UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
ANÁLISIS DE EXPECTATIVAS DE MERCADO
IMPLÍCITAS EN OPCIONES FINANCIERAS
OCTAVIO MONTÚFAR COVARRUBIAS
DIRECTOR DE TESIS:
Erendida Itze Islas García
Mayo de 2011
1
UNAM – Dirección General de Bibliotecas
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INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3
Objetivo ............................................................................................................................................... 7
MARCO TÉORICO ................................................................................................................................. 9
Opciones Financieras ................................................................................................................ 9
Valuación de Opciones ........................................................................................................... 16
A. Uso de Log normales ................................................................................................. 16
B. Modelo de Black y Scholes ........................................................................................ 20
Opciones del SP500 ................................................................................................................ 23
Volatilidad Implícita .......................................................................................................................... 24
Estimación de volatilidad implícita: ........................................................................................ 24
Análisis de expectativas con la curva smile ............................................................................ 28
Interpretación del análisis de expectativas con la curva smile............................................... 29
MODELO ............................................................................................................................................ 30
Aplicación del Modelo: ........................................................................................................... 31
Cálculo de volatilidad implícita: ............................................................................................. 31
RESULTADOS y Análisis de expectativas con la curva smile ................................................... 32
C. Análisis 1 “Expectativas bearish” ............................................................................... 32
D. Análisis 2 “Expectativas bullish” ................................................................................ 34
E. Análisis 3 “Expectativas mixtas” ................................................................................ 35
Análisis de expectativas con el mapa de densidades (metodología propuesta). ............................. 37
Construcción del modelo ........................................................................................................ 38
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 49
INDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................... 50
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 51
ANEXOS ............................................................................................................................................. 52
2
INTRODUCCIÓN
Los mercados financieros son mecanismos que permiten a los agentes
económicos el intercambio de activos financieros. Estos mercados han
experimentado un crecimiento considerable en las últimas décadas.
Los mercados financieros se caracterizan por desarrollarse bajo un
ambiente de incertidumbre en el que los diferentes agentes que participan
deben tomar decisiones de inversión, gestión, administración de riesgos, entre
otros aspectos que requieren una administración eficiente de recursos, por
tanto, identificar momentos de incertidumbre es indispensable para la toma de
decisiones en cualquier ámbito.
Un instrumento derivado es un producto financiero cuyo valor se basa
en el precio de otro activo, el cual se conoce como activo subyacente. Estos
instrumentos pueden operarse en mercados organizados (como bolsas de
valores), o no organizados (entre particulares); son contratos que se liquidan a
fechas futuras y su precio está directamente ligado al del activo subyacente.
En particular, el uso de instrumentos derivados ha demostrado ser una
herramienta eficaz en la administración de riesgos. Estos instrumentos son
utilizados, entre otros fines, como una forma de protección o minimización de
los distintos riesgos a los que los agentes que participan en el mercado
financiero están expuestos. Las opciones financieras son un ejemplo de esta
clase de instrumentos, en los cuales se otorga un beneficio a su poseedor
cuando el activo de referencia alcanza valores estipulados, poniendo en juego
únicamente el valor de la prima.
El incremento en el uso de los instrumentos ha dado lugar al desarrollo
de modelos avanzados de valoración de derivados. Cuando se analiza una
opción, el rendimiento teórico asociado a dicha opción depende del valor
específico del activo subyacente en una fecha determinada, de su fecha de
vencimiento y de la volatilidad que se considera en el modelo con el que se
está valuando. Dado que el valor de estos instrumentos en el futuro es
desconocido, su precio se ve afectado por la especulación de los participantes
en dicho mercado. No obstante, si se conocen las distintas posiciones que
tienen los agentes con relación a un mismo tipo de contrato, se pueden tratar
3
de inferir las expectativas que tienen los participantes en el mercado respecto
del comportamiento del precio del activo subyacente; es decir, se puede
aprovechar la experiencia y el conocimiento que conduce a los agentes a
definir cierta postura en su intento por predecir cambios en los precios de los
activos en un futuro cercano. Esta información puede ser utilizada para tratar
de identificar momentos de incertidumbre y cambios en las expectativas de los
agentes, lo que busca a su vez prever cambios inesperados en el precio del
activo.
En finanzas, los modelos de valuación pretenden estimar, a través del
uso de algunas variables conocidas, el valor futuro de un activo o de un
pasivo. Para las empresas en particular, resulta de gran importancia realizar
pronósticos sobre sus posiciones financieras futuras, de forma que puedan
hacer presupuestos más acertados. En general, a cualquier persona involucrada
en el ámbito de las finanzas, le sería útil poder conocer el comportamiento
futuro de cualquier factor financiero, como por ejemplo, el valor de un activo,
una tasa de interés, cambios en los índices inflacionarios, etc., ya que con este
conocimiento le sería posible obtener un beneficio seguro sin poner en riesgo
su capital. De lo anterior se sigue que cuando no se conocen con certeza los
flujos futuros que serán recibidos por una inversión, los inversionistas
solicitan tener un beneficio mayor al que obtendrían si los conocieran.
Los modelos de valuación de opciones financieras buscan, mediante la
realización de cálculos matemáticos y consideración de diversas variables,
obtener el valor presente de dichas opciones financieras, de tal manera que
con la información que se obtiene de ellos se puedan tomar decisiones sobre
acciones futuras que mejoren el desempeño financiero de los agentes
interesados.
En finanzas, la volatilidad generalmente se refiere a la volatilidad
histórica del precio de un activo; la cual corresponde a la desviación estándar
que presentan los precios del activo en un periodo de tiempo considerable. La
volatilidad es un parámetro considerado en todos los modelos de valuación
hasta ahora conocidos. Dicho parámetro está íntimamente ligado al resultado
obtenido por la valuación; es decir, uno de los parámetros más relevantes en la
valuación de un instrumento derivado es la volatilidad del activo subyacente.
Por esta razón, se debe tener especial cuidado con la estimación de dicho
parámetro.
4
Como se menciona en el párrafo anterior, para realizar la valuación del
modelo generalmente se utiliza la volatilidad histórica como valor del
parámetro que corresponde a la volatilidad; sin embargo, los valores históricos
pueden no ser los más adecuados para realizar la valuación, ya que es posible
que los valores obtenidos tras el uso del modelo no correspondan con los
valores de las opciones financieras realmente se cotizan en el mercado
financiero. Es necesario mencionar durante la valuación de opciones la
volatilidad histórica sirve como parámetro de comparación contra lo que el
mercado cotiza.
En particular, las decisiones de inversión siempre se toman bajo
esquemas de incertidumbre, por lo que el disponer de información adecuada
permite realizar una gestión más eficiente. Una fuente importante de
información pueden ser las mismas opciones financieras, ya que de ellas se
pueden inferir las expectativas implícitas sobre el activo referido.
Existen diferentes metodologías para el análisis e interpretación de la
información oculta en los mercados, en particular en las cotizaciones de las
opciones financieras. En este trabajo se expone una de ellas y se propone un
nuevo procedimiento. Se analiza la curva smile y su evolución, con el fin de
obtener un pronóstico de volatilidad y los cambios en las expectativas de
mercado. Adicionalmente, se propone una metodología que busca, al igual que
la curva smile, analizar las expectativas del mercado a partir del análisis de la
distribución de la volatilidad reflejada en los precios de las opciones
negociadas en el mercado. Finalmente se ilustra el valor de este tipo de
información de forma gráfica para poder ser explotada y usada como una
herramienta adicional de apoyo para la toma de decisiones.
El presente documento se desarrolla con el objetivo de proponer
una metodología que funcione como herramienta de referencia para
identificar momentos de incertidumbre en los mercados financieros. La
motivación para el desarrollo de este proyecto se origina en la facilitación
de la toma de decisiones en el contexto de crisis.
La primera parte de este trabajo pretende proveer el sustento teórico
para el desarrollo de la metodología propuesta más adelante, de forma que, sin
perder de vista que la intención del presente documento se enfoca en la
5
posible aplicación de dicha metodología, se presentan también las bases
matemáticas que justifican su uso. En la segunda parte del documento se
describe el uso de una herramienta similar a la propuesta: la curva smile1.
Esta curva busca mostrar gráficamente la volatilidad inferida a través
del análisis de los precios de los instrumentos derivados analizados para un día
en particular. Por último se presenta la herramienta propuesta, la cual, al igual
que la curva smile, pretende servir como un elemento más para la toma de
decisiones tomando como información las expectativas de los agentes que
participan intercambiando un tipo de contrato de un instrumento derivado en
particular, pero tomando en cuenta la evolución de dichas expectativas a
través del tiempo.
1
La curva smile relaciona al precio de ejercicio con la volatilidad implícita en los precios de las
opciones.
6
Objetivo
En general, en el mundo financiero se manejan dos tipos de volatilidad.
La volatilidad histórica que es una medida estadística de la fluctuación de los
precios en el pasado y la volatilidad implícita, la cual mide si las primas de las
opciones son relativamente caras o baratas de acuerdo con las condiciones del
mercado. La volatilidad implícita se calcula en función del valor actual de las
primas negociadas. La volatilidad histórica, por otro lado, constituye una
buena aproximación para tratar de entender el comportamiento del
instrumento financiero en cuestión. Es posible por tanto, basándose en ésta,
analizar cuál ha sido la volatilidad en la última semana, en el último mes, en
los últimos años, etc. Si se graficara el comportamiento de la volatilidad a
través del tiempo se podría esperar, que mientras mayor sea el plazo, la curva
se presente de una manera más “suave”.
Es de esperar por tanto, que los instrumentos que históricamente
mantienen una volatilidad alta, cuando se analicen en periodos cortos sigan
presentando volatilidades altas en comparación con otros instrumentos.
Cuando se evalúa la compra de una opción, generalmente se considera
la volatilidad histórica del instrumento financiero subyacente; sin embargo,
existe una interpretación diferente de volatilidad no asociada con el
instrumento financiero subyacente: la volatilidad implícita.
Se han planteado diferentes modelos para analizar el valor de las
opciones (a este valor se le conoce como prima), en general mayoría de estos
modelos determina precios relativamente cerca el uno del otro cuando se les
ingresan parámetros similares; es decir, la mayoría de los modelos empleados
para la valuación de opciones dará un valor similar cuando usemos las mismas
variables. En general, para la valuación de las opciones, las variables que
están involucradas son básicamente: el precio del instrumento financiero
subyacente, el tiempo hasta su expiración, el precio de ejecución, dividendos a
ser pagados por la acción, la actual tasa de interés y la volatilidad.
Es posible que la prima cotizada en el mercado difiera de la que arrojan
los modelos de valuación, esto ocurre cuando los agentes que participan en el
mercado consideran que el precio de la prima resultante de los modelos no
refleja las condiciones actuales del mercado. Si tomamos en cuenta que de
todas las variables que se ocupan para la valuación, la única que no es
conocida y que debe ser estimada mediante algún método es la volatilidad, se
7
observa que lo que ocurre es que el mercado está asumiendo una volatilidad
distinta a la volatilidad histórica.
Dado que ya se conocen los precios de las primas que el mercado está
cotizando, es posible, utilizar la ecuación de algún de modelo de valuación
para encontrar el valor volatilidad correspondiente a dicho precio. En este
trabajo se utilizará esta información para proponer una metodología de análisis
que funja como herramienta para la toma de decisiones, en función de la
volatilidad implícita por el mercado.
8
MARCO TÉORICO
Opciones Financieras
Una opción financiera es un título que brinda a su poseedor el derecho a
comprar o vender un activo a un precio determinado durante un período o
fecha prefijada. Existen tanto opciones de compra (call), que dan a su
propietario el derecho a comprar un activo en una fecha determinada a un
precio previamente pactado; como opciones de venta (put), que dan al tenedor
el derecho a vender un activo en una fecha dada a un precio previamente
pactado. El activo sobre el que se instrumenta la opción se denomina el activo
subyacente. El precio de compra o de venta garantizado en la opción es el
precio de ejercicio (strike). En un contrato de opción, las posiciones del
comprador y del vendedor ante el riesgo no son simétricas, ya que el
comprador tiene el derecho, más no la obligación, de ejercer la opción.
