Cours Mécanique des structures
Méthode des forces
niveau 3ème année
Année Universitaire 2022-2023
Préparé par : Pr. Khadija HMINA
Méthode des Forces
CHAPITRE IV:
Méthode des forces
 Théorèmes de la charge unité/Intégrales de Mohr
 Méthode des forces:
 Notion de coupure
 Structure isostatique associée
 Méthode des forces illustration
Méthode des Forces
Φ
Théorème de la charge unité / Intégrales de Mohr
La flèche VA dû à la charge uniforme q à l’extrémité A
de la console peut être déterminée par Castigliano en
introduisant une force fictive Φ.
q
A
B
VA
l
La flèche VA peut aussi être calculée par superposition
Diagramme du moment
de deux état de charges comme suit:
M
q
l
=
Φ
+
m
=
Φ*
1
+
𝐌∗
-q𝒍𝟐 /𝟐
l
= Φ*
Suite à la décomposition réalisée on a 𝐌 ∗ = M + Φ.m
-l
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Méthode des Forces
Théorème de la charge unité / Intégrales de Mohr
q
M
l
=
Φ
+
m
=
Φ*
1
+
= Φ*
Suite à la décomposition réalisée on a:
𝐌 ∗ = M + Φ.m
𝐌∗
-q𝒍𝟐 /𝟐
l
-l
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Par application du théorème de Castigliano on trouve que la flèche à l’extrémité de la poutre s’exprime
comme suit:
Démonstration
VA=
𝑙 𝑀.𝑚
‫׬‬0 𝐸𝐼
dx
Méthode des Forces
Théorème de la charge unité / Intégrales de Mohr
Les intégrales de la forme ‫𝐌 ׬‬. 𝐦 𝐝𝐱 sont appelées intégrales de Mohr.
Il existe des tables donnant les valeurs des intégrales des produits M.m (voir annexe).
Application
Calculons VA avec une table dans laquelle on trouve:
φ
f
X
l
=
𝟏
𝟒
l.f.φ
l
𝟏
𝟒
l.f.Φ=
𝟏
𝟒
l
.(-l).(-q𝒍𝟐 /𝟐)
VA=
𝒒.𝒍𝟒
𝟖 𝑬𝑰
=
𝒒.𝒍𝟒
𝟖
Déterminer VA par Castigliano
et comparer
Annexes
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Annexes
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Méthode des Forces
Théorème de la charge unité / Intégrales de Mohr
 Calcul de l’intégrale type ‫𝐌 ׬‬. 𝐦 𝐝𝐱 par la méthode directe
Pour le même exemple on obtient:
M
l
M = - q𝒙𝟐 /𝟐
-q𝒙𝟐 /𝟐
-q𝒍𝟐 /𝟐
m = -x
m
l
VA=
𝟏 𝒍 𝑴.𝒎
‫׬‬
𝑬𝑰 𝟎 𝑬𝑰
dx =
𝟏
𝑬𝑰
𝒍 𝒒 𝒙𝟑
‫𝟑 𝟎׬‬
𝒅𝒙 =
𝒒.𝒍𝟒
𝟖 𝑬𝑰
-x
-l
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Méthode des Forces
Théorème de la charge unité / Intégrales de Mohr
La méthode de superposition peut être généralisée en considérant les autres
sollicitations pour obtenir le déplacement d’un point:
𝑣𝑖 =
𝑙 𝑁.𝑛𝑖 𝑀.𝑚𝑖
‫׬‬0 𝐸𝑆 + 𝐸𝐼
+
𝑇.𝑡𝑖
𝐺𝑆𝑟
dx
Cette expression est connue sous le nom du Théorème de
ou encore Théorème de
Bertrand de Fontviollant
la charge unité
Méthode des Forces
Méthode des forces
La méthode permet de calculer les inconnues hyperstatiques (actions des appuis ou
sollicitations dans la structure) par les méthodes énergétiques en procédant par des coupures
dans la structure hyperstatique.
Notion de coupure
Une coupure permet de rendre isostatique une structure hyperstatique pour pouvoir la
calculer plus facilement en utilisant le principe de superposition
Coupure externe: On supprime l’appui par une ou plusieurs coupures:
Appui simple: 1 coupure
Articulation: 2 coupures
Encastrement: 3 coupures
On renferme une coupure externe en luis appliquant l’action d’appui correspondante
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Méthode des Forces
Structure isostatique associée
Exemple: poutre encastrée-appuyée (structure hyperstatique de degré 1)
q
q
B
A
Structure hyperstatique
«S»
A
X1
Structure isostatique
associée « S’ »
B
V1=0
Déplacement
du à X1
Question: Quand on peut considérer que S’ est identique à S ?
