Università di Camerino
Corso di Laurea in Matematica e Applicazioni
Corso di Algebra e Logica
Esercizi
a.a. 2022-23
Draft – version of 31 maggio 2023
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Gruppi: introduzione e definizioni
Esercizio 1.1. Sia (G, ·) un gruppo. Dimostrare che, per g, g ′ , h ∈ G,
h · g = h · g′ ⇒ g = g′ .
Esercizio 1.2. Sia R⋆ = R ∖ {0} e sia ⋆ l’operazione su R⋆ × R definita da
(x, y) ⋆ (w, z) = (xw, xz + y) .
Dimostrare che (R⋆ × R, ⋆) è un gruppo. Si tratta di un gruppo abeliano?
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Permutazioni
Esercizio 2.1. Siano
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ=
,
3 1 4 2 7 9 8 6 5
τ = (1324)(2536)(349)
permutazioni in (S9 , ◦).
(i) Scomporre σ e τ in prodotti di cicli disgiunti e calcolarne l’ordine.
(ii) Trovare σ −1 e τ −1 .
(iii) Determinare l’ordine di σ −1 ◦ τ ◦ σ.
3
Sottogruppi
Esercizio 3.1. Trovare tutti i sottogruppi di (Z6 , +).
Esercizio 3.2. Sia
a b
a b
GL2 (R) :=
: a, b, c, d ∈ R e det
= ad − bc ̸= 0
c d
c d
l’insieme delle matrici invertibili reali 2 × 2.
(i) Dimostrare che GL2 (R) è un gruppo con la moltiplicazione di matrici.
(ii) Una matrice A in GL2 (R) è detta ortogonale se il prodotto AAt = I, dove At è la
trasposta di A e I è la matrice identità. L’insieme delle matrici ortogonali 2 × 2 si
denota con O2 (R).
Dimostrare che, per A, B ∈ O2 (R),
(a) (AB)t = B t At
(b) (A−1 )t = (At )−1 .
(iii) Dedurre che O2 (R) ≤ GL2 (R).
1
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Gruppi ciclici
Esercizio 4.1. Sia (G, ·) un gruppo e siano a, b ∈ G. Mostrare che
(i) (a · b)2 = a2 · b2 se e solo se a · b = b · a
(ii) (a · b)−1 = a−1 · b−1 se e solo se a · b = b · a
(iii) per m, n ∈ Z, si ha am · an = am+n e (am )n = amn .
Esercizio 4.2. Sia (G, ·) un gruppo e sia a ∈ G un elemento di ordine finito. Mostrare
che o(a) è il più piccolo intero positivo m tale che am = 1G .
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Sottogruppi e classi laterali
Esercizio 5.1. Trovare le classi laterali destre di (12) in S3 .
Esercizio 5.2. Sia G un gruppo, sia H ≤ G e siano a, b ∈ G. Dimostrare che aH = bH
se e solo se b−1 a ∈ H.
6
Sottogruppi normali e gruppi quoziente
Esercizio 6.1. Sia G un gruppo finito, e siano H e K due sottogruppi tali che |H|, |K|
sono primi fra loro. Dimostrare che H ∩ K = {1G }.
Esercizio 6.2. Sia G un gruppo e siano H, K G. Dimostare che H ∩ K ◁ G.
Esercizio 6.3. Sia σ = (12345) ∈ S5 .
(i) Dimostrare che σ è pari.
(ii) Dimostrare che o(σ) = 5 e trovare ⟨σ⟩.
(iii) Mostrare che ⟨σ⟩ non è un sottogruppo normale di S5 .
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Funzioni che rispettano l’operazione
Esercizio 7.1. Sia det : GL2 (R) → R∗ la funzione che ad A ∈ GL2 (R) associa il determinante det A. Dimostare che det è un omomorfismo fra (GL2 (R), ×) e (R⋆ , ·) (dove
R⋆ = R ∖ {0}).
Esercizio 7.2. Siano G, H due gruppi e sia G abeliano. Sia φ : G → H un omomorfismo.
Dimostare che Im φ è abeliano.
2
8
Gruppi di ordine minore o uguale a 8
Esercizio 8.1. Siano G e H due gruppi. Dimostrare che G × H è abeliano se e solo se G
e H sono abeliani.
Esercizio 8.2. Sia G un gruppo di ordine 6 e sia a ∈ G un elemento di ordine 3. Sia
b∈
/ ⟨a⟩. Dimostrare che
(i) se o(b) ̸= 6, allora o(b) = 2
(ii) se ab = ba, allora o(ab) = 6.
Esercizio 8.3. Sia G = GL2 (C) l’insieme delle matrici invertibili 2 × 2 su C. Allora G è
un gruppo con la moltiplicazione di matrici (cf. Esercizio 3.2).
Siano i =
i
0
0 −1
e j=
.
0 −i
1
0
Dimostare che ⟨i, j⟩ è un sottogruppo di G = GL2 (C) isomorfo al gruppo Q dei quaternioni.
