Laboratorio No. 1 Solución de Ecuaciones
Diferenciales
Brayan Erasmo Atis Tarapues (218160021, bryanat96@udenar.edu.co),
Cristian Camilo Cerón Delgado (218160085, cristianceron@udenar.edu.co ),
Brayan Aldair Chamorro Tonguino (218160090, brayanchamorro@udenar.edu.co ).
Aplicamos transformada de Laplace en las ecuaciones (1) y
(2).
Resumen—Este laboratorio tiene como objetivo desarrollar la
solución de ecuaciones diferenciales aplicando los conocimientos
tratados en el curso de Análisis de Sistemas Dinámicos. Se
utilizarán dos maneras para lograr la solución, una mediante
Transformada de Laplace y esta se comparará con la simulación
obtenida en Matlab y el paquete de Simulink.
𝐶1 𝑆𝐻1 (𝑡) +
𝐶2 𝑆𝐻2 (𝑡) +
𝐻1 (𝑡)−𝐻2 (𝑡)
𝑅1
𝐻2 (𝑡)−𝐻1 (𝑡)
𝑅1
=1
+
(3)
𝐻2 (𝑡)
𝑅2
=0
(4)
Operamos en la ecuación (3) y obtenemos.
Palabras clave—Ecuaciones Diferenciales, Sistema de
ecuaciones, Matlab, Simulink
I.
𝐻1 (𝑠) (𝐶1 𝑆 +
1
𝑅1
)−
𝐻2 (𝑠)
𝑅1
=1
(5)
INTRODUCCÍON
Operamos en la ecuación (4) y obtenemos.
U
n Sistema Dinámico es un sistema cuyo estado evoluciona
en el tiempo y para representar la estructura del mismo se
pueden elaborar modelos que lo describan. En el presente
documento se pretende exponer los resultados más relevantes
encontrados después de realizar la guía del primer laboratorio y
obtener conclusiones de la evolución en el tiempo que tienen
las ecuaciones diferenciales que representan al sistema.
II.
DESARROLLO
A. Solución de ecuaciones Diferenciales
Para las constantes presentes en las ecuaciones diferenciales
utilizaremos los últimos dígitos de los códigos:
→
→
Codigo1: 218160021
Código 2: 218160085
X1 = 1, Y1=2
X2 = 5, Y2=8
Sea
C1=X1 = 1, C2=X2 = 5
R1=Y1 = 2, R2=Y2 = 8
𝐶1
𝐶2
𝜕ℎ1 (𝑡)
𝜕𝑡
𝜕ℎ2 (𝑡)
𝜕𝑡
+
+
ℎ1 (𝑡)−ℎ2 (𝑡)
𝑅1
ℎ2 (𝑡)−ℎ1 (𝑡)
𝑅1
= 𝛿(𝑡)
+
ℎ2 (𝑡)
𝑅2
𝐻1 (𝑠)
𝑅1
+ 𝐻2 (𝑠) (𝐶2 𝑆 +
(2)
1
𝑅1
+
1
𝑅2
)=0
(6)
Obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de las
ecuaciones (5) y (6) y remplazamos con los valores asignados
𝟏
𝟏
𝑯𝟏 (𝒔) (𝑺 + ) + 𝑯𝟐 (− ) = 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟓
𝑯𝟏 (𝒔) (− ) + 𝑯𝟐 (𝒔) (𝟓𝑺 + ) = 𝟎
𝟐
𝟖
Resolviendo el sistema por regla de cramer.
1
2 ]
[
5
0 5𝑠 +
8
𝐻1 (𝑠) =
1
1
𝑠+
−
2
2 ]
[
1
5
−
5𝑠 +
2
8
1
−
5
+0
8
𝐻1 (𝑠) =
5
5
5 1
5𝑠 2 + 𝑠 + 𝑠 +
−
8
2
16 4
5𝑠 +
(1)
=0
−
𝑯𝟏 (𝒔) =
𝟓𝒔 +
𝟓𝒔𝟐
𝟓
𝟖
𝟓𝟎
𝟏
+
𝒔+
𝟏𝟔
𝟏𝟔
realizamos el modelo matemático en simulink de matlab
mediante diagrama de bloques y se obtiene el siguiente
resultado.
1
1
2
[
]
1
−
0
2
𝐻2 (𝑠) =
1
1
𝑠+
−
2
2 ]
[
1
5
−
5𝑠 +
2
8
𝑠+
𝟏
𝟐
𝑯𝟐 (𝒔) =
𝟓𝟎
𝟏
𝟐
𝟓𝒔 +
𝒔+
𝟏𝟔
𝟏𝟔
Hacemos uso de Matlab para convertir 𝐻1 (𝑠) 𝑦 𝐻2 (𝑠) en
fracciones parciales.
𝟎, 𝟖𝟐𝟏𝟑
𝟎, 𝟏𝟕𝟖𝟕
𝑯𝟏 (𝒔) =
+
𝒔 + 𝟎, 𝟔𝟎𝟒𝟑 𝒔 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟕
𝑯𝟐 (𝒔) =
−𝟎, 𝟏𝟕𝟏𝟑
𝟎, 𝟏𝟕𝟏𝟑
+
𝒔 + 𝟎, 𝟔𝟎𝟒𝟑 𝒔 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟕
Observamos que coincide de manera aproximada con el
resultado analítico, ya que la función impulso es ideal y en
Simulink no se puede simular dicha función, sino que se debe
realizar una operación entre dos funciones escalón para
obtenerla, lo cual reduce el grado de exactitud del valor final.
aplicamos anti transformada de Laplace.