Por otro lado, el vendedor, a través de la recepción de un pago (prima),
asume la obligación de respetar la decisión del comprador. En Options, futures
and other derivatives (2007, 6) John Hull, quien es catedrático en la
Universidad de Toronto y una reconocida autoridad en los temas de derivados
y administración de riesgo, menciona que “Una opción da al propietario el
derecho de hacer algo, pero el propietario no está obligado a ejercer este
derecho, aunque su compra requiere un pago inicial”. Un contrato de
opciones, por lo tanto, otorga al titular el derecho mas no la obligación de
comprar o vender un activo a un precio determinado (precio de ejercicio).
Las opciones son contratos que se pueden utilizar para asegurar precios
futuros de activos en particular; o bien, simplemente para efectuar operaciones
financieras con la intención de obtener beneficios basados en las variaciones
de los precios de los activos subyacentes.
Una opción sólo es ejercida cuando genera un beneficio para el tenedor
de dicha opción, lo que ocurre para una opción tipo call, en el momento en
que el precio del activo subyacente (So)2 es superior al precio de ejercicio (K)3
2
Al precio del activo subyacente también se le conoce en la literatura como precio Spot.
9
y para la opción tipo put cuando So es inferior a K. Los beneficios obtenidos
serán iguales a la diferencia entre So y K. El precio de una opción se encuentra
en función de las posibilidades de alcanzar dichos beneficios; es decir, las
posibilidades de que el precio del activo subyacente se encuentre en diferentes
puntos por encima (para una opción tipo call)4, del precio de ejercicio.
Figura 1: Gráfica de pago de las opciones tipo call y put
Como se menciona anteriormente, Una opción financiera le da al
poseedor el derecho de hacer algo, más no la obligación de ejercer este
derecho, esto mediante un pago en el momento de la adquisición de la opción.
Existen dos tipos principales de opciones, una opción tipo call le da al
poseedor el derecho de comprar un bien en una fecha específica a un precio
determinado. Una opción tipo put le da al poseedor el derecho de vender un
bien en una fecha específica a un precio determinado. Todas estas
características son determinadas mediante un contrato, a la fecha pactada en
dicho documento se le conoce como fecha de vencimiento (maturity date), a
su vez, el precio especificado en el contrato se conoce como precio de
ejercicio o precio strike.
3
Al precio del ejercicio también se le conoce en la literatura como Strike.
En caso de tratarse de una opción tipo put, ésta se ejercerá cuando el precio del activo se encuentra por
debajo del precio del ejercicio de dicha opción.
4
10
Supongamos que una persona decide comprar una opción tipo call sobre
una acción con un precio de ejercicio de $100 y una fecha de vencimiento en 4
meses a partir de la compra. Supongamos también que el precio actual de
dicha acción es de $98 y que el precio por comprar dicha opción es de $5. En
el ejemplo descrito se podría asumir que la persona sólo ejercerá su derecho
de comprar si es que el precio de la acción sobrepasa los $100. Supongamos
que pasados los 4 meses el precio de la acción alcanza $110, si la persona
ejerce en este momento su derecho de comprar a $100, automáticamente habrá
obtenido una ganancia de $10, resultado de obtener algo con valor de $110 a
$100 (esto sin considerar el costo de adquisición de la opción de $5,
considerando dicho costo, la ganancia habría sido $5 = $110 - $100 - $5). Si
suponemos que pasados los 4 meses la acción alcanzó un precio de $103, la
persona obtendrá un beneficio de $3 sin embargo, al considerar el costo de
adquisición tendrá una pérdida de -$2 resultado de la diferencia: -2$ = $103 $100 - $5. Si la acción no alcanza un precio mayor a $100, entonces la
persona no utilizará su derecho de comprar y sólo habrá perdido lo que pagó
por comprar la opción financiera, es decir: habrá perdido $5.
La compra de una opción tipo call se hace cuando se espera que el
precio del activo subyacente incremente mientras que la compra de una opción
tipo put se hace cuando se espera que el precio baje. Si se supone que una
persona compra una opción tipo put con un precio de ejercicio de $50 y el
precio actual de la acción es de $45, la fecha de vencimiento es en 3 meses a
partir de la compra y el costo por adquirir la opción es de $7. Se espera que la
opción sólo sea ejercida sí el precio de la acción es menor a los $50 pactados
como precio de ejercicio. Si suponemos que una vez cumplida la fecha de
vencimiento el precio de la acción es de $40 tendremos que la persona habrá
obtenido una ganancia de $10 si considerar el costo de la opción (la ganancia
hubiera sido de $3 = $50 - $40 -$7, si consideramos el precio de la opción). Si
el precio de la acción sobrepasa el precio pactado como precio de ejercicio,
esta no es ejercida y la pérdida únicamente sería por el monto pagado por la
opción, para este ejemplo sería de $7.
Los dos tipos más comunes de opciones son: americanas y europeas.
La diferencia entre ellas nada tiene que ver con su ubicación geográfica. Las
11
opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento durante la vida
del contrato, mientras que las europeas sólo pueden ejercerse en su
vencimiento. Dadas las características de las opciones de tipo europeo, éstas
son generalmente más fáciles de analizar, por lo que normalmente para los
modelos empíricos de valuación se asume que la opción evaluada es de éste
tipo.
En todos los contratos de opciones existen dos posiciones. Se dice que
el inversionista está en una posición larga cuando es quien compra la opción y
en posición corta cuando la vende. El inversionista que está en una posición
corta recibe un pago inmediato tras la venta de la opción (la prima o costo de
la opción), sin embargo la ganancia a pérdida generada por esta opción es
inversa para ambas posiciones, es decir, una ganancia para la posición corta
implica pérdida para la posición larga. De lo anterior podemos pensar que
existen 4 tipos de posiciones en las opciones:
1.
Posición larga en un call.
2.
Posición larga en un put.
3.
Posición corta en un call.
4.
Posición corta en un put.
Si denotamos como X al precio de ejercicio de una opción tipo call y
S(T) al valor de la acción en el tiempo T, si se da el caso que S(T) > X entonces
el poseedor de la opción puede ejercerla y obtener un beneficio equivalente a
S(T) – X. Si se da el caso contrario en el que S(T) ≤ X entonces el propietario
no obtiene ganancia alguna. En el caso de que la opción fuera de tipo put y el
precio de la acción fuera menor que el precio de ejercicio, el propietario
podría ejercer la opción y generar un beneficio, es decir: si se da que X > S(T)
entonces el beneficio obtenido por ejercer la opción es X – S(T), Lo anterior
puede ser expresado como:
12
Donde C denota el monto del beneficio obtenido por la opción tipo call
y P denota el monto del beneficio obtenido por la opción tipo put.
Las opciones financieras se han vuelto muy populares y en muchos
casos hay más dinero invertido en éllas, que en los mismos activos
subyacentes a los que están ligados. Lo anterior se da por dos razones
principales: Las opciones financieras son muy atractivas para los
inversionistas tanto para especular5 como para proteger flujos financieros
futuros6. Mediante la combinación de varias posiciones un inversionista puede
protegerse contra distintos comportamientos
contratos de futuros.
Adicionalmente a esto existen modelos sistemáticos que permiten determinar
el valor de las opciones de forma que éstas pueden ser intercambiadas con
confianza.
El valor de un derivado se encuentra definido en función de los
siguientes factores: la cotización del bien subyacente, el precio de ejercicio, la
volatilidad, los dividendos y la tasa de rendimiento del activo. En general, al
realizar la valuación se considera un escenario neutral al riesgo7, por lo que se
utiliza la tasa de interés libre de riesgo8. Los precios de las opciones se
calculan mediante la tasa libre de riesgo y la tasa de rendimiento esperado, por
lo que la información que se obtiene de éstas refleja las expectativas del
mercado en un escenario neutral al riesgo. En general se supone que la
mayoría de los inversionistas son adversos al riesgo y que potencialmente
tienen diferentes expectativas a las de un “mundo neutral al riesgo”.
Los precios de las opciones que arrojan los modelos de valuación que
consideran la tasa libre de riesgo, son precios que consideran un escenario
5
Realizar operaciones esperando obtener un beneficio con el cambio de los precios.
Ingresos o Egresos ya considerados en un presupuesto.
7
Un individuo es neutral al riesgo si se muestra indiferente entre el pago esperado de una situación incierta y
la situación incierta.
8
La tasa libre de riesgo, es un concepto teórico que asume que existe una alternativa de inversión que no
tiene riesgo para el inversionista. En la práctica se utiliza el rendimiento de los Bonos del Tesoro de Estados
Unidos. Para las inversiones en pesos se utiliza como referencia de la tasa libre de riesgo la tasa de los
Certificados de la Tesorería (CETES) a 28 días.
6
13
neutral al riesgo. En general, estos precios están sesgados con respecto a los
precios futuros. Esta diferencia se atribuye a la prima de riesgo que compensa
el riesgo asumido por los inversionistas de acuerdo a determinado activo
subyacente.
Una vez introducido el concepto de prima de riesgo, éste debe
considerarse para el cálculo de los beneficios, por lo que una opción tipo call
será ejercida una vez que So sea mayor a X y sólo generara utilidad cuando So
es mayor a X más la prima de riesgo que se pagó al adquirir dicha opción. Una
opción tipo put será ejercida cuando So sea menor a X y generara utilidad
cuando So es menor a X menos la prima de riesgo.
Figura 2: Gráfica de ganancia de las opciones tipo call y put
Si suponemos que se tiene un call y un put ambos sobre el mismo
activo (S) con el mismo strike (K) y con la misma fecha de vencimiento (T).
Al final del periodo tendremos un ingreso por la venta y un gasto por la
compra, es decir se tendrá un retorno de S(T) – K, donde S(T) el precio del
activo al vencimiento.
14
Donde,
p, es el valor de una opción europea tipo put para vender una acción.
c, corresponde al valor de una opción europea tipo call para comprar una
acción.
S(T), es el valor del activo en la fecha de vencimiento de la opción.
K, es el precio de ejercicio de la opción.
Si consideramos como S(t) el valor del activo en el tiempo t, donde t < T
entonces:
Si no se cumpliera lo anterior sería posible en algún tiempo (t) “comprar
barato y vender caro” en mismo activo de manera que se puede generar una
ganancia sin riesgo alguno.
De la paridad call – put9, se sabe que no es posible realizar arbitraje10
con dos opciones del mismo tipo, dado el equilibrio que existe entre las primas
de una opción de compra y una de venta con el mismo vencimiento y precio
de ejercicio. Dicho de otra manera, la paridad call-put es una relación de
equilibrio entre las primas de opciones de compra y de venta que tienen las
mismas características.
Para una put:
Donde:
p es el valor de una opción europea tipo put para vender una acción.
c corresponde al valor de una opción europea tipo call para comprar una
acción.
S0 representa el valor actual de la acción.
D denota el valor de los dividendos otorgados por la acción al vencimiento.
9
Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 208.
Se conoce como arbitraje a la práctica de tomar ventaja de la diferencia del precio de un activo en dos o
más mercados. La utilidad se logra debido a la diferencia de precios de mercado, en otras palabras, obtener
ganancias sin riesgo o con inversión neta nula.
10
15
X indica el precio del ejercicio de la opción.
Es decir, en equilibrio, la prima de una opción put debe ser igual a la
prima de una opción call de características equivalentes menos el precio del
activo subyacente más el precio del ejercicio a valor presente más el valor
actual de los dividendos que proporciona la acción hasta el vencimiento de la
opción.
De manera alterna, comprar una opción put equivale a comprar una
opción de compra y a su vez vender la acción en el mercado.
Si se reordenan los términos se observa:
Esta igualdad señala que el comprar una opción call equivale a comprar
una opción put y comprar la acción en el mercado. Es decir, combinando
posiciones en el precio del subyacente (S0) con una opción call o put, se
obtendrá otra modalidad de opción.
Lo anterior justifica que en un “mercado perfecto”11 no se puedan
realizar operaciones de arbitraje con las primas de riesgo de las opciones
financieras, lo que constituye una condición primordial para el funcionamiento
de los mercados. De no ser así, sería posible generar utilidad con total certeza
sin importar que las condiciones que rigen dicho mercado cambien a través del
tiempo.
Valuación de Opciones
Uso de Log normales
El rendimiento de las variables financieras (descrito como el cambio del
valor a través del tiempo en términos monetarios), puede ser descrito con un
comportamiento exponencial, de forma que al aplicarle una transformación
logarítmica es posible describirlo de forma lineal. Adicionalmente a esto,
cuando se hace una transformación logarítmica cambia la interpretación de la
variable obtenida de términos absolutos a términos relativos; es decir, el
sentido de la interpretación cambia de tener un valor x a un incremento o
11
Se conoce como mercado perfecto al mercado financiero en el que la información sobre las condiciones de
lo que se negocia es la misma para todos los participantes.