Esercizio 8.4. Sia K = {I, R, S, S ′ } il gruppo di Klein delle simmetrie di un rettangolo,
siano G = {I, R} = ⟨R⟩ e H = {I, S} = ⟨S⟩, dove R è la rotazione di π rispetto al centro
del rettangolo, e S è la riflessione nell’asse verticale. Dimostrare che
(i) K = G × H
(ii) K ∼
= Z2 × Z2 .
Esercizio 8.5. Siano G, H due gruppi finiti, g ∈ G e h ∈ H. Mostrare che l’ordine di
(g, h) ∈ G × H è mcm(g, h).
Esercizio 8.6. Dimostrare che i seguenti gruppi sono ciclici:
(i) Z3 × Z5
(ii) Z4 × Z5 .
Esercizio 8.7. (i) Mostrare che (1, 1) non genera Z2 × Z4 . Perché questo non basta a
dimostrare che Z2 × Z4 non è ciclico?
(ii) Dimostrare che Z2 × Z4 non è ciclico.
Esercizio 8.8. Dimostrare che Z9 × Z6 e Z2 × Z27 non sono isomorfi.
3
10
Anelli: introduzione
Esercizio 10.1. Siano f (x) = 2x3 − 3 e g(x) = 9x4 + 7x − x + 1 polinomi. Calcolare
f (x) + g(x) e f (x) · g(x) in ciascuno dei seguenti anelli di polinomi:
(a) Q[x]
11
(b) Z7 [x]
(c) Z2 [x].
Sottoanelli e ideali
Esercizio 11.1. Sia R un dominio di integrità e sia S un sottoanello di R. Determinare
se S è un dominio di integrità.
Esercizio 11.2. Sia (F, +, ·) un campo e sia S un sottoanello di F . Determinare se S è
un campo.
Esercizio 11.3. Sia (R, +, ·) un anello e sia I ⊆ R. Dimostrare che I R se e solo se
(i) 0R ∈ I
(ii) ∀ a, b ∈ I, a − b ∈ I
(iii) ∀ a ∈ I, r ∈ R, ar ∈ I e ra ∈ I.
Esercizio 11.4. Dimostrare che
a 0
: a, c ∈ R è un sottoanello di M2 (R) ma non
c 0
un ideale.
Esercizio 11.5. Siano m, n ∈ Z, m, n > 0 e sia d = MCD(m, n). Dimostrare che
nell’anello (Z, +, ·) l’ideale ⟨mZ ∪ nZ⟩ coincide con dZ.
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Anelli quoziente e omomorfismi
Esercizio 12.1. Sia f (x) = x2 + 1 ∈ Z2 [x] e sia I = ⟨x2 + 1⟩. Scrivere
(i) gli elementi di Z2 [x]/I
(ii) la tabella di Cayley di (Z2 /I, +)
(iii) la tabella di Cayley di (Z2 /I, ·).
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Domini di integrità unitari
Esercizio 13.1. Siano (R, +, ·) un dominio a ideali principali e a, b ∈ R. Dimostrare che
aR ∩ bR = ⟨mcm(a, b)⟩.
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14
Anelli euclidei
Esercizio 14.1. Sia (F, +, ·) un campo, e sia F [x] il corrispondente anello dei polinomi.
Sia v : F [x] → N la funzione definita da
(
0
se a(x) = 0F
v(a(x)) =
∂(a(x))
2
se a(x) ̸= 0F .
Dimostrare che v è una valutazione.
Esercizio 14.2. Sia (R, +, ·) un dominio di integrità unitario. Dimostrare che p ∈ R è
irriducibile se e solo se
p = ab ⇒ b ∼ p o a ∼ p .
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Anelli di polinomi
Esercizio 15.1. Trovare tutte le radici razionali di f (x) = 2x3 + 3x − 5.
16
Ideali primi e massimali
Esercizio 16.1. Stabilire se i seguenti ideali in Q[x] sono massimali.
(a) ⟨x5 + x4 + x2 − 1⟩
(b) ⟨x5 − 6x2 + 9x + 6⟩
Esercizio 16.2. Per ciascuno dei seguenti polinomi p(x), stabilire se Z2 [x]/p(x) è un
campo.
(a) p(x) = x2 + 1
(b) p(x) = x2 + x + 1
17
Campi
Esercizio 17.1. Sia K = Q[x]/⟨x2 − 2⟩ e sia α = ⟨x2 − 2⟩ + x. Scrivere un generico
elemento di K in termini di elementi di Q e α.
Esercizio 17.2. Sia K = Z7 [x]/⟨x2 − 3⟩ e sia α = ⟨x2 − 3⟩ + x. Scrivere un generico
elemento di K in termini di elementi di Z7 e α.
5
Esercizio 17.3. Sia p(x) = x2 − x + 1 ∈ Q[x].
(a) Dimostrare che p(x) è irriducibile su Q[x].
(b) Sia F = Q[x]/⟨p(x)⟩. Sia α = ⟨p(x)⟩ + x in modo che gli elementi di F si scrivano
nella forma a + bα con a, b ∈ Q. Trovare una forma generale per la moltiplicazione
di due elementi di F rappresentati in questa forma.
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