Prácticas de Sistemas
de Control
Roberto Martínez Montejano
Unidad académica Multidisciplinaria Zona Media
Isaac Campos Cantón
Facultad de Ciencias
Raúl Castillo Meraz
Coordinación Académica Región Huasteca Sur
Tecnología y ciencias aplicadas
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© Roberto Martínez Montejano, Isaac Campos Cantón, Raúl Castillo Meraz.
D. R. © Universidad Autónoma de San Luis Potosí 2019.
Edición a cargo Roberto Martínez Montejano, Isaac Campos Cantón.
Diseño editorial: M. C. Juan Alberto Vértiz Hernández, Dr. Isaac Campos Cantón.
ISBN: 978-607-535-122-3 (e-Libro)
San Luis Potosí, México.
Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida en todo o en parte, ni
registrada o transmitida por un sistema de recuperación, en ninguna forma y medio, sea
mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico por fotocopia o cualquier otro,
sin permiso previo del titular de los derechos patrimoniales.
Índice general
1. Introducción a Matlab
1.1. Objetivo . . . . . . . .
1.2. Material . . . . . . . .
1.3. Procedimiento . . . . .
1.4. Reporte de resultados .
1.5. Conclusiones . . . . . .
2. Uso
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
básico de Simulink
Introducción . . . . . .
Objetivo . . . . . . . .
Material . . . . . . . .
Procedimiento . . . . .
Reporte de resultados .
Conclusiones . . . . . .
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3. Modelado matemático de sistemas fı́sicos:parte
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Sistemas mecánicos traslacionales. . . . .
3.1.2. Sistemas mecánicos rotacionales. . . . .
3.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Modelado matemático de sistemas
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Sistemas eléctricos. . . . .
4.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Material . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Procedimiento . . . . . . . . . . .
4.5. Reporte de resultados . . . . . . .
4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . .
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fı́sicos: parte II
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ii
5. Diseño de controladores analógicos por
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . .
5.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . .
compensación de fase.
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6. Identificación de procesos de primer orden
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Método gráfico para identificar un sistema de primer orden . . .
6.1.2. Segundo método gráfico para identificación de parámetros de procesos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Sintonización de controladores PID por
I.
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Método de Ziegler and Nichols. .
7.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . .
7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Sintonización de controladores
II.
8.1. Introducción . . . . . . . . . .
8.2. Objetivo . . . . . . . . . . . .
8.3. Material . . . . . . . . . . . .
8.4. Procedimiento . . . . . . . . .
8.5. Reporte de resultados . . . . .
8.6. Conclusiones . . . . . . . . . .
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método experimental parte
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PID por método experimental parte
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9. Sintonización de controladores PID forma
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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analı́tica parte I.
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iii
9.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.Sintonización de controladores PID forma
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . . .
10.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . .
analı́tica parte II.
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11.Creación de planta analógica de segundo
11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . . .
11.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . .
orden.
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12.Implementación de un PID analógico.
12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1. Etapa proporcional. . . . . . . .
12.1.2. Etapa integral. . . . . . . . . .
12.1.3. Etapa derivadora. . . . . . . . .
12.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Material . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . .
12.5. Reporte de resultados . . . . . . . . . .
12.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . .
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Introducción
Los sistemas de control son de mucha utilidad en el campo de la investigación y en
el industrial. El conocimiento de esta disciplina ahorra mucho en tiempo y en capital monetario a los ingenieros e investigadores. El entrenamiento para comprender las
técnicas empleadas en los sistemas de control debe realizarce a través de experimentos
en un ambiente controlado, para ello, el laboratorio es el lugar propicio. Ası́, a través
de prácticas diseñadas y con un objetivo a cubrir se generará la experiencia; y como
concecuencia, cuando se presente un desafı́o en el campo de trabajo, este se abordará
de la mejor forma esperando obtener los resulatdos satisfactorios.
Estas prácticas de control abarca lo que se ha denominado teorı́a de control clásico, se
han formulado 12 prácticas que a continuación se describen:
Práctica 1 Se conocerá el software Matlab a través de aplicar instrucciones básicas y
el concepto de sistema de primer orden.
Práctica 2 Se desarrollarán bloques básicos para la construcción de modelos en el
entorno de programación visual Simulink de Matlab, además de ejercitarse con
sistemas de segundo orden.
Práctica 3 Se obtedrá el modelado matemático de sistemas mecánicos rotacionales
y traslacionales, su función de transferencia y su espacio de estados. Además
de obtener las respuestas al impulso y al escalón de dichos sistemas usando el
software Matlab.
Práctica 4 Se estudiará el modelado matemático de sistemas eléctricos obteniendo la
función de transferencia y su espacio de estados. Además de obtener la respuesta
al impulso y al escalón unitario de dichos sistemas a través del software Matlab.
Práctica 5 Se diseñará un controlador por compensación de fase utilizando un compensador por adelanto de fase. Se obtendrán las caracterı́sticas de la planta en
lazo abierto con base a las especificaciones dadas y se realizará el cálculo para las
ganancias del compensador.
Práctica 6 Se identificarán los parámetros básicos en un sistema de primer orden con
retardo.
Práctica 7 Se diseñará un controlador por método gráfico de Ziegler-Nichols para
sintonizar los parámetros de control en sistemas de primer orden.
Práctica 8 Se diseñará un controlador por el método última ganancia para sintonizar
los parámetros de control.
1
2
Práctica 9 Se diseñará un controlador usando el criterio de Routh-Hurwitz para sintonizar los parámetros de control de forma analı́tica.
Práctica 10 Se diseñará un controlador por la modificación de polos a través del
análisis matemático y se realizará la sintonización de sus parámetros de control.
Práctica 11 Se construirá una planta de segundo orden utilizando amplificadores operacionales, se identificarán sus parámetros y se variará la constante de amortiguamiento.
Práctica 12 Se implementará un controlador PID utilizando amplificadores operacionales y su sintonización para un sistema de segundo orden.
De esta forma se aborda un conjunto de prácticas para la teorı́a de los sistemas de
control clásico. A continuación se describe de forma detallada cada práctica.
Práctica 1
Introducción a Matlab
El modelado matemático de un sistema dinámico, es el conjunto de ecuaciones que
representan la evolución del mismo con bastante precisión o en el grado más cercano
a ello. Dicho modelo matemático no es único para un sistema determinado, ya que
puede representarse de diversas formas, por lo que se pueden tener diferentes modelos
matemáticos dependiendo de la perspectiva a analizar. La dinámica de los sistemas generalmente se representa a través de ecuaciones diferenciales, que se obtienen mediante
la aplicación de leyes fı́sicas como leyes de Newton o leyes de Kirchhoff, por mencionar
algunas.
Un sistema que se denomina lineal e invariante en el tiempo, es aquel en el que se
puede aplicar el principio de superposición y además tiene coeficientes constantes o
son funciones de una variable independiente.
En un sistema lineal invariante en el tiempo, una función de transferencia se define
como el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada. El sistema viene dado por la siguiente ecuación
diferencial:
an y n (t)+an−1 y n−1 (t)+..+a1 ẏ(t)+a0 y(t) = bm um (t)+bm−1 um−1 (t)+..+b1 u̇(t)+b0 u(t)
(1.1)
En donde u(t) representa la entrada y y(t) la salida. La función de transferencia que
relaciona la salida con la entrada de la ecuación diferencial (1.1) es:
G(s) =
bm sm + bm−1 sm−1 + .. + b1 s + b0
Y (s)
=
U (s)
an sn + an−1 ss−1 + .. + a1 s + a0
(1.2)
A partir de este concepto, es posible representar la dinámica de un sistema mediante
ecuaciones algebraicas en el dominio s, siendo la potencia más alta en el denominador
la que originará el orden del sistema, esto es, si la función es de orden n, el sistema
3
4
será de n-ésimo orden.
Para poder conocer la respuesta del sistema, se utilizan diversas entradas prototipo,
dentro de las cuales, las más comunes son el impulso y el escalón. La salida del sistema
con esas entradas, arrojará información acerca de la estabilidad, rapidez del sistema,
sobretiro, tiempo de asentamiento, etc. El análisis de estas respuestas, se conoce como
análisis de respuesta transitoria y estacionaria. El software Matlab se puede utilizar
para conocer y analizar la respuesta del sistema dinámico modelado matemáticamente, en donde se puede encontrar el conjunto de instrucciones que se detalla en la tabla 1.
1.1.
Objetivo
Conocer y aplicar las intrucciones básicas de Mtalab para obtener la respuesta de un
proceso ante diversas funciones de entrada, además de estudiar los parámetros de un
sistema de primer orden.
1.2.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
1.3.
Procedimiento
1. Capture las siguientes funciones de transferencia en MATLAB:
G1 (s) =
12s2
2s + 25
+ 115s + 245
(1.3)
315
(1.4)
+ 115s + 350
2. Obtenga la expansión en fracciones parciales de las funciones G1 y G2 .
3. Dado que G(s)=Y(s)/R(s), suponga que r(t)=δ(t) (δ(t) = impulso). Obtenga la
respuesta en el tiempo y(t) si G(s)=G1 (s)*G2 (s).
