 = a2.
-8
=
TI
(n 2
-
4)
Entonces: f(x)
,
n
= 1 + 1 cos 2x
= 1,3,5,7, ...
30. A.
Definición 8.3. Función par.
f(x) es función par en el intervalo [a, b 1
f( -x)
~
para toda x en el intervalo:
= f(x) .
EJEMPLO 1
TI
f(x) = cos x,
f( -x)
= cas (-x) = cas x = f(x)
. '. la función cas x es función par.
EJEMPLO 2
f(x) =
r,
f(-x)
= (-x? = = f(x)
-1
. '. la función
< x< 1
X2
r
es función par.
Definición 8.4. Función impar.
f(x) es función impar en el intervalo [a, b1 ~ para toda x en el intervalo:
f( -x)
= - f(x).
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588
SERIES DE FOURIER
EJEMPLO 3
f(x)
= sen x,
f(-x)
= sen (-x) = -
sen x
=-
f(x)
.'. la función sen x es función impar.
EJEMPLO 4
f(x)
= r - x.
f( -x)
= (-xl -
:. la función x3
(-x)
-
=- r + x=-
(x 3
-
x)
=-
f(x)
x es función impar.
Hay funciones que no son pares ni impares (el hecho de que una función
no sea par, no implica que sea impar). Una función par es simétrica respecto
al eje y, una función impar es simétrica respecto al origen.
EJEMPLO 5
f(x)
= r + x.
f(-x)
= (-xf + (-x) =
:. la función
r +x
X2 -
x*-- f(x)
no es par ni tampoco impar.
Teorema 5. La suma de funciones pares es una función par.
La suma de funciones impares es una función impar.
Demostración: se deja al lector.
Teorema 6. f(x) función par y g(x) función par.
~
f(x) g(x) es función pa'r.
Demostración:
Sea: h(x) = f(x) g(x)
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CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
589
Tomemos: h( -x) = f( -x) g( -x)
= f(x) g(x), porque ambas son pares
=h(x)
h( -x)
= h(x) tJ
Teorema 7. f(x) función impar y g(x) función impar.
~
f(x) g(x) es función par.
Demostración:
Sea: h(x) = f(x) g(x)
Tomemos: h( -x)
= f( -x) g( -x)
= [-f(x») [-g(x»), porque son impares
= f(x) g(x),
por Ja ley de los signos
=h(x)
h( -x) = h(x)
[J
Teorema 8. f(x) función par y g(x) función impar.
~
f(x) g(x) es función impar.
Demostración:
Sea: h(x) = f(x) g(x)
Tomemos: h( -x)
= f( -x) g( -x)
= f(x)[ -g(x»)
= - f(x) g(x)
= - h(x)
he-x) = - h(x)
O
EJEMPLO 6
Representar la siguiente función como la suma de una función par y de
una función impar.
x
f(x)=-J - x
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590
SERIES
x
1-x
---'
1 +x
X
---
= ---
1+x
1-~
Sean:
x
f¡(x) = 1 _ ~
fi -x)
=-
M -x)
x
--_-.2
1- x
=-
= 1(-x?
= Mx)
- x
--2
NOTA. Para una función
DE FOURIER
7. f(x) = x"
2
+ ---x2
1-x
x2
Mx) = 1 _ x2
y
fix)
9.t(x)=x
.
es par.
par, se cumple que:
iaa
f(x) dx
impar,
8. t(x) = x"
es tm/pür,
iaa f(x) dx = 21af(x) dx
Para una función
CONVERGEN'
10. t(x)
= e"
11. t(x)
= In
12. t(x)
= se
13. t(x) = e
14. t(x) = x
se cumple
15. t(x) = lo
que:
16. t(x) = s
=O
17. t(x)
=e
Ejercicios 8.3
18. t(x) =
En los siguientes ejercicios, encontrar las funciones
impares y las que no son ni una cosa ni otra.
que son pares, las que son
Respuestas:
1. f(x)
2. f(x)
3. f(x)
=x x
=x +~
= x", n = 1, L, 3
3
-
5
4
Impar
Par
Si n
Si n
4. f(x)
5. f(x)
6. f(x)
= Ixl
= x sen x
= x2 sen x
Suponiendo
si son pares
= 2k, par
= 2k + 1, impar
19. t(x) =
Par
Par
Impar
20. t(x) =
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E FOURIER
CONVERGENCIA
DE LAS SERIES
7.f(x)=xnsenx,
8. f(x)
9. f(x)
10. f(x)
11. f(x)
12. f(x)
13. f(x)
14. f(x)
= xneosx,
n
= 1,2,3,
...
Si n par, f(x) es impar
si n impar, f(x) es par
...
Si n par, f(x) es par
si n impar, f(x) es impar
=x - x
= e"
= ln x
= sen" x
= cos" x
= x Ixl
4
Ni par, ni impar
Ni par, ni impar
Ni par, ni impar
;,Par
.Par
Impar
16. f(x)
= leos x]
= senh x
17. f(x)
= eosh
18. f(x)
=
15. f(x)
as que son
n=I,2,3,
591
DE FOURIER
Par
Impar
x
-3,
Pnr
-1
<x<O
Impar
3,
O<x<1
Suponiendo que las siguientes funciones son periódicas,
si son pares o impares o ninguna de las dos cosas.
Respuestas:
-x,
-n<x<O
19. f(x) =
Par
x,
x,
O<x<n
-n<x<O
20. f(x) =
Ni par ni impar
0,
O<x<n
con periodo 2n; hallar
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592
SERIES
DE FOURIER
B. Es f
Respuestas:
O,
={
21. f(x)
22. f(x) =
Ni
t
r'
ni
par
impar
D. Es f
O<x<1t
x,
-1t/2
32. Dada la
< x < 1t/2
Impar
x,
23. f(x) =
C. Es
<x<O
-1t
CONVERGEN
1t/2
-1t/2
A. Es f
< x < 31t/2
B. Es f
C. Es f
< x < 1t/2
D. Es f
Impar
O,
1t/2
< x < 31t/2
terv
Representar las siguientes funciones como la suma de una función par y una
función impar.
33. Dada l
A. Es f
1
1
x
B. Es f
24. 1 _ x
--+-1-x 1-r
25. ~
1+x
2x
--+-1-r 1-r
2
C.
2
1- x
No
D. Es f
34. Dada l
26. r(JO
+ x)
27. -ifX(x
2
JOx
+ r)
4j3
X
+x
3
con per
A. No
+X
7j3
B. Es
28.
eX
cosh x
29. Si f(x) es
par,
probar que If(x)1 es
30. Si f(x) es
impar,
+ senh
x
D. Es
par.
probar que If(x) I es
impar.
En los siguientes ejercicios escoger la opción que da la respuesta exacta:
-1
31. Dada la función f(x) =
1
1:
-1t<x<O
O< x
impar
porque f( -x)
35. Dada l
con per
A. Es
< 1t
B. No
C. Es
con periodo 21t, diremos:
A. Es función
C. Es
=-
f(x)
D. Es
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593
CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
B. Es función par porque f( -x) = f(x)
C. Es función impar porque f( -x)
= fex)
D. Es función par porque f( -x) = - f(x)
-r,
32. Dada la función
f(x)
=
l
-1t
O
_.2
x,
< X<O
<x<1t
A. Es función par porque es simétrica al eje y.
B. Es función impar porque f( -x) = - f(x)
C. Es función par porque f( -x) = f(x)
D. Es función impat porque el intervalo de
tervalo
-7t
a O es equivalente al in-
37t
7t
a - -o
2
33. Dada la función f(x) = 6x - x2, diremos:
A. Es función par porque f( -x) = f(x)
B. Es función impar porque f( -x) = f(x)
C.
No es función par, ni es función impar
D. Es función impar porque es simétrica respecto al origen.
34. Dada la función f(x) = e lxl ,
-7t
< X < 7t
con periodo 27t, diremos :
A. No es función par ni función impar
B. Es función impar porque f( -x)
=-
f(x)
C. Es función impar porque f( -x) = f(x)
D. Es función par porque es simétrica respecto al eje y .
35. Dada la función f(x) = x, O < x
< 27t
con periodo 27t, diremos :
A. Es función par porque f( -x)
= f(x)
en el intervalo dado
B. No es función par ni función impar
C. Es función par porque es simétrica al origen
D. Es función impar porque f( -x) = - f(x) en el intervalo dado.
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594
SERIES DE FOURIER
36. Dada la función f(x)
= ¡;,',
-'lt
<X<
'lt
con periodo 2'lt, diremos:
A. Es función par porque f( -x) = f(x)
B. Es función impar porque f( -x)
c.
= -
f(x)
No es función par, ni función impar
D. Es función impar porque f( -x) = f(x).
37. Dada la función f(x) = x 2 ,
-1t
<X<
1t
con periodo 21t, diremos:
A. Es función impar porque es simétrica al origen
B. Es función impar porque f( -x) = f(x)
C. Es función par porque es simétrica al eje y
D. No es función par función impar.
38. La representación de la función e-X como la suma de una función par y
de una función impar es:
+1
senhx + 1
A. Goshx
B.
C. N o puede hallarse a causa del exponente negativo
D. Gosh (-x)
+ senh (-x).
Respuestas:
31. A.
32. B. 33. C. 34. D . 35. B. 36. A. 37. C. 38. D.
Series de F ourier para las funciones pares e impares
Funciones pares
Teorema 9. Sea f(x) una función par, periódica con periodo 21t.
~ f(x) ti~e una representación en series de Fourier Gosenoidal; es decir:
f(x)
= ao +
L'"
n=l
an GOS nx
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595
SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PAHES E IMPARES
con coeficientes:
ao
=!......
('Ir f(x) dx,
an
1tJo
= l..-
(Ir f(x) cos nx dx,
n
1tJo
= 1,2,3, .. .
bn
= O.
Veamos qué pasa en la formulación de los coeficientes de FO'urier cuando la
función es par.
1) ao
= :1t
L:
f(x) dx
Como f(x) es par
~
ao
= -1 (2 1'lr f(x)
2) an =
!......f'lr
1t
- 'Ir
dx)
= -1
o
21t
1t
¡"Ir
f(x) dx
o
f(x) cos nx dx
Como f(x) es par y cos m: también lo es, su producto es una función par.
~
an = -2
1t
3) b n =
:
Sv'o" f(x) cos nx dx
f'lr.".
f(x) sen nx dx
Como f(x) es par y sen nx es impar, el producto es una funci6n impar, y su
integral de -1t a 1t vale cero, ~ b n O.
=
Funciones impares
Teorema 10. Sea f(x) una función impar, periódica con periodo 21t.
~ f(x) tiene una representación en series de Fourier senoidal; es decir:
f(x)
an=O,
t
b n sen nx,
"=1
con coeficientes:
ao=O,
=
bn=l..1t
('Ir f(x) sennx dx,
Jo
n=I,2,3, .. ,
Se deja al lector verificarlo como en el caso anterior.
Observación: Algunos coeficientes de Fourier pueden ser cero sin tratarse de
funciones pares o impares.
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596
SERIES DE FOURIER
EJEMPLO 1
Hallar la serie de Faurier de la función:
f(x)
=~ -
x2,
<X<
-7t
con periodo
7t
27t.
1) Veamos si la función es par o impar:
f(-x)
=~ -
(-xY
= f(x),
<X<
-7t
es par.
7t
2) Sus coeficientes son:
an
21" (-rr -
= -7t
r) Gas nx dx,
o
b n =0.
n=1.2.3, ...
Desarrollan do :
ao = ~ [~x - Y!3 1" ] = ~
7t
an
= -1
7t
7t
0
1"
7t
2
3
(7t
-
= { + 4/n
- !..
n Gas n7t =
7t
)
-rr.
Gas nx dx
2
n
,
- 4/n 2,
2
=~
33
o
7t
4
_
21" r
Gas 11X dx -
o
-11 2 Gas n7t
3
=
1,3,5, 7, . ..
n = 2,4,6,8, ...
