INSTITUTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS E DE COMPUTAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA
SME0202 - Métodos Numéricos em Equações Diferenciais - Exercı́cios
Prof. Dr. Fabricio Simeoni de Sousa
Diferenças finitas
1. Calcule as aproximações de diferenças finitas usando os pontos abaixo. Compare com os
resultados fornecidos pelos códigos MATLAB/OCTAVE fdcoeffV e fdcoeffF disponı́veis no
site do livro do Leveque (http://staff.washington.edu/rjl/fdmbook/). Dê a ordem
de precisão de cada aproximação.
a) u′ (x) usando x − 2h, x − h, x, x + h, x + 2h;
b) u′ (x + h/2) usando x − h, x, x + h;
c) u′′ (x) usando x − 2h, x, x + h;
2. Aproxime a derivada de u′ (x) = sin(2x) − x2 usando a fórmula de diferenças finitas progressivas de primeira ordem com h = 0.1 e h = 0.01. Calcule o erro |D+ u(2)−u′ (2)| obtido
para cada valor de h.
3. Exercı́cio Computacional: Use os esquemas de diferença finita progressiva de primeira
ordem, diferença finita regressiva de primeira ordem e diferença finita central de segunda
ordem para aproximar as seguintes derivadas:
a) u′ (x), onde u(x) = sin(x) e x = 2.
b) u′ (x), onde u(x) = e−x e x = 1.
Use h = 10−1 , h = 10−2 e h = 10−4 . Calcule o erro absoluto da aproximação obtida em
cada caso e faça um estudo de convergência (Veja o Exemplo 1.1 do livro do Leveque).
4. Use o método de coeficientes indeterminados para calcular a1 , a2 , a3 tal que
D2 u(x) = a1 u(x) + a2 u(x − h) + a3 u(x − 2h)
seja uma aproximação de segunda ordem para u′ (x). Determine o polinômio quadrático
p(x) que interpola u em x, x − h e x − 2h. Verifique que p′ (x) é equivalente a D2 u(x).
5. Exercı́cio Computacional: Estude o comportamento da aproximação da derivada de
2
u(x) = e−x no ponto x = 3/2 quando h → 0.
6. Exercı́cio Computacional: Calcule aproximação para derivada segunda de u(x) = e−x
em x = 3/2 para h = 0.1, h = 0.01 e h = 0.001.
7. Use o método de coeficientes indeterminados para calcular a1 , a2 , a3 tal que
D∗ u(x) = a1 u(x + h) + a2 u(x + 2h) + a3 u(x + 4h)
seja uma aproximação com precisão de segunda ordem para u′ (x).
1
2
8. Use o método de coeficientes indeterminados para configurar o sistema 5 × 5 de Vandermonde que determinaria uma aproximação de diferença finita com precisão de quarta
ordem para u′′ (x) com base em 5 pontos igualmente espaçados,
u′′ (x) = a1 u(x − 2h) + a2 u(x − h) + a3 u(x) + a4 u(x + h) + a5 u(x + 2h) + O(h4 ).
9. Considere a definição dos seguintes operadores:
Du(x) = u′ (x); ∆h u(x) = u(x+h)−u(x); ∇h u(x) = u(x)−u(x−h); δh u(x) = u(x+h)−u(x−h)
além do operador identidade 1u(x) = u(x). Utilizando propriedades dos operadores e
expansão formal em série de Taylor das funções envolvidas prove as seguintes relações:
∆h ◦ ∇ h = ∇h ◦ ∆h = δ h ◦ δ h
2
2
−1
hD = ln(1 + ∆) = −ln(1 − ∆) = sinh
δ
2
10. Deduzir a partir da composição de operadores de diferenças, fórmulas de ordem 1 e de
ordem 2 para aproximar as derivadas u(3) (x) e u(4) (x). Calcule os erros de truncamento e
mostre que as aproximações encontradas possuem as ordens esperadas.
2