Utilizando la transformada inversa de Laplace.
Utilizando la función impulse.
4. Obtenga la respuesta en el tiempo a una entrada escalón unitario a la planta
G(s)=G1 (s)*G2 (s):
Utilizando la transformada inversa de Laplace.
G2 (s) =
17s2
5
Tabla 1.1: Ejemplos de comandos
Sintaxis
Descripción
B=[b1 b2...bn]
Asigna un vector 1×n (con
elementos b1, b2,...,bn) a la
variable B. El polinomio es
un vector de coeficientes de
potencias descendentes.
tf(B,A)
Define una función de transferencia
conv(p,q)
Multiplica los polinomios
representados por los vectores p y q.
[R,P,K]=residue(B,A) Calcula los residuos, polos y
término directo de una expansión en fracciones parciales de la relación de polinomios B(s)/A(s)
syms x
Construye objetos simbólicos (x es una variable a la
que no se asigna un valor en
particular).
ilaplace(arg)
Obtiene la transformada inversa de Laplace de la función que se encuentra en el
argumento.
impulse(g)
Obtiene la gráfica de la respuesta a una entrada impulso de un sistema dinámico,
donde g es una función de
transferencia.
[Y,t]=step(g)
Obtiene la respuesta ante
una entrada escalón de una
función de transferencia g.
Y es el vector de la respuesta y t el del tiempo.
Grid
Cuadricula el área de la
gráfica.
xlabel(’texto’)
Coloca el nombre del eje x.
ylabel(’texto’)
Coloca el nombre del eje y.
title(’texto’)
Coloca el tı́tulo de la gráfica.
hold on
Retiene la curva para añadir
otra sobre la misma gráfica.
en Matlab
Ejemplo
B1=[2 30]; A1=[1 25 174
360];
G1=tf(B1,A1)
MB2=conv([2],[-1.5 1];
[R1,P1,K1]=residue(B1,A1);
syms s;
ilaplace((3*s+5)/(s∧ 2+2));
impulse(G1);
[Y1,t1]=step(G1);
Grid
xlabel(’tiempo(s)’)
ylabel(’Respuesta’)
title(’Respuesta G1 al impulso’)
hold on
6
Utilizando la función step.
5. Añadir un retraso de 2.5 segundos a la función de transferencia G(s). Obtenga la
respuesta al escalón unitario. Observación: use la inversa de Laplase.
6. Defina cuatro sistemas de primer orden (usted deberá de otorgar los valores necesarios a k4 , k5 , τ4 , τ6 , θ7 ). Obtenga la respuesta al escalón unitario de los cuatro
sistemas en una misma gráfica y concluya el efecto de los parámetros.
G(3) =
k4
τ4 s + 1
k5
τ4 s + 1
k5
G(3) =
τ6 s + 1
k5 e−θ7 s
G(3) =
τ6 s + 1
G(3) =
1.4.
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Se deberá de describir todo el procedimiento utilizado en los puntos mencionados
en la sección anterior.
En el punto 2, se debe incluir en el reporte la expansión en fracciones parciales no como una captura de pantalla del resultado arrojado por Matlab, sino
reescribiéndolo en el editor de ecuaciones de Word.
De los puntos 3, 4, 5 y 6 se debe de incluir el procedimiento, las ecuaciones
obtenidas y las gráficas.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
1.5.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 2
Uso básico de Simulink
2.1.
Introducción
Un diagrama de bloques de un sistema, es una representación gráfica de las funciones
que tiene cada componente y flujo de señales, mostrando las relaciones existentes entre
los diversos componentes. Un diagrama de bloques tiene la ventaja de mostrar el flujo
de las señales de una forma directa. En estos diagramas, las variables se enlazan unas
con otras mediante bloques funcionales, que incluyen un sı́mbolo para la representación
matemática que realiza ese bloque sobre la señal de entrada, para producir una cierta
salida.
Las funciones de transferencia de los bloques se escribe dentro de estos, interconectandose entre sı́ mediante flechas, que indican la dirección del flujo de las señales. Un
diagrama de bloques muestra una propiedad explı́cita unilateral. En la figura 2.1 se
muestra el esquema de un diagrama de bloques.
Figura 2.1: Bloque donde se especifica la función de transferencia.
Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento
dinámico, pero no incluye la información de la construcción fı́sica del sistema, es por
ello, que un mismo sistema puede ser representado por diferentes diagramas de bloques.
7
8
Para poder simular los diagramas de bloques, se puede utilizar el entorno Simulink
de Matlab, el cual es un entorno de programación visual en bloques de alto nivel. Se
utiliza para realizar pruebas de forma anticipada y eficiente, que incluye diversos entornos como comunicaciones inalámbricas, electrónica de potencia, sistemas de control,
procesamiento de señales, robótica, procesamiento de imágenes, entre otros.
Dentro de los bloques básicos que se pueden encontrar en Simulink, se detallan algunos
en la Tabla 2.1.
Se pueden modificar los parámetros de la simulación en Simulink, para ajustarlo a
las condiciones requeridas, como se muestra en la Tabla 2.2.
En la figura 2.2 se muestran los parámetros descritos en la Tabla 2.2 como aparecen en Simulink.
Figura 2.2: Configuración de parámetros de Simulink.
9
Bloque
Tabla 2.1: Ejemplos de bloques en Simulink
Descripción
Librerı́a
Genera una señal de tipo escalón, en Sources
la que puede configurarse el tiempo de
aplicación, valor inicial y valor final.
Define una función de transferencia Continuous
donde el numerador y denominador
están dados por dos vectores de coeficientes de potencias descendentes de s.
Simula el tiempo muerto del proceso.
Continuous
Multiplexa las señales de entrada en Signal Routing
una señal de salida, donde se puede
configurar el número de señales de entrada
Genera una gráfica de la simulación con Sinks
la señal de entrada que puede contener
información de una o varias variables.
Permite transferir los resultados de la Sinks
simulación al espacio de trabajo de
Matlab. Puede configurarse el nombre
de la variable y su tipo.
Suma señales. El número y signo de las
señales a sumar puede configurarse.
Math
tions
Opera-
10
Parámetro
Start time
Stop time
Tabla 2.2: Parámetros de simulación en Simulink
Descripción
Valor tı́pico
Tiempo de inicio de la simulación.
Cero
Tiempo final de la simulación.
Ajustable
para observar el
transitorio
Se especifica si el tamaño de paso para Variable
la simulación es fijo o variable.
Solver
optionsType
Solver op- Método numérico que el simulador uti- Ode45
tions
lizará para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
Finalmente, en la tabla 2.3 se describen los comandos que se pueden utilizar al momento de exportar una señal mediante simout a ventana de comandos de Matlab.
Sintaxis
plot(x,y)
Arreglo(:,num)
plot(x,y,’g’)
hold on
gtext(’letrero’)
hold off
grid
title(’tı́tulo’)
Tabla 2.3: Instrucciones de Matlab
Descripción
Ejemplo
Grafica la curva y(x).
plot(tout,simout);
Se hace referencia a los ele- simout(:,1);
mentos de todas las filas de
la columna num.
Grafica la curva y(x) en co- plot(tout,simout(:,1),’g’);
lor verde.
Permite añadir curvas al hold on
mismo espacio de graficado
Coloca letrero donde se po- gtext(’G1’)
sicione el cursor sobre la
gráfica
Deja de añadir curvas sobre hold off
la misma gráfica.
Cuadricula el área de grafi- grid
cado.
Coloca tı́tulo especificado title(’Diferentes tipos de sisen la gráfica.
temas de segundo orden’)
11
2.2.
Objetivo
Conocer y aplicar bloques básicos para la construcción de modelos en Simulink además
de distinguir distintos tipos de sistemas de segundo orden.
2.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
2.4.
Procedimiento
1. Construya un diagrama de bloques en Simulink para la implementación de un
lazo de control; formado por un proceso y controlador, dados por Gp (s), Gd (s) y
Gc (s), como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3: Diagrama de bloques de lazo de control retroalimentado.
En donde:
2
k
=
τs + 1
7s + 1
−0.5
kd
Gd (s) =
=
τd s + 1
10s + 1
1.75s + 1.75
Gc (s) =
s
Gp (s) =
(2.1)
(2.2)
(2.3)
La figura 2.4 muestra la implementación en Simulink del sistema de control mostrado previamente.
12
Figura 2.4: Implementación de lazo de control en Simulink.
2. Simule un cambio de referencia R(t) de 0 a 1 iniciando en t=1, además de la
presencia de una perturbación D(t) de 0 a 1 en t=5. El tiempo total de simulación
del sistema de control deberá ser de 30.
Grafique los resultados de simulación en Matlab
3. Construya el modelo descrito en la figura 2.5, en Simulink.
Figura 2.5: Diagramas de Simulink para comparar sistemas de segundo orden.