16
decremento con respecto a otro valor, lo que facilita la realización de
comparaciones a través del tiempo.
Debido a que los cambios significativos del nivel de precios y el precio
de un activo nunca podrán tomar valores por debajo de cero, el uso de
logaritmos permite limitar los valores positivamente. En los activos
financieros, resulta adecuado considerar los rendimientos de los activos
tomando en cuenta la diferencia entre el logaritmo del precio spot y del
derivado en S0. De igual forma, es posible calcular el rendimiento esperado
comparando el logaritmo de cada uno de los precios potenciales en el futuro
(X) con el logaritmo del precio spot. Es decir:
Por lo general, los modelos de valuación de opciones emplean
distribuciones asimétricas para la valuación de activos, lo cual se ajusta a la
realidad, ya que la gente tiene reaccionar más rápido a cambios negativos que
a positivos. Las distribuciones lognormales se utilizan como referencia para
estas valuaciones, aunque ésto presupone que el logaritmo del precio de los
activos se distribuye como una normal.
Decimos que una variable aleatoria X se distribuye lognormal cuando
Y=logb X tiene una distribución normal con media µ y varianza σ2. Dicha
distribución presenta las siguientes características:
Función de densidad:
Esperanza:
17
Varianza:
Una variable que se distribuye lognormal puede tomar valores entre
cero e infinito y como característica principal presenta asimetría, por lo que a
diferencia de la distribución normal, su media, moda y mediana, no coinciden.
La siguiente gráfica ilustra muestra la forma de la distribución lognormal:
Frecuencia
0.8
0.7
0.6
Sigma=1
Sigma=1.2
Sigma=0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Realización de la variable
aleatoria lognormal
Figura 3: Gráfico de distribuciones lognormales
Esta distribución se utiliza frecuentemente para aproximar variables
financieras, tales como el precio de una acción y en consecuencia el
rendimiento continuo.
El método desarrollado por los economistas Black y Scholes en The
pricing of options and corporate liabilities12 constituye uno de los métodos
más utilizados para la valuación de opciones financieras. Más adelante se hará
una breve descripción del desarrollo de dicho método, el cual emplea como
uno de sus supuestos que el comportamiento del precio en las opciones
financieras se distribuye lognormal.
Si se supone que el precio de una acción evoluciona de acuerdo con un
proceso estocástico llamado Movimiento Browniano geométrico (también
conocido como proceso Wiener)13. Ello implicaría que dicho precio tiene una
12
Ver Black-Scholes (1973) “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of political
economy may/june) p.637-654.
13
Ver Campbell J.Y. , Lo A .W. And McKinlay A.C. (1997) The econometrics of financial markets” C 2 p
27, C9 p341, princenton university press
18
pendiente esperada (drift) y un cambio constante en su varianza. Sin embargo,
un modelo bajo estos supuestos no considera un aspecto esencial en los
precios de las acciones; esto es, que el inversionista requiere un rendimiento
mínimo sin importar cuál es el precio de la acción, por lo que es conveniente
reemplazar la pendiente esperada por el rendimiento esperado de dicha acción
µ, siendo éste un parámetro constante. Por lo tanto en un intervalo de tiempo
dt, el cambio esperado en el precio de la acción S es:
dS = µSdt
Es razonable considerar que en la práctica exista volatilidad durante el
intervalo de tiempo dado y que dicha variabilidad sea la misma sin importar el
precio de la acción. Esto sugiere que el cambio en la desviación estándar del
cambio en el periodo de tiempo dt debe ser proporcional al precio de la
acción, por lo que:
dS= µSdt + σSdz
Dado que µ y σ se suponen constantes y dz y dt representan los
incrementos en un proceso Wiener, al aplicar el Lema de Ito14 a la ecuación
anterior tenemos:
ln St ~ Φ [In S + (µ + ½σ 2) Τ, σ √ Τ]
De donde se puede observar que ln St se distribuye normal, por lo que
St tiene una distribución lognormal.
Como se mencionó anteriormente, la distribución lognormal posee
características que se ajustan a los eventos financieros, entre ellas, la no
simetría, ya que los agentes no reaccionan igual ante los eventos de pérdida
que a los de ganancia. Otra cualidad de dicha distribución es que no adquiere
valores negativos, lo cual resulta conveniente para la modelación de tasas de
interés o de valores de primas.
14
Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 269.
19
Modelo de Black y Scholes
El modelo de Black y Scholes asume la existencia de un portafolio libre de
riesgo cuyo rendimiento es la tasa libre de riesgo, ya que dado que el precio de
un activo y el precio del derivado relacionado con dicho activo están
fuertemente correlacionados en un periodo de tiempo suficientemente corto,
es posible diseñar un portafolio de tal manera que en el corto plazo se elimina
el efecto del proceso de Wiener15. Adicionalmente a los supuestos antes
mencionados el modelo considera lo siguiente:
µ y σ son constantes.
Es posible realizar ventas en corto16.
No existen costos impositivos.
No se efectúa pago de dividendos durante la vida del derivado.
No hay posibilidades de arbitraje.
Sólo existe una tasa libre de riesgo.
A partir de lo anterior, se deduce una ecuación diferencial que puede ser
usada para la valuación de derivados. Considerando el supuesto de no
arbitraje en portafolios libres de riesgo, la ecuación diferencial parcial de
segundo orden soluciona el modelo17.
Con las condiciones de las opciones de tipo europeo, la ecuación
anterior queda para opciones tipo call:
15
Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 285 - 288.
Las ventas en corto se realizan cuando se espera que el precio de un título baje. Se venden acciones que no
se poseen al precio actual, las cuales se piden prestadas a algún otro inversionista con quien se genera el
compromiso devolver dichos títulos en un cierto plazo y a cambio se le paga una comisión.
17
Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 287.
16
20
Y para opciones tipo put:
A partir de lo anterior se deriva el modelo Black y Scholes para valuar
opciones.
Si se supone que todos los inversionistas son neutrales al riesgo, se
puede probar que el precio de la prima “c” de la opción financiera no depende
de las preferencias de riesgo de cada agente.
De igual manera que Cox y Ross en The Valuation of Options for
Alternative Stochastic Processes, Journal of Financial Economics (1976),18 y
Black y Scholes en The pricing of options and corporate liabilities (1973) 19
muestran que las opciones pueden ser valuadas si los inversionistas son
neutrales al riesgo. Utilizando la tasa libre de riesgo (r) como tasa esperada de
rendimiento del activo subyacente (µ). La fórmula de Black y Scholes para
valuar opciones de tipo europeas es la siguiente:
C(S,T,X,r,d, σ)= S e-dt N(d1)- X e-dt N(d2)
Donde:
C: Precio teórico de una opción tipo call
S: Precio spot del activo subyacente
18
Ver J. Cox and S.A. Ross (1976) "The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes, Journal of
Financial Economics, p. 145-146.
19
Ver Black-Scholes (1973) “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of political economy
may/june) p.637-654.
21
X: Precio de ejercicio
r: Tasa libre de riesgo20
D: Tasa de dividendos
T: Tiempo al vencimiento del contrato
N(di): Función de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar
σ: Volatilidad
La fórmula anterior representa una de las fórmulas más empleadas hoy
en día en el mundo de la valuación de los instrumentos financieros. A pesar de
que el modelo matemático anterior está basado en una serie de supuestos que
condicionan su uso, en la práctica esta fórmula es altamente socorrida para
valuar todo tipo de opciones, incluso aquellas que no son de tipo europeo. Sin
embargo, el resultado obtenido puede emplearse como un precio de referencia
aproximado si no se cuenta con las herramientas o el tiempo necesario para
valuaciones más complejas.
20
Ver wall street journal: Tasa gubernamental US..
22
Opciones del SP500
El Índice Standar & Poor‟s 500 (S&P500) es considerado uno de los
índices más representativos de la situación real del mercado financiero, ya
que comprende 500 de las compañías más grandes que participan en el
mercado accionario de los Estados Unidos (400 del sector industrial, 20 de
transporte, 40 de servicios y 40 financieras). Concretamente, para no
extendernos demasiado, el índice se calcula como la media de captación,
ponderada por la participación de cada una de las empresas21.
En este trabajo se emplearán opciones sobre este índice, pues debido a
su composición, constituyen un buen indicador del comportamiento que sigue
en este momento toda la bolsa. El ejercicio se lleva acabo de acuerdo al valor
del índice SP500 vigente a esta fecha. Los contratos son de tipo americano y
se negocian en el Chicago Mercantil Exchange (CME)22
21
Si se desea profundizar más respecto a cómo está constituido el índice S&P500 se puede consultar:
http://www.standardandpoors.com/indices/sp-500/en/us/?indexId=spusa-500-usduf--p-us-l-22
ver: www.cmegroup.com
23
Volatilidad Implícita
Estimación de volatilidad implícita:
Los precios a los que se comercializan las opciones financieras se
encuentran plenamente determinados por el comportamiento del mercado.
Estos precios pueden proporcionar información relevante sobre los cambios
tanto de las expectativas como del comportamiento de dicho mercado a través
del tiempo y por ende, sobre los precios futuros de las propias opciones.
Cuando ocurre que dada una fecha de expiración de una opción existe
diferencia entre el precio (real) de dicha opción y su precio de ejercicio
(teórico), se hace notar la perspectiva de que el mercado considera la
posibilidad de que el precio del activo subyacente no sea precisamente el
precio que determinan los modelos empíricos.
Los instrumentos derivados reflejan información sobre las expectativas
que tienen los participantes de los mercados acerca del comportamiento que
tendrán los activos subyacentes relacionados con dichos derivados. Lo anterior
puede observarse en las cotizaciones de las opciones, ya que el valor de la
cotización actual se encuentra función del valor que tomará el activo
subyacente en el futuro. Así, a partir de los precios de las cotizaciones es
posible tratar de inferir las expectativas que tienen los agentes que participan
en el mercado respecto al cambio en el precio de los activos o bienes
subyacentes en el futuro.
A partir de las distintas cotizaciones que en un mismo día tiene una
opción, es posible tratar de inferir la información necesaria para construir una
función de densidad que describa el comportamiento del precio para ese bien
subyacente. Esta función refleja, para ese día en particular, la frecuencia que
corresponde a las diferentes posturas que tomaron los agentes mediante las
cotizaciones (es decir, las diferentes expectativas de los agentes referentes a
las variaciones futuras del precio del activo), lo que permite obtener
información de las expectativas del mercado para dicho activo en el futuro.
24
Bajo determinados supuestos, la información en las opciones puede ser
expresada en términos de la probabilidad de que el precio del activo
subyacente se encuentre en ciertos niveles de precios, tales estimaciones son
las funciones de densidad de probabilidad (fdp). Estas fdp no necesariamente
proporcionan las probabilidades actuales de que el precio de un activo alcance
cierto valor en el futuro, pero facilitan la interpretación de las probabilidades
provistas por la
experiencia, conocimientos y expectativas de los
participantes del mercado, quienes le otorgan diferentes valores que el activo
subyacente podría tomar en el futuro. En otras palabras, las fdp permiten dar
una interpretación a la incertidumbre reflejada por las distintas posturas que
adoptan los participantes en el mercado.
Es posible recrear una función de densidad a través de sus primeros
cuatro momentos: media, varianza, asimetría y curtosis. La asimetría muestra
la ubicación de los valores extremos respecto de la media. La curtosis mide la
concentración de los valores de la distribución con relación a la media; es
decir, muestra qué tanto las observaciones se concentran en la media o en las
colas de la distribución.
Bajo este contexto, es posible asignar valores a la volatilidad implícita.
Estos valores se obtienen a partir de precios de opciones que tienen
negociación “trading” en el mercado. A través del uso de modelos de
valuación de opciones, en este caso bajo el modelo de Black y Scholes23, es
posible percatarse que los parámetros que requieren dichos modelos son
valores conocidos (como la tasa de interés libre de riesgo, o el tiempo para
vencimiento), con excepción de la volatilidad. Al ser ésta la única variable no
observable en dicho modelo, debe ser estimada de acuerdo a las otras
variables observadas. Por tanto, es posible interpretar a la volatilidad implícita
como el pronóstico de volatilidad que el mercado asigna a un subyacente
específico. En otros términos, puede interpretarse como la expectativa del
mercado sobre la volatilidad del subyacente durante la vida de la opción.