𝒉𝟏 (𝒕) = 𝟎, 𝟖𝟐𝟏𝟑𝒆−𝟎,𝟔𝟎𝟒𝟑𝒕 + 𝟎, 𝟏𝟕𝟖𝟕𝒆−𝟎,𝟎𝟐𝟎𝟕𝒕
𝒉𝟐 (𝒕) = 𝟎, 𝟏𝟕𝟏𝟑𝒆−𝟎,𝟔𝟎𝟒𝟑𝒕 + 𝟎, 𝟏𝟕𝟏𝟑𝒆−𝟎,𝟎𝟐𝟎𝟕𝒕
Realizamos las gráficas para 𝒉𝟏 (𝒕) 𝒚 𝒉𝟐 (𝒕) con ayuda de
Matlab y obtenemos.
B. Solución del problema del atractor de
Lorentz
El atractor de Lorentz se describe mediante las ecuaciones
diferenciales:
𝜕𝑥(𝑡)
= 𝑎(𝑦(𝑡) − 𝑥(𝑡))
𝜕𝑡
𝜕𝑦(𝑡)
= 𝑥(𝑡)(𝑏 − 𝑧(𝑡)) − 𝑦(𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝑧(𝑡)
= 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) − 𝑐𝑧(𝑡)
𝜕𝑡
A causa de que la solución analítica de estas ecuaciones
diferenciales no lineales puede ser muy extensa se realizó la
solución mediante la utilización del Toolbox Simulink de
Matlab. Donde las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, se relacionan de la
siguiente manera:
𝑎 = 10
𝑏 = 28 + 𝑥1 = 29
𝑐 = 8⁄3
Realizamos el modelo matemático mediante el diagrama de
bloques en simulink de matlab y obtuvimos los resultados que
describen el comportamiento del sistema dinámico del atractor
de Lorenz.
Grafica tridimensional.
Graficas en dos dimensiones.
C. Simulación propagación de un virus.
A partir del modelo matemático propuesto por Anderson
Gray McKendrick, conocido como modelo SIR de epidemias
se pretende realizar la simulación de la propagación del virus
SARS – CoV–2, que está vinculada al sistema de ecuaciones
diferenciales para las proporciones 𝑠(𝑡) de susceptibles, 𝑖(𝑡)
de infectados y 𝑟(𝑡) de removidos respecto al tamaño N de la
población (que se asume constante) dado por:
𝜕𝑠(𝑡)
= −𝛽𝑠(𝑡)𝑖(𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝑖(𝑡)
= (𝛽𝑠(𝑡) − 𝛼)𝑖(𝑡)
𝜕𝑡
𝜕𝑟(𝑡)
= 𝛼𝑖(𝑡)
𝜕𝑡
Donde 𝛽 es la tasa de infección y 𝛼 es la tasa de
recuperación. Para realizar nuestra simulación, haremos uso de
condiciones iniciales:
𝑠(0)=0.99>0 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 99% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑛𝑎
𝑖(0)=0.01>0 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 1% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎
Y obtenemos como resultado.
(𝑖(0)=1−𝑠(0)>0)
La estimación inicia cuando no hay recuperados aun
𝑟(0)=0
Se realiza el análisis del sistema mediante la utilización del
Toolbox Simulink de Matlab estableciendo un modelo
mediante diagrama de bloques.
Para 𝑠(𝑡),𝑖(𝑡),𝑟(𝑡) en:
1)
Un escenario positivo donde se presenta
comportamiento adecuado de la población:
un
𝛽=0.8
𝛼=0.4
En la gráfica se interpreta que el pico máximo de infectados
de la población será el 65%, como este valor se eleva respecto
al caso anterior se evidencia un decremento de las personas
susceptibles.
Obtenemos como resultado.
III. CONCLUCIONES
En la gráfica se interpreta que el porcentaje de infectados
llegara a un máximo 18% del del total de la población y luego
de este pico, presenta un descenso donde la tasa de
contagiados tiende a cero. También se evidencia gráficamente
que el numero de personas susceptibles es inversamente
proporcional al numero de personas recuperadas.
2)
Un escenario negativo donde se presenta
comportamiento no adecuado de la población:
𝛽=1.1
𝛼=0.1+(0.025∗𝑋1)= 1/8
un
- Durante la realización de la guía de primer taller, se logró
evidenciar la importancia que tienen los paquetes de software
como Matlab y su toolbox Simulink, los cuales nos permiten
crear una idea muy acertada del posible comportamiento de un
sistema dinámico.
- La implementación de herramientas matemáticas
avanzadas como lo es la transformada de Laplace facilitan en
gran medida las ecuaciones diferenciales que describen a un
sistema dinámico, agilizando así el proceso de modelado y
predicción de estos.
- El modelamiento de sistemas dinámicos nos permite predecir
el comportamiento de ciertos fenómenos naturales, los cuales
pueden causar graves daños a la humanidad y con ayuda de
modelos matemáticos podemos reducir el daño causado por
dichos fenómeno