4. Utilice el diagrama de Simulink descrito en el punto anterior para comparar la
respuesta de los tres tipos de sistemas de segundo orden ante una entrada escalón.
13
5. Calcule el discriminante e identifique cada respuesta (subamortiguada, sobreamortiguada y crı́ticamente amortiguada) e identifique cada sistema del inciso
anterior en la gráfica del ”scope”de Simulink.
6. Grafique los resultados de la simulación en Matlab, utilizando el siguiente código:
plot(tout,simout(:,1),tout,simout(:,2),tout,simout(:,3))
grid
hold
xlabel(’tiempo’)
ylabel(’Respuesta transitoria’)
gtext(’Y 1’,’fontzise’,12)
gtext(’Y 2’,’fontzise’,12)
gtext(’Y 3’,’fontzise’,12)
7. El diagrama de simulink de la figura 2.6, muestra la manera de incluir un tiempo muerto a la respuesta del sistema. Compare la respuesta de los sistemas con
tiempo muerto y sin tiempo muerto.
Figura 2.6: Sistema en Simulink con tiempo muerto.
8. Construya las siguientes funciones de transferencia y defina los parámetros. Muestre el efecto de cada parámetro.
ke−θ1 s
(τ 2 )s2 + 2(τ )(ζ1 )s + 1
ke−θ1 s
G1 (s) = 2 2
(τ )s + 2(τ )(ζ2 )s + 1
G1 (s) =
(2.4)
(2.5)
14
G1 (s) =
2.5.
ke−θ2 s
(τ 2 )s2 + 2(τ )(ζ1 )s + 1
(2.6)
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Se deberá de describir todo el procedimiento utilizado en los puntos mencionados
en la sección anterior.
Se deben incluir los cálculos realizados en el punto 5 para la obtención del discriminente.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo solicitado anteriormente, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
2.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 3
Modelado matemático de sistemas
fı́sicos:parte 1
3.1.
Introducción
Los modelos matemáticos pueden adoptar diferentes formas dependiendo del sistema
que se trate y dependiendo de las circunstancias especı́ficas del mismo, un modelo puede ser más conveniente que otro, por ejemplo en control óptimo, es provechoso utilizar
representaciones en espacio de estados, en cambio para el análisis de la respuesta transitoria, es mejor utilizar la función de transferencia. Teniendo dicho modelo matemático
se pueden utilizar diversos recursos como algún software para analizarlo y sintetizarlo.
Dependiendo del sistema fı́sico a tratar, serán las leyes fı́sicas aplicadas al mismo, teniendo sistemas eléctricos, mecánicos, electrónicos, hidráulicos, neumáticos, entre otros.
3.1.1.
Sistemas mecánicos traslacionales.
Los sistemas mecánicos son aquellos conformados por tres elementos básicos: masa,
resorte y amortiguador. La ley base sobre la cual se rigen es la primera ley de Newton,
que relaciona las fuerzas aplicadas sobre un objeto respecto a su desplazamiento:
X
Fi = m
i
d2 x
dt2
(3.1)
Donde Fi son las fuerzas vectoriales que actúan sobre el objeto, x es el valor de desplazamiento y m la masa del objeto.
En la tabla 3.1, se muestran las ecuaciones de dichos componentes:
En los sistemas mecánicos, la masa y el resorte, son elementos que almacenan energı́a.
15
16
Tabla 3.1: Ecuaciones de elementos de sistemas mecánicos traslacionales.
Bloque funcional
Ecuación descriptiva
Energı́a
almacenada/potencia disipada
2
Resorte
F = kx
E = 12 Fk
2
Masa
F = m ddt2x
E = 12 mv 2
dx
Amortiguador
F = c dt
P = cv 2
Por su parte, el amortiguador es un elemento meramente disipativo.
Ejemplo: considere una masa que se mueve sobre un plano en la cual existe una acción de fuerza externa y fricción viscosa por la superficie de desplazamiento (b es el
coeficiente de fricción) como la que se muestra en la figura 1. Se deberá de obtener
la función de transferencia y la representación en espacio de estados, donde x(t) es el
desplazamiento y la fuerza externa es F (t).
Figura 3.1: Figura de ejemplo 1.
Aplicando la ley de Newton se obtiene (observación: dx/dt = ẋ)
F (t) − bẋ(t) = mẍ(t)
(3.2)
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero, se obtiene:
G(s) =
X(s)
1/m
=
F (s)
s(s + b/m)
(3.3)
Para la representación en espacio de estados, se considera la fuerza aplicada como la
entrada u(t) = F (t) y la salida como el desplazamiento y(t) = x(t), y se definen dos
estados:
17
x1 = x(t)
(3.4)
x2 (t) = ẋ(t)
(3.5)
Al momento de realizar la sustitución se tiene:
ẋ1 = x2
(3.6)
1
b
x2 + u(t)
m
m
(3.7)
ẋ2 = −
Con lo que se puede representar el modelo en el espacio de estados de forma matricial
como sigue:
ẋ1
0
1
x1
0
=
+
u(t)
(3.8)
ẋ2
0 −b/m x2
1/m
x1
y(t) = 1 0
+ 0 u(t)
(3.9)
x2
3.1.2.
Sistemas mecánicos rotacionales.
Los sistemas mecánicos rotacionales están conformados por tres elementos básicos: momento de inercia, resorte de torsión y amortiguador rotacional. La forma de obtener su
modelado matemático, es muy parecida a la de los sistemas tralacionales, teniendo las
ecuaciones que se describen en la tabla 3.2.
Tabla 3.2: Ecuaciones de elementos de sistemas mecánicos rotacionales
Bloque funcional
Ecuación descriptiva
Energı́a
almacenada/potencia disipada
2
Resorte
τ = kθ
E = 12 τk
2
Masa
τ = I ddt2θ
E = 12 Iω 2
Amortiguador
τ = c dθ
P = cω 2
dt
Las leyes fı́sicas que se aplican en estos sistemas son las mismas leyes de Newton pero
en versión de movimiento rotacional, teniendo que θ es el desplazamiento, I es el momento de inercia, τ es el par o torque y ω es la velocidad angular. La ecuación principal
es la que a continuación se muestra:
X
X
τi =
Fi l = I θ̈
(3.10)
i
i
donde F es la fuerza lineal y l la distancia.
18
3.2.
Objetivo
Obtener el modelado matemático de sistemas mecánicos rotacionales y traslacionales,
en función de transferencia y espacio de estados. Además de obtener las respuestas al
impulso y escalón de dichos sistemas en Matlab.
3.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
3.4.
Procedimiento
1. Obtener el modelo matemático que describe el comportamiento del siguiente sistema descrito en la figura 3.2, r(t) representa la fuerza de entrada, y2 y y1 los
desplazamientos de las masas.
Donde se deben de utilizar las relaciones k2 (y2 − y1 ), b(ẏ2 − ẏ1 ) y k1 y1 . El modelo
matemático deberá quedar de la forma:
m1 ÿ1 + bẏ1 + (k2 + k1 )y1 = bẏ2 + k2 y2 + r(t)
(3.11)
m2 ÿ2 + bẏ2 + k2 y2 = bẏ1 + k2 y1
(3.12)
2. Obtener la función de transferencia Y1 (s)/R(s) del sistema anterior.
3. Obtener la respuesta al impulso y la respuesta escalón del sistema en Simulink
de Matlab. Considerar m1 = m2 = 1, k1 = k2 = 2 y b = 3.
4. Obtener el modelo matemático del sistema mecánico rotacional descrito en la
figura 3.3.
El modelo deberá quedar de la forma:
τ = kθ + bθ̇ + I θ̈
(3.13)
5. Desarrolle la función de transferencia y el espacio de estados del sistema rotacional.
6. Obtener la respuesta al impulso y respuesta al escalón del sistema rotacional.
Según el tipo de respuesta clasifique el sistema (subamortiguado, sobreamortiguado, crı́ticamente amortiguado), usando k = b = I = 1. Obtener de forma
19
Figura 3.2: Sistema de dos masas, dos resosrtes y un amortiguador.
Figura 3.3: Sistema rotacional masa resorte amortiguador.
20
analı́tica el tipo de sistema utilizando el discriminante de la función de transferencia.
3.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Se deberá de describir todo el procedimiento paso por paso para obtener el modelo
matemático, la función de transferencia y el espacio de estados de ambos sistemas.
Detallar el procedimiento utilizado en Simulink para obtener las respuestas correspondientes.
Las gráficas deberán guardarse en JPEG y no como captura de pantalla, para
esto hacer uso de simout.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
3.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 4
Modelado matemático de sistemas
fı́sicos: parte II
4.1.
4.1.1.
Introducción
Sistemas eléctricos.
Los sistemas eléctricos, al igual que los sistemas mecánicos rotacionales y traslacionales, están compuestos de tres elementos básicos: resistencia, capacitor e inductor. Las
ecuaciones de dichos componentes se presentan en la tabla 4.1.
