TUTORATO 2 - 21.10.22
1. Siano dati i tensori
A
= 3(e1 ⊗ e1 ) − 2(e1 ⊗ e3 ) + e2 ⊗ e1 − 4(e3 ⊗ e3 )
∼
B
= −e1 ⊗ e1 + 3(e2 ⊗ e2 ) − 2(e2 ⊗ e3 ) − 2(e3 ⊗ e1 )
∼
C
= −3(e1 ⊗ e2 ) + 3(e2 ⊗ e1 ) − 2(e2 ⊗ e3 ) + 2(e3 ⊗ e2 )
∼
e i vettori
v = 2e1 − e2 + 3e3
u = −e1 + 3e2 + 2e3
Calcolare
• tr A
, tr B
e tr C
e i determinanti
∼
∼
∼
• det A
, det B
e det C
∼
∼
∼
T
T
• A
eC
, |A
| e |C
|
∼
∼
∼
∼
• A
BeA
·B
∼ ∼
∼
∼
• A
v·B
ueA
u∧B
v
∼
∼
∼
∼
• W
(v) e W
(u)
∼
∼
• Il vettore assiale di C
∼
2
2. Dimostrare che se W
∈ L(V) è antisimmetrico W
è simmetrico.
∼
∼
(a) il tensore antisimmetrico di cui a è vettore assiale. Dimostrare che
3. Siano a, b, c ∈ V e sia W
∼
W
(a)(b ⊗ c) = (a ∧ b) ⊗ c
∼
4. Siano a, b ∈ V. Dimostrare che a ∧ b è il vettore assiale di W
= b ⊗ a − a ⊗ b.
∼
5. Dato il tensore
L
= 6(e1 ⊗ e2 ) + 5(e2 ⊗ e2 ) − 2(e2 ⊗ e1 ) + e1 ⊗ e3 − 3(e3 ⊗ e1 ) + 7(e3 ⊗ e3 )
∼
calcolarne la traccia, la norma e il determimante; scrivere il tensore trasposto. Calcolare L
w, con w = e1 − e2 + 2e3 .
∼
6. Dato il tensore
B
= −e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 + 6(e2 ⊗ e3 ) − 6(e3 ⊗ e2 )
∼
verificare che è antisimmetrico e calcolarne il vettore assiale.
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