3) Y la serie corresponcüente da:
7t
2
+4
., (-1r+ 1
L
n=l
2
Gas nx;
11
EJEMPLO 2
Hallar la serie de Faurier de la función (ejemplo 4 de la página 569):
f(x)
=
X,
-7t
<X<
7t,
con periodo
27t
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SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
1) ¿Es par o impar?
f(-x)
x
f(x),
=- =-
-7t
< X < 7t
~
es impar
2) Con coeficientes:
= 0,
bn
= -7t2l1l' x sen nx dx
an
= 0,
= ~17r
f(x)sennx dx,
7t o
ao
bn
n
= 1,2,3, ...
'o
2
2/n,
n
1-2/n,
= - -cosn7t =
n
= 1,3,5, .. ,
n = 2,4,6, .. ,
3) Y su serie es:
x
'" (-lr+ 1
=2 L
n
sennx,
llegamos al mismo resultado, de una forma mucho más rápida.
EJEMPLO 3
Hallar la serie de Fourier de la función (ejemplo 3 de la página 567) :
O,
f(x) =
cos x,
0,
1) f( -x)
I
< X < -7t/2
-7t/2 < x < 7t/2
7t/2 < x < 7t
-7t
O,
= cos (-x),
O,
con periodo 21t
<x< -7t/2
-1t/2 < x < 7t/ 2
7t/2 < x < 7t
-7t
597
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598
SERIES DE FOURIER
Como f( -x)
2) ao
an
= -1
j
= -1
i
r
/2
= 00
I
sen x o
1
7t
r/Z
GOS X GOS nx dx
o
+ -1- sen (1 + n) x ITr/Z]
1-n
(ver página 568)
l+n
7t
7t
= -1[ -1- sen (1 - n)-
=
b",
Tr/ 2
= -17t
= -1 [ -1- sen (1 - n) x
7t
~
es función par
GOS·X dx
o
-¡¡;
7t
= f(x)
1-n
2
o
+ -1- sen (1 + n) -7t]
l+n
2
~ [ __1_ sen.2:.. GOS n .2:.. + __1_ sen
7t
1-n
2
2
7t GOS n 7t- ]
2
2
l+n
1[--1 Gosn~
7t + --1
7t]
=Gosn7t
1-n
2
l+n
2
= ~[
_
2 Gosn~]
7t 1 - n
2
Z
-2
-2
7t
- -Z - -- GOS n - =
7t(n -1)
2
n
o,
= 2,6,
o
n = 3,5,7,
n
Para al tenemos:
1 S"/Z(1 + GOS 2x) dx
= _.
7t o
•
= 4, 8,
o
o
o
00 0 0
o
_
o
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SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
1[1
+ 2"
599
2
sen 2x 11T/
o
= ~ x
]
3) La serie es:
1
f(x) = 1t
., (-1)"
¿
---cosnx
1t ,,=2 n
1
1
2
+ -cosx + 2
2
-
Igual que el anterior, pero obtenida más rápidamente.
Ejercicios 8.4
Dadas las siguientes funciones periódicas, con periodo 21t, hallar su serie de
Faurier correspondiente.
1. f(x) = x2,
Respuesta:
2. f(x) =
-1t
< X < 1t
(-Ir
--_.
cas nx
1t2
.,
3
"=1
r = - +4 ¿
{-1'
-TI
n
2
<X<O
1,
4
.,
1
¿ -
Respuesta: f(x) = sen nx
1t "=1 n
3. f(x) = x 3,
-1t<x
Respuesta: x3 = 2
<TI
., (-lr+ 1
¿
3
"=1
4. f(x) = x,
-1t
<
(n2 ~ - 6) sen nx.
n
< 1t
X
/
Respuesta: x
=
., (-ll+1
2
¿
.
"=1
n
sen nx.
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600
SERIES DE FOURIER
5. f(x) =
Ixl,
< X < 1t
-1t
2
6. f(x) = Isen xl,
-1t
8. f(x)
-:r!
{
={
'
1t
-1t
< X<
21t
8
3
271t
O,
zy
GOS 2x
3
+ (----) sen 3x
GOS (2n - 1) x.
+ -1 GOS 4x + -1 GOS 6x + ...) .
15
35
°
Respuesta: f(x)
1t
1t
- - sen 4x
2
=
8
(21t--) senx
1t
+ .. .
-1t<x<O
3,
12 ...
L
=-
1t
O,
{
1t
°< x <
Respuesta: f(x)
9. f(x) =
(1-
= -2 - -4
:r!,
sen 2x
1
(2n -
L..J
< x < 1t
-1t
Respuesta: Isen xl
7. f(x) =
~
1t ~=l
Ixl = -1t - -4
Respuesta:
n=l
-1t
1
(2n - 1)
<X<
sen (2n - 1) x.
°
x,
Respuesta: No es par ni impar (ver ejercicio 27 de la página 585) .
10. f(x)
= 2x -:r!,
°< x <
21t
Respuesta: No es par ni impar.
1t2
f(x)
..
= -- + 4L
3
n=l
(_lyn+1
2
n
.. (_lyn+1
GOsnx
+ 4¿
n=l
sennx.
n
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SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
1,
11. f(x) =
O<x<21tj3
o,
21tj3
< x < 47tj3
-1 ,
47tj3
< x<
2'lt
3
1
1
1
= -(sen
x + -sen2x + -sen4x + -sen5x
2
4
5
Respuesta: f(x)
1t
1
+ ¡sen 7x +
12. f(x) =
601
{-X'
-1t
o
o
0)0
<X<O
x,
1t
4 ~
1
Respuesta: f(x) = - - - L...J
2 cos(2n 1)xo
2
1t n=l (2n - 1)
13. f(x) = senh x,
< X < 1t
-1t
Respuesta: senh x =
2 senh 1t
_ 07t
Respuesta: coix
< X<
"'
2
7t
14. f(x) = cos2 x,
1
n
L (-1r+
sen nxo
n +1
n=l
7t
= -21 + 31t
-8 cos x + -1
2
cos 2x
+ -2
31t
8
cos 3x - - - cos 5x
1051t
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta:
15. Los coeficientes de Fourier de la función con periodo 21t:
f(x)
1
= sen 2x,
l7r
-1t
< X < 1t,
- 2-,
,7t
an
= -2
1
B, a c = - - ,
an
= -7t2 ia'R"o sen 2x sen nx dx,
Ao ao =
1t
1t
o
son:
sen 2x cos nx dx,
bn
=O
+
o o o
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602
SERIES
C.
a¿ = a; = 0,
b.;
D. a¿ = O,
an
8
=
7t
(4 -
= --=---1
l7r
7t
16. La función
= x sen x,
f(x)
2
n)
DE FOURIER
7t
senn-
18. La serie de F,
2
bn= O
sen 2x cos nx dx,
con periodo 2
o
< X < 7t
-7t
SERIES DE FOURI
es periódica
con periodo
27t,
en-
tonces:
2
A. Es función
par
~
ao
= a = O,
bn
B. Es función
impar
~
a¿
= a = 0,
bn = ---
C. Es función
par
~
a¿
= 1,
al
=2
a¿
= O,
n
impar
~
1 - n2
1 - n2
2
= ---
an
1- n
2
sen
y la suma en
n7t
A. O
2
n
1
D. Es función
= ---
Gas n7t
B. 1
19. La serie de
Gas n7t,
bn = O
y
1
= - 2'
al
an
2
= ---
1 - n2
con periodo
sen
n7t,
4 " (
=
bn
O
A.
-2:"=1 (2
1t
17. La serie de Faurier
27t,
de f(x)
= cosh
x,
<x<
-7t
7t
periódica,
con periodo
es:
B. 2 ~ (1
A. - senh
7t
+
n=1
..; (-1t+'
L.J
2
2senh7t
7t
7t
1
B. - senli
2 senht:
n=l
+
n
n
Gas nx
1
2
C. f(x) =1t
7t
+
7t
L
00
(-1t+
1
"=1 n
2
rt
L (-1yn+1 sen nx
+
.
sen nx
+
1
00
2 senh
C.
D.
7t
2 senh
7t
7t
n=l
n2 + 1
00
7t '\'
(-
L.J n2
n=l
1)n+1
+
1
2
D. f(x) =1t
cos nx
2
+-c,
251t
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603
SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
18. La serie de Fourier de f(x) =
{
O,
- 7t<x<O
2,
O<x<7t
con periodo 27t es:
-7t8 ¿'"
n=l
y la suma en x
=
1
(2n - 1)
sen (2n - 1) x
O ya no es esta serie sino el siguiente valor:
A. O
c.
B.
D. ao
1
2
19. La serie de Fourier correspondiente a la función:
f(x)
=
- 7tj 2 < x < 7tj 2
X,
{
7tj2 < x < 37tj2
O,
con periodo 27t viene dada por:
4
A. 7t
¿'"
n= l
( - 1;n+l
(2n - 1/
sen (2n - 1) X
( _ 1)n
- - sennx
n=l
n
00
B. 2 ¿
2
C. f(x) = -sen x
7t
1
+6
D. f(x)
+ -1
2
sen 6x
2
1
sen 2x - - sen3x - -sen4x
97t
4
+
2
1
= -GOS
X + - Gas 2x 7t
2
2
1
257t
6
+ -2- sen 5x
+ --cos5x + -Gos6x +
2
1
- - Gos3x - - GOS 4x
97t
4
257t
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604
SERIES DE FOURIER
20. La función f(x)
2
1t
A. f(x)=-+
12
1t2
B. f(x) = -
12
= r,
4
¿
'"
n=l
+
-1t
<
x,
< 1t,
periodo 21t, satisface la opción:
(-Ir
-z -sennx
n
(-Ir
¿
'"
n=l
--GosnX
2
n
1
C. ao = O, an = O, b n = - 2 sen n
n
2
1t
1
D. ao = -, an = - 2
12
n
GOS
n, bn = 0, n = 1, 2, 3, ...
Respuestas:
15. C. Por ser función impar. La opClOn A supone que la función es par y
hay un error en ao. La opción B y D similannente.
16. C. Es función par. Teniendo en cuenta que debe buscarse en la integral
el término al que en la fórmula final no está definido. Las demás opciones mezclan los conceptos.
17. A. Es función par.
lím f(x)
x_o+
+
18. B. Puesto que
2
lím f(x)
x_O-
2
+O
= - -= 1.
2
19. C. Es función impar. La opción A toma los límites de la integral de b n
de - ~ a ~. La opción B toma de O a 1t (en vez de O a ~) . La op2 2 2
ción D supone que la función es par.
20. B. y D. Es función par.
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605
FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
Funciones de periodo arbitrario
Una función periódica f(x) con periodo T también puede tener un desarrollo
en series de Faurier. Para poder utilizar las fórmulas de Euler aplicables a funciones periódicas con periodo 27t introducimos el siguiente cambio de variable:
T
t=--x
27t
~
27t
x=--t
T
Entonces la función f( 27t t) es una función periódica de t, con periodo 27t.
T
La serie de Fourier correspondiente será:
T
f(- - x)
27t
= ao +
Con coeficientes:
ao= -127t
an = -1
7t
bn
J7/'
-7/'
J7/'
-7/'
= -17t J7/'
-7/'
f(- T x)dx
27t
f(-T- x) cas nx dx
27t
f(-T- x) sen nx dx
27t
27t
Como x = T t
~
27t
dX=T dt
Cuando x = - 7t
~
t = -T j 2
-~
t
=
Tj2
Por lo tanto, los coeficientes son:
ao
= -T1
J
T J2
-TJ 2
f(t)dt
~
an cas nt
+ bn sen nt,
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606
SERIES DE FOURIER
_ 2 fT /2
f(t)
T _T/2
an
-
bn
-
2n1t
t dt
T
GOS--
_ 2 fT/2
2n1t
f(t) sen t dt,
T _T/2
T
n = 1,2,3, .. .
y la serie es:
~
f(t) = ao + L.J an
2n1t
GOS - -
T
n=l
t
2n1t
+ bn sen - t.