Bloque funcional
Inductor
Capacitor
Resistor
Tabla 4.1: Ecuaciones de sistemas eléctricos
Ecuación descriptiva
Energı́a
almacenada/potencia disipada
R
di
1
v = L dtR ,
E = 12 Li2
i = L vdt
v = C1 idt, i = C dv
E = 12 Cv 2
dt
2
v = Ri,
i = Rv
P = vR
En donde el inductor y el capacitor, son elementos que almacenan energı́a, el capacitor en forma de voltaje y el inductor en forma de corriente eléctrica; en tanto que la
resistencia es un elemento solo disipativo.
Las leyes fundamentales que se aplican a los sistemas eléctricos, son las leyes de Kirchhoff:
Corriente: la suma de corrientes que entran en un nodo, es igual a la suma de
corrientes que salen de él. La ecuación que se plica es:
n
X
ijent
j=1
=
m
X
j=1
21
ijsal
(4.1)
22
Voltaje: la suma de las diferencias de potencial sobre una malla es cero. Esto es:
n
X
vj = 0
(4.2)
j=1
Ejemplo: Encontrar la ecuación diferencial que gobierna al circuito eléctrico considerando condiciones iniciales nulas, la variable manipulada será v(t) y la variable controlada i(t). El circuito es un RLC en serie como el que se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1: Circuito RLC en serie.
Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff se obtiene:
v = vL + vR + vC
(4.3)
Sustituyendo las respectivas ecuaciones para inductor, resistor y capacitor se obtiene:
Z
1
di
idt
(4.4)
v = L + iR +
dt
C
Mediante la transformada de Laplace y relacionando corriente y voltaje, entonces la
función de transferencia es de la siguiente forma:
G(s) =
I(s)
s/L
= 2
V (s)
s + sR/L + 1/LC
(4.5)
Para el espacio de estados se considera el voltaje de la fuente como la entrada u(t) = v(t)
y la salida la corriente en el capacitor i(t), entonces los estados estarán dados por:
Z
(4.6)
x1 = i(t)dt
23
x2 = i(t)
(4.7)
ẋ1 = x2
(4.8)
Al sustituirlos se obtiene:
ẋ2 = −
1
R
1
x1 − x2 + u(t)
LC
L
L
(4.9)
Quedando el espacio de estados como a continuación se muestra:
0
ẋ1
=
1
ẋ2
− LC
x1
0
+ 1 u(t)
R
x2
L
L
1
x1
y(t) = 1 0
+ 0 u(t)
x2
4.2.
(4.10)
(4.11)
Objetivo
Obtener el modelado matemático de sistemas eléctricos, en función de transferencia y
espacio de estados. Además de obtener las respuestas al impulso y escalón de dichos
sistemas en Matlab.
4.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
24
4.4.
Procedimiento
1. Del modelo descrito en la figura 4.1, simule la función de transferencia en Simulink de Matlab con una entrada escalón para los siguientes valores:
R=L=C=1
R=2, L=C=1
R=3, L=C=1
R=0, L=C=1
2. Clasifique el sistema según el tipo de respuesta en amortiguado, subamortiguado,
crı́ticamente amortiguado, etc. Compruebe además de forma analı́tica analizando
el discriminante de la función de transferencia.
3. Obtenga el modelo matemático del circuito RLC en paralelo de la figura 4.2.
Figura 4.2: Circuito RLC en paralelo.
4. Obtenga la función de transferencia y el espacio de estados del sistema RLC en
paralelo, tome el voltaje en la resistencia como la salida.
5. Con la función de transferencia obtenga la salida del sistema con una entrada
escalón, cuando los valores de los componentes son los siguientes:
R=L=C=1
R=2, L=C=1
R=3, L=C=1
R=0, L=C=1
6. Clasifique el sistema según el tipo de respuesta en amortiguado, subamortiguado,
crı́ticamente amortiguado, etc. Compruebe además de forma analı́tica analizando
el discriminante de la función de transferencia.
25
4.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Se deberá de describir todo el procedimiento paso por paso para obtener el modelo
matemático, la función de transferencia y el espacio de estados de ambos sistemas.
Detallar el procedimiento utilizado en Simulink para obtener las respuestas correspondientes, además de los discriminantes para clasificar los sistemas.
Las gráficas deberán guardarse en JPEG y no como captura de pantalla, para
esto hacer uso de simout.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
4.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
26
Práctica 5
Diseño de controladores analógicos
por compensación de fase.
5.1.
Introducción
Con el término de respuesta en frecuencia se hace referencia a la respuesta de un sistema
en estado estacionario a una entrada senoidal. Los métodos de respuesta de frecuencia
varı́an la frecuencia de la señal de entrada en un cierto rango para poder analizar la
respuesta de salida a estas variaciones de frecuencia.
Los métodos de respuesta en frecuencia se desarrollaron por Nyquist, Bode y Nichols
entre los años 1930-1940, los cuales son los más potentes en teorı́a de control clásica,
aunque también son indispensables en control robusto.
Para la presentación de las caracterı́sticas de la respuesta en frecuencia de forma gráfica
se puede utilizar un diagrama de Bode o diagrama logarı́timico. El diagrama de Bode
está conformado por dos gráficas: una de ellas la gráfica del logaritmo de la magnitud
de la función de transferencia y la otra es la gráfica del ángulo de fase; siendo ambas
dibujadas contra la frecuencia en escala logarı́tmica.
La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode reside en que la multiplicación
de magnitudes se convierte en suma. Además, cuenta con un método sencillo para dibujar una curva aproximada de magnitud logarı́tmica, que se basa en aproximaciones
asintóticas, la cual es suficiente si se desea obtener información de forma general de la
respuesta en frecuencia.
Cuando se utiliza el método de respuesta en frecuencia para controlar un sistema,
el comportamiento de la respuesta se especifica en términos de margen de fase, margen
de ganancia, magnitud de pico de resnonancia, ancho de banda, entre otros. Después
de diseñar el lazo abierto, se determinan los polos y ceros del sistema en lazo cerrado;
por lo que se deben verificar las caracterı́sticas de la respuesta en un diagrama de Bode.
27
28
Existen ocaciones en las que es necesario compensar un sistema en fase, teniendo adelanto y atraso de la fase. La compensanción en adelanto produce un mejoramiento en
la respuesta transitoria y un cambio en la precisión en estado estable, aunque puede
acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte la compensación en atraso
produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable aunque aumenta el
tiempo de la respuesta transitoria; además suprime los efectos de las señales de ruido
a altas frecuencias.
Existe otro tipo de compensación que combina adelanto y atraso, teniendo las caracterı́sticas de ambos sistemas, aunque eleva el orden del sistema en 2, con lo que se
vuelve más complejo y difı́cil de controlar el comportamiento de la respuesta transitoria.
5.2.
Objetivo
Diseñar un controlador por compensación de fase utilizando un compensador por adelanto de fase, obteniendo las caracterı́sticas de la planta en lazo abierto y con base a
las especificaciones dadas, realizar el cálculo para las ganancias del compensador.
5.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
5.4.
Procedimiento
1. Del siguiente sistema, se sabe que se tiene un margen de fase entre 10◦ y 30◦ y
un ancho de banda menor a 0.01 rad/s. Utilce diagramas de bode para verificar
la información anterior. La función a analizar viene dada por:
F (s) =
s3
+
1
+ 50s + 0.05
20000s2
(5.1)
Notas:
Si el margen de fase es igual o superior a 55◦ , se asegura estabilidad.
Si el ancho de banda es muy pequeño, el sistema es lento.
2. Realice la gráfica de la respuesta a lazo abierto del sistema con una rampa como
entrada. La pendiente de la rampa será de 0.25
29
Determinar el error en estado estable.
Describa la respuesta del sistema.
3. Realizar un compensador por adelanto de fase cuyas principales caracterı́sticas
son:
Aumento del ancho de banda
El margen de fase puede mantenerse o ser aumentado
La función de transferencia será la siguiente:
G = Kc
Ts + 1
αT s + 1
(5.2)
4. Calcule los valores del cero, polo y ganancia de la función de transferencia de este
compensador si se requiere un ancho de banda de 0.1 rad/s y un margen de fase
de 70◦ .
Investigue el tema e incluya las fórmulas utilizadas, ası́ como el procedimiento completo.
5. Realizar un programa en Matlab en archivo .m con las siguientes caracterı́sticas:
Recibirrá los datos del coeficiente del numerador y denominador del sistema
a compensar
Recibirá el margen de fase deseado
Recibirá el ancho de banda deseado
6. El programa deberá de devolver lo siguiente:
Función de transferencia del compensador
3 gráficas de Bode (sistema original, compensador y sistema en conjunto)
Margen de fase y ancho de banda resultantes
7. Teniendo el sistema con el compensador diseñado realice lo siguiente:
Simule el controlador a lazo abierto con entrada de rampa con pendiente de
0.25
Simular de nuevo en lazo cerrado con retroalimentación negativa y la misma
entrada, describa qué es lo que sucede.