Las expectativas que los agentes económicos tienen sobre diversos
activos o variables financieras pueden ser observados en las cotizaciones de
futuros24 y opciones. Las volatilidades implícitas proporcionan información
23
Ver página 12, Modelo de Black and Scholes
Un contrato de futuros es un acuerdo, negociado en un mercado organizado, que obliga a las partes
contratantes a comprar o vender un activo subyacente en una fecha futura con un precio establecido
previamente.
24
25
acerca de las expectativas del mercado sobre el futuro de los precios de los
activos.
A partir de los precios de las opciones es posible obtener no sólo la
media y varianza esperada del precio de algún activo, sino además las
volatilidades implícitas para los diferentes niveles del bien subyacente. A
partir de esta información es posible construir “curvas de volatilidad”. Los
cambios en las formas de las de las curvas de volatilidad implícita pueden ser
interpretados en relación a las expectativas del mercado. Esta curva refleja,
para un día en particular, la expectativa en términos de volatilidad de cada
uno de los precios esperados para ese activo subyacente al vencimiento de los
contratos. Por esta razón, a través de la curva es posible obtener información
de los cambios direccionales en las expectativas del mercado e intentar
detectar momentos de incertidumbre.
En el presente trabajo, se hará la estimación de la volatilidad implícita
considerando un procedimiento basado en la metodología de Black y Scholes
para la valuación de opciones. Para ello, se considera que el valor de la prima
(cmercado) es un dato ya conocido, de modo que sería posible tratar de despejar
la volatilidad de la fórmula de valuación para que la volatilidad fuera ahora la
variable dependiente. Sin embargo, dada la complejidad de la fórmula usada,
se plantea una salida más práctica, a través de un proceso iterativo se define
un límite de tolerancia que representa la diferencia máxima que se está
dispuesto a permitir entre el valor observado y el valor que arroja el modelo
tras haber hecho la valuación usando algún valor asignado para la volatilidad.
En otras palabras, se realiza una búsqueda iterativa a modo de “prueba y
error” hasta encontrar un valor tal que sea “suficientemente cercano” a la
volatilidad correspondiente al precio observado.25
Interpretación de la curva de volatilidad implícita “curva smile”
La curva smile es una representación gráfica de los valores obtenidos a
partir de las estimaciones de la volatilidad implícita dado un modelo
específico de valuación de opciones. En esta representación gráfica se
presenta en el eje horizontal el precio de ejercicio de la opción y en el eje
vertical la volatilidad implícita asociada a dicho nivel de precios.
25
Ver metodología para calcular volatilidad implícita página 24
26
Se le llama curva smile porque generalmente las opciones que son
negociadas en los niveles de precio conocidos como “At The Money”
(ATM)26, tienen una volatilidad implícita menor que las opciones que están
“Out of The Money” (OTM)27 o “In The Money” (ITM)28, éstos últimos son los
precios que se presentan en los extremos del gráfico.
Figura 4: Gráfico volatilidad implícita contra precio de ejercicio
Dado que se cuenta con un número finito de observaciones, para
generar un gráfico como el que se encuentra en la imagen es necesario
interpolar el resto de los puntos que describen la curva.
A continuación se hará una descripción de la curva smile, con la
intención de dar una interpretación a los cambios que ésta presenta a través
del tiempo. La dispersión en la curva refleja una mayor probabilidad de
alcanzar valores extremos en los niveles del activo subyacente. A través de
este fenómeno es posible inferir un mayor o menor grado de incertidumbre,
cuando se observen incrementos o decrementos en la amplitud de la curva. La
asimetría puede mostrar un cierto sesgo en las expectativas de los agentes.
Cuando los valores de dicha asimetría son positivos es posible deducir
expectativas de valores positivos extremos. De igual forma, cuando la
asimetría es negativa, se puede inferir que existen agentes en el mercado que
esperan que se presenten valores negativos extremos.
26
Se dice que una opción está “At The Money” cuando el precio de ejercicio es el mismo que el precio spot al
que fue emitido dicho derivado.
27
Una opción que se encuentra “Out of The Money” cuando el precio de ejercicio está por debajo (arriba), del
precio spot del activo cuando es una opción tipo call (put).
28
Una opción que se encuentra “In The Money” cuando el precio de ejercicio por arriba (abajo), del precio
spot del activo cuando es una opción tipo call (put). Si una opción se encuentra en estos niveles, tiene un
valor intrínseco positivo.
27
Ahora bien, las probabilidades relacionadas a los valores que se
encuentran lejos de los niveles de precios actuales, esto es, el grado de
amplitud en la curva de volatilidad, permiten evaluar las expectativas del
mercado sobre cambios drásticos en los niveles de precios en el futuro. Esto
significa que el número de posiciones que hay para un sólo tipo de contrato se
ve reflejado en la amplitud de la curva. Entre más amplia sea la curva, se
puede interpretar una menor expectativa por parte de los agentes que
participan en el mercado a un cambio drástico en los precios en un periodo de
tiempo relativamente corto.
Análisis de expectativas con la curva smile
Los precios de las opciones cotizados en los mercados establecidos
OTC se cotizan en términos de volatilidad implícita (σimp)30, la cual
regularmente varía en función de los diferentes precios de ejercicio (X),
relacionados con la opción negociada.
29
El comportamiento de la volatilidad implícita (σimp), en función de los
diferentes precios de ejercicio, se ilustran en la siguiente tabla:
Comportamiento de la volatilidad en función del precio de ejercicio
Relación de X con el precio de ejercicio
Si X está cercano a ATM
Si X se encuentra fuertemente OTM / ITM
σimp
baja
alta
Figura 5: Tabla ATM/OTM
La cual puede interpretarse como: Si el precio de ejercicio “X” se
encuentra en niveles que puedan ser considerados como “At The Money”
29
El término OTC (Over The Counter), se refiere a las negociaciones de instrumentos financieros que se
realizan directamente entre los interesados, fuera de los mercados organizados.
30
Ver definición volatilidad implícita página 15
28
(ATM), sus volatilidades suelen ser inferiores comparadas con el precio de
ejercicio cuando está profundamente “in the Money” o “out of the Money”.
Este fenómeno da lugar a la llamada curva smile, la cual relaciona las
volatilidades implícitas en las opciones, para diferentes rangos de precios de
ejercicio y contratos con características similares.
En el siguiente gráfico se presenta la volatilidad implícita para las
opciones del índice S&P500 para el día primero de julio de 2009, es decir, la
representación de la curva smile para el S&P500 del 01/06/09 con
vencimiento el día 17 de julio.
SP500 01jul09
0.80
Implied Volatility SP500
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
675
720
760
795
820
850
875
900
925
950
975
1000
1025
1050
1075
1100
1140
1190
-
Figura 6: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 del día 1 de julio de 09
Interpretación del análisis de expectativas con la curva smile
En la curva smile es posible observar las expectativas en términos de
volatilidad implícita en los diferentes niveles que puede tomar el índice
(Precio de ejercicio).
Retomando el cuadro que se expuso anteriormente31 se puede apreciar lo
siguiente:
31
Ver Comportamiento de la volatilidad en función del precio del ejercicio descrito en la página 18
29
1. Cuando existe incremento en los niveles de volatilidad, el mercado
tiene un mayor grado de incertidumbre, con lo que se pueden inferir
grandes movimientos en los niveles del activo analizado.
2. Cuando existe una disminución en los niveles de volatilidad, el
mercado muestra un menor grado de incertidumbre, de donde se
pueden deducir movimientos muy pequeños en los niveles del activo
analizado.
3. Cuando el extremo izquierdo de la curva presenta niveles de volatilidad
implícita mayores a los del lado derecho, es posible pensar que el
mercado tiene expectativas de decrementos en los niveles del activo
analizado.
4. Cuando extremo derecho de la curva presenta niveles de volatilidad
implícita mayores a los del lado izquierdo, es posible suponer que el
mercado tiene expectativas de incremento en los niveles del activo
analizado.
Cabe mencionar que cada uno de los criterios anteriormente señalados,
poseen un alto grado de subjetividad, debido a que se basan en la perspectiva
y criterio del analista.
MODELO
En el presente trabajo se desarrollan dos metodologías en las que se
buscan inferir las expectativas del mercado implícitas en las opciones sobre el
SP500. La primera constituye la reproducción de una técnica frecuentemente
utilizada en el medio financiero, el análisis a partir de la curva smile. La
segunda propuesta representa un nuevo modelo, que no es precisamente una
extensión de la curva smile, pero que al emplearse como complemento de
ésta, puede ayudar en la toma de decisiones. En ambos métodos la intención
consiste en que con el uso de estas herramientas, se pueda llevar a cabo un
30
análisis que permita dar una interpretación de la incertidumbre que presenta el
mercado financiero, de forma que el agente que está operando día a día pueda
tomar decisiones con una mayor certeza y en menor tiempo.
Aplicación del Modelo:
El primer paso consiste en determinar la información a ser utilizada.
Para ello se obtuvieron datos correspondientes a cuatro semanas de las
cotizaciones de las opciones del índice SP500. Dos de las semanas descritas,
pertenecen al mes de junio de 2009 y dos al de julio, cada una de ellas
correspondiente al contrato más próximo al vencimiento32. Los periodos
considerados se ilustran en la siguiente tabla:
Vencimiento de contrato
# de días
análizados
Jun-09
Jul-09
10
10
Cálculo de volatilidad implícita:
Para determinar la volatilidad implícita se utilizará el modelo propuesto
por Black y Scholes en el que con base en la metodología de cálculo curva
smile33, al tener los valores de las primas de mercado “cmercado”, se estima
una volatilidad implícita suficientemente cercana a la volatilidad que el
modelo requeriría como parámetro de entrada, para obtener como resultado la
prima de mercado observada.
Para obtener la volatilidad implícita “σimplícita”, con base en
metodología citada, se requiere:
1.
la
Obtener un precio mercado cmercado (observado).
32
33
Ver anexo 1 base de datos
Ver anexo 2 programación VBA (Implied volatility)
31
2.
Identificar parámetros (S,T,X,r,d)34.
3.
Definir el nivel máximo de tolerancia del proceso.
4.
Establecer un nivel de volatilidad (σ).
5.
Sustituir en el modelo de Black y Scholes.
6.
7.
Validar que la diferencia entre el valor obtenido por el proceso y la prima
observada sea menor que la tolerancia definida.
Repetir los pasos 4, 5 y 6 (Iteración) hasta encontrar un valor tal que la
diferencia del valor de la prima obtenido con la volatilidad propuesta y la
prima observada, sea menor a la tolerancia definida. Es decir que f(σimplícita) =
cmercado
Este cálculo deberá realizarse en cada día analizado, considerando cada
uno de los diferentes precios de ejercicio (X), con sus correspondientes
primas (cmercado).
RESULTADOS y Análisis de expectativas con la curva smile
El proceso anterior fue programado en VBA35. Para ello se
seleccionaron tres periodos en los que se localizaron eventos de diferente
naturaleza. Los eventos analizados se describen a continuación:
1. Incremento en los niveles del índice superior al 2%.
2. Decremento en los niveles del índice superior al 2%.
3. Periodo con incrementos y decrementos continuos.
Análisis 1 “Expectativas bearish”
Durante el primer periodo analizado se consideran los datos del 30 de
junio y 1 de julio. Este periodo corresponde a los días previos a una caída en
34
(S,T,X,r,d) son datos observados en el mercado.
35
Ver programa en Visual Basic: “calculo de volatilidad implícita” , anexo 2
32
el mercado del 2.9%. En la figura se muestra también la curva smile del
periodo correspondiente al 30 de junio al 2de julio, con el fin de poder
contrastar los cambios que experimenta la curva tras los movimientos que se
presentaron durante dicho periodo en el mercado. Estos contratos tienen
vencimiento el día 17 de julio.