T
El intervalo de integración de los coeficientes puede reemplazarse por cualquier
. .
T
3T
mtervalo de longItud T, por ejemplo, O < t < T, - < t < --, etc.
2
2
EJEMPLO 1
Desarrollar en series de Fourier la función periódica f(x) =
-1 < x <1 con periodo T
2.
=
Como es función par
ao
= -T2
i
=2
[n2~2
= 2
[-i---z
n
T 2
/
o
f(x) dx
GOS
=
n1tx
(GOS
=
~
bn
1
x dx
1
o
+
1
= -2r = -.
2
n: sen n1tx]
n1t - 1)
1t
O.
+
1:
_1_ sen n1t]
n1t
n = 1,3,5, ...
n = 2, 4, 6, ...
1
Ixl = - 2
4 ~
"2 L.J
1t
n=O
1
(2n
· )2
+ 1.
GOS
(2n
+ 1) 1tx.
Ix¡, definida en
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607
FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
EJEMPLO 2
Hallar la serie de Fourier de:
1,
f(x) =
{
0,
ao = 14
an
0<x<2
= -1
J2
2
ia
1
f(x)dx=4
_2
t
°
<x<
-2
T=4.
4
2
o
1 1 =1
dx=-x
4.
2
\2
Gas mt
- x dx = -1 . - 1 sen -mtO
x
2mt
2
o
202
°
2
= -senn1t =
n1t
1
n1t- x 1
= -2l!o2o sen n1t
-2 x dx = - -Gas n1t
2
2
bn
= - n1t
-1 (Gas n1t f(x)
= -21 + -1t2 ¿'"
n=O
= n1t
-1 (1 -
1)
(2n
1
2n
+1
J
2
--,
n
= 1,3,5, .. .
O,
n
= 2, 4, 6, ...
Gas n1t) =
+ 1) 1t
sen--2--x.
EJEMPLO 3
Hallar la serie de Fa1.1rier de la función de onda cuadrada:
f(x) =
0,
-2
<x<
-1
k,
-1
<x<
1
0,
1
<x<2
T=4.
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608
SERIES
FUNCIONES
DE FOURIER
!I
y4
I
1
11
Hallar la s
,.......
k
~
I
Ejercicios
I
1
I
I
1
I
I
I
I
I
1. f(x) =
I
I
I
I
I
I
I
1
1
1
I
-i
-2
1
I
Respue
~x
I
1
2
I
~
2. f(x) =
Figura 8.13
Es función par
a¿ = ~
l2
= ~ kx
a;
=
S
b;
f(x) dx = ~
Respu
= O.
[!a\
dx dx
O dx ]
3. f(x) =
n7t
GOS-
2
o
x dx
Respu
= 2k
-sen-xn7t
n7t
1
1
2
2k
---,
2k
7t
n7t
senn;¡
=<
O,
-2k
4. f(x)
o
n
= 1,5,9,
n
= 2, 4, 6, 8,
n
= 3, 7, 11, ".
n7t
=
f2
+
1: = ~-.
I
k
~
n1t
f(x)
k
2k';
=- +2
7t
(--d;n
(2n
Respu
...
...
5. f(x) =
Respu
6. f(x) =
+ 1) 1t
LJ--GOS
n=o2n + 1
=
X.
2
Respu
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609
FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
Ejercicios 8.5
Hallar la serie de Faurier de las siguientes funciones periódicas, con periodo 1'.
1. f(x) =
{
O,
- 1<x<1
1,
l<x<3
1' = 4.
1
Respuesta: f(x) = 2
2. f(x) =
'" (_lyn+l
2
+-
L
1t
2n
n=O
1,
-Z<x<1
{ 0,
l<x<3
+1
Gas
(2n+1)
1' = 4.
1
Respuesta: f(x) = 2
2
+-
1t
'" ( - l l
2n + 1
L - - G a s -- 1tx.
n d 2n + 1
2
-1<x<O
3. f(x) = { -1,
l' = 2.
1,
O<x<1
4 ~ sen (2n + 1) 1t
Respuesta: f(x) = - L..J
x.
1t n = O
2n + 1
4. f(x) = x,
°< x < l,
l' = l.
1 '" (_1yn+l
2n1t
L
sen - - x.
1t n=l
n
1
Respuesta: x = -
5. f(x)
2
= 4x -
xZ,
.
Respuesta: 4x -
6. f(x)=x 2,
Respuesta:
O< x
< 4,
= 4.
-16';-' 1
n1t
---; Gas - - x.
1t n=l n
2
r = - z - L..J
-1<x<l,
1
XZ
l'
4
=- + 3
1t
2
1'=2.
'" (-1)"
L -cas n1t x.
2
n=l n
1tx.
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SERIES DE FOURIER
610
1,
7. f(x)
<x<O
-1
f(x)
=
T=2.
1x,
O<x<O
L
'"
LL
ec
3
2
Respuesta: f(x) = - - 2
4
rt
1,
8. f(x)
=l
COSn7tx
2
(2n + 1)
n=O
-
n
n=l
.!.ennnx
n
<x<O
-3
T=6.
1
+ x,
0<x<3
Respuesta:
10. f(x)
ec
7
f(x) = 4
(-lt-1
L
+3
nn
2
n=l
O,
9. f(x)
FUNCIO
3
nn
sen--x
3
nn
Re
1<x
11. f(x
T=4.
O<x<l
1,
(-lt+1
+
<x <O
-2
= { x,
2
nn
cos--x
<2
Re
Respuesta:
2
3
= -,8
a¿
an
=
-
n2n2'
1_
4
n
= 1,3,5,7,
...
12. f(x
.
,
n= 2,6, ...
n2n2
n=4,8,
0,
...
Re.
2
+ nn
n2n2
=
bn
•
!'
n = 1,5,9, ...
1
nn
n
= 2,4,6,8,10, ...
-2 + nn
n2n2
n
= 3, 7, 11, ...
---- ,
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611
FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
¡(x)
=-38 -
2
n
1
-GOS-X
- -Gas
nx 2
n
2
n2
2
3n
--Gas--x
2
9n
2
5n
2
- --GOS--X
2
2
25n
+
1
1
- x - --sen nx
2
2n
3n
sen--x
2
+
+ .. ,
- --sen2n
4n
10. ¡(x)
n
2+n
sen
n
--2-
O< x<1
= {
x,
T=2.
2 - x,
1<x<2
1
4
Respuesta: ¡(x) = - - - 2
2
n
1
L
00
(2n
n=O
+ ly
+ 1) nx.
Gas (2n
11. ¡(x)=2x, O<x<1, T=l.
00
(-1;n+l
n=l
n
2
Respuesta: 2x
L
=-
n
1,
sen 2nnx.
-l<x<O
12. ¡(x) =
T=2.
O<x<l
_ ·X;,
1
.
Respuesta: ¡(x) = -
4
13. ¡(x) =
{X'
O,
1
+ -2n
L -1n sen nnx.
00
n=l
-l< x<O
T=2.
O<x<l
1
Respuesta: f(x) = -
2
00
4 + ~ ,!;
Gasmtx
(2n - zy
1
+ -;
00
E--
( - 1t+ 1 se n nnx
n
.
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612
SERIES DE FOURIER
+ 1,
X
14. f(x) =
{
-2
<X<
O
T = 4.
0<x<2
1,
4
Respuesta: ao =
1
2'
an
n
= 1,3, 5, ...
n
= 2,4,6, . . ,
=
0,
4
- -,
n
=
2
- - -,
n
= 2,4,6, .. .
n1t
n1t
O,
15. f(x) =
{
(3 -
-3
<
1,3,5, ...
x< O
T = 6.
xy,
O<x<3
3
f(x) = 2
Respuesta:
18 '"
+-
1t
2
1
¿
-cos
2
n=1 n
n1t
x
3
4
9
'" 1 -
+-¿
1t n=1
(2n -
2n - 1
IY 1t
2
sen
(2n -
1) 1t
3
9
'"
1
2n1t
x + - ¿-sen - - x .
1t
n=12n
3
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta:
16. La serie de Fourier de la función f(x)
T = 2, viene dada por :
=~,
-1
<X<
1, con periodo
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FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO
D. x
3
2 · '" (-Ir
1
== - + 4
3
¿ -n- (n
1t "=1
2
1t -
2
3
613
6) Gas (n1t/ 2) x
17. ¿Cuál es la serie de Faurier de la función f(x) = x 3 , -k < x
periodo 2k?
A. x3
k4
2P
4
3
= - +-
1t
(-1 r
¿'" __
(n
"=1
n
2
3
1t2
1tn
-
6) sen - x
k
18. La serie de FOurier de la función
O,
f(x)
=
{
-2
< x<O
O<x<2
x,
x _ _
A. f( ) -
!.- ..; Gas (n1t / 2) x
1t2
L..J
(2n / l)2
n= l
1
4"; Gas (n1tj2) x
2
1t "=1
B. f(x) = - - - 2 L..J
C. f(x)
(2n -
1)2
1
2 '" (-lr+ 1
2
1t ,,=1
= - +-
¿
n
2;- ( _ 1)"'+1
(/2)
L..J
sen n1t
x
+-
1t "=1
sen (n1t/2) x
n
<
k, con
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SERIES
614
DE FOURIER
DESARROLLO D
Respuestas:
D. f(x)
=-
4
2l:
n.
al
n=l
cos(nn/2)x
2
+-
2
(2n - 1)
rt
l:
al
(-1r+1
19. Los coeficientes de Fourier correspondientes
f( x)
e", -1 < x < 1, T
2, son:
=
sen (nn/2)
n
n=l
16. C. Como e
X
proviene de
17. D. Es func
a la función:
=
18. B.
1
A. ao= - (e 2
B. a¿
an:=
1),
a -
= e - 1,
c. a¿ = senh
cos nn
,
1 + n21t2
b; =
cos nn
+ n2~'
b¿ =
1
n -
1+ n n
n -
2
a
an-'1+nn
O,
20. Dada la función
2
f(x) =
2
+ n2~
cos nn
2nn senh 1 sen nn
2 cosh. 1 sen nn,
D. a¿ = cosh 1,
2nn
1
b; = 2nn cosh 1
1 + n2 n2 cos nn
2 senh. 1 cos nn,
1,
2nn
cos nn
1 + n21t2
b«
2
= 1 + n2'1t2
~,
1
19. C. ao=-¡
20. B.
Desarrollo d
Anticipamos, m
r iódicas pueden
Podemos obten
serie de Fouríer'
-2<x<O
T=4,
{
1
+::
fica que dicha
segundo. Toma
que sea par o i
f(x)
O<x<2
=
f(
Sus correspondientes
4
A. ao=-,
3
2
B. a¿=3'
4
C. aO=T'
2
D. aO=3'
coeficientes de Eourier son:
8
an = --2 2 cos n·lt,
n n
8
an = -- cos nn,
n2~
16
an = -- cos rrrt,
n2~
16
an = -cos nn,
n2 n2
8
b.; = --(sen
n3 n3
8
bn
= --3
bn
= --(cosn1t
3
3
bn
= --(cosnn
3
3
3
n n
(cos nn - 1) -
8
n n
16
n n
nn - 1)
-1)
+
- 1)-
4
-cosnn
nn
4
-cosnn
nn
8
-cosnn.
nn
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615
DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIóDICAS
Respuestas:
16. C. Como es función impar ao
= =
=
an
O, el error: ao 1/ 8 o ao
proviene de la integración desde O hasta 1, Y debe ser senoidal.
' impar
17. D. Es funcion
~
ao
=a =O
18. B. ao
1
= -,
2
19. C. ao
= ~2 (e - ~)
= senh 1
3
an
2
= -(cos nn n n
2
2
Y bn
n
1),
bn
= -k2
= - -
2
I1n
= 1/4
fk x sen-x
nn dx
k
3
o
cosnn,
n
=
1,2,3, . ..