5.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluya en el reporte todas las fórmulas utilizadas y el procedimiento completo
Incluya los diagramas de Bode de todos los sistemas en el reporte
Icluir los resultados de los sistemas con y sin control
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
30
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Portada
Introducción (máximo una cuartilla)
Desarrollo
Resultados
Discusión y análisis de los resultados
Referencias
5.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 6
Identificación de procesos de primer
orden
6.1.
Introducción
El control de un proceso implica el uso de una serie de sensores, dependiendo del tipo
de variable a controlar, de tal manera que se puede obtener información en tiempo
real del proceso. De esta forma, se puede obtener un valor de error entre la señal de
referencia y la variable de entrada.
Actualmente, existen dispositivos para controlar procesos industriales como control
de velocidad de un motor, control de temperatura, control de humedad, por mencionar
algunos. Estos dispositivos disponen de un autoajuste para controlar los parámetros
del sistema de forma automática. Pero, algunas veces no se obtiene un correcto funcionamiento del proceso, por lo que es necesario diseñar el controlador de manera analı́tica.
En teorı́a de control se puede denominar como identificación de sistemas, al proceso
que nos permite obtener el valor de los parámetros de un modelo matemático a partir
de métodos experimentales. De tal forma que, se pueden encontrar métodos gráficos como el de la respuesta transitoria y métodos estadı́sticos como el de mı́nimos cuadrados.
En un sistema de primer orden con tiempo muerto (retardo), la función de transferencia se expresa de la siguiente forma:.
G(s) =
k
e−t0 s
τs + 1
31
(6.1)
32
6.1.1.
Método gráfico para identificar un sistema de primer
orden
Se toma en consideración la figura 6.1 para explicar cómo obtener el valor de los parámetros de un modelo de primer orden, considerando que la gráfica real corresponde a la
respuesta de un proceso en lazo abierto.
Figura 6.1: Obtención de parámetros de un modelo de primer orden.
El proceso consiste en lo siguiente:
∆y
El valor de k se obtiene del cociente de ∆u
. Donde ∆y corresponde a la amplitud
de la respuesta del sistema y ∆u corresponde al valor del escalón de entrada.
Para el parámetro t0 se realiza lo siguiente: se traza una lı́nea tangente a la curva
de respuesta del proceso en el punto en que la velocidad de cambio es máxima
(punto de inflexión, en los casos en el que el sistema no sea de primer orden).
El valor se obtiene al medir el tiempo que tarda la respuesta desde el punto en
donde se aplica el escalón hasta el punto en donde se intercepta la lı́nea tangente
y el eje horizontal tiempo.
El valor de τ se obtiene midiendo el tiempo en donde el cambio en la respuesta
alcanza el 63.2 % de su valor de cambio total. Se traza una lı́nea horizontal en
dicho punto hasta que cruce con la curva y ahı́ se obtiene el tiempo t0 + τ . Solamente se quita el valor de t0 y se obtiene el de τ .
33
6.1.2.
Segundo método gráfico para identificación de parámetros de procesos de primer orden
Un segundo método fue propuesto por Cecil L. Smith, ya que se puede tener una menor precisión en el trazo de la tangente. Smith propone que los valores de t0 y τ se
seleccionen de tal manera que la respuesta del modelo coincida con la real en la región
de mayor cambio. Por lo que recomienda que los puntos sean t0 + τ /3 y t0 + τ . En la
figura 6.2 se pueden apreciar estos puntos como t1 y t2 respectivamente.
Figura 6.2: Segundo método para la obtención de parámetros de un modelo de primer
orden.
Ası́ los valores de t0 y de τ se obtienen mediante:
3
τ = (t2 − t1 )
2
(6.2)
t0 = t2 − τ
(6.3)
t1 = tiempo en el cual ∆y = 0.283 ∗ ∆y
(6.4)
t2 = tiempo en el cual ∆y = 0.683 ∗ ∆y
(6.5)
Donde:
6.2.
Objetivo
Diseñar un controlador por compensación de fase utilizando un compensador por adelanto de fase, obteniendo las caracterı́sticas de la planta en lazo abierto y con base a
las especificaciones dadas, realizar el cálculo para las ganancias del compensador.
34
6.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
6.4.
Procedimiento
1. Generar una serie de datos correspondientes a un proceso de primer orden con
tiempo muerto (proponer una función de transferencia).
2. Obtener la respuesta del sistema utilizando un escalón unitario.
Identifique los parámetros de los datos generados usando las dos técnicas del
método gráfico:
Método 1: gráficas y procedimiento completo.
Método 2: gráficas y procedimiento completo.
3. Realizar tabla comparativa de los parámetros obtenidos contra los parámetros
del modelo original.
4. Grafique la función de tranferencia original en la misma gráfica con las funciones
de transferencia obtenidas mediante los métodos gráficos, con una entrada de
escalón unitario.
6.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todas las gráficas obtenidas y procedimiento completo para la identificación de las funciones de transferencia.
Incluir una gráfica de la respuesta de todas las funciones de transferencia al
escalón unitario. Diferenciar cada respuesta con un color y etiqueta.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
35
6.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
36
Práctica 7
Sintonización de controladores PID
por método experimental parte I.
7.1.
Introducción
El elemento más importante de un lazo de control, es el controlador, el cual constituye
el cerebro de un sistema de control automático, este realiza las correcciones necesarias
para lograr que la variable de un proceso o variable controlada, alcance el valor de
referencia.
Actualmente, la mayorı́a de los controladores que se utilizan en la industria siguen
una estructura PID, cuyo significado proviene del tipo de acción que realizan sobre
una señal de error o variable manipilada: P de proporcional, I de integral y D de derivativo. El controlador PID es sumamente robusto para la mayorı́a de las aplicaciones
prácticas, sobretodo en aquellas cuya dinámica no es rápida y de alto orden.
El control PID utiliza como mecanismo motor el error de seguimiento, esto es:
e(t) = r(t) − y(t)
(7.1)
Donde e(t) representa la señal de error, r(t) es la señal de referencia y y(t) la señal de
salida del sistema.
La accióm de control se construye según la siguiente estructura básica:
Z t
de(t)
u(t) = Kp e(t) + Ki
e(τ )dτ + Kd
dt
0
(7.2)
Donde Kp , Ki y Kd representan las ganancias proporcional, integral y derivativa, respectivamente. En la figura 1 se muestra el diagrama de bloques de un controlador PID.
37
38
Figura 7.1: Diagrama de bloques de un control PID.
En el controlador solamente se tienen que garantizar las ganancias Kp , Ki y Kd , de tal
manera que se garantice estabilidad y desempeño, tanto en estado transitorio, como en
estado estable.
El controlador PID en forma de función de transferencia puede escribirse como sigue:
C(s) = Kp +
Ki
+ Kd s
s
(7.3)
En algunas ocasiones no es necesario utilizar todo el control PID, puede bastar con
alguna de las siguientes combinaciones:
C(s) = Kp
C(s) = Kp +
(7.4)
Ki
s
C(s) = Kp + Kd s
(7.5)
(7.6)
Según se requiera en la aplicación.
Cada acción dentro del controlador tiene distintas funciones que se describen a continuación:
39
Acción proporcional. Provee una contribución que depende del valor instantáneo
del error, con este controlador se puede controlar cualquier planta estable, pero
su desempeño es bastante limitado, aunado a que el error en estado estable, no
se garantiza cero.
Acción integral. Provee una salida proporcional al error acumulado, por lo que
es de lenta reacción, además garantiza error en estado estable cero ante entrada
escalón unitario de referencia y perturbaciones.
Acción derivativa. Provee contribución proporcional a la tasa de cambio del error
de referencia, por lo que es de rápida acción, aunque desaparence en presencia
de errores constantes aunado a que puede amplificar el ruido presente en la planta.
Existen diferentes métodos para poder sintonizar las ganancias de un controlador, teniendose métodos experimentales y analı́ticos.
7.1.1.
Método de Ziegler and Nichols.
Es un método presentado por Ziegler and Nichols, el cual está basado en el registro de
la respuesta del sistema en lazo abierto ante una entrada escalón. Esta respuesta está
caracterizada por los parámetros: τ , td y R. Se asume que la planta puede representarse
por la siguiente estructura:
G(s) =
Hetd s
τs + 1
(7.7)
Para obtener los parámetros, se determina el punto donde la pendiente de la curva
de respuesta es máxima y se dibuja una lı́nea tangente en este punto. En el punto
donde intersecta con la lı́nea donde se estabiliza el sistema, se traza una recta vertical,
obteniendo los parámetros td y τ como se muestra en la figura 2.
Figura 7.2: Metodologı́a Ziegler-Nichols.
En donde H es la altura de la respuesta del sistema y td es el retardo. La respuesta es
40
obtenida al evaluar el escalón unitario y se toman los siquientes parámetros:
L = td
(7.8)
H
τ
(7.9)
R=
Las ganancias del controlador se obtienen para un amortiguamiento de ζ = 0.21, de
acuerdo a la tabla 7.1.
Controlador
P
PI
PID
7.2.