Curvas SMILE de los días 30 de junio, 1 y 2 de julio
1.60
1.40
Implied Volatility 02jul
1.20
Implied Volatility 30jun
1.00
Implied Volatility 01jul
0.80
0.60
0.40
0.20
1180
1140
1110
1085
1065
1045
1025
1005
985
965
945
925
905
885
865
845
820
800
775
740
710
675
-
Figura 7: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio
940
930
920
910
900
890
880
870
860
850
Figura 8: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio
33
El primero de julio se observa un incremento en los niveles de
volatilidad implícita que corresponden a los precios de ejercicio bajos; esto se
refleja en el lado izquierdo de la curva smile. Al analizar esta transición de un
día a otro, se podría pensar en la posibilidad de que el mercado muestre cierta
expectativa hacia una caída en el nivel del índice. En concordancia con esta
suposición, el 02 de julio se presenta una caída del 2.9%, a la que acompaña
un incremento muy considerable en los valores de la volatilidad implícita
correspondientes al extremo izquierdo de la curva en dicho día, lo que
sugiere que el mercado espera que se presente un nuevo un descenso en los
niveles del índice. En los días posteriores se observa por tanto, una caída de
alrededor de 2 % en los valores del índice.
Análisis 2 “Expectativas bullish”
En el segundo periodo analizado se consideran los datos del 09 de julio
y 10 julio, días previos a que se presente una subida en el mercado del 2.5%.
Estos contratos tienen vencimiento el día 17 de julio.
Curvas SMILE de los días 9, 10 y 13 de julio de 2009
0.60
0.50
Implied Volatility 13jul
Implied Volatility 09 jul
0.40
Implied Volatility 10 jul
0.30
0.20
0.10
1180
1140
1110
1085
1065
1045
1025
1005
985
965
945
925
905
885
865
845
820
800
775
740
710
675
-
Figura 9: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 9, 10 y 13 julio
34
Precio S&P500
905
900
895
890
885
880
875
870
865
07/07
08/07
09/07
10/07
11/07
12/07
13/07
Figura 10: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 9 al 13 julio
A pesar de que a primera vista, en la figura que muestra las curvas de
volatilidad implícita del periodo analizado, el extremo izquierdo del gráfico
muestra valores considerablemente mayores que los del lado derecho, es
importante remarcar la intersección que presentan las curvas del 9 y 10 de
julio. Asimismo, el 10 Julio se puede observar un ligero incremento en las
volatilidades del extremo derecho comparado con relación a los valores
obtenidos para los mismos precios de ejercicio el día anterior. De igual forma,
en la curva del extremo izquierdo se puede apreciar una ligera disminución en
los niveles de volatilidad implícita asignados con relación a los del día 9 de
julio. De lo anterior se podría pensar que el mercado espera que el índice
alcance niveles superiores en los próximos días. El 13 julio se confirman las
expectativas con un incremento en el nivel del índice del 2.5%. No obstante,
es posible deducir un cierto nerviosismo en el mercado, al observar en esta
nueva curva un incremento en las volatilidades del lado izquierdo y una
disminución del lado positivo.
Análisis 3 “Expectativas mixtas”
En el siguiente ejercicio se evalúa, de una manera más completa, la
evolución de las expectativas del mercado, al considerar un mayor número de
días. En el primer periodo analizado se consideran los datos del 18 de junio y
35
19 de junio, días previos a una caída en el mercado del 3.1%. Posteriormente
se analizarán los 3 días posteriores en los cuales se alcanza un rendimiento
acumulado del 3%. Estos contratos tienen vencimiento el día 17 de julio.
Curvas SMILE de los días 18, 19, 22, 23 y 24 de junio
0.70
Implied Volatility 24jun
0.60
Implied Volatility 18jun
0.50
Implied Volatility 19jun
Implied Volatility 22jun
0.40
Implied Volatility 23jun
0.30
0.20
0.10
1300
1130
1100
1080
1060
1040
1020
1000
980
960
940
920
900
880
860
840
815
795
770
730
700
560
-
Figura 11: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 18,19,22,23 y 24 de junio
925
920
915
910
905
900
895
890
885
880
875
16/06 17/06 18/06 19/06 20/06 21/06 22/06 23/06 24/06 25/06 26/06
Figura 12: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 18 al 24 junio
36
El 19 de junio se observa un claro incremento en la volatilidad implícita
en general para toda la curva, de donde se infiere cierto nerviosismo en los
mercados. No obstante, se observa que el incremento en la volatilidad es
superior del lado izquierdo de la curva, razón por la cual es posible esperar
que el mercado tenga una expectativa de caída para el activo analizado. Esta
expectativa se cumple al día siguiente (trading day), con un descenso en los
niveles del índices del 3.1%.
El día 22 junio, a pesar de la caída observada, es posible apreciar un
nuevo gráfico que presenta un ligero incremento en las volatilidades que
corresponden al lado derecho de curva, así como un ligero decremento en
lado izquierdo. Con este cambio en la forma de la curva es posible pensar que
las expectativas del mercado para los días próximos son de incremento en los
niveles del índice. Esta expectativa se cumple al día siguiente (23 junio), en el
que se observa un incremento de casi el 0.2%.
El día 23 y 24 de junio, los niveles de volatilidad se mantienen, aunque
se aprecia una ligera disminución en la volatilidad del extremo izquierdo de la
curva, mientras que los niveles de volatilidad del extremo derecho
permanecen prácticamente iguales, por lo que es posible pensar que el
mercado espera pequeños movimientos alcistas en los niveles del índice.
Estas expectativas se cumplen en los siguientes dos días con un incremento en
el nivel del índice del 2.8%.
El último ejercicio mostrado presenta una forma más completa de
análisis, permitiendo observar los cambios que se presentaron en las
expectativas de los agentes que componen el mercado de las opciones de
S&P500. La contribución del presente trabajo, consiste en el hecho de que
permite apreciar la transición a través del tiempo de los valores que se
obtienen al calcular la volatilidad implícita. Es realmente este cambio el que
permite inferir movimientos en el nivel del índice. De aquí que el modelo
propuesto pueda ser visto como una extensión al método recién descrito, ya
que incorpora una nueva dimensión, el tiempo.
Análisis de expectativas con el mapa de densidades (metodología
propuesta).
37
El presente modelo pretende analizar el comportamiento de la
volatilidad implícita a través del tiempo para poder determinar periodos de
“nerviosismo” del mercado referentes a un instrumento financiero en
particular.
La metodología propuesta por tanto, busca primero, calcular la
volatilidad implícita para cada prima de una opción en un mismo día.
Posteriormente, con la frecuencia de las primas negociadas en el mercado en
el mismo día se busca aproximar la función de densidad de la volatilidad
implícita para el día estudiado. Una vez obtenidas las densidades de varios
días a través del tiempo, se busca generar un gráfico que permita mostrar, de
forma visual los periodos en los que la dispersión de los datos, así como los
valores de los mismos permitan detectar momentos de incertidumbre sobre el
verdadero valor de la opción asignado por los agentes de mercado.
Para el cálculo de la volatilidad implícita se ocuparon una serie de
funciones que en conjunto, funcionan como un método de aproximación el
cual, mediante iteraciones, calcula el valor de sigma (la volatilidad implícita),
con una precisión tal que tolera un error de 0.00001 (Ver anexo 2).
La función principal toma como parámetros, la prima de mercado de la
opción, el precio Spot del subyacente, el strike pactado, el tiempo de
vencimiento de la opción, la tasa libre de riesgo, la tasa anualizada de los
dividendos y un valor inicial de sigma. El algoritmo empleado en el cálculo de
la volatilidad implícita, estima el valor de la prima de la siguiente manera: a
través de Black y Scholes se calcula cuál sería el valor de la prima dados los
parámetros iníciales (incluyendo la sigma inicial) y lo compara con el valor de
la prima de mercado. Dependiendo de la diferencia entre estos valores se
ajusta una nueva sigma y se vuelve a realizar la comparación, hasta que la
diferencia entre el valor de la prima obtenida y la de la observada en el
mercado sea menor a .00001.
Construcción del modelo
En el presente trabajo, se pretende modelar la distribución de la
volatilidad implícita de las distintas posturas que adquirieron los agentes
38
durante un día en particular, con el fin de observar los cambios que presentan
dichas distribuciones a lo largo del tiempo.
El primer paso en la elaboración del modelo propuesto radica en el
cálculo de las volatilidades implícitas, en todas las diversas posturas de cierre
de la opción para cada uno de los días analizados. En todos los casos se
consideró una tasa de dividendos igual a cero.
Fecha
Spot
Sigma
inicial
Volatilidad
implícita
0.25
0.189570533
Frecuencia
13
0.25
0.188740624
105
0.25
0.189505259
20
0.00467
0.25
0.193598853
85
0.04
0.00467
0.25
0.195790185
20
995
0.04
0.00467
0.25
0.195407867
12
1000
0.04
0.00467
0.25
0.199025896
174
01/07/2009
Tipo Prima
Call
2
Strike Tiempo Tasa LdR
970
0.04
0.00467
975
0.04
0.00467
980
0.04
0.00467
923.33
01/07/2009
Call
1.5
923.33
01/07/2009
Call
1.15
923.33
01/07/2009
Call
0.95
923.33
985
0.04
01/07/2009
Call
0.75
923.33
990
01/07/2009
Call
0.55
923.33
01/07/2009
Call
0.45
923.33
Figura 13: Tabla ejemplo para el cálculo de la volatilidad implícita
El siguiente paso consiste en tratar de modelar la distribución de la
volatilidad implícita. Como valor de frecuencia se considera el volumen de
los contratos.
En las siguientes gráficas se presenta la frecuencia de las primas de un
contrato S&P500 a 10 días de su vencimiento con la información del mismo
día agrupada en rangos de primas de un dólar.
.
39
Frecuencia
Primas (redondeadas a 0 decimales)
Figura 14: Gráfico de Frecuencia de las primas de una opción a 10 días de su vencimiento.
De la gráfica anterior se aprecia que la modelación de la distribución no
puede hacerse con un ajuste a una distribución conocida, por lo que se
propone utilizar una mezcla de distribuciones.
Normalmente los modelos que describen variables financieras emplean
combinaciones de variables Lognormales, ya que esta distribución es más fácil
de describir; ya que se ajusta con más facilidad y adquiere únicamente valores
positivos. Sin embargo, por simplificación en el uso de modelos que se ajustan
a distribuciones normales, se realizó el ajuste de esta forma.
Adicionalmente sabemos que si una variable aleatoria se distribuye
lognormal, el logaritmo de dicha variable será normalmente distribuido. De
forma que, si se parte del hecho de que la distribución de la volatilidad se
comporta como una lognormal, se puede aplicar una transformación para tener
una variable con una distribución normal.
Con ayuda del paquete estadístico R y la función Mclust, se ajustó la
distribución de la volatilidad como una mezcla de distribuciones normales.
Esto es, la distribución conjunta de varias variables aleatorias que se
distribuyen normal. Cabe esperar, que no para todos los días el mejor ajuste de
la distribución conjunta anteriormente mencionada, contenga el mismo
número de variables aleatorias, por lo que el presente trabajo se basó en el
40
criterio bayesiano de información (BIC), para determinar el número de
variables aleatorias que mejor se ajustaron a la distribución observada.
El BIC constituye una medida que se utiliza en la selección de modelos
y está determinado en función de la verosimilitud, el número de datos y el
número de componentes del modelo. Se basa en una probabilidad integrada en
la teoría bayesiana, que supone una corrección del criterio de verosimilitud
considerando el número de parámetros estimados y el número de datos. Si no
aumenta la complejidad del modelo con relación al número de datos, el
criterio es adecuado.
Dada la máxima verosimilitud para un modelo, el número de datos y el
número de componentes en el modelo, el BIC es el valor de la máxima
verosimilitud penalizada por el número de parámetros en el modelo y permite
comparar modelos con diferentes parametrizaciones. En general, entre mayor
sea el BIC, existe mayor evidencia de ajuste del modelo. Como se mencionó
antes, el criterio está construido de forma que penaliza la verosimilitud de
acuerdo con el número de parámetros:
BIC
2 * log lik m ( X ,
*
k
) (# param) m log( n)
*
Donde log likm ( X , k ) es la máxima verosimilitud para la información del
modelo, (# param)m representa el número de parámetros independientes
estimados en el modelo m y n representa el número de observaciones.
Para la elaboración del modelo se empleó el paquete R que es un
lenguaje y ambiente para cálculos estadísticos y gráficos, que provee una gran
variedad de técnicas de análisis estadístico. Entre las ventajas que presenta
esta plataforma destacan que es gratuita, de código libre y corre sobre una
gran variedad de sistemas operativos, por lo que constituye una herramienta
adecuada.
Con base en lo anterior, se desarrolló una rutina que comprende 4
archivos: Datos, Estima, Calcula densidades y Mapa de distribución.
