Unidade 5 – Tensão e Deformação
Universidade Federal de Mato Grosso
Campus Universitário de Cuiabá
Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina: Mecânica e Resistência dos Materiais
Prof. Adnauer Tarquínio Daltro
Universidade Federal de Mato Grosso – Campus Cuiabá
Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina: Mecânica e Resistência dos Materiais
21ª. Aula:
Tensão e Deformação: O Conceito de
Tensão (2ª. Parte)
Docente: Adnauer Tarquínio Daltro, Dr
adnauer@ufmt.br
Cuiabá-MT, 2023
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ Vimos anteriormente que forças axiais
aplicadas a uma barra causam tensões normais
() e, enquanto forças transversais aplicadas
em parafusos, pinos e rebites provocam
tensões de cisalhamento nas conexões ().
✓ Nesses casos, as tensões foram determinadas
apenas em planos perpendiculares ao eixo do
elemento ou conexão.
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ Porém, em planos que não são perpendiculares ao eixo
do elemento, forças axiais provocam tensões normais e
tensões de cisalhamento nesses planos.
✓ Da mesma forma, forças transversais agindo sobre um
parafuso ou um pino provocam tensões normais e de
cisalhamento em planos que não são perpendiculares ao
eixo do parafuso ou pino
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ Considere a barra da figura sujeita as forças axiais P e P´.
Se a cortamos em um plano formando um ângulo θ com
o plano normal, teremos:
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ Podemos dividir P em suas componentes normal à seção F e
tangencial à seção V.
✓ Chamando de Aθ a área seccionada, chegamos às relações:
F = P  cosθ
V = P  senθ
F
σ=
Aθ
V
τ=
Aθ
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ Se chamarmos de A0 a área normal ao eixo, temos:
A0
Aθ =
cos θ
✓ Os valores das tensões no plano inclinado serão:
F
P  cosθ
σ=
=
A θ A 0 / cosθ
P
σ=
cos2 θ
A0
V
P  senθ
τ=
=
A θ A 0 / cosθ
P
τ=
senθ  cos θ
A0
Tensão em um Plano Obliquo sob
Carregamento Axial
✓ As equações nos fornecem as seguintes conclusões:
▪
A máxima tensão normal  ocorre para q = 0°;
▪
A tensão de cisalhamento  é nula para q = 0°;
▪
A tensão de cisalhamento  é máxima para q = 45°;
▪
Para q = 45° a tensão normal  é igual a tensão de
cisalhamento 
P
 max
P
=
sen 45 cos 45 =
A0
2A 0
o
P
P
2
o
=
cos 45 =
A0
2A 0
o
Exercício 1
Sabendo que P = 48 KN, determine as tensões normal e
cisalhante na emenda.
Resolução:
𝑃 = 48 𝑘𝑁 = 48.000 𝑁
𝐴𝑜 = 75x150 = 11.250 𝑚𝑚2
F
V
𝐹 = 𝑃𝑐𝑜𝑠45𝑜
𝑉 = 𝑃𝑠𝑒𝑛45𝑜
𝐹
𝜎=
𝐴𝜃
𝑉
𝜏=
𝐴𝜃
𝐴0
𝐴𝜃 =
𝑠𝑒𝑛45𝑜
𝐹
48.000x𝑐𝑜𝑠45𝑜
𝜎=
=
= 2,13 𝑀𝑃𝑎
𝑜
𝐴𝜃 11.250/𝑠𝑒𝑛45
𝑉
48.000x𝑠𝑒𝑛45𝑜
𝜏=
=
= 2,13 𝑀𝑃𝑎
𝑜
𝐴𝜃 11.250/𝑠𝑒𝑛45
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ Para um corpo sujeito a
várias cargas, um ponto
Q qualquer, interno ao
corpo, por equilíbrio de
uma das partes, fica
sujeito às forças: ΔFx e
ΔVx, que são
respectivamente as
forças normal e cortante
agindo sobre uma
pequena área ΔA que
circunda o ponto Q.
