Laboratorio No. 1 Solución de Ecuaciones Diferenciales Brayan Erasmo Atis Tarapues (218160021, bryanat96@udenar.edu.co), Cristian Camilo Cerón Delgado (218160085, cristianceron@udenar.edu.co ), Brayan Aldair Chamorro Tonguino (218160090, brayanchamorro@udenar.edu.co ). Aplicamos transformada de Laplace en las ecuaciones (1) y (2). Resumen—Este laboratorio tiene como objetivo desarrollar la solución de ecuaciones diferenciales aplicando los conocimientos tratados en el curso de Análisis de Sistemas Dinámicos. Se utilizarán dos maneras para lograr la solución, una mediante Transformada de Laplace y esta se comparará con la simulación obtenida en Matlab y el paquete de Simulink. πΆ1 ππ»1 (π‘) + πΆ2 ππ»2 (π‘) + π»1 (π‘)−π»2 (π‘) π 1 π»2 (π‘)−π»1 (π‘) π 1 =1 + (3) π»2 (π‘) π 2 =0 (4) Operamos en la ecuación (3) y obtenemos. Palabras clave—Ecuaciones Diferenciales, Sistema de ecuaciones, Matlab, Simulink π»1 (π ) (πΆ1 π + INTRODUCCÍON I. n Sistema Dinámico es un sistema cuyo estado evoluciona en el tiempo y para representar la estructura del mismo se pueden elaborar modelos que lo describan. En el presente documento se pretende exponer los resultados más relevantes encontrados después de realizar la guía del primer laboratorio y obtener conclusiones de la evolución en el tiempo que tienen las ecuaciones diferenciales que representan al sistema. U II. DESARROLLO A. Solución de ecuaciones Diferenciales Para las constantes presentes en las ecuaciones diferenciales utilizaremos los últimos dígitos de los códigos: → → Codigo1: 218160021 Código 2: 218160085 X1 = 1, Y1=2 X2 = 5, Y2=8 Sea C1=X1 = 1, C2=X2 = 5 R1=Y1 = 2, R2=Y2 = 8 πΆ1 πΆ2 πβ1 (π‘) ππ‘ πβ2 (π‘) ππ‘ + + β1 (π‘)−β2 (π‘) π 1 β2 (π‘)−β1 (π‘) π 1 = πΏ(π‘) + β2 (π‘) π 2 =0 (2) )− π»2 (π ) π 1 =1 (5) Operamos en la ecuación (4) y obtenemos. − π»1 (π ) π 1 + π»2 (π ) (πΆ2 π + 1 π 1 + 1 π 2 )=0 (6) Obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de las ecuaciones (5) y (6) y remplazamos con los valores asignados π π π―π (π) (πΊ + ) + π―π (− ) = π π π π π π―π (π) (− ) + π―π (π) (ππΊ + ) = π π π Resolviendo el sistema por regla de cramer. 1 2 ] [ 5 0 5π + 8 π»1 (π ) = 1 1 π + − 2 2 ] [ 1 5 − 5π + 2 8 1 π»1 (π ) = (1) 1 π 1 − 5 +0 8 5 5 5 1 5π 2 + π + π + − 8 2 16 4 5π + π―π (π) = ππ + πππ π π ππ π + π+ ππ ππ realizamos el modelo matemático en simulink de matlab mediante diagrama de bloques y se obtiene el siguiente resultado. 1 1 2 [ ] 1 − 0 2 π»2 (π ) = 1 1 π + − 2 2 ] [ 1 5 − 5π + 2 8 π + π π π―π (π) = ππ π π ππ + π+ ππ ππ Hacemos uso de Matlab para convertir π»1 (π ) π¦ π»2 (π ) en fracciones parciales. π, ππππ π, ππππ π―π (π) = + π + π, ππππ π + π, ππππ π―π (π) = −π, ππππ π, ππππ + π + π, ππππ π + π, ππππ Observamos que coincide de manera aproximada con el resultado analítico, ya que la función impulso es ideal y en Simulink no se puede simular dicha función, sino que se debe realizar una operación entre dos funciones escalón para obtenerla, lo cual reduce el grado de exactitud del valor final. aplicamos anti transformada de Laplace. ππ (π) = π, πππππ−π,πππππ + π, πππππ−π,πππππ ππ (π) = π, πππππ−π,πππππ + π, πππππ−π,πππππ Realizamos las gráficas para ππ (π) π ππ (π) con ayuda de Matlab y obtenemos. B. Solución del problema del atractor de Lorentz El atractor de Lorentz se describe