Tabla 7.1: Ganancias Ziegler Nichols para ζ = 0.21
Ganancias
1
Kp = RL
0.9
0.27
Kp = RL
, Ki = RL
2
1.2
0.6
0.6
Kp = RL , Ki = RL
2 , Kd = R
Objetivo
Diseñar un controlador por método gráfico de Ziegler-Nichols para sintonizar parámetros de control en sistemas de primer orden.
7.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
7.4.
Procedimiento
1. Obtener la planta mediante el método de Ziegler-Nichols para la respuesta a escalón unitario de la Figura 7.3.
2. Realizar cálculo para obtener controladores P, PI y PID.
Realizar simulación del modelo sin controlar.
41
Figura 7.3: Respuesta de un sistema de primer orden.
3. Realizar simulación del modelo con cada uno de los controladores y mostrarlos
en la misma gráfica.
4. Obtener la planta mediante el método de Ziegler-Nichols para la respuesta a escalón unitario de la figura 7.4. La lı́nea tangente se debe de trazar en el punto de
inflexión.
Figura 7.4: Respuesta de segundo sistema.
5. Realizar cálculo para obtener controladores P, PI y PID.
42
Realizar simulación del modelo sin controlar.
6. Realizar simulación del modelo con cada uno de los controladores y mostrarlos
en la misma gráfica.
7.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todas las gráficas obtenidas y procedimiento completo para la identificación de las funciones de transferencia.
Reportar: las gráficas con las lı́neas que se emplearon, todos los cálculos y las
ganancias obtenidas.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
7.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 8
Sintonización de controladores PID
por método experimental parte II.
8.1.
Introducción
Cuando se descubrieron los sistems de control PID, la forma de ajuste de los parámetros se basaba en la experiencia del operador de la planta, por lo que eran procesos
lentos en los cuales se requeria mucho tiempo para llevarlos a cabo e implicaban varios
ensayos de prueba y error para verificar los datos. Los ajustes permitı́an mejorar la
calidad en la producción entre un 5 % y un 25 %.
En 1942 Ziegler y Nichols desarrollaron diversos métodos para sintonizar parámetros
de un controlador, los cuales se obtuvieron a través de numerosas pruebas, sin tener
conocimiento especı́fico del sistema que estaban tratando.
Desarrollaron dos metodologı́as:
Ziegler-Nichols en lazo abierto.
Ziegler-Nichols en lazo cerrado.
Ambos métodos coinciden en el objetivo, el cual es conseguir un valor sobre el impulso
para reducirlo al 25 %.
El método de lazo abierto, fue descrito en la práctica anterior. El método de lazo
cerrado, mejor conocido como método de la última ganancia, se muestra en la figura
8.1 en diagrama de bloques, el cual consiste en obtener una ganancia máxima de forma
proporcional que se le puede asignar a un sistema en lazo cerrado sin que el sistema se
haga inestable. El sistema en retroalimentación comenzará a oscilar, y la ganancia que
provoca el régimen oscilatorio se le denominará Ku y el perı́odo resultante como Pu ,
que es el perı́odo de oscilación, como se muestra en la figura 8.2.
43
44
Figura 8.1: Diagrama de bloques método de última ganancia.
Figura 8.2: Perı́odo de oscilación método de última ganancia.
Una vez que se han obtenido los valores de la última ganancia y el último periodo,
Ziegler y Nichols proponen las fórmulas que se muestran en la tabla 8.1.
Tabla 8.1: Ganancias para el método de última ganancia.
Controlador
Ganancias
P
Kp = 12 Ku
u
PI
Kp = 0.45Ku , Ki = 0.54 K
Pu
Ku
PID
Kp = 0.6Ku , Ki = 1.2 Pu , Kd = 0.075Ku Pu
s
8.2.
Objetivo
Diseñar un controlador por el método última ganancia para sintonizar parámetros de
control.
45
8.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
8.4.
Procedimiento
1. Obtener la planta de la respuesta del sistema de la figura 8.3 a una entrada escalón unitario.
Figura 8.3: Respuesta de un sistema a escalón unitario.
2. Simular la planta obtenida en el punto anterior en Matlab en retroalimentación
con control proporcional y encontrar la ganancia con la que el sistema oscila de
manera estable.
3. Obtener el periodo de oscilación Pu .
4. Sintonizar un controlador P, PI y PID.
5. Simular el sistema con los 3 controladores y graficar en una misma figura los
resultados.
46
6. Simular la siguiente función de transferencia en Simulink:
G(s) =
s3
+
13s2
100
+ 30s + 100
(8.1)
Obtener la ganancia para la cual el sistema oscila de manera estable.
7. Obtener el periodo de oscilación Pu .
8. Sintonizar un controlador P, PI y PID.
9. Simular el sistema con los 3 controladores y graficar en una misma figura los
resultados.
Realizar simulación del modelo sin controlar.
10. Realizar simulación del modelo con cada uno de los controladores y mostrarlos
en la misma gráfica.
8.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todas las gráficas obtenidas y procedimiento completo para la identificación de las funciones de transferencia.
Reportar las gráficas con las lı́neas que se hicieron, todos los cálculos y las ganancias obtenidas.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
8.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 9
Sintonización de controladores PID
forma analı́tica parte I.
9.1.
Introducción
Cuando se cuenta con el modelo matemático de la planta a controlar, se puede emplear la sintonización analı́tica, y se puede definir el comportamiento deseado para la
respuesta transitoria y de estado estacionario en lazo cerrado.
Si solamente se desea estabilidad en lazo cerrado, se puede utilizar el criterio de RouthHurwitz para encontrar el rango de variación permitido para las ganancias del controlador, ya sea P, PI o PID.
En el criterio de estabilidad de Routh, la estabilidad de un sistema lineal invariante en el tiempo se tendrá en sentido de una salida acotada a una entrada acotada, lo
cual puede apreciarse mediante la respuesta al impulso. Una función de transferencia
logrará la condición de estabilidad si y solamente si tiene todos sus polos con parte real
negativa.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite evaluar si una función de transferencia G(s) tiene todos sus polos estables, es decir, la parte real es negativa.
Se asume que G(s) es una función racional de la forma:
G(s) =
b0 sm + b1 sm−1 + ... + bm
sn + a1 sn−1 + ... + an
(9.1)
La estabilidad de G(s) se evalúa en función de las raı́ces del denominador de la función
de transferencia. Enseguida se construye el arreglo de Routh y se evalúa el número de
cambios de signo en la primera columna del arreglo, lo cual indicará la cantidad de
raı́ces que están en el semiplano derecho (inestabilidad).
47
48
El arreglo de Routh para el polinomio, es como a continuación se muestra:
den(s) = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + ... + an
sn
sn−1
sn−2
sn−3
.
.
.
s1
s0
1
a1
δ1
β1
.
.
.
*
*
a2
a3
δ2
β2
.
.
.
*
0
a4
a5
δ3
β3
.
.
.
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
(9.2)
49
En donde:
δ1 =
−1 1 a2
a1 a2 − a3
=
a1 a1 a3
a1
(9.3)
δ2 =
−1 1 a4
a1 a4 − a5
=
a1 a1 a5
a1
(9.4)
δ3 =
−1 1 a6
a1 a6 − a7
=
a
a
a1 1 7
a1
(9.5)
β1 =
−1 a1 a3
δ1 a3 − δ2 a1
=
δ
δ
δ1 1 2
δ1
(9.6)
β2 =
−1 a1 a5
δ1 a5 − δ3 a1
=
δ1 δ1 δ3
δ1
(9.7)
β3 =
−1 a1 a7
δ1 a7 − δ4 a1
=
δ1 δ1 δ4
δ1
(9.8)
..
.
etc.
9.1.1.
Ejemplo.
Considerar la siguiente planta:
G(s) =
1
(s − 1)(s − 4)
(9.9)
Obtenga el rango de valores para un controlador proporcional Kp de tal forma que
mantenga estable el sistema retroalimentado.
Primeramente se realiza la retroalimentación unitaria del sistema, multiplicado por
el control proporcional de la siguiente forma:
1
1
÷ 1 + Kp
(9.10)
L(s) = Kp
(s − 1)(s + 4)
(s − 1)(s + 4)
Kp
= 2
(9.11)
s + 3s − 4 + Kp
Se analizarán las raı́ces del polinomio denominador:
s2 + 3s − 4 + Kp = 0
Por el criterio de Routh-Hurwitz
(9.12)
50
s2
s1
s0
1
Kp −4
3
0
Kp −4 0
Para evitar un cambio de signo y que el sistema se vuelva inestable se debe de cumplir
que:
Kp − 4 ≥ 0
(9.13)
Por lo que Kp debe ser mayor o igual que 4. Como nota, cabe destacar que el valor de
4 es un valor lı́mite, por lo que la ganancia debe ser mayor a este valor.
9.2.
Objetivo
Diseñar un controlador criterio de Routh-Hurwitz para sintonizar parámetros de contol
de manera analı́tica.
9.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
9.4.
