2. Combinatoire
2.1. Dénombrements
Definition : si est un ensemble fini,
de .
X
|X| :=≠ X := n
si
X = X1 , . . . , Xn
est la cardinalité
X
Théorème 2.1
1. Si
2.
3. Si
Definition : Une application
est une fonction telle que
(c'est à dire tout
élément de X a une image)
est injective si
c'est à dire si chaque reçoit au
plus (au max) une flèche depuis un .
est surjective si
tel que
c'est à dire si chaque reçoit
au moins une flèche depuis un .
est bijective si est injective & surjective, c'est à dire si chaque reçoit
exactement une flèche depuis un .
Definition :
est la préimage de .
Remarque (
):
1. injective
2. surjective
ou $\in \mathbb{N}^{}
bijective
*
Dans ce qui suit,
est toujours une application.
X ∩ Y = ∅,
|X ∪ Y | = |X| + |Y |
|X × Y | = |X| ⋅ |Y |
Y ⊂ X,
|X ∖ Y | = |X| − |Y |
f : X → Y
f
Df = X
(x 1 ≠ x 2 ) ⇒ (f (x 1 ) ≠ f (x 2 ))
y ∈ Y
x ∈ X
f
∀y ∈ Y , ∃x ∈ X
f (x) = y
y ∈ Y
x ∈ X
f
y ∈ Y
x ∈ X
f
−1
(y) = {x ∈ X|f (x) = y}
y ∈ Y
∀y ∈ Y
f
⇔ |f
f
−1
⇔ |f
(y)| ∈ {0, 1}
−1
(y)| ≥ 1
∗ ∗ 3.$f
⇔ |f
−1
(y)| = 1
f : X → Y
Théorème 2.2
1. Si
, alors
2. Si bijective,
Remarque : la réciproque de (2) est fausse
|f
−1
(y)| = k
f
|X| = m
|X| = k ⋅ |Y |
|X| = |Y |
Théorème 2.3
Si
et
Pour chaque
∀y ∈ Y
, alors il y a exactement applications
, on peut choisir parmi les éléments de
|Y | = n
x ∈ X
COROLAIRE 2.4
n
f (x)
m
f : X → Y
n
y ∈ Y
possibles.
1. Le nombre de sous-ensembles de (c'est à dire
"je prends", "je prends pas"
2. Il y a possibles jets de pièces à pile où face.
"pile", "face"
3. Il za séquences binaires de longueur .
A
f : A → {
2
2
n
} =: Y
n
n
f : {p 1 , p 2 , . . . , p n } → {
2
) est .
|ρ(A)|
}
n
n
Théorème 2.5
Si
et
, il y a
applications injectives possibles entre et .
Il y a possibilités de choisir une image pour le premier élément de
le .
Remarque : Si
, alors aucune possibilité d'application injective !
|X| = m
n!
|Y | = n
X
(n−m)!
n
n
Y
X, . . . , n − m + 1
ème
m > n
COROLAIRE 2.6
Il y a
n!(= m!)
applications bijectives entre et (
X
Y
).
|X| = |Y | = n = m
Théorème 2.7
Le nombre de choix ordonné de balles parmi est
.
position 1,..., position m balle 1,..., balle n veut une application injective.
m
f : {
n!
n
} → {
(n−m)!
}
Théorème 2.8
Le nombre de choix désordonné de balles parmi est
{choix ordonnés} de balles
= {choix désordonnés} de balles
l'application d'oubli, qui prend choix ordonné et efface l'ordre.
Chaque choix désordonné provient de choix ordonnés, c'est à dire
m
X =
n
n!
(n−m)!m!
= (
n
)
m
m
Y
m
f : X → Y
m
m!
|f
−1
(y)| = m!
⇒ |X| = |Y |
∀y ∈ Y
et donc
n!
|Y | =
|X|
|m!|
=
(n−m)!
m!
COROLAIRE 2.9
(
n
)
m
est le nombre de sous-ensembles à éléments d'un ensemble à éléments.
m
n
2.1. Coefficient binomial
Théorème 2.10
n
n
k
n−k
( ) = (
)
Soit tel que
x
∀0 ≤ k ≤ n
|X| = n
prend
0 <= k <= n
fixé
f : {A ⊂ X|A| = k} → {B ⊂ X|B| = n − k}
A ↦ X ∖ A
pour