20. B.
Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier
Anticipamos, mediante ejemplos y ejercicios, el hec.ho de que funciones no peTiódicas pueden tomarse como tales, considerándolas seccionalmente continuas.
Podemos obtener el desarrollo de una función, por ejemplo, f(x) = x3 , en una
serie de Fourier cosenoidal, o bien, en una serie de Fourier senoidal. Esto significa que dicha función fue tomada como par en el primer caso, e impar en el
segundo. Tomaremos intervalos iguales y definiremos la función de manera
que sea par o impar.
f(x)
= x3,
- l
=-
< x<1
f(x) =x3, -l < x
f( - x) = f(x)
Par
f( - x)
f(x)
Impar
y
y
----~----~~----~--_+ x
<1
------~----~~--~------.x
Figura 8.14
(b)
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616
SERIES DE FOURIER
En la figura 8.15 expandemos la funci ón impar (a).
y
~--~r-----~~------~------~~------~----~~~----~----X
Figura 8.15
y ya podemos obtener su de~arrollo en series de Fourier de tipo senoidal.
En la figura 8.16 expandemos la función par (b) .
y
x
3l
Figura 8.16
La serie de Fourier correspondiente será cosenoidal.
EJEMPLO 1
Desarrollar la función f(x) = x, en el intervalo O < x < TI en una serie de
cosenos.
Expandiendo esta función de forma par, y considerando el periodo 2TI, tenemos: .
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617
DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIóDICAS
y
--------~--~--~~~--~~------~ x
- 11:
11:
Figura 8.17
f(x)
= JxJ,
~ ao = ~
TI
an
-TI
< X < Te
r'" xdx = ~.2
Jo
= -210'o " x cas nx dx = n-2
2
TI
x _ ~ _
f( ) - 2
!-. ..;
(Gas nTe - 1)
TI
= {-
2Te'
n4
n = 1,3, . . .
n = 2,4, ...
O,
cas (2n + 1) x
(2n + 1f
.
o
TI::-
EJEMPLO 2
Desarrollar la función f(x)
de senos.
= x,
en el intervalo O < x
< TI
en una serie
Expandiendo esta función de forma impar, obtenemos:
f(x)
= x,
-TI
y
Figura 8.18
<X<
TI
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SERIES DE FOURIER
618
~
ao =0
a~. ~ Jor'
O
Hennx dx
= _
~ cosn~
1t
=
¡~,
2
1t
n
f(x) = 2
L., (-lr+
n
n
=
1, 3,5, . . ,
n = 2,4,6, .. ,
,
1
sen nx.
Ejercicios 8.6
Desarrollar las siguientes funciones en una serie de F ourier senoidal y cosenoidaZ, según se indique.
1. f(x) =
X2
para O < x
Respuesta:
X2
<
""
= -2 L
1t
en una serie senoidaZ.
1t n=l
2. f(x) =
X2
para O < x
<
1t"
Respuesta:
r = - +4
3
[1tn + -((-Ir
2
n
2
(-1r+ 1
1t
-
3
1) ] sen nx.
en una serie cosenoidaZ.
(-Ir
L., --cos nx.
n
2
n=l
1
O<x< -
O,
2
para O < x
3. f(x) =
1
x--
2'
1
-<x<1
2
., (-lr+ 1
Respuesta: f(x)
= L --n=l
n1t
<
1
en una serie senoidal.
2 sen (n1t / 2)
sen n1tx
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619
DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIÓDICAS
1
O<x< -
0,
2
4. f( x) =
x - -
2'
Respuesta: f(x)
1
-<x<1
2
= -18
+ -2 "
¿
-1
( GOS nr¡;
O,
O<x<1
1,
1<x <2
Respuesta: f(x)
2
O<x<1
1,
1 <x<2
=-
2";
~
r¡; n=l
X,
0<x<1
1,
1<x<2
7. f(x) =
Respuesta: f( x)
) GOS nr¡;x.
en una serie Gosenoidal.
r¡;
GOS (2n - 1) - x.
para O < x
<
2
2 en una serie senoidal.
r¡;
r¡;
(GOS n - - GOS nr¡;) sen n-x.
2
2
°< x <
2 en una serie senoidal.
= ~ (~sen
n ~ - ~ GOS nn) sen n ~
n
2
2
2
n=l
X,
0<x<1
1,
1<x<2
8. f(x) =
r¡;2
para
{
r¡;2
1
"
para
{
GOS n
r¡; n=l
O,
Respuesta: f(x)
<2
r+
= -1 - - L (-1
2n - 1
2
{
-
r¡;2n= l n2
para O < x
5. f(x) = {
6. f(x) =
°< x < 1 en una serie Gosenoidal.
para
1
4
Respuesta: f(x) = -
°< x <
1
L., -(Gosn
n
r¡;2 n=l
r¡;
2
X.
nr¡;
2
2 en una serie Gosenoidal .
r¡;
- 1) Gosn - x.
2
~
--
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620
SERIES
9. f(x)
= senh x para O < x <
Respuesta:
f(x)
=
L
(senh 1)
10. f(x) = senh x para
Respuesta:
f(x)
<x<
O
= (cosh
Respuesta:
(-lyn+ln
n=1
1 + n 1t
2
2
L
ec
(
< -1
Respuesta:
1 + n 1t
2
1
cc
O
+
n=o2n
<x<
(e - 1)
14. f(x) = e-X para O
<x<
.
co
f(x) = 2
L
= x('lt - x) para
x( 1t
-
x)
1) 1tx.
D.
18. f(x) = 1
(-lyne-l
1 + n 1t
2
2
cos n 1tx.
A.
'"
~¿
1t
n=l
1 en una serie de senos.
1 + n 1t
2
O< x
=-
~¿,
1t n=1
1 + (-lyn+le-1n
8
Respuesta:
+
1
n~1
15. f(x)
~¿
1t n=1
1 en una serie de cosenos.
+2L
1
ec
sen 2 (2n
n=1
Respuesta:
1
-+
2
C.
en una sene de senos.
2
cc
Respuesta:
1
A . -+
2
'"
.
= - L ---
= eX para
cos n1tx.
B.
<x<-
1t
13. f(x)
2
en una serie de cosenos.
2
1
12
3
17. f(x) = 1 -
= 3.
f(x)
12. f(x) = 3 para O
Respuesta:
Escoger la
funciones dad
-1 yncosh 1- 1
n=1
11. f(x) = 3 para O < x
sen n1tx.
1 en una serie de cosenos.
1 - 1) + 2
DESARROLLO
16. f(x) = x se
1 en una serie de senos.
ec
21t
DE FOURIER
<
1t
rt n=O
(2n
en una serie senoidal.
+ Il
-+
2
C.
-2
sen n1tx.
1
ec
L
2
1
B.
sen (2n
+
1) x.
4
1t n=
1
D --f
.2
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DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIóDICAS
16. !(x)
= x sen x
para O < x
<
1t
621
en una serie casenaidal.
Respuesta: Ver ejercicio 16 de la página 602.
Escoger la opción que contiene la serie correspondiente a cada una de las
funciones dadas a continuación:
17. !(x) = 1 - x para O < x
1
A. 2
+-
2
¿'"
1t
n=1
1
+-
<
1
-senn1tx
n
4 '"
B. -
2
1t
2
1
--sen(2n
n.=O 2n + 1
¿
2 '"
C. -
I: -1n (1 -
1t
n=l
2
L'"
1t
n=l
D. -
1 en una serie senaidal.
+ l)1tx
2 cas n1t) sen n1tx
.
1
-sen n1tx
n
18. !(x) = 1 - x para O < x
<
1 en una serie casenaidal.
2~1
L..J - cas n1tx
1t n=l n
A. -
1
B. 2
4
C. -
1t"
1
D. -
2
4
'"
1
1t"
n=O
+ -:- ¿
¿'"
n=O
1
(2n
2
+-
1t
(2n
+ 1)
2
cas (2n
cas (2n
+ 1Y
¿'"
n=l
1
-casn1tx
n
+ 1) 1tX
+ 1) 1tX
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622
SERIES DE FOURIER
19. f(x) = eX para O < x
A. (e - 1)
+2
<
1
L
1 en una serie senoidal.
+ (-lr+ enn
1 + n T!
1
2
sen nnx
n=l
B.
2
L ---(-1 + enrt GOS
1· + n n
2
2
nn) sen nnx
n=l
1 + (-lr+ enn
L ----...,----,,---sen nnx
1 + n rt
1
C. 2
2
4
2
'"
1
L
- - - sennnx
n=o2n + 1
D. -
n
20. f(x) = Gosh x para O < x
L"'
B. 2 (senh 1)
n=l
L"'
C. 2
<
(-Ir
2
1
+nn
2
1 en una serie Gosenoidal.
Gas mtx
Gash 1 GOS nnx
n=l
D. senh 1
+2
L
n=l
1
- x+2'
(-Ir
+ n 7t"
2
1
GOS nnx
1
O<x <2
para O < x
21. f(x) =
o,
1
-<x< 1
2
<1
en una serie senaidal.
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623
DESARROLLO DE FUNCIONES NO PERIÓDICAS
1':;1
2
7t
B. - + L.J --(1 - --senn--)senn1tx
8
n1t
n=l
1t
~
1
c. -1 + 2 L.J
-- (1
2 2
8
~
- Gas n - ) Gas n7tx
2
n 1t
n=l
2
n7t
1
1t
2
D. L.J --(1 - --senn- 1 senn1tx
n=l
n1t
n1t
2
1
1
-x+O<x<2'
2
para O < x
22. f(x) =
O,
A.
2
~ + i= _1_(1 - ~senn~) senn1tx
8
n1t
n=l
8
n.=l
n1t
n
2
7t
2
2i= n_1_ (1 2
n=l
D.
1 en una serie Gasenaidal.
-<x<l
B. ~ + 2 t _1_ (1 c.
<
1
1t
2
i: _1_ (1 n=l
Gas
2
Gas
n~)
n~)
Gas n1tx
2
~ sen n 1t)
n1t \
n1t
Gas n1tx
2
sen n1tx.
2
Respuestas:
1
17. D. La opción A supone que ao = -, siendo que la función se redefine
2
para que sea impar:
+ 1),
-l<x<O
1 - x,
O<x<l
-(x
¡(x) =
\
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624
SERIES DE FOURIER
y automáticamente: ao
an =
4
- 2-
n rt
2'
= a = O.
n
La opción B da valores de: ao
= ~,
2
n impar y bn = O Ccomo si fuera par),. La opción C tiene
un error en el cálculo de b n , que debe s~r: b n
2
= - , n = 1,2,3, ...
nrt
18. B. La opción A supone ao = an = 0, pero la función debe considerarse
par. La opción C no contiene a ao. La opción D considera a b n pero
le añade el error de acompañar a dicho coeficiente la función coseno.
19. C. La opción A contiene a ao = e - 1 pero como la función se redefine:
-1
<x<O
f(x) =
O<x<l
para que sea impar
~
ao
integración. La D supone
bn
=2
i
= a = O. La opción B tiene un
b =
sen mtx dx en vez de
n
n
error de
211
l
eX sen nrtx dx.
20. A. La opción B olvidó ao = senh 1. La opción C confunde el hecho de
que an
=
2
JI
cosh x cos nrtx dx. La opción D olvidó un factor en el
segundo término.
21. D. Como ha de ser función impar
bn
= 2 Jto f(x)sennrtxdx = _1_
n¡;;
~
(1 -
ao
=a =O Y
n
~senn
7t),
n = 1,2,3, .. .
nrt
2
La opción A contiene a an indebidamente (para f(x) par). La opción B
1
añade ao = - (como si fuera par). La opción C es exactamente la
8
représentación de la función como si fuera par.
