Cinétique
1. Centre d’inertie d’un système matériel
On appelle centre d’inertie
d’un système matériel (E) le
point unique G défini par la
relation :
 GMdm = 0
M ( E )
mOG =

OMdm
M ( E )
-
Soit un système matériel (E) constitué par plusieurs sous-systèmes disjoints (Ei) de masse mi
et de centre d’inertie Gi, alors :
n
 n

m
OG
=
mi OGi

 i 
i =1
 i =1 
(
-
)
Symétrie matérielle : si un système matériel possède un élément de symétrie matérielle
(symétrie du point de vue géométrique et de la répartition des masses) tel qu’un plan ou un
axe, alors le centre d’inertie appartient à cet élément. Avant tout calcul, il est vivement
recommandé de rechercher l’existence de tels éléments.
2. Matrice d’inertie :
La matrice d’inertie du solide ( S ) au point O , relativement à la base ( x , y, z ) ,
 A −F −E 


IO ( S ) =  − F B − D 
 −E −D C 

( x , y , z )
Les moments d’inertie :
A = I Ox ( S ) =  ( y 2 + z 2 ).dm :
Moments d’inertie du solide ( S ) par rapport à l’axe ( O, x ) .
S
B = I Oy ( S ) =  ( x 2 + z 2 ).dm :
Moments d’inertie du solide ( S ) par rapport à l’axe ( O, y ) .
S
C = I OZ ( S ) =  ( x 2 + y 2 ).dm :
Moments d’inertie du solide ( S ) par rapport à l’axe ( O, z ) .
S
Les produits d’inertie :
D = I Oyz =  y.z.dm :
S
Produit d’inertie du solide ( S ) par rapport aux axes ( O, y ) et ( O, z ) .
Produit d’inertie du solide ( S ) par rapport aux axes ( O, x ) et ( O, z ) .
E = I Ozx =  z.x.dm :
S
Produit d’inertie du solide ( S ) par rapport aux axes ( O, x ) et ( O, y ) .
F = I Oxy =  x. y.dm :
S
Influence des symétries matérielles :
Il y a symétrie matérielle s’il y a, à la fois, symétrie géométrique et symétrie de
répartition de masse.
( O, x , y )
( O, x , z )
plan de symétrie
 A −F 0 


IO ( S ) =  − F B 0 
 0 0 C

( x , y , z )
plan de symétrie
 A 0 −E 


IO ( S ) =  0 B 0 
 −E 0 C 

( x , y , z )
( O, y , z )
plan de symétrie
A 0 0 


IO ( S ) =  0 B − D 
 0 −D C 

( x , y , z )
Symétrie de révolution :
Si un système admet un axe de symétrie de révolution pour sa distribution de masse,
Les deux moments d’inertie par rapport aux axes perpendiculaires à l’axe de révolution
sont égaux. La matrice d'inertie prend la forme :
Soit ( O, z
) axe
Soit ( O, x
de
) axe
de
Soit ( O, y
)
axe de
révolution
révolution
révolution
A0 0


 I O ( S )  =  0 A 0 
 0 0 C

( −,−, z )
A 0 0


 I O ( S )  =  0 B 0 
 0 0 B

( x ,−,− )
A0 0


 I O ( S )  =  0 B 0 
 0 0 A

( −, y ,− )
( −, −, z )
: La matrice sera la même par rapport à toute base contenant z .
Expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque :
Le moment d’inertie du solide ( S ) par rapport
à l’axe  est le scalaire positif suivant :
(
I  ( S ) = u .  I O ( S )  u
)
Changement de point : théorème de Huygens :
Soit ( S ) un solide de centre d’inertie G de masse m .
On a :
OG = xG .x + yG . y + zG .z
On montre que : I O ( S ) en fonction de I G ( S )
AO = AG + m. ( yG2 + zG2 )
BO = BG + m. ( x + z
2
G
2
G
CO = CG + m. ( xG2 + yG2
)
)
DO = DG + m. yG .zG
EO = EG + m.xG .zG
FO = FG + m.xG . yG
3- Torseur cinétique :
Le torseur cinétique du système matériel (  ) dans son mouvement par rapport à un
repère ( R ) , en un point quelconque A , est le torseur suivant :
R

C

/
R
=
(
)

 
(  / R )


/
R
(
)
A
A

C


Résultante cinétique :
RC (  / R ) = mV
. (G / R )
Moment cinétique d’un solide :
Soit un solide ( S ) de masse m , de centre d’inertie G et de matrice d’inertie en un point
A  I A ( S )  , en mouvement par rapport à un repère ( R ) .
 A ( S / R ) = m. AG  V ( A  S / R ) +  I A ( S )  . ( S / R )
Remarque : Le torseur cinétique pour un système
matériel (  ) constitué de n solides :
C (  / R ) = C ( S / R )
n
i =1
4. Torseur dynamique :
i
Définition : Le torseur dynamique du système matériel (  ) dans son mouvement par
rapport à un repère ( R ) , en un point quelconque A , est le torseur suivant :
 RD (  / R ) 


=



 A (  / R ) A
D (  / R ) 
Rd (  / R ) = m.(G / R )
Résultante dynamique :
Relation entre le Moment cinétique et le moment dynamique d’un solide :
d

