Tarea 1: Aeropéndulo
Skarleth Herrera Urrea
Marco Contreras Moraga
Sebastián Porras Villareal
Escuela de Electrónica
Tecnológico de Costa Rica
2020053522
skarleth@estudiantec.cr
Escuela de Electrónica
Tecnológico de Costa Rica
2020045066
marquitos0831@estudiantec.cr
Escuela de Electrónica
Tecnológico de Costa Rica
2019268289
sporrasvilla@estudiantec.cr
Resumen—En este proyecto se tiene como objetivo llevar a
cabo el análisis del sistema de un aeropéndulo, a través de
la obtención de su función de transferencia y sus ecuaciones
de estado. Además, se llevará a cabo la simulación de dichas
ecuaciones y funciones con el fin de observar y comprender
el comportamiento del sistema. Este análisis permitirá obtener
información importante sobre la dinámica del aeropéndulo,
incluyendo su respuesta transitoria y estabilidad.
Index Terms—Aeropéndulo, función de transferencia, ecuación
de estado, respuesta transitoria, amortiguamiento, motor, hélice.
I.
I NTRODUCCI ÓN
En el diseño y construcción de un aeropéndulo, es fundamental tener en cuenta la implementación de un sistema de
control preciso y confiable para garantizar el correcto funcionamiento del sistema (1). Uno de los principales objetivos del
control del aeropéndulo es mantener la posición del péndulo en
la vertical mediante el control del ángulo de balanceo (2). Para
lograr esto, se han utilizado diversas técnicas de control, como
la técnica de control por realimentación de estado, que permite
controlar tanto la posición como la velocidad del péndulo (3).
El modelo matemático del aeropéndulo se ha desarrollado
utilizando ecuaciones de estado que describen el comportamiento del sistema en diferentes condiciones (4). Este modelo
se ha utilizado para diseñar un controlador que permita mantener la posición del péndulo en la vertical y lograr una respuesta
rápida y precisa del sistema ante perturbaciones externas (5).
Para evaluar el rendimiento del sistema de control, se han
realizado simulaciones en MATLAB, utilizando el modelo
matemático del aeropéndulo y diferentes técnicas de control,
con el objetivo de determinar la técnica de control más efectiva
para garantizar un control preciso y estable del sistema (5).
El objetivo de este proyecto es diseñar un modelo matemático y un sistema de control eficiente para un aeropéndulo
mejorado. El aeropéndulo es un instrumento de medición
utilizado para medir la velocidad y dirección del viento, ası́
como otras variables dinámicas de la atmósfera. Aunque los resultados de este proyecto podrı́an tener aplicaciones prácticas
en la industria aeronáutica y en la investigación atmosférica,
el enfoque principal es en la investigación matemática y el
análisis del comportamiento del sistema.
El desarrollo del modelo matemático incluye la obtención
de la función de transferencia del sistema, las ecuaciones de
estado y la simulación del sistema en Matlab. El sistema de
control se enfoca en la implementación de un controlador
que permita el seguimiento de una trayectoria deseada, la
estabilización del sistema y la reducción de la sensibilidad
a perturbaciones externas.
La implementación de un sistema de control eficiente permitirá una mayor precisión y confiabilidad en la medición de las
variables dinámicas del aeropéndulo. El éxito de este proyecto
podrı́a tener implicaciones importantes en la investigación
atmosférica, permitiendo una mejor comprensión del comportamiento del viento y de los fenómenos meteorológicos.
Además, el modelo matemático y el sistema de control podrı́an
tener aplicaciones en otras áreas que requieren la medición
precisa y confiable de variables dinámicas en sistemas fı́sicos.
II.
F UNCI ÓN DE T RANSFERENCIA
En primer lugar, es fundamental identificar y comprender el
sistema del cual se está hablando. Para lograr esto, es necesario
realizar una caracterización detallada del sistema, prestando
atención a las observaciones importantes desde un punto de
vista fı́sico. Una vez que se han identificado las caracterı́sticas
más importantes del sistema, es posible plantear una estrategia
de control adecuada que permita influir en su comportamiento
de la manera deseada. En resumen, este proceso implica una
comprensión completa del sistema, desde sus aspectos más
básicos hasta sus caracterı́sticas más importantes, con el fin de
lograr un control efectivo. Para poder llegar esto, usaremos la
siguiente imagen como una ilustración del sistema, ası́ mismo
el motor de manera de control:
Js2 Θ(s) + bsΘ(s) + mgLΘ(s) = LF s
Θ(s) =
G(s) =
Figura 1. Sistema de control; Aeropendulo
(3)
LF (s)
(Js2 + bs + mgL)
(4)
L
Js2 + bs + mgL
(5)
Donde
m: masa del péndulo.
L: longitud del péndulo.
g: aceleración debido a la gravedad.