1. Datos: en este archivo se agrega la información al modelo, se generan
distintas matrices (tantas como días se vayan a analizar), de
dimensiones Nx2, donde N son las distintas sigmas que se obtuvieron
41
cada día. La columna 1 contiene el valor de sigma y la segunda columna
la frecuencia que presentó en el día. Este archivo contiene toda la
información que el usuario debe agregar al modelo.
2. Estima: Dado que el programa necesita que los datos sean introducidos
de uno en uno, ya que dicha aplicación no relaciona que la frecuencia
está asignada a cierta sigma, es necesario generar otras matrices que
contengan las sigmas repetidas tantas veces como indique la frecuencia.
Este mismo archivo aplica la función Mclust al logaritmo de las
matrices generadas, la cual estima el número de variables aleatorias con
distribución normal que compondrían la distribución conjunta que
mejor ajusta la distribución de los datos; esto de acuerdo al criterio BIC.
Este archivo calcula también la media y la varianza de las distribuciones
conjuntas de cada día.
Para los valores del día 19 de junio, se aplicó la función Mclust y de
acuerdo al criterio BIC, el modelo que mejor ajusta los datos es aquel
que incluye 5 variables aleatorias con los siguientes parámetros:
Parámetro
1
2
3
4
5
$pro
0.31993461
0.07315491
0.34436255
0.12272367
0.13982426
$mean
-1.647233
-1.5858
-1.194201
-1.043289
-0.897622
$variance
0.00016972
9.3322E-05
0.00338846
0.00022596
0.00235152
Figura 15: Tabla de parámetros para el día 19 de junio.
Donde $pro, se refiere a la proporción de cada una de las variables
aleatorias, la suma de todas estas proporciones es igual a 1. $mean y $variance
son los parámetros de media y la varianza respectivamente.
42
Frecuencia
2500
2000
1500
1000
500
-1.67
-1.63
-1.59
-1.56
-1.52
-1.48
-1.44
-1.40
-1.36
-1.32
-1.28
-1.25
-1.21
-1.17
-1.13
-1.09
-1.05
-1.01
-0.98
-0.94
-0.90
-0.86
-0.82
-0.78
-0.74
0
Figura 16: Gráfico de frecuencias del logaritmo de la volatilidad implícita para las primas del 19 de junio
El gráfico anterior presenta la frecuencia de los distintos valores del
logaritmo de la volatilidad implicita del 19 de junio.
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
-1.67
-1.63
-1.59
-1.56
-1.52
-1.48
-1.44
-1.40
-1.36
-1.32
-1.28
-1.25
-1.21
-1.17
-1.13
-1.09
-1.05
-1.01
-0.98
-0.94
-0.90
-0.86
-0.82
-0.78
-0.74
0
Figura 17: Gráfico de descomposición de la distribución de la volatilidad implícita en 5 normales para el 19 de junio
En el gráfico anterior se presentan las distribuciones de las 5 variables
aleatorias que ajustan la distribución de los datos del día analizado.
43
Distribución Conjunta
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
-0.75
-0.8
-0.9
-0.85
-0.95
-1
-1.1
-1.05
-1.2
-1.15
-1.3
-1.25
-1.4
-1.35
-1.5
-1.45
-1.6
-1.55
-1.65
-1.7
0
Figura 18: Distribución conjunta de las 5 normales para el día 19 de junio
3. Calcula densidades: Este archivo asigna valores a las distribuciones
calculadas en el intervalo [-5,0], a modo de poder graficarlas en el
mismo dominio.
4. Mapa de distribución, Este archivo genera un gráfico cuya lectura debe
hacerse considerando 3 dimensiones, el eje X representa el tiempo, es
decir, los distintos días que se están considerando; el eje Y marca los
niveles del logaritmo de la volatilidad y la tonalidad denota la densidad
de la volatilidad en ese punto.
44
Figura 19: Mapa de calor del periodo analizado
El resultado es el mapa de densidades que se muestra en la figura
anterior, en esta imagen es posible apreciar la evolución de la incertidumbre
de los agentes financieros con relación a los niveles futuros en los que se
encontrará la opción financiera analizada a través del tiempo, lo que genera
una visión más amplia de lo que de un panorama que al ser analizado con
otras herramientas como son la curva smile.
En el mapa resultante se facilita la lectura de los momentos en los que la
“incertidumbre” en el mercado se concentra en niveles altos o cuando ésta no
se encuentra concentrada en un solo punto. Existen otro tipo de herramientas
que están más ligados a la curva smile llamadas superficies de volatilidad
implícita. Estas superficies son usualmente una representación gráfica de una
función que al igual que la curva smile, buscan mostrar la incertidumbre en los
mercados considerando el tiempo que a la opción le queda para expirar.
45
Figura 20: Superficie de volatilidad
La diferencia principal entre el mapa propuesto y una superficie de
volatilidad implícita, radica primeramente en la información que se transmite
Por un lado, la superficie de volatilidad implícita es meramente una la
representación de las curvas smile a través del tiempo; es decir, constituye la
evolución de la incertidumbre a través de una tercera dimensión que en este
caso es el tiempo. Por otro lado el mapa propuesto muestra qué tan
concentrada o dispersa está la volatilidad implícita, así como el nivel de
concentración en el que se encuentra.
El mapa propuesto por tanto, permite apreciar, ente otras cosas, el
cambio en la función de densidad a través del tiempo, mostrando la
concentración o dispersión en los distintos niveles de volatilidad y el cómo
ésta varía con el transcurso de los días. La intensidad del color rosa indica una
mayor densidad de transacciones en esos niveles de volatilidad (por las
propiedades de la función logaritmo tiene sentido hablar de valores negativos).
La presencia de varias líneas de color rosa en un mismo día indica que la
distribución es multimodal.
Esta herramienta presenta información de utilidad para analizar el
comportamiento durante la vida de la opción, de una manera sencilla qué tan
concentrada está la volatilidad a través del periodo analizado. En la gráfica
anterior vemos los últimos días de vida de una opción que venció el 27 de
46
junio (día 15) y el principio de la valuación de opción referente al siguiente
periodo, lo que explica el desfase en la figura.
El siguiente gráfico constituye finalmente, una propuesta de una
herramienta que puede ser utilizada por los operadores, para tratar de entender
el la volatilidad implícita que el mercado está asignando y con base en dicha
volatilidad, a su criterio y su estrategia, poder dirigirse mejor a través de la
toma de decisiones.
Figura 21: Mapa de calor del periodo analizado
Analizando la imagen obtenida, se observa en el día marcado como 15,
una serie de observaciones atípicas, esto se debe a que dicho día correspondió
a la fecha de madurez de la opción que se estaba analizando. De hecho, tanto
las personas que desarrollan los modelos de valuación, como los usuarios de
dichas herramientas, sugieren no hacer la valuación en dicho momento. Para
este ejercicio se decidió no descartar dicha fecha, únicamente para efectos de
presentación. Por otro lado, se puede apreciar cómo, los valores a principio de
mes; es decir, aquellos marcados con un círculo rojo en la figura anterior,
presentan un nivel de concentración considerable en niveles bajos y luego
presentan un salto súbito hacia niveles más altos, lo que se traduce en una
mayor concentración en los niveles más altos correspondientes a dicho día.
47
Por otra parte, la información contenida en el círculo de color rojo es la
que corresponde a los días treinta de junio, primero y segundo de julio. Como
se mencionó en el apartado de “expectativas bearish”, a través de la curva
smile se puede apreciar un cierto nerviosismo en el mercado que puede ser
interpretado como una caída en los niveles de la opción. De acuerdo con lo
anterior, en el mapa se puede apreciar cómo ocurre un cambio en las
expectativas de los agentes financieros; sin embargo, a pesar de que no es
posible extraer de la imagen el “sentido” en el que los agentes asumen vendrá
el cambio, la imagen alerta que se está presentando un cambio en las
expectativas de los agentes.
En la misma imagen, se presentan dos círculos de color negro, el de la
izquierda corresponde a lo analizado en el apartado “expectativas bullish”, de
los días nueve al trece de julio. En este periodo se presenta en el mercado una
recuperación considerable, la cual se interpretó a partir de la curva smile. En
la imagen anterior también se puede apreciar cómo la concentración en los
niveles de riesgo altos disminuye, lo que concuerda con la interpretación que
se obtuvo anteriormente. El círculo del lado derecho, corresponde al otro
análisis que se hizo: “expectativas mixtas”, en el que se aprecian tanto
expectativas alcistas como bajistas. En el mapa de densidades puede
apreciarse la evolución a través de los días de la concentración de la
volatilidad implícita en los distintos niveles a través de los días. Esté periodo
corresponde del dieciocho al veintitrés de julio.
48
CONCLUSIONES
Cualquiera de las metodologías se considera como una herramienta de
apoyo en la toma de decisiones.
Su objetivo consiste en ayudar a detectar momentos de incertidumbre
en donde únicamente el criterio del agente, será el que finalmente interprete
las señales y determine sus propias expectativas.
En los mercados no existe la verdad absoluta, no existen modelos que
pronostiquen el comportamiento del mercado como ciencia exacta.
El agente involucrado en mercados financieros tiende a utilizar una
serie de modelos, con los que pone en contexto el panorama o ambiente
económico. Estos modelos constituyen finalmente una herramienta para
identificar señales con las que se pueden crear expectativas propias y tomar
decisiones.
El objetivo de este trabajo ha sido únicamente proponer un nuevo
enfoque de análisis a una metodología ya conocida (curva smile) y la
propuesta de una nueva herramienta, ambas con el objetivo de analizar las
expectativas implícitas en opciones en el día a día.
Su interpretación puede criticarse como subjetiva, pero será el propio
agente quien decida la utilidad en la práctica de este tipo de herramientas.
49
INDICE DE FIGURAS
Figura 1: Gráfica de pago de las opciones tipo call y put .................................................................. 10
Figura 2: Gráfica de ganancia de las opciones tipo call y put............................................................ 14
Figura 3: Gráfico de distribuciones lognormales............................................................................... 18
Figura 4: Gráfico volatilidad implícita contra precio de ejercicio...................................................... 27
Figura 5: Tabla ATM/OTM ................................................................................................................. 28
Figura 6: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 del día 1 de julio de 09 .............................. 29
Figura 7: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio ..... 33
Figura 8: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio ................. 33
Figura 9: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 9, 10 y 13 julio ..................... 34
Figura 10: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 9 al 13 julio .................................... 35
Figura 11: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 18,19,22,23 y 24 de junio ... 36
Figura 12: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 18 al 24 junio ................................. 36
Figura 13: Tabla ejemplo para el cálculo de la volatilidad implícita ................................................. 39
Figura 14: Gráfico de Frecuencia de las primas de una opción a 10 días de su vencimiento. .......... 40
Figura 15: Tabla de parámetros para el día 19 de junio. .................................................................. 42
Figura 16: Gráfico de frecuencias del logaritmo de la volatilidad implícita para las primas del 19 de
junio................................................................................................................................................... 43
Figura 17: Gráfico de descomposición de la distribución de la volatilidad implícita en 5 normales
para el 19 de junio............................................................................................................................. 43
Figura 18: Distribución conjunta de las 5 normales para el día 19 de junio .................................... 44
Figura 19: Mapa de calor del periodo analizado ............................................................................... 45
Figura 20: Superficie de volatilidad ................................................................................................... 46
Figura 21: Mapa de calor del periodo analizado ............................................................................... 47
50
BIBLIOGRAFÍA
Hull, JC (2002), Options, Futures, and another Derivatives. Prentice Hall International.
John Knight(1996), “Forecasting volatility in the financial markets” , Butterworth
Campbell J.Y. , Lo A .W. And McKinlay A.C. (1997) The econometrics of financial
markets” , princenton university press.
J. Cox and S.A. Ross (1976) "The Valuation of Options for Alternative Stochastic
Processes, Journal of Financial Economics.
Breeden y Litzenberg, 1978 “Prices of state-contingent claims implicit in option prices “,
journal of business Vol. 51, No 4
Black-Scholes (1973) „The pricing of options and corporate liabilities, Journal of political
economy may/june).
Bahra, Bhupinder (1996); “Some Issues in extracting Information from Option Prices”;
Monetary Instruments and Markets Division; Doc. 16545; Bank of England.