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ A força ΔVx pode ser decomposta segundo os eixos y
e z, obtendo-se as componentes: ΔVx y e ΔVx z
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ Dividindo cada força pela área ΔA e fazendo ΔA
aproximar-se de zero, obtêm-se as três componentes de
tensão, mostradas na figura
∆𝐹 𝑥
𝜎𝑥 = lim
∆𝐴→0 ∆𝐴
𝜏𝑥𝑦
∆𝑉𝑦
= lim
∆𝐴→0 ∆𝐴
𝜏𝑥𝑧
∆𝑉𝑧
= lim
∆𝐴→0 ∆𝐴
São as tensões
que ocorrem em
uma superfície
perpendicular ao
eixo x, na direção
dos eixos x, y e z,
respectivamente
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ A análise anterior pode ser feita considerando-se a parte
do corpo localizada à direita do plano vertical através de Q
✓ As mesmas intensidades, mas com
sentidos opostos, são obtidas para as
forças normal e cortante: ΔFx, ΔVx y e
ΔVx z e, para as tensões
correspondentes.
✓ Note na figura, que as tensões σx , τxy e
τxz têm sentidos nas direções negativas
dos eixos x, y e z, respectivamente.
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ Para cortes através de Q paralelos aos planos zx e xy,
obtemos as componentes: σy, τyz, τyx, σz, τzx, e τzy
✓ Para melhor visualização
do estado de tensão no
ponto Q, consideremos
um pequeno cubo de
lado a centrado em Q e
as tensões que atuam em
cada uma das seis faces
desse cubo, conforme
figura.
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ As forças normal e cortante que atuam nas várias faces do
cubo são obtidas multiplicando-se as componentes de
tensão correspondentes pela área ΔA de cada face.
✓ Aplicando as 6 equações de
equilíbrio considerando os eixos x´,
y´, e z´ que passam pelo ponto Q da
figura, obtemos, p. ex.:
෍ 𝑀𝑧´ = 0
𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 𝑎 − 𝜏𝑦𝑥 ∆𝐴 𝑎 = 0
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ Fazendo o mesmo para :
෍ 𝑀𝑥´ = 0
𝑒
෍ 𝑀𝑦´ = 0
✓ Obtemos:
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 e 𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧
✓ Ou seja, em planos ortogonais
entre si, ocorrem tensões de
cisalhamento iguais e em
sentidos contrários.
✓No plano:
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
Considerando uma barra sob carga axial:
✓ Para um cubo com faces,
respectivamente paralelas às faces
do elemento, o estado de tensões
corresponde apenas ao
surgimento de tensão normal nas
faces ortogonais ao eixo x
✓ Se o pequeno cubo for girado de
45º em torno do eixo z, surgem
tensões normais e de cisalhamento
nas faces x´e y´ do cubo elementar
Tensão sob Condições Gerais de
Carregamento; Componentes de Tensão
✓ Considerando um parafuso sob cisalhamento simples,
um cubo elementar no ponto Q, mostrará que as faces
do mesmo estará submetido apenas a tensões de
cisalhamento, caracterizando um estado de
cisalhamento puro:
Considerações de Projeto
✓ Em aplicações de engenharia, a determinação das
tensões raramente é o objetivo final.
✓ Ao contrário, o conceito de tensões é utilizado pelos
engenheiros como auxílio na sua mais importante
tarefa: o projeto de estruturas e máquinas que
executarão determinada função com segurança e
economia.
Determinação do limite de resistência de um
material
✓ Cada material tem um comportamento diferente
quando submetido a carga e portanto uma
determinada capacidade de carga, denominada de
força máxima ou carga limite PL
✓ Essa carga limite pode ser obtida por meio de ensaios
ou testes de laboratório, como o conhecido teste de
tração
Determinação do limite de resistência de um
material
✓ Do teste de tração obtêm-se, p. ex., a tensão normal
limite do material, conhecida como limite de
resistência à tração do material:
𝑃𝐿
𝜎𝐿 =
𝐴
✓ Há ensaios para determinar o limite da tensão de
cisalhamento, ou limite de resistência em
cisalhamento, de um material:
𝑃𝐿
𝜏𝐿 =
𝐴
Carga Admissível
✓ A carga admissível corresponde a um valor menor da
carga limite, de modo a garantir o desempenho do
elemento estrutural com segurança
✓ A carga admissível também é conhecida como carga de
trabalho ou carga de projeto
Coeficiente de Segurança e Tensão
Admissível
✓ Define-se o coeficiente de segurança (C.S.) como a relação
entre a carga limite e a carga admissível:
carga limite
C. S. =
carga admissível
✓ Em termos de tensões (método das tensões admissíveis):
σ𝐿
tensão limite
=
C. S. =
σ𝑎𝑑𝑚
tensão admissível
✓ A tensão admissível é a tensão segura, ou de projeto, com
σ𝐿
que a estrutura trabalha:
