Ecuaciones Diferenciales, Transformadas y Números Complejos
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Contenidos 01 Ecuaciones 02 Ecuaciones 04 Ecuaciones 05 Transformadas 06 Números y Diferenciales Diferenciales Parciales Diferenciales Ordinarias 03 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Funciones Complejas ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES π′ + π − ππ = π ¿A qué se denomina solución de una Ecuación Diferencial? TIPOS DE SOLUCIONES Solución EXPLÍCITA. Solución IMPLÍCITA. TIPOS DE SOLUCIONES Solución GENERAL. Solución PARTICULAR. Solución SINGULAR. CLASIFICACIÓN ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS • • 1 o más variables DEPENDIENTES: x(t), y(t) 1 variable INDEPENDIENTE: t REPRESENTACIÓN EN FORMA DIFERENCIAL LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD Lineal Homogénea: El término independiente g(x) es nulo. g(x)=0 Lineal con Coeficientes Constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes. Lineal con Coeficientes Variables: Aquellas en las que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante. LINEALIDAD Ejemplos: 3π₯ ′′ + 3π₯ ′ − 4π‘ 2 π₯ = π ππ π‘ Lineal π₯ ′′ − π₯ 2 = 0 No Lineal π₯ β π₯ ′ − 2π₯ ′′ = 3 No Lineal HOMOGENEIDAD Ejemplos: π‘ 2 π₯ ′′ − 3π₯ ′ = 5π₯ Homogénea π₯ ′′′ − π‘ 2 + 2π‘π₯ = π₯ ′ No Homogénea ECUACIONES EXACTAS ECUACIONES NO EXACTAS PROBLEMAS DE VALOR INICIAL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES SOLUCIÓN: POR SUSTITUCIÓN MEDIANTE FACTOR INTEGRANTE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES SISTEMAS DE EDOs • • 2 o más variables DEPENDIENTES: x(t), y(t), z(t) 1 variable INDEPENDIENTE: t Ejemplo: π₯ ′′ − 3π¦ − 2π§ ′ = 0 π‘π₯ − π¦ ′ + 9π§′′ = 0 π₯ ′ + 4π‘ 2 π¦ ′ − 6π§ = 0 FORMA MATRICIAL LINEALIDAD Ejemplos: π₯ ′′ + 3π¦ ′ = π‘ 3 5π₯ − 2π¦ ′′ = 4π‘ + 1 Lineal 4π₯ ′ − 3π¦ ′′ = 0 π₯ 3 − 2π¦ ′ = 0 No Lineal HOMOGENEIDAD Ejemplos: π₯ ′ = 2π₯ + 5π¦ π¦ ′ = 3π₯ − 2π¦ Homogéneo π₯ ′′ − 3π₯ ′ + π¦ = 4 π¦ ′ − 2π₯ ′ = 0 No Homogéneo ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES • • 1 o más variables DEPENDIENTES: u(x,y,t), v(x,y,t) 2 o más variables INDEPENDIENTES: x, y, t LINEALIDAD Ejemplos: π2 π’ ππ₯ 2 ππ’ ππ‘ + π₯π’ = 0 + ππ’ π’ ππ₯ = π2 π’ ππ₯ 2 Lineal No Lineal HOMOGENEIDAD Ejemplos: π2 π’ ππ₯ 2 π2 π’ ππ‘ 2 + π₯π’ = 0 = ππ’ ππ₯ + π₯2π‘ Homogénea No Homogénea TRANSFORMADAS TRANSFORMADA Z TRANSFORMADA Z SECUENCIA REGIÓN DE CONVERGENCIA FUNCIÓN ANALÍTICA EN UN DOMINIO TRANSFORMADA DE FOURIER TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea f una función definida para t β§ 0, entonces se dice que la integral es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja. Algunos teoremas son: β Teorema de Traslación: indica cuando el proceso tiene retraso durante un tiempo. β Teorema de Diferenciación: utilizado para transformar ecuaciones diferenciales. INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE RELACIÓN ENTRE TRANSFORMADAS RELACIÓN ENTRE TRANSFORMADAS FOURIER (C) LAPLACE FOURIER (D) ZETA NÚMEROS Y FUNCIONES COMPLEJAS NÚMERO COMPLEJO Los números complejos, designados con la notación β, son una extensión de los números reales β. Poseen una parte real y una parte imaginaria, representada por el símbolo i. π§ = π₯ + ππ¦ Parte real Parte imaginaria FORMAS DE EXPRESIÓN OPERACIONES PROPIEDADES REPRESENTACIÓN GRÁFICA FUNCIÓN COMPLEJA TRANSFORMACIÓN O MAPEO TRANSFORMACIÓN O MAPEO Dominio Imagen MAPEOS GENERALES METODOLOGÍA EJEMPLO LÍMITE LÍMITE LÍMITE EJEMPLO CONTINUIDAD CONTINUIDAD PROPIEDADES DE FUNCIONES CONTINUAS DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA βπ βπ REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN (FORMA POLAR) FUNCIONES ANALÍTICAS RELACIÓN DEFINIDA EN EL PUNTO y POSEE LÍMITE ↓ CONTINUA EN Z0 y CUMPLE CONDICIONES DE C-R ↓ DIFERENCIABLE EN EL PUNTO y EN EL ENTORNO ↓ ANALÍTICA (EN EL PUNTO) FUNCIÓN ARMÓNICA Y LAPLACIANO FUNCIÓN ARMÓNICA CONJUGADA FUNCIONES ELEMENTALES 1. LINEAL. 2. POTENCIAL (CON EXPONENTE ENTERO POSITIVO). 3. EXPONENCIAL COMPLEJA. 4. LOGARITMO COMPLEJA (FUNCIÓN MULTIVALUADA). 5. POTENCIA COMPLEJA. 6. TRIGONOMÉTRICAS. 7. HIPERBÓLICAS. 8. BILINEAL (O TRANSFORMACIÓN RACIONAL LINEAL) 9. INVERSA (1/Z) INTEGRAL COMPLEJA INTEGRAL COMPLEJA EJEMPLO