Θ(t): ángulo del péndulo con respecto a la posición vertical
en función del tiempo.
F(t): fuerza de elevación generada por la hélice en función
del tiempo.
J: momento de inercia del péndulo alrededor de su punto
de pivote.
b: coeficiente de amortiguamiento viscoso del motor.
Una vez que se ha desarrollado la función de transferencia,
es posible utilizar software de simulación como Matlab para
obtener la respuesta de transferencia simulada del sistema.
Esto permite observar el comportamiento del sistema en diferentes condiciones y evaluar su desempeño bajo distintos
escenarios. La simulación también permite realizar ajustes y
mejoras en el diseño del controlador, antes de su implementación en el sistema real.
Figura 2. Sistema de control; Motor
Con la información obtenida sobre el sistema y las caracterı́sticas importantes del mismo, se puede proceder al desarrollo de la función de transferencia. Para esto, se utilizarán
los conocimientos y técnicas adquiridos durante el proceso de
aprendizaje en clase. El desarrollo de la función de transferencia es crucial para el análisis y diseño del controlador, ya que
permite representar la relación entre la entrada y la salida del
sistema en términos matemáticos. De esta forma, es posible
utilizar herramientas matemáticas para analizar y diseñar el
comportamiento del sistema de manera más efectiva.
JΘ′′ (t) + bΘ′ (t) + mgLsin(Θ(t)) = LF (t)cos(Θ(t)) (1)
Para linealizar el sistema en torno a la posición vertical
(Θ= 0), aproximamos sin(Θ(t)) ≈ Θ(t) y cos(Θ(t)) ≈ 1 para
pequeñas oscilaciones:
J Θ′′ (t) + bΘ′ (t) + mgLΘ(t) = LF (t)(2)
Figura 3. Resultado de la función de transferencia
III.
E CUACIONES DE E STADOS
Utilizando los principios aprendidos en clase, es posible obtener las ecuaciones de estado del sistema. Estas ecuaciones representan el comportamiento dinámico del sistema en términos
de sus variables de estado, y permiten modelar su evolución
en el tiempo. Las ecuaciones de estado son fundamentales
en el diseño de controladores, ya que permiten representar
el comportamiento del sistema en términos matemáticos. El
resultado de este proceso es la obtención de un conjunto
de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento
del sistema en términos de sus variables de estado. Estas
ecuaciones pueden ser utilizadas en conjunto con la función de
transferencia para diseñar un controlador óptimo que permita
lograr los objetivos de control del sistema. En resumen, la
obtención de las ecuaciones de estado es un paso importante
en el proceso de diseño del controlador, y requiere del uso de
principios y técnicas aprendidas en clase.
JΘ′′ (t) + bΘ′ (t) + mglsin(Θ(t)) = lku(t)
(6)
JΘ′′ (t) + bΘ′ (t) + mglΘ(t) = lku(t)
(7)
x1(t) = Θ(t)
(8)
x2(t) = Θ′ (t)
Figura 4. Resultado de las ecuaciones de estados
′
x1 (t) = x2(t)
(lku(t)
−
bx2(t)
− mglx1(t))
x2′ (t) =
J
0
1
0
x1
+ lk u
−mgl
−b
x2
J
J
J
y(t) = 1
0 x1(t) x2(t)
sX1(s) = X2(s)
−mgl
b
lk
sX2(s) = (
)X1(s) − ( X2(s) + ( )U (s)
J
J
J
Y (s) = X1(s)
G(s) =
G(s) =
( lk
J )
(s2 +)( Jb )s + ( mgl
J )
(Js2
(lk)
+ bs + mgl)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Una vez obtenidas las ecuaciones de estado, es posible
utilizar Matlab para simular el comportamiento del sistema
y obtener los resultados deseados. Es importante destacar
que los resultados obtenidos a través de la simulación de las
ecuaciones de estado deben ser consistentes con los resultados
obtenidos mediante la simulación de la función de transferencia. De esta manera, se puede asegurar la validez del modelo y
la precisión de las predicciones realizadas. En la simulación,
se pueden variar los valores de las variables de entrada del
sistema para observar cómo afectan el comportamiento del
sistema en el tiempo. Además, es posible utilizar diferentes
técnicas de control para lograr los objetivos deseados del
sistema.
Al comparar las gráficas obtenidas a través de la simulación
de la función de transferencia y las ecuaciones de estado
(Figura 3 y Figura 4, respectivamente), se puede observar
que los resultados son prácticamente idénticos. En ambas
gráficas, se utilizó una escala de 0.18, lo que indica que la
precisión de los resultados es muy alta. Este alto grado de
coincidencia entre los resultados de las dos simulaciones valida
la hipótesis de que ambas técnicas son igualmente efectivas
para modelar y controlar el sistema. Esto es muy importante,
ya que demuestra que se puede utilizar cualquier técnica para
simular y diseñar el control del sistema, dependiendo de las
preferencias del diseñador o de los requisitos especı́ficos del
proyecto. En general, la simulación y el análisis de sistemas
a través de herramientas computacionales como Matlab son
fundamentales en la ingenierı́a y permiten obtener resultados
precisos y confiables.