Manual R
http://www.stat.washington.edu/fraley/mclust/tr504.pdf?bcsi_scan_D90DB3ADAF6F29C4
=0&bcsi_scan_filename=tr504.pdf
51
ANEXOS
ANEXO 1. Base de datos
52
SP500 30 de junio
53
SP500 30 de junio
54
SP500 02jul
55
SP500 09jul
56
SP500 10 Jul
57
SP50013JUL
58
SP500 18 JUN
59
SP500 19JUN
60
SP500 22JUN
61
SP500 23JUN
62
SP500 24JUN
63
ANEXO 2 Programación cálculo volatilidad implícita, VBA.
1. Parámetros y definiciones.
Function ImpliedCall(cmarket, S, T, X, r, d, start)
Const allowederror = 0.00001 „error permitido
Const boundfactor = 1.2 „debe ser mayor a 1
Const smallfraction = 0.000001 „casi cero
Const maximp = 10 'max
Const minimp = 0.00001 'minimum
Dim c, difference, high, isd, low, pmarket, SedT, XerT
2. Validaciones.
SedT = PV(S, d, T)
XerT = PV(X, r, T)
If cmarket > (SedT - XerT) Then isd = -1
If cmarket > SedT Then isd = -2
If isd < 0 Then GoTo Lastline
If cmarket < (smallfraction * S) Then isd = -3
pmarket = PutfromCall(cmarket, S, T, X, r, d)
If pmarket < (smallfraction * S) Then isd = -4
If isd < 0 Then GoTo Lastline
3. Cálculo de la volatilidad implícita
c = BScall(S, T, X, r, d, start)
low = start
high = start
If c < cmarket Then
Do
high = boundfactor * high
c = BScall(S, T, X, r, d, high)
Loop Until (c > cmarket) Or (high > maximp)
Else
Do
low = low / boundfactor
c = BScall(S, T, X, r, d, low)
Loop Until (c < cmarket) Or (low < minimp)
End If
64
4. Calculo de la prima de una call con el modelo de B&S
Function BScall(S, T, X, r, d, sigma)
Dim d1, d1_numerator, d2, Nd1, Nd2, SedT, sigma_sqrtT, XerT
If T > 0 Then
SedT = PV(S, d, T)
XerT = PV(X, r, T)
sigma_sqrtT = sigma * (T ^ 0.5)
d1_numerator = Log(SedT / XerT) + (0.5 * sigma * sigma * T)
d1 = d1_numerator / sigma_sqrtT
d2 = d1 - sigma_sqrtT
'Use Excel (not VBA) function Normsdist
Nd1 = Application.WorksheetFunction.NormSDist(d1)
Nd2 = Application.WorksheetFunction.NormSDist(d2)
BScall = SedT * Nd1 - XerT * Nd2
Else
If S > X Then BScall = S - X Else BScall = 0
End If
End Function
65
Anexo R
Archivo Datos:
d0207<-matrix(c(
0.220771789550781,456.,
0.217811584472656,165.,
0.216163635253906,16.,
0.214001973470052,2180.,
0.211407979329427,160.,
0.212369283040365,182.,
0.21161142985026,80.,
0.211046854654948,709.,
0.212415059407552,83.,
0.215166727701823,1150.,
0.215410868326823,30.,
0.21856943766276,127.,
0.219586690266927,1593.,
0.22650400797526,630.,
0.232648213704427,496.,
0.22912851969401,52.,
0.238558451334635,134.,
0.247815450032552,10.,
0.256710815429687,1.,
0.278054809570313,1.,
0.286251831054687,10.,
0.585866128540039,10.,
0.524617363891602,31.,
0.489989801025391,1.,
0.429147918701172,725.,
0.407980865478516,15.,
0.398144378662109,11.,
0.391890350341797,632.,
0.384719879150391,10.,
0.368101715087891,649.,
0.364302642822266,6.,
0.356572570800781,1159.,
0.344903869628906,110.,
0.338236999511719,21.,
0.332134094238281,546.,
0.326313171386719,496.,
0.321969299316406,582.,
0.312052917480469,73.,
0.306312561035156,167.,
0.303022766113281,365.,
0.297671508789063,10.,
0.292251586914062,67.,
0.283682250976563,2518.,
0.278408813476563,162.,
0.276730346679687,26.,
66
0.265969848632812,199.,
0.264761352539063,20.,
0.279898071289062,183.,
0.293331909179687,17.
),ncol=2,byrow=T)
d0107<-matrix(c(
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0.202625274658203,4.,
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0.0991022383234629,10.,
0.100638235547415,2177.,
0.101660417431176,6.,
0.104042466285297,1368.,
0.104252378636427,422.,
0.10579477808603,447.,
0.107921281469212,202.,
0.108094687324493,454.,
0.114775376064787,1.,
0.116628080729104,1548.,
0.12918633001822,1110.,
0.135356379143986,10.,
0.134518958904125,22.,
0.140333499437497,21.,
0.146086975380226,501.,
0.145939120539913,2.,
0.329341125488281,2.,
0.344447326660156,40.,
0.310347595214844,1.,
0.287869262695312,961.,
0.271560668945313,60.,
0.270986938476563,5.,
0.252359008789062,10.,
0.24402109781901,5.,
0.24084726969401,10.,
0.232500712076823,85.,
0.21880849202474,20.,
0.204518212212457,1.,
0.195706261528863,1160.,
0.189691755506727,32.,
0.169763035244412,100.,
0.162563147368255,597.,
0.158667493749548,10.,
0.15384614026105,113.,
0.148246941743074,10.,
0.144394197581727,10.,
0.139417077288216,1032.,
0.13442415661282,78.,
0.125133532064932,43.,
0.120233097194154,10.,
0.115660658589116,1222.,
0.113205596743297,32.,
81
0.110987827120494,520.,
0.107300671039785,326.,
0.105292813768112,163.,
0.104763469578307,350.,
0.104872989065853,107.,
0.105803904709993,210.,
0.106479274883192,10.,
0.109317654935421,33.,
0.161830301638003,2.,
0.176515791151259,1.
),ncol=2,byrow=T)
d0506<-matrix(c(
0.266427612304688,5.,
0.253756713867188,5.,
0.248364766438802,5.,
0.230333964029948,3.,
0.225359598795573,34.,
0.22088877360026,31.,
0.225145975748698,5.,
0.203856150309245,21.,
0.196247100830078,31.,
0.186829037136502,34.,
0.176982031928168,8.,
0.144378397199843,5.
),ncol=2,byrow=T)
d0406<-matrix(c(
0.317799987792969,105.,
0.296298217773437,175.,
0.24927012125651,10.,
0.230369567871094,16.,
0.225028991699219,17.,
0.219184875488281,1.,
0.265200805664063,5.,
0.214271545410156,729.,
0.198541005452474,3.,
0.188339657253689,3.,
0.177485571967231,520.,
0.135340578762102,410.
),ncol=2,byrow=T)
d0306<-matrix(c(
0.312623596191406,5.,
0.309669494628906, 23.,
0.305741882324219, 131.,
0.302948913574219, 1.,
0.300961608886719, 6.,
82
0.299087524414062, 25.,
0.562554353637695, 5.,
0.55560510559082, 6.,
0.523328573608398, 6.,
0.514349591064453, 20.,
0.509426849365234, 2.,
0.482388629150391, 23.,
0.474189520263672, 200.,
0.451975750732422, 3.,
0.444194378662109, 200.,
0.412590850830078, 10.,
0.400965911865234, 138.,
0.389324310302734, 20.,
0.366352142333984, 4.,
0.303613586425781, 2.
),ncol=2,byrow=T)
dat<rbind(d0306,d0406,d0506,d1506,d1606,d1706,d1806,d1906,d2206,d2306,d2506,d2606,d2906,d
3006,d0107,d0207)
min(log(dat[,1]))
max(log(dat[,1]))
Archivo Estima:
z0306<-rep(d0306[,1],d0306[,2])
z0406<-rep(d0406[,1],d0406[,2])
z0506<-rep(d0506[,1],d0506[,2])
z1506<-rep(d1506[,1],d1506[,2])
z1606<-rep(d1606[,1],d1606[,2])
z1706<-rep(d1706[,1],d1706[,2])
z1806<-rep(d1806[,1],d1806[,2])
z1906<-rep(d1906[,1],d1906[,2])
z2206<-rep(d2206[,1],d2206[,2])
z2306<-rep(d2306[,1],d2306[,2])
z2506<-rep(d2506[,1],d2506[,2])
z2606<-rep(d2606[,1],d2606[,2])
z2906<-rep(d2906[,1],d2906[,2])
z3006<-rep(d3006[,1],d3006[,2])
z0107<-rep(d0107[,1],d0107[,2])
z0207<-rep(d0207[,1],d0207[,2])
library(mclust)
w0306<-Mclust(log(z0306))
w0406<-Mclust(log(z0406))
w0506<-Mclust(log(z0506))
83
w1506<-Mclust(log(z1506))
w1606<-Mclust(log(z1606))
w1706<-Mclust(log(z1706),G=8:15)
w1806<-Mclust(log(z1806))
w1906<-Mclust(log(z1906))
w2206<-Mclust(log(z2206))
w2306<-Mclust(log(z2306))
w2506<-Mclust(log(z2506))
w2606<-Mclust(log(z2606))
w2906<-Mclust(log(z2906))
w3006<-Mclust(log(z3006))
w0107<-Mclust(log(z0107))
w0207<-Mclust(log(z0207))
# Kendall's Advanced Theory of Statistics. 5a Ed. Oxford. Vol 1, Distributioin Theory, pag 171
m0306<-sum(w0306$parameters$mean*w0306$parameters$pro)
v0306<sum(w0306$parameters$pro*w0306$parameters$variance$sigmasq)+sum(w0306$parameters$p
ro*(w0306$parameters$mean-m0306)^2)
m0406<-sum(w0406$parameters$mean*w0406$parameters$pro)
v0406<sum(w0406$parameters$pro*w0406$parameters$variance$sigmasq)+sum(w0406$parameters$p
ro*(w0406$parameters$mean-m0406)^2)
m0506<-sum(w0506$parameters$mean*w0506$parameters$pro)
v0506<sum(w0506$parameters$pro*w0506$parameters$variance$sigmasq)+sum(w0506$parameters$p
ro*(w0506$parameters$mean-m0506)^2)
m1506<-sum(w1506$parameters$mean*w1506$parameters$pro)
v1506<sum(w1506$parameters$pro*w1506$parameters$variance$sigmasq)+sum(w1506$parameters$p
ro*(w1506$parameters$mean-m1506)^2)
m1606<-sum(w1606$parameters$mean*w1606$parameters$pro)
v1606<sum(w1606$parameters$pro*w1606$parameters$variance$sigmasq)+sum(w1606$parameters$p
ro*(w1606$parameters$mean-m1606)^2)
m1706<-sum(w1706$parameters$mean*w1706$parameters$pro)
v1706<sum(w1706$parameters$pro*w1706$parameters$variance$sigmasq)+sum(w1706$parameters$p
ro*(w1706$parameters$mean-m1706)^2)
m1806<-sum(w1806$parameters$mean*w1806$parameters$pro)
v1806<sum(w1806$parameters$pro*w1806$parameters$variance$sigmasq)+sum(w1806$parameters$p
ro*(w1806$parameters$mean-m1806)^2)
m1906<-sum(w1906$parameters$mean*w1906$parameters$pro)
v1906<sum(w1906$parameters$pro*w1906$parameters$variance$sigmasq)+sum(w1906$parameters$p
ro*(w1906$parameters$mean-m1906)^2)
m2206<-sum(w2206$parameters$mean*w2206$parameters$pro)
84
v2206<sum(w2206$parameters$pro*w2206$parameters$variance$sigmasq)+sum(w2206$parameters$p
ro*(w2206$parameters$mean-m2206)^2)
m2306<-sum(w2306$parameters$mean*w2306$parameters$pro)
v2306<sum(w2306$parameters$pro*w2306$parameters$variance$sigmasq)+sum(w2306$parameters$p
ro*(w2306$parameters$mean-m2306)^2)
m2506<-sum(w2506$parameters$mean*w2506$parameters$pro)
v2506<sum(w2506$parameters$pro*w2506$parameters$variance$sigmasq)+sum(w2506$parameters$p
ro*(w2506$parameters$mean-m2506)^2)
m2606<-sum(w2606$parameters$mean*w2606$parameters$pro)
v2606<sum(w2606$parameters$pro*w2606$parameters$variance$sigmasq)+sum(w2606$parameters$p
ro*(w2606$parameters$mean-m2606)^2)
m2906<-sum(w2906$parameters$mean*w2906$parameters$pro)
v2906<sum(w2906$parameters$pro*w2906$parameters$variance$sigmasq)+sum(w2906$parameters$p
ro*(w2906$parameters$mean-m2906)^2)
m3006<-sum(w3006$parameters$mean*w3006$parameters$pro)
v3006<sum(w3006$parameters$pro*w3006$parameters$variance$sigmasq)+sum(w3006$parameters$p
ro*(w3006$parameters$mean-m3006)^2)
m0107<-sum(w0107$parameters$mean*w0107$parameters$pro)
v0107<sum(w0107$parameters$pro*w0107$parameters$variance$sigmasq)+sum(w0107$parameters$p
ro*(w0107$parameters$mean-m0107)^2)
m0207<-sum(w0207$parameters$mean*w0207$parameters$pro)
v0207<sum(w0207$parameters$pro*w0207$parameters$variance$sigmasq)+sum(w0207$parameters$p
ro*(w0207$parameters$mean-m0207)^2)
meanvar<-matrix(c(
m0306, v0306,w0306$parameters$variance$G,
m0406, v0406,w0406$parameters$variance$G,
m0506, v0506,w0506$parameters$variance$G,
m1506, v1506,w1506$parameters$variance$G,
m1606, v1606,w1606$parameters$variance$G,
m1706, v1706,w1706$parameters$variance$G,
m1806, v1806,w1806$parameters$variance$G,
m1906, v1906,w1906$parameters$variance$G,
m2206, v2206,w2206$parameters$variance$G,
m2306, v2306,w2306$parameters$variance$G,
m2506, v2506,w2506$parameters$variance$G,
m2606, v2606,w2606$parameters$variance$G,
m2906, v2906,w2906$parameters$variance$G,
m3006, v3006,w3006$parameters$variance$G,
m0107, v0107,w0107$parameters$variance$G,
m0207, v0207,w0207$parameters$variance$G
),ncol=3,byrow=T)
85
Archivo Calcula densidades:
Li<-(-5)
Ls<-0
Delta<-(Ls-Li)/100
ds0306<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds0306[k,1]<-k
ds0306[k,2]<-i
ds0306[k,3]<w0306$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[1])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0306$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[2])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0306$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[3])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0306$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[4])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0306$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[5])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0306$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w0306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0306$parameter$mean[6])^2/w0306$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
ds0406<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds0406[k,1]<-k
ds0406[k,2]<-i
ds0406[k,3]<w0406$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w0406$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0406$parameter$mean[1])^2/w0406$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0406$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w0406$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0406$parameter$mean[2])^2/w0406$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0406$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w0406$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0406$parameter$mean[3])^2/w0406$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0406$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w0406$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0406$parameter$mean[4])^2/w0406$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0406$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w0406$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0406$parameter$mean[5])^2/w0406$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
86
ds0506<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds0506[k,1]<-k
ds0506[k,2]<-i
ds0506[k,3]<w0506$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[1])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0506$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[2])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0506$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[3])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0506$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[4])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0506$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[5])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0506$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w0506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w0506$parameter$mean[6])^2/w0506$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
ds1506<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds1506[k,1]<-k
ds1506[k,2]<-i
ds1506[k,3]<w1506$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[1])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1506$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[2])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[2])+