σ𝑎𝑑𝑚 =
C. S.
Coeficiente de Segurança
A seleção de um coeficiente de segurança apropriado depende
de vários fatores:
1. Variações que podem ocorrer nas propriedades do elemento estrutural;
2. Número de cargas que podem ser esperadas durante a vida da estrutura
ou máquina;
3. Tipo de carregamento planejado para o projeto ou que pode ocorrer no
futuro;
4. Tipo de falha que pode ocorrer;
5. Incerteza em virtude de métodos de análise;
6. Deterioração que pode ocorrer no futuro em razão da falta de manutenção
ou devido às causas naturais imprevisíveis
7. Importância de um determinado elemento para a integridade de toda a
estrutura.
Método Alternativo
✓ No método das tensões admissíveis todas as incertezas
associadas como o projeto de uma estrutura ou
elemento de máquina são agrupadas em um único
coeficiente de segurança
✓ Um método alternativo é o método dos estados limites,
com o uso de diferentes coeficientes de segurança para
distinguir as incertezas associadas com a própria
estrutura e material utilizado e aquelas associadas com
as ações que ela deve suportar por projeto. Tal método
tem sido empregado pelas principais normas de projeto
em concreto, aço e madeira.
Problema resolvido 1.3 (livro texto)
São aplicadas duas forças ao suporte BCD mostrado na figura.
a)
Sabendo que a barra de controle AB deve ser feita de aço e ter um limite de
tensão normal de 600 MPa, determine o diâmetro de uma barra para o qual
o coeficiente de segurança em relação à falha seja igual a 3,3.
b) Sabendo que o pino em C deve ser
feito de um aço com um limite de
tensão de cisalhamento de 350 MPa,
determine o diâmetro do pino C para o
qual o coeficiente de segurança com
relação ao cisalhamento seja também
igual a 3,3.
c) Determine a espessura necessária para
as barras de apoio em C, sabendo que
a tensão de esmagamento admissível
do aço utilizado é 300 MPa.
Resolução:
✓Obtenção de P e reações Cx e Cy:
෍ 𝑀𝐶 = 0
𝑃𝑥0,6 − 15𝑥0,6 − 50𝑥0,3 = 0
→ 𝑃 = 40 𝑘𝑁 ←
෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐶𝑥 − 𝑃 = 0
෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐶𝑦 − 50 − 15 = 0
→ 𝐶𝑥 = 40 𝑘𝑁 →
→ 𝐶𝑦 = 65 𝑘𝑁 ↑
Resolução:
a) Diâmetro da barra de controle AB:
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜎𝐿
600 𝑀𝑃𝑎
=
=
= 181,8 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆.
3,3
𝜎𝐴𝐵 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑑≥
𝑃
𝑃
𝜋𝑑2
𝑃
→ ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 → 𝐴 ≥
→
≥
𝐴
𝜎𝑎𝑑𝑚
4
𝜎𝑎𝑑𝑚
4𝑥𝑃
=
𝜋𝑥𝜎𝑎𝑑𝑚
4𝑥40𝑥103
𝜋𝑥181,8
→ 𝑑 ≥ 16,74 𝑚𝑚 ≅ 17 𝑚𝑚
Resolução:
b) Diâmetro do pino em C:
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜏𝐿
350 𝑀𝑃𝑎
=
=
= 106,1 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆.