Procedimiento
1. Obtener el sistema retroalimentado con un controlador proporcional para la siguiente planta:
s+1
(9.14)
s(s − 2)(s + 4)
2. Realizar el criterio de Routh-Hurwitz para encontrar el rango de valores de la
ganancia proporcional.
G(s) =
3. Simular el sistema sin control en Simulink.
4. Simular el sistema con control en un rango de valores, empezando por el valor
lı́mite (mı́nimo 4 valores más).
51
5. Obtener en una misma gráfica la respuesta de los controladores y determinar cuál
fue la mejor ganancia.
6. Considerar la siguiente función de transferencia:
G(s) =
1
(s + 3)(s + 1)
(9.15)
7. Obtener el sistema retroalimentado con un controlador PI aplicado a la planta.
8. Obtener el rango de las ganancias proporcional e integral mediante el criterio de
estabilidad de Routh-Hurwitz.
9. Simular el sistema sin controlar en Simulink.
10. Simular el sistema con controlador para varios rangos de valores, empezando por
los valores lı́mite (establecer al menos 4 valores más por cada ganancia).
11. Reportar los resultados de los controladores en una misma gráfica y determinar
cuáles fueron las mejores ganancias.
9.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todo el procedimiento para el cálculo de las ganancias.
Reportar todas las gráficas obtenidas de los sistemas con y sin control.
Establecer un rango de valores para las ganancias y simularlas, a fin de obtener
el mejor control.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
52
9.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
Práctica 10
Sintonización de controladores PID
forma analı́tica parte II.
10.1.
Introducción
Otro método de sintonización analı́tica, que se utiliza cuando se conoce el modelo
matemático de la planta, es la ubicación de los polos dominantes en el lazo cerrado.
Durante el proceso de diseño es posible poder cancelar un polo estable con dinámica
lenta de la planta con un cero del controlador.
Se toman además consideraciones en la respuesta estacionaria para poder definir las
restricciones en las ganancias del controlador. Si se requiere un error de cero en estado
estable, se necesita que el controlador contenga acción integral, es decir PI ó PID.
10.1.1.
Ejemplo.
Considerar el siguiente modelo matemático con función de transferencia:
G(s) =
250
(s + 5)(s + 12)
(10.1)
Se diseñará un controlador PI que tiene la siguiente forma:
C(s) = Kp +
Ki
s
(10.2)
Cual busca que garantice:
Error en estado estable cero ante escalones de referencia.
Error en estado estable menor o igual a uno para una rampa de referencia eer = 1.
53
54
Sobretiro menor o igual al 5 %
Tiempo de asentamiento menor o igual a 1 segundo
Primeramente se analizan los polos del sistema en lazo abierto, teniendo que la función
de transferencia propuesta tiene dos polos estables, uno en s = −5 (polo lento) y otro
en s = −12, y ningún cero.
El controlador PI puede reescribirse de la siguiente forma:
C(s) = Kp
(s + Ki /Kp )
s
(10.3)
El cual tiene un polo en s = 0 y un cero en s = −Ki /Kp . Por lo que se puede proponer
cancelar un polo lento de la planta con el cero del controlador, por lo tanto se define
el cero como:
Ki
=5
Kp
(10.4)
Por lo que la planta en lazo abierto queda como:
L(s) = C(s)G(s) = Kp
=
(s + 5)
250
s (s + 5)(s + 12)
250Kp
s(s + 12)
(10.5)
(10.6)
Debido a que el controlador contiene parte integral, se cumple que el error en estado
estable sea igual a cero. Para la condición de la rampa se utiliza el teorema del valor
final, con lo que se tiene que:
lı́m sL(s) ≥ 1/eer
s=0
(10.7)
Por lo que se tiene:
lı́m s
s=0
250Kp
250Kp
1
=
≥
s(s + 12)
12
1
(10.8)
Por lo tanto:
Kp ≥
12
= 0.048
250
(10.9)
Siguiendo con los requerimentos del ejercicio, se tiene una condición de sobretiro menor o igual al 5 %, por lo que se tiene una restricción para el amortiguamiento en lazo
55
cerrado como a continuación se muestra:
s
(ln(0.05))2
ζ≥
= 0.69
π 2 + (ln(0.05))2
(10.10)
Enseguida, la función de transferencia en retroalimentación queda:
H(s) =
L(s)
250Kp
= 2
1 + L(s)
s + 12s + 250Kp
(10.11)
Al comparar los elementos con el polinomio caracterı́stico de segundo orden, se tiene
que:
ωn2 = 250Kp
(10.12)
2ζωn = 12
(10.13)
12
ζ= p
≥ 0.69
2 250Kp
(10.14)
Kp = 0.472
(10.15)
Entonces:
De donde:
Ası́ Kp puede tomar cualquier valor entre 0.048 ≤ Kp ≤ 0.472, por lo que se fijará el
valor en Kp = 0.2. Para la última restricción, se requiere que el tiempo de asentamiento
sea menor a 1 segundo, por lo que se tiene:
ts =
3.91
3.91
p
=
= 0.802
ζωn
(0.69)( (250)(0.2)
(10.16)
El tiempo obtenido es menor a 1 segundo, pero en caso contrario de no serlo, se habrı́a
de ajustar de nueva cuenta la ganancia.
Finalmente, se ajustó el valor de Kp = 0.2 y sustituyendo este valor en la ecuación
(10.4), se tiene como resultado que:
Ki = 1
(10.17)
Por lo que el controlador queda de la forma:
C(s) = 0.2 +
1
s
(10.18)
56
10.2.
Objetivo
Diseñar un controlador de modificación de polos de forma analı́tica para sintonización
de parámetros de control.
10.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
2. Equipo utilizado
Equipo de cómputo con software Matlab
10.4.
Procedimiento
1. Diseñar un controlador PI para la siguiente planta:
325
+ 7s + 10
2. Se deberá de considerar los siguientes parámetros de diseño:
G(s) =
s2
(10.19)
Error en estado estable al escalón igual a 0
Error en estado estable a rampa menor o igual a 0.5
Sobretiro menor o igual a 7.5 %
El tiempo de asentamiento menor a 2 segundos
3. Simular el sistema sin controlador en Simulink.
4. Simular el sistema con control y graficarlo en la misma figura que el sistema sin
controlador.
10.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todo el procedimiento para el cálculo de las ganancias.
Reportar todas las gráficas obtenidas de los sistemas con y sin control.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
57
2.
3.
4.
5.
6.
Introducción (máximo una cuartilla)
Desarrollo
Resultados
Discusión y análisis de los resultados
Referencias
10.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
58
Práctica 11
Creación de planta analógica de
segundo orden.
11.1.
Introducción
Un amplificador operacional, es un amplificador diferencial de muy alta ganancia que
tiene como caracterı́stica: alta impedancia de entrada y baja impedancia de salida. Dentro de sus aplicaciones podemos encontrar la resolución de operaciones matemáticas
como suma, resta, integración y derivación. Actualmente los amplificadores operacionales son circuitos integrados confiables y baratos con voltajes en CD relativamente
bajos. Un amplificador operacional básico se muestra en la figura 11.1.
Figura 11.1: Circuito amplificador operacional.
Gracias a las distintas configuraciones y operaciones que se pueden implementar en un
amplificador operacional, es posible resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, usando
principalmente: amplificador inversor, amplificador sumador y amplificador integrador.
59
60
Los sistemas de segundo orden son ampliamente estudiados en teorı́a de control, y
se caracterizan porque en su función de transferencia contienen dos polos. Estos sistemas tienen distintos tipos de respuestas de acuerdo a las raı́ces de su polinomio
caracterı́stico:
s2 + 2ζωn s + ωn2
(11.1)
En donde al igualar a cero este polinomio, es posible obtener diversos sistemas:
Sistemas subamortiguados
Sistemas sobreamortiguados
Sistemas crı́ticamente amortiguados
Sistemas oscilatorios
En el caso de la respuesta subamortiguada, se puede caracterizar la respuesta y con
base a ella seleccionar los parámetros de control para mejorarla y cada término se define como:
Tiempo de crecimiento: es el tiempo que le lleva a la respuesta al escalón ir del
0-100 % de su respuesta estacionaria.
Tiempo pico: tiempo en llegar la respuesta al escalón máximo.
Sobretiro: valor pico de la respuesta al escalón.
Tiempo de asentamiento: tiempo en que la respuesta al escalón alcanza un error
menor o igual al 2 % de su valor estacionario.
11.2.
Objetivo
Construir una planta analógica de segundo orden mediante amplificadores operacionales para poder comprobar los valores de los elementos fı́sicos y variar la constante de
amortiguamiento.
11.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
Amplificadores operacionales
Resistencias
Capacitores
Protoboard
Cable para protoboard
2. Equipo utilizado
Fuentes de poder
61
Generador de funciones
Osciloscopio
Equipo de cómputo con software Matlab
Equipo de cómputo con software de simulación de circuitos (Multisim, Pspice, Proteus, etc.)
11.4.