22. B. Ver el porqué de los errores en el ejercicio anterior.
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625
RESUMEN
Resumen
Definiciones
Función periódica: f(t
+ T) =
Serie de Fourier: ao +
L'" (a
n
f(t), periodo T.
cas nx
+ bn sen nx).
n=l
Fórmulas de Euler:
ao
=
_1_
27t
an
(1r
= ~J1r
7t
bn
= -1
f(x) dx
J-1r
f(x) cos nx dx
-'Ir
f'lr
7t
f(x) sen nx dx
_".
n
= f(x).
f( -x) = -
= 1,2,3, . ..
Función par: f( -x)
Función impar:
f(x).
Teoremas
1. f y g periódicas con periodo T
2. Si T es periodo de f
mín'i mo periodo
=
~
~
h
=
af
+ bg es
periódica con periodo T.
nT también, n entero:
periodo natural
n
n7tx
,
n coeficiente del ángulo.
nnx
3. Las funciones cos -k- y sen -k-' n = 1,2,3, . . " k
> O son
4. Convergencia de una serie de F ourier.
a) f(x) si x es punto de continuidad.
b) 1 [lím+ f(x)
2 x -+.:ro
+
lím f(x)l si x es un punto de discontinuidad.
x -+ .:ro
j
o1·togonales.
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626
SERIES
DE FOURIER
Autoevaluaci
Operaciones de funciones pares e impares:
5. Par
AUTOEVALUACI
+ par = par.
+ impar = impar.
1. Escoger la
Impar
x
tan-o
2
6. (Par) (par) = par.
7. (Par) (impar) = impar.
A.
21t
B.
1t
= par.
8. (Impar) (impar)
2. Graficar en
9. f(x) par con periodo
bn= O.
f(x) se representa por una serie Gosenoidal,con
27t ~
sen x, sen x
10. f(x) impar con periodo
a¿ a;
o.
27t ~
= =
Donde:
f(x) se representa por una serie senoidal,
3. Hallar la s
= -1
J1r f(x)
an
= -2
t
bn
= -2
J1r. f(x) seri nx dx
a¿
7t
7t
7t
con
dx
o
1r
f(x) Gas nx dx
o
o
n = 1,2,3, ...
- Para T periodo arbitrario:
11T/2
ao ~ T _T/2
f(t) dt
4. Selecciona
2 fT/2
an =: T
b;
2
=-
T
2n7t
f(t) GaS--
_T/2
fT/2
correspond
t dt
T
f(t)sen--t
A. an=
2n7t
dt
1t
n = 1,2,3, ...
T
_T/2
B. ao= 0,
y
f(t)
~
2n7t
= a¿ + L..J anGas--t
n=l
T
+ bnsen--t.2n7t
T
c.
a¿ = 3,
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627
AUTOEVALUACION 8
Autoevaluación 8
1. Escoger la opción que da el mínimo periodo de la función:
x
tan-o
2
A. 21t
C. 1t/2
B. 1t
D. 1tJ4
2. Graficar en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:
sen x, sen x
1
1
1
3
3
5
+ - sen 3x, sen x + - sen 3x + - sen 5x.
3. Hallar la set'Íe de Fourier de la siguiente función que tiene periodo 21t.
y
--~------~--------+-------~-------+--~ x
- re
- re/ 21
re/ 2
re
I
I
I
I
Figura 8.19
4. Seleccionar la opClOn que contiene los coeHcientes de la serie de. Fourier
correspondientes a la función: 6 cos 2x.
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628
SERIES DE FOURIER
5. Hallar la serie de Fourier de:
f(x)
= x(n -
+ x),
x) (n
-n
<x<
n.
6. Escoger la opción que contiene una función par:
C. e 1xl
A. lnx
B. x
Ixl
7. Establecer si la función f(x)
= x senh x es
par o impar.
8. Escoger la opción que contiene el tipo de función y los coeficientes de
Fourier de la función:
< x < -n/2
-n/2 < x < n/2
n/2 < x < n
1,
f(x) =
-n
2,
1,
periódica con periodo 2n.
2
n
an ':""" --senn-,
nn
2
3
2
a o =-,
B. Ni par ni impar,
2
n
b n = --senn-,
nn
2
C. Par.
ao
D. Impar,
= 0,
ao
an
3
= 2'
n
=
= 0,
a"
=
an
n=1,2,3, ... ,
2
n
= --cosn-;
nn
2
1,2,3, ...
2
n
bn=--sennnn
2
0,
bn
n
2
n
= --senn-,
nn
2
= 1,2,3, ...
n
= 1,2,3, . ..
9. Dada la función:
f(x)
=
x,
n-x,
<x<
n/2 < x <
-n/2
n/2
3 n/2
l'
= 2n.
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AUTOEV ALUAClóN 8
629
a) Ver si es par o impar.
b) Encontrar su serie de FOurier.
10. Dada la función:
O<x<1t
x,
f(x)
=
T = 21t.
1t - x,
1t
<
X
< 21t
Escoger la opción que contiene:
a) La función redefinida en - 1t
< X < 1t.
b) Su serie de FoUt'Íer.
- 1t<x<O
-x - 1t,
A. a) f(x)
=
Ni paT ni impaT.
x,
4
b) - 1t
2
¿
¿'"
1
(2n
n=O
+ 1l
1
GOS
---sen(2n
2n + 1
-x
+ 1t,
(2n
+ 1) x +
+ 1)x.
- 1t
<X<O
B. a) f(x) =
ImpaT.
x,
e
b) 2
C.
a)
L
f(x)
=
-
1
- - sen(2n +1)x.
2n + 1
l-x + 1t,
x,
- 1t<x < O
PaT.
O< x<1t
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630
SERIES
4
¿
b) - 1t
cos(2n
+ 1l
(2n
n=O
-x -
=
D. a) f(x)
1
<X>
+
DE FOURIER
AUTOEV
14. Elegir
f(x) =
1)x.
A.l..
-1t<x~O
1t,
6
Impar,
O<x<1t
x,
2
1t
B. -
¿
b) 2
n=O
1
+
2n
sen (2n
+
6
1) x.
1
2
1t
C. -
6
11. ¿Cuál es la serie de Fourier de la siguiente función?:
f(x)
=
2
1t
0<x<2
x,
D. -
6
con periodo T = 4.
I 4 - x,
2<x<4
15.
12. Seleccionar la opción que contiene los coeficientes de Fourier de la función:
1,
-1
<x <O
con periodo T = 2.
f(x) =
A. ao
1
-1,
=
-1,
1. A. P,
0<x<1
4
=-
an
=:»
n1t
n impar,
b«
1
= O.
2. Canv,'
B. ao
C. a¿
D. a¿
=
4
= -
= O,
=:»
an
-1, a;
= O,
n1t
= O,
an=O,
b;
n impar,
=-
bn=
b.;
= G.
3. f(x)
4 .
~,nlmpar.
n1t
2
-(cosn1t-1),
n1t
4. C. A,
n=1,2,3,
13. Hallar la serie de Fourier de la función:
O,
-1
<x
5. f(x)
<O
con periodo T = 2.
f(x) =
e-X
,
e
...
0<x<1
6. C.
ni
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DE FOURIER
AUTO EVALUACIóN
631
8
14. Elegir la opción que contiene la serie de Fourier. cosenoidal
f(x) = x (7t - x), O < x < 7t.
2
""
A. - - 4
6
7t2
B. -
6
r de la fun-
GOS(2n
+ 1) x
=e
2
cos Znx
n=l
ec
-
1
L -Gos2nx
n=12n
6
.
¿ n1
+ 1)2
""
-
C. -
o T=4.
(2n
n=l
7t2
D
1
L
de la función:
7t2
--L
6
""
1
2n
n=l
+1
GOS(2n
+ 1) x
15. Obtener la serie de Fourier senoidal
f(x) = (x - zy, O < x < l.
de la siguiente función:
Respuestas de la autoevaluación 8
o T
= 2.
1. A. Porque el periodo natural de la función es rr, entonces:
7t
1/2
= 27t.
2. Conviene observar que cada término añadido a la serie trigonométrica
aproxima más a una determinada función.
3. f(x)
2 ~
=6
7t
n=l
rt
1
(1- Gosn-)(-)sennx.
2
n
4. C. Además f(x) = 3 (1 + GOS2x) (la serie de Fourier es la identidad:
2A
GOs2A -+- 1 )
GOS =
.
5. f(x)
= 12
( _lyn+l
"
6
n3
sen nx.
n=l
:0
T =2.
=
=
6. C. Par ~ f( -x)
f(x), entonces: el-xI
elXI es par. La opción A tiene una función no definida para x < O.
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632
SERIES DE FOURIER
La opción B sería f(-x) = (-x)
La opción D: f( -x)
I-xl = -xlxl =
= (-xl- (-xl = _x
3
-
r
-f(x) función impar.
no es par, ni impar.
7. f(-x) = (-x)senh(-x) = (-x)(-senhx) = xsenhx = [(x) es par.
8. A. Las otras opciones asignan equivocadamente los coeficientes a las funciones pares o impares.
9. a) Impar.
4
b) f(x) = 1t
¿"
(-Ir
(2n
n=O
sen(2n
+ J"f
+ 1)x.
2
n 1t
10. A. Porque ao = 0, an = -2 - (eos n1t - 1), n = 1,2,3, ...
bn
= -1n (1 -
eas me),
n
= 1, 2, 3, .. ,
y redefinida no es ni par ni
impar.
8"
¿
11. f(x) = 1 - 2"
1t
n=O
1
(2n
12. D. Además f(x) = -
+ IY
~
1t
1
13. f(x) = - (I - e- l )
2
eas(2n
i:
n=O
., {I
+¿
n=l
1t
+ 1)-x.
2
_1_sen (2n
2n + 1
+ 1) 1tx.
+ (_1t+ e- J
(eas n1tx + n1t sen
1 + n 1t
1
2
1
2
14. B. Redefiniendo para que sea par
l
-x(1t
f(x)
ao
15. f(x) =
=
w
=-¡;,
~
+ x),
-1t<x<O
T =2.
x(1t - x),
4
an = - - ,
2
n
n par,
[n 341t3 (eosn1t - 1)
bn
+ ~l
n'it]
= O.
sen n1tx.
n1tx).
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633
BIOGRAFíA
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
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634
SERIES DE FOURIER
Jean Baptiste Joseph Fourier
De joven, Jean Baptiste Joseph Fourier se siente atraído por el sacerdocio, y lo
educan los benedictinos. Sin embargo, su interés por la matemática lo conduce
luego a ser profesor de esa materia en la academia militar.
Más tarde, es amigo de Napoleón y en 1798 lo acompaña a Egipto. Durante
la ocupación f'r ancesa, Napoleón lo nombra gobernador de este país. De regreso a Francia, ocupa puestos ad.ministrativos que le permiten proseguir sus
estudios personales. Hace entonces público su famoso teorema de Fourier,
que afirma que toda función periódica puede ser representada por una superposición de funciones sinusoidales, llamadas series de Fourier. A raíz de este
descubrimiento, de mucho impacto, Napoleón le otorga el ,título de Baró;:¡.
Fourier estaba convencido de que el calor era excelente para el ser humano,
y se relata que vivía en un departamento muy caliente vestido siempre con
abrigo . . . Esto lo lleva a publicar en 1822 su obra más famosa: La teoría
analítica del calor, donde se origina el análisis dimensional. Kelvin d escribirá
ese texto como un gran poema matemático. A los 62 años Fourier muere en
París, demostrando así que vivir en un lugar sobrecalentado no proporciona
una longevidad fuera de lo común.
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635
COMENTARIOS
Comentarios
"Un matemático que no tenga algo de
poeta no será nunca un matemático
com'pleto",
Weierstrass
1
= VT = Y(-1 ) ( -1) = ii = i
2
= - 1 (?)