w1506$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[3])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[3])+
w1506$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[4])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[4])+
w1506$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[5])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[5])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[5])+
w1506$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w1506$parameters$variance$sigmasq[6])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1506$parameter$mean[6])^2/w1506$parameters$variance$sigmasq[6])
k<-k+1
}
ds1606<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds1606[k,1]<-k
ds1606[k,2]<-i
ds1606[k,3]<w1606$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w1606$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1606$parameter$mean[1])^2/w1606$parameters$variance$sigmasq[1])+
87
w1606$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w1606$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1606$parameter$mean[2])^2/w1606$parameters$variance$sigmasq[2])+
w1606$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w1606$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1606$parameter$mean[3])^2/w1606$parameters$variance$sigmasq[3])+
w1606$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w1606$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1606$parameter$mean[4])^2/w1606$parameters$variance$sigmasq[4])+
w1606$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w1606$parameters$variance$sigmasq[5])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1606$parameter$mean[5])^2/w1606$parameters$variance$sigmasq[5])
k<-k+1
}
ds1706<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds1706[k,1]<-k
ds1706[k,2]<-i
ds1706[k,3]<w1706$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[1])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[2])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[3])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[4])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[5])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[6])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[7]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[7])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[8]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[8])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[9]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1706$parameter$mean[9])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[10]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w1706$parameter$mean[10])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[11]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w1706$parameter$mean[11])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[12]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w1706$parameter$mean[12])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[13]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w1706$parameter$mean[13])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1706$parameters$pro[14]*(2*3.14156*w1706$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w1706$parameter$mean[14])^2/w1706$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
ds1806<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
88
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds1806[k,1]<-k
ds1806[k,2]<-i
ds1806[k,3]<w1806$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w1806$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1806$parameter$mean[1])^2/w1806$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1806$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w1806$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1806$parameter$mean[2])^2/w1806$parameters$variance$sigmasq[2])+
w1806$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w1806$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1806$parameter$mean[3])^2/w1806$parameters$variance$sigmasq[3])
k<-k+1
}
ds1906<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds1906[k,1]<-k
ds1906[k,2]<-i
ds1906[k,3]<w1906$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w1906$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1906$parameter$mean[1])^2/w1906$parameters$variance$sigmasq[1])+
w1906$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w1906$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1906$parameter$mean[2])^2/w1906$parameters$variance$sigmasq[2])+
w1906$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w1906$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1906$parameter$mean[3])^2/w1906$parameters$variance$sigmasq[3])+
w1906$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w1906$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1906$parameter$mean[4])^2/w1906$parameters$variance$sigmasq[4])+
w1906$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w1906$parameters$variance$sigmasq[5])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w1906$parameter$mean[5])^2/w1906$parameters$variance$sigmasq[5])
k<-k+1
}
ds2206<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds2206[k,1]<-k
ds2206[k,2]<-i
ds2206[k,3]<w2206$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[1])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2206$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[2])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2206$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[3])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2206$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[4])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2206$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[5])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2206$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[6])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])+
89
w2206$parameters$pro[7]*(2*3.14156*w2206$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2206$parameter$mean[7])^2/w2206$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
ds2306<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds2306[k,1]<-k
ds2306[k,2]<-i
ds2306[k,3]<w2306$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[1])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2306$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[2])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2306$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[3])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2306$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[4])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2306$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[5])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2306$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w2306$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2306$parameter$mean[6])^2/w2306$parameters$variance$sigmasq[1])
k<-k+1
}
ds2506<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds2506[k,1]<-k
ds2506[k,2]<-i
ds2506[k,3]<w2506$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[1])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2506$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[2])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[2])+
w2506$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[3])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[3])+
w2506$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[4])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[4])+
w2506$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[5])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[5])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[5])+
w2506$parameters$pro[6]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[6])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[6])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[6])+
w2506$parameters$pro[7]*(2*3.14156*w2506$parameters$variance$sigmasq[7])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2506$parameter$mean[7])^2/w2506$parameters$variance$sigmasq[7])
k<-k+1
}
ds2606<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
90
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds2606[k,1]<-k
ds2606[k,2]<-i
ds2606[k,3]<w2606$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w2606$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2606$parameter$mean[1])^2/w2606$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2606$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w2606$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2606$parameter$mean[2])^2/w2606$parameters$variance$sigmasq[2])+
w2606$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w2606$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2606$parameter$mean[3])^2/w2606$parameters$variance$sigmasq[3])+
w2606$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w2606$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2606$parameter$mean[4])^2/w2606$parameters$variance$sigmasq[4])
k<-k+1
}
ds2906<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds2906[k,1]<-k
ds2906[k,2]<-i
ds2906[k,3]<w2906$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w2906$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2906$parameter$mean[1])^2/w2906$parameters$variance$sigmasq[1])+
w2906$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w2906$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2906$parameter$mean[2])^2/w2906$parameters$variance$sigmasq[2])+
w2906$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w2906$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w2906$parameter$mean[3])^2/w2906$parameters$variance$sigmasq[3])
k<-k+1
}
ds3006<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds3006[k,1]<-k
ds3006[k,2]<-i
ds3006[k,3]<w3006$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w3006$parameters$variance$sigmasq[1])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w3006$parameter$mean[1])^2/w3006$parameters$variance$sigmasq[1])+
w3006$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w3006$parameters$variance$sigmasq[2])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w3006$parameter$mean[2])^2/w3006$parameters$variance$sigmasq[2])+
91
w3006$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w3006$parameters$variance$sigmasq[3])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w3006$parameter$mean[3])^2/w3006$parameters$variance$sigmasq[3])+
w3006$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w3006$parameters$variance$sigmasq[4])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w3006$parameter$mean[4])^2/w3006$parameters$variance$sigmasq[4])+
w3006$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w3006$parameters$variance$sigmasq[5])^(-0.5)*exp(0.5*(i-w3006$parameter$mean[5])^2/w3006$parameters$variance$sigmasq[5])
k<-k+1
}
ds0107<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds0107[k,1]<-k
ds0107[k,2]<-i
ds0107[k,3]<w0107$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w0107$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0107$parameter$mean[1])^2/w0107$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0107$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w0107$parameters$variance$sigmasq[2])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0107$parameter$mean[2])^2/w0107$parameters$variance$sigmasq[2])+
w0107$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w0107$parameters$variance$sigmasq[3])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0107$parameter$mean[3])^2/w0107$parameters$variance$sigmasq[3])+
w0107$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w0107$parameters$variance$sigmasq[4])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0107$parameter$mean[4])^2/w0107$parameters$variance$sigmasq[4])+
w0107$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w0107$parameters$variance$sigmasq[5])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0107$parameter$mean[5])^2/w0107$parameters$variance$sigmasq[5])
k<-k+1
}
ds0207<-matrix(0,ncol=3,nrow=(Ls-Li)/Delta+1)
k<-1
for(i in seq(Li,Ls,Delta)){
ds0207[k,1]<-k
ds0207[k,2]<-i
ds0207[k,3]<w0207$parameters$pro[1]*(2*3.14156*w0207$parameters$variance$sigmasq[1])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0207$parameter$mean[1])^2/w0207$parameters$variance$sigmasq[1])+
w0207$parameters$pro[2]*(2*3.14156*w0207$parameters$variance$sigmasq[2])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0207$parameter$mean[2])^2/w0207$parameters$variance$sigmasq[2])+
w0207$parameters$pro[3]*(2*3.14156*w0207$parameters$variance$sigmasq[3])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0207$parameter$mean[3])^2/w0207$parameters$variance$sigmasq[3])+
w0207$parameters$pro[4]*(2*3.14156*w0207$parameters$variance$sigmasq[4])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0207$parameter$mean[4])^2/w0207$parameters$variance$sigmasq[4])+
92
w0207$parameters$pro[5]*(2*3.14156*w0207$parameters$variance$sigmasq[5])^(0.5)*exp(-0.5*(i-w0207$parameter$mean[5])^2/w0207$parameters$variance$sigmasq[5])
k<-k+1
}
Archivo Mapa de Densidades
densid<matrix(scan("C:/Users/Octavio/Desktop/Datos/densidad.txt"),nrow=96,ncol=16,byrow=T)
dia<-c(1,2,3,13,14,15,16,17,20,21,23,24,27,28,29,30)
volatilidad<-seq(-4.75,0.,0.05)
kk<-c(0,0.0001,0.001,0.005,0.01,0.05,0.1,0.125,0.25,0.5,1,2,4,6,8,10,15,20)
filled.contour(x=dia,y=volatilidad,t(densid),levels=kk,ylab="volatilidada",xlab="Día")
title(main = "Densidad", font.main = 4)
help(filled.contour)
close.screen(all = TRUE)
split.screen(c(2,1))
screen(1)
plot((ds1806[,2]),ds1806[,3],type="l",xlim=c(-5,0),ylim=c(0,15),col="red")
screen(1)
hist(log(d1806),breaks=50,xlim=c(-5,0))
volm<-c(-0.89,-1.63,-1.57,-2.09,-2.16,-2.20,-2.87,-1.31,-1.08,-1.15,-1.31,-1.26,-1.59,-1.50,1.15,-1.31)
par(mfrow=c(1,1))
plot(dia,volm,type="l")
93