Procedimiento
1. Con base a la configuración que se muestra en la figura 11.2 de una planta analógica de segundo orden, se obtiene la siguiente función de transferencia:
G(s) =
Y (s)
k1 k2 kc1 kc2
= 2
X(s)
s + k3 k4 kc1 s + k5 kc1 kc2
En donde:
(11.2)
k1 =
R2
R1
(11.3)
k2 =
R4
R3
(11.4)
k3 =
R8
R7
(11.5)
k4 =
R4
R9
(11.6)
k5 =
R4
R10
(11.7)
kc1 =
1
R5 C1
(11.8)
kc2 =
1
R6 C2
(11.9)
2. Tomando como base la fórmula general de las funciones de transferencia de segundo orden:
G(s) =
K
s2 + 2ζωn s + ωn2
Identifique los siguientes parámetros:
K =?
ωn =?
ζ =?
(11.10)
62
Figura 11.2: Planta analógica de segundo orden.
3. Se requiere modificar solamente el coeficiente de amortiguamiento ζ sin alterar
ninguna de las otras caracterı́sticas de la planta, para lograrlo, defina valores
convenientes de los componentes reales dejando solo uno como variable, a fin de
variar ζ y obtener:
4.
5.
6.
7.
Sistema subamortiguado
Sistema sobreamortiguado
Sistema crı́ticamente amortiguado
Realice la simulación de los 3 casos en Simulink considerando un tren de pulsos
a la entrada de 5V. Defina un periodo adecuado utilizando un ciclo de trabajo
de 50 %.
Realice la simulación de los 3 casos en un simulador de circuitos (Multisim, Pspice,
Proteus, etc.), considerando un tren de pulsos de 5V a la entrada con un ciclo de
trabajo de 50 %. Defina el periodo adecuado.
Construya el sistema completo en protoboard con amplificadores operacionales,
resistencias capacitores y obtenga las 3 diferentes configuraciones. Ajuste el generador de funciones a un tren de pulsos de entrada de 5V con un ciclo de trabajo
de 50 %.
Compare los resultados obtenidos con los de simulación.
11.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todo el procedimiento para el cálculo de los parámetros del circuito.
63
Incluir los diagramas de simulación de Simulink y del circuito.
Incluir todas las gráficas obtenidas tanto en simulación, como experimental.
Realizar la comparativa entre los resultados obtenidos.
En los resultados incluya siempre la señal de referencia.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
11.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
64
Práctica 12
Implementación de un PID
analógico.
12.1.
Introducción
Muchas de las aplicaciones de procesos de control se pueden resolver mediante controladores PID. En la actualidad la mayorı́a de los controladores que existen son digitales,
aunque una implementación analógica puede ser igual de efectiva y más económica.
Gracias a las diferentes configuraciones de los amplificadores operacionales, es posible
obtener de manera experimental cada una de las etapas de un controlador: proporcional, integral y derivativa.
12.1.1.
Etapa proporcional.
Es la etapa más simple y consiste de un amplificador con una ganancia Kp ajustable.
La función de esta acción es aumentar la velocidad de respuesta y reducir el error en
estado estacionario. El diagrama del circuito se muestra en la figura 12.1.
Donde la ganancia viene dada por:
R2
V sal
=−
V en
R1
12.1.2.
(12.1)
Etapa integral.
Esta etapa añade la capacidad de procesamiento temporar del controlador, guardando
la historia de la magnitud del error y contribuir a reducirlo a cero en el estado estacionario. En la figura 12.2 se muestra la etapa integral con amplificador operacional.
En donde la ganancia viene dada por:
65
66
Figura 12.1: Etapa proporcional.
Figura 12.2: Etapa integral.
1 1
V sal
=−
V en
R Cs
12.1.3.
(12.2)
Etapa derivadora.
A pesar de que la etapa integral reduce el error en estado estacionario, vuelve lento la
respuesta del sistema. Al añadir una etapa derivadora permite al controlador mejorar
la etapa de amortiguamiento, permitiendo aumentar la etapa proporcional y por ende
la velocidad de respuesta. Esta etapa se muestra en la figura 12.3.
En donde la ganancia viene dada por:
67
Figura 12.3: Etapa derivadora.
V sal
= −RCs
V en
12.2.
(12.3)
Objetivo
Implementar un controlador PID utilizando amplificadores operacionales y sintonizarlo
para el sistema de segundo orden descrito en la práctica anterior.
12.3.
Material
1. Materiales utilizados
Lápiz y papel
Amplificadores operacionales
Resistencias
Capacitores
Protoboard
Cable para protoboard
2. Equipo utilizado
Fuentes de poder
Generador de funciones
Osciloscopio
Equipo de cómputo con software Matlab
Equipo de cómputo con software de simulación de circuitos (Multisim, Pspice, Proteus, etc.)
68
12.4.
Procedimiento
1. Considerando el proceso de segundo orden construido en la práctica anterior como planta en modo subamortiguado, sintonizar un PID o PI analógico que mejore
alguno de los parámetros de la siguiente lista:
2.
3.
4.
5.
Error en estado estable
Sobretiro
Realizar la simulación del controlador sintonizado y la planta considerando una
retroalimentación negativa unitaria en Simulink. Considerar un tren de pulsos a
la entrada, definiendo un periodo adecuado y un ciclo de trabajo del 50 %.
Realizar la simulación del controlador sintonizado y la planta en un software
de simulación de circuitos y considerar la misma entrada descrita en el punto
anterior, con una amplitud de 5V.
Construir el sistema completo utilizando amplificadores operacionales.
Obtener respuestas reales del sistema. Ajustar el generador de funciones a un
tren de pulsos a la entrada con la amplitud y frecuencia simulados.
12.5.
Reporte de resultados
En la fecha de entraga pactada, el alumno deberá mostrar la simulación realizada,
además de los siguientes puntos:
Incluir todo el procedimiento para el cálculo de las ganancias del controlador.
Incluir los diagramas de simulación de Simulink y del circuito.
Incluir todas las gráficas obtenidas tanto en simulación, como de forma experimental.
Realizar la comparativa entre los resultados obtenidos.
En los resultados incluya siempre la señal de referencia.
Se deberá entregar un reporte que contenga lo anteriormente solicitado, con las siguientes secciones:
1. Portada
2. Introducción (máximo una cuartilla)
3. Desarrollo
4. Resultados
5. Discusión y análisis de los resultados
6. Referencias
69
12.6.
Conclusiones
Redacte de forma concisa las conclusiones acerca de las actividades realizadas y del
alcance de los objetivos planteados en esta práctica.
70
Bibliografı́a
[1] K. Ogata. Ingenierı́a de control moderna. Pearson Educación, Madrid, 2010.
ISBN:978-84-8322-660-5.
[2] B. Kuo. Sistemas de control automático. 7ma edición. Pearson Educación, 1996.
ISBN: 9688807230.
[3] N. Matthew, O. Sadiku. Fundamentos de los circuitos eléctricos. Tercera edición.
McGraw Hill, 2006.
[4] L.M. Faulkenberry. Introducción a los amplificadores operacionales con aplicaciones a CI lineales. Limusa, 2005.
71
72
Índice de figuras
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Bloque donde se especifica la función de transferencia. . . . . . . .
Configuración de parámetros de Simulink. . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de bloques de lazo de control retroalimentado. . . . . . .
Implementación de lazo de control en Simulink. . . . . . . . . . .
Diagramas de Simulink para comparar sistemas de segundo orden.
Sistema en Simulink con tiempo muerto. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
7
8
11
12
12
13
3.1. Figura de ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Sistema de dos masas, dos resosrtes y un amortiguador. . . . . . . . . .
3.3. Sistema rotacional masa resorte amortiguador. . . . . . . . . . . . . . .
16
19
19
4.1. Circuito RLC en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Circuito RLC en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
24
6.1. Obtención de parámetros de un modelo de primer orden. . . . . . . . .
6.2. Segundo método para la obtención de parámetros de un modelo de primer
orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
33
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
.
.
.
.
38
39
41
41
8.1. Diagrama de bloques método de última ganancia. . . . . . . . . . . . . .
8.2. Perı́odo de oscilación método de última ganancia. . . . . . . . . . . . .
8.3. Respuesta de un sistema a escalón unitario. . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
45
11.1. Circuito amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Planta analógica de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
62
12.1. Etapa proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Etapa integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Etapa derivadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
66
67
Diagrama de bloques de un control PID. .
Metodologı́a Ziegler-Nichols. . . . . . . . .
Respuesta de un sistema de primer orden.
Respuesta de segundo sistema. . . . . . . .
73
.
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74
Índice de cuadros
1.1. Ejemplos de comandos en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1. Ejemplos de bloques en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Parámetros de simulación en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Instrucciones de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
10
3.1. Ecuaciones de elementos de sistemas mecánicos traslacionales. . . . . .
3.2. Ecuaciones de elementos de sistemas mecánicos rotacionales . . . . . .
16
17
4.1. Ecuaciones de sistemas eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
7.1. Ganancias Ziegler Nichols para ζ = 0.21 . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
8.1. Ganancias para el método de última ganancia. . . . . . . . . . . . . . .
44
75
76