El origen de los números se parece al origen del mito, El hombre empieza a
contar y empieza a dominar la naturaleza, Galileo llega a afirmar que la naturaleza está "escrita en lengua matemática". El arte, la belleza de la verdad,
la armonía y la proporción se fusionan en la matemática. Es en sí misma fondo
y forma, herramienta y meta, búsqueda y hallazgo, coronamiento y base,
intuición y empirismo.
Estamos en el momento en el que la matemática occidental penetra en los
mundos simbólicos del espacio, amplifica y espiritualiza la teoría de las funciones y la teoría de los invariantes (ciertas propiedades del espacio, inalterables a pesar de las transformaciones).
Paradoja.
Hagamos: ln (-1) = x
entonces: ln(-I/=2ln(-I)=2x
además: ln(-1/=ln(I)=0
Concluimos: 2x
:. ln(-I) = 0,
=
°
(?)
Propiedades metafisicas del número 8
Representa el principio de la evolución y de la involución, de la luz y de la
oscuridad, de lo elemental y de lo trascendentaL Pitágoras lo llama armonía
del Universo, inspiración divina, justicia. Representa la moderación, la evidencia de lo verdadero, la equidad y la ecuanimidad.
Numeración romana (aproximadamente 200 A.C.)
1
I
5
10
v x
50
100
500
1000
L
C
D
M
10000
CCI:):)
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636
SERIES DE FOURIER
La Torre de Brahma
En el templo de Benarés se
guarda la bandeja de cobre en
la que están insertadas tres
agujas de diamante, más finas
que el cuerpo de una abeja. En
el momento de la Creación,
Dios puso 64 discos de oro puro
en una de las agujas, ordenados
de mayor (el que está sobre la
bandeja) a menor. Es la Torre
de Brahma. Los sacerdotes del templo, día tras día, mueven los discos haciéndolos pasar de una aguja a otra, siguiendo las leyes fijas e inmutables de
Brahma: el sacerdote en turno no debe mover más de un disco a la vez y no
puede ponerlo encima de uno de menor tamaño. El día en que los 64 discos
hayan sido trasladados de la aguja en la que Dios los puso al crear el mundo
a otra aguja, ese día la Torre, el templo y todos los brahamanes se derrumbarán, quedando reducidos a ceniza, y el mundo desaparecerá.
El número de traslados necesarios para que se cumpla la profecía es:
Suponiendo que los sacerdotes realicen un cambio por segundo y trabajen
las 24 horas del día, durante los 365 días del año tardarían 58454204609
siglos, más unos 6 años, si no se equivocan ...
----~--~--~~-~~~~==~~==========~~~---------------~======~~
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DE FOURIER
637
COMENTARIOS
e Benarés se
a de cobre en
sertadas tres
te, más finas
una abeja. En
la Creación,
s de oro puro
jas, ordenados
está sobre la
. Es la Torre
iscos haciénutables de
a la vez y no
los 64 discos
ear el mundo
s se derrumda es:
HORIZONTALES
1. Atascarán,
5. Idioma. Parte delantera
enredarán.
musical.
República
para ani7. Sí.ubolo del argón.
muy dto
(en plural).
Oxido de hierro
de Africa.
8. Saturemos,
atiborremos,
abarrotemos.
4. Astilla res inosa que se usa para iluminar. Bizcocho, pasta de harina y azúcar.
9. Vocal. Parte de la física que estudia
las variaciones de la atmósfera.
5. Símbolo del oxígeno. Físico-matemático
francés (1768-1830). Cinco.
10. Conjunción copulativa. Consonante.
Río de Europa (es parte de la frontera
de Francia, Bélgica y Holanda). Símbolo de
unión en la teoría de conjuntos.
6. Explicación de un texto oscuro o difícil. Ser fantástico con figura de enano.
11. Piezas de hierro largas y delgadas
con cabeza y punta. Preposición que indica
carencia.
7. Vocal. Símbolo del Sodio. Aguas sólidas.
8. Nave. Admiraciones,
o y trabajen
8454204609
6. Recipiente donde se pisa la uva. Tiene.
Letras de la palabra risa.
2. Tonto, idiota. Interjección
mal. Vocal. Noventainueve.
3. Nota
Cincuenta.
de las naves.
asombros.
CRUCIGRAMA
9. Símbolo del Aluminio. Dirigirse. Trajes
de los magistrados.
10. Pase la vista por lo escrito. Volcán
de Costa Rica. Uno en números romanos.
1
1
2
3
11. Escapáis, marcháis.
Todavía.
4
.5
VERTICALES
6
7
1. Perpendicular.
8
2. Baje, desmonte, descienda. Consonante.
Símbolo de los números cardinales transfinitos.
9
10
11
3. Interjección
(se usa repetida).
nico, ronco. Símbolo del oro.
Afó-
4. Vocal. Vocal. Se atreve. Una de las
rayas del espectro solar, según Fraünhofer
en la región del añil.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
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9
Métodos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales
A veces no es posible obtener la solución de una ecuación diferencial, pero sí
se puede encontrar una satisfactoria aproximación. Estas aproximaciones se
h~llan usando métodos numéricos, de los cuales se van a mencionar los más
utilizados.
Método de Euler
Considera aproximar la solución de la ecuación:
y' = f(x, y), con y(xo} = Yo, Xo < x < Xn •
y
=
h
Yo
Xo
Para ello la curva solución que pasa
por el punto (xo, Yo), se sustituye por
segmentos lineales que son tangentes
a la curva en uno de sus puntos frontera.
La solución aproximada en x = b,
se encuentra dividiendo el segmento
(xo, xn ) en n partes iguales de longitud h, de tal forma que h
xi +¡ - Xi
para i = 0, 1, ... , n. El valor aproximado de la solución buscada en los
puntos Xi se designará por Yi. Se puede encontrar un punto
(x¡, y¡)
(xo + h, y¡)
y así sucesivamente para (X2' Y2),
(X3' Y3), etc.
y¡
Y2
X2
x
=
Figura 9.1
[639]
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640
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
De la ecuación de una recta tenemos:
Yl - Yo
-(xo ---,---,=Yo,
+h o) - x
o
Y1
= Yo + hy~
En forma análoga:
y en general:
xn
=
Xo
+ nh
EJEMPLO 1
Dado el problema con valor inicial:
y'
= x - y + 1, para : y(O) = 1 Y O < x < 1,
mediante el método de Euler obtener una aproximación de la solución con:
h = 0.1 Y N = 10.
Sea ¡(x, y)
= x - y + 1, donde
f(x n, Yn)
= Xn - Yn + 1
entonces
Para
h
Yl
=
0.1
Y n
=
O, 1,2,3, ...
= Yo + (0.1) (xo =
1
=1
+ (0.1) (O -
Yo
1
+ 1)
+ 1)
para
x
=
0.1
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RENCIALES
641
MÉTODO DE EULER
y-y
z-
1
+ (OI)(x
y+1)
1
1-
= 1 + (0.1)(0.1
= 1 + 0.01
-
1
+
1)
= 1.01
Y3
= Yz
+ (0.1) (Xz
= 1.01 +
-
Yz
+
(0.1) (0.2 -
para
Xz
= 0.2
para
X3
= 0.3,
1)
1.01
+
= 1.029
1)
etc.
Veamos todos los resultados en la siguiente tabla:
,
Xn
Yn
Valor real
Error
Porcentaje de
error relativo
0.0
1.00000
1.00000
0.00000
0.00
0.1
1.00000
1.00483
0.00483
0.48
0.2
1.01000
1.01873
0.00873
0.85
0.3
1.02900
1.04081
0.01181
1.13
0.4
1.05610
1.07032
0.01422
1.33
0.5
1.09049
1.10653
0.01604
1.45
0.6
1.13144
1.14881
0.01737
1.51
0.7
1.17829
1.19658
0.01829
1.53
0.8
1.23046
1.24932
0.01886
1.51
0.9
1.28742
1.30656
0.01915
1.46
1.0
1.34867
1.36788
0.01921
1.40
ión con:
Donde el error relativo porcentual
=
I Error I
valor verdadero
X 100.
Aunque el error es relativamente pequeño, usando otros métodos se puede
reducir al mínimo.
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642
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
Algoritmo complltacional para resolver el ejemplo 1.
Define la función dada.
Leer:
X¡, Y¡,
Lee los valores iniciales
x¡=O y y¡=1,
el valor del incremento
h = 0.1 Y el número de
divisiones del intervalo,
h, N
N= 10.
Inicializa el contador.
Evalúa la función.
Incrementa la variable
independiente.
Calcula el siguiente valor.
n=n+1
Escribir:
X n,
Yn; n = 1, N
Pregunta si llegó al último valor del intervalo.
Da los resultados.
Método de Euler mejorado
Aplipa la siguiente fórmula llamada también fórmula de Heun :
La parte y¡
= Yo + h f(xo, Yo) predice un valor de y(x¡)
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643
MÉTODO DE EULER MEJORADO
Y Yl
h
+ Yo + 2
[f(x o, Yo)
+ f(xz, Yo + h f(x o, yo)]
corrige la estimación anterior.
EJEMPLO 2
Establecer el algoritmo que aproxima la solución de la ecuación del ejemplo 1 por el método de · Euler mejorado.
BásÍcamente se usa el mismo diagrama de flujo, sustituyendo la instrucción que calcula el valor de Yn + 1 •
Método de Taylor
El desarrollo de una función en serie de Taylor es:
y(x)
=
y(a)
+ y'(a)
(x - a)
11
+ y"(a)
(x - aJ2
21
.,
(x - ar
¿yen) ( a ) - - n=O
nI
+ .. '
donde y(x) tiene derivadas de todos los órdenes y converge en Ix -
al < R.
El algoritmo apropiado para calcular una aproximación de Yn'T 1 de orden pes:
+ y{P) -h
n
p
pI
EJEMPLO 3
Aplicar el método de Taylor de orden 3 a la ecuación:
y'
=x r
y
+ 1,
y(O)
= 1,
O ~ x ~ 1,
h
= 0.1,
N
= 10
-----
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644.
Como
MÉTODOS NUMÉRICOS
y'
=x -
y
+
PARA RESOLVER
=1-
1, entonces: y"
y'
ECUACIONES
DIFERENCIALES
=1-
-
x
+y
MÉTODO DE RI
Método de
1
= -x+y
Es uno de lo
método proe
pecho el mé
orden.
Por consiguiente:
y~
= Xv
-
Yo
+1
=0-1+1
Para eneo
=0
y luego
y"
=
-Xo
= -0+
+ Yo
se usa la sigu
1
=1
entonces
y¡
= Yo
+ y~ (0.1) + y"
o
=1+
0(0.1)
+
(O.IY
2
donde
1(0.005)
= 1.005
Los sucesivos resultados se muestran en la siguiente tabla:
Yn
1.00000
Valor real
Error
Porcentaje de
error relativo
1.00000
0.00000
0.00
0.1
1.00500
1.00483
0.00017
0.02
0.2
1.01902
1.Q1873
0.00029
0.03
Xn
0.0
0.3
0.4
1.04112
1.04081
0.00031
0.03
1.07071
1.07032
0.00039
0.04
0.5
1.10699
1.10653
0.00046
0.04
0.6
1.14932
1.19713
0.04
0.00055
0.05
0.8
1.24990
1.14881
1.19658
1.24932
0.00051
0.7
0.00058
0.05
0.9
1.30715
1.30656
0.00059
0.05
1.0
1.36847
1.36788
0.00059
0.04
Tomando más términos de la serie se obtienen mejores aproximaciones. Este
método se ajusta más al valor real que el de Euler.
EJEMPL
Mediante
con h
=O
Tomando
k¡=(O.1)
= (0.1)
=0
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645
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Método de Runge-Kutta
Es uno de los procedimientos más exactos, sobre todo el de cuarto orden. El
método procura coincidir con un desarrollo de Taylor hasta el término h4 • De
pecho el método de Euler es una aproximación de Runge-Kutta de primer
orden.