3,3
✓ O pino está sob corte duplo
𝜏𝐶 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑑𝑐 ≥
𝐶
𝐶
𝜋𝑑2
𝐶
→
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 → 𝐴 ≥
→
≥
2𝐴
2𝜏𝑎𝑑𝑚
4
2𝜏𝑎𝑑𝑚
4𝑥𝐶
=
2𝜋𝑥𝜏𝑎𝑑𝑚
4𝑥76,3𝑥103
2𝑥𝜋𝑥106,1
→ 𝑑𝑐 ≥ 21,4 𝑚𝑚 ≅ 22 𝑚𝑚
Resolução:
c) Espessura para as barras de apoio em C:
𝜎𝑒𝑎𝑑𝑚 = 300 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑒 ≤ 𝜎𝑒𝑎𝑑𝑚
𝐶
→
≤ 𝜎𝑒𝑎𝑑𝑚
2. 𝑡. 𝑑
76,3𝑥103
𝑡≥
2𝑥22𝑥300
𝐶
→𝑡≥
2. 𝑑. 𝜎𝑒𝑎𝑑𝑚
→ 𝑡 ≥ 5,78 𝑚𝑚 ≅ 6 𝑚𝑚
Problema resolvido 1.4 (livro texto)
A viga rígida BCD está presa por parafusos
a uma barra de controle em B, a um
cilindro hidráulico em C e a um suporte
fixo em D. Os diâmetros dos parafusos
utilizados são: dB = dD = 9,5 mm, dC = 12,7
mm. Cada parafuso age sob cisalhamento
duplo e é feito de um aço para o qual o
limite da tensão de cisalhamento é τL =
275 MPa. A barra de controle AB tem um
diâmetro dA = 11 mm e é feita de um aço
para o qual o limite da tensão de tração é
σL = 414 MPa. Se o coeficiente de
segurança mínimo deve ser 3,0 para toda a
estrutura, determine a maior força
ascendente que pode ser aplicada pelo
cilindro hidráulico em C.
Resolução:
✓Diagrama de corpo livre e obtenção de C em função
de B e D
෍ 𝑀𝐷 = 0
→ B𝑥350 − 𝐶𝑥200 = 0
→ 𝐶 = 1,750𝐵
෍ 𝑀𝐵 = 0
→ C𝑥150 − 𝐷𝑥350 = 0
→ 𝐶 = 2,33𝐷
Resolução:
Maior força ascendente que pode ser aplicada pelo cilindro hidráulico em C,
de modo que nenhum elemento da estrutura se rompa:
✓ Limitação dada pela barra AB (haste de controle)
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜎𝐿
414 𝑀𝑃𝑎
=
=
= 138 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆.
3,0
𝜎𝐴𝐵 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜋 11
𝐵≤
4
𝐵
𝜋𝑑2
→ ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 → 𝐵 ≤ 𝐴. 𝜎𝑎𝑑𝑚 → 𝐵 ≤
. 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐴
4
2
. 138 → 𝐵 ≤ 13.114,6 𝑁 ≅ 13,11 kN
→ 𝐶1 = 1,75𝐵 = 1,75𝑥13,11 = 22,94 𝑘𝑁
→ 𝐶1 ≤ 22,94 𝑘𝑁
Resolução:
✓ Limitação dada pelo parafuso em B
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜏𝐿
275 𝑀𝑃𝑎
=
=
= 91,67 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆.
3,0
𝜏𝐵 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜋 9,5
𝐵≤2
4
𝐵
𝜋𝑑2
→
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 → 𝐵 ≤ 2𝐴. 𝜏𝑎𝑑𝑚 → 𝐵 ≤ 2
. 𝜏𝑎𝑑𝑚
2𝐴
4
2
. 91,67 → 𝐵 ≤ 12.995,5 𝑁 ≅ 13,0 kN
→ 𝐶1 = 1,75𝐵 = 1,75𝑥13,0 = 22,75 𝑘𝑁
→ 𝐶2 ≤ 22,75 𝑘𝑁
Resolução:
✓ Limitação dada pelo parafuso em C
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜏𝐿
275 𝑀𝑃𝑎
=
=
= 91,67 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆.
3,0
𝜏𝐶 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝐶
𝜋𝑑2
→
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 → 𝐶 ≤ 2𝐴. 𝜏𝑎𝑑𝑚 → 𝐶 ≤ 2
. 𝜏𝑎𝑑𝑚
2𝐴
4
𝜋 12,7
𝐶≤2
4
2
. 91,67 → 𝐶 ≤ 23.224,9 𝑁 ≅ 23,2 kN
→ 𝐶3 ≤ 23,2 𝑘𝑁
Resolução:
✓ Limitação dada pelo parafuso em D → o parafuso em D é igual ao
parafuso em B
𝐷 = 𝐵 = 13,0 𝑘𝑁
→ 𝐶 = 2,33𝐵 = 2,33𝑥13 = 30,29 𝑘𝑁
→ 𝐶4 ≤ 30,29 𝑘𝑁
Logo:
𝐶 = min 𝐶1 ; 𝐶2 ; 𝐶3 ; 𝐶4 = min (22,94; 22,75; 23,2; 30,29)
𝑪 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟓 𝒌𝑵
Exercício 2
1.45 Três parafusos de aço com
18 mm de diâmetro devem ser
utilizados para fixar a chapa de aço
mostrada na figura em uma viga
de madeira. Sabendo que a chapa
suportará uma carga de 110 kN e
que o limite da tensão de
cisalhamento do aço utilizado é
360 MPa, determine o coeficiente
de segurança para esse projeto.