mediante las ecuaciones diferenciales: ππ₯(π‘) = π(π¦(π‘) − π₯(π‘)) ππ‘ ππ¦(π‘) = π₯(π‘)(π − π§(π‘)) − π¦(π‘) ππ‘ ππ§(π‘) = π₯(π‘)π¦(π‘) − ππ§(π‘) ππ‘ A causa de que la solución analítica de estas ecuaciones diferenciales no lineales puede ser muy extensa se realizó la solución mediante la utilización del Toolbox Simulink de Matlab. Donde las constantes π, π, π, se relacionan de la siguiente manera: π = 10 π = 28 + π₯1 = 29 π = 8⁄3 Realizamos el modelo matemático mediante el diagrama de bloques en simulink de matlab y obtuvimos los resultados que describen el comportamiento del sistema dinámico del atractor de Lorenz. Grafica tridimensional. Graficas en dos dimensiones. C. Simulación propagación de un virus. A partir del modelo matemático propuesto por Anderson Gray McKendrick, conocido como modelo SIR de epidemias se pretende realizar la simulación de la propagación del virus SARS – CoV–2, que está vinculada al sistema de ecuaciones diferenciales para las proporciones π (π‘) de susceptibles, π(π‘) de infectados y π(π‘) de removidos respecto al tamaño N de la población (que se asume constante) dado por: ππ (π‘) = −π½π (π‘)π(π‘) ππ‘ ππ(π‘) = (π½π (π‘) − πΌ)π(π‘) ππ‘ ππ(π‘) = πΌπ(π‘) ππ‘ Donde π½ es la tasa de infección y πΌ es la tasa de recuperación. Para realizar nuestra simulación, haremos uso de condiciones iniciales: π (0)=0.99>0 ππππππ ππππππππ‘π ππ 99% ππ ππ πππππππππ π πππ π(0)=0.01>0 ππππππ πππ‘π ππ 1% ππ ππ πππππππππ ππππππ‘πππ Y obtenemos como resultado. (π(0)=1−π (0)>0) La estimación inicia cuando no hay recuperados aun π(0)=0 Se realiza el análisis del sistema mediante la utilización del Toolbox Simulink de Matlab estableciendo un modelo mediante diagrama de bloques. Para π (π‘),π(π‘),π(π‘) en: 1) Un escenario positivo donde se presenta comportamiento adecuado de la población: un π½=0.8 πΌ=0.4 En la gráfica se interpreta que el pico máximo de infectados de la población será el 65%, como este valor se eleva respecto al caso anterior se evidencia un decremento de las personas susceptibles. Obtenemos como resultado. III. CONCLUCIONES En la gráfica se interpreta que el porcentaje de infectados llegara a un máximo 18% del del total de la población y luego de este pico, presenta un descenso donde la tasa de contagiados tiende a cero. También se evidencia gráficamente que el numero de personas susceptibles es inversamente proporcional al numero de personas recuperadas. 2) Un escenario negativo donde se presenta comportamiento no adecuado de la población: π½=1.1 πΌ=0.1+(0.025∗π1)= 1/8 un - Durante la realización de la guía de primer taller, se logró evidenciar la importancia que tienen los paquetes de software como Matlab y su toolbox Simulink, los cuales nos permiten crear una idea muy acertada del posible comportamiento de un sistema dinámico. - La implementación de herramientas matemáticas avanzadas como lo es la transformada de Laplace facilitan en gran medida las ecuaciones diferenciales que describen a un sistema dinámico, agilizando así el proceso de modelado y predicción de estos. - El modelamiento de sistemas dinámicos nos permite predecir el comportamiento de ciertos fenómenos naturales, los cuales pueden causar graves daños a la humanidad y con ayuda de modelos matemáticos podemos reducir el daño causado por dichos fenómeno