 A ( S / R )  + mV
. ( A / R )  V (G / R )
 dt
R
 A ( S / R) = 
Remarque :
Le
torseur
dynamique pour
D (  / R ) = D ( S / R )
un
n
système matériel (  ) constitué de n solides :
i =1
i
V°- Energie cinétique :
On montre que le double de l’énergie cinétique est égal au produit
de son torseur
cinématique par son torseur cinétique.
T ( S / R ) = 12 .V ( S / R ) *C ( S / R )
Remarque : l’énergie cinétique pour un système matériel (  ) constitué de n solides :
n
T (  / R ) = T ( S / R )
i =1
i
Principe Fondamental de la Dynamique
1°- Enoncé :
Il existe un repère dit repère galiléen Rg , tel que pour tout système matériel 
mouvement par rapport à Rg , le torseur dynamique de  dans son mouvement par
rapport à Rg soit égal au torseur des actions mécaniques extérieures agissant sur le
système matériel  .
 

→    =
T   ⎯⎯⎯

 
Ce principe se traduit par :
D (  / Rg )
(
) 

)
 R  ⎯⎯
→

En un point quelconque A ; 
→
 M A  ⎯⎯
(
A
 m. ( G / Rg ) 
=

 ( A,  / Rg )  A
2°- Théorème généraux de la dynamique :
21°- Théorème de la résultante dynamique :
R (  ⎯⎯→ ) = m. ( G / Rg )
22°- Théorème du moment dynamique :
M A (  ⎯⎯→ ) =  ( A, / Rg )
3°- Théorème des actions mutuelles :
L’action mécanique d’un système matériel 1 sur un système matériel  2 est

 

→ 1 ) = − T ( 1 ⎯⎯
→ 2 )
opposée à l’action mécanique de  2 sur 1 : T (  2 ⎯⎯
4°- Equations de mouvements :
Supposons que la position du système matériel  , dans le repère galiléen Rg ,
dépende des paramètres qi ( t ) ,
( i = 1.....n ) .
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à  conduit à écrire
deux équations vectorielles dont les projections sur une base orthonormée directe
donne, au maximum, six équations scalaires indépendantes. (trois dans le plan)
Ces équations scalaires sont des équations différentielles du second ordre, non linéaire
en général, de la forme : f ( qi (t ), qi (t ), qi (t ), t )
Dans ces équations peuvent figurer :
- des données géométriques et des caractéristiques d’inertie du système matériel,
- des composantes d’actions mécaniques connues ou inconnues.
Définition :
Une équation de mouvement est équation différentielle du second ordre, déduite
du Principe Fondamental de la Dynamique, dans laquelle ne figure aucune composante
inconnue d’actions mécaniques.
5°- Résolution des problèmes de dynamique :
Un mécanisme possède un ou plusieurs degrés de liberté, les efforts extérieurs
sont définis et les liaisons sont généralement parfaites.
On recherche les ensembles à isoler puis on applique le PFD à ces systèmes.
Pour ne pas faire intervenir les inconnues des efforts de liaison :
•
Si la liaison est telle que k .M P = 0 (liaison pivot, pivot glissant, rotule…) alors
écrire le Théorème du moment dynamique en P en projection sur k
•
Si la liaison est telle que
k .R = 0 (liaison glissière, pivot glissant,…) alors
écrire le Théorème de la résultante dynamique en projection sur k .
ENERGETIQUE
I°- Puissance:
11°-Puissance d’une action mécanique extérieur à un système matériel :
La puissance, à la date t, de l'action mécanique du système matériel  sur le
solide S , dans le mouvement de S par rapport à R , est :
P (  ⎯⎯→ S / R ) = T (  ⎯⎯→ S ).V ( S / R )
12°- Puissance des actions mutuelles entre deux systèmes matériels :
Dans le cas de deux solides 1 et 2, on choisit généralement un repère lié à l'un
des deux solides :
P (1⎯→ 2) = P (1 ⎯⎯→ 2 /1) = T (1 ⎯⎯→ 2).V ( 2 /1)
P (1⎯→ 2) = P ( 2 ⎯⎯→1/ 2) = T ( 2 ⎯⎯→1).V (1/ 2 )
13°-Liaison parfaite entre deux solides:
Deux solides 1 et 2 ont une liaison parfaite, d'un point de vue énergétique, si quel
que soit le mouvement autorisé par la liaison, la puissance des actions mutuelle entre
1 et 2 est nulle :
P (1⎯→ 2) = 0
II°- Théorème de l’énergie cinétique :
21°- Théorème de l’énergie cinétique pour un solide:
le théorème de l’énergie cinétique pour un solide s’écrit :
d
T (S / Rg ) = P (  ⎯⎯
→ S / Rg )
dt
22°- Théorème de l’énergie cinétique pour un ensemble de solides :
Pour un système matériel  constitué de n solides, en mouvement par rapport
à un repère galiléen Rg :
n
d
T ( / Rg ) = P (  ⎯⎯
→  / Rg ) +  P ( Si ⎯
→ Sj )
dt
i , j =1
puissance extérieure
i j
puissance intérieure