Para encontrar la solución aproximada del problema con valor inicial:
y'
= f(x , y) con y(xo) = Yo,
se usa la siguiente fórmula:
1
= Y n + -6
Y n+l
1
k3 = h f(x n + -- h, Yn
2
(k 1
1
+-
2
+ 2k + 2k + k )
2
3
4
k2)
EJEMPLO 4
Mediante el método de Runge-Kutta obtener la solución aproximada de:
y'
con h
=x -
y
+ 1,
y(O)
= 1.
O::;:;:; x ::;:;:; 1
=0.1 Y N = 9
Tomando n
= O, se obtienen primero los valores de k¡, k 2, k 3 - Y k4.
k¡ = (0.1) f(xo, Yo)
= (0.1) (xo - Yo + 1)
=0
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646
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
1
1
2
2
+ -(0.1), Yo + -
k 2 = (0.1) f[ito
1
+-
= (0.1) (xo
(0.1) - Yo
2
(O)]
+ 1)
=0.005
k3
=
1
+-
(0.1) f(xo
= (O.1)(xo
2
+
(0.1), Yo
1
+-
(0.005)
2
1
1
2
2
-(0.1) - Yo - -
(0 .005)
+
1)
= 0.00475
k4
=
(O.1)f(xo
+ (0.1), Yo + 0.00475)
= (0.1) (xo + 0.1 -
Yo - 0.00475
+ 1)
= 0.009525
Entonces:
1
= 1 + - (O. + 0.01 + 0.0095 + 0.009525)
6
= 1.0048375
Se observa que este valor coincide con el real hasta la quinta ·c ifra decimal.
Tomando n
1,2, ... , 10, se obtienen los demás valores, como se ve en
la siguiente tabla:
=
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IFERENCIALES
647
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Xn
Yn
Valor real
Error
Porcentaje de
error relativo
0.0
1.00000
1.00000
0.00000
0.00
0.1
1.00483
1.00483
0.00000
0.00
0.2
1.01873
1.01873
0.00000
0.00
0.3
1.04081
1.04081
0.00000
0.00
0.4
1.07032
1.07032
0.00000
0.00
0.5
1.10653
1.10653
0.00000
0.00
0.6
1.14881
1.14881
0.00000
0.00
0.7
1.19658
1.19658
0.00000
0.00
0.8
1.24932
1.24932
0.00000
0.00
0.9
1.30656
1.30656
0.00000
0.00
1.0
1.36787
1.36788
0.00001
0.0007
Si tomáramos ocho cifras decimales, el error ya es apreciable, pero no sig1.24932896 es el valor
nificativo. Sea, por ejemplo, n
7, entonces: Y8
exacto en la solución y
x + e-x, para x
0.8. Utilizando el método de
Runge-Kutta, se obtiene: Y8
1.24932928, con error
0.00000128 Y
0.00010245% de error relativo. Esto muestra la eficacia del método
=
a decimal.
se ve en
=
=
=
=
=
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, 648
MÉTODOS
Comparación
NUMÉRICOS
de los métodos
y'
=x-
y
+ 1,
PARA RESOLVER ECUACIONES
utilizados
y(O)
= 1,
para la solución
I
O ~ x ~ 1,
DIFERENCIALES
aproximada
de:
I
MÉTODO DI
I
Algoritmo
h =0.1
Xn
Euler
Taylor
0.0
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.1
1.00000
1.00500
1.00483
1.00483
0.2
1.01'000
1.01902
1.01873
1.01873
0.3
1.02900
1.04112
1.04081
1.04081
0.4
1.05610
1.07071
1.07032
1.07032
0.5
1.09049
1.10699
1.10653
1.10653
0.6
1.13144
1.14932
1.14881
1.14881
0.7
1.17829
1.19713
1.19658
1.19658
0.8
1.23046
1.24990
1.24932
1.24932
0.9
1.28742
1.30715
1.30656
1.30656
1.0
1.34867
1.36847
1.36787
1.36788
Runge-Kutta
Valor real
Depe
máquina
instrucci
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649
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Algoritmo computacional para resolver el ejemplo 4.
Leer: xo, Yo, h, N
k¡ = h f(x n , Yn)
k2
= h f(x n + h / 2, Yn + k¡f2)
k3 = h f(x n
k4
= h f( X n
+ h/ 2, Yn + kd2)
+ h, Yn + k 3 )
Escribir:
Xn, Yn
Dependiendo del lenguaje de máquina, Basic, Fortran, Pascal, etc., y de la
máquina misma, IBM, NCR, APPLE, HP, DIGITAL, etc., se establecen las
instrucciones correspondientes.
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650
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACION"ES DIFERENCIALES
Resumen
Métodos numéricos
Para resolver y'
= f(x, y), con
y(xo)
= Yo,
Xo ~ x ~ x n y h
=
Método de Euler
Método de Euler mejorado
Yn+ 1
=
Yn +
h
2" [f(x n, yJ +
f(x n+ 1 ) Yn
+
hf(x n, Yn)]
Método de Taylor
-
Yn+1 -
Yn +'
Yn h +
h2
h3
"
'"
Yn 2'.
+ Y.
n 3' +
Método de Runge-Kutta
Yn+l
donde
= Yn + (k
j
+
2k 2
+
2k3 + k) / 6
k 1 = hf(xn, Yn)
k 2 = hf(xn + h / 2, Yn + k¡f2)
k3
= hf(x
n
k4 = hf(x,.
+ h / 2, Yn + kd 2)
+ h , Yn + k3).
hP
.. . + Yn(p) -p.,
Xn -
n
Xo
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DIFERENCIALES
AUTOEVALUACIÓN
9
651
Autoevaluación
9
1. Obtener
una aproximación por el método
males de la solución de las ecuaciones:
de Euler, con cinco cifras deci-
n
a) y'=2xy,
b) y'
y(I)=1,
= 1 + v'.
h=O.1,
y(O) =0,
N=5
= 0.1,
h
N
2. Utilizar el método de Euler mejorado
de las ecuaciones
3. Hallar
mediante
del ejercicio
=5
para obtener
la solución aproximada
1.
la aproximación de la solución de las ecuaciones del ejercicio
el método de Taylor, tomando tres términos del desarrollo.
4. Usar el método de Runge-Kutta
a) y' =2xy,
y(I)=
b) y'=I+y2,
=
c) y'
(x
males.
y(O)
+y
- 1j,
1,
para:
h=O.1,
= O,
N=5
h=O.l,
y(O)
= 2,
N=5
h
= 0.1,
N
= 5,
con cuatro
cifras deci-
Respuestas de la autoevaluación 9
la. 2a. 3a. 4a.
y'
= 2xy, y(1) = 1
Xn
Euler
Euler
mejorado
Taylor
Runge-Kutta
Valor real
1.0
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.1
1.20000
1.23200
1.23000
1.23367
1.23368
1.54788
1.54267
1.55270
1.55271
1.2
1.46400
1
1.3
1.4
1.81536
1.98314
1.97277
1.99371
1.99372
2.28735
2.59077
2.57210
2.61169
2.61170
1.5
2.92781
3.45091
3.48520
3.49030
3.49034
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652
MÉT(imOS
NUMÉRICOS
PARA RESOLVER ECUACIONES
DIFERENCIALES
lb. 2b. 3b. 4b.
y'
= 1 + y2, y(O) = O
Xn
Euler
Euler
mejorado
Taylor
0.0
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Runge-Kutta
0.00000
0.1
0.10000
0.10050
0.10000
0.10033
0.10033
0.2
0.20100
0.20304
0.20201
0.20270
0.20271
0.3
0.4
0.30504
0.30982
0.30819
0.30933
0.30934
0.41434
0.42342
0.42106
0.42280
0.42280
0.5
0.53151
0.54704
0.54375
0.54629
0.54630
4c.
y'
\
Valor real
= (x +
y -
1)2, y(O)
=2
Xn
Runge-Kutta
0.0
2.0000
2.000000
0.1
2.1230
2.123048
0.2
2.3085
2.308498
0.3
0.4
2.5958
2.595765
3.0649
3.064963
0.5
3.9078
Valor real
3.908223
BIOGRAFÍA
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653
BIOGRAFÍA
Niels Henrik Abel (1802-1829)
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654
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
Niels Henrik Abel
El más célebre de los matemáticos escandinavos: Niels Henrik Abel, fue hijo
del pastor de un pueblito noruego. Al enterarse de su predisposición para las
matemáticas sus profesores le aconsejaron, cuando tenía apenas 16 años, la
lectura de los grandes libros, incluyendo las famosas disquisitiones de Gauss.
Durante estas lecturas, Abel se da cuenta que el teorema del binomio está
demostrado solamente en el caso de unos exponentes racionales y lo extiende al
caso general. A los 18 años, su padre muere y Abel queda como responsable
de la familia. En esta misma época está buscando la solución de la ecuación
de grado 5 y piensa por un momento haberla encontrado. Pero descubre su
error y en 1824 publica una memoria titulada: Sobre la resolución algebraica
de las ecuaciones, en la cual demuestra que no existe tal solución expresable en
función de los coeficientes, acabando así con este problema.
Convencido de la importancia de sus trabajos, Abel visita a Gauss en
Alemania. Desafortunadamente, al enterarse es~e último de que el joven· le
quiere presentar algo relacionado con la ecuación de grado 5 se enoja y se
niega a recibirlo · (cabe comentar aquí que Gauss con frecuencia recibía solu. ciones, todas equivocadas desde luego) . Poco más tarde, busca atraer la atención
de los matemáticos parisinos como Cauchy y Legendre, pero sin éxito.
Debido a su pobreza, sus condiciones de vida son pésimas y Abel muere en
1829 de tuberculosis. Un manuscrito dejado con Cauchy reaparece en 1841 y
resulta contener trabajos de la mayor importancia sobre las funciones elípticas.
De esta manera, el nombre de Abel empieza a pronunciarse y a modo de
arrepentimiento hacia el noruego que murió pobre y desconocido, la matemática
perpetúa su existencia a través de expresiones como el teorema de Abel , las
funciones de Abel, los grupos abelianos, etc.
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655
COMENTARIOS
Comentarios
Sistema, poeta, sistema.
Empieza por contar las piedras,
luego contarás las estrellas.
León Felipe.
Paradoja
La regla de los signos nos impone la siguiente igualdad
( - 1)/ 1
= 1/ ( - 1).
Entonces afirmamos que la razón del menor de dos números al mayor de ellos
es igual a la razón del mayor al menor. (?)
Anécdota
Leibniz vio en París la máquina d e calcular de Pascal y diseñó otra mucho
más perfecta, la primera qu e también realizaba multiplicaciones y divisiones;
sin embargo, ningún m ecánico pudo monta r con la debida pulcritud un apara to
tan complicado, a p esar d e que el mismo Leibniz invirtió nada m enos que
24 mil táleros en el proyecto.
Propiedades metafísicas del número 10
Representa el principio de la periodicidad, el de causa y efecto, el d e nutrición
y renovación, el de lo infinito en potencia. Pitágoras lo llama : mundo, cielo,
destino, e ternidad, alfab eto y aritmética, porque comprende todos los sonidos
y todos los números . E s el principio viviente en su progresión . Representa lo
trascendente en el pensamiento y la dedicación en la mano de obra.
Numeración binaria. Siglo XVII D .C.
La base es 2 y los elementos son O y 1.
Ej : E l número decimal 3478 en base dos es el número:
110110010110
¿Cómo se obtuvo?
D iv idi end o sucesivamente .5 478 entre ? y ano ' 8mJo los res in.wJs desde el últ imo
al prim ero.
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656
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
El número binario 1010101 en base decimal es: 85
~
3478
14
1739
13
19
1
07
18
O
~
869
06
09
1
LL
434
03
14
O
~
217
017
LL
108
08
1
LL
54
14
O
O
3478dOS
= 110110010110
~
27 ~
07
13 ~
1
1
O 3
1
6LL
l.L
1
Escribir 1010101 en numeración decimal.