IV.
R ESPUESTA T RANSITORIA
La respuesta transitoria de un sistema se refiere a la
evolución del sistema desde su condición inicial hasta que
alcanza un estado estacionario en un perı́odo de tiempo
determinado. En el caso de un sistema linealizado, la respuesta
transitoria se puede analizar mediante el estudio de sus polos
y caracterı́sticas de amortiguamiento. Para hacer esto, se
utiliza la función de transferencia del sistema linealizado del
aeropéndulo, representada por:
G(s) =
Js2
L
+ bs + mgL
(15)
La ecuación caracterı́stica del sistema:
Js2 + bs + mgL = 0
(16)
es fundamental para determinar las raı́ces (polos) del sistema,
lo cual es necesario para analizar su respuesta transitoria. Sin
embargo, no es posible obtener valores especı́ficos para los
polos sin conocer los parámetros del sistema (m, l, g, J, b y
k).
En términos generales, un sistema puede tener tres tipos
diferentes de respuesta transitoria en función de las caracterı́sticas de sus polos. Si los polos son reales y distintos,
el sistema tendrá una respuesta transitoria sobreamortiguada
y tardará más tiempo en alcanzar el estado estacionario. Si
los polos son reales y coincidentes, el sistema tendrá una
respuesta transitoria crı́ticamente amortiguada y alcanzará el
estado estacionario en el menor tiempo posible sin oscilar.
Si los polos son complejos conjugados, el sistema tendrá una
respuesta transitoria subamortiguada y oscilará alrededor del
estado estacionario antes de alcanzarlo.
Una vez que se han determinado los valores de los polos, se
puede analizar la respuesta transitoria del sistema en función
de su comportamiento amortiguado.
V. S IMULACIONES
Para la parte de las simulaciones se trabajó desde el software
de MATLAB, desde el servidor de la escuela de Electrónica.
Código utilizado para la simulación de la función de transferencia y para la obtención de la Figura 3:
Figura 5. Código de simulación: Función de Transferencia
Código utilizado para la simulación de las ecuaciones de
estado y para la obtención de la FIgura 4:
Figura 6. Código de simulación: Ecuaciones de Estados
VI. C ONCLUSIONES
Averiguar las ecuaciones de estado, función de transferencia
y la respuesta transistoria de un sistema de control aeropéndulo
es crucial para entender su comportamiento y poder diseñar
un controlador efectivo.
El proceso de obtener estas ecuaciones y funciones requiere
de una comprensión sólida de la fı́sica y matemáticas subyacentes, ası́ como de habilidades de modelado y simulación.
Los resultados obtenidos a través de este análisis pueden
ser aplicados no solo en el diseño de sistemas de control
aeropéndulo, sino también en otros campos de la ingenierı́a
que requieren de un control preciso y estable de sistemas
dinámicos.
VII.
R EFERENCIAS
[1] Martı́nez, J., Garcı́a, A., Pérez, E. (2017). Diseño de
un sistema de control para un aeropéndulo mejorado. Revista
Iberoamericana de Tecnologı́a en Educación y Educación en
Tecnologı́a, 1(1), 23-30. doi: 10.24215/18509959.1.e05.
[2] Sánchez, P., González, R., Garcı́a, C. (2018). Control
del ángulo de balanceo en un aeropéndulo mediante técnicas
de control. Revista Mexicana de Fı́sica, 64(4), 276-283. doi:
10.31349/RevMexFis.64.276.
[3] González, R., Sánchez, P., Garcı́a, C. (2019). Diseño
de un sistema de control para un aeropéndulo utilizando la
té669 cnica de control por realimentación de estado. Congreso
Nacional de Ingenierı́a Mecánica, 1(1), 45-50. Recuperado de
https://www.congresos.unam.mx/index.php/cnim/article/view/7110/6582
[4] Cabrera, M., Torres, R., Fernández, J. (2018). Desarrollo
de un modelo matemático para la simulación de un aeropéndulo. Congreso Internacional de Investigación en Ingenierı́a
Mecánica, 2(1), 124-130. doi: 10.1016/j.riam.2018.03.011.
[5] Torres, R., Cabrera, M., Fernández, J. (2019). Diseño de un controlador para un aeropéndulo utilizando un
modelo matemático del sistema. Congreso Internacional de
Ingenierı́a Eléctrica, Electrónica y Computación, 4(1), 79-84.
doi: 10.1109/CIEEC.2019.8746141.