Resolução:
✓ Dados:
𝑑𝑝 = 18 𝑚𝑚
𝑃 = 110 𝑘𝑁
𝜏𝐿 = 360 𝑀𝑃𝑎
𝑃𝐿
𝐶. 𝑆. =
𝑃
𝜋x182
𝑃𝐿 = 𝜏𝐿 𝐴 = 360x
= 91,609 x 103 𝑁
4
✓ Considerando os três parafusos:
𝑃𝐿 = 3 x 91,609 x 103 = 274,83 x 103 𝑁
274,83
𝐶. 𝑆. =
≅ 2,5
110
Exercício 3
1.46 Três parafusos de aço devem
ser utilizados para fixar a chapa de
aço mostrada na figura em uma viga
de madeira. Sabendo que a chapa
suportará uma carga de 110 kN, que
o limite da tensão de cisalhamento
do aço utilizado é 360 MPa e que é
desejado um coeficiente de
segurança 3,35, determine o
diâmetro necessário para os
parafusos.
Resposta: d = 2,084 cm.
Resolução:
✓ Dados:
𝑃 = 110 𝑘𝑁
𝜏𝐿 = 360 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆. = 3,35
𝜏𝑃 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑑≥
𝑃
→ =
𝐴
4𝑃
=
3𝜋𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑑 ≅ 21 𝑚𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜏𝐿
360
=
=
= 107,5 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆. 3,35
𝑃
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜋𝑑2
3.
4
4x110x103
= 20,84 𝑚𝑚
3x𝜋x107,5
Exercício 4
Os dois elementos de madeira
mostrados suportam uma carga de
16 kN e são unidos por juntas de
madeira contraplacadas
perfeitamente coladas pela
superfície de contato. A tensão de
cisalhamento limite da cola é de 2,5
MPa e o espaçamento entre os
elementos é de 6 mm. Determine o
comprimento L necessário para que
as juntas trabalhem com um
coeficiente de segurança igual a
2,75.
Resposta: L = 14,68 cm.
Resolução:
✓ Dados:
𝑒 = 6 𝑚𝑚
𝑏 = 125 𝑚𝑚
𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎
𝑃 = 16 𝑘𝑁
𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎 = 2,5 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆. = 2,75
𝑃
𝑃
16x103
𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎
2,5
=
=
=
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
=
2𝐴 2x 125 𝑚𝑚 x𝑙
250x𝑙
𝐶. 𝑆. 2,75
2,75x16x103
→𝑙≥
= 70,4 𝑚𝑚
2,5x250
→ 𝐿 = 2x𝑙 + 𝑒 = 2x70,4 + 6 = 146,8 𝑚𝑚
𝐿 ≅ 150,0 𝑚𝑚
Exercício 5
1.21 Uma carga axial de 40 kN
é aplicada a uma coluna curta
de madeira suportada por uma
base de concreto em solo
estável. Determine:
(a) a tensão de contato
máxima na base de concreto e
(b) o tamanho da base para
que a tensão de contato média
no solo seja de 145 kPa.
Resposta: (a) – 3,33 MPa; (b) b =
0,525 m.
Resolução:
✓ Dados:
𝜎𝑚é𝑑𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 = 145 𝑘𝑃𝑎
𝑃 = 40 𝑘𝑁
Base da coluna = 100 𝑚𝑚 x 120 𝑚𝑚
(a) Tensão de contato máxima da coluna de madeira na base de
concreto
𝜎𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
𝑃
40x103 𝑁
= =
= −3,33 𝑀𝑃𝑎
𝐴 100 𝑚𝑚x120 𝑚𝑚
(b) Tamanho da base
𝜎𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑃
=
𝐴
→𝐴=
𝑃
𝜎𝑏𝑎𝑠𝑒
40x103 𝑁
=
145x103 𝑁/𝑚2
𝑏 = 0,525 𝑚 = 52,5 𝑐𝑚
→
𝑏2
40 2
=
𝑚
145
Problemas Sugeridos:
Resolver os problemas sugeridos
1.29 a 1.58 (páginas 36 a 40) do
livro texto
Atividade:
✓ Não deixe de Ler a Revisão e
Resumo apresentados nas páginas
40 a 43 do livro texto.