2° = 1
21 = 2
= 4
23 = 8
22
24 = 16
2 5 = 32
26
=
64
(1 X 2 6 )
64
+
O + (1 X 24)
+
16
Comprobación: 85
05
1
+ O+
+
(1 X 22)
4
+ O + (I
+
X 2°) =
1
= 85
~
42 ~
02
21 ~
O
1
10 ~
O 5 ~
1
2
O
LL
1
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657
COMENT ARIOS
HORIZONT ALES
1. Ecuación diferencial parcial, lineal
en el mayor orden de las derivadas que
aparecen en dicha ecuación.
2. Cincuenta . Primitivo aparato de cálculo. Socorreré, auxiliaré.
4. Conserva, desecación. Onda en el agua.
Preposición inseparable que indica prioridad.
5. Hielo en inglés. Urbes, metrópolis, riquezas. Consonante.
6. Tren. Consonante. Letra griega que
representa una constante de los círculos.
3. Coge. Consonante. Resonancias, repeticiones. Uno. Gran duque de Moscovia.
4. Solitaria, única. Adulación,
Salgo, emprendo un viaje.
halago.
. 5. Endereza, atiesa. Enfermedad, perjuicio. Aproximan, trasladan.
6. Símbolo del Fósforo. Medida, equilibrio, comparación. Símbolo químico del
Molibdeno.
7. Goma elástica, vulcanizada, negra y
dura para hacer aislantes. Símbolo del Oxígeno. Ofuscar, tapar, perder la vista.
8. (Al revés) mamíferos rumiantes. Ecuación cuya expresión matemática es
z,"x
Ztt. Cercado, valla.
=
7. Línea isobárica. País, patria.
8. Relativo a la nariz. Familia de algas
en los mares cálidos.
9. Dícese de la ecuación de Laplace
+ Zyy O, en plural. Lancha, canoa.
=
Zxx
10. Preparar, arreglar. Uno de los puntos cardinales. Tienen.
11. Matemático francés (1763-1813), autor de: Mecánica analítica. Mil cincuenta.
Lía, anuda.
12. Interrogación, figura retórica. Dosel,
carpa, lona. Símbolo del Nitrógeno.
13. Especie de sera. Uno de los palos de
la baraja española. Antiguamente: adoro.
9. Suprimirá. Lengua de tierra que une
dos continentes (plural).
CRUCICRAMA
10. Puñal. Barniz. Hermosa.
11. Habitante de la Tierra del Fuego.
Loro, cotorra. Sino, destino, suerte.
12. Suerte, sino, fatalidad. Símbolo del
Azufre. Vate. Dios escandinavo.
13. Ester de la glicerina y del ácido valérico, existe en el aceite de delfín. Pequeño de estatura.
VERTICALES
1. Aula, asignatura. Gravoso, oneroso. Letras de ave.
2. Vocal. (Al revés) forma natural del
lenguaje . Calma, tranquilidad.
3. Matemático noruego (1802-1829). Encaminarse. Gusano. Símbolo del Aluminio.
1
2
3
4
5
6
7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
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8
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10
11
12
13
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http://carlos2524.jimdo.com/
Bibliografía
Ayres, F. Ec'Uaciones diferenciales, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1969.
Boyce, DiPrima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 3a. edición, Limusa, 1980.
Bronson, R. Ecuaciones diferenciales modernas, Serie Schalllll . MeGraw-Hill,
1976.
Cantú, L. L. Electricidad y magnetismo para estudiantes de ciencias e ingeniería, 2a. reimpresión, Limusa, 1980.
Courant, R., Robbins, H. ¿Qué es la matemática?, Sa. edición, Agúilar, 1971.
De Guzmán, M. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría de estab'ilidad y
control, Alhambra, 1980.
De Guzmán, M., Peral, l., Walias, M. Problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, Alhambra, 1978.
Demidovich, B. Problemas y ejercicios de análisis matemático, 6a. edición,
Paraninfo, 1978.
Derrick/Grossman. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Fondo Educativo
Interamericano, 1984.
Dettman, J. W. Introducción al álgebra lineal y a las ecuaciones diferenciales,
McGraw-Hill, 1975.
Draper~
J.,
Klingman,
J.
Mathematical Analysis, 2a. edición, Harper & Row,
1972.
Finizio & Ladas. An introduction to differemial equations, with difterence
equations, Fourier series, and partial differential equations, Wadsworth, Inc.,
1982.
Iglesias,
J.
La arcana de los números, 7a. edición, Kier, 1978.
Karlson, P. La magia de los números, 2a. edición, Labor, 1966.
Kells, L. M. Ecuaciones diferenciales elementales, 5a. edición, McGraw-Hill,
1976.
[659]
http://carlos2524.jimdo.com/
660
BIBLIOGRAFíA
Kiseliov, A., Krasnov, M., Makarenko, G. Problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, Mir, 1968.
Kreider, Kuller, Ostberg. Ecuaciones diferencwles, Fondo Educativo Interamericano, 1973.
Kreyszig, E. Advanced enginee'ring mathematics, 4a. edición, John Wiley &
Sons, 1979.
Newman, J. R. Sigma. El mundo de las matemáticas, Seis tomos, 8a. edición,
Grijalbo, 1980.
Piskunov, N. Cálculo diferencial e integral, tomo II, 5a. edición, Mir, 1980.
Poincaré, H. Filosofía de la ciencia, Conacyt, 1981.
Rainville, E., Bedient, Ph. Ecuaciones diferenciales, 5a. edición, Interamericana,
1977.
Simmons, F. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas,
McGraw-Hill, 1977.
Sokolnikoff, l. S., Redheffer, R. M. Mathematics of physics and modern engineering, McGraw-Hill, 1958.
Spiegel, M. R. Applied differential equations, 3a. edición, Prentice-Hall, 1981.
Spiegel, M. R. Transformadas de Laplace, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1971.
Wylie, C. R. Differential equations, McGraw-Hill, 1979.
Zill, D. A first course in differential equations with applications, 2a. edición
PWS. Wadsworth, 1982.
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,
Indice analítico
Abel,654
Algoritmo:
método de Euler, 642
método de Runge-Kutta, 649
Anécdotas, 279, 543
Aplicaciones:
Biología, 166
Cable colgante, 312
Caída libre, 293
Circuitos eléctricos, 174, 179, 298,527
Flexión de vigas, 302, 530
Física, 138, 171
Geometría, 129, 283
Interés compuesto, 183
Mezclas, 176
Osciladores, '2B7
Péndulo, 313
Química, 160
Temperatura, 171
Autoevaluación:
1. 54, 2. 118
4. 270, 6. 417
7. 536, 8. 627
9. 651
Bemoulli, 186
Bessel, 424
Braquistócrona, 188, 190
Campo direccional, 36, 53
Cauchy, 125
Convergencia absoluta, 325, 413
Convolución, 518, 533
Dependencia lineal, 206, 268
Desarrollo de funciones en:
series de cosenos, 594, 626
series de senos, 595, 626
series de potencias, 339, 412
Desarrollo de funciones no periódicas en
series de Fourier, 615
Diferencial total, 82
Cauchy-Euler, 222, 269
Clairaut, 156
Lagrange, 152
Definición, 23, 53
De orden primero, 65
orden superior, 195
con coeficientes constantes, 234, 269
homogéneas, 218
lineales, 202
reducibles, 196, 267
De variables separables, 67, 116
Exacta, 82, 83, 117
Homogénea, 76, 77, 116
Lineal:
De primer orden, 103, 117
segundo orden con coeficientes constantes, homogénea, 219, 268
no homogénea, 241, 270
Homogénea, 103
No homogénea, 103
Ecuación diferencial parcial , 650
Ecuación indicial, 373, 415
Euler, 278
Existencia y unicidad de la solución, 50, 54,
218, 268, 359, 414
Factores integrantes, 94, 117
Fórmulas de Euler, 560, 625
Fourier, biografía, 635
Frobenius, 373, 415
Función analítica, 346, 413, 414
de orden exponencial, 441, 532
de periodo arbitrario, 605, 626
escalón unitario, 491, 532
gamma, 402, 416
impar, 587, 595, 625, 626
par, 587, 5~, 625, 626
periódica, 514, 532, 548, 625
seccionalmente continua, 440, 531
Gauss, 317
Grado de una ecuació~ diferencial, 23, 53
Ecuación auxiliar, 219, 268
de Cauchy-Euler, 223, 269
de orden arbitrario, 235, 269
Ecuación diferencial:
Clasificación, 23, 54
De Bemoulli, lSÓ
Bessel, 401, 416
Independencia lineal, ro6, 209, 268
Integrales, cuadro de, 551
Isoclin~s, 37, 53
Laplace, 542
Leibniz, 13
[661]
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íNDICE ANALíTICO
662
Método de coeficientes indeterminados, 242
Frob enius, 373, 415
variación de parámetros, Z55, 270
Métodos numéricos:
Desarrollo de Taylor, 643, 650
Euler, 639 , 650
Euler mejorado, 642, 650
Runge-Kutta , 645, 650
Movimiento amortiguado, 288
Movimiento armónico simple, 'lJ37
Numeración árabe, 543
babilónica, 126
binaria, 655
egipcia, 62
griega, 319
hebrea, 187
hindú, 4'lJ3
maya, 280
romana, 636
Orden de una ecuación diferencial, 23, 53
Ortogonalidad, 43, 54, 558
Oscilaciones, 287
Paradojas, 426, 633, 655
Polinomios homogéneos, 75
Principio de superposición, 205, 241, 2fJ7
Problema con valor inicial, 30, 53, 217,
268
Propiedades metafísicas del número:
uno , 62
dos, 126
tres, 187
cuatro, 280
·cinco, 318
seis,4'lJ3
siete, 543
ocho, 636
Punto ordinario, 352, 413
singular, 353, 413
singular regular, 354, 413
Series de Fourier, 547, 625
convergencia, 572, 625
definición, 563
Series de términos positivos, 322, 412
Series de potencias, 325, 412
operaciones de, 347
Series trigonométrIcas, 548
Solución de una ecuación diferencial, 25,
53,204
general, 25, 53
particular, 25, 53
singular, 29, 53
Solución en series de potencias, 321, 412
en puntos ordinarios, 359, 414
en puntos singulares, 372, 415
Torre de Brahma, 636
Transformada de Laplace :
Convolución, 518, 533
de la derivada de una función, 451, 532
de la integral de una función , 455, 532
definición, 430, 531
derivada de, 477, 533
elementales, 534
existencia de, 442, 532
función escalón unitario, 492, 532
función periódica, 515, 533
integral de, 479, 533
solución de ecuaciones diferenciales
por medio de, 463, 533, 534
Traslación sobre el eje s, 473, 532
Traslación sobre el eje t, 496, 533
Inversa, 436, 531
Factores lineales, 463, 533
complejos, 467, 534
lineales repetidos, 470, 534
complejos repetidos, 474, 534
Trayectorias ortogonales, 45, 54
Unicidad de la solución, 50, 54, 218, 268,
359, 414
Volterra, 170
Reducción de orden, 196, 2fJ7
Riemann, 60
Wronskiano, 208, 268
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ANALíTICO
Soluciones de los crucigramas
412
CAPÍTULO
íal, 25,
1
CAPÍTULO
1234567891011
1,412
451,532
,532
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CRUCIGRAMAS
664
CAPÍTULO 5
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CAPÍTULO 8
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CRUCIGRAMAS
665
CRUCIGRAMAS
CAPÍTULO
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OBRAS AFINES
• Algo acerca de
105
números, lo curioso y lo divertido
Santiago Valiente Barderas
• Diccionario de matemáticas
Santiago Valiente Barderas
• Estadistica
Isabel Toledo
• Geometría y experiencias
Jesús García Arenas y Celestí Bertran I Infante
• Relaciones y geometría analítica
Antonio López Quiles, Ma. Eugenia Regueiro,
Emanuel Jinich, Ceres Santa Muñoz
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