S’ est identique à S si V1 déplacement vertical de B sous l’effet de q et de X1 est nul
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Méthode des Forces
Décomposition de la structure isostatique associée
Exemple: poutre encastrée-appuyée (structure hyperstatique de degré 1)
Remplaçons S’ par les 2 systèmes S0 et S1 tel que l’on puisse appliquer le principe de
superposition: S’ = S0 + S1
q
Déplacement dans le
sens de X1 du à q
Déplacement dans le
sens de X1 du à X1
V11
A
A
V10
Structure « S0 »
( S0 + S1 ) est identique à S si l’on a:
Structure « S1 »
V1
= V10 + V11
= 0
X1
Equation 1
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Méthode des Forces
Déplacement dû à une charge unité
Soit pour la structure S1, δ11 le déplacement sous l’action de la charge unité appliquée au
point B (de même direction que X1) alors:
Structure « S1 »
V11 = X1* δ11
Déplacement dans le
sens de X1 du à X1
V11
A
V1
= V10 + V11
X1
Equation 1
= 0
En remplaçant V11 par son expression dans l’équation 1 on aura la formule de
X1 suivante:
−𝑽𝟏𝟎
X1 =
δ𝟏𝟏
𝑉10
Avec :
𝑙 𝑀0. 𝑀1
= ‫׬‬0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
et
δ11 =
𝑙 𝑀1.𝑀1
‫׬‬0 𝐸𝐼
M0: Moment de flexion dû à q
M1: Moment de flexion dû à X1= 1
𝑑𝑥
Calculer X1
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Méthode des Forces
Méthode des forces: Démarche
La généralisation de la méthode de détermination de la réaction X1 précédente illustre
les étapes de la méthode des forces comme suit:
 On définit plusieurs états de la structure étudiée, correspondant à des chargements
et à des configurations que l’on superposera.
Etat réel: C’est la structure S telle qu’elle est donnée avec son chargement et sa configuration. Elle
est hyperstatique de degré n. On choisit les n inconnues hyperstatiques que l’on va calculer: X1,
X2,…..Xi,…Xn.
Etat 0: On garde le chargement. On fait n coupures aux points d’applications des inconnues pour
rendre S isostatique. On calcul les déplacements aux bords des coupures.
Etat 1: On enlève le chargement à la place de X1 on applique la charge 1. On calcule les
déplacements projetés correspondant aux inconnues Xi.
Etat i: Le chargement étant enlevé, on remplace l’action inconnue Xi par la valeur 1. On calcule les
déplacements projetés correspondant à toutes les inconnues.
…. Jusqu’à l’état n.
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Méthode des Forces
Méthode des forces
En renfermant les coupures on écrit que la somme de ces déplacements est nulle:
Etat réel = Etat 0 + Etat 1*X1 + Etat 2*X2 + …+ Etat n*Xn
Etat réel = Etat 0 + σ Etat i∗Xi
On obtient ainsi autant d’équations que d’inconnues.
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Méthode des Forces
Méthode des forces
 Illustration de la démarche: Portique bi-encastré ABCD
Etat réel: Structure S
Charges:
- Répartie q sur la traverse
- Concentrée horizontale F en B
Inconnues: 3 en A, 3 en D
Equations: 3 équations issues du PFS
Degré d’hyperstaticité, n=3
 Calculons les actions en D en utilisant le fait que les 3 déplacements 𝒖𝑫 , 𝒗𝑫 , 𝝎𝑫 sont nuls.
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Méthode des Forces
Méthode des forces
Etat 0: On supprime l’encastrement en D par 3
coupures , ce qui fait apparaitre trois déplacements
𝒖𝑫𝟎 , 𝒗𝑫𝟎 , 𝝎𝑫𝟎 que l’on peut calculer.
Etat 1: La force horizontale 1
provoque 3 déplacements 𝒖𝑫𝟏 ,
𝒗𝑫𝟏 , 𝝎𝑫𝟏 que l’on peut calculer.
Etat 2: La force verticale 1
provoque 3 déplacements 𝒖𝑫𝟐 ,
𝒗𝑫𝟐 , 𝝎𝑫𝟐 que l’on peut calculer.
Etat 3: Le moment unitaire
provoque 3 déplacements 𝒖𝑫𝟑 ,
𝒗𝑫𝟑 , 𝝎𝑫𝟑 que l’on peut calculer.
En renfermant les coupures on obtient:
Etat réel = Etat 0 + Etat 1*X1 + Etat 2*X2 + Etat 3*X3
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Méthode des Forces
Méthode des forces
 Calcul des déplacements:
Déplacements horizontaux
uD = uD0+ uD1.X1 + uD2.X2 + uD3.X3 = 0
Nous écrivons
uD= d 10 + d 11.X1 + d 12.X2 + d 13.X3 = 0
Déplacements verticaux
vD = d 20 + d 21.X1 + d 22.X2 + d 23.X3 = 0
Rotations
ωD = d 30 + d 31.X1 + d 32.X2 + d 33.X3 = 0
on a obtenu un système de 3 équations à 3 inconnues qui peut s'écrire :
d 11 d 12
d 13
X1
d 10
d 21 d 22
d 23 x X 2
= - d 20
d 31 d 32
d 33
X3
d 30
Avec : S=
d 11 d 12
d 13
d 21 d 22
d 23
d 31 d 32
d 33
d ij: deplacement dans la direction de la coupure i à l’état j.
Il y a donc 12 déplacements à calculer sous la forme
𝑑𝑖𝑗 =
Peuvent être calculés avec les intégrales de Mohr
Appelée matrice de
souplesse
𝑙 𝑀𝑖 𝑀𝑗
‫׬‬0 𝐸𝐼
𝑑𝑥
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Méthode des Forces
Méthode des forces
 Exemple de calcul:
Calculer le déplacement d10 = uD0 (sous l’action de q seulement)
par les intégrales de Mohr.
Résultat:
𝒒 𝒍𝟐 𝒉
d10 = −
( 3h + 2l )
𝟏𝟐
 Application Méthode des forces:
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Annexes
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Annexes
21
Questions